Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей

Рассматривается задача о построении конфигураций и анализе устойчивости стационарного вращения системы N одинаковых точечных вихрей на плоскости. В работе приводится краткий обзор имеющихся в литературе методов поиска равномерно вращающихся вихревых структур. Предложен новый метод построения симметр...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2007
Main Authors:	Ареф, Х., Мелешко, В.В., Губа, А.А., Гуржий, А.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2007
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4697
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей / Х. Ареф, В.В. Мелешко, А.А. Губа, А.А. Гуржий // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 2-3. — С. 5-24. — Бібліогр.: 96 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859621698758770688
author	Ареф, Х. Мелешко, В.В. Губа, А.А. Гуржий, А.А.
author_facet	Ареф, Х. Мелешко, В.В. Губа, А.А. Гуржий, А.А.
citation_txt	Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей / Х. Ареф, В.В. Мелешко, А.А. Губа, А.А. Гуржий // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 2-3. — С. 5-24. — Бібліогр.: 96 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Рассматривается задача о построении конфигураций и анализе устойчивости стационарного вращения системы N одинаковых точечных вихрей на плоскости. В работе приводится краткий обзор имеющихся в литературе методов поиска равномерно вращающихся вихревых структур. Предложен новый метод построения симметричных и несимметричных конфигураций точечных вихрей с одинаковой интенсивностью, основанный на численном решении системы нелинейных алгебраических уравнений. Анализ полученных решений позволил сформировать расширенный каталог равномерно вращающихся структур, содержащих N (где 2 ≤ N ≤ 10) точечных вихрей. В каталог включены 13 симметричных и 25 несимметричных вихревых конфигураций. Сравнительный анализ траекторий движения системы точечных вихрей без начального возмущения и с начальным возмущением показывает, что симметричные конфигурации содержат как устойчивые, так и неустойчивые структуры. В то же время, все несимметричные вихревые конфигурации являются неустойчивыми. Розглядається задача про побудову конфiгурацiй i аналiз стiйкостi стацiонарного обертання системи N однакових точкових вихорiв на площинi. У роботi наводиться короткий огляд iснуючих у лiтературi методiв пошуку вихрових структур, що рiвномiрно обертаються. Запропонований новий метод побудови симетричних i несиметричних конфiгурацiй точкових вихорiв з однаковою iнтенсивнiстю, заснований на чисельному розв'язку системи нелiнiйних алгебраєчних рiвнянь. Аналiз одержаних розв'язкiв дозволив сформувати розширений каталог структур, що рiвномiрно обертаються i мiстять N (де 2 ≤ N ≤ 10) точкових вихорiв. Каталог вмiщує 13 симетричних i 25 несиметричних вихорових конфiгурацiй. Порiвняльний аналiз траєкторiй руху системи точкових вихорiв без початкового збудження i з початковим збудженням показує, що симетричнi конфiгурацiє мiстять як стiйкi, так i нестiйкi структури. У той же час, всi несиметричнi вихровi конфiгурацiє є нестiйкими. A problem on construction of configurations and analysis of stability of stationary rotation of a system N of identical point vortices on a plane is considered. A brief review on existing in literature methods to search the uniformly-rotating vortex structures is carried out. A new method to construct the symmetric and asymmetric configurations of point vortices with equal intensity based on numeral solution of a system of nonlinear algebraic equalizations is proposed. The analysis of achieved solutions allowed to form an extended catalogue of uniformly-rotated structures containing N (where 2 ≤ N ≤ 10) point vortices. The catalogue has 13 symmetric and 25 asymmetrical vortex configurations. The comparative analysis of trajectories of point vortex system without initial perturbations and with initial perturbations shows that symmetric configurations contain both steady and unsteady structures. On the other hand, all asymmetrical vortex configurations are unsteady.
first_indexed	2025-11-29T04:27:03Z
format	Article
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 УДК 539.3 РАВНОМЕРНО-ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ ТОЧЕЧНЫХ ВИХРЕЙ Х. А РЕ Ф∗, В. В. МЕЛ Е ШК О∗∗, А. А. Г У Б А∗∗∗, А. А. Г У РЖ И Й∗∗∗∗ ∗ Технический университет Дании, Лингбю, Дания ∗∗ Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Украина ∗∗∗ Политехнический институт и университет штата Вирджиния, Блэксбург, США ∗∗∗∗ Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 20.04.2007 Рассматривается задача о построении конфигураций и анализе устойчивости стационарного вращения системы N одинаковых точечных вихрей на плоскости. В работе приводится краткий обзор имеющихся в литературе методов поиска равномерно вращающихся вихревых структур. Предложен новый метод построения симметричных и несим- метричных конфигураций точечных вихрей с одинаковой интенсивностью, основанный на численном решении сис- темы нелинейных алгебраических уравнений. Анализ полученных решений позволил сформировать расширенный каталог равномерно вращающихся структур, содержащих N (где 2 ≤ N ≤ 10) точечных вихрей. В каталог включе- ны 13 симметричных и 25 несимметричных вихревых конфигураций. Сравнительный анализ траекторий движения системы точечных вихрей без начального возмущения и с начальным возмущением показывает, что симметричные конфигурации содержат как устойчивые, так и неустойчивые структуры. В то же время, все несимметричные ви- хревые конфигурации являются неустойчивыми. Розглядаґться задача про побудову конфiгурацiй i аналiз стiйкостi стацiонарного обертання системи N однакових точкових вихорiв на площинi. У роботi наводиться короткий огляд iснуючих у лiтературi методiв пошуку вихро- вих структур, що рiвномiрно обертаються. Запропонований новий метод побудови симетричних i несиметричних конфiгурацiй точкових вихорiв з однаковою iнтенсивнiстю, заснований на чисельному розв’язку системи нелiнiй- них алгебраєчних рiвнянь. Аналiз одержаних розв’язкiв дозволив сформувати розширений каталог структур, що рiвномiрно обертаються i мiстять N (де 2 ≤ N ≤ 10) точкових вихорiв. Каталог вмiщуґ 13 симетричних i 25 несиме- тричних вихорових конфiгурацiй. Порiвняльний аналiз траґкторiй руху системи точкових вихорiв без початкового збудження i з початковим збудженням показуґ, що симетричнi конфiгурацiє мiстять як стiйкi, так i нестiйкi стру- ктури. У той же час, всi несиметричнi вихровi конфiгурацiє ґ нестiйкими. A problem on construction of configurations and analysis of stability of stationary rotation of a system N of identical point vortices on a plane is considered. A brief review on existing in literature methods to search the uniformly-rotating vortex structures is carried out. A new method to construct the symmetric and asymmetric configurations of point vortices with equal intensity based on numeral solution of a system of nonlinear algebraic equalizations is proposed. The analysis of achieved solutions allowed to form an extended catalogue of uniformly-rotated structures containing N (where 2 ≤ N ≤ 10) point vortices. The catalogue has 13 symmetric and 25 asymmetrical vortex configurations. The comparative analysis of trajectories of point vortex system without initial perturbations and with initial perturbations shows that symmetric configurations contain both steady and unsteady structures. On the other hand, all asymmetrical vortex configurations are unsteady. ВВЕДЕНИЕ В следующем году будет отмечаться 150-летний юбилей одной из самых знаменитых и весомых работ в гидродинамике – классической статьи [1] выдающегося немецкого физика, математика, аку- стика, физиолога, психолога – естествоиспытате- ля в старинном смысле этого слова Г. Гельм- гольца (1821–1894), заложившего этой работой1 основание теории вихрей. Сейчас трудно сказать с определенностью, что побудило бывшего хирур- 1Существует английскийперевод [2], сделанный Тэйтом, а также русский перевод [3], выполненный под редакцией и с обширными комментариями С. А. Чаплыгина [4]. В даль- нейшем мы будем давать необходимые ссылки именно на этот русский перевод, имеющийся как у одного из авторов, так и на сайте http://ivanik3.narod.ru.Эта же работа опу- бликована в виде книги [5] и журнальной статьи [6]. га гарнизонного драгунского полка в Потсдаме, выпускника Военного медико-хирургического ин- ститута Фридриха-Вильгельма в Берлине2 , моло- дого профессора кафедры анатомии и физиоло- гии Боннского университета3, обратится к весь- ма трудным в математическом плане нелинейным уравнениям Эйлера движения идеальной жидко- 2Институт при бесплатности обучения налагал на своих воспитанников обязанность отслужить по его окончании несколько лет в армии или на флоте. 3Статья вышла, когда Гельмгольц уже был профессо- ром кафедры физиологии Гейдельбергского университета. Жизнь и научные труды этого выдающегося физика, мате- матика, акустика, физиолога, психолога (естествоиспыта- теля, в старинном смысле этого слова) XIX века – на его кончину откликнулись некрологами более 50 научных жур- налов по всему миру – подробно описаны во многих книгах и статьях его коллег и учеников (выделим замечательный очерк А. Г. Столетова [7]) и его последователей [8,9]. Назо- вем лишь книгу [10], в которой можно найти детальную би- блиографию; см. также [11, p. 197] для дальнейших ссылок. c© Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий, 2007 5 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 сти. Сам Гельмгольц в речи на банкете по пово- ду своего 70-летия (события, собравшего 2 ноября 1891 года в Берлине 260 друзей и почитателей) дал такую развернутую трактовку [12, с. XXI]: Мне удалось решить некоторые физи- ко-математические задачи, и в том числе даже такие, над которыми тщетно труди- лись великие математики со времен Эй- лера, например вопросы о вихревых дви- жениях и о разрывности движения в жид- костях, вопрос о распространении звука у открытых концов органных труб, и про- чее. Но та гордость, какую мог бы вну- шать мне в этих случаях конечный ре- зультат, значительно принижались от со- знания, что решение подобных задач по- чти всегда удавалось мне не иначе как путем постепенного обобщения удобных частных случаев, рядом счастливых про- блесков мысли, приходивших в голову после долгого блуждания по сторонам. Я могу сравнить себя с путником, который предпринял восхождение на гору, не зная дороги; долго и с трудом взбирается он и часто вынужден ворочаться назад, ибо дальше нет прохода; то размышление, то случай открывают ему новые тропинки, они ведут его несколько далее, и наконец, когда цель уже достигнута, он, к своему стыду, находит широкую дорогу, по ко- торой мог бы подняться, если бы сумел верно отыскать начало. В своих статьях я, конечно, не занимал читателя расска- зом о таких блужданиях, описывая толь- ко тот проторенный путь, по которому те- перь он может без труда взойти на верши- ну. До опубликования работы [1] все задачи гидро- динамики рассматривались для случаев, когда ве- ктор скорости u в эйлеровой системе с компонен- тами u, v, w в прямоугольной системе координат Oxyz имеет потенциал. Хотя понятие вращения частиц, характеризуемого вектором ω с компонен- тами ξ, η, ζ в прямоугольных координатах ξ = 1 2 ( ∂w ∂y − ∂v ∂z ) , η = 1 2 ( ∂u ∂z − ∂w ∂x ) , ζ = 1 2 ( ∂v ∂x − ∂u ∂y ) (1) появлялось уже в работах Д’Аламбера (1749), Эйлера (1752-1755), Лагранжа (1760) и Коши (1815), лишь Гельмгольц впервые подверг об- щему исследованию те случаи движения жидко- сти, когда потенциал скорости отсутствует. При этом им были открыты новые, вихревые, типы движения жидкости, которые не были детально известны “отцам-основателям” теоретической ги- дродинамики4. Гельмгольц установил, что для не- вязкой несжимаемой жидкости при воздействии массовых сил, обладающих потенциалом, вихре- вое движение не может ни возникнуть, ни исче- знуть. Если завихренность уже присутствует у части жидких частиц, то они неспособны передать ее тем частицам, которые ее не имеют. Три вих- ревых закона Гельмгольца устанавливают любо- пытную и нерушимую связь между жидкими час- тицами и состоянием их вращения [3, с. 7]: Дальнейшее исследование покажет нам, что в тех случаях, где существует по- тенциал скоростей, мельчайшие частицы жидкости не имеют вращательного дви- жения, но, по крайней мере, часть жид- ких частиц находится во вращении, раз потенциал скоростей не имеет места. Вихревыми линиями (Wirbellinien, vortex-lines) я называю линии, прове- денные в жидкой массе таким образом, что их направление повсюду совпадает с направлением мгновенной оси вращения лежащих на них частиц жидкости. Вихревыми нитями (Wirbelfäden, vor- tex-filaments) я называю части жидкой массы, которые выделятся из нее, если через все точки контура бесконечно ма- лого элемента поверхности провести соо- тветственные вихревые линии. Исследование показывает, что если для всех сил, действующих на жидкость, существует потенциал сил, то: 1) ни одна жидкая частица не может прийти во вращательное движение, если только она не обладала им уже с самого начала; 2) жидкие частицы, расположенные для какого-нибудь момента времени на вихревой линии, всегда будут и при своем перемещении принадлежать одной и той же вихревой линии; 4Хотя сам Гельмгольц отмечал [3, с. 6]: “Между тем уже Эйлер (Histoire de l’Acad. des Sciences de Berlin. 1755, p. 292) обратил внимание на то, что существуют и такие слу- чаи движения жидкости, при которых не имеет место по- тенциал скоростей, например, вращение жидкости около оси при одинаковой угловой скорости всех частиц”. 6 Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 3) произведение поперечного сечения на скорость вращения для бесконечно тонкой вихревой нити на всем ее протя- жении постоянно и сохраняет свою вели- чину при передвижении нити. Поэтому вихревые нити должны внутри жидкости замыкаться в себе; они могут оканчива- ться не иначе, как на ее границах. Гельмгольц [1, § 2] установил5 уравнения для компонент вектора завихренности: Dξ Dt = ξ ∂u ∂x + η ∂u ∂y + ζ ∂u ∂z , Dη Dt = ξ ∂v ∂x + η ∂v ∂y + ζ ∂v ∂z , (2) Dζ Dt = ξ ∂w ∂x + η ∂w ∂y + ζ ∂w ∂z , или же, эквивалентно для несжимаемой жидко- сти: Dξ Dt = ξ ∂u ∂x + η ∂v ∂x + ζ ∂w ∂x , Dη Dt = ξ ∂u ∂y + η ∂v ∂y + ζ ∂w ∂y , (3) Dζ Dt = ξ ∂u ∂z + η ∂v ∂z + ζ ∂w ∂z . Здесь мы использовали обозначение Стокса для полной производной D/Dt = (∂/∂t) + u (∂/∂x)+ +v (∂/∂y) + w (∂/∂z). В современных векторных обозначениях уравнение (3) имеет вид: Dω Dt = ω · ∇u , (4) где ω = ∇× u , ∇ · u = 0 . (5) Вероятно, трудно назвать иную статью по меха- нике, которая породила бы целое научное направ- ление. Названное вихревой динамикой или теори- ей вихрей, это направление гидродинамики успе- шно развивается во всем мире, в том числе и в Институте гидромеханики НАН Украины [13,14]. Теория вихрей Гельмгольца детально описыва- лась или просто упоминалась в статьях в энцик- лопедиях, курсах общей и теоретической физи- ки, многочисленных учебниках по механике жид- кости, диссертациях, специализированных моно- графиях и учебниках, научных журнальных ста- тьях и научно-популярных книгах. Список ссылок 5Вывод этих уравнений намечен лишь бегло, что потре- бовало детального комментария С.А.Чаплыгина [4, с. 79]. настолько велик (достаточно сказать, что приве- денная в обзоре [11], возможно и неполная, биб- лиография с 1858 по 1956 годы содержит более 1000 наименований работ по вихревой динамике), что дать какой-либо полный обзор всех исследо- ваний вряд-ли представляется возможным. При- ведем лишь чрезвычайно высокую оценку Н. Е. Жуковским [15, с. 38] вклада Гельмгольца в меха- нику6 Механика развивалась как глубоко- мысленными трудами аналистов, так и остроумными исследованиями геометров. При этом часто бывало, что сложные аналитические формулы освещались и представлялись в ясной наглядной фор- ме, благодаря удачным геометрическим представлениям. Такие интерпретации охватывали задачу во всей ее полноте и раскрывали многие свойства ее, не заме- ченные при аналитическом исследовании. Так было с решением задачи о движении твердого тела около его центра тяжести; решение сперва было получено Эйлером аналитическим путем, но оставалось за- терянным среди массы формул и только благодаря простым и наглядным интер- претациям Пуансо предстало перед гла- зами ученых со всей ясностью. Какая роль выпала на долю Пуан- со при разъяснении вопроса о движе- нии твердого тела, такая же принадле- жит и Гельмгольцу в разъяснении вопро- са о движении жидкости. Почти все работы Гельмгольца по ме- ханике посвящены гидродинамике, кото- рой он не перестает заниматься и до настоящего времени. При этом можно сказать, что современная гидродинамика своим развитием обязана главным обра- зом Гельмгольцу. А между тем наиболее замечательная работа германского уче- ного в этой области: “Ueber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen” появилась в 1858 году, спустя 43 года после того, как формулы, заключающие в себе принцип сохранения вихрей, были найдены Коши. Но Коши рассматривал полученный им результат только с аналитической сторо- ны и не предвидел той массы вопросов, 6Этот обзор был воспроизведен в двух изданиях собра- ния сочинений Н. Е. Жуковского (1937 год, том IX, с. 313– 328 и 1950 год, том VII, с. 132–149). Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий 7 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 которые могут быть решены при надле- жащем геометрическом освещении выво- дов. Отметим также, что согласно базе данных ISI Web of Science по более чем 6000 научным жур- налам с более чем 31 миллионом источников на время написания этой статьи (июль 2007) неме- цкий вариант статьи [1], начиная с 1950 года, пря- мо цитировался 72 раза, английский перевод [3] цитировался 39 раз – совсем неплохо для статьи, вошедшей в “научный фольклор”. Уравнения (3) выглядят обманчиво просто, но получение каких-либо аналитических или чис- ленных результатов их решения возможно лишь при существенных упрощениях. Знаменитая кон- цепция точечных вихрей в идеальной жидкости, предложенная Гельмгольцем в §5 статьи [1], когда вращение заключено только в нескольких распо- ложенных в безграничной жидкости параллельно оси Z, с единственной отличной от нуля компо- нентой вектора завихренности ζ бесконечно тон- ких параллельных вихревых нитях (каждая нить имеет постоянное предельное значение Γ произве- дения поперечного сечения на величину ζ), явля- ется чрезвычайно удачной моделью [16]. Одной из интереснейших задач динамики точе- чных вихрей является задача о поиске таких кон- фигураций N вихрей одинаковой интенсивности, которые бы лишь равномерно вращались вокруг центра завихренности системы, не изменяя рас- стояния между вихрями. Такие задачи были ини- циированы исследованиями В. Томсона (будуще- го лорда Кельвина) [18–20] и Дж. Дж. Томсона [21–24] по созданию “вихревой теории материи” и “корпускулярной модели атома” соответственно. Эти доквантовые построения были впоследствии отброшены, но несмотря на это, многие замеча- тельные мысли и наблюдения, относящиеся к пе- риодичности строения вещества, ни в коем случае не утратили своего значения [24, 25]. Важным стимулом для создания и разработки этих моделей послужили соответственно все та же классическая статья Гельмгольца [1] и простые и изящные эксперименты профессора Гарвардско- го университета Майера [27–31]. Эти эффектные опыты затем многократно повторялись и усовер- шенствовались [32–35], их описание и резюме ре- зультатов приведено также в [22, с. 120-121], [23, с. 72-74], [35, с. 432-433], [36]. В опытах Майера не- сколько маленьких магнитов, состоящих из рав- но намагниченных стальных иголок, воткнуты в маленькие пробки и плавают в широком сосуде с водой (рис. 1). Магниты расположены так, что Рис. 1. Схема опыта Майера (согласно [22, c. 120]. все их положительные полюса находятся выше по- верхности воды. Эти положительные полюса от- талкиваются друг от друга с силами, величины ко- торых изменяются обратно пропорционально ква- драту расстояния между ними. Притягивающая сила действует со стороны отрицательного полю- са большого магнита, подвешенного вертикально на некотором расстоянии над поверхностью во- ды. Составляющая силы притяжения этого магни- та вдоль поверхности воды направлена к точке поверхности, находящейся вертикально под полю- сом магнита, и приблизительно обратно пропорци- ональна расстоянию от этой точки. Расположения, принимаемые плавающими ма- гнитами по мере возрастания их числа от трех до семнадцати, представлены на рис. 2. Видно, что когда число магнитов не превосходит четырех, то они располагаются в вершинах правильного треу- гольника или квадрата. Пять магнитов могут на- ходиться как в вершинах правильного пятиуголь- ника так и в вершинах квадрата с одним магнитом в центре. Шесть магнитов располагаются не в вершинах правильного шестиугольника, а делятся на две системы, так что один находится в центре, а пять – вне его в вершинах правильного пятиугольника, схематично это можно записать 6 = 1 + 5. Такое расположение в двух орбитах продолжается до тех пор, пока число магнитов не достигнет пятнадца- ти, 15 = 1 + 5 + 9, когда получаются три орбиты; при двадцати семи возможны комбинации 27 = 5 + 9 + 13 и 27 = 1 + 5 + 9 + 12 и осуществляется 8 Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 Рис. 2. Схема конфигурации плавающих магнитов при 3 ≤ N ≤ 17 согласно [29] переход к четырем орбитам и т.д. Майер [30] при- вел таблицу расположения по орбитам для N ≤ 42 магнитов, воспроизведенную в [23, с. 73]. Эти блестящие эксперименты вдохновили В. Томсона [18] на указание аналогии стаци- онарного положения магнитов с равномерно вращающейся системой точечных вихрей оди- наковой интенсивности7. На наш взгляд, такая аналогия выглядит не совсем обоснованной, поскольку уравнения равновесия магнитов по сути не были даже выписаны (некоторое их обсу- ждение дано лишь в работе [31]). Тем не менее, научный авторитет В. Томсона был в то время столь велик, что ученые начали искать такие рав- номерно вращающиеся конфигурации точечных вихрей. Первый существенный результат получил Дж. Дж. Томсон [37], показавший, что правиль- ный вихревой N -угольник равномерно вращается вокруг начала координат. Естественным образом возникает первая проблема: отыскать все возмо- жные (с точностью до поворота относительно центра завихренности) равномерно вращающиеся конфигурации точечных вихрей. С этим тесно связан второй принципиальный вопрос: для заданного N > 3 существует ли конечное или бесконечное число таких конфигураций? Предложено несколько алгоритмов отыскания центрально симметричных [39–41] и несимме- тричных [42–46] равномерно вращающиеся кон- 7Сам В. Томсон указал лишь на наличие двух таких кон- фигураций для трех вихрей: равносторонний треугольник и прямая с равноудаленными положениями двух вихрей от третьего, расположенного в центре. фигураций точечных вихрей. На сегодняшний день наиболее полным считается (неопубликован- ный, copies are available from the authors upon request, частично эти данные были опубликованы в открытой печати [41]) “Лос Аламосский каталог” [46], содержащий численные данные о большин- стве вихревых конфигурациях вплоть до N = 50 вихрей. Возник даже специальный термин “вих- ревые кристаллы” [47] для общего названия работ в этом направлении. Следует также отметить, что в последней четверти XX века было проведено ряд экспериментов [49–52], идейно аналогичных экспе- риментам Майера, но на значительно более ка- чественном оборудовании для различных тонких физических систем (сверхтекучий гелий, плазма, магнитные диски наноразмеров). Второй проблемой в данной задаче является проблема устойчивости (и в каком смысле) любых равномерно вращающихся конфигураций. Уже Дж. Дж. Томсон [37] исследовал устойчивость правильного N -угольника точечных вихрей и по- казал, на основе анализа в линейном приближе- нии, что система вихрей при N ≤ 6 будет устойчи- вой для малых отклонений, а при N ≥ 8 будет не- устойчивой даже в линейном приближении. Слу- чай N = 7 в виду нулевого характеристического числа не давал возможности судить об устойчи- вости системы в линейном приближении. Резуль- таты Дж. Дж. Томсона были обобщены Хавело- ком [37] на случай, когда правильный N -угольник одинаковых точечных вихрей заключен в коакси- альный круг с жесткой стенкой. Показано, что граница имеет, хотя и незначительное, но деста- Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий 9 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 билизирующее влияние. Последующие работы в этом направлении были выполнены Л. Г. Хазиным [52, 53] и Л. Г. Ку- ракиным и В. И. Юдовичем [54, 55]. Первый ав- тор с помощью несколько усложненных методов современной математики об устойчивости равно- весия гамильтоновой системы при наличии резо- нансных соотношений между частотами нормаль- ных колебаний строго доказал те результаты (тео- рема Дж. Дж. Томсона), которые вроде бы не вызывали сомнений. (Это является яркой иллю- страцией высказывания академика А. Н. Крыло- ва [56, с. 549] о “торжестве науки над здравым смыслом”.) Согласно этим результатам ответ на вопрос о устойчивости зависит от членов 4 степени в тейлоровском разложении гамильтониана около положения равновесия. В работах [52, 53] сообща- ется, что сложные вычисления позволили устано- вить устойчивость; подробности этих вычислений опубликованы не были. В работах [54, 55] представлено решение зада- чи о устойчивости вихревого семиугольника отно- сительно малых возмущений. Оно было получе- но с использованием развитой самими авторами общей теории стационарного движения динамиче- ских систем, имеющих группу симметрии. В рабо- те Арефа [57] доказана неустойчивость в линей- ном приближении системы вихрей, расположен- ных специальным образом (в корнях полинома Эр- мита) на прямой. В данной статье мы обращаемся к обеим постав- ленным проблемам. В первом разделе статьи бу- дут представлены основные уравнения динамики точечных вихрей. Во втором разделе, на основе метода [42] будут найдены равномерно вращаю- щиеся конфигурации точечных вихрей одинако- вой интенсивности. На основе полученных резуль- татов представлен каталог симметричных и несим- метричных конфигураций точечных вихрей при N ≤ 10. Численный анализ устойчивости получен- ных конфигураций по отношению к малым возму- щениям рассматривается в третьей части. После- дний раздел посвящен обсуждению полученных результатов. 1. ТОЧЕЧНЫЕ ВИХРИ НА ПЛОСКОСТИ В §5 статьи [1] Гельмгольц изучил случаи, когда вращение заключено только в нескольких парал- лельных вихревых столбах, расположенных в без- граничной жидкости параллельно оси Z, с един- ственной отличной от нуля компонентой вектора завихренности ζ. В частности, он рассмотрел вза- имодействие нескольких бесконечно тонких парал- лельных вихревых нитей, каждая из которых име- ет постоянное предельное значение Γ произведе- ния поперечного сечения dσ на величину ζ. Это представляет знаменитую модель точечных ви- хрей в идеальной жидкости, поскольку при взаи- модействии такие вихревые нити остаются всегда параллельными оси Z и все движение полностью описывается положением точек в плоскостях, пер- пендикулярных оси Z, в частности, в плоскости OXY . 1.1. Точечные вихри на плоскости Гельмгольц установил закон сохранения центра завихренности ансамбля точечных вихрей (в са- мой статье [3, с. 40] обсуждение идет в терминах центра тяжести по аналогии с системой точечных масс): “Итак, центр тяжести вихревых нитей при их взаимном передвижении остается неизменным, если только сумма масс не равна нулю, в каком случае вообще не имеет места центр тяжести.” Не входя в дальнейшие пояснения и даже не выписывая уравнений движения системы точе- чных вихрей, Гельмгольц отмечает два вытекаю- щих из этого закона следствия [3, с. 40]: Отсюда вытекают такие следствия: 1) Если мы имеем отдельную прямо- линейную вихревую нить с бесконечно малым поперечным сечением в жидкой массе, распростирающейся в бесконечно- сти во всех направлениях, перпендику- лярных к нити, то движение жидких ча- стиц, находящихся в конечном расстоя- нии от нити, зависит только от произве- дения ζ ·da·db = m из угловой скорости на площадь поперечного сечения нити, а не от формы сечения. Частицы жидкой мас- сы вращаются около нее с тангенциаль- ной скоростью m/(πr), где r представля- ет расстояние от центра тяжести вихре- вой нити. Таким образом, положение са- мого центра тяжести, скорость вращения, величина поперечного сечения, а следова- тельно и величина m остаются неизмен- ными, если даже форма бесконечно ма- лого сечения и изменяется. 2) Если мы имеем две прямолинейные вихревые нити с бесконечно малым по- перечным сечением в безграничной жид- кой массе, то каждая из них относит дру- гую в направлении, перпендикулярном к линии, их соединяющей. Расстояние от 10 Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 этого не изменяется. Таким образом, обе нити будут вращаться около их общего центра тяжести, оставаясь на равном рас- стоянии друг от друга. Если скорость вра- щения в обеих вихревых нитях имеет то же направление, т. е. имеет одинаковые знаки, то центр тяжести должен лежать между ними [смотри рис. 3,а]. Если же она в них направлена в противоположные стороны т. е. имеет обратные знаки, то центр тяжести будет лежать на продол- жении линии, их соединяющей [смотри рис. 3,б]. И если произведение из скоро- сти вращения на поперечное сечение для обеих нитей то же по величине, но проти- воположно по знаку, – когда центр тяже- сти лежал бы в бесконечности, – то они будут передвигаться с одинаковой скоро- стью в том же направлении, перпендику- лярном к линии, их соединяющей [смотри рис. 3,в]. Вопреки замечанию Бэтчелора [58, с. 653] о не- ясности в поведении системы трех точечных вих- рей, такая задача была детально изучена в заме- чательной диссертации Грёбли [59], опубликован- ной также в виде отдельной статьи [60]8. Эта ра- бота была мало оценена современниками: в влия- тельных трактатах Кирхгофа [63, лекция 20, §3] и Ламба [64, §155] она была упомянута лишь в сно- ске. Значительно позднее эти результаты были не- зависимо заново открыты в статьях [66–68]. Пол- ный анализ этой интегрируемой нелинейной зада- чи приведен в статье [68]. Интегрируемые случаи задачи о взаимодейст- вии четырех точечных вихрей были рассмотрены в магистрских диссертациях Д. Н. Горячева [69] и Н. С. Васильева [70] (изданных также в виде больших статей [71, 72])9. Четыре точечных вихря одинаковой интенсивности были детально изуче- ны в работах [74–76], причем основной упор был на анализ хаотического поведения такой неинтег- рируемой динамической системы. Задачи о движении точечных вихрей не исследо- вались бы столь внимательно, если бы кроме кра- соты полученных аналитических решений из них невозможно было бы получить информацию о том, что происходит в случаях, отличных от простых. Такая информация, в первую очередь, состоит 8Обзор жизни и научных достижений Вальтера Грёбли (1852-1903) швейцарского профессора, преподавателя гим- назии в Цюрихе приведен в [61], а также в русском перево- де [62]. 9Интересно, что в обоих случаях в качестве оппонента был задействован Н. Е. Жуковский. в моделировании с помощью точечных вихрей двухмерных когерентных структур в обобщенном описании двухмерной изотропной турбулентности. Задача является сложной, поскольку прямой чис- ленный расчет для случая большого количества точечных вихрей не позволяет установить четкие закономерности, кроме общих утверждений про своеобразное “группирование” вихрей [14]. Задачи о движении лишь малого числа точе- чных вихрей имеют ряд особенностей. Во-первых, они допускают простое интегрирование в сов- ременными численными методами. Во-вторых, в случае симметрии движения относительно прямой или точки удается построить аналитические выра- жения зависимости координат от времени (или наоборот) или найти относительные траектории движения – в любом случае нелинейная задача сводится к квадратурам. Наличие точных анали- тических решений позволяет оценить эффектив- ность численных алгоритмов решения задачи Ко- ши нелинейного вихревого движения. И, наконец, если задача трех вихрей в целом интегрируема, то четыре и более вихрей обеспечивают “простей- ший” случай хаотичного движения. Отметим, что такое хаотичное движение нельзя рассматривать как случай турбулентного движения, поскольку турбулентность в обычном понимании обозначае- тся стохастическим полем скорости, описываемым детерминированными уравнениями Навье-Стокса. Скорее речь тут должна идти о новой режиме движения, который не вписывается в традицион- ное деление на ламинарное и турбулентное дви- жение [76]. Стохастическое движение системы не- скольких точечных вихрей представляет собой ла- минарный поток с стохастическими свойствами. Когерентные вихревые структуры в турбулентных (например, сдвиговых) течениях, наоборот, пред- ставляют регулярные картины потока в стохасти- ческом поле скоростей. Напомним основные уравнения, описывающие движение системы N точечных вихрей на безгра- ничной плоскости в невязкой жидкости. Подро- бное изложение теории точечных вихрей можно найти в многочисленных учебниках и монографи- ях [13, 59, 64, 65, 78–89]10. Проблема описания движения системы N точе- чных вихрей с вихрем α, имеющим постоянную в силу теорем Гельмгольца интенсивность Γα и ра- сположение (xα, yα) заключается в решении сис- темы 2N нелинейных обыкновенных дифференци- альных уравнений первого порядка [58, §7.3] 10Мы даем ссылки на зарубежные книги в русских пере- водах, детальные ссылки содержатся в обзоре [11]. Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий 11 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 Рис. 3. Траектории взаимодействия двух точечных вихрей: a – вихри с разными по знаку интенсивностями, б – вихри с одинаковыми по знаку интенсивностями, в – вихри с одинаковыми по модулю, но с противоположными по знаку, интенсивностями dxα dt = − 1 2π N ∑ β=1 ′ Γβ(yα − yβ) l2αβ , dyα dt = 1 2π N ∑ β=1 ′ Γβ(xα − xβ) l2αβ , (6) где α = 1, 2, ...,N , lαβ = √ (xα − xβ)2 + (yα − yβ)2 – расстояние между вихрями α и β. Штрих при знаках суммы обозначает, что сингулярный член β = α опущен. Начальные условия имеют вид xα = x (0) α , yα = y (0) α при t = 0 и определяются конкретной ситуацией задачи. Система (6) может быть также записана в виде N нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для комплексных ко- ординат zα = xα + iyα dz∗α dt = 1 2πi N ∑ β=1 ′ Γβ zα − zβ , α = 1, ..., N. (7) с начальными условиями zα = z (0) α , при t = 0. В приведенном уравнении звездочка обозначает комплексное сопряжение. В своих лекциях Кирхгоф [63, Лекция 20] по- казал, что система (6) может быть записана в га- мильтоновой форме Γα dxα dt = ∂H ∂yα , Γα dyα dt = − ∂H ∂xα , (8) где α = 1, ..., N . Гамильтониан системы равен H = − 1 4π N ∑ α,β=1 ′ ΓαΓβ ln lαβ , (9) и сохраняется в процессе движения вихрей. В до- полнение к H гамильтонова система (8) имеет три независимые первые интеграла Q = N ∑ α=1 Γαxα , P = N ∑ α=1 Γαyα , I = N ∑ α=1 Γα(x2 α + y2 α) . (10) Физический смысл этих величин ясен. Они выражают закон сохранения кинетической энер- гии взаимодействия вихрей, компонент импульса и момента импульса, соответственно. Инварианты Q, P при отличном от нуля значении Γ = N ∑ α=1 Γα (11) дают возможность утверждать, что частица жид- кости, которая находится в точке с координатами (X, Y ): X = 1 Γ N ∑ α=1 Γαxα, Y = 1 Γ N ∑ α=1 Γαyα (12) остается неподвижной. Эта точка называется цен- тром завихренности. В частном случае, когда Γ = 0, центр лежит на бесконечности. Функция тока, наведенная системой N точе- чных вихрей, определятся из выражения [64] Ψ(x, y) = − 1 4π N ∑ α=1 Γα ln[(x−xα)2+(y−yα)2] . (13) Поле скорости течения жидкости связано с по- лем функции тока уравнениями u = ∂Ψ ∂y , v = −∂Ψ ∂x . (14) 12 Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 В случае комплексного представления аргумен- та z = x + iy функция тока и поле скорости опре- деляются из уравнений [64] Ψ(z) = − 1 4π N ∑ α=1 Γα ln \|z − zα\|2 , (15) u − iv = ∂Ψ ∂z , (16) которые в дальнейшем будут использоваться. 2. РАВНОМЕРНО-ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ ТОЧЕЧНЫХ ВИХРЕЙ Среди широкого класса стационарных конфи- гураций точечных вихрей наибольший интерес представляют равномерно-вращательные конфи- гурации вихрей с равными интенсивностями. Рассмотрим систему N точечных вихрей одина- ковой интенсивности Γ. В этом случае уравнения движения вихрей (7) имеют вид: dz∗α dt = Γ 2πi N ∑ β=1 ′ 1 zα − zβ . (17) Если система точечных вихрей равномерно вра- щается с постоянной угловой скоростью ω, реше- ние системы уравнений (17) следует искать в виде zα = Zαeiωt, α = 1, ..., N , (18) где Zα – комплексные постоянные, подлежащие определению. Также искомой величиной является угловая скорость ω вращения системы точечных вихрей. Подстановка (18) в (17) приводит к следующей нелинейной алгебраической системе Z∗ α = Γ 2πω N ∑ β=1 ′ 1 Zα − Zβ . α = 1, ..., N (19) с комплексными неизвестными Zα. Общая теория решения (19) на сегодняшний день отсутствует. В настоящей работе предлагается новый эффектив- ный метод нахождения некоторых частных реше- ний таких систем уравнений. Его численная ре- ализация существенным образом упрощает объем вычислений при нахождении новых стационарных конфигураций системы точечных вихрей. 2.1. Правильные конфигурации Рассмотрим сначала частный случай решения (19), при котором точечные вихри располагаю- тся в вершинах правильного N -угольника. Этот частный класс решений получен еще в работе Дж.Дж. Томсона [89], удостоенной премии Адамса в 1883 г. Для правильного N -угольника пространствен- ное положение вихрей можно задать Zα = R ei2π(α−1)/N , α = 1, ..., N , (20) где R – радиус описанной окружности. Подставка уравнения (20) в уравнение движе- ния (17), записанного для вихря 1, позволяет за- писать тождество 2πR2ω = N ∑ α=2 Γ 1 − exp[2πi(α− 1)/N ] . (21) В работе [44] было показано, что решения урав- нения (21) (в общем случае комплексные значения z1, z2, ..., zN ) можно представить в виде корней полинома Эрмита: P (z) = (z − z1)...(z − zN ), (22) Первые производные по комплексному аргумен- ту имеют вид P ′ (z) = P (z) N ∑ α=1 1 z − zα , (23) P ′′ (z) = 4i P (z) N ∑ α=1 yα z − zα = = −2NP (z) + 2zP ′ (z). (24) Представив полином в виде P (z) = zN − γN , γ 6= R , (25) то корни полинома Эрмита принимают значения z1 = γ , z2 = γε , ... , zN = γεN−1 , (26) где ε = exp[2πi/N ]. В этом случае справедливо соотношение: NzN−1 = (zN − γN ) n ∑ α=1 1 z − γεα . (27) В частном случае z = 1 это уравнение дает: N ∑ α=1 1 1 − γεα = N 1 − γN , γN 6= 1. (28) Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий 13 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 При γ = 1 полином Эрмита (22) с учетом (26) можно представить в виде суммы P1(z) = (z − ε)...(z − εN−1) = = zN − 1 z − 1 = 1 + z + ... + zN−1 (29) Первая производная по аргументу равна P ′ 1(z) = 1 + 2z + ... + (N − 1)zN−2. (30) Следовательно P1(1) = N , P ′ 1(1) = 1 2N(N −1), и уравнение (23) переходит в равенство N ∑ α=1 1 1 − εα = 1 2 (N − 1). (31) Заметим, что к аналогичному выражению мож- но прийти в результате предельного перехода γ → 1 в выражении (27). Сравнение уравнений (31) и (21) позволяет оп- ределить скорость вращения системы точечных вихрей интенсивности Γ, размещенных в верши- нах правильного N -угольника ω = Γ 4πR2 (N − 1). (32) Если в центре правильного N -угольника размес- тить точечный вихрь интенсивности Γ, имеем сис- тему N + 1 точечного вихря, которая равномерно вращается с постоянной угловой скоростью: ω = Γ 4πR2 (N − 1) + Γ 2πR2 = Γ 4πR2 (N + 1). (33) Следует заметить, что система N одинаковых точечных вихрей, расположенных в вершинах пра- вильного многоугольника, вращается с постоян- ной угловой скоростью при произвольном значе- нии интенсивности точечного вихря, расположен- ного в центре многоугольника. Если интенсив- ность центрального точечного вихря равна βΓ, то из (33) следует, что такая система будет вращаться с постоянной угловой скоростью ω = Γ 4πR2 (N − 1 + 2β). (34) Интересно заметить, что при β = (1 − N)/2, рассматриваемая система точечных вихрей покои- тся. В этом случае центральный вихрь будет иметь всегда интенсивность завихренности, противопо- ложную по знаку (β < 0) по отношению к ин- тенсивности точечных вихрей, расположенным в вершинах правильного многоугольника. Более сложные равномерно вращающиеся кон- фигурации точечных вихрей были получены в ра- боте [40]. В исследованиях представлены другие методы исследования симметричных конфигура- ций, для которых точечные вихри с одинаковыми интенсивностями расположены уже на концент- ричных окружностях с центральным или без цент- рального вихря. 2.2. Несимметричные конфигурации В недавней работе [42] предложен другой метод нахождения некоторых решений системы нелиней- ных уравнений (19). С его помощью были найде- ны новые равномерно вращающиеся конфигура- ции точечных вихрей [43]. Метод позволяет по- лучать как симметричные, так и несимметричные конфигурации точечных вихрей. Коротко опишем алгоритм данного метода. Как и ранее рассмотрим систему точечных вихрей, расположенных в точках zα с равными интен- сивностями Γ. Пусть система N точечных ви- хрей образует равномерно вращаемую конфигура- цию вихрей и тождественно удовлетворяет уравне- ние (19). Выберем систему координат так, чтобы центр завихренности системы вихрей совпадал с началом координат. Другими словами, в рассмат- риваемой системе инварианты P = Q = 0, смотри уравнения (10). Функция тока (15), наведенная системой N то- чечных вихрей, в системе координат, вращающей- ся с угловой скоростью ω, принимает вид: Ψ(z) = − Γ 4π N ∑ α=1 ln \|(z − Zα)\|2 + ω\|z\|2 2 , (35) Если начальная система N точечных вихрей яв- ляется равномерно-вращательной конфигурацией, то значение угловой скорости ω можно опреде- лить, воспользовавшись уравнением (7) для одно- го из вихрей, например вихря 1: ω = Γ 2π\|Z1\| ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ N ∑ β=2 1 Z1 − Zβ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ . (36) В этом случае распределение поля функции то- ка (35) позволяет определить для равномерно вра- щающейся конфигурации системы N точечных вихрей неподвижные точки z0 течения, в кото- рых функция Ψ(z) имеет экстремум. Структура течения не измениться, если в точку z0 поме- стить вихрь нулевой интенсивности, ZN+1 = z0. 14 Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 Теперь начнем постепенно увеличивать интенсив- ность (N + 1)-го вихря, ΓN+1 = εΓ, где 0 ≤ ε ≤ 1. В этом случае уравнение (19), определяющее стационарное положение вихрей, можно предста- вить в виде Z∗ α = Γ 2πω   N ∑ β=1 ′ 1 Zα − Zβ + ε Zα − ZN+1 ,   , α = 1, ..., N , Z∗ N+1 = Γ 2πω   N ∑ β=1 1 ZN+1 − Zβ   , (37) Решение этого уравнения определяет новое поло- жение Zα (где α = 1, ..., N + 1) вихрей в равно- мерно вращаемой конфигурации, которая состоит из N вихрей с одинаковыми интенсивностями Γ и точечным вихрем с интенсивностью εΓ). В дальнейшем удобно положить, что множи- тель, стоящий перед квадратными скобками, ра- вен единице. Фактически это означает, что Γ = 2πω. Другими словами, если в полученном реше- нии интенсивности вихрей увеличить в k раз, то угловая скорость системы точечных вихрей возра- стет в k раз. Если расстояния между вихрями уве- личить в k, а интенсивности вихрей оставить неи- зменными, то такая система вихрей будет враща- ться с угловой скоростью в √ k раз меньшей. Таким образом, для перехода от равномерно вращаемой конфигурации N точечных вихрей к системе, состоящей из N + 1 вихря, используется следующая схема: 1) Выберем в качестве исходной системы вихрей произвольную конфигурацию равномерно враща- емых точечных вихрей. 2) Определяем угловую скорость вращения сис- темы точечных вихрей (36). 3) Находим в рассматриваемом течении точки, в которых наведенная скорость со стороны вихрей и внешнего течения равна нулю или экстремальные значения распределения (35). 4) В неподвижных точках течения помещаем то- чечный вихрь с интенсивностью ε и постепенно с определенным шагом увеличиваем интенсивность этого вихря до 1. На каждом шаге решается сис- тема нелинейных уравнений (37) относительно не- известных Zα, где α = 1, ..., N + 1. 5) При ε = 1 решение (37) дает новое положе- ние равномерно вращаемой конфигурации систе- мы N + 1 точечных вихрей. Анализ уравнения (37) и его решений показыва- ет, что новая конфигурация вихрей определяется в первую очередь начальным приближением (кон- фигурацией из N вихрей) и выбором точки, в ко- торую помещается вихрь переменной интенсивно- сти. Исследования показывают, что стационарных точек в течении может быть несколько, однако не каждая из них может привести к новой конфи- гурации точечных вихрей. Следует заметить, что при решении нелинейных уравнений точечный ви- хрь, изначально помещенный в разные стационар- ные точки течения, может попадать в одни и те же равномерно вращаемые конфигурации точечных вихрей. При численной реализации метода интенсив- ность N + 1 вихря увеличивалась дискретно ∆ε = 0.01 на каждом шаге решения задачи. При ре- шении системы уравнений (37) применялся метод Ньютона-Рафсона [90]. Численное решение системы нелинейных урав- нений позволяет определить последовательность равномерно вращаемых конфигураций точечных вихрей. Многие из полученных конфигураций сов- падают с приведенными в литературе. При уве- личении числа вихрей в начальной стационарной конфигурации вихрей число стационарных точек течения увеличивается. На рис. 4 приведен пример распределения функции тока двух разных конфи- гураций, состоящих из 9 точечных вихрей одина- ковой интенсивности Γ = 1.0, лежащие на двух окружностях. На рисунке с индексом “а” показан пример, в котором на внешней окружности поме- щены 7 вихрей, а на внутренней окружности на- ходятся только 2 точечных вихря, случай 7+2. На рис. 4,б приведен аналогичный случай, но с рас- пределением вихрей 6+3. Линии тока нанесены с шагом ∆Ψ = 0.02. Крестиками на обоих рисунках обозначены стационарные точки течения, которые в дальнейшем использовались при вычислениях в качестве начального положения точечного вихря переменной интенсивности. Результаты вычислений сведены на рис. 5. Здесь показаны все найденные симметричные рав- номерно-вращаемые конфигурации точечных вих- рей для N = 3, .., 10. Бо́льший индекс у каждой конфигурации соответствует общему числу N вих- рей в структуре. Нижний индекс обозначает номер найденной разновидности для текущего значения N . В отличии от “Гарвардского каталога” [35, 36] симметричных конфигураций, в настоящих иссле- дованиях приведен более расширенный каталог в диапазоне N = 3, ..., 10. В него включены 3 допол- нительные конфигурации: одна при N = 8 (83), одна при N = 9 (91) и одна при N = 10 (101). Весьма важным является тот факт, что с помощью предложенного алгоритма нахождения Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий 15 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 Рис. 4. Линии тока системы 9 точечных вихрей в стационарно вращаемой конфигурации на неограниченной плоскости: а – случай 7+2, б – случай 6+3 Рис. 5. “Аналог Гарвардского каталога” симметричных конфигураций системы точечных вихрей для N = 3, ...,10 (расширенный) равномерно-вращательных конфигураций точе- чных вихрей была найдена последовательность несимметричных конфигураций. Наши исследова- ния показали, что такие структуры появляются, начиная уже с 5 вихрей, а не с 8 вихрей, как было отмечено в работе [88]. Распределение линий тока для некоторых рав- номерно вращаемых конфигураций точечных вих- рей для N = 9 показаны на рис. 6. Эти рисунки выполнены по аналогии с рис. 4. Линии тока на- несены на обоих рисунках с шагом ∆Ψ = 0.02. Сравнение с симметричным случаем показывает, что количество стационарных точек течения для симметричных и несимметричных конфигураций остается примерно одинаковым, однако эти точки в несимметричном случае распределены неравно- 16 Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 Рис. 6. Линии тока несимметричной системы 9 точечных вихрей в стационарно вращаемой конфигурации на неограниченной плоскости мерно. Как и ранее, стационарные точки течения используются при вычислениях в качестве началь- ного положения точечного вихря переменной ин- тенсивности. На рис. 7 представлен каталог несимметричных конфигураций точечных вихрей одинаковой ин- тенсивности Γ = 1.0 при N = 5, ..., 9, получен- ных с помощью предложенного алгоритма нахож- дения решений нелинейного уравнения движения точечных вихрей (19). Исследования показывают, что представленные конфигурации действитель- но являются решениями системы (19) и все точе- чные вихри вращаются с постоянной угловой ско- ростью. Следует обратить внимание на то, что с увеличением числа вихрей в рассматриваемой си- стеме, число несимметричных конфигураций воз- растает. На рис. 8 представлен каталог несимме- тричных конфигураций точечных вихрей для N = 10. Таким образом, описанный выше алгоритм на- хождения стационарных конфигураций систем то- чечных вихрей, вращающихся с постоянной угло- вой скоростью, позволил определить 28 новых кон- фигураций: • одна несимметричная конфигурация для N = 5; • одна несимметричная конфигурация для N = 6; • три несимметричных конфигурации для N = 7; • одна симметричная конфигурация для N = 8; • три несимметричных конфигурации для N = 8; • одна симметричная конфигурация для N = 9; • восемь несимметричных конфигураций для N = 9; • одна симметричная конфигурация для N = 10; • девять несимметричных конфигураций для N = 10. 3. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНФИГУРАЦИЙ ВИХРЕЙ В настоящее время имеется большое количе- ство работ [21, 52–54, 57, 91–92], посвященных об- щей теории устойчивости стационарных движений вихревых систем. В большинстве исследований под устойчивостью системы точечных вихрей по- нимают устойчивость по Раусу, связанную с устой- чивостью пространственных координат и импуль- сов. Это значит, что при достаточно малом возму- щении в начальных условиях траектории движе- ния точечных вихрей отклоняются незначительно, относительные расстояния между вихрями меня- ются слабо, следовательно пространственные кон- фигурации сохраняются во времени с неподви- жным центром завихренности. Часто под неустой- чивостью понимают отсутствие устойчивости по Раусу. Другими словами, любое малое возмущение в начальное положение системы точечных вихрей приводит к существенным изменениям в траекто- риях вихрей, нарушению пространственной кон- фигурации. Проблеме устойчивости правильных вихревых многоугольников посвящены работы [39, 54, 93]. Дж. Дж. Томсон [19] исследовал линейную устой- чивость правильного вихревого N -угольника и по- казал, что при 2 ≤ N ≤ 6 вихревая конфигурация является устойчивой. Случай N = 7 характеризу- ется тем, что вносимые в систему возмущения во- зрастают экспоненциально. Дж.Дж. Томсон пред- положил, что при N ≥ 8 неустойчивость правиль- ных вихревых конфигураций сохраняется. В ра- боте [52] доказана справедливость этого утверж- дения и показано, что система точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного многоу- гольника является устойчивой относительно ма- лых линейных возмущений для 2 ≤ N ≤ 6 и явля- ется неустойчивой для N ≥ 8. Что касается случая N = 7, исследования [94] показывают, что стаци- онарное вращение правильного вихревого семиу- гольника является устойчивым по Раусу. Упомянутые выше экспериментальные исследо- вания Майера, Вуда, Дира и Монкмана пока- зывают, что правильные вихревые шестиуголь- ники и семиугольники являются неустойчивыми. Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий 17 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 Рис. 7. Каталог несимметричных конфигураций системы точечных вихрей для N = 3, ...,9 Рис. 8. Каталог несимметричных конфигураций системы точечных вихрей для N = 10 18 Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 Тщательные эксперименты [48, 49] свидетельству- ют о том, что правильный семиугольник является неустойчивым. В работе [54] рассматривается задача об устой- чивости правильного вихревого семиугольника с позиций общей теории стационарного движения динамических систем, имеющих группу симме- трии. Полученный результат обладает некоторой формальностью по отношению к фундаменталь- ному понятию устойчивости. Доказанная автора- ми устойчивость при N = 7 является довольно “хрупкой” (можно сказать “неустойчивая устойчи- вость” или “условная устойчивость”), которая сра- зу же нарушается при введении в рассматривае- мую систему малого возмущения. Отметим также, что режим стационарного вра- щения вихревого N -угольника является неустой- чивым по Ляпунову для любых N . Действитель- но, если в начальный момент времени возмутить правильный вихревой N -угольник так, чтобы он оставался правильным, но имел другой размер, то дальнейшее движение останется равномерным вращением, но с иной угловой скоростью. В ре- зультате, насколько бы не было малым возмуще- ние сначала, со временем оно будет возрастать и достигнет порядка размера многоугольника. Этой очевидной неустойчивости отвечает линейно уве- личивающееся решение линеаризованной системы и жорданова клетка 2 × 2 матрицы линеариза- ции, отвечающая её удвоенному собственному зна- чению. Такая ситуация обычна для стационарных движений гамильтоновых систем при наличии ци- клических координат. Траектории движения системы N = 7 точечных вихрей, образующих в начальный момент равно- сторонний треугольник, показаны на рис. 9 в те- чении первых десяти периодов взаимодействия. На рисунке с индексом “а” показаны траекто- рии вихрей с начальной невозмущенной конфи- гурацией, а на рисунке с индексом “б” показан этот же случай, но с внесенным возьуждением δ = 0.025 в начальную конфигурацию вихрей. На- правление движения вихрей на рисунках указано стрелкой, а начальное положение отмечено спло- шными кружочками. Интегрирование уравнений движения (6) проводилось с использованием мето- да Рунге-Кутта-Фельберга четвертого-пятого по- рядка [95]. Видно, что конфигурация возмущенной системы точечных вихрей, размещенных в вер- шинах правильного многоугольника для N = 7, при малом возмущении довольно быстро нарушае- тся. Это подтверждает тот факт, что устойчивость правильной конфигурации семи точечных вихрей является неустойчивой. Табл 1. Таблица значений инвариантов движения симметричных конфигураций точечных вихрей без возмущения H1, I1 и с малымδ = 0.025 возмущением H2, I2. H1 H2 I1 I2 3 -0.1316 -0.1281 3.000 2.915 4 -0.3187 -0.3138 6.003 5.881 51 -0.5981 -0.5952 10.000 9.928 52 -0.5872 -0.5809 9.998 9.841 61 -0.9784 -0.9753 15.009 14.932 62 -0.9794 -0.9729 15.001 14.839 71 -1.4797 -1.4733 20.997 20.838 81 -2.0940 -2.0878 28.003 27.848 82 -2.0810 -2.0739 27.998 27.822 83 -2.0826 -2.0739 28.004 27.790 91 -2.8263 -2.8204 35.998 35.850 92 -2.8233 -2.8169 35.996 35.819 101 -3.6893 -3.6816 45.002 44.809 Для исследования устойчивости других равно- мерно-вращательных конфигураций вихрей оди- наковой интенсивности проводилась численное ин- тегрирование траектории движения системы вих- рей без возмущения и с малым возмущением, вносимым в начальные координаты δ. В настоя- щих исследованиях применялись такие возмуще- ния, чтобы инварианты движения системы H (9) и I (10) оставались, по возможности, неизменными. С другой стороны требование P = 0 и Q = 0 выполнялось всегда. В таблице 1 приведены зна- чения инвариантов до внесения возмущений (H1 и I1) и соответствующие значения (H2 и I2) после внесения возмущения δ = 0.025. Анализ резуль- татов показывает, что энергия движения системы изменялась на величину порядка 10−2, а момент импульса системы вихрей уменьшался на величи- ну порядка 10−1. Можно утверждать, что внесе- ние возмущения существенным образом не изме- няет динамические параметры системы точечных вихрей. Отметим, что наиболее полным собранием чис- ленно полученных устойчивых относительных по- ложений для N = 1, ..., 50, при которых вихри ра- сположены на вложенных друг в друга концентри- ческих окружностях (“атомных оболочках”, по терминологии Дж. Дж. Томсона) считается Лос- Аламосский каталог [41]. В современной литерату- ре часто приводятся лишь фрагменты из каталога, полностью он еще не приведен. Анализ конфигураций вихревых структур Лос- Аламосского каталога позволяет сделать сделать, по крайной мере, два важных наблюдения: Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий 19 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 Рис. 9. Траектории движения симметричной системы N = 7 точечных вихрей: а – без начального возмущения, б – с возмущением δ = 0.025 • Для любого N существует устойчивая стацио- нарная конфигурация. • Каждая устойчивая конфигурация точечных вихрей обладает определенной симметрией, в то время как любая несимметричная конфигура- ция вихрей является неустойчивой. В работе [96] доказан первый вывод, но для слу- чаев вплоть до N = 50. Насколько известно, в пол- ном объёме эти гипотезы пока не доказаны. В работе [54] доказано, что при N ≥ 8, кроме правильных конфигураций, существует хотя бы одна неправильная конфигурация точечных ви- хрей. В работах [42,43] были приведены некоторые несимметричные конфигурации точечных вихрей. Исследование устойчивости рассмотренных выше несимметричных решений нелинейной системы уравнений (19) было проведено на основе сравнительного анализа траекторий движения систем точечных вихрей без начального возмуще- ния и с начальным возмущением. Как и ранее, начальное возмущение δ выбиралось таким, что- бы инварианты движения системы минимально изменялись. В таблице 2 представлены значения инвариантов H1, I1 движения несимметричных конфигураций, изображенных на рис. 7 и рис. 8, без начальных возмущений и соответствующие инварианты H2, I2 после внесения возмущения δ = 0.0025. Видно, что энергия движения вихрей изменяется в пределах 10−5, а момент импульса уменьшается на величину порядка 10−3. Следо- вательно, внесенные возмущения существенным образом не изменяют динамические параметры системы точечных вихрей. В качестве примера рассмотрим траектории движения некоторых несимметричных систем то- чечных вихрей. На рис. 10 представлены траекто- рии движения системы вихрей N = 73 без началь- ного возмущения (рисунок с индексом “а”) и с на- чальным возмущением (рисунок с индексом “б”) δ = 0.025. Видно, что, начиная со второго периода, траектории движения вихрей имеют существен- ные отличия по отношению к траекториям вихрей без возмущения. Исследования показывают, что все несимметричные системы, представленные в каталоге на рис. 7 и рис. 8 являются неустойчи- выми по отношению к малым возмущениям. ВЫВОДЫ В настоящей работе представлен новый метод нахождения стационарно вращаемых конфигура- ций системы точечных вихрей одинаковой интен- сивности на плоскости. Метод основан на реше- нии нелинейной системы алгебраических уравне- ний, который использует в качестве начально- го приближения стационарную конфигурацию по- рядка N и стационарную точку течения жидко- сти во вращающейся системе координат с угло- вой скоростью, равной угловой скорости враще- ния вихревой системы порядка N . С увеличени- ем количества точечных вихрей в системе количе- 20 Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 Рис. 10. Траектории движения несимметричной системы N = 73 точечных вихрей: а – без начального возмущения, б – с возмущением δ = 0.025 ство таких точек течения существенно увеличива- ется. В стационарную точку течения помещается точеный вихрь, интенсивность которого, по мере проведения итераций, постепенно увеличивается вплоть до достижения равной с другими интен- сивностями. На каждом итерационном шаге реша- ется нелинейная система алгебраических уравне- ний порядка N + 1, в результате которой опреде- ляется новая равномерно-вращаемая конфигура- ция из N +1 точечного вихря. Численное решение алгебраической системы не зависит от устойчи- вости получаемой конфигурации вихрей. По этой причине предлагаемый метод позволяет опреде- лять как устойчивые, так и неустойчивые конфи- гурации точечных вихрей на плоскости. Исследования показывают, что симметричные конфигураций вихрей размещаются на концентри- ческих окружностях с равномерным распределе- нием вихрей по каждой окружности. Вихревые системы при N < 4 всегда располагаются на одной окружности. Начиная с N ≥ 5 точечные вихри могут уже располагаться на двух окружностях. Если N ≥ 9, то стационарные вихревые конфи- гурации содержат, как минимум, две концентри- ческие окружности, заполненные вихрями. В результате исследований сформирован допол- ненный аналог (фрагмент для N = 3, ...10), так званого, “Лос-Аламоского каталога” [46], который считается наиболее полным собранием устойчи- вых вихревых конфигураций для N = 1, ...50, в котором вихри расположены на вложенных друг в друга концентрических окружностях. Анализ по- казывает, что созданный в настоящей работе фра- гмент каталога отличается от выше указанного на- личием трех новых конфигураций: 83, 91 и 101. Метод нахождения стационарных вихревых конфигураций, используемый в настоящей рабо- те, позволяет находить несимметричные вихре- вые структуры. Они имеют место, начиная со слу- чая N = 5, а не с N = 8 [88], и их количество существенно возрастает с увеличением количества вихрей в рассматриваемой системе: по одной кон- фигурации для N = 5, 6, по три для N = 7, 8, во- семь конфигураций для N = 9, девять для N = 10 и т.д. Большая часть из представленных несимме- тричных конфигураций являются новыми. В работе проведен анализ устойчивости вихре- вых структур по Раусу. Для этого в начальное по- ложение вихрей вносилось малое возмущение, но такое, которое не меняет положение центра завих- ренности системы вихрей и минимально изменяет энергетические параметры системы точечных вих- рей, ∆H < 0.01H и ∆I < 0.01I. Исследование устойчивости показало, что сим- метричные конфигурации для N ≤ 6 точечных вихрей, лежащих на одной окружности, являю- тся устойчивыми к малым возмущениям. Это зна- чит, что вихревая конфигурация после внесения малого возмущения в начальное положение сохра- няет свою структуру с течением времени. Вихре- вые конфигурации, содержащие N ≥ 8 точечных вихрей на одной окружности, являются неустой- Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий 21 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 Табл 2. Таблица значений инвариантов движения несимметричных конфигураций точечных вихрей без возмущения H1, I1 и с малым δ = 0.025 возмущением H2, I2. H1 H2 I1 I2 51 -0.58669 -0.58663 10.0 9.9985 61 -0.97433 -0.97426 15.0 14.9983 71 -1.46510 -1.46503 21.0 20.9982 72 -1.44410 -1.44403 21.0 20.9983 73 -1.42046 -1.42040 21.0 20.9985 81 -2.07041 -2.07034 28.0 27.9984 82 -2.05269 -2.05263 28.0 27.9985 83 -2.05647 -2.05638 28.0 27.9980 91 -2.82233 -2.82225 36.0 35.9982 92 -2.78345 -2.78339 36.0 35.9987 93 -2.80028 -2.80020 36.0 35.9979 94 -2.78741 -2.78733 36.0 35.9981 95 -2.79871 -2.79862 36.0 35.9977 96 -2.75592 -2.75585 36.0 35.9982 97 -2.80823 -2.80816 36.0 35.9983 98 -2.78123 -2.78117 36.0 35.9984 101 -3.67984 -3.67975 45.0 44.9977 102 -3.65191 -3.65185 45.0 44.9985 103 -3.64413 -3.64407 45.0 44.9984 104 -3.65781 -3.65776 45.0 44.9987 105 -3.65231 -3.65223 45.0 44.9980 106 -3.67236 -3.67229 45.0 44.9982 107 -3.67990 -3.67983 45.0 44.9983 108 -3.67847 -3.67842 45.0 44.9987 109 -3.68155 -3.68147 45.0 44.9982 чивыми. Случай N = 7 является условно устойчи- вым. Малые возмущения в такой вихревой системе приводят к ее разрушению, однако симметричная конфигурация вихрей без возмущений с течени- ем времени сохраняется в течении, как минимум 8− 10 периодов взаимодействия. Другие симметричные вихревые конфигурации, представленные в каталоге настоящей работы, яв- ляются устойчивыми к малым возмущениям. При этом установлено, что включенная в так называ- емый Гарвардский каталог (эксперименты Майе- ра) конфигурация 10 точечных вихрей, разме- щенных на концентрических окружностях (случай 3+7 ) является неустойчивой. И, наоборот, анало- гичная конфигурация 10 вихрей (случай 2+8 ) ока- залась устойчивой. Исследования показывают, что все несимметричные конфигурации точечных вих- рей, полученные в настоящей работе являются не- устойчивыми по отношению к малым возмущени- ям. В работе с помощью численных методов постро- ены каталоги равномерно вращаемых конфигура- ций точечных вихрей одинаковой интенсивности на плоскости, которые содержат симметричные и несимметричные вихревые структуры. Такие кон- фигурации представляют несомненный интерес и позволяют уже сегодня сформировать ряд новых задач вихревой динамики. Работа выполнена в рамках бюджетной темы 1.10.1.6C7 Института гидромеханики НАН Украи- ны и в рамках проекта INTAS 04-80-7297 “Vortex Dynamics”. 1. Helmholtz H. Über Integrale der hydrodynamisch- en Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen ent- sprechen // J. reine angew. Math.– 1858.– 55.– P. 25– 55. 2. Helmholtz H. On integrals of the hydrodynamical equations, which express vortex-motion // Phil. Mag. (Ser. 4).– 1867.– 33.– P. 485–510. 3. Гельмгольц Г. Об интегралах уравнений гидро- динамики, соответствующих вихревым движени- ям // Два исследования по гидродинамике. I. О вихревом движении. II. О прерывном движении жидкости.– М.: ΠАΛΛАΣ, 1902.– С. 5–51. 4. Чаплыгин С. А. Заметки о жизни и трудах Гельм- гольца // Гельмгольц Г. Два исследования по гидродинамике. I. О вихревом движении. II. О прерывном движении жидкости.– М.: ΠАΛΛАΣ, 1902.– С. 69–108. 5. Гельмгольц Г. Основы вихревой теории.– М.- Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных исследова- ний, 2002.– 81 с. 6. Гельмгольц Г. Об интегралах уравнений гидро- динамики, соответствующих вихревым движени- ям // Нелин. динамика.– 2006.– 2, N3.– С. 473–507. 7. Столетов А. Г. Гельмгольц и современная физи- ка // А. Г. Столетов. Избранные сочинения.– М.- Л.: Гостехтеоретиздат, 1950.– С. 553–589. 8. Зернов В. Герман Гельмгольц.– М.-Л.: Госиздат, 1925.– 100 с. 9. Лазарев П. П. Гельмгольц. Изд. 2.– М.: Изд-во АН СССР, 1959.– 130 с. 10. Лебединский А. В., Франкфурт У. И., Френк А. М. Гельмгольц (1821–1894).– М.: Наука, 1950.– 320 с. 11. Meleshko V. V., Aref H. A bibliography of vortex dynamics 1858-1956 // Adv. Appl. Mech.– 2007.– 41.– P. 197–292. 12. Гельмгольц Г. Речь на обеде 2 ноября 1891 го- да // Герман фон-Гельмгольтц (1821–1891 гг.) Пу- бличные лекции, читанные в Императорском Мо- сковском Университете в пользу Гельмгольтцев- ского Фонда.– М.: Изд-во Импер. Московского ун- та, 1892.– С. XI–XXVIII. 13. Мелешко В. В., Константинов М. Ю. Динамика вихревых структур.– К.: Наукова думка, 1993.– 283 с. 14. Салтанов Н. В., Горбань В. А. Вихревые струк- туры в жидкости: аналитические и численные решения.– К.: Наукова думка, 1993.– 244 с. 15. Жуковский Н. Е. Работы [Гельмгольца] по механи- ке // Герман фон-Гельмгольтц (1821–1891 гг.) Пуб- личные лекции, читанные в Императорском Мос- ковском Университете в пользу Гельмгольтцевско- го Фонда.– М.: Изд-во Импер. Московского ун-та, 1892.– С. 37–52. 22 Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 16. Aref H. Point vortex dynamics: A classical mathematics playground // J. Math. Phys.– 2007.– 48, No 1.– P. 1–21. 17. Thomson W. On vortex atoms // Phil. Mag.(Ser. 4).– 1867.– 34.– P. 15–24. 18. Thomson W. Floating magnets [illustrating vortex systems] // Nature.– 1878.– 18.– P. 13–14. 19. Thomson W. Vortex statics // Phil. Mag. (Ser. 5).– 1880.– 10.– P. 97–109. 20. Thomson J. J. On the structure of the atom: an investigation of the stability and periods of oscillation of a number of corpuscles arranged at equal intervals around the circumference of a circle with applicati- on of the results to the theory of atomic structure // Phil. Mag. (Ser. 6).– 1904.– 7.– P. 237–265. 21. Thomson J. J. The corpuscular theory of matter.– London: Constable & Co, 1907.– 112 p. 22. Томсон Дж. Дж. Распределение корпёслей в ато- ме // Новые идеи в физике.– СПб.: Образование, 1911.– С. 110–132. 23. Томсон Дж. Дж. Электричество и материя.– М.- Л.: Госиздат, 1928.– 263 с. 24. Цейтлин З. Вихревая теория материи, ее развитие и значение // Под знаменем марксизма.– 1924.– N 10-11.– С. 78–91. 25. Kragh H. The vortex atom: A Victorian theory of everything // Centaurus.– 2002.– 44.– P. 32–114. 26. Mayer A. M. A note on experiments with floating magnets; showing the motions and arrangements in a plane of freely moving bodies, acted on by forces of attraction and repulsion; and serving in the study of the directions and motions of lines of magnetic force // Phil. Mag. (Ser. 5).– 1878.– 5.– P. 397–398. 27. Mayer A. M. Floating magnets // Nature.– 1878.– 17.– P. 487–488. 28. Mayer A. M. Note on floating magnets // Am. J. Sci.– 1878.– (Ser. 3) 15.– P. 477–478. 29. Mayer A. M. Floating magnets // Nature.– 1878.– 18.– P. 258–260. 30. Mayer A. M. On the morphological laws of the confi- guration formed by magnets floating vertically and subjected to the attraction of a superposed magnet; with notes on some of the phenomena in molecular structure which these experiments may serve to explain and illustrate // Phil. Mag. (Ser. 5).– 1879.– 7.– P. 98–108. 31. Warder R. B, Shipley W. P. Floating magnets // Am. J. Sci.– 1878.– (Ser. 3) 20.– P. 285–288. 32. Monkman J. On the arrangement of electrified cyli- nders when attracted by an electrified sphere // Proc. Cambridge Phil. Soc.– 1889.– 6.– P. 179–181. 33. Wood R. W. Equilibrium-figures formed by floating magnets // Phil. Mag. (Ser. 5).– 1879.– 46.– P. 162– 164. 34. Derr L. A photographic study of Mayer’s floating magnets // Proc. Am. Acad. Arts Sci.– 1909.– 44.– P. 525–528. 35. Льоцци М. История физики.– М.: Мир, 1970.– 464 с. 36. Snelders H. A. M. A. M. Mayer’s experiments with floating magnets and their use in the atomic theories of matter // Ann. Sci.– 1976.– 33.– P. 67–80. 37. Thomson J. J. A Treatise on the Motion of Vortex Rings.– London: Macmillan, 1883.– 124 p. 38. Aref H. Point vortex motions with a center of symmetry // Phys. Fluids.– 1982.– 25.– P. 2183– 2187. 39. Lewis D., Ratiu T. Rotating n-gon/kn-gon vortex configurations // J. Nonlinear Sci.– 1996.– 6.– P. 385– 414. 40. Aref H., van Buren M. Vortex triple rings // Phys. Fluids.– 2005.– 17.– P. 55–64. 41. Campbell L. J., Ziff R. M. Vortex patterns and energi- es in a rotation superfluid // Phys. Rev. B.– 1979.– B20.– P. 1886–1902. 42. Aref H., Vainchtein D. L. Point vortices exhibit asymmetric equilibria // Nature.– 1998.– 392.– P. 769–770. 43. Губа А. О., Гуржiй О. А., Мелешко В. В. Рiвно- мiрно-обертовi конфiгурацiє точкових вихорiв // Вiсн. Києв. унiв-ту. Сер. фiз.-мат.наук.– 2006.– N2.– С. 100–104. 44. Aref H. Vortices and polynomials // Fluid Dyn. Res.– 2007.– 39.– P. 5–23. 45. Newton P. K., Chamon G. Construction of point vortex equilibria via Brownian ratchets // Proc. R. Soc. London.– 2007.– A463.– P. 1525–1540. 46. Campbell L. J., Ziff R. A catalog of two-dimensional vortex patterns // LA-7384-MS, Rev. Informal Re- port.– Los Alamos Scientific Laboratory, 1978.– P. 1– 40. 47. Aref H., Newton P. K. Stremler M. A., Tokieda T., Vainchtein D. L. Vortex crystals // Adv. Appl. Mech.– 2002.– 39.– P. 1–79. 48. Yarmchuk E. J., Gordon M. J., Packard R. E. Observation of stationary vortex arrays in rotating superfluid Helium // Phys. Rev. Lett.– 1979.– 43.– P. 214–217. 49. Yarmchuk E. J., Packard R. E. Photographic studi- es of quantized vortex lines // J. Low Temp. Phys.– 1982.– 46.– P. 479–. 50. Grzybowski B. A., Stone H. A., Whitesides G. M. Dynamic self-assembly of magnetized, millimetre- sized objects rotating at a liquid-air interface // Nature.– 2000.– 405.– P. 1033–1036. 51. Durkin D., Fajans J. Experiments on two-dimensional vortex patterns // Phys. Fluids.– 2000.– 12.– P. 289– 293. 52. Хазин Л. Г. Правильные многоугольники из точе- чных вихрей и резонансная неустойчивость стаци- онарных состояний // ДАН СССР.– 1976.– 230.– С. 799–802. 53. Хазин Л. Г. Устойчивость положения равновесия гамильтоновых систем при кратных частотах // Н. Е. Кочин и развитие механики.– М: Наука, 1984.– С. 174–185. 54. Куракин Л.Г., Юдович В.И. О нелинейной ус- тойчивости стационарного вращения правильно- го вихревого многоугольника // Доклады РАН.– 2002.– 284.– С. 476–482. 55. Kurakin L. G., Yudovich V. I. The stability of stati- onary rotating of a regular vortex polygon // Chaos.– 2002.– 12.– P. 574–595. 56. Крылов А. Н. Воспоминания и очерки.– М.: Изд- во АН СССР, 1956.– 884 с. 57. Aref H. On the equilibrium and stability of a row of point vortices // J. Fluid Mech.– 1995.– 290.– P. 167– 181. 58. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.– М.: Мир, 1973.– 758 с. Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий 23 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 5 – 24 59. Gröbli W. Spezielle Probleme über die Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfäden.– Zürich: Zürcher und Furrer, 1877.– 90 p. 60. Gröbli W. Spezielle Probleme über die Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfäden // Vierteljschr. Naturf. Ges. Zürich.– 1887.– 22.– P. 37–82,129–168. 61. Aref H., Rott N., Thomann H. Gröbli’s solution of the three-vortex problem // Annu. Rev. Fluid Mech.– 1992.– 24.– P. 1–20. 62. Ареф Х., Ротт Н., Томанн Х. Решение Грёбли задачи трех вихрей/ В кн. Фундаментальные и прикладные проблемы вихревой динамики // М.- Ижевск.– Изд-во Ин-та компьютерных исследова- ний, 2003.– С. 677–703. 63. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике.– М.: Изд-во АН СССР, 1962.– 403 с. 64. Ламб Г. Гидродинамика.– М.-Л.: Гостехиздат, 1947.– 928 с. 65. Synge J. L. On the motion of three vortices // Can. J. Math.– 1949.– 1.– P. 257–270. 66. Новиков Е. А. Динамика и статистика системы вихрей // Ж. эксп. теор. физ.– 1975.– 68.– С. 1868– 1882. 67. Aref H. Motion of three vortices // Phys. Fluids.– 1979.– 22.– P. 393–400. 68. Tavantsiz J., Ting L. The dynamics of three vortices revisited // Phys. Fluids.– 1988.– 31.– P. 1392–1409. 69. Горячев Д. Н. О некоторых случаях движения прямолинейных параллельных вихрей.– М.: Изд- во Московского ун-та, 1898.– 106 с. 70. Васильев Н. С. Движение бесконечно тонких вих- рей.– Одесса: Изд-во Сапожникова, 1913.– 188 с. 71. Горячев Д. Н. О некоторых случаях движения пря- молинейных параллельных вихрей // Уч. зап. Им- пер. Москов. ун-та Отдел физ.-мат.– 1898.– 16.– С. 1–188. 72. Васильев Н.С. Движение бесконечно тонких вих- рей // Зап. матем. отд. Новороссийс. об-ва естест- воисп.– 1914.– 22.– С. 1–188. 73. Новиков Е. А., Седов Ю. Б. Стохастические свой- ства системы четырех вихрей // Ж. эксп. теор. физ.– 1978.– 75.– С. 868–876. 74. Aref H., Pomphrey H. Integrable and chaotic motions of four vortices. I. The case of identical vortices // Proc. R. Soc. London.– 1982.– A380.– P. 359–387. 75. Pullin D. I., Saffman P. J. Long-time simplectic integration: the example of four-vortex motion // Proc. R. Soc. London.– 1982.– A432.– P. 481–494. 76. Aref H. Integrable, chaotic, and turbulent vortex motion in two-dimensional flows // Annu. Rev. Fluid Mech.– 1983.– 15.– P. 345–389. 77. Саткевич А. А. Аэродинамика как теоретическая основа авиации.– Петроград: Изд-во Ин-та инж. путей сообщения, 1923.– 579 с. 78. Планк М. Введение в механику деформируемых тел.– М.-Л.: Госиздат, 1929.– 208 с. 79. Саткевич А. А. Теоретические основы гидро-аэро- динамики. Часть 1. Кинематика жидких тел.– Л.: Изд-во Воздухофлота, 1932.– 238 с. 80. Саткевич А. А. Теоретические основы гидро-аэро- динамики. Часть 2. Динамика жидких тел.– Л.-М.: ОНТИ НКТП СССР, 1934.– 468 с. 81. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромехани- ка [по лекциям проф. Л. Прандтля]. Том первый. Изд. 2-ое.– М.-Л.: ГТТИ, 1933.– 223 с. 82. Вилля А. Теория вихрей.– Л.-М.: ОНТИ, 1936.– 266 с. 83. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинами- ка.– М.: Мир, 1964.– 655 с. 84. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретиче- ская гидромеханика. Часть первая. Изд. 6-ое.– М.: Физматгиз, 1963.– 584 с. 85. Козлов В. В. Общая теория вихрей.– Ижевск: Изд- во Удмурт. ун-та, 1998.– 238 с. 86. Пуанкаре А. Теория вихрей.– Ижевск: Изд-во Ре- гул. хаот. динамика, 2000.– 160 с. 87. Сэффман Ф. Дж. Динамика вихрей.– М.: Научный Мир, 2000.– 376 с. 88. Борисов А. В., Мамаев И. С. Математические ме- тоды динамики вихревых структур.– М.-Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2005.– 368 с. 89. Thomson J.J. A treatise on the motion of vortex rings.– London: Macmillan, 1883.– 124 p. 90. Самарский А. А. Введение в численные методы.– М: Наука, 1982.– 278 с. 91. Havelock T. H. Stability of motion of rectilinear vorti- ces in ring formation // Phil. Mag. (Ser. 7).– 1931.– 11.– P. 617–633. 92. Mertz G.T. Stability of body-centered polygonal configurations of ideal vortices // Phys. Fluids.– 1978.– 21.– P. 1092–1095. 93. Борд Е.Г. О нелинейных возмущениях правиль- ной полигональной системы вихрей // Нелин. ди- намика.– 2006.– 3.– С. 353–360. 94. Куракин Л. Г., Юдович В. И. Устойчивость стаци- онарного вращения правильного вихревого много- угольника/ В кн. Фундаментальные и прикладные проблемы вихревой динамики // М.-Ижевск.– Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2003.– С. 238–299. 95. Форсайт Дж., Малкольм М., Коулер К. Машинные методы математических вычислений.– М: Мир, 1980.– 210 с. 96. Campbell L. J. Transverse normal modes of finite vortex arrays // Phys. Rev. Let.– 1981.– 24, N2.– P. 514–534. 24 Х.Ареф, В. В.Мелешко, А. А.Губа, А. А.Гуржий
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4697
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-9087
language	Russian
last_indexed	2025-11-29T04:27:03Z
publishDate	2007
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Ареф, Х. Мелешко, В.В. Губа, А.А. Гуржий, А.А. 2009-12-18T13:58:47Z 2009-12-18T13:58:47Z 2007 Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей / Х. Ареф, В.В. Мелешко, А.А. Губа, А.А. Гуржий // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 2-3. — С. 5-24. — Бібліогр.: 96 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4697 539.3 Рассматривается задача о построении конфигураций и анализе устойчивости стационарного вращения системы N одинаковых точечных вихрей на плоскости. В работе приводится краткий обзор имеющихся в литературе методов поиска равномерно вращающихся вихревых структур. Предложен новый метод построения симметричных и несимметричных конфигураций точечных вихрей с одинаковой интенсивностью, основанный на численном решении системы нелинейных алгебраических уравнений. Анализ полученных решений позволил сформировать расширенный каталог равномерно вращающихся структур, содержащих N (где 2 ≤ N ≤ 10) точечных вихрей. В каталог включены 13 симметричных и 25 несимметричных вихревых конфигураций. Сравнительный анализ траекторий движения системы точечных вихрей без начального возмущения и с начальным возмущением показывает, что симметричные конфигурации содержат как устойчивые, так и неустойчивые структуры. В то же время, все несимметричные вихревые конфигурации являются неустойчивыми. Розглядається задача про побудову конфiгурацiй i аналiз стiйкостi стацiонарного обертання системи N однакових точкових вихорiв на площинi. У роботi наводиться короткий огляд iснуючих у лiтературi методiв пошуку вихрових структур, що рiвномiрно обертаються. Запропонований новий метод побудови симетричних i несиметричних конфiгурацiй точкових вихорiв з однаковою iнтенсивнiстю, заснований на чисельному розв'язку системи нелiнiйних алгебраєчних рiвнянь. Аналiз одержаних розв'язкiв дозволив сформувати розширений каталог структур, що рiвномiрно обертаються i мiстять N (де 2 ≤ N ≤ 10) точкових вихорiв. Каталог вмiщує 13 симетричних i 25 несиметричних вихорових конфiгурацiй. Порiвняльний аналiз траєкторiй руху системи точкових вихорiв без початкового збудження i з початковим збудженням показує, що симетричнi конфiгурацiє мiстять як стiйкi, так i нестiйкi структури. У той же час, всi несиметричнi вихровi конфiгурацiє є нестiйкими. A problem on construction of configurations and analysis of stability of stationary rotation of a system N of identical point vortices on a plane is considered. A brief review on existing in literature methods to search the uniformly-rotating vortex structures is carried out. A new method to construct the symmetric and asymmetric configurations of point vortices with equal intensity based on numeral solution of a system of nonlinear algebraic equalizations is proposed. The analysis of achieved solutions allowed to form an extended catalogue of uniformly-rotated structures containing N (where 2 ≤ N ≤ 10) point vortices. The catalogue has 13 symmetric and 25 asymmetrical vortex configurations. The comparative analysis of trajectories of point vortex system without initial perturbations and with initial perturbations shows that symmetric configurations contain both steady and unsteady structures. On the other hand, all asymmetrical vortex configurations are unsteady. ru Інститут гідромеханіки НАН України Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей Uniformly-rotating configurations of point vortices Article published earlier
spellingShingle	Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей Ареф, Х. Мелешко, В.В. Губа, А.А. Гуржий, А.А.
title	Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей
title_alt	Uniformly-rotating configurations of point vortices
title_full	Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей
title_fullStr	Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей
title_full_unstemmed	Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей
title_short	Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей
title_sort	равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4697
work_keys_str_mv	AT arefh ravnomernovraŝatelʹnyekonfiguraciitočečnyhvihrei AT meleškovv ravnomernovraŝatelʹnyekonfiguraciitočečnyhvihrei AT gubaaa ravnomernovraŝatelʹnyekonfiguraciitočečnyhvihrei AT guržiiaa ravnomernovraŝatelʹnyekonfiguraciitočečnyhvihrei AT arefh uniformlyrotatingconfigurationsofpointvortices AT meleškovv uniformlyrotatingconfigurationsofpointvortices AT gubaaa uniformlyrotatingconfigurationsofpointvortices AT guržiiaa uniformlyrotatingconfigurationsofpointvortices

Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей

Institution

Similar Items