Форми вiльної поверхнi та умови iснування гiдродинамiчного солiтону, самотньої, одиночної i кноїдальної хвиль
В соответствии с полученными решениями обобщенного дифференциального уравнения профиля свободной поверхности волнообразных околокритических течений для разных значений квадрата модуля эллиптических функций Якоби определены очертания свободной поверхности и условия существования разных типов рассматр...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4695 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Форми вiльної поверхнi та умови iснування гiдродинамiчного солiтону, самотньої, одиночної i кноїдальної хвиль / О.А. Рябенко // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 1. — С. 66-80. — Бібліогр.: 45 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860245599938412544 |
|---|---|
| author | Рябенко, О.А. |
| author_facet | Рябенко, О.А. |
| citation_txt | Форми вiльної поверхнi та умови iснування гiдродинамiчного солiтону, самотньої, одиночної i кноїдальної хвиль / О.А. Рябенко // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 1. — С. 66-80. — Бібліогр.: 45 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | В соответствии с полученными решениями обобщенного дифференциального уравнения профиля свободной поверхности волнообразных околокритических течений для разных значений квадрата модуля эллиптических функций Якоби определены очертания свободной поверхности и условия существования разных типов рассматриваемых течений, причем эти условия выражены через характеристики потока в начальном сечении рассматриваемых явлений. Определены условия существования перемещающихся кноидальных волн и критерии идентификации уединенной и разных типов одиночных волн. Описано влияние граничных и начальных условий на существование околокритических течений.
У вiдповiдностi з отриманими розв'язками узагальненого диференцiального рiвняння профiлю вiльної поверхнi хвилеподiбних бiлякритичних течiй для рiзних значень квадрата модуля елiптичних функцiй Якобi визначено обриси вiльної поверхнi та умови iснування рiзних типiв розглядуваних течiй, причому цi умови вираженi через характеристики потоку в початковому перерiзi дослiджуваних явищ. Визначено умови iснування рухомих кноїдальних хвиль та критерiї iдентифiкацiї самотньої та рiзних типiв одиночних хвиль. Описано вплив граничних i початкових умов на iснування бiлякритичних течiй.
In correspondence with the obtained solutions for the generalised differential equation of the profile of free surface of wavelike near-critical flows for various values of the square of the module of elyptical Jacobi functions we determined outlines of free surface and conditions for existing various types of flows discussed, these conditions being expressed via flow characteristics in the initial intersection of phenomena studied. Conditions are determined of existing movable cnoidal waves and criteria of identifying solitary and various types of single waves. The influence is described of limiting and initial conditions on the existence of nearcritical flows.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:36:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
УДК 532.592
ФОРМИ ВIЛЬНОЇ ПОВЕРХНI ТА УМОВИ IСНУВАННЯ
ГIДРОДИНАМIЧНОГО СОЛIТОНУ, САМОТНЬОЇ,
ОДИНОЧНОЇ I КНОЇДАЛЬНИХ ХВИЛЬ
O. A. Р Я Б ЕН К О
Нацiональний унiверситет водного господарства та природокористування, Рiвне
Одержано 24.09.2006
У вiдповiдностi з отриманими розв’язками узагальненого диференцiального рiвняння профiлю вiльної поверхнi хви-
леподiбних бiлякритичних течiй для рiзних значень квадрата модуля елiптичних функцiй Якобi визначено обриси
вiльної поверхнi та умови iснування рiзних типiв розглядуваних течiй, причому цi умови вираженi через характери-
стики потоку в початковому перерiзi дослiджуваних явищ. Визначено умови iснування рухомих кноїдальних хвиль
та критерiї iдентифiкацiї самотньої та рiзних типiв одиночних хвиль. Описано вплив граничних i початкових умов
на iснування бiлякритичних течiй.
В соответствии с полученными решениями обобщенного дифференциального уравнения профиля свободной поверх-
ности волнообразных околокритических течений для разных значений квадрата модуля эллиптических функций
Якоби определены очертания свободной поверхности и условия существования разных типов рассматриваемых те-
чений, причем эти условия выражены через характеристики потока в начальном сечении рассматриваемыхявлений.
Определены условия существования перемещающихся кноидальных волн и критерии идентификации уединенной и
разных типов одиночных волн. Описано влияние граничных и начальных условий на существование околокритиче-
ских течений.
In correspondence with the obtained solutions for the generalised differential equation of the profile of free surface of
wavelike near-critical flows for various values of the square of the module of elyptical Jacobi functions we determined
outlines of free surface and conditions for existing various types of flows discussed, these conditions being expressed via
flow characteristics in the initial intersection of phenomena studied. Conditions are determined of existing movable cnoidal
waves and criteria of identifying solitary and various types of single waves. The influence is described of limiting and initial
conditions on the existence of nearcritical flows.
ВСТУП
Експериментальнi i теоретичнi дослiдження без-
напiрних потокiв рiдини виявляють iснування осо-
бливого класу бiлякритичних течiй, якi якiсно вiд-
рiзняються вiд звичайних спокiйних i бурхливих
потокiв з плавно- та повiльнозмiнним рухом. Ди-
ференцiальнi рiвняння Кортевега–де Фрiса, Сер-
ра, Смислова профiлю вiльної поверхнi таких те-
чiй та отриманi розв’язки цих рiвнянь в явному ви-
глядi не розкривають усi характеристики потоку в
початковому перерiзi розглядуваних явищ [1]. Ха-
рактерно, що вiдомi залежностi профiлю вiльної
поверхнi таких бiлякритичних течiй, як кноїдаль-
нi та самотня хвилi вираженi через максимальну
i мiнiмальну глибини цих хвиль, хоча в бiльшо-
стi реальних задач гiдротехнiчної практики макси-
мальна глибина апрiорi невiдома, а визначення цi-
єї глибини є однiєю з головних задач виконуваних
розрахункiв.
Традицiйно вважається, що всi безнапiрнi по-
токи рiдини, в тому числi i бiлякритичнi течiї,
однозначно описуються числом Фруда, яке скла-
дають за характерними параметрами розглядува-
них явищ i часто вiдносять до їхнього початкового
перерiзу. Разом з цим при вивченнi бiлякритичних
течiй було виявлено низку суперечностей i парадо-
ксiв [2], суть яких не можна пояснити на основi гi-
потези про однозначнiсть описання бiлякритичних
течiй лише одним параметром – їхнiм характерним
числом Фруда. Проведеними дослiдженнями було
встановлено, що для однозначного описання бiля-
критичних течiй в додаток до числа Фруда в їхньо-
му початковому перерiзi необхiдно враховувати ще
й ступiнь викривлення елементарних струминок у
вертикальнiй площинi (iншими словами, ступiнь
вiдхилення вiд гiдростатичного закону розподiлу
тиску по глибинi) в тому самому перерiзi потоку.
В роботах [1, 2] побудована математична модель
хвилеподiбних бiлякритичних течiй, виведено уза-
гальнене диференцiальне рiвняння профiлю їхньої
вiльної поверхнi та отриманi вiдповiднi розв’язки.
Характерною особливiстю згаданих математичної
моделi, диференцiальних рiвнянь та їхнiх розв’яз-
кiв є те, що в них у явному виглядi враховано
можливе викривлення елементарних струминок у
вертикальнiй площинi в початковому перерiзi роз-
глядуваних явищ.
Необхiдно зауважити, що форми вiльної поверх-
нi та умови iснування рiзних типiв бiлякритичних
течiй у вiдомих залежностях не можна призна-
ти повнiстю описаними, адже вони не враховують
66 c© О. А. Рябенко, 2007
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
весь комплекс необхiдних для цього характери-
стик потоку в початковому перерiзi розглядува-
них явищ. Крiм того, виявленi ще не всi частин-
нi розв’язки вiдомого диференцiального рiвняння
Кертевега–де Фрiса, якi можна отримати при екс-
тремальних значеннях квадрата елiптичних фун-
кцiй Якобi, використовуваних для описання кної-
дальних хвиль.
Експериментальнi дослiдження виявляють ряд
рiзних типiв одиночних хвиль, що певним чином
вiдрiзняються мiж собою. Це вимагає встановлен-
ня чiтких критерiїв iдентифiкацiї кожного типу
цих хвиль, а особливо нерухомої i рухомої само-
тньої хвилi, якi є яскравим прикладом гiдродина-
мiчного солiтону.
Мета даної роботи полягає в наступному:
– визначити обриси кривої вiльної поверхнi та
умови iснування рiзних типiв хвилеподiбних бiля-
критичних течiй на основi узагальненого диферен-
цiального рiвняння профiлю вiльної поверхнi цих
течiй в межах всього дiапазону iснування квадра-
та елiптичних функцiй Якобi;
– однозначно описати профiль вiльної поверх-
нi рiзних типiв бiлякритичних течiй та умови їх
iснування для рiзних значень квадрата елiптичних
функцiй Якобi в залежностi вiд визначальних ха-
рактеристик потоку в початковому перерiзi роз-
глядуваних явищ;
– визначити вплив граничних i початкових умов
на iснування рiзних типiв бiлякритичних течiй;
– сформулювати критерiї iдентифiкацiї рiзних
типiв одиничних хвиль, у тому числi i тих, якi мо-
жна вiднести до категорiї гiдродинамiчних солiто-
нiв;
– визначити умови iснування рухомих стацiо-
нарних кноїдальних хвиль.
1. РОЗВ’ЯЗКИ УЗАГАЛЬНЕНОГО
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ
ПРОФIЛЮ ВIЛЬНОЇ ПОВЕРХНI
БIЛЯКРИТИЧНИХ ТЕЧIЙ
1.1. Узагальнене диференцiальне
рiвняння профiлю вiльної поверхнi
бiлякритичних течiй
Клас бiлякритичних течiй з гладкою поверхнею
можна описати узагальненим диференцiальним
рiвнянням профiлю вiльної поверхнi цих течiй, за-
писаним в розмiрнiй (1) та безрозмiрнiй (2) фор-
мах:
(
dh
dx
)2
=
3g
q2
{
−h3 +
(
2β1h1 +
q2
gh2
1
)
h2−
−
[
(2β1 − 1)h2
1 +
2q2
gh1
]
h +
q2
g
}
, (1)
(
dh
dx
)2
=
3
Fr1
[
−
(
h
h1
)3
+ (2β1 + Fr1)
(
h
h1
)2
−
− (2β1 − 1 + 2Fr1)
h
h1
+ Fr1
]
. (2)
де h та x – бiжучi координати довiльної точки
вiльної поверхнi потоку; q – питома витрата; g –
прискорення вiльного падiння; Fr1 =V 2
1
/gh1 – чис-
ло Фруда в початковому перерiзi нерухомих явищ;
V1 – швидкiсть потоку в тому ж перерiзi цих явищ;
Fr1 = c2
1/gh1 – число Фруда в початковому пере-
рiзi хвиль перемiщення; c – швидкiсть руху цих
хвиль; h1 та β1 – вiдповiдно глибина та коефiцi-
єнт потенцiальної енергiї в початковому перерiзi
бiлякритичних течiй.
Диференцiальнi рiвняння (1) i (2) були виведенi
для плоских умов на основi вiдповiдної матема-
тичної моделi бiлякритичних течiй i враховують
можливе викривлення елементарних струминок у
вертикальнiй площинi в початковому перерiзi роз-
глядуваних течiй [1, 2]. Загальний розв’язок дифе-
ренцiальних рiвнянь (1) i (2), описаний в роботах
[1, 2], можна виразити у виглядi наступної системи
рiвнянь:
η =
h
h1
= 1 + (ηв − 1)cn2
( x
∆
, k
)
,
∆ = 2h1
√
ηвFr1
3(η2
в − Fr1
),
k =
√
ηв(ηв − 1)
η2
в − Fr1
,
ηв =
1
2
[
4s1 − 1
3
+ Fr1+
+
√
(
4s1 − 1
3
+ Fr1
)2
− 4Fr1
,
(3)
де ηв = hв/h1 – вiдношення максимальної глиби-
ни hв бiлякритичних течiй (яка у випадку гладкої
хвилястої поверхнi звичайно формується пiд вер-
шиною першої за рахунком хвилi) до початкової
глибини h1 цих течiй; s1 – коефiцiєнт негiдроста-
тичностi в початковому перерiзi розглядуваних те-
чiй.
Вiдмiтними рисами загального розв’язку (3),
так само як i диференцiальних рiвнянь (1) i (2),
є такi:
О. А. Рябенко 67
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
1) профiль вiльної поверхнi однозначно вираже-
ний через параметри потоку в початковому пере-
рiзi бiлякритичних течiй (Fr1, h1, s1, k1, β1);
2) через коефiцiєнт негiдростатичностi s1 або iн-
шi пов’язанi з ним коефiцiєнти k1 та β1 враховано
можливе викривлення потоку в початковому пере-
рiзi цих течiй.
1.2. Оцiнка ступеню викривлення потоку у вер-
тикальнiй площинi
Вiзуалiзацiя i видiлення в реальному потоцi
множини елементарних струминок та вимiрюван-
ня для кожної iз них параметрiв їх викривлення у
вертикальнiй площинi – нахилу та кривизни – при
сучасному рiвнi розвитку вимiрювальної технiки є
практично неможливими. Зауважимо, що пробле-
ма вимiрювання ступеню нахилу та кривизни не
вирiшена з достатньою точнiстю навiть стосовно
доступної для спостережень i вимiрювань найви-
щої елементарної струминки – кривої вiльної по-
верхнi потоку.
Враховуючи тiсний взаємозв’язок мiж викрив-
ленням у вертикальнiй площинi довiльної елемен-
тарної струминки, що проходить через деяку то-
чку потоку, та гiдродинамiчним тиском у цiй то-
чцi на практицi широко застосовують спосiб оцiн-
ки ступеня згадуваного викривлення елементар-
них струминок, оснований на вивченнi розподiлу
гiдродинамiчного тиску по глибинi у вибраному
перерiзi потоку. Тут доречно пiдкреслити, що iсну-
ючi методики вимiрювання гiдродинамiчного тис-
ку добре опрацьованi i вважаються досить надiй-
ними.
Вивченням розподiлу гiдродинамiчного тиску
по глибинi в рiзних перерiзах потоку з хвилястою
поверхнею займалися Б. О. Бахмєтєв, Г. Й. Су-
хомел, В. В. Смислов, I. Л. Розовський, Ф. Серр,
А. Кафагi, С. З. Хаммад, А. I. Модзалевський та
iн. Проведенi дослiдження [3 – 5] показали, що у
випуклих i ввiгнутих потоках у перерiзах, прове-
дених через вершини та пiдошви хвиль, спостерi-
гається близький до параболiчного закон розподi-
лу гiдродинамiчного тиcку по глибинi. При наяв-
ностi вiдомого закону розподiлу гiдродинамiчного
тиску по глибинi виникає можливiсть здiйснення
оцiнки ступеня викривлення потоку у вертикаль-
нiй площинi в даному перерiзi на основi вимiрю-
вання лише двох параметрiв потоку в цьому пере-
рiзi – глибини h та п’єзометричного тиску на днi
hпд, вираженого у висотi водного стовпа. Остан-
нiй параметр можна безпосередньо вимiряти за до-
помогою донного п’єзометра, встановленого в по-
трiбному мiсцi експериментальної установки. При
проведеннi обширних експериментiв iз змiнними
характеристиками потоку для умов плоскої задачi
використовують систему донних п’єзометрiв, роз-
мiщених з певним кроком по осi установки [1].
В теоретичних i експериментальних дослiджен-
нях потокiв, викривлених у вертикальнiй площинi,
ступiнь вiдхилення вiд гiдростатики у довiльному
перерiзi з параметрами h та hпд зручно оцiнюва-
ти за допомогою таких трьох коефiцiєнтiв: негi-
дростатичностi s = hпд/h, гiдродинамiчного тис-
ку k = Fегдт/Fегст та потенцiальної енергiї β =
Eпот/h, де hпд – значення п’єзометричного тиску
на днi, виражене у висотi водяного стовпа, Fегдт
та Fегст – площi епюр вiдповiдно гiдродинамiчно-
го та гiдростатичного тиску, Eпот – питома потен-
цiальна енергiя. У випадку параболiчного закону
розподiлу гiдродинамiчного тиску по глибинi вка-
занi коефiцiєнти зв’язанi мiж собою такими зале-
жностями [1, 2]:
β =
1 + 2s
3
, k =
4s− 1
3
, β =
1 + k
2
, (4)
причому для гiдростатичного розподiлу тиску по
глибинi коефiцiєнти s, k, β дорiвнюють одиницi.
1.3. Характеристика умов iснування розв’язкiв
узагальненого диференцiального рiвняння (1)
Математичнi умови iснування розв’язкiв уза-
гальненого диференцiального рiвняння кривої
вiльної поверхнi бiлякритичних течiй, записаного
у розмiрнiй (1) чи безрозмiрнiй формi (3), визнача-
ються межами iснування квадрата модуля k2 елi-
птичних функцiй Якобi [6, 7]:
0 ≤ k2 ≤ 1, (5)
що входить у загальний розв’язок цього рiвняння –
систему (3). Реальнi проблеми водогосподарської
практики, пов’язанi iз застосуванням розв’язкiв
диференцiального рiвняння (1), роблять актуаль-
ним питання про бiльш повне розкриття умови
(5) iз вираженням її через гiдравлiчнi характери-
стики потоку в початковому перерiзi розглядува-
них явищ. Для вирiшення цього питання необхiдно
скористатися рiвняннями
k =
√
ηв(ηв − 1)
η2
в − Fr1
, (6)
ηв =
1
2
[
4s1 − 1
3
+ Fr1+
+
√
(
4s1 − 1
3
+ Fr1
)2
− 4Fr1
,
(7)
68 О. А. Рябенко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
якi входять у систему (3).
У вiдповiдностi з виразом (5) умови iснуван-
ня розв’язкiв системи рiвнянь (3) проаналiзуємо
для таких значень квадрата модуля k2 елiптичних
функцiй Якобi:
k2 = 0, (8)
k2 = 1, (9)
0 < k2 < 1. (10)
1.4. Частинний випадок при k
2 = 0
На основi виразiв (6) i (8) можна записати
ηв (ηв − 1)
η2
в − Fr1
= 0.
Ця рiвнiсть виконується за умови, що чисельник
дорiвнює нулю, тобто
ηв (ηв − 1) = 0.
Враховуючи, що ηв 6= 0, отримаємо наступний
розв’язок:
ηв = 1. (11)
Визначимо тепер ступiнь негiдростатичностi в
початковому перерiзi розглядуваних явищ для да-
ного випадку. З цiєю метою пiдставимо вираз (11)
у формулу (7):
√
(
4s1 − 1
3
+ Fr1
)2
− 4Fr1 = 2 − 4s1 − 1
3
− Fr1.
Пiднiсши до квадрату обидвi частини цiєї рiвно-
стi, пiсля певних перетворень отримаємо наступну
умову:
s1 = 1. (12)
Обриси профiлю вiльної поверхнi потоку визна-
чимо на основi залежностей
η =
h
h1
= 1 + (ηв − 1) cn
( x
∆
, k
)
, (13)
∆ = 2h1
√
ηвFr1
3 (η2
в − Fr1)
, (14)
взятих iз системи (3). Як вiдомо [6, 7], елiпти-
чна функцiя Якобi амплiтуди косинуса при модулi
k = 0 вироджується в звичайну тригонометричну
функцiю косинуса:
cn
( x
∆
, 0
)
= cos
( x
∆
)
. (15)
Рис. 1. Рiвномiрний потiк при k2 = 0
З врахуванням виразiв (14), (11) i (15) iз зале-
жностi (13) отримаємо:
η = 1+(1 − 1) cos2
x
2h1
√
3 (1 − Fr1)
Fr1
= 1. (16)
На основi отриманих залежностей (11), (12) i
(16) можна зробити висновок, що у випадку вико-
нання умови (8) загальний розв’язок диференцi-
ального рiвняння (1) у виглядi системи (3) зводи-
ться до усталеного рiвномiрного потоку з постiй-
ною глибиною
h = const (17)
(див. рис. 1) та гiдростатичним розподiлом тиску
по глибинi у будь-якому перерiзi.
Тут необхiдно пiдкреслити, що вирази (12) i (17)
не мають нiяких обмежень по числу Фруда Fr1,
тобто даний розв’язок справедливий для устале-
ного руху при
Fr1
<
>
1, (18)
що вiдповiдає потокам у спокiйному, критичному
i бурхливому станах. Умова (18) для усталених у
часi потокiв рiвнозначна наступнiй умовi:
h <
>
hк,
вираженiй через критичну глибину hк. Зазначи-
мо, що випадок усталеного рiвномiрного потоку з
глибиною h = hк = const та вiдповiдно з числом
Фруда Fr1 = 1 i гiдростатичним розподiлом тиску
по глибинi в будь-якому перерiзi описаний в [8].
Таким чином, iснування усталеного рiвномiрно-
го потоку з постiйною глибиною h= const вимагає
виконання трьох умов (8), (12), (18):
k2 = 0,
s1 = 1,
Fr1
<
>
1.
О. А. Рябенко 69
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
1.5. Частинний випадок при k
2 = 1
На основi залежностей (6) i (9) можна записати:
ηв (ηв − 1)
η2
в − Fr1
= 1
або
ηв (ηв − 1) = η2
в − Fr1,
звiдки витiкає такий розв’язок:
ηв = Fr1. (19)
Для визначення ступеня негiдростатичностi у
початковому перерiзi бiлякритичних течiй стосов-
но випадку k2 = 1 пiдставимо залежнiсть (19) у
формулу (7):
√
(
4s1 − 1
3
+ Fr1
)2
− 4Fr1 = Fr1 −
4s1 − 1
3
.
Пiднiсши до квадрату обидвi частини цiєї рiвно-
стi i зробивши необхiднi перетворення, отримаємо
такий вираз:
Fr1
(
4s1 − 1
3
− 1
)
= 0.
На основi цiєї залежностi, враховуючи, що Fr1 6= 0,
отримаємо умову (12):
s1 = 1,
тобто при значеннi квадрата модуля елiптичних
функцiй Якобi k2 = 1 (так само, як i при k2 = 0)
в початковому перерiзi розглядуваних явищ пови-
нен бути гiдростатичний закон розподiлу тиску по
глибинi потоку.
Проте в даному випадку, на вiдмiну вiд попере-
днього, вiдношення ηв у вiдповiдностi з формулою
(19) залежить вiд числа Фруда Fr1. Як було пока-
зано в [1, 2], iнтегрування диференцiального рiв-
няння (1), а також розв’язок системи (3) за умови
(12) дають вiдому формулу профiлю вiльної по-
верхнi самотньої хвилi (див. рис. 2):
η =
h
h1
= 1+
+(Fr1 − 1)sch2
√
3(Fr1 − 1)
Fr1
x
2h1
.
(20)
При цьому було показано, що для iснування са-
мотньої хвилi, крiм умови (12), повинна виконува-
тись ще й наступна додаткова умова [1, 2]:
Fr1 > 1. (21)
Рис. 2. Схема самотньої хвилi
Рис. 3. Схема кноїдальних хвиль
Таким чином, iснування самотньої хвилi, яка
описується залежнiстю (20), вимагає виконання
умов (9), (12), (21):
k2 = 1,
s1 = 1,
Fr1 > 1.
1.6. Загальний випадок при
0 < k
2
< 1
З’ясувавши фiзичний змiст та умови iснування
частинних випадкiв (при k2 = 0 та k2 = 1) загаль-
ного розв’язку диференцiального рiвняння (1) у
виглядi системи (3), тепер ми можемо визначити
умови iснування кноїдальних хвиль (див. рис. 3),
описуваних системою рiвнянь (3), як загального
розв’язку диференцiального рiвняння (1) при ква-
дратi модуля елiптичних функцiй Якобi 0<k2<1.
Загальну для даного випадку умову (10) можна
замiнити наступною системою:
k2 > 0, (22)
k2 < 1. (23)
Для випадку k2 >0 на основi залежностей (6)
i (22) можна записати таку нерiвнiсть
ηв (ηв − 1)
η2
в − Fr1
> 0. (24)
70 О. А. Рябенко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
Iз умов поставленої задачi витiкає
ηв > 1. (25)
Звiдси можна зробити висновок, що чисельник
нерiвностi (24) є додатним. Тодi i знаменник вира-
зу (24) також повинен бути додатним:
η2
в − Fr1 > 0
або
ηв >
√
Fr1.
Пiдставивши в це спiввiдношення значення ηв iз
формули (7), отримаємо
√
(
4s1 − 1
3
+ Fr1
)2
− 4Fr1 >
> 2
√
Fr1
(
4s1 − 1
3
+ Fr1
)
.
(26)
Розв’язок iррацiональних нерiвностей типу (26)
залежить вiд знаку їх правої частини. Аналiз пра-
вої частини виразу (26) показує, що для бiлякри-
тичних течiй при Fr1 = 0.3 ÷ 4.0 та s1 ≥ 1.0 вона
завжди вiд’ємна. В цьому випадку нерiвнiсть (26),
у вiдповiдностi з [9], можна замiнити наступною
тотожною системою:
2
√
Fr1 −
(
4s1 − 1
3
+ Fr1
)
< 0,
(
4s1 − 1
3
+ Fr1
)2
− 4Fr1 ≥ 0.
Загальним розв’язком цiєї системи є наступна
умова
4s1 − 1
3
≥
√
Fr1
(
2 −
√
Fr1
)
. (27)
Для випадку k2 < 1 iз виразiв (6) i (23) витi-
кає:
ηв (ηв − 1)
η2
в − Fr1
< 1. (28)
Проведений аналiз показує, що i чисельник, i
знаменник лiвої частини нерiвностi (28) є додатни-
ми у всьому дiапазонi умов iснування бiлякрити-
чних течiй. В такому випадку спiввiдношення (28)
можна переписати таким чином:
η2
в − ηв < η2
в − Fr1,
звiдки отримаємо таку умову:
ηв > Fr1. (29)
Iз структури формули (7) витiкає, що вираз (29)
вимагає виконання наступної умови:
s1 > 1. (30)
Особливо наочно цей висновок iлюструє показа-
ний на рис. 4 графiк ηв = f (Fr1, s1), побудований
за формулою (7).
Розв’язок системи нерiвностей (22) i (23).
На основi отриманих y даному пунктi результатiв
систему нерiвностей (22) i (23) можна замiнити та-
кою системою:
4s1 − 1
3
≥ 2
√
Fr1 − Fr1,
s1 > 1.
Умову (27) можна переписати таким чином:
4s1 − 1
3
=k1 ≥ kmin
1
=2
√
Fr1 − Fr1.
Проведений аналiз показує, що в областi iснува-
ння бiлякритичних течiй, яку можна охарактери-
зувати числами Фруда Fr1 = 0.3 ÷ 4.0 [10], права
частина нерiвностi (27), тобто мiнiмальне значен-
ня коефiцiєнта гiдродинамiчного тиску в початко-
вому перерiзi розглядуваних течiй, буде
kmin
1 ≤ 1.
Випадок k1 < 1 суперечить математичнiй моде-
лi хвилеподiбних бiлякритичних течiй, описанiй в
[2], оскiльки вимагає, щоб у початковому перерi-
зi розглядуваних явищ потiк був ввiгнутий (тобто
d2h/dx2<0), тодi як у дiйсностi у зазначеному пе-
рерiзi друга похiдна d2h/dx2 ≥ 0. Враховуючи цю
обставину, умову (27) можна переписати таким чи-
ном:
k1 =
4s1 − 1
3
≥ 1
або через коефiцiєнт негiдростатичностi
s1 ≥ 1. (31)
Проаналiзуємо бiльш детально можливi випад-
ки виконання умови s1 =1 для рiзних значень чис-
ла Фруда Fr1 стосовно розв’язку (3) при квадратi
модуля елiптичних функцiй Якобi k2 <1. Як видно
iз структури формули (7) (див. рис. 4) реалiзацiя
умови s1 = 1 при Fr1 < 1 фiзично неможлива. Ви-
падок s1 = 1 при Fr1 > 1 вiдповiдає формуванню
самотньої хвилi (див. п. 1.5). У випадку s1 = 1 та
Fr1 = 1 утворюється рiвномiрний потiк з постiй-
ною глибиною h = hк = const та гiдростатичним
розподiлом тиску по глибинi в будь-якому перерi-
зi (див. п. 1.4).
О. А. Рябенко 71
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
Рис. 4. Графiк ηв =f(Fr1, s1) за фрмулою (7): пряма при s1 =1 вiдповiдає формулi ηв =Fr1
Отже в даному випадку вимога s1 =1 вiдпадає,
внаслiдок чого умова (27) зводиться до вигляду
s1 > 1, що є загальним розв’язком системи нерiв-
ностей (27) i (30), значить для iснування кноїдаль-
них хвиль, описуваних системою рiвнянь (3), при
0<k2<1 є умова (30).
Дуже важливо пiдкреслити, що ця умова не має
нiяких обмежень стосовно числа Фруда Fr1 в по-
чатковому перерiзi розглядуваного явища. Щоб
переконатися в цьому, скористаємось нерiвнiстю
(29). Пiдставивши в цей вираз значення ηв, визна-
чене за формулою (7), отримаємо:
√
(
4s1 − 1
3
+ Fr1
)2
− 4Fr1 > Fr1 −
4s1 − 1
3
. (32)
Розв’язок даної нерiвностi залежить вiд знаку її
правої частини, який визначається спiввiдношен-
ням мiж числом Фруда Fr1 та коефiцiєнтом гiдро-
динамiчного тиску k1 =(4s1 − 1)/3 у початковому
перерiзi кноїдальних хвиль.
Число Фруда Fr1 для нерухомих i рухомих бiля-
критичних явищ виражається вiдповiдно такими
залежностями, наведеними в п. 1.1.:
Fr1 =
V 2
1
gh1
, (33)
Fr1 =
c2
gh1
. (34)
У вiдповiдностi iз [8, 11] перепишемо цi вирази з
врахуванням коефiцiєнта кiнетичної енергiї α1 в
початковому перерiзi розглядуваних явищ:
Fr∗
1
=
α1V
2
1
gh1
, (35)
Fr∗
1
=
α1c
2
gh1
. (36)
Коефiцiєнт гiдродинамiчного тиску k1 в поча-
тковому перерiзi кноїдальних хвиль змiнюється у
вiдносно вузьких межах. Проведенi експеримен-
тальнi дослiдження [12 – 15] показують, що для
бiлякритичних течiй з гладкою хвилястою поверх-
нею коефiцiєнт негiдростатичностi s1 =1.0 ÷ 1.07,
що вiдповiдає значенням коефiцiєнта гiдродинамi-
чного тиску k1 =1.0÷ 1.09. Для безнапiрних пото-
кiв iз звичайним рiвнем турбулентностi приблизно
в таких же межах знаходиться i коефiцiєнт кiнети-
чної енергiї α1 [8, 11]. Якщо зневажити рiзницею
в значеннях коефiцiєнтiв α1 та k1, то для встанов-
лення знаку правої частини нерiвностi (32) можна
порiвнювати число Фруда Fr1 з одиницею.
З гiдравлiчної точки зору цей висновок є над-
звичайно важливим, оскiльки саме значення чис-
72 О. А. Рябенко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
ла Фруда Fr1 =1 є граничним, що подiляє потоки
на спокiйнi, критичнi i бурхливi [8, 11]. Зробле-
ний висновок дає пiдставу розглядати в подальшо-
му умови iснування кноїдальних хвиль вiдповiдно
для потокiв у спокiйному, критичному та бурхли-
вому станах.
У випадку, коли права частина нерiвностi (32)
вiд’ємна, тобто коли число Фруда Fr1 < 1, що вiд-
повiдає потокам у спокiйному станi, умову (32),
згiдно з [9], можна замiнити нерiвнiстю:
(
4s1 − 1
3
+ Fr1
)2
− 4Fr1 ≥ 0,
звiдки витiкає наступна, вже вiдома умова, отри-
мана при квадратi модуля елiптичних функцiй
Якобi k2 > 0 (27):
4s1 − 1
3
≥
√
Fr1
(
2 −
√
Fr1
)
.
У випадку, коли права частина нерiвностi (32)
додатна або дорiвнює нулю, тобто коли число Фру-
да Fr1 ≥ 1, що вiдповiдає потокам у бурхливому
чи критичному станi, згiдно з [9], вираз (32) можна
замiнити такою нерiвнiстю
(
4s1 − 1
3
+ Fr1
)2
− 4Fr1 >
(
Fr1 −
4s1 − 1
3
)2
,
з якої витiкає така вже вiдома умова (30), виведена
при k2 < 1:
s1 > 1.
Отриманi результати свiдчать, що кноїдальнi
хвилi можуть iснувати не тiльки в спокiйних, а
й в бурхливих та критичних потоках, тобто при
числах Фруда
Fr1
<
>
1.
Цей висновок знаходиться у повнiй вiдповiдно-
стi з результатами теоретичних дослiджень У. Лiт-
тмена [16]. Необхiдно пiдкреслити, що зроблений
висновок спростовує точку зору тих вчених, якi
вважають, що кноїдальнi хвилi можуть iснувати
лише в спокiйних потоках, тобто при Fr1 < 1,
[17, 18]. Результати деяких проведених дослiдiв з
кноїдальними хвилями, що утворюються на по-
верхнi бурхливих потокiв, тобто при Fr1 > 1, данi
в [1].
Таким чином, для iснування кноїдальних хвиль,
описуваних системою рiвнянь (3), необхiдно вико-
нання умов (10), (30), (18):
0 < k2 < 1,
s1 > 1,
Fr1
<
>
1.
На закiнчення даного пункту пiдкреслимо, що
вираженi через число Фруда Fr1 умови (18) i (21)
iснування загального (3) i частинних (17) та (20)
розв’язкiв диференцiального рiвняння (1) перед-
бачають, що межi iснування числа Фруда Fr1 не
охоплюють всю множину значень вiдповiдно вiд 1
до 0 та вiд 1 до ∞, а лише характеризують стан по-
току (спокiйний чи бурхливий вiдповiдно) i обме-
жуються межами iснування даного типу явища.
2. ВПЛИВ ОСОБЛИВИХ ОБСТАВИН
НА УМОВИ IСНУВАННЯ РIЗНИХ ТИПIВ
БIЛЯКРИТИЧНИХ ТЕЧIЙ
2.1. Вплив граничних i початкових умов на
формування бiлякритичних течiй
Умови iснування загального (3) та частинних
(17) i (20) розв’язкiв узагальненого диференцiаль-
ного рiвняння (1) профiлю вiльної поверхнi хвиле-
подiбних бiлякритичних течiй описанi вiдповiдно
спiввiдношеннями для кноїдальних хвиль – (10),
(30), (18), усталеного рiвномiрного потоку – (8),
(12), (18), самотньої хвилi – (9), (12), (21) i вира-
жаються через три параметри – квадрат модуля k2
елiптичних функцiй Якобi, коефiцiєнт негiдроста-
тичностi s1 в початковому перерiзi розглядуваних
явищ та число Фруда Fr1 в тому самому перерiзi.
I якщо контроль фактичних значень параметрiв
Fr1 та s1 при проведеннi експериментальних до-
слiджень легко здiйснювати шляхом вимiрювань
таких характеристик потоку, як q, h1, hпд1 , то до-
тримання в потрiбних межах квадрата модуля k2
елiптичних функцiй Якобi здiйснюється за раху-
нок пiдбору необхiдних граничних i початкових
умов. При цьому досягається певна вiдповiднiсть
всiх характеристик бiлякритичних течiй – питомої
витрати q, глибин h1, h2, hв, коефiцiєнта негiдро-
статичностi s1, числа Фруда Fr1 i квадрата модуля
k2 з тим, щоб вони задовольняли диференцiально-
му рiвнянню (1).
Взагалi фактор вiдповiдностi реальних грани-
чних i початкових умов прийнятiй теоретичнiй
схемi, математичнiй моделi та диференцiальним
рiвнянням, що описують дослiджуване явище, да-
леко не завжди береться до уваги при виконаннi
експериментальних дослiджень бiлякритичних те-
чiй та при аналiзi отримуваних результатiв. Вiдсу-
тнiсть контролю за вiдповiднiстю фактичних гра-
О. А. Рябенко 73
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
ничних i початкових умов теоретичним, прийня-
тим при розробцi математичної моделi розгляду-
ваного явища, може призвести до неправильного
трактування одержаних експериментальних даних
та помилковостi зроблених висновкiв.
Наскiльки важливим є вплив граничних умов у
початковому i кiнцевому перерiзах бiлякритичних
течiй на формування розглядуваних явищ прекра-
сно iлюструє рис. 5, взятий з роботи [2], з якого ви-
дно, що змiна кiнцевої глибини (яку в певнiй мiрi
характеризує друга спряжена глибина h2), а вiд-
повiдно i коефiцiєнта негiдростатичностi s1 в пе-
рерiзi з першою спряженою глибиною впливають
не тiльки на основнi характеристики дослiджува-
ного явища, а навiть i на його тип. I саме вiдсу-
тнiстю контролю за кiнцевою глибиною хвилясто-
го стрибка та ступенем викривлення вiльної по-
верхнi у вертикальнiй площинi в його початково-
му перерiзi можна пояснити своєрiдне трактуван-
ня А. Н. Мельниковим [19] отриманих експеримен-
тальних результатiв, яке пiддавалося заслуженiй
критицi, про що вже йшлося в роботi [2].
Необхiдно з жалем констатувати, що при ви-
вченнi рiзних типiв бiлякритичних течiй далеко не
завжди контролюється весь комплекс граничних
умов навiть у початковому перерiзi дослiджуваних
явищ. Так, часто вважається, що в початковому
перерiзi цих явищ розподiл тиску по глибинi пiдпо-
рядковується гiдростатичному закону, внаслiдок
чого ступiнь викривлення потоку у вертикальнiй
площинi у зазначеному перерiзi взагалi не контро-
люється. Така позицiя пояснюється iще побутую-
чою хибною точкою зору, що всi безнапiрнi пото-
ки, в тому числi i бiлякритичнi течiї, однозначно
описуються числом Фруда, через що вплив iнших
факторiв на формування дослiджуваних явищ у
певнiй мiрi недооцiнюється.
Питання про вибiр положення кiнцевого пере-
рiзу та визначення в ньому граничних умов при
експериментальних дослiдженнях бiлякритичних
течiй є непростим i залежить вiд кiлькох факто-
рiв. По-перше, у бiльшостi випадкiв глибина пото-
ку по довжинi лотока є не постiйною, а змiнною
внаслiдок формування на установцi кривої спа-
ду певного типу. По-друге, розглядуване питан-
ня iстотно ускладнюється, якщо вiльна поверхня
дослiджуваних явищ має хвилеподiбний характер.
По-третє, додатковi хвилi, якi впливають на до-
слiджуване явище, можуть утворюватися на кiн-
цевiй частинi установки у випадках, коли глибина
при сходi потоку з неї наближається до критично-
го значення. Труднощi з визначенням положення
кiнцевого перерiзу хвилеподiбних бiлякритичних
течiй та знаходженням характеристик потоку в
цьому перерiзi пiд час експериментального вивчен-
ня гiдравлiчних опорiв зазначених течiй описанi в
[20].
Звичайно вважається, що на данiй експеримен-
тальнiй установцi певної довжини, iз вибраного
формою поперечного перерiзу, заданими умова-
ми в нижньому б’єфi, назначеною витратою та
прийнятою конструкцiєю дослiджуваної споруди
отримуване явище (наприклад гiдравлiчний стри-
бок – досконалий чи хвилястий) формується ав-
томатично у вiдповiдностi з певними закономiрно-
стями, властивими для даного явища. На основi
вищезгаданої концепцiї про однозначнiсть описан-
ня всiх вiдкритих потокiв числом Фруда при цьому
вважається, що глибина нижнього б’єфу, яка без-
перечно впливає на формування дослiджуваних
явищ, враховується у використовуваних теорети-
чних i експериментальних залежностях у неявнiй
формi опосередковано через число Фруда. При та-
кiй постановцi питання нерiдкi випадки, коли по-
ложення на установцi кiнцевого створу та граничнi
характеристики потоку в ньому взагалi не фiксу-
ються, а вплив кiнцевої глибини на формування
дослiджуваного явища виключається з аналiзу.
Яким саме чином впливають у дослiдах грани-
чнi i початковi умови на формування та основнi
характеристики дослiджуваних явищ, розглянемо
на прикладах аналiзу постановки експериментiв
для двох характерних випадкiв дослiдження бiля-
критичних течiй вiдповiдно з нерухомими i рухо-
мими явищами.
При проведеннi експериментiв з нерухомою са-
мотньою хвилею, утворюваною за схемою витiкан-
ня води з-пiд затвора в лотоку з вiдносно невели-
кою довжиною робочої частини установки за за-
твором [14], одним з визначальних факторiв фор-
мування дослiджуваного явища є довжина робо-
чої частини лотока, вiд якої залежить весь ком-
плекс граничних умов у кiнцевому перерiзi само-
тньої хвилi, в тому числi i її кiнцева глибина. В
таких експериментах необхiдно забезпечити вiдпо-
вiднiсть дiйсної довжини робочої частини лотока,
на якiй формується дослiджуване явище, з фа-
ктичною довжиною реальної самотньої хвилi, що
утворюється на установцi при вибраних вихiдних
характеристиках потоку (глибинi, витратi i т.п.).
За останню iз згаданих глибин у першому набли-
женнi можна приймати теоретичне значення дов-
жини розглядуваного явища.
Тут необхiдно пiдкреслити, що теоретична дов-
жина самотньої хвилi, описуваної залежностями
типу (20) з використанням гiперболiчного секан-
са, при глибинi h → h1 прямує до нескiнченно-
стi. Через це при розглядi самотньої хвилi зна-
74 О. А. Рябенко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
Рис. 5. Випадки утворення рухомих кноїдальних хвиль на поверхнi рiдини: a – при наявностi деякого
джерела збудження; б – при виникненнi бiлякритичних хвиль перемiщення; 1 – зона незбуреної рiдини;
2 – зона еволюцiї хвиль; 3 – зона самотньої хвилi; 4 – зона рухомих перманентних хвиль
чення її теоретичної довжини обмежують певним
чином. Так, лорд Релей, Г. Ламб, В. В. Смислов,
Л. М. Сретенський [21 – 24] за довжину самотньої
хвилi приймають вiддаль мiж її точками вiльної
поверхнi, перевищення яких над рiвнем незбуре-
ного потоку дорiвнює 10 % вiд висоти хвилi, а
Д. Лайтхiлл [25] – вiдповiдну вiддаль мiж точка-
ми, перевищення яких над тим же рiвнем стано-
вить 3 % вiд висоти хвилi.
Якщо при проведеннi експериментiв параметри
установки, питома витрата q, висота пiдняття щи-
та hщ, а вiдповiдно i початкова глибина h1 пiдi-
бранi таким чином (в межах необхiдних значень
числа Фруда Fr1), що дiйсна довжина робочої ча-
стини лотока вiдповiдає необхiднiй (теоретичнiй)
довжинi утворюваної самотньої хвилi, а установ-
ка забезпечує потрiбнi граничнi умови в кiнцевому
перерiзi дослiджуваного явища (hкц =h1, sкц =1),
то в дослiдi сформується самотня хвиля з гiдро-
статичним розподiлом тиску в її початковому пе-
рерiзi, тобто нерухомий гiдродинамiчний солiтон.
У випадку, коли фактична довжина робочої ча-
стини лотока виявиться дещо бiльшою вiд необ-
хiдного (теоретичного) значення довжини утво-
рюваної самотньої хвилi, то кiнцева глибина hкц
буде бiльшою початкової глибини h1 = hкп, а на
установцi сформується самотня хвиля з хвостом
при коефiцiєнтi негiдростатичностi s1 =1. В зале-
жностi вiд довжини робочої частини установки та
кiнцевих граничних умов коефiцiєнт негiдростати-
чностi s1 у початковому перерiзi дослiджуваного
явища може виявитися не рiвним, а бiльшим вiд
одиницi. В такому випадку отримане явище необ-
хiдно класифiкувати як одиночну (а не самотню!)
хвилю з хвостом.
Якщо фактична довжина робочої частини ло-
тока буде меншою вiд необхiдної теоретичної дов-
жини самотньої хвилi, то на установцi сформує-
ться “недосконала” самотня хвиля (Fr1 >1, s1 =1)
неповної довжини, а вiдповiдно i неповної висо-
ти. Лабораторнi дослiдження одиночних i само-
тнiх хвиль, утворюваних описаним способом, ви-
свiтленi в роботах [1, 14].
Зауважимо, що отриманi теоретичнi результати
про умови iснування рiзних типiв хвилеподiбних
бiлякритичних течiй та висновки про вплив гра-
ничних умов на iснування нерухомих у просторi
явищ знаходяться у повнiй вiдповiдностi з експе-
риментальними даними автора, описаними в робо-
тах [1, 2, 10, 12 – 15, 20].
При проведеннi експериментiв з бiлякритични-
ми хвилями перемiщення, як неусталеними яви-
щами в часi, необхiдно брати до уваги не тiльки
граничнi, а ще й початковi умови. Аналiз резуль-
татiв дослiдiв з хвилями перемiщення, утворюва-
ними шляхом раптової подачi в лотiк додаткової
витрати, показує, що для утворення в таких до-
слiдах рухомої самотньої хвилi (рухомого гiдрав-
лiчного солiтону) необхiдно досягти вiдповiдностi
таких параметрiв, як значення додаткового об’єму
О. А. Рябенко 75
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
води, що подається в лотiк, тривалiсть часу подачi
цього об’єму, значення витрати i глибини незбуре-
ного потоку.
Якщо об’єм води, що додатково подається на
установку, перевищує певне значення, необхiдне
для формування самотньої хвилi, а всi iншi пара-
метри залишаються незмiнними, то в залежностi
вiд значення поданого об’єму води в дослiдах мо-
же утворитися самотня хвиля з хвостом, самотня
хвиля з вiдiрваним хвостом, група хвиль перемi-
щення з хвилястою поверхнею та хвиля перемiще-
ння з поверхневим вальцем. У випадку, коли до-
датковий об’єм води є меншим деякого значення,
необхiдного для утворення самотньої хвилi, в до-
слiдах формуються похилi хвилi з плавнозмiнним
рухом.
Описання проведених дослiдiв з бiлякритични-
ми хвилями перемiщення та виробленi критерiї
формування рiзних типiв утворюваних рухомих
явищ данi в [26, 27].
2.2. Критерiї iдентифiкацiї рiзних типiв одино-
чних хвиль
Умови iснування нерухомої i рухомої перманен-
тної самотньої хвилi, вираженi через квадрат мо-
дуля елiптичних функцiй Якобi – вираз (9), та че-
рез характеристики потоку в їх початковому пе-
рерiзi – залежностi (12), (21), а також описаний в
п. 2.1 вплив граничних i початкових умов на iсну-
вання бiлякритичних течiй дозволяють розроби-
ти чiткi критерiї iдентифiкацiї рiзних типiв одино-
чних хвиль, дати їх повну класифiкацiю, а також
видiлити iз рiзнопланової сукупностi нерухомих i
рухомих одиночних хвиль (див. [2]) тi явища, якi
за певними ознаками можна вiднести до категорiї
гiдродинамiчних солiтонiв. Це питання має виня-
ткове значення для проблеми вивчення солiтонiв,
а особливо при здiйсненнi лабораторних дослiд-
жень на гiдравлiчних моделях – аналогах солiто-
нiв, що мають рiзну фiзичну природу, але опису-
ються одним i тим самим диференцiальним рiвня-
нням Кортвега–де Фрiса.
На основi отриманої iнформацiї зображенi на
рис. 1 роботи [2] нерухомi одиночнi хвилi можна
iдентифiкувати за такими ознаками:
• одиночна хвиля в спокiйному потоцi
(рис. 1, а) – Fr1 < 1, hпч > h1, s1 > 1;
• одиночна хвиля в критичному потоцi
(рис. 1, б) – Fr1 = 1, hпч = hк, s1 > 1;
• одиночна хвиля в бурхливому потоцi
(рис. 1,в) – Fr1 >1, hпч <hк, серед хвиль цього
типу можна видiлити двi рiзновидностi – з
негiдростатикою s1 > 1 та з гiдростатикою
s1 = 1 в початковому перерiзi;
• одиночна хвиля з негiдростатикою в почат-
ковому перерiзi (рис. 1, а, б, г) – Fr1
<
>
1,
hпч
>
<
hк, s1 > 1;
• самотня хвиля в бурхливому потоцi з гiдро-
статикою в початковому перерiзi, тобто неру-
хомий гiдродинамiчний солiтон (рис. 1, д) –
Fr1 > 1, hпч = hкц < hк, s1 = 1;
• одиночна чи самотня хвиля з хвостом
(рис. 1, е) – Fr1
<
>
1, hпч ≤ hкц, s1 ≥ 1, наяв-
нiсть хвоста висотою h
′
в < hв;
• одиночна хвиля над донною перешкодою
(рис. 1, є) – Fr1 > 1, s1 ≥ 1, наявнiсть донної
перешкоди.
Серед перерахованих типiв нерухомих одино-
чних хвиль лише один, показаний на рис. 1, д ро-
боти [2], вiдповiдає умовам (9), (12), (21) iснування
самотньої хвилi, описуваної рiвнянням (20), i який
може бути класифiкований як нерухомий гiдроди-
намiчний солiтон.
Нерухома одиночна хвиля з хвостом, зображена
на рис. 1, е роботи [2], може бути класифiкована
як рiзновид одиночних хвиль, показаних на
рис. 1, а – д, i може бути охарактеризована такими
даними: Fr1
<
>
1, s1 ≥ 1, hпч ≤hкц, при цьому ви-
сота хвоста h1
в < hв. При виконаннi умов (12), (21)
явище самотньої хвилi з хвостом не повнiстю вiд-
повiдає класичному визначенню самотньої хвилi i
може бути вiднесене до категорiї солiтонiв лише
за умови hпч = hкц, коли в точностi виконується
також i умова (9).
Одиночна хвиля над донною перешкодою
(рис. 1, є роботи [2]) якiсно вiдрiзняється вiд всiх
iнших типiв розглядуваних нерухомих одиночних
хвиль внаслiдок наявностi донних водоворотiв спе-
реду та позаду перешкоди. Враховуючи, що в ме-
жах цих водоворотiв рух рiдини є обертовим i не
вiдповiдає критерiям потенцiальностi руху [28], а
розмiри цих водоворотiв можуть бути надзвичай-
но великими (наприклад, в дослiдах А. П. Васи-
ленко з такою хвилею висота донного порога до-
ходила до 140 % вiд висоти потоку перед пере-
шкодою [29]), можна зробити висновок, що навiть
при виконаннi умов (12) i (21) одиночну хвилю
над донною перешкодою не можна вiдносити до
категорiї самотнiх хвиль (солiтонiв). Зауважимо,
що цей висновок не виключає можливостi набли-
женого експериментального вивчення солiтонiв на
76 О. А. Рябенко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
гiдравлiчних моделях з використанням донної пе-
решкоди. Але цей прийом можливий лише за умо-
ви, що висота такої перешкоди є невеликою i iсто-
тно не впливає на потенцiальнiсть всього потоку
рiдини. В таких випадках донний порiг по сутi ли-
ше сприяє утворенню хвилi на поверхнi потоку та
фiксує мiсце утворення цiєї хвилi.
Показанi на рис. 2 роботи [2] рухомi одиночнi
хвилi, швидкiсть перемiщення яких c > cк =
√
gh1,
можна iдентифiкувати за такими ознаками:
• рухома самотня хвиля, тобто рухомий гiдро-
динамичний солiтон (рис. 2, a) – Fr1 > 1,
s1 = 1, hпч = hкц (об’єм води у хвилi перемi-
щення дорiвнює об’єму, необхiдному для фор-
мування вiдповiдної самотньої хвилi);
• рухома одиночна хвиля з хвостом (рис. 2, б) –
Fr1 > 1, s1 = 1, hпч ≤ hкц, висота хвоста
h
′
в < hв (об’єм води у хвилi перемiщення дещо
перевищує об’єм, необхiдний для формування
вiдповiдної самотньої хвилi);
• рухома самотня хвиля з вiдiрваним хвостом
(рис. 2, в) – Fr1 > 1, s1 = 1, hпч = hкц,
h
′
в < hв, c
′
< c (загальний об’єм води у хвилi
перемiщення перевищує об’єм, необхiдний для
формування вiдповiдної самотньої хвилi, про-
те пiсля вiдриву самотньої хвилi з вiдповiдним
об’ємом води вiд хвоста вся надлишкова вода
залишається у хвостi).
Необхiдно пiдкреслити, що та частина хвилi пе-
ремiщення, що вiдноситься безпосередньо до само-
тньої хвилi, яка вiдiрвалася вiд свого хвоста i ру-
хається незалежно вiд нього, повнiстю вiдповiдає
iснуючим вимогам до солiтонiв i може бути кла-
сифiкована як рухомий гiдродинамiчний солiтон.
Рухома одиночна хвиля з хвостом може бути вiд-
несена до категорiї солiтонiв лише в початковий
момент вiдриву хвоста вiд основної хвилi, коли
hпч =hкц. Пiсля цього моменту явище класифiку-
ється вже як самотня хвиля з вiдiрваним хвостом.
Отриманi данi про умови iснування бiлякрити-
чних течiй та критерiї iдентифiкацiї рiзних типiв
одиночних хвиль необхiдно враховувати як при
фiзичному (гiдравлiчному), так i математичному
моделюваннi зазначених явищ [30 – 32].
2.3. Умови iснування рухомих кноїдальних
хвиль
Як вiдомо [1, 33 – 37], крутi хвилi перемiщення,
до яких вiдносяться також i рухомi кноїдальнi хви-
лi, утворюються при числах Фруда Fr = c2/gh>1,
де h = hнз – глибина незбуреного потоку. Цей
факт знаходиться у повнiй вiдповiдностi з умовою
(18).
Розглянемо тепер питання про можливiсть ви-
конання умови (30) для випадку утворення рухо-
мих кноїдальних хвиль, описуваних системою (3)
при 0 < k2 < 1. В процесi вивчення хвиль пере-
мiщення за початковий перерiз цього явища зви-
чайно приймається перерiз, розмiщений перед хви-
лями перемiщення, в якому потiк iще незбурений,
i саме за яким починається iстотне викривлення
та пiдйом вiльної поверхнi. Для незбурених пото-
кiв у вiдкритих руслах значної протяжностi (саме
в таких руслах i формуються розглядуванi хви-
лi перемiщення) характерним є те, що рух рiдини
є плавнозмiнним, а в частинному випадку рiдина
до приходу хвилi перемiщення взагалi може бути
нерухомою. В умовах плавнозмiнного руху або не-
рухомої рiдини початковий перерiз хвиль перемi-
щення завжди можна вибрати таким чином, що в
ньому розподiл тиску по глибинi буде гiдростати-
чним, тобто коефiцiєнти s1 , k1, β1 завжди будуть
рiвними одиницi.
Значить, y розглядуваному випадку обов’язко-
ва для кноїдальних хвиль умова (30) не виконує-
ться. Звiдси витiкає надзвичайно важливий висно-
вок, що рухомi перманентнi кноїдальнi хвилi, опи-
суванi стацiонарною (незалежною вiд часу) систе-
мою рiвнянь (3), i початкова глибина h1 яких до-
рiвнює глибинi незбуреного потоку, в природi са-
мостiйно iснувати не можуть. На перший погляд
цей висновок може здатися дещо парадоксальним,
адже класичний пiдхiд до вивчення кноїдальних
хвиль передбачає їх розгляд саме як рухомого яви-
ща [38].
Щоб розiбратися у цьому питаннi, розглянемо
два типовi випадки утворення рухомих кноїдаль-
них хвиль (див. рис. 5). Перший випадок (рис. 5, а)
передбачає наявнiсть деякого джерела збурення.
Утворюванi при цьому хвилi вiдносяться до класу
нелiнiйних хвиль на мiлкiй водi i описуються нелi-
нiйним диференцiальним рiвнянням у частинних
похiдних Кортевега–де Фрiса [38]:
∂h
∂t
− K1h
∂h
∂x
− K2
∂3h
∂x3
= 0, (37)
де h – глибина довiльної точки на вiльнiй поверхнi;
x – поздовжня координата цiєї ж точки; t – час,
K1; K2 – деякi коефiцiєнти.
Рiвняння (37) описує еволюцiю утворюваних
хвиль y часi, якi в процесi перемiщення змiню-
ють конфiгурацiєю вiльної поверхнi, збiльшуючи
при цьому свою висоту. Рiст амплiтуди рухомих
кноїдальних хвиль, описуваних диференцiальним
О. А. Рябенко 77
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
рiвнянням (37), в процесi їх еволюцiї чiтко демон-
струють чисельнi дослiди на ЕОМ Н. Забусько-
го i М. Крускала [39]. Пiсля певного часу еволю-
цiї профiлю вiльної поверхнi наступає так званий
перманентний (квазiусталений) перiод iснування
хвиль, коли вони рухаються в просторi без змiни
свого профiлю та швидкостi перемiщення. Саме в
цей перманентний перiод профiль вiльної поверх-
нi кноїдальних хвиль описується формулою (13),
яка є стацiонарним розв’язком диференцiального
рiвняння (37).
Резюмуючи iнформацiю про перший випадок,
можна сказати, що наявнiсть перiоду еволюцiї
хвиль (зона 2 на рис. 5, а) забезпечує формуван-
ня таких параметрiв потоку у вiдповiднiй пiдошвi
хвиль (глибини h1, числа Фруда Fr1, коефiцiєнта
негiдростатичностi s1), що забезпечують виконан-
ня умови (30), при якiй можливе iснування кної-
дальних хвиль. Перерiз потоку, проведений через
зазначену пiдошву, необхiдно вважати за початко-
вий перерiз рухомих перманентних кноїдальних
хвиль.
Другим типовим випадком утворення рухомих
кноїдальних хвиль є бiлякритичнi хвилi перемi-
щення (рис. 5, б), якi виникають при рiзкiй змi-
нi (збiльшеннi або зменшеннi) витрати рiдини на
початку чи в кiнцi каналу [33, 35 – 37]. Негатив-
нi прояви таких хвиль перемiщення з хвилястою
поверхнею та iснуючi методи боротьби iз такими
проявами описанi в [40]. Стосовно даного випадку
необхiдно пiдкреслити, що зазначенi хвилi перемi-
щення не можна класифiкувати як кноїдальнi на
всiй їх довжинi. Причина такого положення поля-
гає в наступному. Як чiтко засвiдчують результа-
ти експериментальних дослiджень [40 – 42], пер-
ша хвиля розглядуваного явища має яскраво ви-
ражений асиметричний профiль кривої вiльної по-
верхнi, причому початкова глибина цiєї хвилi hI
пч
є меншою за її кiнцеву глибину hI
кц. В той саме час
кноїдальнi хвилi, описуванi системою рiвнянь (3),
є симетричними вiдносно вертикалей, проведених
через вершини хвиль.
У вiдповiдностi з цим при розглядi хвиль пере-
мiщення за кноїдальнi звичайно приймають ли-
ше хвилi, розмiщенi за першою хвилею, яку з
певними застереженнями вважають за самотню
[18, 26, 27, 33, 43, 44]. При цьому склеювання тео-
ретичних розв’язкiв самотньої i кноїдальних хвиль
для отримання розрахункового профiлю вiльної
поверхнi хвиль перемiщення здiйснюють у перерi-
зi, що проходить через вершину першої хвилi, або
через точку перегину кривої вiльної поверхнi, роз-
мiщену за вершиною першої хвилi. При проведеннi
такого склеювання висоту hкх
в пiд вершинами кно-
їдальних хвиль приймають рiвною висотi hI
в пiд
вершиною самотньої хвилi. Тут доречно пригада-
ти, що ще Г. Фавр [35] при проведеннi своїх експе-
риментальних дослiджень хвиль перемiщення ви-
словив думку, що першою хвилею дослiджуваного
явища є самотня хвиля, а наступнi хвилi – кної-
дальнi.
Розглянемо питання про вибiр початкового пе-
рерiзу (тобто перерiзу з першого спряженого гли-
биною) рухомих перманентних кноїдальних хвиль,
зображених на рис. 5, б. При цьому глибина в
такому перерiзi повинна вiдповiдати визначенню
першої спряженої глибини, даному в [45] для всьо-
го класу бiлякритичних течiй. Враховуючи асиме-
тричнiсть профiлю першої хвилi, за першу спря-
жену глибину кноїдальних хвиль у складi бiлякри-
тичних хвиль перемiщення, показаних на рис. 5, б,
необхiдно приймати глибину h1 пiд пiдошвою, роз-
мiщеною мiж першою i другою вершинами розгля-
дуваних хвиль перемiщення. Наявнiсть асиметри-
чної першої хвилi в складi хвиль перемiщення за-
безпечує виконання обов’язкової умови (30) iсну-
вання кноїдальних хвиль.
Необхiдно пiдкреслити, що в обох описаних ви-
падках утворення рухомих перманентних кної-
дальних хвиль глибина незбуреного потоку (де ко-
ефiцiєнт негiдростатичностi sнз =1) не може бути
початковою глибиною кноїдальних хвиль, де вiль-
на поверхня повинна бути ввiгнутою, а коефiцi-
єнт негiдростатичностi s1 – бiльшим одиницi, тоб-
то h1 6= hнз.
Для порiвняння зауважимо, що при утворен-
нi нерухомих кноїдальних хвиль виконання умови
(30) досягається досить просто. В даному випад-
ку викривлення потоку у вертикальнiй площинi
спричиняється впливом елементiв iснуючих гiдро-
технiчних споруд – водозливiв, затворiв, забраль-
них стiнок i т.п., завдяки дiї яких у стисненому пе-
рерiзi, що можна приймати за початковий перерiз
кноїдальних хвиль, потiк є ввiгнутим, а коефiцiєнт
негiдростатичностi s1 > 1.
ВИСНОВКИ
1. Умови iснування рiзних типiв бiлякритичних
течiй не можна характеризувати лише одним кри-
терiєм – числом Фруда Fr1 у їх початковому пере-
рiзi.
2. Для однозначного описання цих умов необ-
хiдно враховувати три критерiї – квадрат модуля
k2 елiптичних функцiй Якобi, число Фруда Fr1 в
початковому перерiзi розглядуваних явищ та кое-
фiцiєнт негiдростатичностi s1 (чи пов’язанi з ним
78 О. А. Рябенко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
коефiцiєнти гiдродинамiчного тиску k1 або потен-
цiальної енергiї β1), який враховує ступiнь викрив-
лення потоку у вертикальнiй площинi в зазначено-
му перерiзi.
3. Побудована математична модель хвилеподi-
бних бiлякритичних течiй, виведене диференцi-
альне рiвняння (1) профiлю їхньої вiльної поверх-
нi, а також його загальний (3) та частиннi (17) i
(20) розв’язки описують умови iснування та основ-
нi характеристики сформованих бiлякритичних
течiй з вiдповiдними значеннями квадрата моду-
ля k2 елiптичних функцiй Якобi через параметри
потоку в початковому перерiзi цих течiй – число
Фруда Fr1 та коефiцiєнт негiдростатичностi s1.
4. Кноїдальнi хвилi, описуванi системою рiвнянь
(3) i утворюванi при квадратi модуля елiптичних
функцiй Якобi
0 < k2 < 1,
можуть iснувати на поверхнi не тiльки спокiйних,
а й критичних та бурхливих потокiв, тобто при
числах Фруда
Fr1
<
>
1.
5. Необхiдною умовою iснування кноїдальних
хвиль, описуваних системою (3) i утворюваних при
0<k2 <1, є наявнiсть ввiгнутої кривої вiльної по-
верхнi в їхньому початковому перерiзi та вiдповiд-
но вiдсутнiсть гiдростатичного закону розподiлу
тиску по глибинi в цьому перерiзi, коли коефiцiєнт
негiдростатичностi
s1 > 1.
6. Рухомi перманентнi кноїдальнi хвилi iз ста-
цiонарним профiлем вiльної поверхнi, описуваним
системою (3), та постiйною швидкiстю перемiщен-
ня c > cк =
√
gh, утворюванi безпосередньо на по-
верхнi незбуреного потоку (чи нерухомої рiдини)
з глибиною h = hнз та гiдростатичним розподiлом
тиску по глибинi в будь-якому перерiзi, в природi
самостiйно iснувати не можуть. Для утворення ру-
хомих перманентних кноїдальних хвиль необхiдно
iснування певної перехiдної дiлянки мiж незбуре-
ною рiдиною та перманентними хвилями (див. зо-
ну 2 на рис. 5, а), яка забезпечує виконання умови
(30).
7. Зазначенi в п. 2.2 характеристики потоку
(Fr1, s1 та iншi) можна рекомендувати як хара-
ктернi ознаки для проведення iдентифiкацiї окре-
мих типiв одиночних хвиль.
8. Серед утворюваних y рiзних умовах бiлякри-
тичних течiй з хвилястою поверхнею, загальною
рисою яких є те, що кiлькiсть хвиль у них дорiв-
нює одиницi, гiдродинамiчним солiтоном, описува-
ним рiвнянням (20), можна визнати лише нерухо-
му i рухому самотнi хвилi, утворюванi в бурхли-
вих потоках при наявностi гiдростатичного закону
розподiлу тиску по глибинi в їх початковому пере-
рiзi, тобто при виконаннi умов (12), (21):
s1 = 1,
Fr1 > 1,
причому граничнi i початковi умови забезпечують
рiвнiсть початкової hпч та кiнцевої hкц глибин роз-
глядуваного явища.
9. Внаслiдок iснування донних водоворотiв з
обертовим рухом рiдини спереду та позаду пере-
шкоди (див. рис. 1, є роботи [2]), наявнiсть яких
в тiй чи iншiй мiрi виключає можливiсть засто-
сування теорiї потенцiального руху при розглядi
таких потокiв, одиночну хвилю, утворювану при
обтiканнi донної перешкоди значної висоти, не мо-
жна вiдносити до категорiї солiтонiв навiть при
виконаннi умов (12), (21) та рiвностi початкової
hпч i кiнцевої hпц глибин.
2
1. Riabenko A. A. Free surface profile of wavelike near-
critical flows and solitary solutions of some differenti-
al equations // Int. Journ. Fluid Mech. Research.–
2001.– 28, N 6.– P. 834–856.
2. Рябенко О. А. Математична модель хвилеподi-
бних бiлякритичних течей рiдини з урахуванням
можливого викривлення потоку у вертикальнiй
площинi в їх початковому перерiзi // Прикладна
гiдромеханiка.– 2006.– 8 (80), N 1.– С. 60–72.
3. Смыслов В. В. Теория водослива с широким
порогом.– К.: Изд-во АН УССР, 1956.– 184 с.
4. Serre F. Contribution а l’etude des ’econlements
permanents et variables dans les canaux // Houille
Blanche.– 1953.– N 3.– P. 374 – 388.
5. Khafagi A., Hammad S. Z. Velocity and Pressure Di-
stribution in Curved Stream – Line Flov // Water
and Water Engineering.– 1954, March.– P. 106 – 115.
6. Корн. Г., Корн Т. Справочник по математике.– М.:
Наука, 1973.– 832 с.
7. Фильчаков П. Ф. Справочник по высшей
математике.– К.: Наукова думка, 1972.– 744 с.
8. Чугаев Р. Р. Гидравлика.– Л.: Энергоиздат, 1982.–
672 с.
9. Бондаренко М. Ф., Дiкарєв В. А., Мельни-
ков О. Ф., Семенець В. В., Шкляров Л. Й. Матема-
тика для вступникiв до вузiв.– Харкiв: “Компанiя
СМIТ”, 2002.– 1120 с.
10. Riabenko A. A. Types, characteristics and conditi-
ons of existence of near-critical flows Hydrotechni-
cal Construction. Translated from Russian //
Consultants Bureau, New York.– May–November
1992.– 26, N 5.– P. 269–275.
11. Chow V. T. Open channel hydraulics.– New York:
McGraw – Hill, 1959.– 204 p.
О. А. Рябенко 79
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 1. С. 66 – 80
12. Рябенко А. А. Экспериментальные исследова-
ния сопряженных глубин околокритических тече-
ний // Гидравлика и гидротехника.- К.: Техника.–
1977.– 25.– С. 70–78.
13. Рябенко А. А. Экспериментальные исследования
максимальной глубины околокритических тече-
ний с волнообразной поверхностью // Гидравлика
и гидротехника. - К.: Техника.– 1985.– 41.– С. 45–
50.
14. Рябенко А. А. Условия существования уединен-
ной волны // Гидравлика и гидротехника.-К.:
Технiка.– 1989.– 49.– С. 35–41.
15. Рябенко А. А. Условия существования кноидаль-
ных волн // Гидравлика и гидротехника.- К.:
Технiка.– 1991.– 53.– С. 3–9.
16. Littman W. On the existence of periodic waves with
near critical speed // Comm. Pure Appl. Math.– 10.–
1957.– P. 241–269.
17. Вереземский В. Г. О прыжке и сужении бурно-
го потока: Автореф. Дис. канд.техн.наук.– МГМИ:
М., 1967.– 14 с.
18. Турсунов А. А. Околокритическое состояние без-
напорных потоков воды // Изв. ВНИИГ.– 1969.–
90.– С. 201–224.
19. Мельников А. Н. Несовершенный прыжок воды
в прямоугольном призматическом русле с гори-
зонтальным дном // Труды НИМИ.– 1958.– 6.–
С. 509- 526.
20. Рябенко А. А. Гидравлические сопротивления око-
локритических течений с волнообразной поверхно-
стью // Гидротехническое строительство.– 2002.–
N 4.– С. 27–37.
21. Rayleigh, Lord On waves // Phil. Mag..– 1876.– 5,
N 1.– P. 257–279.
22. Lamb H. Hydrodynamics.– Donver: New York, 1932.–
347 p.
23. Cмыслов В. В. Исследование уединенной волны с
помощью одноразмерной теории // Гидравлика и
гидротехника.– K.: Технiка.– 9, 1970.– C. 21–25.
24. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений
жидкости.– М. – Л.: ОНТИ НКТП, 1936.– 303 с.
25. Лайтхилл Д. Волны в жидкостях.– М.: Мир, 1981.–
600 с.
26. Эшмурадов Ю. Исследование процессов фор-
мирования положительных волн перемещения в
каналах.– Автореф. дис. канд. техн. наук: 05.14.9:
Л., 1975.– 21 с.
27. Нышанов Е. Волны перемещения в машинных
каналах.– Автореф. дис. канд. техн. наук: 05.14.09:
Киевск. инженерно–строит. ин–т. -К., 1988.– 24 с.
28. Рябенко О. А. Умови використання теорiї потен-
цiального руху при вивченнi бiлякритичних течiй
рiдини // Вiсник УДУВГП, Рiвне.– 2004.– 2 (26).–
С. 203–211.
29. Василенко А. П. Опытные данные об остановив-
шейся волне // Гидравлика. 2.– К.: Технiка, 1966.–
С. 26–36.
30. Riabenko A., Kravets S., Kojouchko L., Hassane M.
Modлlisation hydraulique des лconlements liquides
an voisinage de la profondeur critique // Actes.
Colloque International sur l’Eau et l’Environment.–
Alger, 2004.– P. 180–188.
31. Ляпидевский В. Ю., Тешуков В. М. Математиче-
ские модели распространения длинных волн в не-
однородной жидкости.– Новосибирск: Изд–во СО
РАН, 2000.– 420 с.
32. Ильичев А. Т. Уединенные волны в моделях
гидромеханики.– М.: Физматгиз, 2003.– 256 с.
33. Смыслов В. В. Об остановившейся волне в бур-
ном потоке жидкости // Изв. вузов. Энергетика.–
1964.– N 3.– С. 104–110.
34. Kodama U., Ablowitz M. J. Perturbation of solitons
and solitary waves // Stud. Appl. Math.– 1981.– 64,
N 3.– P. 225–245.
35. Favre H. Etude théorique et expérimentale des ondes
de translation dans les canaux découvertes.– Dunod:
Paris, 1935.– p.
36. Sandover J. A., Zienkiewicz O. C. Experiments on
Surge Waves // Water Power.– 1957.– November.–
P. 418–424.
37. Jones L. E. Some observations on the undular
jump // Proc. ASCE, HD.– 1964.– 90, НУЗ.– P. 69–
82.
38. Korteweg D. J., de Vries G. On the change of form of
long wares advancing in a rectangular canal and on
a new type of long stationary waves // Philosophiсal
Magazine and Journal of Science.– 1895.– 39, ser. 5.–
P. 422–443.
39. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of solitons
in a collisionless plasma and the recurrence of initial
states // Phys. Rev. Lett..– 1965.– 15.– P. 240–243.
40. Рябенко О. А. Позитивнi i негативнi прояви бiля-
критичних течiй рiдини та методи боротьби з їх
негативними проявами // Ресурсоекономнi матерi-
али, конструкцiї, будiвлi та споруди.– Рiвне: 2004,
вип. 11.– 300–308 с.
41. Sandover J. A., Taylor C. Choidal waves and bores //
La Houille Blanche.– 1962.– N 3.– P. 443–456.
42. Hammack J. L., Segur H. The Korteweg – de Vries
equation and water waves. Part 2, Comparison with
experiments // J. of Fluid Mechanics.– 1974.– 65,
N 2.– P. 289–314.
43. Гидравлические расчеты конструкций, управляю-
чих бурными потоками. Рекомендации для про-
ектирования / Под общ. ред. Ф. Г. Гунько.– Л.:
Энергия, 1974.– 110 с.
44. Wiegel R. L. A presentation of cnoidal wave
theory for practical application // Journal of Fluid
Mechanics.– Feb., 1960.– 7, part 2.– P. 273 – 286.
45. Рябенко О. А. Теоретичнi основи i методи роз-
рахункiв бiлякритичних течiй рiдини з вiль-
ною поверхнею.– Дисертацiя ... докт. техн. наук:
05.23.16: Рiвне, 2003.– 393 с.
80 О. А. Рябенко
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4695 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:36:19Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Рябенко, О.А. 2009-12-18T12:54:40Z 2009-12-18T12:54:40Z 2007 Форми вiльної поверхнi та умови iснування гiдродинамiчного солiтону, самотньої, одиночної i кноїдальної хвиль / О.А. Рябенко // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 1. — С. 66-80. — Бібліогр.: 45 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4695 532.592 В соответствии с полученными решениями обобщенного дифференциального уравнения профиля свободной поверхности волнообразных околокритических течений для разных значений квадрата модуля эллиптических функций Якоби определены очертания свободной поверхности и условия существования разных типов рассматриваемых течений, причем эти условия выражены через характеристики потока в начальном сечении рассматриваемых явлений. Определены условия существования перемещающихся кноидальных волн и критерии идентификации уединенной и разных типов одиночных волн. Описано влияние граничных и начальных условий на существование околокритических течений. У вiдповiдностi з отриманими розв'язками узагальненого диференцiального рiвняння профiлю вiльної поверхнi хвилеподiбних бiлякритичних течiй для рiзних значень квадрата модуля елiптичних функцiй Якобi визначено обриси вiльної поверхнi та умови iснування рiзних типiв розглядуваних течiй, причому цi умови вираженi через характеристики потоку в початковому перерiзi дослiджуваних явищ. Визначено умови iснування рухомих кноїдальних хвиль та критерiї iдентифiкацiї самотньої та рiзних типiв одиночних хвиль. Описано вплив граничних i початкових умов на iснування бiлякритичних течiй. In correspondence with the obtained solutions for the generalised differential equation of the profile of free surface of wavelike near-critical flows for various values of the square of the module of elyptical Jacobi functions we determined outlines of free surface and conditions for existing various types of flows discussed, these conditions being expressed via flow characteristics in the initial intersection of phenomena studied. Conditions are determined of existing movable cnoidal waves and criteria of identifying solitary and various types of single waves. The influence is described of limiting and initial conditions on the existence of nearcritical flows. uk Інститут гідромеханіки НАН України Форми вiльної поверхнi та умови iснування гiдродинамiчного солiтону, самотньої, одиночної i кноїдальної хвиль Forms of free surface and conditions of existence of hydrodynamic soliton, solitary, single and cnoidal waves Article published earlier |
| spellingShingle | Форми вiльної поверхнi та умови iснування гiдродинамiчного солiтону, самотньої, одиночної i кноїдальної хвиль Рябенко, О.А. |
| title | Форми вiльної поверхнi та умови iснування гiдродинамiчного солiтону, самотньої, одиночної i кноїдальної хвиль |
| title_alt | Forms of free surface and conditions of existence of hydrodynamic soliton, solitary, single and cnoidal waves |
| title_full | Форми вiльної поверхнi та умови iснування гiдродинамiчного солiтону, самотньої, одиночної i кноїдальної хвиль |
| title_fullStr | Форми вiльної поверхнi та умови iснування гiдродинамiчного солiтону, самотньої, одиночної i кноїдальної хвиль |
| title_full_unstemmed | Форми вiльної поверхнi та умови iснування гiдродинамiчного солiтону, самотньої, одиночної i кноїдальної хвиль |
| title_short | Форми вiльної поверхнi та умови iснування гiдродинамiчного солiтону, самотньої, одиночної i кноїдальної хвиль |
| title_sort | форми вiльної поверхнi та умови iснування гiдродинамiчного солiтону, самотньої, одиночної i кноїдальної хвиль |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4695 |
| work_keys_str_mv | AT râbenkooa formivilʹnoípoverhnitaumoviisnuvannâgidrodinamičnogosolitonusamotnʹoíodinočnoíiknoídalʹnoíhvilʹ AT râbenkooa formsoffreesurfaceandconditionsofexistenceofhydrodynamicsolitonsolitarysingleandcnoidalwaves |