Взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью
Рассматривается задача о взаимодействии системы осесимметричных вихревых колец с малым круговым поперечным сечением (вихревые кольца Дайсона) в бесконечной прямолинейной трубе с круговым поперечным сечением, которая заполнена идеальной несжимаемой жидкостью. В основу численно-аналитического решения...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4680 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью / А.А. Гуржий // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 26-42. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860180693524414464 |
|---|---|
| author | Гуржий, А.А. |
| author_facet | Гуржий, А.А. |
| citation_txt | Взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью / А.А. Гуржий // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 26-42. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассматривается задача о взаимодействии системы осесимметричных вихревых колец с малым круговым поперечным сечением (вихревые кольца Дайсона) в бесконечной прямолинейной трубе с круговым поперечным сечением, которая заполнена идеальной несжимаемой жидкостью. В основу численно-аналитического решения положен метод дискретных особенностей, адаптированный к осесимметричным задачам. Для удовлетворения граничных условий на внутренней поверхности вводится либо последовательность мнимых вихревых нитей, либо мнимый вихревой слой. Распределение интенсивности мнимых вихревых структур определяется из условий либо равенства нулю радиальной компоненты скорости течения, либо равенствa константе значения функции тока. Для выявления наилучшего решения вводится ``функция невыполнения'' граничного условия по скорости, анализируется ее максимальное и среднее значения на внутренней поверхности трубы. Исследования показали, что наилучшей с точки зрения локального выполнения граничного условия по скорости и по продолжительности вычислений является метод решения, основанный на введении эквидистантной системы мнимых вихревых нитей одинакового радиуса с граничным условием для функции тока. Приводятся уравнения движения для системы тонких вихревых колец. Гамильтонова форма уравнений движения совпадает с уравнениями для коаксиальных вихревых колец в безграничном пространстве с гамильтонианом, учитывающим влияние границ. Показано, что эти уравнения обладают двумя инвариантами движения, которые соответствуют закону сохранения импульса движения вдоль оси трубы и закону сохранения кинетической энергии движения вихревых колец.
Розглядається задача про взаємодiю системи вiсесиметричних вихрових кiлець з малим круговим поперечним перетином (вихровi кiльця Дайсона) в нескiнченнiй прямолiнiйнiй трубi з круговим поперечним перетином, яка заповнена iдеальною нестискуваною рiдиною. Для чисельно-аналiтичного розв'язка застосовано метод дискретних особливостей, адаптований до вiсесиметричних задач. Для задоволення граничних умов на внутрiшнiй поверхнi вводиться або послiдовнiсть уявних вихрових ниток, або уявний вихровий шар. Розподiл iнтенсивностi уявних вихрових структур визначається з умов або рiвностi нулю радiальної компоненти швидкостi течiї, або рiвностi константi значення функцiї току. Для виявлення найкращого розв'язку вводиться ``функцiя невиконання'' граничної умови по швидкостi, аналiзується її максимальне та середнє значення на внутрiшнiй поверхнi труби. Дослiдження показали, що найкращим з погляду локального виконання граничної умови по швидкостi i за тривалiстю обчислень є метод розв'язку, заснований на введеннi еквiдiстантной системи уявних вихрових ниток однакового радiусу з граничними умовами для функцiї току. Приводяться рiвняння руху для системи тонких вихрових кiлець. Гамiльтонова форма рiвнянь руху спiвпадає з рiвняннями для коаксiальних вихорових кiлець в безмежному просторi з гамiльтонiаном, що враховує вплив меж. Показано, що цi рiвняння мають два iнварiанти руху, якi вiдповiдають закону збереження iмпульсу руху уздовж осi труби i закону збереження кiнетичної енергiї руху вихрових кiлець.
The problem on interaction of the system of axisymmetrical vortex rings with the small circular cross section (Dyson's vortex rings) in an unbounded rectilinear pipe with the circular cross section, which is filled by an ideal incompressible fluid, is considered. The method of discrete singularities is proposed for numeral-analytical solution, which adapted to the axisymmetrical problems. To satisfy boundary conditions on an internal surface one introduces either the sequence of imaginary vortex filaments or imaginary vortex layer. Distributing of intensity of imaginary vortex structures is determined from either equalities to the zero the radial velocity components of flow or equality to the constant the value of stream function. To detect the best solution one introduce ``failure function'' of boundary condition on velocity and analyses its maximal and overage values on an internal surface of the pipe. Researches shows that the solution based on an introduction the system of imaginary vortex filaments of identical radius with boundary condition for stream function is the best both from point of local satisfaction of boundary condition for velosity and from counting time interval. The equations of motion of the system of thin vortex rings are given. Hamiltonian form of equations of motion coincides with equation for coaxial vortex rings in unbounded space with hamiltonian, which takes into account the influence of boundaries. It is shown that these equations have two invariants of motion, which correspond to the momentum conservation law along the axis of the pipe and kinetic energy conservation law of vortex rings.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:01:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
УДК 539.3
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ВИХРЕВЫХ
КОЛЕЦ В БЕСКОНЕЧНОЙ ТРУБЕ, ЗАПОЛНЕННОЙ
ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ
А. А. Г У РЖ И Й
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев, Украина
Получено 12.06.2008
Рассматривается задача о взаимодействии системы осесимметричных вихревых колец с малым круговым попере-
чным сечением (вихревые кольца Дайсона) в бесконечной прямолинейной трубе с круговым поперечным сечением,
которая заполнена идеальной несжимаемой жидкостью. В основу численно-аналитического решения положен метод
дискретных особенностей, адаптированный к осесимметричным задачам. Для удовлетворения граничных условий на
внутренней поверхности вводится либо последовательность мнимых вихревых нитей, либо мнимый вихревой слой.
Распределение интенсивности мнимых вихревых структур определяется из условий либо равенства нулю радиаль-
ной компоненты скорости течения, либо равенствa константе значения функции тока. Для выявления наилучшего
решения вводится “функция невыполнения” граничного условия по скорости, анализируется ее максимальное и сред-
нее значения на внутренней поверхности трубы. Исследования показали, что наилучшей с точки зрения локального
выполнения граничного условия по скорости и по продолжительности вычислений является метод решения, осно-
ванный на введении эквидистантной системы мнимых вихревых нитей одинакового радиуса с граничным условием
для функции тока. Приводятся уравнения движения для системы тонких вихревых колец. Гамильтонова форма
уравнений движения совпадает с уравнениями для коаксиальных вихревых колец в безграничном пространстве
с гамильтонианом, учитывающим влияние границ. Показано, что эти уравнения обладают двумя инвариантами
движения, которые соответствуют закону сохранения импульса движения вдоль оси трубы и закону сохранения
кинетической энергии движения вихревых колец.
Розглядається задача про взаємодiю системи вiсесиметричних вихрових кiлець з малим круговим поперечним пе-
ретином (вихровi кiльця Дайсона) в нескiнченнiй прямолiнiйнiй трубi з круговим поперечним перетином, яка за-
повнена iдеальною нестискуваною рiдиною. Для чисельно-аналiтичного розв’язка застосовано метод дискретних
особливостей, адаптований до вiсесиметричних задач. Для задоволення граничних умов на внутрiшнiй поверхнi вво-
диться або послiдовнiсть уявних вихрових ниток, або уявний вихровий шар. Розподiл iнтенсивностi уявних вихрових
структур визначається з умов або рiвностi нулю радiальної компоненти швидкостi течiї, або рiвностi константi зна-
чення функцiї току. Для виявлення найкращого розв’язку вводиться “функцiя невиконання” граничної умови по
швидкостi, аналiзується її максимальне та середнє значення на внутрiшнiй поверхнi труби. Дослiдження показали,
що найкращим з погляду локального виконання граничної умови по швидкостi i за тривалiстю обчислень є метод
розв’язку, заснований на введеннi еквiдiстантной системи уявних вихрових ниток однакового радiусу з граничними
умовами для функцiї току. Приводяться рiвняння руху для системи тонких вихрових кiлець. Гамiльтонова форма
рiвнянь руху спiвпадає з рiвняннями для коаксiальних вихорових кiлець в безмежному просторi з гамiльтонiаном,
що враховує вплив меж. Показано, що цi рiвняння мають два iнварiанти руху, якi вiдповiдають закону збереження
iмпульсу руху уздовж осi труби i закону збереження кiнетичної енергiї руху вихрових кiлець.
The problem on interaction of the system of axisymmetrical vortex rings with the small circular cross section (Dyson’s
vortex rings) in an unbounded rectilinear pipe with the circular cross section, which is filled by an ideal incompressible
fluid, is considered. The method of discrete singularities is proposed for numeral-analytical solution, which adapted to
the axisymmetrical problems. To satisfy boundary conditions on an internal surface one introduces either the sequence of
imaginary vortex filaments or imaginary vortex layer. Distributing of intensity of imaginary vortex structures is determined
from either equalities to the zero the radial velocity components of flow or equality to the constant the value of stream
function. To detect the best solution one introduce “failure function” of boundary condition on velocity and analyses its
maximal and overage values on an internal surface of the pipe. Researches shows that the solution based on an introduction
the system of imaginary vortex filaments of identical radius with boundary condition for stream function is the best both
from point of local satisfaction of boundary condition for velosity and from counting time interval. The equations of motion
of the system of thin vortex rings are given. Hamiltonian form of equations of motion coincides with equation for coaxial
vortex rings in unbounded space with hamiltonian, which takes into account the influence of boundaries. It is shown that
these equations have two invariants of motion, which correspond to the momentum conservation law along the axis of the
pipe and kinetic energy conservation law of vortex rings.
ВВЕДЕНИЕ
В современной гидромеханике при моделирова-
нии различных вихревых течений активно при-
меняется метод изображений. Теоретическое обо-
снование этого метода применительно к вихре-
вым течениям идеальной несжимаемой жидкости
было указано еще в работе Г.Гельмгольца [1] и
нашло достаточно широкое применение в предво-
енные годы при изучении особенностей обтекания
крыльев [2-6]. Впоследствии метод изображений в
вихревой динамике применялся для моделирова-
ния широкого класса течений, что позволяет се-
годня отнести его к классическим методам гидро-
механики. Подробное его описание и обоснование
для различных приложений можно найти, напри-
мер, в наиболее доступных сегодня монографиях
26 c© А.А.Гуржий, 2008
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
[7–11] и зарубежных изданиях [12, 13].
Несмотря на широкое применение метода изо-
бражений при изучении плоских вихревых тече-
ний, его использование в осесимметричном слу-
чае оказывается ограниченным. Среди наиболее
распространенных решений следует отметить вза-
имодействие тонкого осесимметричного вихрево-
го кольца с плоской стенкой, расположенной пер-
пендикулярно к плоскости вихря, и движение ви-
хревой нити около (или внутри) сферической по-
верхности в приближении идеальной несжимае-
мой жидкости (смотри подробности в [10, Гл.4]
или в [9, S164]. При этом каждому действительно-
му вихревому кольцу в соответствие ставится мни-
мая вихревая нить, параметры которой зависят от
параметров действительного кольца и расстояния
до твердой поверхности. В результате общее число
уравнений, описывающих динамику осесимметри-
чных колец не увеличивается, а граничное усло-
вие непротекания жидкости через твердую поверх-
ность выполняется точно.
Анализ литературы показывает, что в насто-
ящее время для численного решения задач ви-
хревой динамики со сложной геометрией поверх-
ностей активно используются подходы [6, 14–17],
основанные на введении последовательности мни-
мых вихревых структур (или системы источников
и стоков жидкости на твердой поверхности) для
каждого из действительных вихрей в рассматри-
ваемой гидродинамической системе. При этом ин-
тенсивности мнимых вихрей определяются из зна-
чений функции тока в определенной системе кон-
трольных точек (точек коллокаций) на твердой
поверхности [16]. Такой подход в литературе по-
лучил название метод источников [6] или метод
дискретных вихрей [14, 15].
Несмотря на широкое применение метода дис-
кретных вихрей при решении прикладных задач
вычислительной гидромеханики, указанный выше
метод дискретных особенностей вносит существен-
ную погрешность при определении поля скорости
в области, прилегающей к границе. Наличие син-
гулярных вихрей (или источников) на поверхно-
сти приводит к появлению разрыва в касательной
компоненты скорости на самой поверхности и зна-
чительных вычислительных ошибок при изучении
процессов тепло- и массопереноса, которые наи-
более активно проявляются возле поверхностей.
Этот недостаток существенно сужает область при-
менимости метода дискретных вихрей при форми-
ровании моделей вихревых течений.
Вероятно, именно по этой причине в настоя-
щее время в современной литературе отсутству-
ет численно-аналитическое решение задачи о взаи-
модействии системы тонких коаксиальных вихре-
вых колец в бесконечной прямолинейной трубе с
круговым поперечным сечением, которая заполне-
на идеальной несжимаемой жидкостью. В боль-
шинстве случаев аналогичные задачи о взаимо-
действии вихревых колец с твердыми поверхно-
стями решалась либо с использованием методов
прямого численного моделирования [18–21], ли-
бо на основе данных экспериментальных исследо-
ваний [22–25]. Такие решения позволяют просле-
дить не только за процессом генерации вихревых
структур в непосредственной близости к поверхно-
сти, но и выявить некоторые особенности их вза-
имодействия. Однако анализ численных резуль-
татов (или экспериментальных данных) оказыва-
ется в этом случае достаточно сложным и, как
результат, некоторые случаи взаимодействия ви-
хрей оказываются незамеченными. С этих позиций
численно-аналитические методы исследования ди-
намики осесимметричных вихревых колец с твер-
дыми поверхностями имеют неоспоримое преиму-
щество.
В настоящей работе предлагается новое реше-
ние задачи о движении системы осесимметричных
колец в бесконечной трубе с круговым попере-
чным сечением, заполненной идеальной несжима-
емой жидкостью. Основной идеей подхода являе-
тся дальнейшее развитие метода дискретных ви-
хрей применительно к осесимметричным течени-
ям с использованием преимуществ метода изо-
бражения и метода дискретных вихрей. Для то-
го, чтобы обобщить эти подходы на цилиндриче-
скую поверхность, в работе применяется суперпо-
зиция системы мнимых коаксиальных вихревых
нитей или осесимметричный непрерывный вихре-
вой слой, смещенные от твердой поверхности на
фиксированное расстояние. Интенсивности мни-
мых вихревых структур подбираются такими, что-
бы граничное условие на поверхности выполня-
лось наилучшим образом.
1. КОАКСИАЛЬНЫЕ ВИХРЕВЫЕ
КОЛЬЦА В БЕЗГРАНИЧНОЙ СРЕДЕ
Одиночное вихревое кольцо в идеальной безгра-
ничной несжимаемой жидкости с полем завихрен-
ности, сконцентрированным в бесконечно тонкой
нити, наводит поле скорости, функция тока кото-
рого определяется выражением [2, 9]
Ψ(r, z) =
Γ
2π
√
Rvr
[(
2
k
− k
)
K(k) −
2
k
E(k)
]
, (1)
А.А.Гуржий 27
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
k2 =
4Rvr
(Rv + r)2 + (Zv − z)2
,
где Γ - интенсивность вихревой нити; Rv, Zv – ра-
диус и осевое положение вихря в цилиндрической
системе координат с осью oz, перпендикулярной к
плоскости вихревой нити. В приведенном выраже-
нии K(k), E(k) – полные эллиптические интегра-
лы первого и второго рода соответственно.
Выражение (1) совпадает с распределением по-
ля функции тока [2, 10], наведенным торроидаль-
ным вихревым кольцом с малым круговым попе-
речным сечением радиуса av на расстояниях ρ =
= [(Rv−r)2+(Zv−z)2]1/2 >> av (модель вихревого
кольца Дайсона [26].
Функция тока, наведенная системой N коакси-
альных вихревых колец, определяется суперпози-
цией вкладов каждого кольца:
Ψ(r, z) =
N
∑
j=1
Ψj(r, z) = (2)
=
N
∑
j=1
Γj
2π
√
Rjr
[(
2
kj
− kj
)
K(kj) −
2
kj
E(kj)
]
,
k2
j =
4Rjr
(Rj + r)2 + (Zj − z)2
.
Здесь Γj – интенсивность j-го вихревого кольца;
Rj и Zj – радиус и осевое положение вихря с ин-
дексом j соответственно.
Используя связь между функцией тока и ком-
понентами поля скорости течения
Ur(r, z) =
1
r
∂Ψ
∂z
, Uz(r, z) = −
1
r
∂Ψ
∂r
, (3)
находим выражения для компонент поля скоро-
сти, наведенного системой N тонких коаксиаль-
ных вихревых колец в идеальной безграничной не-
сжимаемой жидкости:
Ur(r, z) =
N
∑
j=1
Γj(z − Zj)
2πrR
(j)
max
×
×
[
K(kj) − E(kj) −
2Rjr
[R
(j)
min]2
E(kj)
]
,
Uz(r, z) =
N
∑
j=1
Γj
2πR
(j)
max
× (4)
×
[
K(kj) − E(kj) +
2Rj(Rj − r)
[R
(j)
min]2
E(kj)
]
,
где [R(j)
max]2 = (Rj + r)2 + (Zj − z)2 ,
[R
(j)
min]2 = (Rj − r)2 + (Zj − z)2 . (5)
Если в текущую точку с координатами (r, z) по-
местить тонкое осесимметричное вихревое кольцо
(Ri, Zi), то слагаемое j = i в сумме (2) необходимо
заменить значением функции тока Ψ?(Ri, Zi), ко-
торое наводит i-ое вихревое кольцо само на себя.
Подробности представления функции тока внутри
торрообразного вихревого кольца можно найти в
[9, 10, 12, 26]. В конечном итоге уравнения движе-
ния системы N тонких осесимметричных вихре-
вых колец в безграничной идеальной жидкости
могут быть представлены в виде
dRi
dt
= −
1
ΓiRi
∂U
∂Zi
,
dZi
dt
=
Γi
4πRi
(
ln
8Ri
ai
−
1
4
)
+
1
ΓiRi
∂U
∂Ri
,
aiRi = consti, i = 1, ..., N , (6)
где U =
N
∑
i=1
N
∑
j=1
′
ΓiΓj
2π
√
RiRj ×
×
[(
2
kij
− kij
)
K(kij) −
2
kij
Ekij
]
, (7)
k2
ij =
4RiRj
(Ri + Rj)2 + (Zi − Zj)2
с начальными условиями
Ri(0) = R0
i , Zi(0) = Z0
i ,
ai(0) = n0
i R
0
i , n0
i � 1. (8)
Последнее уравнение в (6) выражает закон со-
хранения объема вихревого кольца, что является
следствием теоремы Гельмгольца о завихренности
[2, 9, 11].
2. КОАКСИАЛЬНЫЕ ВИХРЕВЫЕ
КОЛЬЦА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ТРУБЕ
Если течение идеальной жидкости развивается
в области, ограниченной цилиндрической поверх-
ностью радиуса R0, то на решение накладывается
граничное условие
Ψ(R0, z) = const (9)
или
∂Ψ
∂z
∣
∣
∣
∣
r=R0
= 0 , (10)
которое должно выполняться в любой точке, огра-
ничивающей течение поверхности.
Можно выделить, по крайней мере, четыре под-
хода к формированию решения задачи о движении
системы осесимметричных вихревых колец вну-
три круговой цилиндрической поверхности. Два
28 А.А.Гуржий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
Рис. 1. Схематическое изображение
пространственного положения вихрей и
последовательности контрольных точек при анализе
выполнения граничного условия для скорости
из них основаны на выполнении граничного усло-
вия для функции тока (9) системой мнимых вихре-
вых нитей или непрерывным мнимым вихревым
слоем. Два других подхода основаны на выполне-
нии граничного условия для скорости (10) упомя-
нутых выше системы вихревых нитей или вихрево-
го слоя. Рассмотрим каждое из этих решений для
одиночного вихревого кольца отдельно.
2.1. Выполнение граничного условия для ско-
рости системой вихревых нитей
Рассмотрим течение идеальной несжимаемой
жидкости внутри бесконечной цилиндрической
поверхности радиуса R0. Пусть тонкое вихревое
кольцо радиуса Rv, Rv < R0, с малым круговым
поперечным сечением av, av � Rv, и интенсив-
ностью Γv расположено в начале цилиндрической
системы координат (r, z), как показано на рис. 1.
Для выполнения граничного условия (10) вве-
дем систему 2M +1 мнимых вихревых нитей ради-
уса Rc = const (Rc > R0) и интенсивностями Γm,
m = 1, ..., 2M + 1, которые удалены друг от друга
на одинаковое расстояние ∆z в осевом направле-
нии. На рис. 1 показана система M вихревых ни-
тей, расположенных правее плоскости симметрии
z = 0. Аналогичная система мнимых вихрей ра-
сполагается с другой стороны этой плоскости. Не-
обходимо подобрать значения интенсивностей Γm
нитей, вклад которых удовлетворял бы гранично-
му условию для скорости (10) в присутствии дей-
ствительного вихревого кольца. Количество мни-
мых вихревых нитей в слое (2M + 1), радиус ви-
хревых нитей Rc и расстояние ∆z между ними в
слое являются параметрами задачи.
Для определения значений интенсивностей Γm
мнимых вихревых нитей задаем систему контроль-
ных точек на поверхности трубы [16], которые обо-
значены на рис. 1 буквами A, B и т.д. Их осевые
координаты имеют значения
Zn = Z0 + n∆z , n = −M, ..., M , (11)
где Z0 = ∆z/2 – начальное смещение вихревого
слоя.
В контрольных точках накладываем условие ра-
венства нулю суммы значений наведенных ради-
альных компонент скоростей как со стороны дей-
ствительного кольца, так и со стороны системы
мнимых вихревых нитей. Получаем следующую
систему линейных алгебраических уравнений:
[Anm] Γm = Bn , n, m = −M, ..., M , (12)
где
[Anm] =
Zm − Zn
R
(nm)
max
×
×
[
K(knm) − E(knm) −
2RcR0
[R
(nm)
min ]2
E(knm)
]
,
Bn =
Zn
R
(n)
max
[
K(kn) − E(kn) −
2RcRv
[R
(n)
min]2
E(kn)
]
,
[R(n)
max]2 = (R0 + Rv)2 + Z2
n ,
[R
(n)
min]2 = (R0 − Rv)2 + Z2
n , (13)
[R(nm)
max ]2 = (R0 + Rc)
2 + (Zm − Zn)2 ,
[R
(nm)
min ]2 = (R0 − Rc)
2 + (Zm − Zn)2 ,
k2
nm =
4R0Rc
[R
(nm)
max ]2
, k2
n =
4R0Rv
[R
(n)
max]2
.
Исследования показывают, что линейная алге-
браическая система (12) имеет доминирующую ди-
агональ, поскольку наибольший вклад в поле ско-
рости вносят близлежащие к контрольной точке
мнимые вихревые нити. Численное решение таких
систем алгебраических уравнений не встречает су-
щественных трудностей [27, 28].
Таким образом, выражения для компонент ско-
ростей одиночного тонкого вихревого кольца, на-
ходящегося внутри бесконечного цилиндра, имеют
вид
Ur = 0 , (14)
Uz =
Γv
4πRv
(
ln
8Rv
av
−
1
4
)
+
M
∑
m=−M
Γm
2π[R
(m)
max]
×
А.А.Гуржий 29
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
×
[
K(km) − E(km) +
2Rv(Rv − Rc)
[R
(m)
min]2
E(km)
]
, (15)
где использованы следующие обозначения
[R(m)
max]2 = (Rv + Rc)
2 + Z2
m ,
[R
(m)
min]2 = (Rv − Rc)2 + Z2
m ,
k2
m =
4RvRc
[R
(m)
max]2
. (16)
Анализ выражения показывает, что движение
одиночного вихревого кольца внутри бесконечно-
го кругового цилиндра качественно не отличается
от движения одиночного вихревого кольца в без-
граничном пространстве. Радиальная компонен-
та скорости кольца (14) равна нулю, поскольку
вклад со стороны мнимой вихревой нити с теку-
щим индексом “m"равен по модулю, но противо-
положен по знаку вкладу со стороны вихря с инде-
ксом “−m". Вихрь с индексом “0"находится в пло-
скости действительного вихря, его вклад в ради-
альную скорость действительного вихря равен ну-
лю. Выражение для осевой компоненты скорости
(15) действительного вихревого кольца состоит из
двух слагаемых, первое из которых представля-
ет самоиндуцированную скорость тонкого вихре-
вого кольца. Второе слагаемое представляет собой
вклад со стороны системы мнимых вихревых ни-
тей. Другими словами, это слагаемое учитывает
влияние границы на движение одиночного вихре-
вого кольца. Заметим, что по мере увеличения ра-
диуса R0 трубы или уменьшения радиуса Rv дей-
ствительного вихревого кольца влияние границы
уменьшается, и вклад второго слагаемого в осевую
скорость вихревого кольца асимптотически стре-
мится к нулю.
Для проведения количественного анализа то-
чности выполнения граничного условия рассмо-
трим одиночное вихревое кольцо радиуса Rv = 0.8
и интенсивности Γv = 1.0 внутри бесконечной тру-
бы радиуса R0 = 1.0. Для выбранных значений
M = 7, ∆z = 0.3 и Rc = 1.2 решение линейной
системы алгебраических уравнений (12) дает зна-
чения интенсивностей Γm (m = 0, ..., M) мнимых
вихревых нитей, приведенные в таблице 1.
Точность выполнения граничного условия на
внутренней поверхности трубы можно оценить
при введении функции ошибки (“рассогласования”
граничного условия) для радиальной компоненты
скорости течения жидкости на поверхности трубы
в виде
E(z) =
M
∑
m=−M
Γm
2πR0
Zm − z
[R
(m)
max]s
×
Табл 1. Значения интенсивностей мнимых
вихревых нитей при выполнении
граничных условий для радиальной скорости
m Положение, Zm Интенсивность, Γm
0 0.00 -0.78576
±1 ±0.30 0.02224
±2 ±0.60 0.01432
±3 ±0.90 0.00896
±4 ±1.20 0.00540
±5 ±1.50 0.00317
±6 ±1.80 0.00179
±7 ±2.10 0.00096
×
[
K(k(m)
s ) − E(k(m)
s ) −
2RcR0
[R
(m)
min]2s
E(k(m)
s )
]
−
−
Γv
2πR0
z
[Rmax]s
× (17)
×
[
K(ks) − E(ks) −
2RcR0
[Rmin]2s
E(ks)
]
,
где [R(m)
max]2s = (R0 + Rc)2 + (Zm − z)2 ,
[R
(m)
min]2s = (R0 − Rc)2 + (Zm − z)2 ,
[Rmax]2s = (R0 + Rv)2 + z2 , (18)
[Rmin]2s = (R0 − Rv)2 + z2 ,
[k(m)
s ]2 =
4R0Rc
[R
(m)
max]2s
, k2
s =
4R0Rv
[Rmax]2s
.
Зависимость функций ε(z) на внутренней по-
верхности трубы, равная отношению E(z) к макси-
мальному значению радиальной скорости Umax,
наведенной действительным вихревым кольцом на
поверхности (при z = Zv), показана на рис. 2. Ви-
дно, что наибольшее рассогласование граничных
условий по скорости наблюдается в области, бли-
злежащей к действительному вихрю. Имеется не-
которое повышение функции ε(z) за пределами
слоя мнимых вихревых нитей. Численный ана-
лиз показывает, что при уменьшении значений ∆z
граничное условие внутри вихревого слоя (|z| <
M∆z) выполняется лучше, а вне этого интервала
значение функции ε(z) существенно увеличивае-
тся. И наоборот, с увеличением ∆z максимальная
ошибка наблюдается внутри вихревого слоя, а не
за его пределами. Можно заключить, что суще-
ствует оптимальное значение ∆z, при котором до-
стигается наилучшее выполнение граничных усло-
вий.
Для проведения сравнительного анализа то-
чности решения задачи с другими решениями
введем количественные меры точности выполне-
30 А.А.Гуржий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
Рис. 2. Зависимость точности выполнение граничного
условия ε(z) для скорости системой мнимых
вихревых нитей при ∆z = 0.3, Rc = 1.2, M = 7
ния граничных условий. Наиболее простой ме-
рой является значение максимального рассогла-
сования выполнения граничного условия εmax =
max{|ε(z)|} на участке −L ≤ z ≤ L, где 2L – дли-
на фиксированного контрольного участка на вну-
тренней поверхности трубы. Введем также средне-
квадратичное значение функций ε(z) на контроль-
ном участке поверхности:
εcp =
1
2L
L
∫
−L
[ε(z)]2dz
1/2
. (19)
Пусть L = 6.0. В этом случае εmax = 0.00558,
εcp = 0.00141.
Рис. 3 показывает распределение поля функции
тока в области, близлежащей к действительному
вихрю. Топологические уровни на рисунке нанесе-
ны с шагом ∆Ψ = 0.01. Штриховая линия соответ-
ствует положению твердой границы, кружочками
обозначены положения мнимых вихревых нитей.
Видно, что линия Ψ = 0 близко подходит к по-
верхности трубы в области над действительным
вихрем. Однако она постепенно удаляется от по-
верхности по мере удаления от вихревого кольца.
Это свидетельствует о недостаточно точном реше-
нии гидродинамической задачи. Точность выпол-
нения граничных условий может быть существен-
но улучшена при увеличении количества мнимых
вихревых нитей и взаимном их сближении в ви-
хревом слое.
Рис. 4 иллюстрирует зависимость максимальной
ошибки εmax (сплошная линия) и среднеквадра-
Рис. 3. Распределение функции тока в течении
при выполнении граничного условия для скорости
системой мнимых вихревых нитей, ∆z = 0.3, M = 7
Рис. 4. Зависимость максимальной Emax и
среднеквадратичной Ecp ошибок выполнения
граничного условия для скорости от расстояния ∆z
между мнимыми вихрями при M = 5, 7, 10
тичной ошибки εcp (штриховая линия) от рассто-
яния ∆z между мнимыми вихревыми нитями для
M = 5, 7 и 10. Для каждого значения M существу-
ет оптимальное значение ∆z, при котором достига-
ются минимальные ошибки при выполнении гра-
ничного условия. Можно заметить, что при уве-
личении числа мнимых вихрей M в вихревом слое
уменьшается оптимальное значение ∆z.
А.А.Гуржий 31
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
Рис. 5. Схематическое изображение
пространственного положения вихрей и
последовательности контрольных точек при анализе
выполнения граничного условия для функции тока
2.2. Выполнение граничного условия для
функции тока системой вихревых нитей
Рассмотрим теперь аналогичную задачу, но с
граничными условиями для функции тока (9) на
твердой поверхности. Пусть, как и ранее, цилин-
дрическая поверхность имеет круговое поперечное
сечение радиуса R0, а вихревое кольцо радиуса Rv
с интенсивностью Γv расположено в Zv = 0 ци-
линдрической системы координат, как показано на
рис. 5. Введем систему 2M + 1 мнимых вихревых
нитей одинакового радиуса Rc с разными интен-
сивностями Γm, которые удалены друг от друга
на расстояние ∆z в осевом направлении.
Для определения интенсивностей Γm мнимых
вихрей выберем систему точек коллокации на по-
верхности цилиндра, которые обозначены на рис. 5
буквами A, B и т.д. с осевыми координатами (11)
при Z0 = 0.0. В этих точках накладываем условие
равенства нулю значения функции тока, наведен-
ной действительным вихревым кольцом и систе-
мой мнимых вихревых нитей, формирующих ви-
хревой слой. Принимая во внимание симметрию
задачи, получаем следующую систему линейных
алгебраических уравнений:
[Anm] Γm = Bn , n, m = −M, ..., M , (20)
где
[Anm] =
[(
2
knm
− knm
)
K(knm) −
2
knm
E(knm)
]
,
Bn =
√
Rv
Rc
[(
2
kn
− kn
)
K(kn) −
2
kn
E(kn)
]
(21)
Табл 2. Значения интенсивностей мнимых
вихревых нитей при выполнении граничных условий
для функции тока
m Положение, Zm Интенсивность, Γm
0 0.00 -0.78430
±1 ±0.30 0.02347
±2 ±0.60 0.01533
±3 ±0.90 0.01000
±4 ±1.20 0.00642
±5 ±1.50 0.00431
±6 ±1.80 0.00251
±7 ±2.10 0.00407
с обозначениями (13).
Очевидно, что в рассматриваемой задаче ком-
поненты скорости одиночного тонкого вихревого
кольца, находящегося внутри бесконечного цилин-
дра, вычисляются по формулам (14) и (15) с обо-
значениями (16).
Для проведения сравнительного анализа точно-
сти решения задачи рассмотрим вихревое кольцо
с параметрами, указанными в предыдущей части.
При решении системы алгебраических уравнений
(20), (21) получаем значения интенсивностей мни-
мых вихревых колец, которые приведены в табли-
це 2. Сравнение значений показывает, что вели-
чины интенсивностей Γm мнимых вихревых ни-
тей отличаются в обоих случаях только во втором-
третьем знаке после запятой.
Зависимость функции ε(z) представлена на
рис. 6. Видно, что наибольшая погрешность в
выполнении граничных условий для радиальной
компоненты скорости наблюдается как в области,
близлежащей к действительному вихрю, так и в
области, расположенной за пределами вихревого
слоя. При этом максимальное значение радиаль-
ной скорости оказывается примерно одного по-
рядка со значением, полученным при решении за-
дачи с использованием граничного условия для
скорости, рис. 2. Максимальная и среднеквадра-
тичная ошибки выполнения граничных условий
в рассматриваемой задаче принимают значения
εmax = 0.00586, εcp = 0.00175.
Распределение функции тока в области, бли-
злежащей к действительному вихрю, показано на
рис. 7 с топологическими уровнями ∆Ψ = 0.01.
Кружочками на рисунке обозначены положения
действительного и мнимых вихревых колец. Вы-
числения проводились для параметров (∆z = 0.3,
M = 7), которые аналогичны случаю решения за-
дачи с использованием граничного условия для
скорости. На рисунке видно, что линия тока Ψ = 0
32 А.А.Гуржий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
Рис. 6. Зависимость точности выполнение граничного
условия varepsilon(z) для функции тока системой
мнимых вихревых нитей при ∆z = 0.3, Rc = 1.2,
M = 7
Рис. 7. Распределение функции тока в течении при
выполнении граничного условия для функции тока
системой мнимых вихревых нитей, ∆z = 0.3, M = 7
принадлежит поверхности трубы на достаточно
большом осевом расстоянии от действительного
вихря в отличии от случая, рассмотренного ранее.
Рис. 8 иллюстрируeт зависимость максималь-
ной ошибки εmax (сплошная линия) и среднеква-
дратичной ошибки εcp (штриховая линия) при
изменении расстояния между мнимыми вихре-
выми нитями в слое для аналогичного набора
значений M , которые использовались на рис. 4.
Видно, что функция ошибок имеет минимумы
Рис. 8. Зависимость максимальной εmax и
среднеквадратичной εcp ошибок выполнения
граничного условия для функции тока от расстояния
∆z между мнимыми вихрями при M = 5, 7, 10
для каждого значения M . Сравнительный анализ
рис. 8 и 4 позволяет сделать вывод о том, что при-
веденные выше решения имеют практически оди-
наковые оптимальные значения ∆z, при которых
выполнение граничного условия осуществляется с
наименьшей вычислительной ошибкой.
2.3. Выполнение граничного условия для
скорости непрерывным вихревым слоем
Рассмотрим течение идеальной несжимаемой
жидкости внутри бесконечной прямолинейной
трубы радиуса R0 в цилиндрической системе ко-
ординат, связанной с осью симметрии течения
(рис. 9). Пусть вихревое кольцо радиуса Rv и ин-
тенсивности Γv находится в плоскости z = 0.
Для выполнения граничного условия рис. 10
введем непрерывный мнимый вихревой слой ра-
диуса Rc и длиной 2Lc. Из симметрии задачи сле-
дует, что распределение интенсивности Γ(ξ) ви-
хревого слоя, нормированное на единицу длины в
осевом направлении, представляет собой четную
функцию. Распределение интенсивности можно
разложить в ряд Фурье, ограничившись первыми
K слагаемыми ряда
Γ(ξ) =
1
2Lc
K
∑
k=1
Ak cos
πkξ
Lc
, Lc ≤ ξ ≤ Lc . (22)
Количество K слагаемых, длина вихревого слоя
Lc и его радиус Rc являются параметрами зада-
А.А.Гуржий 33
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
Рис. 9. Пространственное положение вихревого
кольца и мнимого вихревого слоя при анализе
выполнения граничного условия для скорости
чи. Их значение необходимо определить из тре-
бования наилучшего удовлетворения граничному
условию на внутренней поверхности трубы.
Радиальную компоненту скорости, наведенную
действительным вихревым кольцом в точке z на
поверхности трубы, можно представить в виде
U∗
r (z) = −ΓvFv(z) , (23)
где Fv(z) =
z
2πR0[Rmax]s
×
×
[
K(ks) − E(ks) −
2RvR0
[Rmin]2s
E(ks)
]
, (24)
с обозначениями (18).
В то же время, радиальная компонента скоро-
сти, наведенная вихревым слоем в той же точке,
определяется интегралом
Ur(z) =
Lc
∫
−Lc
Γ(ξ)Fc(z, ξ) dξ =
=
1
2Lc
∞
∑
k=1
Ak
Lc
∫
−Lc
Fc(z, ξ) cos
πkξ
Lc
dξ , (25)
где Fc(z, ξ) =
ξ − z
2πR0[Rmax]c
×
×
[
K(kc) − E(kc) −
2RvR0
[Rmin]2c
E(kc)
]
,
[Rmax]2c = (R0 + Rc)
2 + (z − ξ)2 ,
[Rmin]2c = (R0 − Rc)
2 + (z − ξ)2 , (26)
k2
c =
4R0Rc
[Rmax]2c
.
Заметим, что функции Ur(z) и U∗
r (z) являются не-
четными функциями своих аргументов.
Приравнивая к нулю сумму радиальных скоро-
стей, наведенных действительным вихревым коль-
цом (23) и мнимым вихревым слоем (25), получаем
равенство
1
2Lc
∞
∑
k=1
Ak
Lc
∫
−Lc
Fc(z, ξ) cos
πkξ
Lc
dξ = ΓvFv(z) . (27)
Для определения неизвестных коэффициен-
тов Ak умножим обе части выражения (27) на
sin[πnz/Lc] и проинтегрируем в пределах −Lc ≤
z ≤ Lc. В результате получаем линейную алге-
браическую систему уравнений
[Ank] Γk = Bn , n, k = 0, ..., K , (28)
где [Ank] =
1
2Lc
Lc
∫
−Lc
Lc
∫
−Lc
Fc(z, ξ) ×
× cos
πkξ
Lc
dξ sin
πnz
Lc
dz ,
Bn = Γv
Lc
∫
−Lc
Fv(z) sin
πnz
Lc
dz . (29)
Анализ показывает, что алгебраическая система
(28) имеет преобладающие по модулю диагональ-
ные элементы. Численное решение таких систем
уравнений может быть проведено с использовани-
ем стандартных вычислительных методов [27, 28].
Выражения для компонент скорости одиночно-
го тонкого вихревого кольца, находящегося вну-
три бесконечной трубы постоянного сечения, мож-
но представить в виде
Ur = 0 , (30)
Uz =
Γv
4πRv
(
ln
8Rv
av
−
1
4
)
+
+
1
2πLc
K
∑
k=1
Lc
∫
−Lc
Ak cos
2πξ
Lc
{
1
[R
(L)
max]
[
K(kL) −
−E(kL) +
2Rv(Rv − Rc)
[R
(L)
min]2
E(kL)
]}
dξ , (31)
где [R(L)
max]2 = (Rv + Rc)2 + ξ2 ,
[R
(L)
min]2 = (Rv − Rc)
2 + ξ2 ,
k2
L =
4RvRc
[R
(L)
max]2
. (32)
Радиальная компонента скорости одиночного
вихревого кольца равна нулю в силу симметрии
34 А.А.Гуржий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
Рис. 10. Распределение интенсивности завихренности
вдоль вихревого слоя при решении задачи с
использованием граничного условия для скорости
задачи. Первое слагаемое в (31) определяет са-
моиндуцированную скорость одиночного вихрево-
го кольца, а второе слагаемое описывает влияние
мнимого вихревого слоя.
Как и ранее, для проверки точности выполнения
граничных условий на поверхности введем по ана-
логии с выражением (17) функцию ошибки E(z)
выполнения граничного условия в виде разности
значений
E(z) = ΓvFv(z) −
−
1
2Lc
K
∑
k=1
Ak
Lc
∫
−Lc
Fc(z, ξ) cos
πkξ
Lc
dξ . (33)
Рассмотрим одиночное вихревое кольцо радиуса
Rv = 0.8 с интенсивностью Γv = 1.0, которое на-
ходится внутри бесконечной круговой трубы ра-
диуса R0 = 1.0. Изменение интенсивности вдоль
мнимого вихревого слоя для Rc = 1.2, Lc = 2.0
и K = 7 приведено на рис. 10. Распределение за-
вихренности обладает симметрией и представля-
ет собой знакопеременную функцию. Видно, что
наибольшей по модулю интенсивностью завихрен-
ности обладает область вихревого слоя, которая
ближе расположена к действительному вихрю.
Точность решения задачи можно количественно
проанализировать из зависимости распределения
функции ошибки ε(z) = E(z)/Umax на поверхно-
сти границы (рис. 11), где Umax – максимальное
значение скорости, наведенной вихревым кольцом
Рис. 11. Зависимость точности выполнение
граничного условия ε(z) для скорости мнимым
вихревым слоем при Lc = 2.0, Rc = 1.2, K = 7
(4), на границе. Максимальная ошибка имеет ме-
сто в области, близлежащей к действительному
вихрю, и на краях вихревого слоя. Аналогичная
особенность была отмечена в решении при исполь-
зовании системы мнимых вихревых нитей.
Исследования показывают, что при удовлетво-
рении граничных условий для скорости, значение
функции тока на твердой поверхности выполняе-
тся с точностью до некоторой постоянной, кото-
рую в рамках рассматриваемого метода решения
контролировать не удается. Рис. 12 иллюстрирует
распределение функции тока Ψ(r, z) с топологиче-
скими уровнями, построенными с эквидистантным
шагом ∆Ψ = 0.01. На рисунке действительный ви-
хрь обозначен кружком, а штриховой линией по-
казана поверхность цилиндра. Следует обратить
внимание на то, что функция тока имеет нулевое
значение только на оси течения.
Рис. 13 иллюстрирует зависимость изменения
максимального значения функции ε(z) на интер-
вале (|z| ≤ 6.0) от ширины вихревого слоя Lc
для различных значений K. Видно, что для лю-
бых значений K существует оптимальное значе-
ние Lc, при котором граничное условие для ско-
рости выполняется наилучшим образом. При уве-
личении числа слагаемых K в разложении интен-
сивности вихревого слоя оптимальное значение Ls
постепенно увеличивается.
А.А.Гуржий 35
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
Рис. 12. Распределение функции тока при
выполнении граничного условия для скорости
мнимым вихревым слоем при Lc = 2.0, Rc = 1.2,
K = 7
2.4. Выполнение граничного условия
для функции тока вихревым слоем
Рассмотрим теперь задачу о движении тонкого
осесимметричного вихревого кольца в бесконечной
круговой трубе в принятых ранее обозначениях и
применим граничное условие для функции тока на
твердой поверхности. Для выполнения гранично-
го условия (9) введем мнимый вихревой слой дли-
ной 2Lc неизменного радиуса Rc. Распределение
интенсивности Γ(ξ) вихревого слоя представляем
в виде тригонометрического ряда (22).
Вклад действительного вихревого кольца в зна-
чение функции тока в произвольной точке на по-
верхности трубы можно записать в виде
Ψ?(z) = ΓvGv(z) , (34)
где Gv(z) =
√
RvR0 ×
×
[(
2
ks
− ks
)
K(ks) −
2
ks
E(ks)
]
(35)
с использованием введенных ранее обозначений
(18).
В то же время, вклад в функцию тока со сто-
роны мнимого вихревого слоя определяется инте-
гралом
Ψr(z) =
1
2Lc
Lc
∫
−Lc
Γ(ξ)Gc(z, ξ) dξ =
Рис. 13. Зависимость максимальной εmax ошибки
выполнения граничного условия для скорости от
ширины вихревого слоя Lc для K = 5, 7, 10
=
1
2Lc
∞
∑
k=1
Ak
Lc
∫
−Lc
Gc(z, ξ) cos
πkξ
Lc
dξ , (36)
где Gc(z) =
√
RcR0 ×
×
[(
2
kc
− kc
)
K(kc) −
2
kc
E(kc)
]
(37)
с учетом обозначений (26).
В дальнейшем сумму значений функции тока
(34) и (36) на поверхности приравниваем к нулю.
В результате получаем равенство
1
2Lc
∞
∑
k=1
Ak
Lc
∫
−Lc
Gc(z, ξ) cos
πkξ
Lc
dξ = −ΓvGv(z). (38)
Для определения неизвестных коэффициентов
Ak необходимо сформировать линейную алгебраи-
ческую систему уравнений. Поскольку распреде-
ление функции тока на поверхности цилиндра
представляет собой четную функцию, домножим
обе части равенства (38) на cos[πnz/Lc] и проин-
тегрируем в пределах −Lc ≤ z ≤ Lc. В результате
получим систему линейных алгебраических урав-
нений
[Ank] Γk = Bn , n, k = 0, ..., K , (39)
где [Ank] =
1
2Lc
Lc
∫
−Lc
Lc
∫
−Lc
Gc(z, ξ) ×
× cos
πkξ
Lc
dξ cos
πnz
Lc
dz ,
36 А.А.Гуржий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
Рис. 14. Распределение интенсивности завихренности
вдоль вихревого слоя при решении задачи с
использованием граничного условия для функции
тока
Bn = Γv
Lc
∫
−Lc
Gv(z) cos
πnz
Lc
dz . (40)
Анализ значений элементов полученной системы
алгебраических уравнений показывает, что (39)
имеет доминирующие по модулю диагональные
элементы. Значения осевой Uz и радиальной Ur
скоростей одиночного тонкого вихревого кольца
определяется выражениями (30) и (31) с обозна-
чениями (32).
Для проведения сравнительного анализа точно-
сти решения гидродинамической задачи с полу-
ченными ранее другими решениями рассмотрим
аналогичный пример со следующими параметра-
ми: Rv = 0.8, Γv = 1.0, R0 = 1.0. Пусть вихревой
слой имеет Rc = 1.2 и Lc = 2.0. Рассмотрим реше-
ние, которое использует K = 7 слагаемых в ряде
(22).
Распределение интенсивности завихренности
вихревого слоя показано на рис. 14. Распределение
завихренности обладает симметрией и представ-
ляет собой знакопеременную функцию. По мере
удаления от плоскости z = 0 влияние действитель-
ного вихря уменьшается, в результате амплиту-
да пульсаций в распределении завихренности по-
степенно уменьшается. Сравнение результатов с
рис. 10 показывает, что обе зависимости оказыва-
ются достаточно близкими в средней части вихре-
вого слоя. Некоторые отличия в зависимостях на-
блюдаются на концах вихревого слоя: с увеличени-
ем z значение модуля завихренности Γ(ξ) слоя на
Рис. 15. Зависимость точности выполнение
граничного условия ε(z) для функции тока мнимым
вихревым слоем при Lc = 2.0, Rc = 1.2, K = 7
рис. 14 уменьшается в отличие от рис. 10, на кото-
ром заметно некоторое увеличение интенсивности
на краях вихревого слоя.
Точность выполнения граничного условия по
скорости в рассматриваемой задаче можно про-
анализировать после вычисления функции оши-
бок ε(z), показанной на рис. 15. Видно, что макси-
мальная ошибка по скорости имеет место в обла-
сти, близлежащей к действительному вихрю. По
мере удаления от вихря значение радиальной ско-
рости течения, в отличие от рассмотренного ранее
случая (рис. 11), уже стремится к нулю.
Распределение функции тока в области, бли-
злежащей к действительному вихрю, показано на
рис. 16, который выполнен по аналогии с рис. 12.
Топологические уровни на рисунке нанесены с ша-
гом ∆Ψ = 0.01. Кружочком на рисунке обозначе-
но положение действительного вихревого кольца,
а штриховой линией нанесена поверхность цилин-
дра. На рисунке видно, что линия Ψ = 0 принадле-
жит поверхности трубы на достаточно большом
расстоянии от действительного вихря, в отличие
от распределения функции тока, представленной
на рис. 12.
Численный анализ точности решения рассма-
триваемой задачи показывает, что с увеличени-
ем количества слагаемых K (22) в разложении
Γ(ξ) распределения интенсивности мнимого вихре-
вого слоя, точность выполнения граничных усло-
вий для скорости улучшается при равных прочих
условиях. Эту тенденцию можно проследить на
рис. 17, на котором показана зависимость измене-
А.А.Гуржий 37
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
Рис. 16. Распределение функции тока при
выполнении граничного условия для функции тока
мнимым вихревым слоем при Lc = 2.0, Rc = 1.2,
K = 7
ния максимального значения εmax на контрольном
интервале (|z| ≤ 6.0) от протяженности вихревого
слоя Lc. Из приведенных зависимостей видно, что
для любого значения K наблюдается оптималь-
ное значение длины Lc вихревого слоя, при кото-
ром достигаются минимальные локальные вычи-
слительные ошибки. Сравнение этих результатов
с аналогичными зависимостями на рис. 13, в ко-
торых использовалось граничное условие для ра-
диальной компоненты скорости, показывает, что
решение задачи с применением граничного усло-
вия для функции тока на внутренней поверхности
цилиндра является более точным.
3. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Каждое из четырех рассмотренных решений
имеет по три свободных параметра. В решениях с
системой мнимых вихревых нитей свободными па-
раметрами являются количество M вихревых ни-
тей, их радиус Rc и расстояние δz между вихрями.
В решениях с вихревым слоем независимыми па-
раметрами служат длина Lc вихревого слоя, его
радиус Rc и количество K слагаемых, использу-
емых в разложении Фурье распределения интен-
сивности завихренности вдоль вихревого слоя.
Исследования показывают, что в первом реше-
нии для заданного числа мнимых вихревых нитей
существует оптимальное значение расстояния ∆z
Рис. 17. Зависимость максимальной ошибки εmax
выполнения граничного условия для функции тока
от ширины вихревого слоя Lc для K = 5, 7, 10
между вихрями, при котором достигается наилу-
чшее выполнение граничных условий для ради-
альной компоненты скорости течения. Аналогич-
ная ситуация имеет место для второй группы ре-
шений: для заданного числа K слагаемых в ряде
Фурье разложения интенсивности завихренности
в вихревом слое существует оптимальное значение
длины Lc вихревого слоя, при котором наилучшим
образом выполняется граничное условие.
Для контроля точности вычислений проводился
анализ локального выполнения граничных усло-
вий. При этом использовались два критерия: ма-
ксимальное и среднеквадратичное значения нор-
мированной функций ошибки ε(z) на достаточ-
но большой протяженности L твердой поверхно-
сти в осевом направлении. Сравнение критери-
ев выполнения граничных условий в достаточно
широком диапазоне свободных параметров пока-
зывает, что решения, полученные с использовани-
ем граничных условий по скорости, не обеспечива-
ют нулевое значение функции тока на внутренней
поверхности в области, близлежащей к действи-
тельному вихрю (см. рис. 3 и 12) В то же время,
решения, полученные с применением граничного
условия для функции тока, обеспечивают хорошее
выполнение граничных условий для функции тока
(рис. 7 и 16). Количественный анализ локального
выполнения граничного условия позволяет заклю-
чить, что решение, сформированное для функции
тока с использованием последовательности дис-
кретных мнимых вихревых нитей, формирует то-
чное решение задачи о движении осесимметрично-
38 А.А.Гуржий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
Рис. 18. Зависимость оптимального расстояния
между вихрями ∆z от числа вихревых нитей M для
различных значений радиусов действительных
вихревых колец Rv
го вихревого кольца внутри бесконечной цилин-
дрической поверхности.
Рис. 18 иллюстрирует зависимость оптимально-
го расстояния между мнимыми нитями от числа
вихрей M в вихревом слое при минимальной сре-
днеквадратичной ошибке выполнения граничного
условия для различных значений радиуса Rv дей-
ствительного вихревого кольца при Rc = 1.2 и
K = 7. Видно, что при увеличении числа вихрей в
слое значение ∆z уменьшается. Если действитель-
ный вихрь близко расположен к поверхности, не-
обходимо при вычислениях выбирать малые зна-
чения ∆z. В целом, можно заметить общую тен-
денцию: при увеличении радиуса действительного
вихревого кольца значение оптимального рассто-
яния между мнимыми вихрями в слое становится
меньше. Однако в этой закономерности могут на-
блюдаться исключения (Rv = 0.8, штриховая ли-
ния на рис. 18), при которых наилучшее выпол-
нение граничных условий достигается при доста-
точно большом ∆z. Численные исследования по-
казывают, что для достаточно большого числа ви-
хрей в мнимом вихревом слое (M > (20...25)) опти-
мальное расстояние между вихрями практически
не зависит от радиуса действительного вихревого
кольца.
Рис. 19 демонстрирует зависимость минималь-
ного значения εmax от радиуса Rc вихревого слоя
для различных значений радиуса Rv действитель-
ного вихревого кольца при ∆z = 0.25 и K = 7.
Видно, что для каждого значения Rv существует
Рис. 19. Зависимость максимальной ошибки εmax
выполнения граничного условия для скорости от
радиуса мнимых вихревых нитей при различных
значениях радиусов действительных вихревых колец
такое значение Rc, при котором достигается наи-
лучшее выполнение граничного условия для ско-
рости. Чем ближе вихревое кольцо располагается
к поверхности цилиндра, тем ближе следует ра-
сполагать слой мнимых вихревых нитей. Однако
амплитуда функций ε(z) для широкого диапазона
значений Rv оказывается небольшой по сравнению
с величиной скорости, наводимой действительным
вихревым кольцом на твердой поверхности.
На рис. 20 показана зависимость максимальной
ошибки εmax выполнения граничного условия от
величины смещения Z0 системы вихревых нитей
(см. выражение (11)) для фиксированных значе-
ний параметров мнимого вихревого слоя: Rc = 1.2,
M = 9 и ∆z = 0.2. Наилучшее выполнение гра-
ничного условия достигается в тот момент, когда
осевые положения действительного вихря и одного
из мнимых вихрей совпадают. Наибольшая ошиб-
ка выполнения граничного условия имеет место в
тот момент, когда действительный вихрь находи-
тся посередине между мнимыми вихревыми нитя-
ми. Несмотря на то, что при этом максимальная
ошибка увеличивается максимум на порядок, по
абсолютному значению она не превышает 0.1% по
отношению к максимальному значению наведен-
ной скорости действительным вихревым кольцом
на границе течения.
Анализ точности выполнения граничных усло-
вий позволяет сделать вывод о том, что фикса-
ция пространственного положения мнимых вихре-
вых нитей не оказывает существенного влияния
А.А.Гуржий 39
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
Рис. 20. Зависимость εmax от осевого смещения Zc
вихревых нитей для различных значений радиусов
действительных вихревых колец Rv
на точность выполнения граничных условий. При
этом максимальная ошибка εmax выполнения гра-
ничного условия для радиальной компоненты ско-
рости течения остается приемлемой при решении
задачи о движении осесимметричного вихревого
кольца (или системы вихревых колец) внутри пря-
молинейной цилиндрической поверхности с круго-
вым поперечным сечением.
4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ВИХРЕВЫХ КОЛЕЦ
В ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ТРУБЕ
Решение задачи о движении системы N коа-
ксиальных вихревых колец в бесконечной круго-
вой трубе, заполненной идеальной несжимаемой
жидкостью, с использованием системы M непо-
движных коаксиальных вихревых нитей с посто-
янными радиусами Rc и переменными интенсивно-
стями Γm, может быть представлено в форме (6).
При этом изменяется выражение для функции U ,
которая должна учитывать влияние мнимых ви-
хревых нитей (или твердой поверхности). Таким
образом, уравнения движения системы N тонких
вихревых колец интенсивности Γi радиуса Ri, ма-
лым круговым поперечным сечением ai (ai << Ri)
и осевым положением Zi, i = 1, ..., N , в цилиндри-
ческой системе координат (r, z), связанной с осью
симметрии трубы радиуса R0, представляют со-
бой обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка:
dRα
dt
= −
1
ΓαRα
∂U
∂Zα
, (41)
dZα
dt
=
Γα
4πRα
(
ln
8Rα
aα
−
1
4
)
+
1
ΓαRα
∂U
∂Rα
, (42)
aαRα = const , i = 1, ..., N , (43)
с начальными условиями
Ri(0) = R0
i , Zi(0) = Z0
i ,
ai(0) = n0
i R
0
i , n0
i � 1 , (44)
где ni = ai/Ri – относительная толщина i-го ви-
хревого кольца.
В приведенных выражениях
U =
N
∑
i=1
N
∑
j=1
′
ΓiΓj
4π
√
RiRj ×
×
[(
2
kij
− kij
)
K(kij) −
2
kij
E(kij)
]
+
+
N
∑
i=1
M
∑
m=1
ΓiΓm
4π
√
RcRi ×
×
[(
2
k
(i)
m
− k(i)
m
)
K(k(i)
m ) −
2
k
(i)
m
E(k(i)
m )
]
, (45)
где k2
ij =
4RiRj
[R
(ij)
max]2
, [k(i)
m ]2 =
4RiRc
[R
(i)
max,m]2
,
[R(ij)
max]2 = (Ri + Rj)2 + (Zi − Zj)2 ,
[R(i)
max,m]2 = (Ri + Rc)2 + (Zi − Zm)2 ,
Zm = Zc + m∆z . (46)
Здесь Γm – интенсивности мнимых вихревых ни-
тей, которые определяются после решения ли-
нейной системы алгебраических уравнений (20) и
(21); Zc – ожидаемое среднеарифметическое осе-
вое положение системы действительных вихревых
колец.
В выражении (41) для радиальной составляю-
щей слагаемые под знаком суммы представляют
собой наведенное поле скорости со стороны дей-
ствительных вихрей. Твердая поверхность не ока-
зывает влияния на радиальную компоненту скоро-
сти в приближении идеальной жидкости. В выра-
жении (42) для осевой компоненты скорости пер-
вое слагаемое представляет собой самоиндуциро-
ванную скорость тонкого вихревого кольца [10,
26, 29], а второе слагаемое описывает наведенную
40 А.А.Гуржий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
компоненту скорости со стороны действительных
и мнимых вихревых колец.
Идеальная жидкость не испытывает сопротив-
ления своему движению со стороны прямолиней-
ной поверхности. По этой причине для системы
коаксиальных вихревых колец внутри бесконеч-
ного цилиндра с неизменным поперечным сечени-
ем должен выполняться закон сохранения импуль-
са вдоль оси движения. Этот инвариант движе-
ния следует непосредственно из структуры функ-
ции U в выражении (45). Учитывая симметрию
задачи, контурный интеграл от вектора скоро-
сти по поверхности цилиндра с возвращением на
его поверхность по бесконечному радиусу равен
нулю. Следовательно, суммарная интенсивность
всех мнимых вихрей равна нулю. В этом случае
функция U зависит лишь от разности Zi − Zj и,
следуя (41), получаем
N
∑
i=1
∂U
∂Zi
=
N
∑
i=1
ΓiRiṘi = 0 . (47)
Из приведенного выражения непосредственно сле-
дует равенство
P =
N
∑
i=1
ΓiR
2
i = const , (48)
которое представляет собой инвариант движения
системы вихревых колец с точностью до постоян-
ного множителя [10, 30].
Второй инвариант движения, соответствующий
закону сохранения кинетической энергии движе-
ния, можно получить, умножив уравнение (41) на
ΓiRiŻi, а уравнение (42) – на ΓiRiṘi. Определяем
разность полученных выражений
N
∑
i=1
{
Γ2
i Ri
(
ln
8Ri
ai
−
1
4
)
+
∂U
∂Ri
Ṙi +
∂U
∂Zi
Żi
}
= 0 .
(49)
Принимая во внимание условие сохранения объе-
ма завихренности (43) и отсутствие явной зависи-
мости функции U от времени, получаем уравнение
W =
N
∑
i=1
Γ2
i Ri
(
ln
8Ri
ai
−
7
4
)
+ U = const , (50)
выражающее закон сохрания кинетической энер-
гии колец. Слагаемое под знаком суммы в
(50) определяет энергию изолированных колец, а
функция U – энергию, связанную с взаимодей-
ствием действительных вихревых колец между со-
бой, и энергию, наведенную со стороны мнимых
вихревых нитей (или твердой поверхности) на дей-
ствительные вихревые кольца. Нетрудно показать,
что функция U при Ri → 0 или при Rc → ∞
асимптотически стремится к выражению (7) для
безграничной жидкости.
ВЫВОДЫ
Во многих прикладных задачах, связанных с
анализом процесса переноса скалярных полей
(примесей, температуры, солености и др.) вихре-
выми течениями в трубах, выдвигаются требова-
ния непрерывности и гладкости решения задач,
особенно в областях, в которых эффекты переноса
проявляются наиболее интенсивно. Такими обла-
стями в большинстве гидродинамических течений
являются области, прилегающие к вихрям и огра-
ничивающим поверхностям.
Именно это требование ограничивает примене-
ние других известных методов решения рассма-
триваемой задачи. Например, интегральный ме-
тод, основанный на построении функции Грина
[31], обеспечивает интегральное выполнение гра-
ничного условия. В результате получается реше-
ние, в котором имеются большие локальные ошиб-
ки при выполнении граничных условий. Однако
в решении интеграл по поверхности от радиаль-
ной компоненты скорости равен нулю. В резуль-
тате при анализе процессов переноса течениями
появляются вычислительные ошибки в областях,
прилегающих к границам. Вероятно, по этой же
причине не нашел должного применения в этих
задачах метод локальных дискретных особенно-
стей [14], который хорошо описывает поле скоро-
сти вдали от поврехностей и вносит бесконечные
скорости в точках коллокации на границах.
В работе рассмотрены четыре решения зада-
чи о движении одиночного тонкого осесимметри-
чного вихревого кольца внутри бесконечной ци-
линдрической полости, заполненной идеальной не-
сжимаемой жидкостью. Задача была решена ада-
птированным методом дискретных вихрей, кото-
рый предусматривает введение в рассматривае-
мое течение системы дополнительных мнимых ви-
хревых нитей (или мнимого вихревого слоя), уда-
ленных от поверхности на некоторое расстояние,
для удовлетворения граничного условия либо для
функции тока (9), либо для радиальной комто-
ненты (10) скорости течения. Анализ и сравнение
точности выполнения граничного условия на кон-
трольном участке поверхности показал, что реше-
ние, основанное на введении системы мнимых ви-
хревых нитей, позволяет сформировать решение,
которое обладает высокой точностью выполнения
А.А.Гуржий 41
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 26 – 42
граничного условия во всех точках контрольного
участка твердой поверхности.
Большое значение при формировании решений
имеет продолжительность вычислений. Решение
задачи для системы дискретных вихрей требует
компьютерного времени примерно на два порядка
меньше, чем решение для вихревого слоя. Это вы-
звано тем, что в задаче с мнимым вихревым сло-
ем формируется и решается линейная алгебраиче-
ская система, каждый элемент которой представ-
ляет собой интеграл от функции, содержащей пол-
ные эллиптические интегралы. В задаче с дискре-
тной системой вихревых нитей интегрирование не
проводится.
Таким образом, с позиций наилучшего выпол-
нения граничных условий и минимизации необхо-
димого процессорного времени для численного ре-
шения задачи наилучшим решением рассматрива-
емой задачи является подход, использющий сис-
тему фиксированных осесимметричных вихревых
нитей и граничные условия для функции тока на
ограничивающей течение поверхности.
Решение задачи методом дискретных вихрей по-
зволило представить уравнения движения систе-
мы точечных вихрей в бесконечной трубе, запол-
ненной идеальной жидкостью, в гамильтоновой
форме (по аналогии со случаем движения колец
в безграничной среде), из которой непосредствен-
но следуют закон сохранения импульса вдоль оси
движения и закон сохранения кинетической энер-
гии движения жидкости.
1. Helmholtz H. Integrale der hydrodynamischen glei-
chungen welche den wirbelbewegungen entspre-
chen // J. Reine angew. Math.– 1858.– 55.– P. 25-55.
2. Вилля Г. Теория вихрей.– М.,Л.: Гостехиздат,
1936.– 266 с.
3. Голубев В.В. Теория крыла аэроплана конечного
размаха.– М.: Гос.науч.-тех.издат, 1931.– 350 с.
4. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика.
Т.1.– М.Л.: Гостехиздат, 1932.– 224 с.
5. Жуковский Н.Е. Теоретические основы воздухо-
плавания / Собр.соч. Т.6.– М.,Л.: Гостехиздат,
1950.– 623 с.
6. Милович А.Я. Теория динамического взаимодей-
ствия тел и жидкости.– М.,Л.: Госэнергиздат,
1940.– 240 с.
7. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.–
М.: Мир, 1973.– 758 с.
8. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая
гидромеханика. Т.1.– М.: Физматгиз, 1963.– 583 с.
9. Ламб Г. Гидродинамика.– М.,Л.: Гостехиздат,
1947.– 928 с.
10. Мелешко В.В., Константинов М.Ю. Динамика ви-
хревых структур.– Киев: Наукова думка, 1993.–
279 с.
11. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинами-
ка.– М.: Мир, 1964.– 655 с.
12. Saffman P.G. Vortex Dynamics.– Cambridge:
Cambridge University Press, 1992.– 311 p.
13. Truesdell C. The kinematics of vorticity.– Bloomi-
ngton: Indiana Univ, 1954.– 232 p.
14. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные
методы в сингулярных интегральных уравнени-
ях.– М.: Наука, 1985.– 253 с.
15. Веретенцев А.Н., Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. О
построении дискретных вихревых моделей тече-
ний идеальной несжимаемой жидкости // Журн.
вычис. математики и мат.физики.– 1986.– Т.26,
N.1.– С. 103-113.
16. Горелов Д.Н. К выбору контрольных точек в ме-
тоде дискретных вихрей // Прикл. механика и
техн.физика.– 1990.– N.1.– С. 167-170.
17. Cottet G.-H., Konmoutsakos P.D. Vortex methods:
theory and practice.– Cambridge: Cambridge Univer.
Press, 2000.– 314 p.
18. Владимиров В.А., Рыбак Л.Я. Импульс и циркуля-
ция вихревых колец // Учен. запис. ЦАГИ.– 1978.–
Т.6. N5.– С. 111-115.
19. Liu C.H. Vortex simulation of unsteady shear flow
induced by a vortex ring // Computers and Fluids.–
2002.– 31.– P. 183-207.
20. Orlandi P., Verzicco R. Vortex rings impinging on
walls: axisymmetric and three-dimensional simulati-
ons // J. Fluid Mech.– 1993.– 256.– P. 615-646.
21. Swearingen J.D., Crouch J.D., Handler R.A. Dynami-
cs and stability of a vortex ring impacting a solid
boundary // J. Fluid Mech.– 1995.– 297.– P. 1-28.
22. Владимиров В.А., Тарасов В.Ф. Формирование ви-
хревых колец // Изв. Сиб. отд-ния АН СССР.–
1980.– N3.– С. 2-11.
23. Roberts P.L. A numerical and experimental study of
transition processes in an obstructed channel flow //
J. Fluid Mech.– 1994.– 260.– P. 185-209.
24. Yamada H., Kohsaka T., Yamabe H., Matsui T. Flow
field produced by vortex ring nead a plane wall // J.
Phys. Soc. Japan.– 1985.– 51, N5.– P. 1663-1670.
25. Jang I.-S., Chiba H., Watanabe S. Impact of a vortex
ring on a wall in high Reynolds number region // J.
Phys. Soc. Japan.– 1996.– 65, N.4.– P. 955-959.
26. Dyson F.W. The potential of an anchor ring // Phil.
Trans. Roy. Soc. London.– 1893.– 184.– P. 43-95.
27. Форсайт Дж., Малкольм М., Коулер К. Машинные
методы математических вычислений.– М.: Мир,
1980.– 210 с.
28. Atkinson K.E. An introduction to numerical ana-
lysis.– New York: Wiley, 1978.– 488 с.
29. Hicks W.M. On the mutual threading of vortex ri-
ngs // Proc. Roy. Soc. London.– 1922.– A102.–
P. 111-131.
30. Гуржий А.А., Константинов М.Ю., Мелешко В.В.
Взаимодействие коаксиальных вихревых колец в
идеальной жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ.–
1988.– N2.– С. 78-84.
31. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения мате-
матической физики.– М.: Наука, 1966.– 724 с.
42 А.А.Гуржий
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4680 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:01:51Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гуржий, А.А. 2009-12-18T11:26:11Z 2009-12-18T11:26:11Z 2008 Взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью / А.А. Гуржий // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 26-42. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4680 539.3 Рассматривается задача о взаимодействии системы осесимметричных вихревых колец с малым круговым поперечным сечением (вихревые кольца Дайсона) в бесконечной прямолинейной трубе с круговым поперечным сечением, которая заполнена идеальной несжимаемой жидкостью. В основу численно-аналитического решения положен метод дискретных особенностей, адаптированный к осесимметричным задачам. Для удовлетворения граничных условий на внутренней поверхности вводится либо последовательность мнимых вихревых нитей, либо мнимый вихревой слой. Распределение интенсивности мнимых вихревых структур определяется из условий либо равенства нулю радиальной компоненты скорости течения, либо равенствa константе значения функции тока. Для выявления наилучшего решения вводится ``функция невыполнения'' граничного условия по скорости, анализируется ее максимальное и среднее значения на внутренней поверхности трубы. Исследования показали, что наилучшей с точки зрения локального выполнения граничного условия по скорости и по продолжительности вычислений является метод решения, основанный на введении эквидистантной системы мнимых вихревых нитей одинакового радиуса с граничным условием для функции тока. Приводятся уравнения движения для системы тонких вихревых колец. Гамильтонова форма уравнений движения совпадает с уравнениями для коаксиальных вихревых колец в безграничном пространстве с гамильтонианом, учитывающим влияние границ. Показано, что эти уравнения обладают двумя инвариантами движения, которые соответствуют закону сохранения импульса движения вдоль оси трубы и закону сохранения кинетической энергии движения вихревых колец. Розглядається задача про взаємодiю системи вiсесиметричних вихрових кiлець з малим круговим поперечним перетином (вихровi кiльця Дайсона) в нескiнченнiй прямолiнiйнiй трубi з круговим поперечним перетином, яка заповнена iдеальною нестискуваною рiдиною. Для чисельно-аналiтичного розв'язка застосовано метод дискретних особливостей, адаптований до вiсесиметричних задач. Для задоволення граничних умов на внутрiшнiй поверхнi вводиться або послiдовнiсть уявних вихрових ниток, або уявний вихровий шар. Розподiл iнтенсивностi уявних вихрових структур визначається з умов або рiвностi нулю радiальної компоненти швидкостi течiї, або рiвностi константi значення функцiї току. Для виявлення найкращого розв'язку вводиться ``функцiя невиконання'' граничної умови по швидкостi, аналiзується її максимальне та середнє значення на внутрiшнiй поверхнi труби. Дослiдження показали, що найкращим з погляду локального виконання граничної умови по швидкостi i за тривалiстю обчислень є метод розв'язку, заснований на введеннi еквiдiстантной системи уявних вихрових ниток однакового радiусу з граничними умовами для функцiї току. Приводяться рiвняння руху для системи тонких вихрових кiлець. Гамiльтонова форма рiвнянь руху спiвпадає з рiвняннями для коаксiальних вихорових кiлець в безмежному просторi з гамiльтонiаном, що враховує вплив меж. Показано, що цi рiвняння мають два iнварiанти руху, якi вiдповiдають закону збереження iмпульсу руху уздовж осi труби i закону збереження кiнетичної енергiї руху вихрових кiлець. The problem on interaction of the system of axisymmetrical vortex rings with the small circular cross section (Dyson's vortex rings) in an unbounded rectilinear pipe with the circular cross section, which is filled by an ideal incompressible fluid, is considered. The method of discrete singularities is proposed for numeral-analytical solution, which adapted to the axisymmetrical problems. To satisfy boundary conditions on an internal surface one introduces either the sequence of imaginary vortex filaments or imaginary vortex layer. Distributing of intensity of imaginary vortex structures is determined from either equalities to the zero the radial velocity components of flow or equality to the constant the value of stream function. To detect the best solution one introduce ``failure function'' of boundary condition on velocity and analyses its maximal and overage values on an internal surface of the pipe. Researches shows that the solution based on an introduction the system of imaginary vortex filaments of identical radius with boundary condition for stream function is the best both from point of local satisfaction of boundary condition for velosity and from counting time interval. The equations of motion of the system of thin vortex rings are given. Hamiltonian form of equations of motion coincides with equation for coaxial vortex rings in unbounded space with hamiltonian, which takes into account the influence of boundaries. It is shown that these equations have two invariants of motion, which correspond to the momentum conservation law along the axis of the pipe and kinetic energy conservation law of vortex rings. ru Інститут гідромеханіки НАН України Взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью Interaction of axisymmetric vortex rings in an infinite pipe filled by an ideal uncompressible fluid Article published earlier |
| spellingShingle | Взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью Гуржий, А.А. |
| title | Взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью |
| title_alt | Interaction of axisymmetric vortex rings in an infinite pipe filled by an ideal uncompressible fluid |
| title_full | Взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью |
| title_fullStr | Взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью |
| title_full_unstemmed | Взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью |
| title_short | Взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью |
| title_sort | взаимодействие осесимметричных вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной идеальной жидкостью |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4680 |
| work_keys_str_mv | AT guržiiaa vzaimodeistvieosesimmetričnyhvihrevyhkolecvbeskonečnoitrubezapolnennoiidealʹnoižidkostʹû AT guržiiaa interactionofaxisymmetricvortexringsinaninfinitepipefilledbyanidealuncompressiblefluid |