Анализ напряженно-деформированного состояния винтового стержня при растяжении с учетом пластических свойств материала
Получены расчетные зависимости для геометрических параметров винтового стержня при
 упругом растяжении. Предложена методика учета пластических свойств материала
 стержня и показано, что они оказывают существенное влияние на результаты расчетов. Отримано розрахункові залежності для ге...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2003 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2003
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46990 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Анализ напряженно-деформированного состояния винтового
 стержня при растяжении с учетом пластических свойств
 материала / В.Г. Хромов, В.В. Поляков // Проблемы прочности. — 2003. — № 4. — С. 129-134. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860174504050819072 |
|---|---|
| author | Хромов, В.Г. Поляков, В.В. |
| author_facet | Хромов, В.Г. Поляков, В.В. |
| citation_txt | Анализ напряженно-деформированного состояния винтового
 стержня при растяжении с учетом пластических свойств
 материала / В.Г. Хромов, В.В. Поляков // Проблемы прочности. — 2003. — № 4. — С. 129-134. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Получены расчетные зависимости для геометрических параметров винтового стержня при
упругом растяжении. Предложена методика учета пластических свойств материала
стержня и показано, что они оказывают существенное влияние на результаты расчетов.
Отримано розрахункові залежності для геометричних параметрів гвинтового
стрижня при пружному розтязі. Запропоновано методику урахування
пластичних властивостей матеріалу стрижня і показано, що вони мають
значний вплив на результати розрахунків.
Calculated dependences for the geometric parameters
of a spiral bar in elastic tension are
given. A method for taking into account material
plastic properties is developed and their
strong affect on the calculation results is
shown.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:59:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Анализ напряженно-деформированного состояния винтового
стержня при растяжении с учетом пластических свойств
материала
В. Г. Х ром ов, В. В. П о л яко в
Севастопольский национальный технический университет, Севастополь, Украина
Получены расчетные зависимости для геометрических параметров винтового стержня при
упругом растяжении. Предложена методика учета пластических свойств материала
стержня и показано, что они оказывают существенное влияние на результаты расчетов.
Ключевые слова : относительное удлинение, нормальное напряжение, каса
тельное напряжение, относительный сдвиг.
Известно, что упругие элементы, представляющие собой винтовые
стержни - цилиндрические пружины, элементы (проволоки или пряди)
стальных канатов, кабелей и др., получили широкое распространение в
технике. Ф изически линейные задачи статики винтовых стержней детально
исследованы, например, в работах [1-3]. Вместе с тем остаются актуаль
ными нелинейные задачи, возникающие при проектировании технологи
ческих процессов изготовления винтовых изделий [2, 4].
Рассмотрим задачу о растяжении винтового упругопластического
стержня круглого постоянного сечения (рис. 1) в предположении, что при
нагружении торцы образующего цилиндра могут перемещаться только по
ступательно вдоль его осевой линии. Геометрия продольной оси стержня
определяется радиусом образующего цилиндра г, а также углом а между
образующей цилиндра и касательной к оси стержня (угол свивки каната).
Необходимо найти значения указанных параметров после нагружения.
Задача реш ается при следующих допущениях: на любом этапе нагру
жения стержень остается винтовым брусом с постоянными по длине гео
метрическими характеристиками а , г ; нормальные сечения стержня, плос
кие до деформации, остаются плоскими и после деформации; рассматри
вается стержень малой кривизны, т.е. ё /Я < 1/5 ^ - диаметр поперечного
сечения стержня; Я - радиус кривизны стержня); влиянием внутренних
© В. Г. ХРОМОВ, В. В. ПОЛЯКОВ, 2003
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 4 129
\
Рис. 1. Расчетная схема стержня.
В. Г. Хромое, В. В. Поляков
поперечных усилий пренебрегаем; материал несжимаем (коэффициент
Пуассона л = 0,5), не упрочняется, а его поведение при чистом растя
жении и чистом сдвиге описывается линейными диаграммами (рис. 2 );
переход материала стержня из упругого состояния в состояние текучести
описывается условием М изеса, которое для совместного растяжения и сдви-
2 2 2 га имеет вид: о + 3г = о
Рис. 2. Диаграммы деформации упругопластического материала без деформационного
упрочнения.
В расчетах используются две декартовы системы координат (рис. 1):
неподвижная X 1X 2Х'ъ и подвижная X іX 2X 3 , жестко связанная с рас
сматриваемым поперечным сечением стержня. Дуга продольной оси стерж
ня 5 отсчитывается от левого торца образующего цилиндра по направлению
к правому. Начало подвижной системы координат совпадает с центром
тяжести поперечного сечения стержня, ось X і направлена по касательной к
осевой линии стержня в сторону увеличения координаты 5; оси X 2 и X 3
соответственно совпадают с нормалью к оси стержня и бинормалью.
Проекции произвольного вектора на оси подвижной системы координат
связаны с его проекциями на оси неподвижной системы соотношениями [5]
3 i A j 3 j - ( 1)
где A ij = - матрица перехода; p - угловая
cos a — sin p sin a cos p sin a
0 — cos p — sin p
sin a sin p cos a —cos p cos a
координата поперечного сечения стержня (рис. 1).
Подставляя в (1) проекции главного вектора N (P , 0, 0) и главного мо
мента внутренних сил M (T , P r s in p , — P r c o sp ) на оси неподвижной систе
мы координат, получаем их проекции на оси подвижной системы координат:
N (P cos а ,0 , P sin a); M (T cos а + P r sin a ,0 ,T sin a - P r cos a). (2)
Обозначим параметры, характеризующие состояние стержня до нагру
жения, индексом i, после нагружения - индексом i + 1. Запишем систему
уравнений для нахождения искомых параметров a i+i , r i+i, Ti+i.
Г еом етрическая ч асть задачи. Приращения относительного удлине
ния, кручения и кривизны продольной оси стержня рассчитываются по
формулам [1]
130 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2003, № 4
Анализ напряженно-деформированного состояния
А е 1 Е i+1 Е i
А в = в м - в i =
Ак = k i+i - к, =
sin а 0 I r i+1
го 1,sin а i+1
sin а i+1 cos а i+1
ri+1
2 2 sin а i+1 sin а t
sin а,- cos а ;
(3)
ri+1 ri+1
где а о - угол свивки; r0 = d k l 2 - радиус ненагруженного стержня.
Ф и зи ческая ч асть задачи. Состояние стержня описывается уравнени
ями упругопластической деформации [4], которые для данной задачи имеют
вид
A N = G ii Ае i + G 12 Ав + G 13 Ак;
A M 1 = G 21АЕ1 + G 22 Ав + G 23 Ак; (4)
A M 3 = G 31АЕ1 + G 32 Ав + G 33 Ак.
Здесь G 11, . . . , G 33 - обобщенные коэффициенты жесткости стержня, опре
деляемые по формулам
2 2л и E J 1 E л 3 т2 2
G 11 = EF - E S — dF; G 22 = - г 1 - Т S ~ Р 2dF;
77 U т 3 3 Тч U т
F p т F p т
G 33 = E J 3 E S 2 x 2 dF ;
F и тFp т
G 12 = G 21 = E S “T P dF ; G 13 = G 31 = E S 2 dF;
F и тFp т
G 23 = G 32 = E S _ 2"X 2 P d F ,
и
U2 '
F и т Fp т
F и тFp т
(5)
где Г - площадь поперечного сечения стержня; Е - модуль упругости
материала стержня; а т - предел текучести материала стержня; J 1, J 3 -
полярный и осевой моменты инерции поперечного сечения стержня.
Решая (4) относительно приращений относительного удлинения, круче
ния и кривизны, получаем
Д е 1 = сп АЖ + с 21Л М 1 + с 13 А И 3 ;
• Д б = с 21Л ^ + с 22 Л И 1 + с 23 Л И 3 ; (6 )
Ак = с31АЫ + с 32 Л И 1 + с 33 Л И 3 ,
где с11, . . . , с33 - коэффициенты,
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2003, N 4 131
В. Г. Хромое, В. В. Поляков
с 1 1 _
22е 33 в 23 в , , в
С С22 -
0
11е 33 в 13
С0
в , , в
С33 -
11е 22 в 12
С0
С12 - С21 -
в 13в 23 в 12в 33 в 12в - в 13в
С0
в 12в 13 - в 11в 23
С13 - С31 -
12е 23 в 13в 22
С 0 (7)
С23 - С32 -
С0
С0 - в 11в 22в 33 - в 11в 23 - в 22в 1з + 2 в 13в 12в 23-
Приращения внутренних продольного усилия, крутящего и изгибаю
щего моментов определяются в соответствии с (2 ):
Ш - N +1 - N - Р { + 1 сое а 1+1 - Р1 сое а ,;
А м 1 - м 1+ - м 1, - Р /+1г/+1 81п а 1+1 + Т +1 с08 а 1+1
- Р г э1п а , - Т со эа
А М - М-. м 3 - - Р ,+1г,+1 с^ а ,+1 + Т +1 я п а ,+, +, + 1
+ Р г , соэ а , - Т, э1п а ,.
(8)
Подставляя (8) в (6 ) с учетом (3), получаем искомые уравнения:
э1п а о ( Г +1
г0 т п а ,+ 1 яп а , - с и ( Р + 1 соэ а , + 1 - Р, соэ а ) +
+ с 12 (Р ,-+1г,-+1э1п а ,+1 + Т + 1 соэ а ,+1 - Р1г1э1п а - Т соэ а ) +
+С13 ( - Р ,+ 1Г,+1 с о э а ,+1 + Т +1 э1па ,+1 + Р,г, с о э а , - Т э1 п а ,); (9а)
э т а , + 1 со8 а ,+ 1 я п а , со эа ,
- с 21 (Р +1 соэ а ,+1 - Р1 соэ а , ) +
+С22(Р ,+1г,+1 э1па ,+1 + Т +1 с о э а ,+1 - Р,г, э1па, - Т, с о э а , ) +
+ С 23( - Р ,+1г,+1соэ а !-+1 + Т + 1 э1п а !-+1 + Р , г, соэ а - Т э1п а ) ; (9б)
2 2 э т а ,+1 э т а ,
- С31(Р + 1 соэ а !- + 1 - Р, соэ а , ) +
+ С32(Р ,+1г,+1 ЯП а ,+1 + Т +1 соэ а ,+1 - Р1г1 ЯПа , - Т соэ а , ) +
+ С 33 ( - Р 1+1г1+1 соэ а +1 + Т + 1 э1п а !-+1 + Р, г1соэ а - Т э1п а )- (9в)
132 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 4
Анализ напряженно-деформированного состояния ...
Для упругой стадии деформации стержня, когда выполняются соотно-
1 1 1
шения С11 — ^ , c 22 , c 33 — ^ , c 12 — c 21 — c 13 — c 31 — c 23 —
G 11 G 22 G 33
— c 32 — 0, система (9) имеет аналитическое решение:
( т 2К ц к32(Zk13 - k n )X
« î+1 — ar§ |Z - i ;
l 4 !
Zk32(Zk13 - k 11)2
ri+1— - ------------;-------------- ; (10)
k 4
T + i =
Z 4 £^3 к 23 2Z 3 k n k i3 к 23 + Z 2( k ^ k 23 к^ъ к2з ) k n k 23 k i i k i2 k 22
rik 12Z(Zk13 _ k 1l)
где
k n = Pi r0 cos a I sin a I - ^ n ri sin a 0 ; k i2 = G 11 sin a 0 sin a t ;
к 13 = P i+1r 0 s in a ; к 21 = riG 22 ;
k 22 = r 2 Pi sin a i + г,Т, cos a t - sin a t cos a iC 22; к 23 = Р + г , ;
к 31 = riG 33 ; к 32 = riTi s in a i - sin2 a iG 33 - rf Pi co sa i ;
k 4 = - k 23 k L3 Z 2 + (к 13 к 12к 22 + к 21к 12 - к 31к 1"2 - к 11к 12к 22 - к Пк 23 ;
Z - действительный корень алгебраического уравнения шестой степени,
которое ввиду громоздкости не приводится. Выражения (10) справедливы
как для малых, так и для больших деформаций.
Для пластической стадии решение задачи усложняется тем, что коэф
фициенты С ц , . . . , с 33 являются неявными функциями a i , г, , и система (9)
справедлива только для малых деформаций. В связи с этим аналитически
решить указанную систему относительно неизвестных параметров a i+1,
г,+1 , Ti+1 не представляется возможным. Численное решение задачи выпол
няется методом конечных приращений. Для расчета напряженного состо
яния используется кинематическая модель Прагера, согласно которой изме
нение напряженного состояния стержня в произвольной точке описывается
неинтегрируемыми аналитически дифференциальными уравнениями [6 ]. Для
первого шага принимается Р, = 0, a i = 0, i = r0 , Ti = 0, P i+ 1 = AP, где A P -
некоторое приращение растягивающего усилия. На каждом следующем шаге
задается Р ,+1 = Pt + AP, а затем согласно (9) вычисляются a i+1, г,+1, Ti+1-
Коэффициенты с ц , . . . , с 33 определяются согласно (5) и (7) с использова
нием численных методов.
Для реализации описанного алгоритма разработана программа расчета
на ЭВМ. На рис. 3 изображены расчетные зависимости угла свивки a и
радиуса r стержня (длина Н = 150 мм, r0 = 6 мм, d = 2 мм, Е = 2 • 105 МПа,
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2003, № 4 133
В. Г. Хромое, В. В. Поляков
Рис. 3. Расчетные зависимости угла свивки (а) и радиуса (б) стержня от растягивающего
усилия с учетом (сплошные линии) и без учета (штриховые линии) пластических свойств
материала.
о т = 750 М Па) от растягивающего усилия с учетом и без учета пласти
ческих свойств материала.
Заклю чение. При реш ении технологических задач необходимо учиты
вать, что использование формул, соответствующих чисто упругой стадии
нагружения стержня, может приводить к существенной ( 100% и более)
погрешности в определении геометрических параметров винтового стержня.
Предложенная методика учета пластических свойств материала может
использоваться для повышения эффективности решения прикладных задач.
Р е з ю м е
Отримано розрахункові залежності для геометричних параметрів гвинто
вого стрижня при пружному розтязі. Запропоновано методику урахування
пластичних властивостей матеріалу стрижня і показано, що вони мають
значний вплив на результати розрахунків.
1. Сеетлицкий В. А. М еханика стержней: В 2 ч. Ч. 1. Статика. - М.: Высш.
шк., 1987. - 320 с.
2. Пономарев С. Д ., Андреева Л. Е. Расчет упругих элементов машин и
приборов. - М.: М ашиностроение, 1980. - 326 с.
3. Глушко М. Ф. Стальные подъемные канаты. - Киев: Техніка, 1966. -
328 с.
4. Хромое В. Г. М еханика процесса холодной упругопластической дефор
мации стержня. - Киев: УМ К ВО, 1990. - 48 с.
5. Сеетлицкий В. А. М еханика гибких стержней и нитей. - М.: М аш ино
строение, 1978. - 222 с.
6 . Ильюшин А. А. Пластичность. - М.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.
Поступила 29. 12. 2002
134 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46990 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:59:45Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хромов, В.Г. Поляков, В.В. 2013-07-08T14:45:58Z 2013-07-08T14:45:58Z 2003 Анализ напряженно-деформированного состояния винтового
 стержня при растяжении с учетом пластических свойств
 материала / В.Г. Хромов, В.В. Поляков // Проблемы прочности. — 2003. — № 4. — С. 129-134. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46990 539.3 Получены расчетные зависимости для геометрических параметров винтового стержня при
 упругом растяжении. Предложена методика учета пластических свойств материала
 стержня и показано, что они оказывают существенное влияние на результаты расчетов. Отримано розрахункові залежності для геометричних параметрів гвинтового
 стрижня при пружному розтязі. Запропоновано методику урахування
 пластичних властивостей матеріалу стрижня і показано, що вони мають
 значний вплив на результати розрахунків. Calculated dependences for the geometric parameters
 of a spiral bar in elastic tension are
 given. A method for taking into account material
 plastic properties is developed and their
 strong affect on the calculation results is
 shown. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Анализ напряженно-деформированного состояния винтового стержня при растяжении с учетом пластических свойств материала Stress State Analysis of Spiral Bar in Tension with Account of Material Plastic Properties Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ напряженно-деформированного состояния винтового стержня при растяжении с учетом пластических свойств материала Хромов, В.Г. Поляков, В.В. Научно-технический раздел |
| title | Анализ напряженно-деформированного состояния винтового стержня при растяжении с учетом пластических свойств материала |
| title_alt | Stress State Analysis of Spiral Bar in Tension with Account of Material Plastic Properties |
| title_full | Анализ напряженно-деформированного состояния винтового стержня при растяжении с учетом пластических свойств материала |
| title_fullStr | Анализ напряженно-деформированного состояния винтового стержня при растяжении с учетом пластических свойств материала |
| title_full_unstemmed | Анализ напряженно-деформированного состояния винтового стержня при растяжении с учетом пластических свойств материала |
| title_short | Анализ напряженно-деформированного состояния винтового стержня при растяжении с учетом пластических свойств материала |
| title_sort | анализ напряженно-деформированного состояния винтового стержня при растяжении с учетом пластических свойств материала |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46990 |
| work_keys_str_mv | AT hromovvg analiznaprâžennodeformirovannogosostoâniâvintovogosteržnâprirastâženiisučetomplastičeskihsvoistvmateriala AT polâkovvv analiznaprâžennodeformirovannogosostoâniâvintovogosteržnâprirastâženiisučetomplastičeskihsvoistvmateriala AT hromovvg stressstateanalysisofspiralbarintensionwithaccountofmaterialplasticproperties AT polâkovvv stressstateanalysisofspiralbarintensionwithaccountofmaterialplasticproperties |