Строгое решение задач теории течения с изотропнокинематическим упрочнением. Сообщение 3. Параметрическая форма решений
Точные аналитические решения уравнений теории течения для начально-изотропных материалов с изотропно-кинематическим упрочнением в случае произвольных многозвенных ломаных кусочно-линейных траекторий нагружения, полученные ранее авторами в явном виде с помощью трехкратных обращений некоторых функц...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2003 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2003
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46989 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Строгое решение задач теории течения с изотропнокинематическим упрочнением. Сообщение 3. Параметрическая форма решений / К.Б. Иващенко, В.А. Ромащенко // Проблемы прочности. — 2003. — № 4. — С. 135-142. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46989 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Иващенко, К.Б. Ромащенко, В.А. 2013-07-08T14:44:57Z 2013-07-08T14:44:57Z 2003 Строгое решение задач теории течения с изотропнокинематическим упрочнением. Сообщение 3. Параметрическая форма решений / К.Б. Иващенко, В.А. Ромащенко // Проблемы прочности. — 2003. — № 4. — С. 135-142. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46989 539.37 Точные аналитические решения уравнений теории течения для начально-изотропных материалов с изотропно-кинематическим упрочнением в случае произвольных многозвенных ломаных кусочно-линейных траекторий нагружения, полученные ранее авторами в явном виде с помощью трехкратных обращений некоторых функций, связанных с упрочнением, записываются в параметрической форме в виде квадратур, которые не требуют обращения никаких функций. Точні аналітичні рішення рівнянь теорії течії для початково-ізотропних матеріалів з ізотропно-кінематичним зміцненням в разі довільних багатоланкових ламаних кусково-лінійних траєкторій нагружения, отримані раніше авторами в явному вигляді за допомогою триразових звернень деяких функцій, пов'язаних з зміцненням, записуються в параметричної формі у вигляді квадратур, які не вимагають звернення ніяких функцій. In earlier studies, exact analytical solutions for the equations of the theory of flow for initially isotropic materials with isotropic-kinematical hardening in the case of arbitrary multi-link broken lines of the piecewise-linear loading trajectories were obtained in the explicit form by the threefold reversions of functions associated with hardening. These solutions are given in the parametric form by quadratures, without function reversion. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Строгое решение задач теории течения с изотропнокинематическим упрочнением. Сообщение 3. Параметрическая форма решений Exact Solution of Flow Theory Problems with Isotropic-Kinematic Hardening. Part 3. Parametric Form of the Solution Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Строгое решение задач теории течения с изотропнокинематическим упрочнением. Сообщение 3. Параметрическая форма решений |
| spellingShingle |
Строгое решение задач теории течения с изотропнокинематическим упрочнением. Сообщение 3. Параметрическая форма решений Иващенко, К.Б. Ромащенко, В.А. Научно-технический раздел |
| title_short |
Строгое решение задач теории течения с изотропнокинематическим упрочнением. Сообщение 3. Параметрическая форма решений |
| title_full |
Строгое решение задач теории течения с изотропнокинематическим упрочнением. Сообщение 3. Параметрическая форма решений |
| title_fullStr |
Строгое решение задач теории течения с изотропнокинематическим упрочнением. Сообщение 3. Параметрическая форма решений |
| title_full_unstemmed |
Строгое решение задач теории течения с изотропнокинематическим упрочнением. Сообщение 3. Параметрическая форма решений |
| title_sort |
строгое решение задач теории течения с изотропнокинематическим упрочнением. сообщение 3. параметрическая форма решений |
| author |
Иващенко, К.Б. Ромащенко, В.А. |
| author_facet |
Иващенко, К.Б. Ромащенко, В.А. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2003 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Exact Solution of Flow Theory Problems with Isotropic-Kinematic Hardening. Part 3. Parametric Form of the Solution |
| description |
Точные аналитические решения уравнений теории течения для начально-изотропных материалов
с изотропно-кинематическим упрочнением в случае произвольных многозвенных ломаных
кусочно-линейных траекторий нагружения, полученные ранее авторами в явном виде с
помощью трехкратных обращений некоторых функций, связанных с упрочнением, записываются
в параметрической форме в виде квадратур, которые не требуют обращения
никаких функций.
Точні аналітичні рішення рівнянь теорії течії для початково-ізотропних матеріалів з ізотропно-кінематичним зміцненням в разі довільних багатоланкових ламаних кусково-лінійних траєкторій нагружения, отримані раніше авторами в явному вигляді за допомогою триразових звернень деяких функцій, пов'язаних з зміцненням, записуються в параметричної формі у вигляді квадратур, які не вимагають звернення ніяких функцій.
In earlier studies, exact analytical solutions for
the equations of the theory of flow for initially
isotropic materials with isotropic-kinematical
hardening in the case of arbitrary multi-link broken
lines of the piecewise-linear loading trajectories
were obtained in the explicit form by the
threefold reversions of functions associated
with hardening. These solutions are given in
the parametric form by quadratures, without
function reversion.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46989 |
| citation_txt |
Строгое решение задач теории течения с изотропнокинематическим упрочнением. Сообщение 3. Параметрическая форма решений / К.Б. Иващенко, В.А. Ромащенко // Проблемы прочности. — 2003. — № 4. — С. 135-142. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT ivaŝenkokb strogoerešeniezadačteoriitečeniâsizotropnokinematičeskimupročneniemsoobŝenie3parametričeskaâformarešenii AT romaŝenkova strogoerešeniezadačteoriitečeniâsizotropnokinematičeskimupročneniemsoobŝenie3parametričeskaâformarešenii AT ivaŝenkokb exactsolutionofflowtheoryproblemswithisotropickinematichardeningpart3parametricformofthesolution AT romaŝenkova exactsolutionofflowtheoryproblemswithisotropickinematichardeningpart3parametricformofthesolution |
| first_indexed |
2025-11-26T16:05:59Z |
| last_indexed |
2025-11-26T16:05:59Z |
| _version_ |
1850627229186260992 |
| fulltext |
УДК 539.37
С трогое реш ение задач теории течения с и зотр оп н о
кинематическим упрочнением. Сообщение 3. Параметрическая
форма решений
К. Б. Иващенко, В. А. Ромащенко
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Точные аналитические решения уравнений теории течения для начально-изотропных мате
риалов с изотропно-кинематическим упрочнением в случае произвольных многозвенных лома
ных кусочно-линейных траекторий нагружения, полученные ранее авторами в явном виде с
помощью трехкратных обращений некоторых функций, связанных с упрочнением, записы
ваются в параметрической форме в виде квадратур, которые не требуют обращения
никаких функций.
К л ю ч е в ы е с л о в а : и з о т р о п н ы й у п р у г о п л а с т и ч е с к и й м а т е р и а л , и з о т р о п н о
к и н е м а т и ч е с к о е у п р о ч н е н и е , р е ш е н и я в к в а д р а т у р а х в п а р а м е т р и ч е с к о й
ф о р м е .
О д н и м и з п р а к т и ч е с к и в а ж н ы х и т е о р е т и ч е с к и и н т е р е с н ы х ч а с т н ы х
с л у ч а е в у п р у г о п л а с т и ч е с к о г о п о в е д е н и я м а т е р и а л о в я в л я е т с я п е р в о н а ч а л ь н о
и з о т р о п н ы й у п р у г о п л а с т и ч е с к и й м а т е р и а л , о п и с ы в а е м ы й т е о р и е й т е ч е н и я ,
к о т о р а я в к л ю ч а е т у с л о в и е т е к у ч е с т и М и з е с а , а с с о ц и и р о в а н н ы й к н е м у за к о н
т е ч е н и я и д е ф о р м а ц и о н н о е к о м б и н и р о в а н н о е ( и з о т р о п н о -к и н е м а т и ч е с к о е )
у п р о ч н е н и е . Р а н е е [1 , 2 ] б ы л и п р и в е д е н ы о б з о р л и т е р а т у р ы п о д а н н о й т е м е ,
а т а к ж е р а з р а б о т а н н а я а в т о р а м и м е т о д и к а п о л у ч е н и я в я в н о м в и д е а н а л и
т и ч е с к и х р е ш е н и й , о п и с ы в а ю щ и х п о в е д е н и е т а к о г о м а т е р и а л а , в ч а с т н о с т и ,
в с л у ч а я х , к о г д а н а г р у ж е н и е п р е д с т а в л я е т с о б о й с о с т а в л е н н у ю и з п р я м о
л и н е й н ы х о т р е з к о в л о м а н у ю л и н и ю в д е в и а т о р н о м п р о с т р а н с т в е н а п р я
ж е н и й и л и п о л н ы х д е ф о р м а ц и й . С и с п о л ь з о в а н и е м э т о й м е т о д и к и п о л у ч е н ы
р е ш е н и я р я д а с т а т и ч е с к и о п р е д е л и м ы х за д а ч [ 1 , 2 ] в в и д е з а в и с и м о с т и
и с к о м ы х ф у н к ц и й о т д л и н ы т р а е к т о р и и н а г р у ж е н и я д л я р а з л и ч н ы х ч а с т н ы х
с л у ч а е в з а в и с и м о с т и р а д и у с а к р у г а т е к у ч е с т и о т и с т о р и и п л а с т и ч е с к о г о
д е ф о р м и р о в а н и я .
В р а м к а х п р е д л о ж е н н о г о п о д х о д а д л я п о л у ч е н и я о к о н ч а т е л ь н о г о р е ш е
н и я т р е б о в а л о с ь н е о д н о к р а т н о (т р и р а з а ) п р о в о д и т ь о б р а щ е н и я н е к о т о р ы х
м о н о т о н н ы х ф у н к ц и й , о п р е д е л я е м ы х д л я к а ж д о й к о н к р е т н о й м о д е л и п о в е
д е н и я м а т е р и а л а е г о п л а с т и ч е с к и м и х а р а к т е р и с т и к а м и . З а п и с а т ь э т и о б р а
щ е н и я в я в н о м в и д е ( ч е р е з э л е м е н т а р н ы е -с п е ц и а л ь н ы е ф у н к ц и и и л и в в и д е
к в а д р а т у р ) у д а е т с я л и ш ь д л я д о с т а т о ч н о о г р а н и ч е н н о г о к р у г а м о д е л е й п о в е
д е н и я м а т е р и а л а .
В н а с т о я щ е й р а б о т е п р и в е д е н ы р е зу л ь т а т ы п р и м е н е н и я д р у г о г о п о д х о д а
к р е ш е н и ю с ф о р м у л и р о в а н н о й р а н е е [1 , 2 ] с и с т е м ы у р а в н е н и й . П р и э т о м
и с к о м ы е р е ш е н и я о т ы с к и в а ю т с я в в и д е ф у н к ц и й н е о т д л и н ы т р а е к т о р и и
н а г р у ж е н и я , а о т п а р а м е т р а О д к в и с т а . Ф о р м а р е ш е н и й - п а р а м е т р и ч е с к а я ,
д л я и х п о л у ч е н и я н е н у ж н ы о б р а щ е н и я н и о д н о й ф у н к ц и и - р е ш е н и я
© К. Б. ИВАЩЕНКО, В. А. РОМАЩЕНКО, 2003
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 4 135
К. Б. Иващенко, В. А. Ромащенко
з а п и с ы в а ю т с я в к в а д р а т у р а х . Т ак ая ф о р м а з а п и с и р е ш е н и й м о ж е т б ы т ь
п о л е з н а , в ч а с т н о с т и , п р и ч и с л е н н о м м о д е л и р о в а н и и п о в е д е н и я у п р у г о
п л а с т и ч е с к и х м а т е р и а л о в с к о м б и н и р о в а н н ы м у п р о ч н е н и е м . З н а ч е н и е п а р а
м е т р а О д к в и с т а , с о о т в е т с т в у ю щ е е т о ч к е , н а х о д я щ е й с я в т р е б у е м о м м е с т е н а
з а д а н н о м о т р е з к е т р а е к т о р и и н а г р у ж е н и я , м о ж е т б ы т ь н а й д е н о с н у ж н о й
с т е п е н ь ю т о ч н о с т и п р и б л и ж е н н о , а в с е о с т а л ь н ы е н е о б х о д и м ы е д л я р а с ч е т а
в е л и ч и н ы я в н о в ы ч и с л я т ь с я и з э т о г о п р и б л и ж е н н о г о зн а ч е н и я .
1. М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь . М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь д л я м о д е л и р о в а
н и я п о в е д е н и я у п р у г о п л а с т и ч е с к о г о м а т е р и а л а с к о м б и н и р о в а н н ы м у п р о ч
н е н и е м п о д р о б н о р а с с м о т р е н а в [1 ] . Н и ж е п р и в е д е н ы т о л ь к о у р а в н е н и я
м о д е л и б е з и х п о д р о б н о г о о п и с а н и я :
— Р I e
e kj — e kj + e k j ;
S kj — I G e t j ;
p dX
e k j — 2 G ( s kj ~ p k j ); ( i )
p kj — '2GGl e k j ;
° Pi — ф ( q X
г д е о pi - э к в и в а л е н т н о е а к т и в н о е н а п р я ж е н и е ,
V = -у 5 ъ ~ р % ) ; (2 )
е ^ - к о м п о н е н т ы д е в и а т о р а п о л н ы х д е ф о р м а ц и й , к о т о р ы е м о г у т б ы т ь п р е д -
е Р
с т а в л е н ы в в и д е с у м м ы у п р у г о й е ц и п л а с т и ч е с к и х е ц ч а с т е й ; д л я к о м п о
н е н т д е в и а т о р о в у п р у г и х д е ф о р м а ц и й е е и н а п р я ж е н и й с п р а в е д л и в
з а к о н Г у к а (в т о р о е и з у р а в н е н и й (1 ) ) ; О - м о д у л ь с д в и г а м а т е р и а л а ; Я -
б е з р а з м е р н ы й м н о ж и т е л ь Л а г р а н ж а ; d e P - к о м п о н е н т ы т е н з о р а п р и р а щ е н и й
п л а с т и ч е с к о й д е ф о р м а ц и и ; р ̂ - т е к у щ и е к о о р д и н а т ы п е р е м е щ а ю щ е г о с я в
п р о ц е с с е п л а с т и ч е с к о г о д е ф о р м и р о в а н и я ц е н т р а п о в е р х н о с т и н а г р у ж е н и я
М и з е с а . Ч е р е з Ф ( д ) > 0 о б о з н а ч е н а н е к о т о р а я за д а н н а я ф у н к ц и я и з о т р о п н о г о
д е ф о р м а ц и о н н о г о у п р о ч н е н и я , к о т о р а я з а в и с и т о т п а р а м е т р а О д к в и с т а д:
д (х ) = / е р & ' ; ^ ^ р = ^ 3 ~ ^ ё р ^ ё р - ; е р = ^ 2 е ц е р , ( 3 )
г д е х - д л и н а т р а е к т о р и и н а г р у ж е н и я ; т о ч к а н а д п а р а м е т р о м о б о з н а ч а е т
д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е п о х . Л и н е й н о е к и н е м а т и ч е с к о е д е ф о р м а ц и о н н о е
у п р о ч н е н и е х а р а к т е р и з у е т с я з а д а н н ы м б е з р а з м е р н ы м к о э ф ф и ц и е н т о м ц > 0 .
136 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 4
Строгое решение задач теории течения
З д е с ь и д а л е е н и ж н и м и и н д е к с а м и ку о б о з н а ч е н ы к о м п о н е н т ы т е н з о р о в
в н е к о т о р о й с и с т е м е к о о р д и н а т , з а д а н н о й т р о й к о й о р т о г о н а л ь н ы х к о о р д и
н а т н ы х о с е й ( к , у = { 1 , 2 , 3 } ) , п р и н я т о т а к ж е с т а н д а р т н о е с о г л а ш е н и е о
с у м м и р о в а н и и п о п о в т о р я ю щ и м с я и н д е к с а м .
У р а в н е н и я ( 1 ) , (2 ) с п р а в е д л и в ы п р и а к т и в н о м н а г р у ж е н и и . К а к п о л у
ч и т ь р е ш е н и е н а н е а к т и в н ы х у ч а с т к а х (р а з г р у з о ч н ы х и л и у п р у г и х ) , п о д
р о б н о о б ъ я с н я л о с ь в п р е д ы д у щ и х с о о б щ е н и я х [1 , 2 ] . Д а л е е б у д у т р а с с м а т
р и в а т ь с я т о л ь к о а к т и в н ы е п р о ц е с с ы .
О т ы с к и в а е м р е ш е н и е з а д а ч и д л я л о м а н о й т р а е к т о р и и н а г р у ж е н и я в
в и д е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и р е ш е н и й д а н н о й з а д а ч и д л я о т д е л ь н ы х п р я м о л и
н е й н ы х о т р е з к о в , с о с т а в л я ю щ и х э т у л о м а н у ю . П о л а г а е м , ч т о в н а ч а л ь н о й
т о ч к е о т р е з к а в с е в е л и ч и н ы и з в е с т н ы ( д а л е е б у д е м и х о б о з н а ч а т ь в е р х н и м
и л и н и ж н и м и н д е к с о м “ 0 ” : skj■, р 0 , д 0 и т .д .) , а в к о н е ч н о й т о ч к е о т р е зк а
о н и н а х о д я т с я в р е зу л ь т а т е р е ш е н и я з а д а ч и и и с п о л ь з у ю т с я к ак н а ч а л ь н ы е
д а н н ы е п р и п о л у ч е н и и р е ш е н и я д л я с л е д у ю щ е г о о т р е з к а л о м а н о й .
И з ( 1 ) —( 3 ) с л е д у е т с в я зь м е ж д у ёХ и д:
ЛХ = 3 О Л д / Ф ( д ) . (4 )
2 . З а д а н и е п р я м о л и н е й н о й т р а е к т о р и и н а г р у ж е н и я в д е в и а т о р н о м
п р о с т р а н с т в е н а п р я ж е н и й . З а д а д и м в д е в и а т о р н о м п р о с т р а н с т в е н а п р я
ж е н и й п р о и з в о л ь н ы й п р я м о л и н е й н ы й о т р е з о к м н о г о з в е н н о й л о м а н о й , в д о л ь
к о т о р о г о п р о и с х о д и т н а г р у ж е н и е :
^ = 4 + ( х - X о Х (5 )
п р и ч е м п р и м е м , ч т о
S lg■S!g■ = 1. ( 6 )
Т о г д а х - д л и н а т р а е к т о р и и н а г р у ж е н и я в п я т и м е р н о м д е в и а т о р н о м п р о
с т р а н с т в е н а п р я ж е н и й , к о т о р о е р а с с м а т р и в а е т с я как п о д п р о с т р а н с т в о д е в я т и
м е р н о г о т е н з о р н о г о п р о с т р а н с т в а т е н з о р о в в т о р о г о р а н г а с м е т р и к о й :
2 = ( к , ] = 1, 2 , 3 ) .
И з ( 1 ) - ( 4 ) с л е д у е т
йР к] . 3О У = 3О У
Лд + Ф ( д ) Р к Ф ( д ) ^ . (7 )
Р е ш е н и е о б ы к н о в е н н о г о л и н е й н о г о д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я п е р
в о г о п о р я д к а (7 ) с у ч е т о м (5 ) м о ж н о з а п и с а т ь т а к [3]:
. . р °о/- 4 - S ^|У
р к ] = * к + ----------м Х ----------' ( 8 )
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 4 137
К. Б. Иващенко, В. А. Ромащенко
г д е
х
у = / е х р
*2
з а , /
?0
d q '
Ф ( ? )
dx;
у ( х о ) = 0 , у > 0 п р и х > х 0 ; (9 )
d y
d x
= ех р
*2
3 а , /
d q '
П о д с т а в л я я ( 8 ) в у р а в н е н и е ( 2 ) , с у ч е т о м п о с л е д н е г о у р а в н е н и я с и с т е м ы
( 1 ) п о л у ч а е м
^ у 2 + 2 В у + С 2 = Р ( q , q о ) , ( 1 0 )
г д е
р ( q , q 0 ) = л/ з Ф ( q ) e x p
ч
з а , /
qо
d q '
( 1 1 )
В = ( р к );
с 2 = ( 4 - р 0 ),
( 1 2 )
п р и ч е м р а н е е [ 1 ,2 ] б ы л о п о к а з а н о , ч т о
С 2 = 2 Ф 2 ( q 0 ) = p 2 ( q о , q о ) ^ в 2 и В ^ 0
С у ч е т о м в ы ш е и з л о ж е н н о г о и с о о т н о ш е н и й (9 ) п о л у ч а е м р е ш е н и е ( 1 0 )
о т н о с и т е л ь н о у :
у = - В + ■\[В ^ — Рр 2 ( ^ 0 ^ У + р 2 ( ^ ^ 0 )- (1 3 )
Р а с п о л а г а я о т н о ш е н и е м у ( q ), м о ж н о н а й т и х ( q ). И з (9 ) и (1 1 ) с л е д у е т
, P ( q , q ) ,
d x = — ---------- - d y .
р ( q , q 0 )
И н т е г р и р у я п о с л е д н е е в ы р а ж е н и е п о ч а с т я м , п о л у ч а е м
х — х (
q , q )
р ( q , q 0 )
у
?0
р ( q ' , q 0 )
d q '. ( 1 4 )
138 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 4
х0
Строгое решение задач теории течения
Н а х о д и м з а в и с и м о с т ь р ц ( д ). И з ( 8 ) с л е д у е т
_ 0 , а Ґ \ . Ч’ Ч ) / - 0 0 а \
Р к] = 8 к] ( X - X о ) + ^ ) ( Р к] - - $ ц У )• ( 1 5 )
В р е зу л ь т а т е п о д с т а н о в к и ( 1 4 ) в ( 1 5 ) п о л у ч и м
о о Л р ( Ч’ Ч)
р ( Ч’ч о )
+
_ 'г
п !
У
Чо р ( ч ' ’ Ч о )
ё ч ’. ( 1 6 )
Е с л и д о п о л н и т е л ь н о у ч е с т ь , ч т о
__ *2
= 1 -
р ( Ч’ Ч )
Чо
р ( Ч’’ Ч о ) р ( Ч’ Ч о )
(1 7 )
т о о к о н ч а т е л ь н о с и с п о л ь з о в а н и е м в ы р а ж е н и я ( 1 3 ) м о ж н о за п и с а т ь :
х = х о - В + р (( ч ’ч ) ^ В 2 - р 2 ( Чо ’Чо ) + р 2 ( Ч ’ Чо )
р ( ч ’ч о )
+
+ 7 6 ^ 2 ~ р 2 ( ̂ ',ч ̂ + р 2 ( ч ’ -ч о ) ^
Чо
р к] = Ь ц - В 8 к] +
р ( ч ’’Чо )
р ( Ч ’ Ч К о о
р ( Ч ’ Ч о )
( Р к] - Ьк] + В 8 к] ) +
/7 ^ „ ч 4 в 2 - р 2 ( Ч о ’ Ч о ) + р 2 ( ч ’’ Ч о ) , ,
+ >/6 -̂-------------------- ё ч ;
Чо
р ( ч ’’ Ч о )
(1 8 )
г д е з н а ч е н и я х ) , р ( д , д о ) и 5 о п р е д е л я ю т с я с о о т в е т с т в е н н о п о в ы р а ж е
н и я м ( 5 ) , ( 1 1 ) и (1 2 ) .
3 . З а д а н и е п р я м о л и н е й н о й т р а е к т о р и и н а г р у ж е н и я в д е в и а т о р н о м
п р о с т р а н с т в е п о л н ы х д е ф о р м а ц и й . З а д а д и м п р о и з в о л ь н ы й п р я м о л и н е й
н ы й о т р е з о к м н о г о з в е н н о й л о м а н о й , в д о л ь к о т о р о г о п р о и с х о д и т н а г р у ж е н и е ,
а н а л о г и ч н о р а с с м о т р е н н о м у в п . 2 , н о т е п е р ь в д е в и а т о р н о м п р о с т р а н с т в е
п о л н ы х д е ф о р м а ц и й :
е кі = е 1к + Е к і( х - х о ) . ( 1 9 )
П р и э т о м п о л а г а е м , ч т о
0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 4
(2 о )
139
К. Б. Иващенко, В. А. Ромащенко
ст в е .
Т о г д а х - д л и н а т р а е к т о р и и д е ф о р м а ц и й в с о о т в е т с т в у ю щ е м п р о с т р а н -
И з ( 1 ) - ( 4 ) м о ж н о п о л у ч и т ь с л е д у ю щ е е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е :
^ к/ 3 в (1 + 1 1 )
d q + Ф ( q )
= 2 в
^ к / 3вг]
d q + Ф ( д ) £1д (2 1 )
Р е ш е н и е у р а в н е н и я ( 2 1 ) с у ч е т о м ( 1 9 ) м о ж н о з а п и с а т ь так:
г д е
3 с Пе к/ +
х
2 = f е х р
х0
1
3 0 ( 1 + г , ) ^
до
d z |d х
d q '
а д
dх;
2 ( х о ) = 0 , 2 > 0 п р и х > х 0 ;
d z
d х
: е х р
'г
3 С ( 1 + ^ ) /
d q '
Ф ^ )
(2 2 )
(2 3 )
И з (1 ) с л е д у е т
2 ® п е к] = + р к/ .
П о д с т а в л я я ( 2 4 ) в ( 2 2 ) , п о л у ч а е м
- Р к/
4 - Р + 2 в Е к
d z |d х
(2 4 )
(2 5 )
а ( 2 5 ) в (2 ) с у ч е т о м п о с л е д н е г о у р а в н е н и я с и с т е м ы (1 )
л/ 2 2 + 2 А 2 + Б 2 = К ( q , q о ) ,
г д е
Ф ( q )
К ( q , q о ) = е х р
*2
3 С ( 1 + ^ ) /
qо
d q '
Ф ^ )
А = Е / ( 4 - р 0 ) / 2 в ;
Б 2 = ( 4 - р 0 ) / 4 в 2 ,
(2 6 )
(2 7 )
(2 8 )
140 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 4
Строгое решение задач теории течения
п р и ч е м р а н е е [ 1 , 2 ] б ы л о п о к а з а н о , ч т о н а а к т и в н ы х у ч а с т к а х
О 2 = Ф 2 ( д о ) / б £ 2 = Я 2 ( д о , д о ) > А 2 и А > 0.
С у ч е т о м и з л о ж е н н о г о в ы ш е и с в о й с т в ( 2 3 ) п о л у ч а е м р е ш е н и е ( 2 6 )
о т н о с и т е л ь н о 2 \
= - А + д / А 2 - Я 2 ( д 0 , д 0 ) + Я 2 ( д , д 0 ) . (2 9 )
Р а с п о л а г а я о т н о ш е н и е м г ( д ), м о ж н о , п о а н а л о г и и с п р о ц е д у р о й , п р о
в е д е н н о й в п р е д ы д у щ е м р а з д е л е , н а й т и и з ( 2 3 ) в ы р а ж е н и е д л я х ( д ) , и ,
п о д с т а в л я я в ( 1 9 ) , ( 2 2 ) х — х о к ак ф у н к ц и ю д, - в ы р а ж е н и е д л я ^ ( д >
С л е д о в а т е л ь н о , о к о н ч а т е л ь н о е р е ш е н и е з а д а ч и м о ж н о з а п и с а т ь в п а р а м е т р и
ч е с к о й ф о р м е :
х = х о — А + Я ( д , д ) Г а л
Я ( g , д о )
V а 2 - Я 2 (д 0 д У + Я 2 (д д 0 ) +
/ з , д V а 2 - Я 2 (д 0 д У + Я 2 (д 'д ^ , ,
( 1 + п ^ — л
V2 д Я ( g , д о )
д0
п 4 + Р ° — 2С п Е к,А
5» = 1Г П +
+
Я ( д , д )
Я ( д , д 0 )
1
— Р к — 2 ^ Е кіА I 2 2 2
------------- — -----------------+ № Е к ' 4 А — Я ( д 0 , д 0 ) + Я ( д , д 0 )
1 + п -1
( 3 0 )
г д е зн а ч е н и я е ^ ( х ) , Я ( д , д 0 ) и А о п р е д е л я ю т с я п о в ы р а ж е н и я м ( 1 9 ) , ( 2 7 ) и
( 2 8 ) с о о т в е т с т в е н н о .
Т а к и м о б р а з о м , м о ж н о за к л ю ч и т ь , ч т о в п о л у ч е н н ы х п а р а м е т р и ч е с к и х
р е ш е н и я х у р а в н е н и й т е о р и и т е ч е н и я с и з о т р о п н о -к и н е м а т и ч е с к и м у п р о ч
н е н и е м з а в и с и м о с т и в с е х и с к о м ы х в е л и ч и н о т п а р а м е т р а О д к в и с т а з а п и с ы
в а ю т с я в к в а д р а т у р а х .
Р е з ю м е
Т о ч н і а н а л іт и ч н і р о з в ’я зк и р ів н я н ь т е о р і ї т е к у ч о с т і д л я п о ч а т к о в о - із о т р о п
н и х м а т е р іа л ів з із о т р о п н о - к ін е м а т и ч н и м з м іц н е н н я м у в и п а д к у д о в іл ь н и х
б а г а т о л а н к о в и х л о м а н и х к у с о ч н о - л ін ій н и х т р а є к т о р ій н а в а н т а ж е н н я , к о т р і
о т р и м а н о р а н іш е а в т о р а м и в я в н о м у в и г л я д і з а д о п о м о г о ю т р и р а з о в и х
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 4 141
К. Б. Иващенко, В. А. Ромащенко
о б е р н е н ь д е я к и х ф у н к ц ій , щ о п о в ’я з а н і з і з м іц н е н н я м , з а п и с у ю т ь с я в п а р а
м е т р и ч н ій ф о р м і у в и г л я д і к в а д р а т у р . О с т а н н і н е п о т р е б у ю т ь о б е р н е н н я
н ія к и х ф у н к ц ій .
1. Р о м а щ е н к о В . А , Л е п и х и н П . П . , И в а щ е н к о К . Б . С т р о г о е р е ш е н и е за д а ч
т е о р и и т е ч е н и я с и з о т р о п н о -к и н е м а т и ч е с к и м у п р о ч н е н и е м . С о о б щ . 1.
З а д а н и е т р а е к т о р и й н а г р у ж е н и я в п р о с т р а н с т в е н а п р я ж е н и й / / П р о б л .
п р о ч н о с т и . - 1 9 9 9 . - № 6 . - С . 81 - 9 2 .
2 . Р о м а щ е н к о В . А , Л е п и х и н П . П . , И в а щ е н к о К . Б . С т р о г о е р е ш е н и е за д а ч
т е о р и и т е ч е н и я с и з о т р о п н о -к и н е м а т и ч е с к и м у п р о ч н е н и е м . С о о б щ . 2 .
З а д а н и е т р а е к т о р и й н а г р у ж е н и я в п р о с т р а н с т в е д е ф о р м а ц и й / / Т а м ж е .
- 2 0 0 0 . - № 1. - С . 6 2 - 7 1 .
3 . С м и р н о в В . И . К у р с в ы с ш е й м а т е м а т и к и . - М .: Н а у к а , 1 9 7 4 . - Т . 2 . -
6 5 6 с .
Поступила 18. 07. 2002
142 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 4
|