Об автомодельно-аналитических решениях задач молекулярной и турбулентной диффузии вихря
Показано, что реализуемые в эксперименте автомодельные зависимости для азимутальной компоненты скорости и вертикальной компонеты завихренности имеют качественно схожую структуру с двумя автомодельно-аналитическими решениями для задачи турбулентной диффузии вихря. Турбулентность аппроксимируется инер...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2008
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4682 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об автомодельно-аналитических решениях задач молекулярной и турбулентной диффузии вихря / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 52-57. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4682 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46822025-02-09T17:34:39Z Об автомодельно-аналитических решениях задач молекулярной и турбулентной диффузии вихря On self-similar solutions for the problems of molecular and vortex turbulent diffusions Лукьянов, П.В. Показано, что реализуемые в эксперименте автомодельные зависимости для азимутальной компоненты скорости и вертикальной компонеты завихренности имеют качественно схожую структуру с двумя автомодельно-аналитическими решениями для задачи турбулентной диффузии вихря. Турбулентность аппроксимируется инерционным интервалом, для которого характерен квадратичный рост во времени коэффициента турбулентной диффузии. Сравниваются решения для турбулентной и молекулярной диффузии, соответствующие ненулевым первому и третьему моментам завихренности. Получено автомодельно-аналитическое решение задачи турбулентной диффузии вихря, соответствующее первому моменту, мгновенное распределение в котором имеет вид вихря Лэмба. Основное различие состоит только в том, что скорость вырождения такого вихря, согласно решению, пропорциональна t-3, в то время как вихря Озеена (молекулярная диффузия) - t-1. Сравнение второго решения для турбулентной диффузии с решением "диффузионной модели" компактного вихря (молекулярная диффузия) указывает на то, что и в этом случае имеет место качественное сходство (изолированный гауссиан), а скорости вырождения во времени, при достаточно больших его значениях, пропорциональны t-6 и t-2 соответственно для турбулентной и молекулярной диффузии вихря. Показано, що автомодельнi залежностi для азимутальної компоненти швидкостi та вертикальної компоненти завихореностi, якi реалiзуються в експериментi, мають якiсно подiбну структуру до двох автомодельно-аналiтичних розв'язкiв задачi про турбулентну дифузiю вихора. Турбулентнiсть апроксимується iнерцiйним iнтервалом, для якого характерне квадратичне зростання у часi коефiцiєнта турбулентної дифузiї. Порiвнюються розв'язки для турбулентної та молекулярної дифузiї, що вiдповiдають ненульовим першому та третьому моментам завихорености. Отриманий автомодельно-аналiтичний розв'язок турбулентної дифузiї вихора, що вiдповiдає першому моменту i має миттєвий розподiл у виглядi вихора Лемба. Рiзниця лише полягає у тому, що швидкiсть виродження його у часi, у вiдповiдностi до роз'вязку, пропорцiйна t-3, в той час як вихора Озеена (молекулярна дифузiя) - t-1. Порiвняння другого розв'язку для турбулентної дифузiї з розв'язком "дифузiйної моделi" компактного вихора (молекулярна дифузiя) вказує на те, що i в даному разi має мiсце якiсна схожiсть (iзольований гауссiан), проте швидкостi виродження у часi при достатньо великих його значеннях пропорцiйнi t-6 та t-2 вiдповiдно для турбулентної та молекулярної дифузiї. It has been shown that observed in laboratory experiments self-similar solutions for azimuthal velocity and vertical vorticity have structures that are similar with two self-similar-analitycal solutions for turbulent diffusion of vortex. The turbulence is approximated by it's inertial interval characterised by quadratic growth in time for turbulent coefficients. The solutions for turbulent and molecular diffusions that correspond to first and third vorticity momenta are compared. Obtained for the first time, a snap-shot for the turbulent diffusion solution that corresponds to first momentum looks like Lamb vortex. The difference is the decay rates: t-3 for turbulent diffusion and t-1 for molecular one (Oseen vortex). A comparison of second solution for turbulent diffusion with the solution of "diffusive model" (molecular diffusion) points out the similarity of the solutions again. For rather large values of time thier rates of decay are t-6 and t-2 correspondently for turbulent and molecular diffusion. 2008 Article Об автомодельно-аналитических решениях задач молекулярной и турбулентной диффузии вихря / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 52-57. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4682 301.17.15;301.07.13 ru application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Показано, что реализуемые в эксперименте автомодельные зависимости для азимутальной компоненты скорости и вертикальной компонеты завихренности имеют качественно схожую структуру с двумя автомодельно-аналитическими решениями для задачи турбулентной диффузии вихря. Турбулентность аппроксимируется инерционным интервалом, для которого характерен квадратичный рост во времени коэффициента турбулентной диффузии. Сравниваются решения для турбулентной и молекулярной диффузии, соответствующие ненулевым первому и третьему моментам завихренности. Получено автомодельно-аналитическое решение задачи турбулентной диффузии вихря, соответствующее первому моменту, мгновенное распределение в котором имеет вид вихря Лэмба. Основное различие состоит только в том, что скорость вырождения такого вихря, согласно решению, пропорциональна t-3, в то время как вихря Озеена (молекулярная диффузия) - t-1. Сравнение второго решения для турбулентной диффузии с решением "диффузионной модели" компактного вихря (молекулярная диффузия) указывает на то, что и в этом случае имеет место качественное сходство (изолированный гауссиан), а скорости вырождения во времени, при достаточно больших его значениях, пропорциональны t-6 и t-2 соответственно для турбулентной и молекулярной диффузии вихря. |
| format |
Article |
| author |
Лукьянов, П.В. |
| spellingShingle |
Лукьянов, П.В. Об автомодельно-аналитических решениях задач молекулярной и турбулентной диффузии вихря |
| author_facet |
Лукьянов, П.В. |
| author_sort |
Лукьянов, П.В. |
| title |
Об автомодельно-аналитических решениях задач молекулярной и турбулентной диффузии вихря |
| title_short |
Об автомодельно-аналитических решениях задач молекулярной и турбулентной диффузии вихря |
| title_full |
Об автомодельно-аналитических решениях задач молекулярной и турбулентной диффузии вихря |
| title_fullStr |
Об автомодельно-аналитических решениях задач молекулярной и турбулентной диффузии вихря |
| title_full_unstemmed |
Об автомодельно-аналитических решениях задач молекулярной и турбулентной диффузии вихря |
| title_sort |
об автомодельно-аналитических решениях задач молекулярной и турбулентной диффузии вихря |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4682 |
| citation_txt |
Об автомодельно-аналитических решениях задач молекулярной и турбулентной диффузии вихря / П.В. Лукьянов // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 52-57. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT lukʹânovpv obavtomodelʹnoanalitičeskihrešeniâhzadačmolekulârnojiturbulentnojdiffuziivihrâ AT lukʹânovpv onselfsimilarsolutionsfortheproblemsofmolecularandvortexturbulentdiffusions |
| first_indexed |
2025-11-28T19:10:25Z |
| last_indexed |
2025-11-28T19:10:25Z |
| _version_ |
1850062441796337664 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 52 – 57
УДК 301.17.15;301.07.13
ОБ АВТОМОДЕЛЬНО–АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ
ЗАДАЧ МОЛЕКУЛЯРНОЙ И ТУРБУЛЕНТНОЙ
ДИФФУЗИИ ВИХРЯ
П. В. Л У К Ь Я Н ОВ
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 11.03.2007 � Пересмотрено 22.07.2008
Показано, что реализуемые в эксперименте автомодельные зависимости для азимутальной компоненты скоро-
сти и вертикальной компонеты завихренности имеют качественно схожую структуру с двумя автомодельно-
аналитическими решениями для задачи турбулентной диффузии вихря. Турбулентность аппроксимируется инерци-
онным интервалом, для которого характерен квадратичный рост во времени коэффициента турбулентной диффу-
зии. Сравниваются решения для турбулентной и молекулярной диффузии, соответствующие ненулевым первому и
третьему моментам завихренности. Получено автомодельно-аналитическое решение задачи турбулентной диффузии
вихря, соответствующее первому моменту, мгновенное распределение в котором имеет вид вихря Лэмба. Основное
различие состоит только в том, что скорость вырождения такого вихря, согласно решению, пропорциональна t−3,
в то время как вихря Озеена (молекулярная диффузия) – t−1 . Сравнение второго решения для турбулентной диф-
фузии с решением "диффузионной модели"компактного вихря (молекулярная диффузия) указывает на то, что и в
этом случае имеет место качественное сходство (изолированный гауссиан), а скорости вырождения во времени, при
достаточно больших его значениях, пропорциональны t−6 и t−2 соответственно для турбулентной и молекулярной
диффузии вихря.
Показано, що автомодельнi залежностi для азимутальної компоненти швидкостi та вертикальної компоненти за-
вихореностi, якi реалiзуються в експериментi, мають якiсно подiбну структуру до двох автомодельно-аналiтичних
розв’язкiв задачi про турбулентну дифузiю вихора. Турбулентнiсть апроксимується iнерцiйним iнтервалом, для
якого характерне квадратичне зростання у часi коефiцiєнта турбулентної дифузiї. Порiвнюються розв’язки для
турбулентної та молекулярної дифузiї, що вiдповiдають ненульовим першому та третьому моментам завихорености.
Отриманий автомодельно-аналiтичний розв’язок турбулентної дифузiї вихора, що вiдповiдає першому моменту i має
миттєвий розподiл у виглядi вихора Лемба. Рiзниця лише полягає у тому, що швидкiсть виродження його у часi, у
вiдповiдностi до роз’вязку, пропорцiйна t−3 , в той час як вихора Озеена (молекулярна дифузiя) – t−1 . Порiвняння
другого розв’язку для турбулентної дифузiї з розв’язком "дифузiйної моделi"компактного вихора (молекулярна
дифузiя) вказує на те, що i в даному разi має мiсце якiсна схожiсть (iзольований гауссiан), проте швидкостi ви-
родження у часi при достатньо великих його значеннях пропорцiйнi t−6 та t−2 вiдповiдно для турбулентної та
молекулярної дифузiї.
It has been shown that observed in laboratory experiments self-similar solutions for azimuthal velocity and vertical vorticity
have structures that are similar with two self-similar-analitycal solutions for turbulent diffusion of vortex. The turbulence
is approximated by it’s inertial interval characterised by quadratic growth in time for turbulent coefficients. The solutions
for turbulent and molecular diffusions that correspond to first and third vorticity momenta are compared. Obtained for
the first time, a snap-shot for the turbulent diffusion solution that corresponds to first momentum looks like Lamb vortex.
The difference is the decay rates: t−3 for turbulent diffusion and t−1 for molecular one (Oseen vortex). A comparison of
second solution for turbulent diffusion with the solution of "diffusive model"(molecular diffusion) points out the similarity
of the solutions again. For rather large values of time thier rates of decay are t−6 and t−2 correspondently for turbulent
and molecular diffusion.
ВВЕДЕНИЕ
Многие вихри в морях и океанах имеют верти-
кальную ось вращения и простираются от дна до
свободной поверхности. Реже встречаются (из-за
сложности обнаружения) вихри внутри водной то-
лщи вдали от дна и от свободной поверхности. Их
природа связана с вертикальной стратификацией.
Когда сила Архимеда способна сдерживать стре-
мительный рост вихря в вертикальном направле-
нии под действием инерционной силы, то есть ко-
гда числа (вертикальные) Фруда меньше едини-
цы, то могут существовать компактные как в го-
ризонтальном, так и в вертикальном измерени-
ях области завихренности. Примерами таких ви-
хрей могут служить изолированные антициклони-
ческие бароклинные вихри, получившие название
“Meddy–Mediterranean eddy ” – компактные среди-
земноморские вихри в виде вращающихся соленых
линз. Такие вихри были обнаружены в несколь-
ких местах мировых океанов. Мак Довел и Росс-
би [1] наблюдали Meddy возле Багамов. Арми и
Зенк [2] обнаружили три таких вихря в Канар-
ском бассейне. Их размеры составляли по верти-
кали 500-800 м и по горизонтали 30-50 км. В рабо-
те [3] указано, что, попадая из Средиземного мо-
ря в Северную Атлантику, указанные вихри вов-
лекаются в более крупное мезомаштабное вихре-
вое поле, которое может их закручивать, а также
благодаря которому происходит адвекция Медди.
Россби [4] объясняет почему Медди довольно не-
52 c© П. В. Лукьянов, 2008
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 52 – 57
большие и имеют достаточно большую скорость:
горизонтальный сдвиг внешнего течения довольно
сильный, так что большие линзы вытягиваются на
части в каскад вихрей все более и более меньших
масштабов, для которых внешнее поле уже ста-
новится по сути однородным. Этим объясняется
то, что не было обнаружено очень больших среди-
земноморских вихрей: они претерпевают "насиль-
ственную смерть".
Из вышеизложенного следует, что в природе
могут существовать долгоживущие вихри компа-
ктной формы. Они, как правило, переносятся вне-
шним течением. Если масштаб компактного вихря
во много раз меньше масштаба течения, то можно
считать скорость течения постоянной.
Что же касается самих компактных вихрей, то
наличие гравитационного механизма подавления
вертикальных движений обуславливает их про-
странственную анизотропию: вертикальный мас-
штаб намного меньше горизонтального. Поэтому
не случайно понятие вихря у нас ассоциируется,
прежде всего, с вихрем, в котором основным дви-
жением частичек среды (воды, воздуха) оказыва-
ется вращение вокруг вертикальной оси. В недав-
но опубликованной работе [5] затронут вопрос о
важности вторичных течений в таких вихрях. В
частности, на основании численного решения не-
линейной задачи диффузии вихря в слое жидко-
сти было указано, что нелинейные эффекты суще-
ственны лишь для вихрей вблизи дна и только при
условии, что числа Фруда больше 0.25. Если же
начальный линейный вихрь находился, скажем, на
расстоянии 0.5 своей толщины от дна, то во время
диффузии такого вихря, даже если его начальная
толщина равна половине глубины слоя жидкости,
вторичные течения, а заодно нелинейные эффе-
кты, пренебрежимо малы. Здесь же речь пойдет
только о тех вихрях, кинетическая энергия вра-
щения которых относительно вертикальной оси во
много раз превосходит другие энергетические со-
ставляющие. Как следует из только что сказанно-
го, примеров таких вихрей может быть достато-
чное количество.
Цель данной работы можно определить как
сравнение автомодельно-аналитических решений
задач турбулентной и молекулярной диффузий
одиночного вихря. Предметом сравнения являю-
тся два частных решения задачи турбулентной
диффузии вихря. Актуальность данного вопроса
состоит в том, что создаваемые в лабораторных
условиях вихри имеют масштабы нескольких сан-
тиметров и вырождаются под действием молеку-
лярной диффузии, в то время как основным дис-
сипативным механизмом, при условии отсутствия
указанных выше других факторов, в морях и оке-
анах является турбулентная диффузия. Молеку-
лярная диффузия, хотя и имеет место, но прене-
брежимо мала по сравнению с турбулентной диф-
фузией.
Идея написать данную статью пришла по-
сле того, как было найдено второе частное
автомодельно-аналитическое решение задачи тур-
булентной диффузии вихря, и оказалось, что вме-
сте с первым решением [5] их автомодельные ча-
сти качественно описываются теми же функция-
ми, что и соответствующие им решения задач мо-
лекулярной диффузии [6]. Различия лишь коли-
чественные. Это послужило ответом на то, поче-
му многие из результатов лабораторных экспери-
ментов можно сравнивать с наблюдаемыми в при-
роде явлениями. Иными словами - данная работа
посвящена связи моделей турбулентной диффузии
вихря с моделью молекулярной диффузии.
1. ВТОРОЕ АВТОМОДЕЛЬНО-АНАЛИ-
ТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТУРБУ-
ЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ ВИХРЯ.
Все дальнейшие рассуждения основаны на огра-
ничениях правомощности пренебрежения втори-
чными течениями (радиальной и вертикальной со-
ставляющими), о которых сказано во введении.
Если рассматривать движение в цилиндрической
системе координат, то из трех компонент векто-
ра скорости существенной является лишь окру-
жная [5]:
Vr(r, z, t) = 0, Vθ(r, z, t) 6= 0, Vz(r, z, t) = 0, (1)
или в прямоугольной декартовой системе коорди-
нат:
Vx = − y
√
x2 + y2
Vθ, Vy =
x
√
x2 + y2
Vθ. (2)
Уравнения движения, описывающие такой тип
вихрей в условиях окружающей фоновой турбу-
лентности, постоянно присутствующей в морях и
океанах, получаются из общей системы уравнений
Рейнольдса в прилижении Буссинеска [5]. Для тех
задач, где влияние сил Кориолиса традиционно не
учитывается, уравнения движения для двух гори-
зонтальных компонент скорости имеют вид:
dVx
∂t
= − 1
ρ0
∂p
∂x
+ Kx(t)
∂2Vx
∂x2
+ Ky(t)
∂2Vx
∂y2
+ Kz
∂2Vx
∂z2
,
П. В. Лукьянов 53
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 52 – 57
dVy
∂t
= − 1
ρ0
∂p
∂y
+ Kx(t)
∂2Vy
∂x2
+
+Ky(t)
∂2Vy
∂y2
+ Kz
∂2Vy
∂z2
,
где (Vx, Vy), p – осредненные по достаточно боль-
шому промежутку времени значения горизонталь-
ных компонент вектора скорости, а также откло-
нения поля давления от состояния устойчивой вер-
тикальной стратификации. При этом для коэффи-
циентов турбулентной диффузии справедливо [5]:
Kx(t)
Kx(0)
=
Ky(t)
Ky(0)
=
χx(t)
χx(0)
=
χy(t)
χy(0)
= (1 + t2).
Используя уравнения (2) и производя операцию
ротора, легко показать, что два уравнения движе-
ния эквивалентны одному:
∂ωz
∂t
= Kx(t)
∂2ωz
∂x2
+ Ky(t)
∂2ωz
∂y2
+ Kz
∂2ωz
∂z2
, (3)
где
ωz =
(
∂Vy
∂x
− ∂Vx
∂y
)
.
Как было показано в работе [5], процессы гори-
зонтальной и вертикальной турбулентных диффу-
зий расщепляются, и справедливо соотношение
ωz = ωh
z · Z(z, t), (4)
где ωh
z , Z(z, t) – решения, описывающие соответ-
ственно процессы горионтальной и вертикальной
турбулентных диффузий.
Уравнение, описывающее турбулентную диф-
фузию вихря в горизонтальной плоскости, в по-
лярной системе координат имеет вид:
∂ωh
z
∂t
=
KL(t)
Re0
1
r
∂
∂r
r
∂ωh
z
∂r
. (5)
Решение этого уравнения ωh
z предсталяется как
ωh
z = taΩ,
где a – некая константа, определяемая из усло-
вия получения соответствующего автомодельного
уравнения:
d2Ω
dη2
+
(
1
η
+
3
2
η
)
dΩ
dη
+
3(n + 1)
2
Ω = 0, (6)
где η = t−1.5r - автомодельная переменная. Для
простоты в дальнейшем вместо ωh
z будет исполь-
зоваться привычное обозначение ωz.
Общее решение уравнения (6) есть ряд:
Ω =
∞
∑
k=1,3,...
Akηk−1, (7)
где
Ak+2 = − 3(k + n)
2(k + 1)2
Ak, k = 1, 3, ...
Как оказалось, одно из частных решений напо-
минает колонообразный вихрь [7]:
ωz =
ωo
ro
exp
(
−r2
r2
o
)
. (8)
Здесь ro – некая константа, которая имеет для
автомодельного решения конкретное значение. В
отличие от колонообразного вихря, который со-
ответствует двумерному течению с винтовой сим-
метрией, характеристики исследуемых вихрей, со-
гласно (4), есть также функции вертикальной ко-
ординаты.
Азимутальная скорость находится по формуле:
Vθ =
1
r
r
∫
0
rωzdr (9)
и описывается в случае колонообразного вихря (8)
следующим выражением:
Vθ =
ωo
2r
[
1 − exp
(
−r2
r2
o
)]
. (10)
Первый момент от завихренности (8) – цирку-
ляция – не равен нулю. Действительно,
I1 =
r
∫
0
rωzdr =
ωo
2
6= 0. (11)
Поэтому существует автомодельное решение, со-
ответствующее n = 1 в решении (7):
ΩI = ωo exp
[
−
(
3η
4
)2
]
. (12)
Вертикальная компонета завихренности в физи-
ческих переменных описывается выражением
ωI
z = ωot
−3 exp
(
−32
42
r2
t3
)
. (13)
Азимутальная компонента скорости, соответ-
ствующая соотношению (13), представляется в ви-
де
54 П. В. Лукьянов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 52 – 57
V I
θ =
8ωo
9r
[
1 − exp
(
−32
42
r2
t3
)]
, (14)
получающемся согласно формулы (9).
Напомним, что объект исследования – трехмер-
ный вихрь. Поэтому все его характеристики так-
же зависят и от вертикальной координаты, хотя
и процесс вертикальной диффузии происходит в
линейных задачах независимо от горизонтально-
го. Радиальная компонента завихренности ω3d
r в
рамках данной работы выражается формулой:
ω3d
r = −∂V 3d
θ
∂z
,
где V 3d
θ = VθZ(z, t) – полное решение, учитываю-
щее вертикальную диффузию вихря.
Поэтому решения для радиальной компонен-
ты завихренности ωr = ω3d
r /Z(z, t), описывающие
процесс горизонтальной турбулентной диффузии
вихря, будут теми же, что и для Vθ.
2. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧАСТНЫХ
РЕШЕНИЙ
Для определения скорости вырождения Vθ ра-
зложим соответствующее выражение в ряд:
V I
θ =
8ωo
9r
(
9
16
r2
t3
− 92
162
r4
2t6
+ ...
)
=
ωor
2t3
+ ... (15)
Видно, что вырождение всех кинематических
характеристик в вихре асимптотически пропорци-
онально закону t−3. На рис. 1 можно найти под-
тверждение этой зависимости. Эти результаты по-
лучены согласно решению задачи Коши в декар-
товых координатах (подробно в [5]) для размеров
области, в 40 раз превышающей начальный мас-
штаб вихря и являющейся по сути приближением
бесконечного пространства.
В разделе обзорной статьи [6], посвященном
лабораторному исследованию структуры вихрей,
отмечено, что структура вихря может быть двух
типов: suction vortex и stirring vortex. Вихрь, у ко-
торого часть жидкости локально уносится через
сток, suction vortex, хорошо аппроксимируется ви-
хрем Лэмба:
v(r)I =
Γ
2πr
[
1 − exp(−r2/λ2)
]
, (16)
ω(r)I =
Γ
πλ2
exp(−r2/λ2), (17)
Рис. 1. Зависимость амплитуды завихренности от
времени: сплошная линия соответствует закону t−3, *
– численной модели
где λ = 2
√
νt, V(r), ω(r) – азимутальная скорость
и вертикальная компонента завихренности.
Вихрь, получающийся путем размешивания, sti-
rring vortex, аппроксимируется изолированным га-
уссианом:
v(r)II =
1
2
r exp(−1
2
r2), (18)
ω(r)II = (1 − 1
2
r2) exp(−1
2
r2). (19)
Сравним теперь функциональные зависимости
(18), (19) с соответствующими решениями для
турбулентной диффузии вихря (10), (13). Распре-
деление завихренности (17) качественно схоже с
выражением (13), которое представлено на рис.
2 для безразмерного момента времени, равного
1. Различие обуславливается лишь заданием вре-
менных зависимостей, что дает для турбулентной
диффузии вихря, вместо закона t−1 для молеку-
лярной диффузии, закон t−3. Это подтверждает
более быстрый характер вырождения возмущений
во времени и в пространстве. Те же слова справе-
дливы и для сравнения функциональных зависи-
мостей скорости (14), (16). Если разложить выра-
жение (16) в ряд, подобный (15), то получим:
v(r)I =
Γr
2πλ2
+ ... =
Γr
8πνt
+ ..., (20)
то есть линейная скорость, так же как и завихрен-
ность, убывает при больших t пропорционально
t−1.
П. В. Лукьянов 55
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 52 – 57
Рис. 2. Автомодельные составляющие вертикальной
компоненты завихренности в момент безразмерного
времени t = 1. It
1 – соответствует первому моменту
для турбулентной диффузии, It
3, I
m
3 – третьему
моменту для турбулентной и молекулярной
диффузии соответственно
Сравним теперь автомодельные части решений,
соответствующие ненулевому третьему моменту
от завихренности. Они описываются гауссианом
[6], называемым также изолированным гауссианом
[8]. Автомодельная часть решения задачи турбу-
лентной диффузии имеет вид [5]:
ΩII = (1 − 3
4
η2) exp
(
−3
4
η2
)
, (21)
V II
θ =
3
4
exp
(
−3
4
η2
)
. (22)
Решение задачи молекулярной диффузии опи-
сывается соответственно формулами (16)–(17), в
которых вместо r нужно использовать автомо-
дельную переменную ξ.
Сравнение зависимостей (16)-(17) c (21)-(22) по-
казывает, что автомодельные составляющие ре-
шений задач турбулентной и молекулярной диф-
фузий практически идентичны, за исключением
множителя при автомодельной переменной. В ав-
томодельных переменных вихрь, находящийся в
условиях фоновой турбулентности, имеет ядро,
приблизительно на 25% меньшее, чем в лабора-
торных условиях, где указанная турбулентность
отсутствует (см. рис. 2). Общим оказывается то,
что отношение полного радиуса вихря к радиусу
его ядра, в случае компактного вихря, – величина
универсальная и не зависит от процесса будь то
молекулярной или турбулентной диффузии. Это
Рис. 3. Автомодельные составляющие радиальных
распределений азимутальных скоростей в момент
безразмерного времени t = 1
(обозначения – см. рис. 2)
свойство, как теперь стало очевидным, позволяло
сравнивать результаты лабораторных эксперимен-
тов с природными данными.
Распределение азимутальной скорости и ради-
альной компоненты завихренности, приведенные
на рис. 3, свидетельствуют о некомпактности по-
лей указанных характеристик для решения, соо-
тветствующего первому ненулевому моменту зави-
хренности.
В работе [5] показано, что при турбулентной
диффузии изолированного гауссиана скорость его
вырождения пропорциональна t−6. Для сравнения
с аналогичным решением диффузионной модели
приведем решение для задачи Коши, соответству-
ющее начальному распределению suction vortex и
stirring vortex (18)-(19) согласно [8]:
ωm
z (z, t) =
1
π1/2 (2Λ2 + (4/Re)t)
1/2
(1 + (4/Re)t)2
×
× exp
(
− z2
2Λ2 + (4/Re)t
)
exp
(
− r2
1 + (4/Re)t
)
.
В последнем выражении Λ – отношение вер-
тикального масштаба вихря к горизонтальному.
Приведенное решение соответствует также на-
чальному раcпределению завихренности по коор-
динате z в виде exp(−z2/2Λ2).
Как видно из приведенного выражения для ωm
z ,
в случае молекулярной диффузии компактного
вихря (изолированный гауссиан) для достаточ-
но больших значений времени t поля кинема-
56 П. В. Лукьянов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 52 – 57
тических характеристик вырождаются со скоро-
стью пропорциональной t−5/2. При этом t−0.5 со-
ответствует части решения, описывающего диф-
фузию в вертикальном направлении. А скорость
диффузии в горизонтальной плоскости, пропор-
циональна t−2. Это также гораздо медленнее,
чем для турбулентной диффузии (t−6). При этом
"кубическое"(t−6 = (t−2)3) соотношение одинако-
во как и в случае другого автомодельного решения
(t−3 == (t−1)3).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ
Возникает вопрос о том, существует ли исследо-
ванное подобие для других режимов турбулентно-
сти в морях и океанах. Ведь известны [9, 10] еще
два других режима турбулентности – линейный
(происходящий вначале) и режим развитой тур-
булентности или броуновского движения (после-
дний). Для линейного режима коэффициент тур-
булентной диффузии K пропорционален времени
K ∼ t, а для броуновского – K = const. Очевидно,
что для режима броуновского движения получи-
тся решение, аналогичное молекулярной диффу-
зии. Отличие будет лишь в том, что вертикаль-
ный и горизонтальный коэффициенты турбулен-
тной диффузии будут иметь разные по величине
значения [11]. Что касается линейного режима, то
найти автомодельное решение для него несложно.
Однако [10] этот режим очень быстро заканчива-
ется, да и пространственная анизотропия там еще
четко не выражена, а, следовательно, все три ком-
поненты скорости (и завихренности) в вихре бу-
дут присутствовать. На этом этапе турбулентная
область состоит из множества вихрей. В данной
же работе проведено по сути сравнение образо-
вавшейся когерентной (долгоживущей) структуры
в виде одиночного вихря, окруженного фоновой
турбулентностью. Такие вихри и наблюдаются в
реальных условиях морей и океанов. В целом по
данной работе можно сделать следующие выводы:
1. Приведено полученное впервые автомодель-
но-аналитическое решение задачи турбулентной
диффузии вихря, соответствующее ненулевому
первому моменту завихренности. Это решение со-
гласуется с инерционным масштабом турбулентно-
сти, типичном для горизонтальной диффузии ви-
хрей в морях и океанах.
2. Оказалось, что полученные в данной рабо-
те и ранее автомодельно-аналитические решения
турбулентной диффузии качественно очень схожи
с наблюдающимися в лабораторных эксперимен-
тах и описывающимиcя с помощью модели моле-
кулярной диффузии двумя типами вихрей – ви-
хрем со стоком на оси вращения и вихрем, полу-
ченным путем размешивания жидкости. В автомо-
дельных координатах эти решения описываются
одинаковыми функциональными зависимостями,
у которых лишь различные коэффициенты при
независимых переменных. В автомодельных пе-
ременных ядро вихря, вырождающегося под дей-
ствием фоновой турбулентности, приблизительно
на 25% меньше, чем у соответствующего ему вихря
в лабораторных экспериментах, динамика которо-
го описывается моделью молекулярной диффузии.
Основным отличием указанных решений являю-
тся временные зависимости: в условиях фоновой
турбулентности вихри вырождаются со скоростя-
ми t−3 и t−6 соответственно у вихря типа стока и
вихря, полученного перемешиванием. Это гораздо
быстрее, чем у их аналогов , -t−1 и t−2, в случае
молекулярной диффузии.
3. Приведенное сравнение решений молекуляр-
ной и турбулентной диффузии вихря дает утвер-
дительный ответ на вопрос о возможности каче-
ственного описания лабораторными моделями ря-
да процессов, происходящие в морях и океанах.
1. McDowell S., Rossby T. Mediterranean Water: An
intense mesoscale eddy off the Bahamas. // Science.–
1978.– 202.– P. 1085-1087.
2. Armi L., Zenk W. Large lenses of highly saline Meddi-
terranean Water // J.Phys. Oceanogr.– 1985.– 14.–
P. 1560-1576.
3. Ruddick Barry R. Anticyclonic Lenses in Large-Scale
Strain and Shear // J.Phys. Oceanogr.– 1987.– 17.–
P. 741-749.
4. Rossby T. Eddies in Marine Science.– Ed. by A.R.
Robinson: , 1982.– p.
5. Лукьянов П.В. Диффузия изолированного квази-
двумерного вихря в слое устойчиво стратифици-
рованной жидкости // Прикл. гидромех.– 2006.–
т. 8 (80) N3.– С. 63-77.
6. Hopfinger E.J., Heijst G.J.F. van. Vorticies in rotati-
ng fluids // Annu. Rev. Fluid Mech.– 1993.– V. 25.–
P. 241-89.
7. Окулов В.Л., Наумов И.В., Соренсен Д.Н. Вихре-
вой триплет. // Докл. Российск. Академии наук.–
2006.– Т.409, N 3.– С. 333-337.
8. Beckers M., Verzicco R., Clercx H.J.H. and Heijst
G.J.F. van. Dynamics of pancake-like vorticies in a
stratified fluid: experiments, model and numerical si-
mulations // J.Fluid Mech.– 2001.– V. 433.– P. 1-27.
9. Окубо А., Озмидов Р.В. Эмпирическая зави-
симость коэффициента горизонтальной турбулен-
тной диффузии в океане от масштаба явления //
ФАО.– 1970.– Т. VI N5.– С. 534-536.
10. Монин А.С. О взаимодействии между вертикаль-
ной и горизонтальной диффузией примесей в мо-
ре // Океанология.– 1969.– т.9, N1.– С. 76-81.
11. Озмидов Р.В. Диффузия примесей в океане.– M.:
Гидрометеоиздат, 1986.– 280 с.
П. В. Лукьянов 57
|