Построение интегральных соотношений теории упругости и их приложение к задачам линейной механики разрушения
Предложены новые представления перемещений, относительного изменения объема и углов поворота точек линейно-упругого тела по заданным на его поверхности перемещениям и напряжениям. Получены интегральные соотношения краевых условий для полупространства и плоских математических разрезов произвольной...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Datum: | 2003 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2003
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47020 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Построение интегральных соотношений теории упругости и их приложение к задачам линейной механики разрушения / П.П. Ворошко // Проблемы прочности. — 2003. — № 6. — С. 85-92. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859916149331853312 |
|---|---|
| author | Ворошко, П.П. |
| author_facet | Ворошко, П.П. |
| citation_txt | Построение интегральных соотношений теории упругости и их приложение к задачам линейной механики разрушения / П.П. Ворошко // Проблемы прочности. — 2003. — № 6. — С. 85-92. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Предложены новые представления перемещений, относительного изменения объема и углов
поворота точек линейно-упругого тела по заданным на его поверхности перемещениям и
напряжениям. Получены интегральные соотношения краевых условий для полупространства
и плоских математических разрезов произвольной конфигурации. Построены интегральные
уравнения для перемещений поверхностей разрезов и анализируются результаты
их решения при определении коэффициентов интенсивности напряжений для пространственных
трещин. Предложенные соотношения сравниваются с известными аналитическими
и численными решениями задач механики разрушения.
Запропоновано нові вирази переміщень, відносної зміни об’єму і кутів
повороту точок пружно-лінійного тіла за заданими на його поверхнях
переміщеннях і напруженнях. Отримано інтегральні співвідношення крайових
умов для півпростору і плоских математичних розрізів довільної конфігурації.
Побудовано інтегральні рівняння для переміщень поверхонь розрізів
і аналізуються результати їх розв’язків при визначенні коефіцієнтів
інтенсивності напружень для просторових тріщин. Наведені співвідношення
порівнюються з відомими аналітичними і числовими розв’язками задач
механіки руйнування.
We propose new expressions for displacements
as the relative variation of volume and the angular
displacement of points of a linearly elastic
body by the displacements and stresses preset
at its surface. Integral relations of the boundary
conditions have been obtained for a semi-space
and a plane mathematical section of an arbitrary
form. Integral equations for surface displacements
of sections are derived, and their
solutions in determining the stress intensity factors
for 3D cracks are studied. The proposed relations
are compared to known analytical and
numerical solutions of the problems of fracture
mechanics.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:05:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3;518
Построение интегральных соотношений теории упругости и их
приложение к задачам линейной механики разрушения
П. П. Ворошко
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Предложены новые представления перемещений, относительного изменения объема и углов
поворота точек линейно-упругого тела по заданным на его поверхности перемещениям и
напряжениям. Получены интегральные соотношения краевых условий для полупростран
ства и плоских математических разрезов произвольной конфигурации. Построены инте
гральные уравнения для перемещений поверхностей разрезов и анализируются результаты
их решения при определении коэффициентов интенсивности напряжений для простран
ственных трещин. Предложенные соотношения сравниваются с известными аналитичес
кими и численными решениями задач механики разрушения.
Ключевые слова: интегральные уравнения, пространственные трещины,
упругость.
О б о з н а ч е н и я *
V - открытая область, занятая телом
5 - кусочно-гладкая поверхность, части которой являются поверхностями
Ляпунова
п - всегда единичный вектор внешней нормали к 5
и, в, т - соответственно вектор перемещений, его дивергенция и вихрь
Я - безразмерный параметр Ламе, Я = Я/2,м
1 - единичный тензор
р - безразмерный вектор поверхностных напряжений, р= (2,и)_1 п -Т
г (у ), г - соответственно вектор точки у и вектор расстояния между точками у
и х
У - фундаментальное решение уравнения Лапласа, 1р = 1/(4лт)
Цель работы состоит в построении для пространственных задач теории
упругости системы интегральных тождеств, которые следуют из предложен
ного представления вектора перемещений. Полученные результаты использу
ются для решения краевых пространственных задач полупространства и
плоских трещин в неограниченном пространстве.
Построение системы интегральных тождеств основывается на использо
вании теоремы Бетти. В работе [2] были предложены вспомогательные состо
яния, учитывающие специальную форму записи вектора поверхностных
напряжений:
р = (Я + 1)бп - п хт + 8(и,п), 8(и,п) = (Уи)• п - бп. (1)
* Используются обозначения, приведенные в [1].
© П. П. ВОРОШКО, 2003
І88М 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6 85
П. П. Ворошко
Здесь оператор s выражается через внешнюю нормаль и перемещения
только на поверхности тела,
s = ик; а Р a ~ n(div u + 2hu3 ), (2 )
где дифференциальные операции отнесены к гауссовым координатам q x, q 2
на поверхности тела; h - средняя кривизна поверхности. При h = 0 оператор
s выражается удобной для приложений формулой
s = uk;а*к Х (^ а р 1 _ ^ ар 2 X (3)
V а
где а - первая квадратичная форма поверхности dS = 4 а dq^dq2 .
Приведем основные зависимости для оператора s.
1. Интеграл по поверхности S , опирающейся на замкнутый контур L,
который непрерывным преобразованием сводится в точку, согласно преобра
зованию Стокса, равен [3]
f sdS = f ( Vu • n - nö)dS = f d r Х udL, (4)
S S
где d r - векторный элемент на L, обход контура предполагается против
часовой стрелки и P i Х р 2 = n.
Из соотношения (4) следует равенство нулю интеграла от вектора s по
любой замкнутой поверхности односвязной области тела, а также отдельных
поверхностей многосвязной области, если выполнены упомянутые выше
условия о существовании контура L для каждой из них, и вектор u не
прерывен на контуре.
2. Скалярное произведение вектора s на непрерывный вектор v может
быть представлено в виде
s (u , n )• v = s ( v , n )• u + n • ro t(u Х v ) = (Vv • n )• u -
- d iv v ( n • u ) + n • ( v •V u - vdiv u - u •V v + udiv v ). (5)
3. Если в выражении (1) для оператора s принять u = ^ u , где ^ -
скалярная функция, то
s ( ^ u , n ) = ^ s ( u , n ) - u • (V ^ ® n - n ® V ^ ); (6 )
f u • (V ^ ® n - n ® V^ )dS = f ̂ s (u , n )d S . (7)
S S
Применяя процедуру вывода представления перемещений на основе
фундаментального решения для неограниченной упругой среды и учитывая
86 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2003, N2 6
Построение интегральных соотношении теории упругости
(7), выражения для вектора перемещений в точке x записываем следующим
образом:
d (x )u = f ( a • U - u • W )d S ; (8)
S
d(x )u = f [a • U + - u ( n • V ^ )]d S ; (9)
S
<5( x )u = f a • UdS + V x f u • nipdS — rot x f n x u ^ d S , (10)
S S S
где U, W - соответственно тензор Кельвина-Сомильяна и “силовой тензор”,
1 + 2А /3 + 2А ^
U = --------— I-------г ̂ 1 — V ® r I;
2(1 + А ) \ 1 + 2А / ( 11)
W = n ® V ^ — V ^ ® n + ( n • V ^ )1;
f1, x e V ,
* x ) = I0,5, x Є S ;
а = (А + 1)бп - п х = р - 8. ( 12)
В представлении (8) тензор W существенно упрощен. Условия статики
для тензора W удовлетворяются, что проверяется для шара с центром в
точке приложения единичной силы. Прямое дифференцирование выражения
( 10) приводит к интегральным представлениям дивергенции и вихря:
д( х )в (х ) = —(А + 1) - 1 ^ а У ^ Б ;
(13)
d( x )w( x ) = / [a x V ^ - ( n • w)Vty]dS,
где интегралы являются прямыми значениями на поверхности.
Приведем вытекающие из выражений (8)-(13) следствия:
1) решение первой основной краевой задачи теории упругости пред
ставляется в форме потенциала и = / ь • W dS, где плотность определяется
проекциями Ь{ в точке х поверхности 5 на орты д 2 и д 3 в каса
тельной плоскости к поверхности. Тогда аналогично известным постро
ениям [4, 5 и др.] можно показать, что получаемая система сингулярных
интегральных уравнений имеет отличный от нуля символический опреде
литель и единственное решение;
2 ) векторное поле и представляется в виде суммы безвихревого и
соленоидального полей:
S
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2003, № 6 87
П. П. Ворошко
II = - у
V V V V
(14)
где скалярный и векторный потенциалы выражаются через объемные потен
циалы и потенциалы простого слоя. Выражение (14) может быть использо
вано для представления гармонических функций различных форм записи
вектора перемещений;
3) представление перемещений (9) для полупространства приводит к
удобным формулировкам основных краевых задач для полупространства.
Определим на границе Б нормальную компоненту вектора 8 и диверген
цию б:
г 3 + 2 Я — 1
*з = 8 • Iз = ^ _я т г р ^у р - ( Я + 1 ) 8 ;
Б Я + 1
б = —2(Я + 1) —1 f (р- Д р — 8 • У р )ё Б .
(15)
Б
Б
Комбинируя эти выражения, получаем
б = 2(2Я + 1) —1( р 3 - 2f р - У р ё Б ) = - 2(2Я + 3) —1(* 3 - 2f 8 •У р ё Б ); (16)
* 3 = —(2Я + 1) —1 р 3 + 4( Я + 1)(2Я + 1) —1f р -У р ё Б . (17)
Так, подставляя в (9) выраженные через перемещения функции (16),
(17), получаем для первой краевой задачи решение в перемещениях, а,
используя представления решения в форме комбинаций компонент пере
мещений и напряжений как гармонических функций [6 ], - также решения
других краевых задач для полупространства и бесконечного пространства с
разрезами.
Для пространственных плоских трещ ин в бесконечно упругой среде
построим интегральные уравнения для перемещений на поверхности тре
щины. Предполагается, что на поверхности трещ ины заданы поверхностные
напряжения. При этом используются условия симметрии относительно гра
ницы полупространства X 3 = 0, где расположена трещина.
Т рещ ин ы норм ального отры ва . Пусть на поверхностях плоского раз
реза с контуром Ь внешняя нормаль п = 13 и р = р (х )13 (рисунок). Каса
тельные в плоскости трещ ины перемещения и и нормальные перемещения
ж определяются следующим образом:
и (х ) = - ( Я + 1) —1 f [8р - (2Я + 3)(8 • г )У р ]ёБ ; (18)
ж( х ) = f [(2Я + 3)б + 28 • 13 ]р ё Б . (19)
Б Б
Б
Б
88 1ББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 6
Построение интегральных соотношении теории упругости
Схема расположения точек истока х и наблюдения у и 2 на границе полупространства с
плоской трещиной.
Путем непосредственных преобразований покажем, что второе слага
емое в (18) равно нулю. Тогда компонента ^ равна
5 з = —(Ну и = - ( Х + 1)—̂ 8 ■'Ч‘̂ pdS. (20)
Комбинируя (20) с представлением (13), находим
в (х ) = —2(2Х + 1)—1 р (х ); (21а)
53 = (2 X + 1)—1 р (х ). (21б)
Таким образом, граничное значение для гармонической функции в на
поверхности трещ ины выражено через поверхностное напряжение на по
верхности трещины. Вне поверхности трещ ины из условий симметрии
следует граничное значение для нормальной производной в Хз = 0. Задача
свелась к решению краевой задачи для полупространства со смешанными
краевыми условиями для гармонической функции. Этот результат согласу
ется с известной постановкой задачи в виде одной гармонической функции
[7].
Как видно из (13) и (21а), нормальные перемещения w являются
решением интегрального уравнения первого рода:
—(X + 1)(2Х + 1)—1 р (х ) = f V w ■ ' V t y d S , х Е 5 . (22)
5
0556-171Х. Проблемыг прочности, 2003, № 6 89
П. П. Ворошко
Это уравнение, а также представления для нормального перемещения и
дивергенции в виде
w(x ) = 2(Я + 1) f QtydS;
б(x ) = 2(Я + 1) 1 f Vw- VtydS , x Є S 0
(23)
позволяют получить для w интегральное уравнение второго рода:
w (x) = 4 f k ( z ,x ) - Vw(z ) d S z + f (x );
S
k ( z , x ) = f VV( z , y )^ ( y , x )dS y ;
Si
f ( x ) = —4( Я + 1)(2Я + 1) _ 1/ p t ydS ,
(24)
где ядро к ( 2 ,у ) определяется с учетом перестановки интегрирования по
внешней и внутренней областям полупространства.
Т рещ ин ы сдвига. В этом случае полагаем р • 13 = 0, и касательные
компоненты вектора р кососимметричны относительно плоскости трещ и
ны. Представления для вектора 8 и компонент вихря 13 X® записываются
в виде
8 = Vw, 1 з х ® = 0,5( Vw - и ,3 ) = 0,5(8 - и ,3 ), (25)
что позволяет получить выражение для градиента нормальных перемещений
\ - ьp(x ) = —(2Я + 1) Vw, x Є S . (26)
Интегрирование этого выражения возможно, если ro t p = 0:
w(x ) = —(2Я + 1) p- dl + c, (27)
где константа с определяется из условия
f wdS = 0, x Є S .
S
Если rot p Ф 0, то, применив оператор дивергенции к равенству (26),
получим интегральное уравнение для определения нормальных перемеще
ний на контуре трещины:
S
S
L
90 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2003, № 6
Построение интегральных соотношении теории упругости
щ = 2 - ф [(т • )щ — (2Я + 1) \ р - т \~\dl — фШ у р ^ ^
11 я
где ^ 1 = —(2 л )—1 1п г - фундаментальное решение уравнения Лапласа для
двухмерного случая.
Касательные перемещения определяются как решение системы инте
гральных уравнений первого рода:
р( х ) = -(2 Я + 1)(Я + 1)—1ф 53 . (29)
я
Обоснованием разрешимости системы (29), как и для трещ ин нормаль
ного отрыва, является возможность построения для перемещений и систе
мы интегральных уравнений второго рода:
и( х ) = ф к (у , х )^3 dS + f (х ); (30)
я
г 2(2 Я + 1)
к (У , х ) =ф я + 1 ( У^ ( У, 2 )- ГУ* )У^ ( 2 , Х ) — 4^ ( 2 , Х )У^ ( У, 2 ; (31)
я1
f ( x ) = 2(2Я + 1)—1ф р- [2(Я + 1 )^ (у ,х)1 — г ® У ^ ( у ,х )Щ у . (32)
я
Сравнение формул для перемещений, дивергенции и вихря с известным
аналитическим решением Буссинека [4\ для выделенных подобластей полу
пространства (шар, тор) в различных точках показало удовлетворительную
точность при определении интегралов кубатурными формулами точности
0 ( к ).
Для трещ ин нормального отрыва при плоской деформации уравнение
(21б) интегрируется для произвольной нагрузки р (х ) и при постоянной на
грузке р приводит к результату, совпадающему с полученным в работе [8\.
Сравнительный анализ распределения касательных перемещений при
плоской деформации и различных функциях нормальной нагрузки р (х )
проводился при реш ении задач методом конечных элементов (МКЭ) для
ограниченной области бесконечной среды так, чтобы длина трещ ины была
меньше 1/10 диаметра выделенной области. Полученные результаты пока
зали практическое совпадение аналитического и численного решений, за
исключением зоны устья трещины, где использование М КЭ из-за труд
ностей учета разрыва в нормальных напряжениях приводит к неточным
результатам.
Тестирование решения уравнения первого рода (22) проводилось чис
ленно М КЭ для круговой трещ ины единичного радиуса в цилиндре радиуса
11м при V = 1/3, р = 1, Я = 1. Дискретизация области трещ ины треугольными
1 <28)
0556-171Х. Проблемыг прочности, 2003, № 6 91
П. П. Ворошко
элементами осуществлялась так, что вблизи контура трещ ины выделялся
поясок шириной д = 0,01 м. По значениям нормальных перемещений на
внутренней границе пояска определялись коэффициенты интенсивности на
пряжений K і, которые сравнивались с известным аналитическим решением
[9]. Сравнение результатов приближенного определения перемещений и
значений K і с точным показывает, что максимальная относительная погреш
ность не превышает 0,104. Это обусловлено неравномерностью дискретиза
ции поверхности трещ ины в окружном и радиальном направлении. Числен
ное исследование определения K і , K 2 и K 3 для трещ ин различной кон
фигурации является предметом отдельного рассмотрения.
Р е з ю м е
Запропоновано нові вирази переміщень, відносної зміни об’єму і кутів
повороту точок пружно-лінійного тіла за заданими на його поверхнях
переміщеннях і напруженнях. Отримано інтегральні співвідношення крайо
вих умов для півпростору і плоских математичних розрізів довільної конфі
гурації. Побудовано інтегральні рівняння для переміщень поверхонь розрі
зів і аналізуються результати їх розв’язків при визначенні коефіцієнтів
інтенсивності напружень для просторових тріщин. Наведені співвідношення
порівнюються з відомими аналітичними і числовими розв’язками задач
механіки руйнування.
1. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных
сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.
2. Ворошко П. П. Эффективное построение интегральных уравнений тео
рии потенциала основных краевых задач теории упругости // Пробл.
прочности. - 1996. - № 5. - С. 83 - 90.
3. Лурье А. И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 939 с.
4. Партон В. 3., Перлин П. И. М етоды математической теории упругости.
- М.: Наука, 1 9 8 1 .- 688 с.
5. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. - М.: Высш.
шк., 1977. - 431 с.
6 . Купрадзе В. Д ., Гагелиа Т. Г., Башелейшвили М. О. Трехмерные задачи
математической теории упругости. - М.: Наука, 1976. - 663 с.
7. Sih G. C. M athematical theories o f brittle fracture // Fracture. - N ew York;
London: Academic Press, 1969. - Vol. 2.
8 . Liebowitz H ., Eftis J ., and Jones D. L. Some recent theoretical and
experimental developments // Fracture. - 1977. - ICF4. - P. 212 - 230.
9. Черепанов Г. П. М еханика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974. -
640 с.
Поступила 18. 02. 2002
92 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2003, № 6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47020 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:05:31Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ворошко, П.П. 2013-07-08T16:08:32Z 2013-07-08T16:08:32Z 2003 Построение интегральных соотношений теории упругости и их приложение к задачам линейной механики разрушения / П.П. Ворошко // Проблемы прочности. — 2003. — № 6. — С. 85-92. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47020 539.3;518 Предложены новые представления перемещений, относительного изменения объема и углов поворота точек линейно-упругого тела по заданным на его поверхности перемещениям и напряжениям. Получены интегральные соотношения краевых условий для полупространства и плоских математических разрезов произвольной конфигурации. Построены интегральные уравнения для перемещений поверхностей разрезов и анализируются результаты их решения при определении коэффициентов интенсивности напряжений для пространственных трещин. Предложенные соотношения сравниваются с известными аналитическими и численными решениями задач механики разрушения. Запропоновано нові вирази переміщень, відносної зміни об’єму і кутів повороту точок пружно-лінійного тіла за заданими на його поверхнях переміщеннях і напруженнях. Отримано інтегральні співвідношення крайових умов для півпростору і плоских математичних розрізів довільної конфігурації. Побудовано інтегральні рівняння для переміщень поверхонь розрізів і аналізуються результати їх розв’язків при визначенні коефіцієнтів інтенсивності напружень для просторових тріщин. Наведені співвідношення порівнюються з відомими аналітичними і числовими розв’язками задач механіки руйнування. We propose new expressions for displacements as the relative variation of volume and the angular displacement of points of a linearly elastic body by the displacements and stresses preset at its surface. Integral relations of the boundary conditions have been obtained for a semi-space and a plane mathematical section of an arbitrary form. Integral equations for surface displacements of sections are derived, and their solutions in determining the stress intensity factors for 3D cracks are studied. The proposed relations are compared to known analytical and numerical solutions of the problems of fracture mechanics. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Построение интегральных соотношений теории упругости и их приложение к задачам линейной механики разрушения Integral Relations of Elasticity Theory and Application to Problems of Linear Fracture Mechanics Article published earlier |
| spellingShingle | Построение интегральных соотношений теории упругости и их приложение к задачам линейной механики разрушения Ворошко, П.П. Научно-технический раздел |
| title | Построение интегральных соотношений теории упругости и их приложение к задачам линейной механики разрушения |
| title_alt | Integral Relations of Elasticity Theory and Application to Problems of Linear Fracture Mechanics |
| title_full | Построение интегральных соотношений теории упругости и их приложение к задачам линейной механики разрушения |
| title_fullStr | Построение интегральных соотношений теории упругости и их приложение к задачам линейной механики разрушения |
| title_full_unstemmed | Построение интегральных соотношений теории упругости и их приложение к задачам линейной механики разрушения |
| title_short | Построение интегральных соотношений теории упругости и их приложение к задачам линейной механики разрушения |
| title_sort | построение интегральных соотношений теории упругости и их приложение к задачам линейной механики разрушения |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47020 |
| work_keys_str_mv | AT voroškopp postroenieintegralʹnyhsootnošeniiteoriiuprugostiiihpriloženiekzadačamlineinoimehanikirazrušeniâ AT voroškopp integralrelationsofelasticitytheoryandapplicationtoproblemsoflinearfracturemechanics |