Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления

Исследуется устойчивость кровеносного сосуда при распространении пульсовых волн на основе уравнений потенциального движения жидкости и уравнений Кирхгофа-Лява движения цилиндрической оболочки с учетом геометрической нелинейности. Рассматриваются татическое состояние, обусловленное трансмуральным дав...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Селезов, И.Т., Лукомский, Д.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2008
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4684
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления / И.Т. Селезов, Д.В. Лукомский // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 65-69. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4684
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46842025-02-09T14:29:49Z Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления Pressure pulse wave propagation in blood vessel past threshold value of transmural pressure Селезов, И.Т. Лукомский, Д.В. Исследуется устойчивость кровеносного сосуда при распространении пульсовых волн на основе уравнений потенциального движения жидкости и уравнений Кирхгофа-Лява движения цилиндрической оболочки с учетом геометрической нелинейности. Рассматриваются татическое состояние, обусловленное трансмуральным давлением, и возмущенное движение относительно этого состояния. На этой основе выведено и анализируется дисперсионное уравнение. Установлена область распространения волн с отрицательной групповой скоростью и показана возможность нового неустойчивого состояния. Дослiджується стiйкiсть кровоносної судини при розповсюдженнi пульсових хвиль на основi рiвнянь потенцiального руху рiдини i рiвнянь Кiрхгофа-Лява руху цилiндричної оболонки з урахуванням геометричної нелiнiйностi. Розглядаються статичний стан, обумовлений трансмуральним тиском, i збурений рух вiдносно цього стану. На цiй основi виведено i аналiзується дисперсiйне рiвняння. Встановлена область розповсюдження хвиль з вiд'ємною груповою швидкiстю i показанa можливiсть нестiйкого стану. The stability of blood vessel is investigated under the pulse wave propagation on the basis of the equations of potential fluid motion and on the Kirchhoff-Love equations of cylindrical shell motion with taking into account the geometrical nonlinearity. The static state due to a transmural pressure and the disturbed motion with respect to this state are considered. It is discovered a region of wave propagation with a negative group velocity and it is shown the possibility of unstable state. 2008 Article Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления / И.Т. Селезов, Д.В. Лукомский // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 65-69. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4684 531/534:57 ru application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Исследуется устойчивость кровеносного сосуда при распространении пульсовых волн на основе уравнений потенциального движения жидкости и уравнений Кирхгофа-Лява движения цилиндрической оболочки с учетом геометрической нелинейности. Рассматриваются татическое состояние, обусловленное трансмуральным давлением, и возмущенное движение относительно этого состояния. На этой основе выведено и анализируется дисперсионное уравнение. Установлена область распространения волн с отрицательной групповой скоростью и показана возможность нового неустойчивого состояния.
format	Article
author	Селезов, И.Т. Лукомский, Д.В.
spellingShingle	Селезов, И.Т. Лукомский, Д.В. Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления
author_facet	Селезов, И.Т. Лукомский, Д.В.
author_sort	Селезов, И.Т.
title	Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления
title_short	Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления
title_full	Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления
title_fullStr	Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления
title_full_unstemmed	Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления
title_sort	распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2008
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4684
citation_txt	Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления / И.Т. Селезов, Д.В. Лукомский // Прикладна гідромеханіка. — 2008. — Т. 10, № 4. — С. 65-69. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT selezovit rasprostraneniepulʹsovyhvolndavleniâvkrovenosnomsosudezaporogovymznačeniemtransmuralʹnogodavleniâ AT lukomskijdv rasprostraneniepulʹsovyhvolndavleniâvkrovenosnomsosudezaporogovymznačeniemtransmuralʹnogodavleniâ AT selezovit pressurepulsewavepropagationinbloodvesselpastthresholdvalueoftransmuralpressure AT lukomskijdv pressurepulsewavepropagationinbloodvesselpastthresholdvalueoftransmuralpressure
first_indexed	2025-11-26T20:52:44Z
last_indexed	2025-11-26T20:52:44Z
_version_	1849887685446991872
fulltext	КОРОТКI ПОВIДОМЛЕННЯ ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 65 – 69 УДК 531/534:57 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПУЛЬСОВЫХ ВОЛН ДАВЛЕНИЯ В КРОВЕНОСНОМ СОСУДЕ ЗА ПОРОГОВЫМ ЗНАЧЕНИЕМ ТРАНСМУРАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ И. Т. СЕ Л ЕЗО В∗, Д. В. Л УК О МСК И Й∗∗ ∗Институт гидромеханики НАН Украины, ∗∗Национальный медицинский университет им. Богомольца, Киев Получено 23.04.2008 Исследуется устойчивость кровеносного сосуда при распространении пульсовых волн на основе уравнений потен- циального движения жидкости и уравнений Кирхгофа-Лява движения цилиндрической оболочки с учетом геоме- трической нелинейности. Рассматриваются статическое состояние, обусловленное трансмуральным давлением, и возмущенное движение относительно этого состояния. На этой основе выведено и анализируется дисперсионное уравнение. Установлена область распространения волн с отрицательной групповой скоростью и показана возмож- ность нового неустойчивого состояния. Дослiджується стiйкiсть кровоносної судини при розповсюдженнi пульсових хвиль на основi рiвнянь потенцiального руху рiдини i рiвнянь Кiрхгофа-Лява руху цилiндричної оболонки з урахуванням геометричної нелiнiйностi. Розгля- даються статичний стан, обумовлений трансмуральним тиском, i збурений рух вiдносно цього стану. На цiй основi виведено i аналiзується дисперсiйне рiвняння. Встановлена область розповсюдження хвиль з вiд’ємною груповою швидкiстю i показанa можливiсть нестiйкого стану. The stability of blood vessel is investigated under the pulse wave propagation on the basis of the equations of potential fluid motion and on the Kirchhoff-Love equations of cylindrical shell motion with taking into account the geometrical nonlinearity. The static state due to a transmural pressure and the disturbed motion with respect to this state are considered. It is discovered a region of wave propagation with a negative group velocity and it is shown the possibility of unstable state. ВВЕДЕНИЕ Исследование распространения волн в жидко- сти, находящейся в тонкой упругой цилиндриче- ской оболочке, давно было предметом многочи- сленных исследований в связи с обширными при- ложениями в различных областях [3, 11, 12]. Это относится также и к гемодинамике в связи с фи- зиологическим аспектом задачи о распростране- нии пульсовых волн давления в кровеносных сосу- дах [2, 4, 10, 20, 21]. Вопросам устойчивости крове- носных сосудов посвящены работы [13 – 17]. В дан- ном сообщении рассматривается система, состоя- щая из упругой цилиндрической оболочки, запол- ненной невязкой несжимаемой жидкостью и на- ходящейся под действием постоянного давления, которое называется трансмуральным в кровено- сном сосуде. Рассмотрение проводится на осно- ве уравнений движения оболочки при конечных прогибах (геометрически нелинейная теория Кар- мана) и уравнений движения невязкой несжимае- мой жидкости в оболочке в цилиндрической систе- ме координат. Система линеаризуется относитель- но статического равновесного cостояния. На этой основе установлена область распространения волн с отрицательной групповой скоростью и показана Рис. 1. Упругая изотропная цилиндрическая оболочка, заполненная жидкостью возможность нового неустойчивого состояния. 1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ Рассматривается упругая изотропная цилин- дрическая оболочка, заполненная идеальной не- сжимаемой жидкостью (pис. 1), что позволяет вве- сти потенциал скоростей ϕ по формуле ~v = ~5ϕ, где ~v – вектор скорости, ~5 – оператор градиента. Предполагается, что связь напряжения с дефор- c© И. Т. Селезов, Д. В. Лукомский, 2008 65 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 65 – 69 мацией в оболочке описывается линейным зако- ном Гука, но учитывается геометрическая нели- нейность деформации, так что радиальное пере- мещение (прогиб) ξr может превышать толщину стенки d. Движение оболочки в этом случае опи- сывается уравнениями Кирхгофа-Лява с учетом геометрической нелинейности по Карману. Дви- жения жидкости и оболочки полагаем осесимме- тричными относительно оси x. Математическая постановка соответствующей задачи гидроупругости в цилиндрической системе координат r, θ, x представляется уравнением Ла- пласа для потенциала скоростей ϕ(r, x, t): ∂2ϕ ∂r2 + 1 r ∂ϕ ∂r + ∂2ϕ ∂x2 = 0 r < 1, (1) и уравнениями теории гибких оболочек для про- дольного и радиального перемещений ξx(x, t) и ξr(x, t) [1, 6]: 1 c2 ‖ ∂2ξx ∂t2 − ∂2ξx ∂x2 − σ a ∂ξr ∂x + FNL1 = 0, (2) 1 c2 ‖ ∂2ξr ∂t2 + ξr a2 + σ a ∂ξx ∂x + + d2 12 ∂4ξr ∂x4 + FNL1 = 1 − σ2 E P \|r=a, (3) где c\|\| = √ E ρm (1 − σ2) – скорость продольных волн [9], FNL1 = − 1 2 ∂ ∂x ( ∂ξr ∂x )2 , FNL2 = σ 2a [ ( ∂ξr ∂x )2 + ∂2 ∂x2 ξ2 r ] − ∂ ∂x ( ∂ξr ∂x ∂ξx ∂x ) , σ – коэффициент Пуассона; E – модуль Юнга ма- териала оболочки; ρm – плотность материала обо- лочки; d – толщина; a – радиус срединной поверх- ности оболочки; ξr и ξx – радиальное и продольное перемещения оболочки от положения равновесия (pис. 1); P – давление жидкости на стенку оболоч- ки в радиальном направлении, которое определя- ется формулой [5, 8] P = P0 − ρfu2 0 2 − ρf ( ∂ϕ ∂t + u0 ∂ϕ ∂x ) − − ρf 2 [ ( ∂ϕ ∂x )2 + ( ∂ϕ ∂r )2 ] при r = a. (4) Здесь ρf – плотность жидкости; u0 – скорость течения. Кинематическое условие на стенке оболочки за- писывается в виде: ∂ϕ ∂r = ∂ξr ∂t + ∂ξr ∂x при r = a. (5) В дальнейшем вводятся безразмерные величины (звездочки опускаются) ξx = aξ∗x, ξr = aξ∗r , x = ax∗, r = ar∗, t = a vm t∗, k = 1 a k∗, ω = νm a ω∗, Ptr = ρfν2 mP ∗ tr, u0 = νmu∗ 0, ϕ = aνmϕ∗, (6) где k – волновое число; ω – частота колеба- ний; Ptr – трансмуральное давление, отвечаю- щее начальному напряженному состоянию трубки; νm = √ Ed 2ρfa – скорость распространения волн в тонкой цилиндрической трубке с жидкостью (ско- рость Моэнса-Кортевега) [4, 10]. Сначала рассматривается статическая задача под действием внутреннего трансмурального дав- ления Ptr. На фоне полученных стационарных однородных деформаций и течения со скоростью u0 вводятся малые возмущения, что позволяет ли- неаризовать уравнения (2), (3) и выражение для давления (4). Решения уравнений (1)–(3) представляются в виде бегущих волн: ϕ (r, x, t) = Aϕ (r) ei(kx−ωt), {ξr(x, t), ξx(x, t)} = {Br , Bx}e i(kx−ωt). (7) После подстановки решений (7) в уравнения (2), (3), (5) получаем условие разрешимости задачи (существования бегущих волн): нетривиальные ре- шения существуют, если определитель однородной системы равен нулю, т. е. получаем в терминах те- ории волн дисперсионное уравнение, связывающее ω и k. 2. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ НЕЛИНЕЙНО- ДИСПЕРСИОННЫХ ЭФФЕКТОВ НА РАС- ПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН Как было показано в [7], закон дисперсии ω (k) при u0 = 0 для распространения волн в такой сре- де может быть найден в явном виде: 66 И. Т. Селезов, Д. В. Лукомский ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 65 – 69 ω = ω1 √ √ √ √ √ √ √ 1 − σ2 − 1 − σ2 2 Ptrk 2 + ε2 12 k4 1 + G k I0 (k) I1 (k) , (8) где ε = d a ; G = a d ρf ρm ; ω2 1 = 2G 1− σ2 ; σ – коэффи- циент Пуасона. Геометрическая нелинейность приводит к тому, что при превышении трансмуральным давлением порогового значения Pmin = 2 σ √ 3(1 − σ2) ε (9) появляется область волновых чисел k таких, что Im ω (k) > 0. В этой области будет наблюдаться неустойчивость формы трубки, поскольку ампли- туда волны Aei(kx−ωt) начинает безгранично воз- растать. Рассмотрим теперь графики Reω(k) при возра- стании трансмурального давления с дальнейшим превышением порога (2) (pис. 2). На оси орди- нат отложена безразмерная величина ω, на оси абсцисс – безразмерное волновое число ka. Оче- видным является то, что, начиная с некоторого значения Ptr < Pmin, одному значению частоты (например, обозначенному на рисункe штриховой горизонтальной линией) соответствуют несколько величин ka, т. е. в трубке распространяется не- сколько волн одной частоты, но различной длины. Рис. 2. Появление волны с отрицательной групповой cкоростью при возрастании Ptr(G = 7, σ < ∼ 0.5) Асимптотический анализ при ka → 0 показыва- ет, что первая из этих волн распространяется со скоростью Моенса-Кортевега νm и это соответ- ствует случаю распространения хорошо известных длинноволновых перистальтических возмущений [4]. Однако особый интерес представляет обнару- женная на графике вторая волна, распростра- няющаяся с отрицательной групповой скоростью cg = dω dk . Этой волне соответствуют длины волн, сравнимые с радиусом трубки. Такие ситуации возможны в реальных системах с сильной дис- персией. Например, в работе [19] было показа- но, что в струе, инжектируемой в неоднородную по плотности жидкость (плотность линейно воз- растает с глубиной), групповая скорость может быть отрицательной, т. е. энергия транспортируе- тся в направлении, противоположном распростра- нению волн (из области с большей плотностью в область меньшей плотности). Такая ситуация име- ет место и при распространении волн в изгибно- деформируемой сжатой балке [18] при увеличении силы сжатия, что приближает нас к потере устой- чивости по Эйлеру. Если Ptr < Pmin, то нет неустойчивости формы и ω = Reω. Таким образом, в этом случае можно применить условие dω dk < 0 к (8). Тогда получим Ptr > 2 σ(1 − σ2) × × ε2 3 ( 1 4 I0 (k) 2 I1 (k)2 + 1 G − 1 4 ) k4 + ε2 3 I0 (k) I1 (k) k3 ( I0 (k)2 I1 (k) 2 − 1 + 2 G ) k2 + 2 I0 (k) I1 (k) k + + ( 1 − σ2 ) ( I0 (k) 2 I1 (k)2 − 1 ) ( I0 (k)2 I1 (k) 2 − 1 + 2 G ) k2 + 2 I0 (k) I1 (k) k . (10) Множество точек на плоскости (Ptr, k), удовле- творяющих условию (10) и Ptr < Pmin, определя- ет область трансмуральных давлений и соответ- ствующих им волновых чисел, при которых на- блюдается волна с отрицательной групповой ско- ростью. Такой областью на pис. 3 будет множество точек, которые находятся выше сплошной кривой, но ниже штриховой линии (порога). Трансмураль- ное давление является безразмерным и нормиро- вано на ρfν2 m. При превышении порога Ptr > Pmin, очевидно, волна с dω dk < 0 продолжает существо- вать, но условие (10) перестает выполняться, по- скольку уже ω 6= Reω. Обратимся теперь к реальной сердечно- сосудистой системе собаки [4, 10]. Рассмотрим И. Т. Селезов, Д. В. Лукомский 67 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 65 – 69 Рис. 3. Область отрицательных групповых скоростей выше сплошной кривой и ниже штриховой линии при Ptr < Pmin (G = 7, σ < ∼ 0.5) распространение пульсовой волны, генериру- емой сердцем и распространяющейся вдоль артерии с такими параметрами: a = 1 см, σ < ∼ 0.5, G = 7, νm = 5.8 м/с. Именно для них построены графики на pис. 2, 3. Примем часто- ту сердечных сокращений собаки 120 ударов в минуту, которой соответствует частота ν = 2 Гц, тогда при разложении пульсовой волны в ряд Фурье основной гармонике будет соответствовать частота ω0 = 2πν ≈ 13 рад/с. Полагая, что существенный вклад будут вносить все кратные гармоники до 10ω0 = 130 рад/с, можно видеть, что реальный частотный интервал, который представляет интерес для исследования, лежит на pис. 2 между осью абсцисс и горизонтальной штриховой прямой (график нарисован в безра- змерных величинах). Это означает, что волна с отрицательной групповой скоростью может распространяться лишь при условии, что транс- муральное давление в артерии или очень близко к пороговому (6), или превышает его. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведен анализ распространения и устойчиво- сти пульсовых волн в кровеносном сосуде с прив- лечением геометрически нелинейной теории обо- лочек. В результате установлено, что наряду с тра- диционной длинной волной, распространяющейся со скоростью Моенса-Кортевега, существует дру- гая волна с отрицательной групповой скоростью, распространяющаяся в противоположном направ- лении. Это может приводить к негативным пато- логическим последствиям, в частности, к наруше- нию сердечного ритма (аритмии) и дополнитель- ной нагрузке на сердечные стенки. Работа поддерживается Министерством образо- вания и науки Украины, НИР N 0108U001016. 1. Вольмир А.С.Устойчивость деформируемых си- стем. - М.: Наука. - 1967. 984 с. 2. Громека И.С. О скорости распространения волно- образного движения жидкостей в упругих труб- ках. - Собр. соч. – М.: Изд-во АН СССР. - 1952.– С. 172-183. 3. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, со- держащих жидкость и газ. – М.: Наука, – 1969. - 182 с. 4. Caro C.G., Pedley T.J., Schroter R.C., Seed W.A. The mechanics of the circulation. Oxford University Press, 1978. Русский перевод: Каро К., Педли Т., Шротер Р., Сид У. Механика кровообращения.– М.: – Мир. – 1981. – 372 с. 5. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретиче- ская гидромеханика. Ч. 1, Ч. 2. – М.: ГИФМЛ, – 1963. – 584 с., 728 с. 6. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Подчасов Н.П. Не- линейные колебания цилиндрических оболочек. – Киев: Вища школа. – 1989. – 207 с. 7. Лукомський Д.В., Селезов I.Т. Виникнення не- стiйкостi форми при поширеннi гiдропружних хвиль в еластичнiй трубцi, заповненiй рiдиною // Науковi записки НПУ iменi М.П. Драгоманова.– 2002. – N 3. – С. 132-145. 8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. – 4-е изд. – М.: Наука. – 1988. – 736 с. 9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. – М.: Наука, – 1965. – 204 с. 10. Pedley T.J. The fluid mechanics of large blood vessels. Cambridge University Press, 1980. Русский перевод: Педли Т. Гидродинамика крупных крове- носных сосудов. – М.: Мир. – 1983. – 400 с. 11. Селезов I.Т. Про зведення нелiнiйної задачi гiдро- пружностi до розв’язку системи лiнiйних диферен- цiальних рiвнянь // Доповiдi АН УРСР. Серiя А. – 1964. – N2. – С. 185–188. 12. Селезов И.Т. О распространении малых возмуще- ний в упругой цилиндрической оболочке, напол- ненной жидкостью // Прикладная механика. – 1965. – 1, N 3. – C. 10–16. 13. Astrom P., Egulfluz V.M., Colding-Jorgensen M., Gustafsson F. Holstein-Rathlou N.-H. Instability and "sausage-string"appearance in blood vessels during high blood pressure // Phys. Rev. Letters. - 1999. – 82. – P. 323 – 331. 14. Davey A. and Drazin P.G. The stability of Poiseuille flow in a pipe // J. Fluid. Mech. – 1969. – 36, Part 2. – P. 209–218. 15. Lukomsky D.V., Selezov I.T., Lukomsky V.P. Nonli- near dynamics of pressure pulse waves in large blood vessels // Proc. 9th Conference on Dynami- cal Systems Theory and Applications, Vol. 2, Poland, Lodz, 17-20 December 2007. – P. 909–918. 16. Lukomsky D., Selezov I. Arteria instability under heart pressure pulse propagation // Proc. 13th Conference of European Society of Biomechanics, Wroclaw, 1-4. Sept. 2002. Acta of Bioengineering and Biomechanics. - 2002. 4, Suppl. 1. - P. 524-525. 17. Nelson P. and Powers T. Dynamical theory of the pearling instability in cylindrical vehicles // Phys. Rev. Letters. - 1995. - 74, N 17. - P. 3384-3387. 68 И. Т. Селезов, Д. В. Лукомский ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2008. Том 10, N 4. С. 65 – 69 18. Nonlinear waves. Cornell University Press: Ithaca and London. Русский перевод: Нелинейные волны.– М.: Мир. – 1977. – 320 с. 19. Selezov I.T., Shpakova S.G., Huq P. Wave di- sturbances of stratified fluid due to vertical jet // Int. J. Fluid Mechanics Research. – 2001. – 28, N 1–2. – P. 5465. 20. Selezov I., Bersenev V. Some mathematical models of reflex-metameric therapy // Proc. 5th World Congress of Biomechanics. – July 29 – August 4 2006, Germany, Munich. – Ed. D.Liepsch: Medimond. 2006. – P. 485–489. 21. Selezov I., Avramenko O., Fratamico G., Pallotti G., Pettazzoni P. Stress concentration due to advanci- ng heart pulse through a blood vessel joint // J. Mechanics in Medicine and Biology. – 2001. – 1, N 2. – P. 79–96. 22. Selezov I., Pallotti G., Fratamico G., Pettazzoni P. Viscoelasticity with permanent deformation in investigation of pulse propagation in blood vessel // J. Mechanics in Medicine and Biology. – 2001. – 1, N 2. – P. 139–152. И. Т. Селезов, Д. В. Лукомский 69

Распространение пульсовых волн давления в кровеносном сосуде за пороговым значением трансмурального давления

Institution

Ähnliche Einträge