Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов
Для решения двухмерных краевых задач теории упругости применяется смешанная схема метода конечных элементов. Описан треугольный конечный элемент, обеспечивающий устойчивость и сходимость смешанной аппроксимации. Построена система разрешающих уравнений смешанного метода с учетом точного удовлетвор...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2003 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2003
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47019 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2003. — № 6. — С. 93-126. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47019 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Чирков, А.Ю. 2013-07-08T16:07:21Z 2013-07-08T16:07:21Z 2003 Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2003. — № 6. — С. 93-126. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47019 539.3 Для решения двухмерных краевых задач теории упругости применяется смешанная схема метода конечных элементов. Описан треугольный конечный элемент, обеспечивающий устойчивость и сходимость смешанной аппроксимации. Построена система разрешающих уравнений смешанного метода с учетом точного удовлетворения статических граничных условий на поверхности. Для решения матричных уравнений смешанного метода приведены различные варианты алгоритма метода сопряженных градиентов с переобусловливающей матрицей. Представлены результаты численного анализа сходимости и точности решения ряда модельных задач теории упругости и линейной механики разрушения. Сопоставлены результаты, полученные на основе классического и смешанного методов конечных элементов. Для розв’язку двовимірних крайових задач теорії пружності використано змішану схему методу скінченних елементів. Описано трикутний скінченний елемент, котрий забезпечує стійкість і збіжність змішаної апроксимації. Побудовано систему розв’язувальних рівнянь змішаного методу з урахуванням точного задоволення статичних граничних умов на поверхні. Для розв’язання матричних рівнянь змішаного методу наведено різні варіанти алгоритму методу спряжених градієнтів із перезумовленою матрицею. Представлено результати числового аналізу збіжності і точності розв’язання ряду модельних задач теорії пружності та лінійної механіки руйнування. Порівнюються результати, що отримані на основі класичного і змішаного методів скінченних елементів. For the solution of 2D boundary-value problems of the elasticity theory, a triangular finite element, ensuring stability and convergence of mixed approximation, is proposed. The system of resolving equations of the mixed method is derived with account of strict satisfaction of static boundary conditions at the surface. To solve matrix equations of the mixed method, various algorithms of the conjugate-gradient method with the pre-conditional matrix have been considered. Numerical data on convergence and accuracy of the solution for a number of test problems of the elasticity theory and fracture mechanics are given. The results obtained by the classical and mixed FEM are compared. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов Application of Mixed Approximation for Solving 2D Problems of the Elasticity Theory by the Finite-Element Method Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов |
| spellingShingle |
Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов Чирков, А.Ю. Научно-технический раздел |
| title_short |
Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов |
| title_full |
Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов |
| title_fullStr |
Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов |
| title_full_unstemmed |
Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов |
| title_sort |
применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов |
| author |
Чирков, А.Ю. |
| author_facet |
Чирков, А.Ю. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2003 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Application of Mixed Approximation for Solving 2D Problems of the Elasticity Theory by the Finite-Element Method |
| description |
Для решения двухмерных краевых задач теории упругости применяется смешанная схема
метода конечных элементов. Описан треугольный конечный элемент, обеспечивающий
устойчивость и сходимость смешанной аппроксимации. Построена система разрешающих
уравнений смешанного метода с учетом точного удовлетворения статических граничных
условий на поверхности. Для решения матричных уравнений смешанного метода приведены
различные варианты алгоритма метода сопряженных градиентов с переобусловливающей
матрицей. Представлены результаты численного анализа сходимости и точности решения
ряда модельных задач теории упругости и линейной механики разрушения. Сопоставлены
результаты, полученные на основе классического и смешанного методов конечных элементов.
Для розв’язку двовимірних крайових задач теорії пружності використано
змішану схему методу скінченних елементів. Описано трикутний скінченний
елемент, котрий забезпечує стійкість і збіжність змішаної апроксимації.
Побудовано систему розв’язувальних рівнянь змішаного методу з урахуванням
точного задоволення статичних граничних умов на поверхні. Для
розв’язання матричних рівнянь змішаного методу наведено різні варіанти
алгоритму методу спряжених градієнтів із перезумовленою матрицею.
Представлено результати числового аналізу збіжності і точності розв’язання
ряду модельних задач теорії пружності та лінійної механіки руйнування.
Порівнюються результати, що отримані на основі класичного і змішаного
методів скінченних елементів.
For the solution of 2D boundary-value problems
of the elasticity theory, a triangular finite
element, ensuring stability and convergence of
mixed approximation, is proposed. The system
of resolving equations of the mixed method is
derived with account of strict satisfaction of
static boundary conditions at the surface. To
solve matrix equations of the mixed method,
various algorithms of the conjugate-gradient
method with the pre-conditional matrix have
been considered. Numerical data on convergence
and accuracy of the solution for a number
of test problems of the elasticity theory and
fracture mechanics are given. The results obtained
by the classical and mixed FEM are compared.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47019 |
| citation_txt |
Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных задач теории упругости методом конечных элементов / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2003. — № 6. — С. 93-126. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT čirkovaû primeneniesmešannoiapproksimaciikrešeniûdvuhmernyhzadačteoriiuprugostimetodomkonečnyhélementov AT čirkovaû applicationofmixedapproximationforsolving2dproblemsoftheelasticitytheorybythefiniteelementmethod |
| first_indexed |
2025-11-26T14:59:52Z |
| last_indexed |
2025-11-26T14:59:52Z |
| _version_ |
1850625490927222784 |
| fulltext |
УДК 539.3
Применение смешанной аппроксимации к решению двухмерных
задач теории упругости методом конечных элементов
А. Ю. Чирков
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Для решения двухмерных краевых задач теории упругости применяется смешанная схема
метода конечных элементов. Описан треугольный конечный элемент, обеспечивающий
устойчивость и сходимость смешанной аппроксимации. Построена система разрешающих
уравнений смешанного метода с учетом точного удовлетворения статических граничных
условий на поверхности. Для решения матричных уравнений смешанного метода приведены
различные варианты алгоритма метода сопряженных градиентов с переобусловливающей
матрицей. Представлены результаты численного анализа сходимости и точности решения
ряда модельных задач теории упругости и линейной механики разрушения. Сопоставлены
результаты, полученные на основе классического и смешанного методов конечных элемен
тов.
Ключевые слова : теория упругости, метод конечных элементов (МКЭ),
смешанная аппроксимация, граничные условия, точность, метод сопряжен
ных градиентов.
1. П остроение ап проксим ирую щ их ф ункций. Особенностью постро
ения смешанной аппроксимации является задание базисных функций, обес
печивающих разрешимость и устойчивость решения дискретной задачи [1].
С другой стороны, необходимо учитывать интерполяционные свойства ку
сочно-полиномиальных восполнений, что связано с точностью приближен
ного решения. В этом принципиальная разница между смешанной и обыч
ной аппроксимацией. Рассмотрим в качестве примера простейший вариант
смешанной схемы с линейной аппроксимацией перемещений на треуголь
ных элементах.
Далее будем рассматривать только треугольные элементы, совокупность
которых описывает допустимую триангуляцию Т\ = Т\ ( ^ ) области 2 .
Тогда перемещения V н в пределах треугольника Т Е Тн ( ^ ) зададим в виде
линейных функций от координат х = (XI , х 2 ):
3
Vн(х ) = ^ VуЯу (х X Vх Е Т. (1)
у=1
Здесь V у = V н (х у ) - узловые значения перемещений в вершинах и Я у (х ) -
линейные интерполяционные функции треугольника Т Е Тн ( ^ ) , обладающие
свойствами:
3
0 < Я у (х ) < 1; ^ Я у (х ) = 1; Я у (х 1 ) = д у ; Vx Е Т , (2)
у=1
© А. Ю. ЧИРКОВ, 2003
ЙЖУ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6 93
А. Ю. Чирков
где д у - символ Кронекера. Обозначим через х т = (х 1т,х 2т) - координаты
центра тяжести треугольника Т е Тк ( й ) и определим “внутреннюю”, рав
ную нулю на всех сторонах треугольника Т, функцию Хт (х ) такую, что
Хт (хт) = 1. Данное определение функции Хт (х ) не является однозначным.
Тем не менее деформации и напряжения в пределах треугольника т е тк (й )
формально запишем в виде
где ] у = ] н (х у ) и ] т = ] н (хт) - узловые значения ] н ( х ) в вершинах и
центре тяжести треугольника т е тк (й ). Отметим, что функция Хт (х )
может быть построена с помощью линейной комбинации кусочно-полино
миальных восполнений и так называемой функции-колокола, т.е. функции
вида Х1(х)Х2(х )Х з(х ).
Далее, для определенности будем рассматривать только два типа функ
ций Хт (х ). При построении первого типа используем кусочно-линейную
интерполяцию в пределах треугольника т е тк (й ) . С этой целью разделим
треугольник т на три треугольника с общей вершиной в центре тяжести хт.
Тогда в пределах каждого из этих треугольников определим Хт (х ) как
линейную функцию, равную нулю на внешней стороне треугольника т и
единице в точке хт. Для построения второго типа функций Хт (х ) исполь
зуем нормированную функцию-колокол, т.е. Хт(х ) = 27Х1(х )Х2(х)Х 3(х ). Та
ким образом, оба типа функций Хт (х ) определяются однозначно.
Рассмотрим интерполяционные свойства аппроксимаций (1)-(3). Прежде
всего перемещения, деформации и напряжения непрерывны на всем мно
жестве й , поскольку непрерывность линейных интерполяционных функций
Х у (х ) на любой стороне, общей для произвольных треугольников, обеспе
чивается однозначным определением этих функций в узлах, расположенных
на этой стороне, а функция Хт (х ), по определению, равна нулю на всех
сторонах треугольника т е тк (й ) . Кроме того, аппроксимация (3) удовле
творяет условию постоянства напряжений и деформаций на всем множестве
й . Определяя в каждом треугольнике т е тк ( й ) значения ]т = ] н (хт) с
помощью линейной комбинации
у=1
(4)
94 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6
Применение смешанной аппроксимации
получаем линейное распределение напряжений и деформаций в подпро
странстве кусочно-линейных восполнений:
3
] 1И(х) = 2 ] 7Х7 (х )’ е Т■ (5)
7=1
Покажем, что применение аппроксимации (1)-(3) обеспечивает разре
шимость дискретной задачи для двух типов функций Х т(х )■ В самом деле,
поскольку перемещения линейны на каждом из треугольников Т Е Тк (й ),
их производные задаются с помощью кусочно-постоянных функций Ги(х )■
Сужение Гь (х ) на Т Е Тк ( й ) обозначим через ГТ ■ Тогда, полагая ] к (х ) -
= ] ТХт (х ), V х Е Т , имеем
||г И - ] и ||х = 2 Д т - 2 ] т г т / Хт ( х )йх + ] Т / Хт (х)йх, (6)
Т ЕТИ (й ) Т Т
где Д т - площадь треугольника Т Е Тк (й ) . Значения ] т , минимизирующие
каждое слагаемое от суммы вкладов по треугольникам Т, вычисляются по
формуле
f Хт (х )йх
]Т = / 4 м ^ ~ТТ' (7)
Т
На основании (6) и (7) получаем оценку
й 2 > 1 -
||г и - ] и х
11Г Л X
( х2
f Хт (х )йх
\г __________
Дт / ХТ (х )йх
(8)
С использованием формул интегрирования [2] находим й 2 > 2 3 для
кусочно-линейного восполнения и й > 0,7 при использовании функции-
колокола. Заметим, что такие же оценки получаются и для осесимметричной
задачи. Таким образом, константа й строго больше нуля, а ее оценка снизу
не зависит от параметра сетки И. Следовательно, применение описанных
выше двух типов функций Хт (х ) гарантирует получение устойчивого и
единственного решения.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 6 95
А. Ю. Чирков
2. М атр и ч н ы е у р авн ен и я см еш анного метода. На основании приве
денной аппроксимации для перемещений, деформаций и напряжений систе
ма разрешающих уравнений имеет вид
Первое уравнение определяет вектор значений деформаций {ё н} в
узлах сетки по известным узловым перемещениям {и н}. Второе - связано с
физическим законом упругой среды для построения вектора напряжений
{о н}. Третье уравнение системы обеспечивает выполнение условий равно
весия. Векторы {р н} и {£ н} соответствуют приведенным к узлам сетки
заданным нагрузкам и температурным деформациям.
При вычислении коэффициентов разрешающих матриц [М н ] и [н н
использовались квадратурные формулы, точки интегрирования которых
совпадают с узлами интерполяции треугольника Т Е Тн ( ^ ) . Весовые мно
жители квадратуры ю а и Ют , соответствующие трем вершинам и центру
тяжести треугольника Т, задавались таким образом, чтобы коэффициенты
матрицы [Н н ] вычислялись точно и модифицировалась только матрица
[М н ]. В результате система уравнений (9) существенно упрощается, по
скольку матрица [М н ] становится диагональной [М н ] и, значит, не требу
ется ее явного обращения для нахождения вектора деформаций {ё н} из
первого уравнения системы (9). Тогда узловые значения деформаций ё т =
= £ н (Хт ) и напряжений о т = он (Хт ), соответствующие центрам тяжести
треугольников, можно исключить, выразив их через узловые значения пере
мещений вершин каждого треугольника Т Е Тн ( ^ ) . В самом деле, первое
уравнение системы (9) распадается на независимые уравнения и, следова
тельно, систему разрешающих уравнений можно представить в виде
Iм й й}_ [Н й ]{и й};
{а й } = Р й ]({£ й } - { ^ й});
[Н й]Т {а й } = {Р й}.
(9)
{£й} _ [ м й] [Н й ]{ий};
{« ь } = [в ь ]{и ь };
{а ь } = [О ь ]({е ь } - { £ ь });
{а й } = [Ой ]({ё й } - { ! й });
(10)
®а [Н й ]Т {а й } + ю Т [В й ]Т {а й } = { Р й }-
Подставляя выражение для деформаций {ё н} из второго уравнения системы
( 10) в четвертое, получаем напряжения {о н}, которые затем можно под-
96 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 6
Применение смешанной аппроксимации
ставить в пятое уравнение. Последнее обстоятельство приводит к вклю
чению в систему разрешающих уравнений матрицы жесткости [К к ], по
скольку описанная выше процедура исключения эквивалентна цепочке прос
тых равенств:
[В к ]т {а ь }= [В к ]т [Б ь ]({ё к} - { £ ь }) = [В к ]т [Б к ]([В к ]{и к} - {£ к }) =
= [В н ]т Б ][В к ]{и к} - [В к ]т [Б к ] { | к }= [К к ]{и к } - [В к ]т [Б к ]{1 к}. (11)
Таким образом, получаем систему уравнений, в которой участвуют
только узловые неизвестные:
Система уравнений (12) определяет смешанную постановку задачи
теории упругости в перемещениях, деформациях и напряжениях. Отметим,
что уравнения подобного типа детально рассматривались ранее [3], и соответ
ствующие схемы получили название “узловых” . Однако их недостатком
является чувствительность к погрешностям входных данных и ошибкам
вычислений, поскольку используемые в этих схемах аппроксимирующие
функции не обеспечивают получение устойчивого реш ения дискретной за
дачи. Система уравнений (12) не имеет этого недостатка и гарантирует
единственность и устойчивость решения. При этом открывается возмож
ность точного удовлетворения статических граничных условий на поверх
ности.
3. У чет статически х гр ан и ч н ы х условий н а поверхности. Пусть {дк }
- вектор поверхностных напряжений в контурных узлах сетки, заданный в
местной системе координат х 1 и х 2 , не обязательно совпадающей с гло
бальными осями х 1 и х 2 - Компоненты вектора {д к } соответствуют извест
ным компонентам напряжений на контуре и равны нулю во всех остальных
случаях. Пусть [Тк ] - матрица преобразования узловых напряжений из
старой координатной системы в новую и [Тк ] - матрица обратного пре
образования из новой в старую систему координат. Тогда можно вычислить
напряжения {о'к} в системе координат х 1 и х 2 :
{£ к } = [ м н] [ н к ]{ и к };
{а к }= [Б к ]({£ к} - { £ к });
[Н к ]т { а к }+ ® т [К к ] { и к }= {Рк } + ® т [Вк ]т [Бк ] { ! к }.
(12)
{а'к }= [Тк ]{а к }. (13)
Для вектора {а'к} используем ортогональное разложение
{а 'к } = { а 'к} + {Ч к Ь (14)
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6 91
А. Ю. Чирков
где {о'н} - напряжения, удовлетворяющие нулевым граничным условиям
на контуре. Если предположить, что напряжения {о'н} известны, то, приме
няя обратное преобразование, получаем
{о н} = [Т ] {о'н} = [Тн ]({а'А} + {д к}). (15)
Обозначим через [Б'н ] матрицу, соответствующую [Бн ] в местной
системе координат. Проектируя вектор {о'н} — {ч н} на множество векторов
[Б'н ]—1{о'н}, имеем
{о'н }Г Б ]—1{оН } = {ОН }г [БН ]—1({оН} —{д н}). (16)
Для матрицы [Б'н ]_1 обнулим строку, соответствующую заданному напря
жению на контуре, и модифицированную таким образом матрицу [Б'н ]_1
обозначим через [8'н ]. Кроме того, для матрицы [8'н ] обнулим столбец,
соответствующий нулевой строке, и вместо нуля в диагональной позиции
поместим единицу. Полученную в результате матрицу обозначим через
[О'н ]. Исходя из этого находим
{Он }= [Он ]—1[8'н ]({о'н} —{ч н}). (17)
Следовательно, на основании равенств (15) и (17) для произвольного {о н}
получаем вектор напряжений {о н}, удовлетворяющий граничным условиям
на контуре:
{о н }= [С н ]{о н}+ [Рн ]{Ч н}, (18)
где
[С н ]= [Тн Ю ]—1[8 'н ][тн ];
, (19)
[Рн ]= [Тн ] — [Тн ][О'н ]—1[8 'н ]
- блочно-диагональные матрицы, матричные блоки которых соответствуют
контурным узлам сетки.
Таким образом, получаем систему разрешающ их уравнений относи
тельно перемещений и напряжений, в которой учитываются граничные
условия для напряжений:
{о н }= [С н ][Б н ]([М н ]—1[Н н ]{и н}— {£ н}) + [Рн Ш н};
г г - - (2 0 )
[Н н ] {он } + ® Г [К н ]{и н }= {Рн } + ® Г [В н ] [Б н ]{£ н }.
Вектор деформаций {£ к} определяется на основании равенства
98
{£ н } = [Б н ] 1{ о н } + { £ н } . (2 1 )
0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 6
Применение смешанной аппроксимации
Система уравнений (20) упрощается, если для вычисления напряжений
использовать разложение
{д н }= {д н} - [С н ][О н ]{£ н}+ [РА ]{д н}. (2 2 )
С учетом последнего равенства система разрешающих уравнений примет
вид
{д н) = [С н ][0 н ][М н] 1[Н н ]{ и н};
Т (23)
®а [Н н ] {дн } + ®Т [К н ]{и н } = ^н }
где {Гн } - вектор узловых значений, который задается выражением
{Гн } = {р н }+ та [Нн ]Т ([С н ][О н ] {£ н } - [Рн ]{Чн }) + тТ [В н ] [Он ]{£ н }- (24)
В результате решения системы уравнений (23) получаем векторы {и н}
и {д н}, после чего определяем деформации и напряжения в соответствии с
формулами (21) и (22).
Замечание 1. Систему уравнений (23) можно представить в виде одного
матричного уравнения относительно перемещений. Действительно, введем в
рассмотрение матрицу [Е н ], определяемую соотношением
[Ен ]=®а [Мн ]- 1Р н ][Сн ]Т [Он ]-1 [Мн ][Сн ][Сн ][Мн ]- (25)
Учитывая тот факт, что [Он ]-1 и [М н ] - перестановочные матрицы,
заключаем, что [Е н ] - симметричная блочно-диагональная матрица. Таким
образом, приходим к уравнению
[А н ]{и н } = { ^ }, (26)
где
[Ан ]= [Нн ]Т [Ен ][Н н ]+®т[Кн ] (27)
- симметричная положительно определенная ограниченная матрица.
Замечание 2. В качестве примера рассмотрим некоторые типичные
случаи учета граничных условий для напряжений и приведем соответст
вующие выражения матриц [Сн ] и [Рн ], полученные на основании формул
(19). Полагаем, что материал изотропный, причем V1 = v при плоском
напряженном состоянии и V1 = V/(1 - V) при плоской деформации, где V -
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 6 99
А. Ю. Чирков
коэффициент Пуассона. Поскольку вектор поверхностных напряжений {дк }
и матрицы [с а № ] имеют блочную структуру, связанную с контурными
узлами сетки х а , обозначим эти блоки через {да }а , [С а ]а , [Рй ]а соответ
ственно. Пусть и п 2 - компоненты вектора внешней нормали к контуру
и Чы , - нормальная и касательная составляющие тензора напряжений в
рассматриваемой точке.
Случай 1. Узел не закреплен и заданы компоненты Ч ы , :
[С и ]а =
[Ра ]а =
2 2
п 2 ( п 2
2■Vіп ! ) 2 2
п 2 ( п 1
2
V 1п 2 )
2 2 2
п1 (п 2 - V 1п1 )
2 2 2
п1 (п 1 - V ln 2 )
- п 1 п2(п 2 - V 1 п2) - п 1 п2(п 2 - V 1 п2)
(п^ + V1п ! ) 0
(п^ + V п ) 0
(1 V1 )п1 п 2 0
—2п1п2
2п1п 2
2 2
п1 — п 2
— 2 п1п 2 (1 + V1)
— 2п 13 п 2(1 + V1)
2 п12 п 2 (1+ V 1)
{Ча }а = {Чы 0 Ч$ }
(28)
Случай 2. Узел закреплен от нормальных перемещений ы1
компонента касательного напряжения д $ :
- 2
2п2
1п2— 2
2п2
1п2 2
2п—21£
2п1п12
С а- а II 2
2п2
1п2 2
2п2
1п2—1 — 2п п 2 ( п і — п 2 )
п 2
2п—2
1
£
2
К 2
2п—2
1п2
Кп1— 2
2п2
1п
0 0 —2п 1п 2
[Ра ]а = 0 0 2п 1п2 ; {д а }а = {0 0 }Т .
0 2
2п—2
1п0
(29)
Случай 3. Узел закреплен от касательных перемещений и$ и задана
компонента нормального напряжения Чы :
[С а ]с
[Ра ]а
2 2 2 2 2 2 2 2
1— п1 (п 1 + V 1п 2 ) —п2 (п 1 + V 1п 2 ) —2п1п2(п 1 + V 1п 2 )
2 2 2 -п1 (п 2 + V 1п1 ) 1 — п 2 ( п 2 +V 1п 12 ) —2п1п 2 ( п 2 +V 1п12 )
— п1п2(1— 1) —п1п2 (1—V 1) 1 — 2п 12 п 2 (1 —V1)
(п2 + V 1п2 ) 0 0
( п 2 + V 1п12 ) 0 0
(1 —V О п п 0 0
{Ч а }а _ {Чы 0 0} .
(30)
Можно также получить явные выражения для матриц [С к ]а и [Рй ]а
при рассмотрении осесимметричной задачи теории упругости.
100 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 6
Применение смешанной аппроксимации
Случай 1. Узел не закреплен и заданы компоненты д х , д $ :
[С н ]« =
[Рн ]« =
п2 ( п 2 v 1п\ ) п2 (п \ v 1п2)
П2( п 2 ■V 1п!2 ) п 2( п2 ' V1 п 2 )
- п 1 п2 (п2 - V 1 п 12 ) - п 1 п2 (п 2 - V 1 п | )
( п 1
-V 1п1
^ 1п 2)
( п22
0
0
(1+ V 1)п1п 2 0 п { -
V1 0 0
-л> 1п 2
-2п1п2
2п1п 2
п 2
- 2п1п 2 (1 + V1) 0
- 2п3 п 2(1 + V1) 0
2п2 п 2(1 + V !) 0
- 2 v 1 ^ п 2 1
{цн }а = {дЖ 0 д 8 0}
(31)
Случай 2. Узел закреплен от нормальных перемещений и х и задана
компонента касательного напряжения д $ :
[С н ]« =
[Рн ]£
1 - 2п^ п2
2 2 2 п 1 п 2
п1п2(п12 - п \)
0
- 2п1п2
2п1п 2
0 0
0 0
0 0
0 0
п 1 п22
0
2 2
2п1 п 2
1 - 2п 2п2
-п 1 п 2 (п12 - п2)
2п1п 2( п12 - п Ь
-2п1п2 (п1 -
4п12 п 2
{Ч н }а = {0 0 д 8 0}
0
п 2 ) 0
0
1
(32)
Случай 3. Узел закреплен от касательных перемещений и$ и задана
компонента нормального напряжения д х :
[С н ]« =
[Рн ]с
1 п2 (п 2 + V 1п 2 )
- п 12 ( п 2 + 1п12)
- п 2 ( п12 + V 1п 2) - 2 п 1п 2 ( п12 + V 1п 2)
1- п 2 ( п 2 + 1п12 )
- п 1п2( 1 - -̂ 1) - n l n 2 (1 -V 1)
-V 1п1
(п^ + V1п2 ) 0 0 0
(п 2 + V 1п12 ) 0 0 0
(1 - V 1)п1 п2 0 0 0
V1 0 0 0
-■V 1п 2
{Ч н }а = {д Ы 0 0 0}
0
-2п1п 2 ( п 2 + V 1п12 ) 0
1 - 2п12 п 2 ( 1 - V 1)
- 2v 1 ^ п 2
0
1
(33)
Случай 4 (специальный). Узел расположен на оси вращения х 1 = 0,
° 11 = ° 44 , = £ 44 и ° 12 = £ 12 = 0:
0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6 101
А. Ю. Чирков
[С н ]с
0,5 0 0 0,5
0 1 0 0
0 0 0 0
0,5 0 0 0,5
(34)
Замечание 3. Приведем квадратурные схемы и весовые множители
квадратуры о а и тт , соответствующие трем вершинам Ху , 1 — у — 3, и
центру тяжести Хт треугольника Т Е Тн (О ). Применение кусочно-линей
ного восполнения и функции-колокола для плоских задач приводит к форму
лам следующего вида:
f п ( х ) & ~ Д т [ о а 2 п (х у ) + Отп(Хт)] ,
т у=1
(35)
причем о а = 2/9, (От = 13 - для кусочно-линейного восполнения и о а =
= 11/60, От = 27/60 - при использовании функции-колокола.
Для осесимметричных задач получаем
3
f п (х )х 1^Х ~ Д т { о а [Гу + ( 1 - 4 о т ) Гт ] п ( х у ) + О т гт П (Хт)}, (36)
т у=1
где о а = 1/12, о т = 1/9 - для кусочно-линейного восполнения; о а = 5/60,
О т = 9/60 - для функции-колокола; Гт = г + Г2 + Г3 ; через Гу обозначена
координата х 1 узла х у .
Замечание 4. Покажем, что применение кусочно-линейного восполне
ния и функции-колокола обеспечивают выполнение неравенств
|п Л х - [п н ]х - Я || п н\х > (37)
где Я - положительная константа, не зависящая от Н; [•]х - норма, опре
деляемая скалярным произведением [•,•]х , которое вычисляется с помощью
формул численного интегрирования (35). Действительно, пусть
[п Н ]Х = Е ^ т (п Н )Д т , ||п н\х = т (п н )Д т >
т Етн (О) т Етн (О)
(38)
где
Л т (п н ) = О а (п а + п /3 + п 2 ) + ° т п^ = (39)
102 /5 5 # 0556-171х. Проблемы прочности, 2003, № 6
Применение смешанной аппроксимации
а выражения для ж т ( ] и ) получаются в результате точного интегрирования
квадрата нормы • что приводит к формулам следующего вида:II II х
- при использовании функции-колокола.
Покажем, что при кусочно-линейном восполнении справедливы нера-
С использованием соотношений (43), (44) получаем неравенства (42) и,
следовательно, для кусочно-линейного восполнения имеем неравенства (37)
ции-колокола также приводит к неравенствам (37), однако при этом находим
4. Метод сопряженных градиентов для решения уравнений смешан
ного метода. Для решения системы уравнений (23) рассмотрим обобщен
ный метод сопряженных градиентов [4, 5] с переобусловливающей матрицей
[Л и ], которая симметрична и положительно определена.
Пусть {и 0} - произвольное начальное приближение к решению {и и } и
{г0} - вектор начальной невязки, который вычисляется по формуле
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 6 103
(40)1
+ 2 ( + + ] у] а ) + ( + ] уЗ + ] у ) ] Т ]
- для кусочно-линейного восполнения;
ж Т ( ] И) = 8 4 о [83(] « + ] ̂ + ] 2) + 243 ] Т +
+ 2 6 ( + ] 0 ] у + ] у] а ) + 9 0 ( + ] /3 + ] у )] т ]
(41)
венства
(42)
Действительно, преобразуем (40) следующим образом:
С другой стороны,
(44)
с постоянной Я = л/6. Нетрудно проверить тот факт, что применение функ-
лучшую постоянную
А. Ю. Чирков
К }= [Н к ]Т [Е к ][Н к ]{и к } + ® г [К к ]{и 0 } - ^ }. (45)
Вектор направления ^ к } и начальное значение параметра 3 принимаются
равными нулю. Тогда формулы метода сопряженных градиентов могут быть
записаны в следующем виде:
[Л к ]{р к } = {гк };
у к = {р к }Т {гкк};
у к
{§ к+1} = { р к } + 3{§ к };
{8 к } = [Н к ]Т [Е к ][н к ]{g к+1} + ®т [К к ]{§ Г 1};
у кя = у ■
{Р к }Т {8 к }
{и к+1} = {и кк } -А & к+1};
{гк+1} = {гк } - Я {8 к }.
(46)
Простейший выбор переобусловливающей матрицы [Л к ] состоит в
использовании диагональной матрицы, коэффициенты которой расположены
на главной диагонали матрицы жесткости [К к ]. Тогда получаем итерацион
ный алгоритм с минимальными требованиями к ресурсам памяти компью
тера. Однако скорость сходимости итерационного процесса не всегда оказы
вается приемлемой.
Более эффективным оказался подход, в котором для построения пере
обусловливающей матрицы [Л к ] применяется матрица перехода для метода
симметричной верхней релаксации [6 ]. Исходя из этого имеем
[Л к (т ) ] = (Р^ к ] + т [Я к ]Т к ] 1(Р^ к ] + т [Я к ] ) (47)
где т - параметр релаксации, вводимый для управления скоростью схо
димости итерационного процесса, а матрицы к ] и [Я к ] определяются на
основании разложения матрицы [К к ] в виде
[К к ]= 1Дк ]Т + к ] + 1Дк ] . (48)
Если к ] - симметричная положительно определенная матрица и
т Е (0, 2), то итерационный процесс (46) всегда сходится, причем скорость
сходимости зависит от выбора параметра релаксации т .
104 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6
Применение смешанной аппроксимации
При построении матрицы [Л h (w)] учитывалась блочная структура
матрицы жесткости [K h ], в которой матричные блоки соответствуют узлам
сетки и размер блока определяется числом степеней свободы в каждом узле.
Тогда [N h ] - блочно-диагональная матрица размером 2 X 2 с коэффициента
ми, расположенными на главной диагонали блочной матрицы [K h ],и [R h] -
Tстрого верхняя, [R h ]T - строго нижняя треугольные блочные матрицы.
Отметим, что матрица [Л h (w)] не строится в явном виде, поскольку
для нахождения вектора {ph} из первого уравнения (46) можно применить
метод дробных шагов реш ения систем с треугольными матрицами.
В соответствии с (47) имеем
[Л h(w)]-1 = ( [N h ]+ w [R h ])_1[N h]([N h ] + w [R h]T ) —1,
и, следовательно, процедуру вычисления вектора {ph} можно разбить на
два цикла:
{p h }1/2 = [N h ]- 1 ({rhk } - w[R h ]T {p h }1/2);
i/2 1 (49)
{ph} = {ph} - w [ N h ]- 1 [R h ]{p h}.
Если в памяти компьютера хранить верхнюю треугольную матрицу
[R h ], то в покомпонентной записи уравнения (49) имеют вид
{p h }а/2 = [N h ] -<1({rhk }a — w X [R h ]/3a {p h N ;
3<a
1/2 - 1 (50)
{p h }a _ {p h }a —w [N h ]aa / , [R h ]a/3{p h } 3 , a _ N , ■■■, 1.
/3>a
Численная реализация алгоритмов (50) не требует вспомогательного
вектора для хранения промежуточной информации Все вычисления про
водятся с одним вектором {ph }■ Таким образом, получаем эффективный
итерационный процесс, который обладает высокой скоростью сходимости и
минимальными запросами к ресурсам памяти компьютера, поскольку не
требует дополнительных затрат, связанных с хранением переобусловлива-
ющей матрицы [Л h (w)^
Установлено, что при 1 ,3 5 < w < 1,4 сходимость итерационного про
цесса во многих случаях приближается к оптимальной, и применение пере-
обусловливающей матрицы [Л h (w)] приводит к существенному уменьш е
нию количества требуемых итераций по сравнению с простейшим выбором
[Л h ]= [N h ]■ При тщательном анализе итерационных формул (46) удается
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2003, N2 6 105
А. Ю. Чирков
добиться исключения умножения матрицы [К н ] на вектор в процессе
итераций и тем самым увеличить быстродействие алгоритма.
Однако наиболее эффективным, в смысле скорости сходимости, явля
ется, по-видимому, выбор [Л н ] = ® г [К н ] с последующим разложением
матрицы [Л н ] в виде произведения, т.е.,
[Л н ] = ® г [К н ]= [Ъ н ]Г [а н ][Ь нЪ (51)
где [а н ] - диагональная матрица с положительными коэффициентами и
[Ь н ] - верхняя треугольная матрица с единичной главной диагональю. В
таком случае нет необходимости хранить исходную матрицу [К н ] в ком
пактном виде, а умножение матрицы [К н ] на вектор в процессе итераций
вообще можно исключить, используя следующие формулы:
у к = {гл }г {гл };
у куЗ= у ■
у к 1 ’
{§ н+1} = {Гнк } + № н };
[Ь н ]{р н } = [а н ]—1/2{§ н+1};
{8 н }1/3 = [Н н ]г [Е н ][Н н ]{р н};
[Ь н ]г {8 н }2/3 ={8 н }1/3;
{8 н } = {§ н+1} + [а н ]—1/2{8 н }2/3;
у к
я = у ■
(52)
{8 н }Г {§ Г Г
{и н+1} = {и н } —Я{р н};
{гк+1} = {г к } —Я{8 н}.
Реализация итерационного процесса (52) требует минимального коли
чества итераций для достижения заданной точности решения, которое слабо
зависит от параметра сетки н.
5. С хемы хран ен и я м атриц . Поскольку матрица [Н н ] имеет редко-
заполненную структуру, целесообразно использовать компактную схему хра
нения. Применялся разреженный строчный формат, предложенный Чэнгом
[7]. Такая схема предъявляет минимальные требования к памяти компьютера
и оказывается весьма эффективной при умножении разреженной матрицы на
вектор. Тогда для вычисления вектора {8 н}, который определяется на осно
вании формулы
106 188М 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 6
Применение смешанной аппроксимации
н} _ [Н н ]Т [Ен ] [Нн ] {Р н} (53)
и участвует в итерационном процессе (46) и (52), удобно использовать
простую, но весьма эффективную численную процедуру, включающую
последовательно следующие операции.
1. Обнуляется глобальный вектор {8 н}.
2. Цикл по узлам сетки х а .
3. Обнуляется локальный вектор {^а }, соответствующий компонентам
деформаций для узла х а .
4. Цикл по узлам х 3 , окружающим узел х а . К вектору {^а } при
бавляется вектор [Н н ]а/д{рн}3 . Конец цикла по узлам х 3 .
5. Умножается матрица [Е н ]а на вектор {^а }. Результат умножения
помещается в {^а }.
6 . Цикл по узлам х 3, окружающим узел х а .
7. К вектору {8 н}з прибавляется вектор [Н н ]з а {^а }. Конец цикла по
узлам х 3 .
8 . Конец цикла по узлам сетки х а .
При факторизации переобусловливающей матрицы [Л н ] использова
лась профильная схема хранения верхней треугольной матрицы [Ь н ], пред
ложенная Дженнингсом [8], а для сжатия профиля матрицы [Л н ] - алго
ритмы Катхилла-М акки [9]. Численные аспекты реализации, алгоритм и
программа профильного метода приведены в [10 ].
6 . В ы чи слен ие деф орм аций и н ап ряж ени й в подпространстве. За
ключительным этапом решения задачи является процедура проектирования
вектора деформаций на подмножество векторов при кусочно-линейном вос
полнении (5). Таким образом, приходим к решению системы линейных
уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей Грамма
Поскольку число обусловленности матрицы [О н ] не существенно зависит
от параметра сетки н, для решения уравнения (54) целесообразно исполь
зовать итерационные методы с выбором начального приближения
Применение метода сопряженных градиентов с переобусловливающей диа
гональной матрицей, коэффициенты которой расположены на главной диа
гонали матрицы [О н ], показало исключительно высокую эффективность
алгоритма. Количество требуемых итераций не зависит от разбиения, и
выбор начального приближения (55) обеспечивают минимальные вычисли
тельные затраты для получения решения.
[О н ]
[О н ]{£ ін } _ [Н н ]{и н}- (54)
К н }= [М н ] [Н н ]{и н}. (55)
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6 107
А. Ю. Чирков
Определяя из уравнения (54) вектор { г ^ }, окончательные напряжения и
деформации находятся в соответствии с формулами
{а 1к }= [С к ][Б к ]({£1к} - { £ к}) + [Рк Ж к};
{£1к} - [Б к ] 1{а 1к} + {£ к }.
(56)
7. Ч и сл ен н ы й анализ. Переходим к численному анализу решения
тестовых задач. Результаты сопоставлялись с известными аналитическими
реш ениями [11-19] и полученными на основе классического М КЭ (КМКЭ).
Во всех приведенных ниже модельных задачах использовались без
размерные значения. Так, например, модуль упругости материала Е при
нимался равным единице. При реш ении задач смешанным М КЭ (СМКЭ)
учитывались граничные условия для нормальных и касательных напряже
ний на контуре. Для схем КМ КЭ значения напряжений в узлах сетки
определялись усреднением. При построении треугольной сетки использо
валось равномерное разбиение типа “крест”. Ниже приведено несколько
примеров, иллюстрирующих сходимость и точность численных решений,
полученных на основе СМ КЭ с применением функции-колокола и кусочно
линейного восполнения деформаций и напряжений соответственно для плос
ких и осесимметричных задач. При сравнении результатов, полученных с
помощью КМКЭ, используются обозначения: КМКЭ-1 - линейный треуголь
ный элемент, КМКЭ-2 - билинейный четырехугольный элемент, КМКЭ-3 -
квадратичный шестиузловой треугольный элемент.
Задача о чистом изгибе бруса. Рассматривался брус длиной Ь = 10 и
высотой Н = 2 прямоугольного поперечного сечения (рис. 1). К торцам
бруса прикладывалась осевая нагрузка, распределенная по линейному за
кону д = 2х 2 / Н , действие которой эквивалентно изгибающему моменту
М = Н 2 /б. Коэффициент Пуассона задавался равным нулю. Результаты рас
четов продольного напряжения в центральном сечении и максимального
прогиба на торце бруса представлены в табл. 1. Там же приведены раз
биения по длине Ь и высоте Н бруса. Из таблицы видно, что СМ КЭ дает
более точные аппроксимации как напряжений, так и перемещений по срав
нению с КМКЭ-1. Заметим, что если к торцам бруса вместо напряжений
приложить осевые перемещения, изменяющиеся по линейному закону, то
смешанный метод даст точное решение задачи.
Рис. 1. Задача о чистом изгибе бруса.
108 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6
Применение смешанной аппроксимации
Т а б л и ц а 1
Результаты расчетов продольного напряжения в центральном сечении
и максимального прогиба для задачи о чистом изгибе бруса
Сетка Продольное
напряжение
Погрешность, % Максимальный
прогиб
Погрешность, %
КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ
10Х 2 0,600 0,991 40,0 0,90 10,000 12,363 20,00 1,09
20 X 4 0,824 1,002 17,6 -0,20 11,765 12,524 5,88 -0,19
30Х 6 0,892 1,001 10,8 -0,15 12,163 12,520 2,70 -0,16
40 X 8 0,923 1,001 7,7 -0,10 12,308 12,513 1,54 -0,10
50Х 10 0,941 1,000 5,9 -0,07 12,377 12,509 0,98 -0,07
60Х 12 0,952 1,000 4,8 -0,05 12,414 12,507 0,69 -0,06
70Х 14 0,959 1,000 4,1 -0,04 12,437 12,505 0,50 -0,04
80 X 16 0,965 1,000 3,5 -0,03 12,451 12,504 0,39 -0,03
[11] 1,0 12,5
Задача о поперечном изгибе консольного бруса. Геометрические раз
меры, механические свойства и сетка задавались, как и для задачи о чистом
изгибе бруса. К свободному торцу прикладывалась поперечная сосредото
ченная сила Р = 1 (рис. 2). Результаты расчетов максимальных продольного
и касательного напряжений в центральном сечении бруса представлены в
табл. 2, 3.
Т а б л и ц а 2
Результаты расчетов максимального продольного напряжения
в центральном сечении для задачи о поперечном изгибе бруса
Сетка Продольное напряжение Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-3 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-3 СМКЭ
20Х 4 6,176 7,533 7,515 17,65 -0,44 - 0,20
30Х 6 6,689 7,511 7,511 10,81 -0,20 -0,15
40Х 8 6,923 7,508 7,508 7,69 -0,11 -0,11
50Х 10 7,054 7,505 7,505 5,95 -0,07 - 0,07
60Х 12 7,138 7,504 7,504 4,83 -0,05 - 0,05
70Х 14 7,195 7,503 7,503 4,07 -0,04 - 0,04
80Х 16 7,237 7,502 7,502 3,51 -0,03 -0,03
[11] 7,5
Рис. 2. Задача о поперечном изгибе консольного бруса.
0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6 109
А. Ю. Чирков
Т а б л и ц а 3
Результаты расчетов максимального касательного напряжения
в центральном сечении для задачи о поперечном изгибе бруса
Сетка Касательное напряжение Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 СМКЭ
20 X 4 0,662 0,688 0,695 11,73 8,27 7,33
30Х 6 0,709 0,722 0,726 5,47 3,73 3,20
40 X 8 0,727 0,734 0,737 3,07 2,13 1,73
50Х 10 0,735 0,740 0,741 2,00 1,33 1,20
60Х 12 0,740 0,743 0,744 1,33 0,93 0,80
70Х 14 0,742 0,745 0,746 1,07 0,67 0,53
80 X 16 0,744 0,746 0,747 0,80 0,53 0,40
[11] 0,75
Изгиб бруса равномерной нагрузкой. Геометрические размеры, механи
ческие свойства и сетка те же, что и при решении задачи о чистом изгибе
бруса. Боковые торцы закреплялись от поперечных (вертикальных) пере
мещений. По длине бруса задавалась равномерно распределенная нагрузка
интенсивности д = 1 (рис. 3). При решении задачи оценивалась точность
определения максимального продольного напряжения и прогиба в цент
ральном сечении бруса. Результаты расчетов приведены в табл. 4, 5. Срав
нение численных решений, полученных на основе КМКЭ-1, КМКЭ-2 и
СМКЭ, свидетельствует о преимуществе смешанного метода.
Т а б л и ц а 4
Результаты расчетов максимального продольного напряжения
для задачи об изгибе бруса равномерной нагрузкой
Сетка Продольное напряжение Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 СМКЭ
10Х 2 11,025 18,376 18,460 41,82 3,03 2,58
20 X 4 15,429 18,797 18,895 18,58 0,81 0,29
30Х 6 16,791 18,881 18,936 11,39 0,36 0,07
40 Х 8 17,413 18,911 18,945 8,11 0,21 0,03
50Х 10 17,763 18,925 18,948 6,26 0,13 0,01
60Х 12 17,986 18,933 18,949 5,09 0,09 0
70Х 14 18,139 18,937 18,950 4,28 0,07 0
80Х 16 18,251 18,940 18,950 3,69 0,05 0
[11] 18,95
Задача Ламе. Рассматривался полый цилиндр, находящийся под дей
ствием внутреннего давления д = 1, с отношением радиусов Щ /Я / = 1 2
(рис. 4). Расчет выполнялся при условии плоского напряженного состояния
для четверти сечения цилиндра. Построение треугольной сетки осущест
влялось на основе разбиения, показанного на рис. 5. Коэффициент Пуассона
задавался равным 0,3. Оценивалась точность определения окружного напря
110 /88М 0556-171х. Проблемы прочности, 2003, № 6
Применение смешанной аппроксимации
жения и радиального перемещения на внутренней поверхности цилиндра.
Результаты расчетов представлены в табл. 6. Там же приведены разбиения
по углу и радиусу цилиндра. Как и в предыдущих задачах, имеют место
улучшенные аппроксимации СМ КЭ для напряжений и перемещений по
сравнению с КМКЭ-1.
Т а б л и ц а 5
Результаты расчетов прогиба в центральном сечении
для задачи об изгибе бруса равномерной нагрузкой
Сетка Максимальный прогиб Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 СМКЭ
10Х 2 166,16 204,44 207,99 20,99 2,79 1,10
20 X 4 197,04 208,69 210,61 6,31 0,77 -0,14
30Х 6 204,15 209,54 210,54 2,93 0,37 -0,11
40 X 8 206,76 209,84 210,45 1,69 0,22 -0,06
50Х 10 208,00 209,98 210,38 1,10 0,17 -0,03
60Х 12 208,68 210,06 210,34 0,77 0,12 -0,01
70Х 14 209,08 210,10 210,32 0,58 0,10 0
80Х 16 209,35 210,13 210,30 0,45 0,08 0
[11] 210,31
Рис. 3. Задача об изгибе бруса поперечной нагрузкой.
Неравномерный нагрев полого цилиндра. Геометрические размеры и
сетка те же, что и в задаче Ламе. Полагали, что на внутренней поверхности
цилиндра температура Д Г = 1, на внешней поверхности - нулевая и торцы
теплоизолированы. Тогда распределение температуры вдоль радиуса ци
линдра г описывается известной формулой, полученной из теории тепло
передачи:
Д Г
Г ( г ) = — ----- ;----- 1п( Я 2 Г ). (5 7 )
v ' 1п(Я 2/ Я 1) 21 ’ (57)
Расчет термических напряжений выполнялся при условии плоской дефор
мации. Коэффициент линейного температурного расширения принимался
равным единице. Оценивалась точность определения окружных напряжений
на внутренней и внешней поверхностях цилиндра. Результаты решения,
полученные на основе КМКЭ-1 и СМКЭ, приведены в табл. 7. Видно, что
СМ КЭ дает более точные значения напряжений по сравнению с КМКЭ-1.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6 111
А. Ю. Чирков
Т а б л и ц а 6
Результаты расчетов окружных напряжений и радиальных перемещений
на внутренней поверхности цилиндра для задачи Ламе
Сетка Окружное
напряжение
Погрешность, % Радиальное
перемещение
Погрешность, %
КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ
6Х 3 1,467 1,608 11,98 3,52 1,9238 1,9653 2,18 0,07
12Х 6 1,574 1,649 5,56 1,06 1,9556 1,9665 0,56 0,01
18Х 9 1,599 1,658 4,02 0,48 1,9604 1,9666 0,32 0
24 X 12 1,623 1,662 2,62 0,28 1,9638 1,9666 0,14 0
30Х 15 1,632 1,664 2,04 0,12 1,9649 1,9666 0,09 0
[12] 1,666 1,9666
Т а б л и ц а 7
Результаты расчетов окружных напряжений
для задачи о неравномерном нагреве полого цилиндра
Сетка Внутренняя
поверхность
Погрешность, % Внешняя
поверхность
Погрешность, %
КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ
6Х 3 0,714 0,798 18,33 8,73 0,518 0,575 6,55 -3,73
12Х 6 0,797 0,852 8,84 2,55 0,534 0,559 3,66 -0,85
18Х 9 0,824 0,864 5,75 1,18 0,541 0,556 2,40 -0,31
24 Х 12 0,837 0,868 4,26 0,71 0,544 0,555 1,86 -0,21
30Х 15 0,844 0,870 3,46 0,48 0,546 0,555 1,50 -0,14
[12] 0,8743 0,5543
Рис. 4 Рис. 5
Рис. 4. Полый цилиндр, находящийся под действием внутреннего давления.
Рис. 5. Разбиение четверти сечения цилиндра на треугольники. Сетка 12 X 6.
112 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 6
Применение смешанной аппроксимации
Расчет двух составных цилиндров с гарантированным натягом. Задача
рассматривалась в осесимметричной постановке при условии Я / / Я с = 1/1,5
и Я с/ Я 2 = 1,5/2, где Я с - радиус поверхности контакта. Полагали, что оба
цилиндра зажаты с торцов, а величина натяга 6 = 10 (рис. 6). Коэффициент
Пуассона принимался равным нулю. Результаты расчетов контактного давле
ния и окружных напряжений представлены в табл. 8, 9. Там же приведены
разбиения по радиусу и высоте цилиндра. При реш ении задачи КМКЭ
контактное давление определялось как полусумма радиальных напряжений
на поверхности контакта.
Т а б л и ц а 8
Результаты расчетов контактного давления и окружных напряжений на внутренней
поверхности для задачи о посадке двух составных цилиндров с натягом
Сетка Контактное
давление
Погрешность, % Окружное
напряжение
Погрешность, %
КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ
4 X 4 0,875 1,037 18,98 3,98 3,618 3,856 6,92 0,80
8Х 8 0,975 1,058 9,72 2,03 3,741 3,888 3,77 -0,02
12Х 12 1,009 1,066 6,53 1,30 3,788 3,885 2,55 0,02
16Х 16 1,027 1,069 4,91 1,02 3,817 3,887 1,80 0
20 X 20 1,038 1,072 3,89 0,74 3,842 3,887 1,16 0
32Х 32 1,054 1,075 2,41 0,46 3,849 3,887 0,98 0
64 X 64 1,067 1,077 1,20 0,28 3,869 3,887 0,46 0
[12] 1,08 3,887
Т а б л и ц а 9
Результаты расчетов окружных напряжений на поверхности контакта
для задачи о посадке двух составных цилиндров с натягом
Сетка ое (слева) Погрешность, % ое (справа) Погрешность, %
КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ
4 X 4 2,920 2,804 -3,99 0,14 3,616 3,846 6,25 0,28
8Х 8 2,860 2,807 -1,85 0,03 3,729 3,855 3,32 0,05
12Х 12 2,842 2,808 -1,21 0,01 3,770 3,856 2,25 0,02
16Х 16 2,833 2,808 -0,89 0 3,792 3,857 1,68 0
20 Х 20 2,828 2,808 -0,71 0 3,805 3,857 1,35 0
32Х 32 2,821 2,808 -0,46 0 3,824 3,857 0,85 0
64 Х 64 2,815 2,808 -0,25 0 3,841 3,857 0,41 0
[12] 2,808 3,857
Толстое кольцо, сжатое двумя сосредоточенными силами. Отношение
радиусов принималось как Я / / Я 2 = /2 . Ввиду симметрии задачи рассматри
валась четверть кольца с сосредоточенной силой Р = 0,5 (рис. 7). Коэффи
циент Пуассона задавался равным нулю. Сравнение результатов, получен
ных с помощью КМ КЭ-1, КМ КЭ-2 и СМКЭ, осущ ествлялось для окружных
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 6 113
А. Ю. Чирков
напряжений о в на внешнем и внутреннем радиусах кольца при 0 = 0°
(точки А, В) и на внутреннем радиусе при 0 = 90° (точка С). Результаты
расчетов представлены в табл. 10-12. Там же приведены разбиения по углу и
радиусу кольца.
и 1Ш щи 11411 щи
Л2=2
Я, =1,5
6 = 10II
„ ,Х, гт|п 1г1п ,4^
Рис. 6 Рис. 7
Рис. 6. Расчет двух составных цилиндров с гарантированным натягом.
Рис. 7. Толстое кольцо, сжатое двумя сосредоточенными силами.
Сферический сосуд под действием внутреннего давления. Задача реш а
лась в осесимметричной постановке с отношением радиусов Я2 = 12 и
внутренним давлением д = 10. Для расчета была выделена четверть сечения
сферы. Расчетная схема формально соответствует задаче Ламе и показана на
рис. 4. Коэффициент Пуассона принимался равным нулю. Оценивалась
точность вычисления окружных напряжений на внутреннем и внешнем
радиусах сферы, в точках А и В соответственно. Сравнительные результаты
расчетов представлены в табл. 13. Там же приведены разбиения по углу и
толщине сосуда. Видно, что СМ КЭ превосходит КМКЭ-1 в точности опре
деления окружных напряжений на внутреннем и внешнем радиусах сферы.
Поперечный изгиб кривого бруса. Рассматривался брус квадратного
поперечного сечения В X Н = 1x1 в форме четверти кругового кольца с
наружным радиусом Я2 = 20,5 и внутренним Я 1 = 19,5 под действием
сосредоточенной силы, приложенной на конце Р = 0,1 (рис. 8). Расчет
выполнялся при условии плоского напряженного состояния. Коэффициент
Пуассона принимался равным 0,3. Оценивалась точность определения
окружного напряжения о в на внешней поверхности в заделке и прогиба
свободного конца бруса по направлению силы Р. Результаты сравнения
численных решений, полученных на основе КМКЭ-1 и СМКЭ, представ
лены в табл. 14. Там же приведены разбиения по углу 0°< 0 < 90° и радиусу
Я 1 < г < Я 2 . Очевидно, что СМ КЭ дает более точные значения как напря
жений, так и перемещений по сравнению с КМКЭ-1.
114 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6
Применение смешанной аппроксимации
Т а б л и ц а 10
Результаты расчетов напряжений в точке А для задачи о толстом кольце
под действием двух сосредоточенных сил
Сетка ое при г = Л1, в = 0е Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 СМКЭ
6Х 3 1,918 2,570 2,695 32,61 9,71 5,32
12Х 6 2,391 2,753 2,792 15,99 3,28 1,91
18Х 9 2,547 2,795 2,813 10,52 1,80 1,17
24 Х 12 2,623 2,811 2,821 7,84 1,24 0,89
30Х 15 2,667 2,818 2,825 6,30 0,99 0,75
36Х 18 2,696 2,823 2,827 5,28 0,82 0,68
42Х 21 2,716 2,825 2,829 4,58 0,75 0,61
48Х 24 2,731 2,827 2,830 4,05 0,68 0,57
96Х 48 2,783 2,831 2,832 2,22 0,54 0,50
[11] 2,8463
Т а б л и ц а 11
Результаты расчетов напряжений в точке В для задачи о толстом кольце
под действием двух сосредоточенных сил
Сетка Ов при Г = ^ 2, в = 0е Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 СМКЭ
6Х 3 0,543 0,880 0,870 41,97 5,96 7,03
12Х 6 0,778 0,919 0,918 16,86 1,79 1,90
18Х 9 0,841 0,926 0,926 10,13 1,05 1,05
24 Х 12 0,869 0,929 0,929 7,14 0,73 0,79
30Х 15 0,884 0,930 0,929 5,53 0,62 0,73
36Х 18 0,894 0,931 0,930 4,47 0,57 0,62
42Х 21 0,900 0,931 0,931 3,82 0,52 0,57
48Х 24 0,904 0,931 0,931 3,40 0,50 0,51
96Х 48 0,919 0,932 0,932 1,79 0,40 0,40
[11] 0,9358
Т а б л и ц а 12
Результаты расчетов напряжений в точке С для задачи о толстом кольце
под действием двух сосредоточенных сил
Сетка Ов при г = К1, в = 90е Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 СМКЭ
6Х 3 1,757 2,550 2,829 45,60 21,05 12,41
12Х 6 2,477 2,988 3,097 23,31 7,49 4,11
18Х 9 2,738 3,110 3,165 15,23 3,71 2,01
24 Х 12 2,868 3,160 3,193 11,20 2,16 1,14
30Х 15 2,944 3,184 3,206 8,85 1,42 0,74
36Х 18 2,995 3,199 3,214 7,27 0,96 0,49
42Х 21 3,030 3,207 3,218 6,19 0,71 0,37
48Х 24 3,056 3,213 3,222 5,38 0,52 0,24
96Х 48 3,146 3,228 3,297 2,60 0,06 0,01
[11] 3,2299
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6 115
А. Ю. Чирков
Т а б л и ц а 13
Результаты расчетов окружных напряжений для задачи о сферическом сосуде
под действием внутреннего давления
Сетка Внутренняя
поверхность
Погрешность, % Внешняя
поверхность
Погрешность, %
КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ
6Х 3 5,647 6,848 20,94 4,13 2,276 2,1379 -6,21 0,24
12Х 6 6,309 7,059 11,67 1,18 2,206 2,1417 -2,94 0,06
18Х 9 6,564 7,104 8,11 0,55 2,184 2,1422 -1,91 0,04
24 Х 12 6,699 7,121 6,21 0,31 2,173 2,1426 -1,40 0,02
30Х 15 6,783 7,128 5,04 0,21 2,167 2,1427 -1,12 0,01
36Х 18 6,840 7,133 4,24 0,14 2,163 2,1427 -0,93 0
42Х 21 6,882 7,135 3,65 0,11 2,160 2,1428 - 0,79 0
48Х 24 6,913 7,137 3,22 0,08 2,158 2,1428 - 0,70 0
[11] 7,143 2,143
Т а б л и ц а 14
Результаты расчетов окружных напряжений и прогиба
для задачи о поперечном изгибе кривого бруса силой, приложенной на конце
Сетка Окружное
напряжение
Погрешность, % Максимальный
прогиб
Погрешность, %
КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ
30Х 1 3,119 11,029 73,35 5,77 4297,9 7087,2 43,02 6,04
50Х 2 6,864 11,587 41,35 1,00 6044,4 7480,9 19,86 0,82
60Х 2 7,247 11,927 38,08 -1,90 6345,2 7683,6 15,87 -1,87
70Х 3 8,552 11,635 26,93 0,59 6712,6 7508,1 11,00 0,46
80Х 3 8,760 11,772 25,15 -0,58 6860,4 7590,2 9,04 -0,63
90Х 4 9,435 11,656 19,39 0,41 7022,4 7518,6 6,90 0,32
100Х 4 9,553 11,725 18,38 -0,17 7102,3 7559,9 5,84 -0,23
[11] 11,7044 7542,648
Рис. 8. Изгиб кривого бруса силой, приложенной на конце.
116 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6
Применение смешанной аппроксимации
Растяжение полосы с центральной трещиной. Рассматривалась прямо
угольная пластина шириной Ж = 8 и высотой Н = 16 с центральной тре
щиной под действием одноосных растягивающих напряжений д = 1 (рис. 9).
Отношение длины трещ ины а к ширине полосы Ж принималось равным
Я = а/Ж = 0,25. Ввиду симметрии задачи расчет выполнялся для четверти
пластины при условии плоского напряженного состояния. Коэффициент
Пуассона задавался равным 0,25. Оценивалась точность численного реш е
ния в окрестности вершины трещины. Для вычисления коэффициента интен
сивности напряжений К 1 использовалось асимптотическое разложение пере
мещений вблизи вершины трещ ины [13], из которого следует
л
К 1* = \ 8 Т ЕУ, (58)
где г - расстояние от вершины трещ ины до близлежащего узла сетки,
расположенного на берегу трещины; V - перемещение этого узла в направ
лении действия д. Осуществлялось сравнение численных результатов с
величиной К 1 и раскрытием трещины д в центре, вычисленными на
основании формул, приведенных в [14] и [15] соответственно:
К 1 = д у л р [1 + 0,5948Я2 + 0,4812Я4 + 0,3963Я6 + 0,3367Я8 +
+ 0,2963Я10 + 0,2684Я12 + о( Я14)]; (59)
, 2да
д=:т
2 3 1,071
■0,071- 0,535Я + 0,169Я2 + 0,02Я3 - — — 1п(1-Я )
Результаты расчетов представлены в табл. 15, 16. Там же приведены раз
биения по ширине полосы Ж/ 2 и вдоль длины трещ ины а /2. Видно, что
СМ КЭ имеет более высокую скорость сходимости по сравнению с КМКЭ
при вычислении коэффициента интенсивности напряжений по формуле
(58).
Рис. 9. Задача о растяжении полосы с центральной трещиной.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 6 117
А. Ю. Чирков
Т а б л и ц а 15
Результаты расчетов коэффициента интенсивности напряжений
для задачи о растяжении полосы с центральной трещиной
Сетка Коэффициент интенсивности
напряжений
Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ
12; 3 1,435 1,553 1,560 1,690 22,09 15,68 15,30 8,24
24; 6 1,534 1,646 1,650 1,771 16,71 10,63 10,42 3,85
36; 9 1,568 1,676 1,678 1,801 14,87 9,00 8,90 2,22
48; 12 1,582 1,691 1,693 1,815 14,11 8,19 8,08 1,46
60; 15 1,591 1,700 1,701 1,823 13,62 7,70 7,65 1,02
72; 18 1,598 1,706 1,707 1,828 13,24 7,38 7,38 0,75
84; 21 1,602 1,711 1,711 1,832 13,02 7,11 7,11 0,53
[14] 1,84186
Т а б л и ц а 16
Результаты расчетов раскрытия трещины в центре
для задачи о растяжении полосы с центральной трещиной
Сетка Раскрытие трещины Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ
12; 3 3,7640 3,8916 3,9928 4,0317 9,37 6,29 3,86 2,92
24; 6 3,9608 4,0132 4,0710 4,0801 4,63 3,36 1,97 1,75
36; 9 4,0268 4,0600 4,0994 4,1037 3,04 2,24 1,29 1,19
48; 12 4,0588 4,0840 4,1140 4,1162 2,27 1,66 0,94 0,89
60; 15 4,0786 4,0984 4,1226 4,1240 1,79 1,32 0,73 0,70
72; 18 4,0916 4,1082 4,1284 4,1293 1,48 1,08 0,59 0,57
84; 21 4,1010 4,1152 4,1326 4,1332 1,25 0,91 0,49 0,48
[15] 4,15297 < 0,6
Растяжение полосы с краевой трещиной. Задача решалась для прямо
угольной пластины шириной Ж = 1 и высотой Н = 2 с симметрично рас
положенной трещиной длиной а = 0,3, выходящей на поверхность (рис. 10).
Ввиду симметрии задачи рассматривалась половина пластины. Коэффици
ент Пуассона задавался равным 0,25. Расчет выполнялся при условии плос
кого напряженного состояния. Оценивалась точность определения коэффи
циента интенсивности напряжений К 1 и раскрытия трещины д на поверх
ности. Значения К 1 и д вычислялись по формулам, приведенным в [16] и
[15] соответственно:
К 1 = ^л[ла
д
0,265(1-Я)4 + -
0,857 + 0,265Я
(1 -Я )3/2
4да 1,46 + 3,42[1- соэ(лЯ/2)
(60)
Е С08 ( л Я / 2 )
118 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 6
Применение смешанной аппроксимации
Т а б л и ц а 17
Результаты расчетов коэффициента интенсивности напряжений
для задачи о растяжении полосы с краевой трещиной
Сетка Коэффициент интенсивности
напряжений
Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ
10; 3 1,271 1,391 1,431 1,536 21,26 13,82 11,34 4,84
20; 6 1,347 1,454 1,475 1,580 16,55 9,92 8,62 2,11
30; 9 1,373 1,475 1,489 1,595 14,94 8,62 7,75 1,18
40; 12 1,386 1,486 1,496 1,602 14,13 7,94 7,32 0,75
50; 15 1,394 1,492 1,500 1,606 13,64 7,56 7,07 0,50
[16] 1,6141 < 0,5
Т а б л и ц а 18
Результаты расчетов раскрытия трещины в центре
для задачи о растяжении полосы с краевой трещиной
Сетка Раскрытие трещины Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ
10; 3 2,400 2,517 2,623 2,638 13,37 9,14 5,32 4,78
20; 6 2,598 2,651 2,714 2,720 6,22 4,31 2,03 1,82
30; 9 2,668 2,703 2,747 2,751 3,69 2,43 0,84 0,70
40; 12 2,704 2,730 2,764 2,767 2,39 1,45 0,23 0,12
50; 15 2,727 2,746 2,774 2,777 1,56 0,88 -0,13 -0,24
[15] 2,7703
— а = 0,3
W = 1 ---►
----- *
-— ---+
Н - 2
Рис. 10. Задача о растяжении полосы с краевой трещиной.
где Я = a/W = 0,3. Результаты расчетов представлены в табл. 17, 18. Там же
приведены разбиения по ширине полосы W и вдоль длины трещины а. Из
таблиц видно, что при всех разбиениях СМКЭ превосходит КМКЭ в опре
делении коэффициента интенсивности напряжений и раскрытия трещины.
Трехточечный изгиб бруса с краевой трещиной. Рассматривалась задача
об изгибе бруса длиной L = 4 и высотой H = 1 с симметрично располо
женной вертикальной трещиной а = 0,4, выходящей на поверхность. Пола
гали, что брус опирается торцами на две вертикальные опоры, а в централь
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2003, № 6 119
А. Ю. Чирков
ном сечении действует поперечная сила Р = 1 (рис. 11). Ввиду симметрии
задачи рассматривалась половина бруса. Коэффициент Пуассона задавался
равным 0,25. Расчет выполнялся при условии плоского напряженного состо
яния. Оценивалась точность определения коэффициента интенсивности
напряжений К 1 и раскрытия трещины д на поверхности на основании
формул, приведенных в [17] и [15] соответственно:
К і =
о \4 а
(1 -Я )3/2(1 + 3 Я)
(1,9+ 0,41Я + 0,51Я2 - 0,17Я3),
<5 =
4о о а
Е
0,76 - 2,28Я + 3,87Я2 - 2,04Я3 +
0,66
(1 -Я )2
(61)
где о о = ЪЬР/2Н2 - номинальное напряжение при изгибе; Я= а/Н = 0,4.
Результаты расчетов представлены в табл. 19, 20. Там же приведены раз
биения по высоте бруса Н и вдоль длины трещины а. Из табл. 19 видно,
что при сгущении сетки КМКЭ-1 не обеспечивает получение коэффициента
интенсивности напряжений, в то время как СМКЭ дает близкие к анали
тическим формулам результаты.
II0_
Н = 1
а = 0 ,4
1_ = 4
Рис. 11. Трехточечный изгиб бруса с краевой трещиной.
Чистый изгиб бруса с краевой трещиной. Геометрические размеры и
сетка задавались, как и для задачи о трехточечном изгибе бруса. Коэффи
циент Пуассона принимался равным 0,25. Ввиду симметрии задачи рассмат
ривалась половина бруса. К торцу прикладывалась осевая нагрузка, распре
деленная по линейному закону д = 2х 2 / Н , действие которой эквивалентно
изгибающему моменту М = Н 2/б (рис. 12). Для вычисления коэффициента
интенсивности напряжений К 1 и раскрытия трещины д на поверхности
использовались формулы, приведенные в работах [17] и [15] соответст
венно:
К 1 =
о
(1 -Я )3/2(1 + 3 Я)
(1,99 + 0,83Я - 0,31Я2 + 0,14Я3),
4о 0 а
Е
0 ,8 -1 ,7 Я + 2,4 Я2 +
0,66
(1 -Я )2
(62)
120 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6
Применение смешанной аппроксимации
где о о = 6м / Н 2 = 1 - номинальное напряжение при чистом изгибе бруса;
Л= а/Н = 0,4. Результаты расчетов представлены в табл. 21, 22. Там же
приведены разбиения по высоте бруса Н и вдоль длины трещины а. Из
табл. 21 видно, что КМКЭ-1 не обеспечивает получение коэффициента
интенсивности напряжений при сгущении сетки, в то время как с помощью
СМКЭ получены близкие к аналитическим формулам результаты.
Т а б л и ц а 19
Результаты расчетов коэффициента интенсивности напряжении
для задачи о трехточечном изгибе бруса с краевой трещиной
Сетка Коэффициент интенсивности
напряжений
Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ
10; 4 6,888 7,520 7,768 8,275 13,06 5,08 1,95 -4,45
20; 8 6,950 7,485 7,612 8,110 12,28 5,52 3,92 -2,36
30; 12 6,960 7,469 7,553 8,052 12,15 5,73 4,67 -1,63
40; 16 6,963 7,459 7,522 8,026 12,11 5,85 5,06 -1,30
60; 24 6,965 7,450 7,489 7,994 12,09 5,97 5,47 -0,90
80; 32 6,967 7,444 7,473 7,982 12,06 6,04 5,68 -0,75
[17] 7,9227
Т а б л и ц а 20
Результаты расчетов раскрытия трещины на поверхности
для задачи о трехточечном изгибе бруса с краевой трещиной
Сетка Раскрытие трещины Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ
10; 4 18,292 19,037 19,802 19,940 12,19 8,62 4,94 4,28
20; 8 19,610 19,974 20,388 20,425 5,86 4,12 2,13 1,95
30; 12 20,066 20,306 20,590 20,606 3,68 2,52 1,16 1,08
40; 16 20,298 20,476 20,692 20,701 2,56 1,71 0,67 0,63
60; 24 20,532 20,650 20,796 20,799 1,44 0,87 0,17 0,16
80; 32 20,648 20,736 20,848 20,849 0,88 0,46 -0,08 -0,08
[15] 20,832 < 1,0
Я = 1
Ч = -1
Н = 1
ч = 1
X ,
а = 0 . 4
!_ = 4 4 = -1
Рис. 12. Чистый изгиб бруса с краевой трещиной.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6 121
А. Ю. Чирков
Т а б л и ц а 2/
Результаты расчетов коэффициента интенсивности напряжений
для задачи о чистом изгибе бруса с краевой трещиной
Сетка Коэффициент интенсивности
напряжений
Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ
10; 4 1,2399 1,3535 1,3980 1,4874 12,14 4,09 0,94 -5,40
20; 8 1,2488 1,3450 1,3677 1,4565 11,51 4,69 3,08 -3,21
30; 12 1,2500 1,3411 1,3560 1,4453 11,42 4,97 3,91 -2,42
40; 16 1,2500 1,3389 1,3499 1,4399 11,42 5,12 4,34 -2,03
60; 24 1,2499 1,3365 1,3437 1,4344 11,43 5,29 4,78 -1,64
80; 32 1,2499 1,3352 1,3404 1,4315 11,43 5,39 5,02 -1,44
[17] 1,4112
Т а б л и ц а 22
Результаты расчетов раскрытия трещины на поверхности
для задачи о чистом изгибе бруса с краевой трещиной
Сетка Раскрытие трещины Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ
10; 4 3,2792 3,4138 3,5500 3,5711 12,31 8,71 5,07 4,51
20; 8 3,5154 3,5808 3,6548 3,6604 6,00 4,25 2,27 2,12
30; 12 3,5972 3,6402 3,6910 3,6934 3,81 2,66 1,30 1,24
40; 16 3,6386 3,6706 3,7094 3,7106 2,70 1,85 0,81 0,78
60; 24 3,6804 3,7016 3,7278 3,7283 1,58 1,02 0,32 0,30
80; 32 3,7014 3,7174 3,7370 3,7373 1,02 0,60 0,07 0,06
[15] 3,7397 < 0,5
Круговое кольцо с наружной краевой радиальной трещиной под дейст
вием давления на внутренней круговой границе. Рассматривалось кольцо с
отношением радиусов Я/ /Я г = /2 , длиной трещины а = 0,5 и внутренним
давлением д = 1 (рис. 13). Ввиду симметрии задачи расчет выполнялся для
половины кольца при условии плоского напряженного состояния. Коэффи
циент Пуассона задавался равным 0,3. Результаты расчетов представлены в
табл. 23. Там же приведены разбиения по углу четверти кольца и вдоль
длины трещины. Из таблицы видно, что СМКЭ превосходит КМКЭ в
точности определения коэффициента интенсивности напряжений.
Свободные колебания бруса с защемленным торцом. Определялись
первые четыре собственные частоты поперечных колебаний бруса прямо
угольного поперечного сечения с отношением высоты к длине И /Ь = 2/20.
Коэффициент Пуассона задавался равным нулю. Численные результаты
сопоставлялись с аналитическим решением, приведенном в [19] для одно
родного стержня:
122 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 6
Применение смешанной аппроксимации
Т а б л и ц а 23
Результаты расчетов коэффициента интенсивности напряжений
для задачи о наружной краевой радиальной трещине в круговом кольце,
находящемся под действием внутреннего давления
Сетка Коэффициент интенсивности
напряжений
Погрешность, %
КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ КМКЭ-1 КМКЭ-2 КМКЭ-3 СМКЭ
14; 3 1,362 1,506 1,562 1,659 22,17 13,94 10,74 5,20
28; 6 1,459 1,577 1,608 1,708 16,63 9,89 8,11 2,40
42; 9 1,492 1,602 1,623 1,726 14,74 8,46 7,26 1,37
56; 12 1,508 1,615 1,638 1,735 13,83 7,71 6,40 0,86
70; 15 1,518 1,623 1,639 1,740 13,26 7,26 6,34 0,57
84; 18 1,524 1,628 1,640 1,744 12,91 6,97 6,29 0,34
99; 21 1,530 1,632 1,641 1,748 12,57 6,74 6,23 0,11
113; 24 1,533 1,635 1,644 1,750 12,40 6,57 6,06 0
[18] 1,75
Рис 13. Круглое кольцо с наружной краевой трещиной под действием давления на внутрен
ней круговой границе.
где р - плотность единицы длины и I = Н 3/12 = 2/3 - момент инерции
поперечного сечения бруса. Результаты расчетов представлены в табл. 24.
Там же приведены разбиения по длине Ь и высоте Н бруса. В предпослед
ней строке таблицы даны численные решения, полученные с помощью
КМКЭ-3 для разбиения 160x16. Сравнение погрешностей определения
собственных частот на основе КМКЭ-1 и СМКЭ приведено в табл. 25.
Видно, что СМКЭ дает более точные значения частот по сравнению с
КМКЭ-1.
Заключение. Приведенные выше тестовые примеры, а также опыт
решения практических задач свидетельствуют об улучшенных аппрокси
мациях полей перемещений, деформаций и напряжений, полученных на
основе смешанного метода. Существенное улучшение приближенного реше-
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6 123
А. Ю. Чирков
Т а б л и ц а 24
Результаты расчетов собственных частот колебаний бруса
с жестко закрепленным торцом
Сетка «2 « 3
КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ
10Х 1 4,932 3,843 29,82 23,38 79,83 62,93 148,56 117,53
20 X 2 3,906 3,519 23,67 21,35 63,24 57,09 116,94 105,54
30Х 3 3,683 3,494 22,28 21,14 59,38 56,29 109,40 103,53
40 X 4 3,601 3,491 21,77 21,10 57,95 56,11 106,55 103,02
80 X 8 3,520 3,492 21,27 21,09 56,51 56,01 103,68 102,71
160Х 16 3,500 3,493 21,14 21,09 56,14 56,01 102,94 102,69
КМКЭ-3 3,493 21,09 56,02 102,69
[19] 3,5156 22,034 61,701 120,912
Т а б л и ц а 25
Погрешность (%) определения собственных частот колебаний бруса
с жестко закрепленным торцом
Сетка « 3
КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ КМКЭ-1 СМКЭ
10Х 1 41,20 10,02 41,39 10,38 42,50 12,33 44,67 14,45
20Х 2 11,82 0,72 12,23 1,23 12,89 1,91 13,88 2,78
30Х 3 5,44 0,03 5,64 0,23 6,00 0,48 6,53 0,82
40Х 4 3,09 -0,06 3,22 0,05 3,45 0,16 3,76 0,32
80Х 8 0,77 -0,03 0,85 0 0,87 -0,02 0,96 0,02
160Х 16 0,20 0 0,24 0 0,21 -0,02 0,24 0
ния обычно наблюдается в задачах об изгибе, местах концентрации напря
жений, а также при определении перемещений. Применение смешанной
схемы к решению задач линейной механики разрушения позволяет получить
более точные значения коэффициента интенсивности напряжений (58) по
сравнению с обычным методом перемещений. Для задач, имеющих незна
чительный градиент напряжений, результаты расчетов на основе смешан
ного и классического подходов МКЭ близки к точным решениям. На редких
сетках смешанный метод дает более точные результаты. Таким образом,
анализ численных решений позволяет говорить о преимуществе смешанного
метода по сравнению с классическим МКЭ.
Р е з ю м е
Для розв’язку двовимірних крайових задач теорії пружності використано
змішану схему методу скінченних елементів. Описано трикутний скінчен
ний елемент, котрий забезпечує стійкість і збіжність змішаної апроксимації.
Побудовано систему розв’язувальних рівнянь змішаного методу з ураху
ванням точного задоволення статичних граничних умов на поверхні. Для
124 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6
Применение смешанной аппроксимации
розв’язання матричних рівнянь змішаного методу наведено різні варіанти
алгоритму методу спряжених градієнтів із перезумовленою матрицею.
Представлено результати числового аналізу збіжності і точності розв’язання
ряду модельних задач теорії пружності та лінійної механіки руйнування.
Порівнюються результати, що отримані на основі класичного і змішаного
методів скінченних елементів.
1. Чирков А. Ю. Смешанная проекционно-сеточная схема метода конеч
ных элементов для решения задач теории упругости // Пробл.
прочности. - 2003. - № 3. - С. 70 - 99.
2. Zienkiewicz O. C. and Taylor R. L. The Finite Element Method. - Oxford;
Auckland; Boston; Johannesburg; Melbourne; New Delhi: Butterworth
Heinemann (5th edition), 2000. - 1482 p.
3. Уманский С. Э. Общая теория и практическое применение смягченно
смешанных схем метода конечных элементов // Пробл. прочности. -
1984. - № 12. - С. 83 - 89.
4. Hestens M. and Stiefel E. Methods of conjugate gradients for solving linear
system // Nat. Bur. Std. J. Res. - 1952. - 49. - P. 409 - 436.
5. Reid J. K. On the method of conjugate gradients for the solution of large
sparse systems of linear equations // Large Sparse Sets Linear Equations. -
London; New York: Academic Press, 1971. - P. 231 - 252.
6. Young D. M. On the accelerated SSOR method for solving large linear
systems // Adv. Math. - 1977. - 23. - P. 215 - 271.
7. Chang A. Application of Sparse Matrix Methods in Electric Power System
Analysis. - Willoughby, 1969. - P. 113 - 122.
8. Jennings A. A compact storage scheme for the solution of symmetric linear
simultaneous equations // Comput. J. - 1966. - 9. - P. 281 - 285.
9. Cuthill E. and McKee J . Reducing the bandwidth of sparse symmetric
matrices // Proc. 24th Nat. Conf. Assoc. Comput. Math. - ACM Publ., 1969.
- P. 157 - 172.
10. Felippa C. A. Solution of linear equations with skyline-stored symmetric
matrix // Comp. and. Struct. - 1975. - 5, No. 1. - P. 13 - 29.
11. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1975. -
575 с.
12. Писаренко Г. С., Агарев В. А., Квитка А. Л., Попков В. Г., Уманский Э. С.
Сопротивление материалов. - Киев: Вища шк., 1986. - 775 с.
13. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974. -
640 с.
14. Isida M. Analysis of stress intensity factors for the tension of a centrally
cracked strip with stiffened edges // Eng. Fract. Mech. - 1973. - 5, No. 3. -
P. 647 - 665.
15. Трощенко В. Т., Красовский А. Я., Покровский В. В. и др. Сопро
тивление материалов деформированию и разрушению. Справочное по
собие. - Киев: Наук. думка, 1993. - Ч. 1. - 285 с.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2003, № 6 125
А. Ю. Чирков
16. Tada H., Paris P. C., and Irwin G. R. The Stress Analysis of Cracks:
Handbook. - Hellertown: Del Research Corporation, 1973. - 385 p.
17. Guinea G. V., Pastor J. Y., Planas J , and Elices M. Stress intensity factor,
compliance and CMOD for general three-point-bend beam // Int. J. Fract. -
1998. - 89. - P. 103. - 116.
18. Delale F. and Erdogan F. Stress intensity factors in a hollow cylinder
containing a radial crack // Int. J. Fract. Mech. - 1982. - 20, No. 4. - P. 251
- 265.
19. Бабаков И. М. Теория колебаний. - М.: Наука, 1968. - 559 с.
Поступила 05. 07. 2002
126 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2003, № 6
|