Об уравнениях типа Буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ
В настоящей работе дан альтернативный вывод однослойной и двухслойной нелинейной модели типа Буссинеска порядка O(μ2 ) (μ -параметр дисперсии) в терминах градиента от задаваемого потенциала скорости на поверхностях слоя жидкости, определяемых свободными параметрами. Проведено сравнение линейных дисп...
Saved in:
| Published in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47029 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об уравнениях типа Буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ / Р.М. Демченко, П.В. Дикий // Мат. машини і системи. — 2009. — № 2. — С. 8–27. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859748068795088896 |
|---|---|
| author | Демченко, Р.И. Дикий, П.В. |
| author_facet | Демченко, Р.И. Дикий, П.В. |
| citation_txt | Об уравнениях типа Буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ / Р.М. Демченко, П.В. Дикий // Мат. машини і системи. — 2009. — № 2. — С. 8–27. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | В настоящей работе дан альтернативный вывод однослойной и двухслойной нелинейной модели типа Буссинеска порядка O(μ2 ) (μ -параметр дисперсии) в терминах градиента от задаваемого потенциала скорости на поверхностях слоя жидкости, определяемых свободными параметрами. Проведено сравнение линейных дисперсионных и нелинейных характеристик с моделями типа Буссинеска порядка O(μ2 ) , записанными в терминах компонент вектора скорости, равного градиенту потенциала, заданного на произвольных поверхностях слоя воды, а также в терминах средней скорости.
У даній роботі наведено альтернативне отримання одношарової та двошарової нелінійної моделі типу Бусінеска порядку O(μ2 ) (μ -параметр дисперсії) у термінах градієнта від заданого потенціалу швидкості на поверхнях шару рідини, що визначається довільними параметрами. Проведено порівняння лінійних дисперсійних та нелінійних характеристик з моделями типу Бусінеска порядку O(μ2 ) , записаними у термінах компонент вектора швидкості, що дорівнює градієнту потенціала, який задається на довільних поверхнях шару води, а також у термінах середньої швидкості.
Alternative derivation of Boussinesq-type one-layer and two-layer nonlinear model of O(μ2 ) order (μ is dispersion parameter) written with terms of gradient of velocity potential is presented. The last is being determined on the fluid layers surface defined by free parameters. Both linear dispersion and nonlinear characteristics comparisons for Boussinesq-type models of the order O(μ2 ) written with terms of the velocity vector equal to potential gradient defined on the arbitrary surface of the water layer, and with terms of the average velocity were fulfilled.
|
| first_indexed | 2025-12-01T22:39:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
8 © Демченко Р.И., Дикий П.В., 2009
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2
ОБЧИСЛЮВАЛЬНІ СИСТЕМИ
УДК 004.94: 532.59
Р.И. ДЕМЧЕНКО, П.В. ДИКИЙ
ОБ УРАВНЕНИЯХ ТИПА БУССИНЕСКА ПОЛНОСТЬЮ НЕЛИНЕЙНЫХ И
ОДНОГО ПОРЯДКА ДИСПЕРСИИ: ВЫВОД И СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Abstract: Alternative derivation of Boussinesq-type one-layer and two-layer nonlinear model of
2( )O µ order ( µ is
dispersion parameter) written with terms of gradient of velocity potential is presented. The last is being determined on
the fluid layers surface defined by free parameters. Both linear dispersion and nonlinear characteristics comparisons
for Boussinesq-type models of the order 2( )O µ written with terms of the velocity vector equal to potential gradient
defined on the arbitrary surface of the water layer, and with terms of the average velocity were fulfilled.
Key words: Boussinesq-type model, velocity potential, dispersion, two-layer models, free parameter.
Анотація: У даній роботі наведено альтернативне отримання одношарової та двошарової нелінійної
моделі типу Бусінеска порядку
2( )O µ ( µ -параметр дисперсії) у термінах градієнта від заданого
потенціалу швидкості на поверхнях шару рідини, що визначається довільними параметрами. Проведено
порівняння лінійних дисперсійних та нелінійних характеристик з моделями типу Бусінеска порядку
2( )O µ ,
записаними у термінах компонент вектора швидкості, що дорівнює градієнту потенціала, який задається
на довільних поверхнях шару води, а також у термінах середньої швидкості.
Ключові слова: модель типу Бусінеска, потенціал швидкості, дисперсія, двошарові моделі, вільні
параметри.
Аннотация: В настоящей работе дан альтернативный вывод однослойной и двухслойной нелинейной
модели типа Буссинеска порядка
2( )O µ ( µ -параметр дисперсии) в терминах градиента от задаваемого
потенциала скорости на поверхностях слоя жидкости, определяемых свободными параметрами.
Проведено сравнение линейных дисперсионных и нелинейных характеристик с моделями типа Буссинеска
порядка 2( )O µ , записанными в терминах компонент вектора скорости, равного градиенту потенциала,
заданного на произвольных поверхностях слоя воды, а также в терминах средней скорости.
Ключевые слова: модель типа Буссинеска, потенциал скорости, дисперсия, двухслойные модели,
свободные параметры.
1. Введение
Уравнения двуxмерных нелинейно-дисперсионных процессов типа Буссинеска за последнее
десятилетие стали основным инструментом моделирования трансформации волн в прибрежной
зоне моря. Предположение о соотношении между параметрами нелинейности и дисперсии
0
0 0
,
a h
h
ε µ
λ
= = , где 0 0, ,h a λ – соответственно характерные глубина воды, амплитуда и длина
поверхностной волны, отображено в разных формах уравнений типа Буссинеска с разным
порядком точности относительно обоих параметров. Такие уравнения для 1≤µ являются
асимптотически эквивалентными, но для более коротких волн характеристики уравнений типа
Буссинеска имеют значительные отличия [1–3]. Точность этих характеристик, одной из которых
есть фазовая скорость, определяющая основные процессы трансформации волны, зависит от
точности линейного дисперсионного соотношения [1]. Как отмечено Мадсеном [4], Перегрином в
1967 г. было получено “условное”, осредненное по глубине, уравнение Буссинеска с ограниченной
областью применения ( )khΩ : 3,0<kh , где k – волновое число, h – глубина воды, что связано со
слабым описанием дисперсионных процессов. В последнее десятилетие ограничение точности
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 9
моделей типа Буссинеска было преодолено для более глубокой воды, основываясь на работах [5]
и [6] с предположением о слабо-нелинейном соотношении 2( )Oε µ= и соответствующим
ограничением для линейных характеристик: 5,1<kh и 3<kh . Подход Нвогу [6], где определяется
скорость на произвольном сечении слоя воды, использован в работе Вея [7] с сохранением в
уравнении типа Буссинеска членов порядка 2( )O µ и произвольного порядка ε . Согласно [4], в
1953 г. Серре получил альтернативное одномерное уравнение Буссинеска для h const=
относительно горизонтальной скорости, осредненной по глубине. Уравнение имеет порядок 2( )O µ
и является полно-нелинейным, т.е. без ограничений на порядок параметра ε . В последующие
десятилетия аналогичные уравнения были получены Су и Гарднерем [4] для однородной глубины.
В одномерном и двухмерном случае для переменной глубины уравнение такого типа представлено
в [8, 9]. При этом область моделирования таких уравнений 5,1≤kh .
Уравнения типа Буссинеска с улучшенной линейной дисперсией с помощью повышения
порядка производных в уравнении момента движения представлены в работе [4] в терминах
средней скорости для ( )Oε µ= , а также скорости, задаваемой на произвольной поверхности слоя
жидкости, при сохранении любого порядка параметра ε . В работе [10] метод [4] использован для
уравнения типа Серре. Дальнейшее увеличение области глубокой воды для моделей типа
Буссинеска проводилось с помощью сохранения старших производных, соответствующих более
высокому порядку дисперсии. Так, в [11], отбрасывая слабо-нелинейное предположение и оставляя
члены порядка 4( )O µ , была удвоена точность линейной дисперсии до 6=kh . В работах [12, 13]
при использовании численных аппроксимаций высокого порядка для различных уровней свободной
поверхности показано расширение области до 40<kh для линейных и нелинейных характеристик.
Линеттом и Лиу [14] была разработана многослойная модель типа Буссинеска порядка 2( )O µ ,
основанная на подходе Нвогу [6] для каждого слоя воды, определяющегося свободными
параметрами. Точность этой модели зависит от количества слоев и может быть расширена до
значительных величин kh .
В настоящей работе дан альтернативный работам [14] и [15] вывод однослойной и
двухслойной полностью нелинейной модели порядка 2( )O µ , а также проведено сравнение
линейных дисперсионных и нелинейных характеристик с полученными ранее в [10, 14–16]. Кроме
того, показано взаимно однозначное соответствие между полученной моделью и моделями [14, 15].
2.1. Однослойная модель порядка 2( )O µ и любого порядка параметра нелинейности ε в
терминах градиента от задаваемого потенциала скорости на поверхности сечения
1
z zα=
слоя жидкости
Пусть плоскость горизонтальных координат xoy совпадает с невозмущенной поверхностью воды,
ось z направлена вверх. Запишем уравнения движения и неразрывности Эйлера для идеальной
жидкости:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 10
1
( ) 0
u u
u u w p
t z ρ
∂ ∂+ ∇ + + ∇ =
∂ ∂
� �
� �
, (1)
1
( ) 0
w w p
u w w g
t z zρ
∂ ∂ ∂+ ∇ + + + =
∂ ∂ ∂
�
, (2)
0
w
u
z
∂∇ + =
∂
�
. (3)
Здесь ( , )u u v=� , w – соответственно горизонтальные и вертикальная компоненты скорости
жидкости, constρ = – плотность жидкости, p – давление, g – ускорение свободного
падения, ( / , / )x y∇ = ∂ ∂ ∂ ∂ .
Условия на дне ( , , )z h x y t= − , где h – глубина жидкости, и на свободной поверхности
( , , )z x y tζ= запишутся в виде
( ) 0, th u h w z h+ ∇ + = = −�
, (4)
( ) 0, t u w zζ ζ ζ+ ∇ − = =�
. (5)
Аппроксимация уравнений (1) – (3) с помощью разложения искомых функций по степеням
вертикальной координаты z с учетом параметров нелинейности ε и дисперсии µ приводит
уравнения Эйлера к уравнениям типа Буссинеска.
Предполагая потенциальность движения жидкости
, , x y zu v wϕ ϕ ϕ= = = , (6)
дадим альтернативный вывод однослойной и двухслойной модели типа Буссинеска в терминах
скоростей, равных градиенту от задаваемого потенциала скорости
1,
[ ( , , , )]u x y z tαϕ ϕ= ∇ = ∇�ɶ ɶ на
произвольной поверхности слоя жидкости. Покажем взаимно однозначное соответствие таких
моделей с моделями, записанными в терминах скоростей
1
ˆ [ ( , , , )]z zu x y z t
α
ϕ == ∇�
на этих
поверхностях слоя жидкости. Дисперсионные соотношения однослойных моделей в терминах
компонент скорости ˆ( , , )u x y t
�
содержат один свободный параметр 1α , соответствующий выбору
сечения с поверхностью
1
z zα= и скорости ˆ( , , )u x y t
�
, через которую в дальнейшем определяются
искомые скорости потенциального движения рассматриваемого слоя жидкости. К таким моделям
относятся модели [4, 6, 7, 15, 16]. В работе [11] для определения поля скоростей используются два
свободных параметра, связанные с поверхностями
11 12
, z zα α .
Так как движение жидкости потенциальное, уравнения (1) – (5), с учетом (6), примут
следующий вид:
2 ( ) 0, xx yy zz h zµ ϕ ϕ ϕ ς+ + = − < < , (7)
2
2 ( ) 0, t x x y y zh h h z h
µ µ ϕ ϕ ϕ
ε
+ + + = = − , (8)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 11
2 2 ( ) 0, t x x y y z zµ ς εµ ϕ ς ϕ ς ϕ ες+ + − = = , (9)
2 2 2 2 2 21 1
[( ) ( ) ] ( ) 0,
2 2t x y z zµ ϕ µ ς εµ ϕ ϕ ε ϕ ες+ + + + = = . (10)
Здесь
' ' '
'0
0 0 0 0
, , , ,
ghx y z
x y z t t
hλ λ λ
= = = =
' '
'0
0 0 0 0 0
, ,
h h
h
h a a gh
ςς ϕ ϕ
λ
= = = ,
где ' ' ' ' ' ' ', , , , , ,x y z t h ζ ϕ – размерные переменные, а масштабные коэффициенты показаны
на рис. 1.
Рис. 1. Схема для однослойной модели жидкости
Интегрируя (7) по области h z ες− < < , с учетом (8), (9), получим уравнение неразрывности в
следующем виде:
1
0t t
h
h dz
ες
ς ϕ
ε −
+ + ∇ ⋅ ∇ =∫ . (11)
Решение будем искать в виде ряда
0
( ) ( , , )n
n
n
h z x y tϕ ϕ
∞
=
= +∑ . (12)
Подставляя (12) в условие на дне (8), с точностью до членов порядка 4( )O µ , будем иметь
2
2 4
1 0 ( )th h O
µϕ µ ϕ µ
ε
= ∇ ⋅∇ − + . (13)
После подстановки (12) в уравнение неразрывности (7) получим рекуррентные соотношения,
позволяющие записать потенциал скорости в виде
2 2 2 4
0 0 0
1 1
[ ]( ) ( ) ( )
2th h z h z h Oϕ ϕ µ ϕ ϕ µ
ε
= − ∇ ⋅ ∇ + + + ∇ + +
. (14)
Здесь
0 ( , , , )x y h tϕ ϕ= − . (15)
Пусть
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 12
1
( , , , )x y z tαϕ ϕ=ɶ . (16)
Так как 2
0 ( )Oϕ ϕ µ= +ɶ , то, инвертируя соотношение (14) относительно функции 0ϕ , с учетом (16),
приведем разложение (14) к виду
{ }2 2 2 4
1 2[ ( )] [ ( ) ] ( )Ah z h F Bh z h F Oϕ ϕ µ µ= + − + + − + +ɶ ɶɶ , (17)
где 1
1 1 1
'
' ' ' 2
1 1
0
, , ,
z
Ah h z z z h B A
h
α
α α α α β ζ= + = = + = , (18)
2
1 2
1 1
,
2tF h h Fϕ ϕ
ε
= ∇ ⋅∇ + = ∇ɶ ɶɶ ɶ . (19)
Здесь функции , A B соответствуют обозначениям, принятым в [8], 1 1, α β – произвольные
параметры, которые в дальнейшем будут определены из сравнения линейных дисперсионных и
нелинейных характеристик с соответствующими характеристиками согласно волновой теории
Стокса.
Подставляя выражение для потенциала (17) в уравнение Бернулли (10) на свободной
поверхности z ες= и беря горизонтальный оператор градиента от обеих частей (10), придем к
следующему уравнению:
{ }
{ }
{ } { }
2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 4
1 2 1 2
( ) [ ] [ 2 ]
1
[ 2 ] [ 2 ]
2
[ ] [ ] ( ).
t t t t
t
HF H F h F HF
F HF H F H F F h HF h
AhF Bh F AhF Bh F O
ϕ ς ε ϕ ϕ µ µ
εµ εµ ϕ
µ εµ ϕ µ
∇ + ∇ + ∇ ∇ ∇ − ∇ + − ∇ + +
+ ∇ + − ∇ ∇ ∇ + ∇ + ∇ + ∇ +
+ ∇ + + ∇ ∇ ⋅ ∇ + =
ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ
ɶ ɶ ɶ ɶɶ
(20)
Уравнения (11), (20), с учетом (17), представляют собой замкнутую систему относительно функций
( , , ), ( , , )x y t x y tϕ ζ∇ ɶ , определяющих искомый потенциал скорости движения однослойной
жидкости в приближении 2( )O µ . Линейный анализ Фурье для уравнения (11), с учетом (17), и
уравнения (20) дает дисперсионное соотношение вида
2 2
2 1 1
2
2 2
1 1
1 1
1 [ ( 2 ) ]( )
2 3
1
1 ( 2 )( )
2
kh
gk h kh
α αω
α α
− + +
=
− +
. (21)
Значение свободного параметра 531,01 −=α соответствует оптимальному приближению
соотношения (21) к линейному дисперсионному соотношению Стокса 2 2/ th( ) /ghk kh khω = . На
рис. 2 это приближение обозначено кривой (). Случаи 1 1α = − и 1 0α = соответствуют кривым
( ⋅ ⋅ ⋅ ) и (−−−). Отметим, что дисперсионное соотношение (21) совпадает с полученным ранее в
работах для однослойных моделей, записанных в терминах скорости ˆ( , , )u x y t
�
на произвольной
поверхности слоя жидкости [6, 7, 11, 15, 16], где параметр 1α равен числу Нвогу.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 13
2.2. Однослойная модель в терминах средней скорости u
�
Определим среднюю скорость в слое жидкости h z ες− < < как
1
h
u dz
H
ες
ϕ
−
= ∇∫
�
, (22)
где H h ες= + . (23)
Тогда уравнение неразрывности (11) перепишется в виде
1
( ) 0t th Huς
ε
+ + ∇ =
�
. (24)
Принимая во внимание (22), инвертируем горизонтальный градиент от обеих частей (17):
{ }
2
2 2 2
1 2 1 2 1 22 3
H H
u F h HF h F F AhF Bh Fϕ µ µ
∇ = + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ − ∇ +
�
ɶ . (25)
Здесь
1 2
1 1
,
2tF h u h F u
ε
= ∇ ⋅ + = ∇� �
. (26)
В случае
1
, , 0z h A Bα = − = и соотношение (25) для ϕ∇ ɶ совпадает с приведенным в [17].
Подставляя в полученное уравнение движения (20) значение ϕ∇ ɶ , выраженное через среднюю
скорость u
�
из (25), мы придем к уравнению следующего вида:
{ }
{ }
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 4
1 2 1 2
[ ] [ 2 ]
2 3
1
[ ] [ 2 ]
2 3 2
[ 2 ] ( ).
t t t t
t
H H
u F h HF h F F H F HF h F HF
H H
u u u F h HF h F F F HF
u H F H F F h hF h O
µ ς µ
ε ε εµ
εµ µ
+ ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ − ∇ + + + +
+ ∇ + ∇ ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + −
− ∇ ∇ + ∇ + ∇ + ∇ =
�
� � �
�
(27)
Уравнение (27) может быть переформировано к виду уравнения Серре, представленного в [9]:
( ) 2 4( )tu u u g D Oε ς µ µ+ ∇ + ∇ − =� � �
, (28)
где
3 2
2
1
,
3 2 2
(( ) ( ) ), ( )( ).
H H H
D R Q h R Q
H
u
R u u u u Q h u u h
t t
ε ε
= ∇ + − ∇ +
∂ ∂= ∇ + ∇ ∇ − ∇ = ∇ + ∇ ∇
∂ ∂
�
� � � � � �
Линейное дисперсионное соотношение для системы уравнений (24), (27)
2
2
2
1
1
1 ( )
3
gk h kh
ω =
+
(29)
соответствует кривой ( ● ● ● ) на рис. 2.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 14
Рис. 2. Отношение фазовых скоростей / Stokesc c для однослойных моделей. Кривая () – (21), ( ⋅ ⋅ ⋅ )
– 1 1α = − , (− − −) - 1 0α = , ( ● ● ● ) – (29), (■ ■ ■) – (30)
Таким образом, переход от ϕ∇ ɶ к искомым функциям в терминах средней скорости u
�
не
приводит к сохранению свободных параметров 1α , 1β (определяющих поверхность
1
z zα= ) в
уравнении неразрывности (24) и уравнении движения (27) и, следовательно, к улучшению с
помощью этих параметров дисперсии для модели однослойной жидкости, записанной в терминах
u
�
. Поэтому соотношения (17), (25) могут быть использованы для вычисления скорости u ϕ= ∇�
только через значение потенциала на заданной поверхности
1
z hα = − .
В работе [10] показано применение метода [4], повышающего порядок производных в
уравнениях (24), (28), что приводит к дисперсионному соотношению вида
2 2
2
2
1 ( )
1
1 ( )( )
3
kh
gk h kh
ω α
α
+=
+ +
. (30)
При 0α = дисперсионное соотношение (30) совпадает с (29). В (30) произвольный параметр α не
связан с какой-либо поверхностью, однако для 2
1 1
1 1
( 2 )
2 3
α α α= − + − дисперсионное
соотношение (30) совпадает с (21). При этом 0567,0=α (кривая (■ ■ ■), рис. 2) для 531,01 −=α
(кривая (), рис. 2).
2.3. Однослойная модель в терминах скорости û
�
, определенной на произвольной
поверхности
1
z zα=
Пусть
[ ]
1
ˆ
z zu
α
ϕ == ∇�
. (31)
0 2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
c/
cS
t
kh
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 15
Тогда, взяв горизонтальный градиент от обеих частей соотношения (17) и инвертируя его
относительно ϕ∇ ɶ , с учетом (31), получим
{ }2 2 4
1 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ 2( 1) ] [ 2 ] ( )u hF A h F A hF Ah F AhF Oϕ µ µ µ∇ = + ∇ − ∇ + − + ∇ + +�
ɶ , (32)
где 1 2
1 1ˆ ˆˆ ˆ, .
2tF h u h F u
ε
= ∇ ⋅ + = ∇� �
(33)
Подстановка в уравнение (20) функции ϕ∇ ɶ , выраженной через скорость û
�
, приводит к
аналогичным уравнениям движения и сохранения массы для однослойных моделей, полученных в
работах [4], [11], [16]. При этом линейные приближения уравнений (11), (20) совпадают с
линейными приближениями этих моделей (при сохранении одинакового порядка 2( )O µ ) и,
следовательно, (21) (кривая (), рис. 2) совпадает с полученным ранее линейным дисперсионным
соотношением в [4, 11, 16]. Как отмечено Мадсеном и Шаффером в [4], точность линейных
дисперсионных характеристик для больших волновых чисел очень чувствительна к выбору
скорости в качестве переменной и порядку пространственных и временных производных уравнений
модели. В данном случае переход к средней скорости в уравнении неразрывности и уравнении
движения приводит в области 30 << kh к большей погрешности (рис. 2, кривая ( ● ● ● )), чем для
уравнений, искомая скорость которых есть функция, записанная на некоторой поверхности
1
zα
(рис. 2, кривая ()). Однако повышение производных модели Серре с помощью метода [13]
позволяет улучшить дисперсионное соотношение, что приводит к совпадению соответствующих
кривых () и (■ ■ ■) на рис. 2.
2.4. Радиационные напряжения
Согласно [18], радиационные напряжения, полученные в результате интегрирования по глубине
горизонтального и вертикального моментов движения Эйлера (1), (2), с учетом уравнения
неразрывности (3), условий на дне (4) и свободной поверхности (5), запишутся так:
2 ' 21 1
[ ] [ ( ) ( ) ]
2 2ij i j ij ij
h
S u u p dz g h g
ζ
ρ δ ρ ζ ρ ζ δ
−
= + + − + +∫ , (34)
где 2( )
z z
p g z w uwdz vwdz
x y
ζ ζ
ρ ζ ρ ρ ρ∂ ∂= − − + +
∂ ∂∫ ∫ (35)
– среднее по пространству давление (атмосферное давление на свободной поверхности жидкости
предполагается равным нулю). Здесь 'ζ ζ ζ= + , ζ − среднее отклонение, вызванное наличием
волн и течений, и 'ζ – отклонение от среднего уровня, 1 2, u u u v= = , , 1,2i j = . Черта сверху в
(34) означает осреднение по времени.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 16
Принимая во внимание полученные соотношения (17), (25) и (32), радиационные
напряжения можем записать соответственно в терминах ϕ∇ ɶ , u
�
и û
�
. Так, в терминах ϕ∇ ɶ
радиационные напряжения будут иметь вид с точностью до членов порядка 4( )O µ :
2 2 2 3
11 1 1 2 1
' 2
1 1
( ) 2 [ ( ) ] [ ]
2 6
1
( ) ,
2
x x x x x x x
xy
S H F h AhF Bh F H F h H H
R g
ρ ϕ ρϕ ϕ ϕ
ρ ρ ζ
= − − + + + ∆ + ∆ −
− −
ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ
(36)
где 2 2 2
1 1 1
1 1 1
[ ] [ ] [ ]
2 2 2xy x x y yR F H H F H H F H Hϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = ∆ + ∆ + + ∆ + + ∆
ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ . (37)
22S получается перестановкой ,x y .
{ }2 2
12 1 1 2 1 1 2
2 3
1 1
[ ( ) ] [ ( ) ]
1 1
[ ( ) ( )] ( ) ,
2 6
x y x y y y x x
x y y y x x x y y x
S F h AhF Bh F F h AhF Bh F H
F h F h H H
ρ ϕ ϕ ϕ ϕ
ρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= − − + − − + −
− + ∆ + + ∆ + ∆ + ∆
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
(38)
21 12S S= .
(В (36) – (38) черта сверху означает осреднение по времени).
В терминах средней скорости u
�
полученные компоненты радиационного напряжения перепишутся
с учетом (25), (26) для
1
z hα = − . В терминах скорости û
�
– с учетом (32), (33). При этом
2 ( ) 2 ( ), x y
x yu G v Gϕ µ ϕ µ= + = +ɶ ɶ , (39)
2 ( ) 2 ( )ˆ ˆˆ ˆ, x y
x yu G v Gϕ µ ϕ µ= + = +ɶ ɶ , (40)
где ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ, , ,x y x yG G G G – непрерывные функции, определяемые соответственно из (25),
(26) и (32), (33).
3.1. Вывод двухслойной модели типа Буссинеска порядка 2( )O µ и любого порядка
параметра нелинейности ε
Рассмотрим область идеальной несжимаемой жидкости, разделенной поверхностью ( , , )z x y tη=
на два слоя, содержащих соответствующие поверхности
1 3 1 2, ,z z к кα α = аналогично двухслойной
модели [14] (рис. 3). Переход от размерных переменных к переменным с соответствующими
масштабными коэффициентами проведем аналогично [14]:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 17
' ' '
0 0
'' ' '
'0
0 0 0 1
' 20 0
2
00 0 0
, , , 1,2,
, , , , ,
, ,
n
n
n
n
n
n
n
x y z
x y z n
d
zgh h
t t h z
h a d d
h d h
a gh
α
α
λ λ
ς ης η
λ
ϕ ϕ µ
λλ
= = = =
= = = = =
= =
(41)
' '
0 0 0 0
' 0
0 0 1
0 0 0 1
1 1
, ,
, , .n
u u v v
x c y c
d a
w w c gh
z c d
ϕ ϕ
ε ε
ϕ ε
ε λ
∂ ∂= = = =
∂ ∂
∂= = = =
∂
(42)
Рис. 3. Схема двухслойной модели жидкости
Тогда уравнения неразрывности и движения, а также условие на свободной границе первого слоя
запишутся следующим образом:
2 (1) (1) (1)1
1 1
0
( ) 0, n xx yy zz
d
z
h
µ ϕ ϕ ϕ η ε ς+ + = < < , (43)
(1) (1) (1)
0 1 12
1
1
( ) , t x x y y z zς ε ϕ ς ϕ ς ϕ ε ς
µ
+ + = = , (44)
2
(1) (1) 2 (1) 2 (1) 20
0 0 1 12 2
1
1 1
[( ) ( ) ] [ ] 0,
2 2 ( )t x y z z
µϕ ε ϕ ϕ ε ϕ ς ε ς
µ
+ + + + = = . (45)
Для второго слоя уравнения неразрывности и движения, условие на дне запишутся
2 (2) (2) (2)2 0 1
2 2
0 2 2
( ) 0, xx yy zz
d h d
h z
h d d
µ ϕ ϕ ϕ η+ + = − < < , (46)
(2) (2) (2) 0
22
0 2 2
1 1
0, t x x y y z
h
h h h z h
d
ϕ ϕ ϕ
ε µ
+ + + = = − . (47)
К уравнениям (43) – (44), (46) – (47) добавим условия непрерывности на разделяющей поверхности
( , , )z x y tη= для горизонтальных и вертикальных компонент скоростей:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 18
1 1
2
2
(1) (1) (2) (2)[ , ] [ , ]x y z x y d
z
d
η η
ϕ ϕ ϕ ϕ= =
= , (48)
1 1 2 1
2
2
(1) (2)1
2
[ ] [ ]z z z d
z
d
d
dη η
ϕ ϕ= =
= . (49)
Проинтегрируем уравнения неразрывности (43), (46) соответственно по области
1 1zη ε ς< < и 0 1
2
2 2
h d
h z
d d
η− < < с учетом граничных условий на дне, свободной поверхности и
условия непрерывности (49) для вертикальных компонент на смежной поверхности η . После
сложения проинтегрированных уравнений получим уравнение неразрывности для всей
рассматриваемой области:
1
2 1
0
2
(2) (1)2 1
2 1
0 0 0
1
0
d
d
t t
h
h
d
d d
h dz dz
h h
η
ε ς
η
ς ϕ ϕ
ε −
+ + ∇ ∇ + ∇ ∇ =∫ ∫ . (50)
Будем искать решение для второго слоя в виде
(2) (2)0
2
2
( ) ( , , )m
m
m
h
z h x y t
d
ϕ ϕ= +∑ . (51)
Подставляя (51) в граничное условие на дне (47) и уравнение (46), получим с точностью до членов
порядка 4
2( )O µ :
(2) (2) 2 (2) (2) 2 40 0
0 2 1 2 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( )
h h
F z h F z h O
d d
ϕ ϕ µ µ
= − + + + +
, (52)
где (2) (2) 0
0
2
( , , , )
h
x y h t
d
ϕ ϕ= − ,
(2) (2) (2) 2 (2)2
1 0 2 0
0 0
1 1
,
2t
d
F h h F
h
ϕ ϕ
ε
= ∇ ⋅∇ + = ∇ . (53)
Решение в области 1 1zη ε ς< < будем искать в следующем виде:
(1) (1)
1
0
( ) ( , , )m
m
m
z x y tϕ η ϕ
∞
=
= −∑ . (54)
Подставляя выражение (54) в уравнение неразрывности (43) и принимая во внимание условие
непрерывности вертикальных компонент (49), получим искомый потенциал в верхнем слое:
{ }(1) (1) 2 (1) (1) 2 4 2 2
0 1 1 1 2 1 1 1 2( ) ( ) ( , )F z F z Oϕ ϕ µ η η µ µ µ= − − + − + , (55)
где (1) (1)
0 ( , , , )x y tϕ ϕ η= , (56)
(1) (2) 2 (2) (1) 2 (1)2 1
1 0 2 0 2 0
0 0 0
1 1
, .
2t
d d
F h h H F
h h
ϕ ϕ ϕ
ε
= ∇ ⋅∇ + + ∇ = ∇ (57)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 19
3.2. Двухслойная модель типа Буссинеска порядка 2( )O µ и любого порядка параметра
нелинейности ε в терминах ϕ∇ ɶ
Запишем потенциалы (1) (2),ϕ ϕ соответственно на поверхностях
1 2
,z zα α аналогично (17):
{ }(1) (1) 2 (1) 2 2 (1) 4 4
1 1 1 1 1 1 2 1 2[ ( )] [ ( ) ( , )A z F B z F Oϕ ϕ µ η η η η µ µ= + − − + − − +ɶ ɶɶ , (58)
(2) (2) 2 (2) 2 2 (2) 40 0
2 2 2 1 2 2 2 2
2 2
[ ( )] [ ( ) ( )
h h
A h z h F B h z h F O
d d
ϕ ϕ µ µ
= + − + + − + +
ɶ ɶɶ , (59)
где
1 2
(1) (2)( , , , ), ( , , , )x y z t x y z tα αϕ ϕ ϕ ϕ= =ɶ ɶ , (60)
1 2
2 20
1 2 1 1 2 2
2
, , ,
h
A z A h z h B A B A
dα αη η= − = + = = , (61)
(1) (2) 2 (2) (1) 2 (1)2 1
1 2 2
0 0 0
1 1
,
2t
d d
F h h H F
h h
ϕ ϕ ϕ
ε
= ∇ ⋅∇ + + ∇ = ∇ɶ ɶɶ ɶ ɶ , (62)
(2) (2) (2) 2 (2)2
1 2
0 0
1 1
,
2t
d
F h h F
h
ϕ ϕ
ε
= ∇ ⋅∇ + = ∇ɶ ɶɶ ɶ . (63)
Из условия непрерывности горизонтальных компонент скорости на разделяющей слои
поверхности имеем
(1) 2 (1) 2 (1) 2 (1)
1 1 1 1 1 1 2
(2) 2 (2) (2) (2) (2)2 0
1 2 1 2 1 1 2 2
1 1
2 (2) 2 (2) 4 2 2 42
1 2 1 2 2 1 1 2 1
1
[ ]
[ ] [ 2 ]
[ ] ( , ).
F A F B F
d h
H F H F h F H F
d d
d
A hF B h F O
d
ϕ µ η µ η η
ϕ µ
µ µ µ µ µ
∇ + ∇ + ∇ + =
= ∇ − ∇ + ∇ + ∇ + +
+ ∇ + +
ɶ ɶ ɶɶ
ɶ ɶ ɶ ɶɶ
ɶ ɶ
(64)
Подставляя (51) в уравнение Бернулли (45) на свободной поверхности 1 1z ε ς= , придем к
следующему уравнению движения:
{ }
{ }
(1) (1) (1)
0
2 (1) (1) (1) (1)
1 1 1 2 1 1 1 2
2 (1) (1) (1) (1) (1)
0 1 1 1 2 1 1 1 2
2 (1) (1) (1) (1)
0 0 1 1 2 1 1 2
2 (1) 2
1 1 1 1
( )
[ 2 ] [ ]
[ ( 2 ) ( )]
[ 2 ] [ 2 ]
[
t
t t tF H F H F H F
F H F H F H F
F H F F H F
A F B
ϕ ς ε ϕ ϕ
µ η
ε µ ϕ η
ε µ
µ η η
∇ + ∇ + ∇ ∇ ∇ +
+ ∇ + − + +
+ ∇ ∇ ⋅ ∇ + − ∇ + ∇ +
+ + ∇ + +
+ ∇ +
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ { }(1) 2 (1) (1) 2 (1)
2 0 1 1 1 1 2
4 2 2 4
1 1 2 1
] [ ]
( , , ).
tF A F B F
O
ε µ ϕ η η
µ µ µ µ
+ ∇ ∇ ⋅ ∇ + =
=
ɶ ɶ ɶɶ
(65)
Подставляя (58), (59) в уравнение неразрывности (60), перепишем его в виде
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 20
{ }
(1) (2)1 2
1 2
0 0 0
2 (1) (1) 2 (1) 3 (1)
1 1 1 1 2 1 1 1 2
2 (2) (2) 2 (2) 3 (2)0
2 2 1 2 2 2 1 2 2
2
2 (1) 2 (1)
1 1 1 1 1 2
1
1 1
[ ( ) ]
2 3
1 1
[ ( ) ]
2 3
[ ]
t t
d d
h H H
h h
H F H F H F H F
h
H h F H F H F H F
d
H A F B F
ς ϕ ϕ
ε
µ η
µ
µ η η
+ + ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ ∇ −
− ∇ ⋅ − ∇ + + ∇ + ∇ −
− ∇ ⋅ ∇ + + ∇ + ∇ +
+ ∇ ⋅ ∇ + +
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ { }2 (2) 2 (2)
2 2 2 1 2 2
4 2 2 4
1 1 2 2
[ ]
( , , ).
H A hF B h F
O
µ
µ µ µ µ
∇ ⋅ ∇ + =
=
ɶ ɶ
(66)
Здесь
(1) (1)2 1
1 2 2 2 2 1
0 0 0
1 1
,
2t
d d
F h u h H u F u
h hε
= ∇ ⋅ + + ∇ = ∇� � �ɶ ɶ ɶɶ ɶ , (67)
(2) (2) 2
1 2 2 2
0 0
1 1
,
2t
d
F h u h F u
hε
= ∇ ⋅ + = ∇� �ɶ ɶɶ ɶ , (68)
где (1) (2)
1 2, u uϕ ϕ= ∇ = ∇� �ɶ ɶɶ ɶ . (69)
Система уравнений (64) – (66) образует замкнутую систему уравнений для определения
неизвестных функций (1) (2),ϕ ϕ∇ ∇ɶ ɶ двухслойной модели с тремя свободными параметрами
1 2
, ,z zα α η .
Средние скорости 1 2, u u
� �
, введенные по формулам
1
(1)
1 1 1 1
1
1
, u dz H
H
ε ς
η
ϕ ε ς η= ∇ = −∫
�
, (70)
1
2
0
2
(2) 1 0
2 2 2
2 2 2
1
,
d
d
h
h
d
d h
u dz H h
H d d
η
ϕ η
−
= ∇ = +∫
�
, (71)
могут быть использованы для задания начальных и граничных условий для функций
(1) (2)
1 2,u uϕ ϕ= ∇ = ∇� �
после инвертирования соответствующих функций (1) (2),ϕ ϕ∇ ∇ɶ ɶ :
(2) 2 (2) (2) (2) 2 (2) 40
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
2
1 1
[ ] ( )
2 3
h
u F H F h H F H F O
d
ϕ µ µ
∇ = + + ∇ + ∇ + ∇ +
�
ɶ , (72)
(1) 2 (1) (1) (1) 2 (1) 4 2 2 4
1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2
1 1
[ ] ( , , )
2 3
u F H F H F H F Oϕ µ η µ µ µ µ ∇ = + − + ∇ + ∇ + ∇ +
�
ɶ . (73)
3.3. Взаимно однозначное соответствие между скоростями 1,2 1,2
ˆ, u u
� �ɶ
Соотношение между функциями 1,2 1,2
ˆ, u u
� �ɶ , с учетом (58), (59), имеет следующий вид:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 21
{ }2 (1) (1) 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
ˆ ˆ ˆ[( 1) ] 2 [( 1) ] ( )u u A h h A F A h A h h A F Oµ µ= − − ∇ + ∇ + − ∇ + ∇ +� �ɶ , (74)
{ }2 (2) (2) 4
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ[( 1) ] 2 [( 1) ] ( )u u A h h A F A h A h h A F Oµ µ= − − ∇ + ∇ + − ∇ + ∇ +� �ɶ , (75)
где (1) (1)2 1
1 2 2 2 2 1
0 0 0
1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ,
2t
d d
F h u h H u F u
h hε
= ∇ ⋅ + + ∇ = ∇� � �
, (76)
(2) (2) 2
1 2 2 2
0 0
1 1ˆ ˆˆ ˆ,
2t
d
F h u h F u
hε
= ∇ ⋅ + = ∇� �
, (77)
или в обозначениях [14]:
1 1 3 3
2 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
ˆˆ ˆˆˆ[ ] , [ ]u u T S z z u u T S z zα α α αµ µ= − + ∇ = − + ∇
��� � � � ɶɶ ɶ , (78)
где 1 2
1 1 2 2
0 0
ˆ ˆˆ ˆ,
d d
S u S u
h h
= ∇ = ∇� �
, (79)
1
1 2 1 2 2 2
2 0
1ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ[ ] , = ( )+ t
d
T S S T T hu h
d
η
ε
= − + ∇ �
. (80)
Можно показать, что подстановка (74), (75), с учетом (76), (77), или подстановка (78), с
учетом (79) – (80), в уравнения (64) – (66) при сохранении порядка аппроксимации 2( )O µ приводит
к уравнениям двухслойной модели [14].
Запишем поверхности, соответствующие рис. 3, в виде
1 1 1z hα α β ς= + , 2 2hη α β ς= + ,
3 3 3z hα α β ς= + , (81)
где 1 2 3 1 2 3, , , , ,α α α β β β – произвольные параметры, которые должны быть определены.
Перейдя к размерным переменным, проведем анализ Фурье системы уравнений (64)–(66) в
одномерном случае для постоянной глубины. Решение будем искать в виде
2 2
1 2
(1) 2 (2) 2
1 1 1
(1) 2 (2) 2
2 2 2
...,
...,
...,
i i
i i
i i
a e a e
u u e u e
u u e u e
θ θ
θ θ
θ θ
ζ ε ε
ε ε
ε ε
= + +
= + +
= + +
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
(82)
где kx tθ ω= −ɶ ɶ , k – волновое число, ε – параметр порядка аппроксимации. Такой вид
решения (82) будет использован для нахождения линейного дисперсионного соотношения и
амплитуды нелинейного приближения для определения соответственно параметров 1 2 3, ,α α α и
1 2 3, ,β β β .
В случае h const= из (74), (75) или (78) следует равенство скоростей
2 2
1 2 1 2 1 2ˆ ˆ, , ( , )u u u u O µ µ= +ɶ ɶ . (83)
Кроме того, в линейном приближении в этом случае уравнения (64) – (66) совпадают с
уравнениями модели [14]. Тогда анализ Фурье уравнений (64) – (66) в терминах 1 2, u uɶ ɶ приводит к
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 22
следующим соотношениям, совпадающим с аналогичными соотношениями, полученными ранее в
[14] для двухслойной модели:
2 2 4
1 2
2 2 4
1 2
1 ( ) ( )
1 ( ) ( )
p kh p kh
gk h q kh q kh
ω + +=
+ +
ɶ
, (84)
3
(1) 1 8
1 2 4
1 2
[ ( ) ]
[1 ( ) ( ) ]
ga kh kh
u
h q kh q kh
δ
ω
−=
+ +
ɶ
ɶ , (85)
3
(1) 1 7
2 2 4
1 2
[ ( ) ]
[1 ( ) ( ) ]
ga kh kh
u
h q kh q kh
δ
ω
+=
+ +
ɶ
ɶ . (86)
Здесь
1 2 7 1 8 3 4 2 3 8 4 7
1 8 5 6 2 5 8 6 7
, ,
, ,
p p
q q
δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ
δ δ δ δ δ δ δ
= − − − = −
= − − − = −
(87)
где
3 2 2
1 2 2 2 3 2 1 2 1 2
3 2 2 2
4 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 3
2 2 2
5 1 1 2 6 1 2 1 7 1 2 1 2
2 2
8 2 3 1 2 3 1
1
, 1 , ( 2 6 3 ),
6
1
(2 6 6 3 6 3 6 2),
6
1 1
, , ( ) ,
2 2
1
( ) .
2
δ α δ α δ α α α α α
δ α α α α α α α α α α α
δ α α α δ α α α δ α α α α
δ α α α α α α
= − = + = − + −
= − − + + + + +
= − = + = − + +
= + − + −
(88)
В случае hη = − : 2 31, 1α α= − = −
2 2
1 1 1 2 1 1 1 2
1 1 1
( ), 0, ( ), 0
3 2 2
p p q qα α α α= − + + = = − + = (89)
и двухслойная модель (64) – (66) в переменных 1 2, u u
� �ɶ ɶ приводится к однослойной модели (11), (17),
(20). В переменных 1 2
ˆ ˆ, u u
� �
модель (64) – (66) сводится к однослойной модели [15], [16]. Таким
образом, линейные дисперсионные отношения для однослойных и двухслойных моделей,
записанных в терминах u
�ɶ и û
�
, совпадают.
0 2 4 6 8 10
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
c/
cS
t
kh
1
2
Рис. 4. Сравнение отношения фазовых скоростей / Stokesc c для однослойных и двухслойных
моделей. Кривая 1 – (21), 2 – (84)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 23
На рис. 4 показано удвоение области ( )khΩ для двухслойных моделей по сравнению с
однослойными моделями такого же порядка дисперсии 2( )O µ , записанных в терминах 1 2, u u
� �ɶ ɶ или
1 2
ˆ ˆ, u u
� �
.
Собирая члены порядка 2( )O ε (ε - порядок аппроксимации в (82)), после подстановки
рядов (82) в систему одномерных уравнений (64) – (66) для h const= получим нелинейную
поправку для амплитуды волны в виде
2 (1) (1)
2 1 1 2 1 2 3 1 2 3( , , , , , , , , , )a ka G u u khω α α α β β β= ɶ ɶɶ ɶ ɶ ɶ . (90)
Полученное приближение порядка 2( )O ε можно сравнить с приближением второго порядка
волнового решения Стокса [14]:
2 3
2 1
1
[3coth ( ) coth( )]
4
Stokesa ka kh kh= −ɶ . (91)
В настоящей работе для нахождения параметров 1 2 3, ,β β β используется метод оптимизации
среднеквадратичного отклонения для функции
2
2 2( )Stokes
NL
kh
a a∆ = −∑ ɶ . (92)
При этом второе приближение 2aɶ может быть представлено в виде
2 20 21 1 22 2 23 3a a a a aβ β β= + + +ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ , (93)
где (1) (1)
20 21 22 23 20 21 22 23 1 2 1 2 3, , , , , , ( , , , , , , )a a a a a a a a u u khω α α α= ɶɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ . (94)
Так как линейные приближения рассматриваемых однослойных и двухслойных моделей
совпадают, найдем соответствующие параметры нелинейного приближения 1β и 1 2 3, ,β β β для
найденных из дисперсионных соотношений линейных параметров 1α и 1 2 3, ,α α α , где в случае
однослойных моделей 531,01 −=α , а в случае двухслойных воспользуемся значениями [14]:
Таблица 1. α – параметры линейной оптимизации
( )khΩ
1α 2α 3α
51,0 << kh -0,127 -0,256 -0,618
101,0 << kh -0,128 -0,262 -0,618
В случае переменных 1 2
ˆ ˆ, u u
� �
решение системы уравнений (64) – (66) будем искать в виде (82), где
обозначение ∼ заменено на ∧∧∧∧. Тогда для 2â придем к уравнению вида
2 (1) (1)
2 1 1 2 1 2 3 1 2 3
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( , , , , , , , , , )a ka G u u khω α α α β β β= , (95)
где (1) (1) (1) (1)
1 2 1 2 1 1 ˆˆ ˆ ˆ, , , , =u u u u a a ω ω= = ɶɶ ɶ ɶ . (96)
Среднеквадратичное отклонение запишем аналогично (92):
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 24
2
2 2ˆ( )Stokes
NL
kh
a a∆ = −∑ . (97)
Тогда, в случае однослойных моделей, находя второе приближение 2aɶ или 2â как
функцию, соответствующую переменной uɶ или û , оптимизируя погрешность (92), (97) по областям
изменений 1Ω : 51,0 << kh , 2Ω : 101,0 << kh , получим следующие значения параметра 1β :
Таблица 2. 1β – параметр нелинейной оптимизации
51,0 << kh 101,0 << kh
1β 1β
uɶ 0,095004 0,206961
û 0,190006 0,413924
На рис. 5 в случае однослойной модели показано распределение отношений вторых приближений
2 aɶ и 2â к функции 2
Stokesa , которые совпадают при разных значениях параметра 1β .
0 2 4 6 8 10
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
a2
/a
2S
t
kh
1
2
Рис. 5. Сравнение приближений однослойной модели 2 aɶ и 2â к 2
Stokesa .
Кривая 1: 51,0 << kh , кривая 2: 101,0 << kh
В табл. 3, 4 приведены параметры нелинейной оптимизации 1 2 3, ,β β β для двухмерных моделей,
записанных в терминах 1 2, u uɶ ɶ и 1 2ˆ ˆ, u u соответственно ( NL∆ – погрешность нелинейной
оптимизации).
Таблица 3. β – параметры нелинейной оптимизации по области 1Ω
51 << kh
1β 2β 3β NL∆
1 2, u uɶ ɶ -0,068882 -0,250290 -0,005275 0,003
1 2ˆ ˆ, u u -0,137766 -0,250291 -0,010550 0,003
Таблица 4. β – параметры нелинейной оптимизации по области 2Ω
101 << kh
1β 2β 3β NL∆
1 2, u uɶ ɶ 0,107553 0,076485 0,056785 0,014
1 2ˆ ˆ, u u 0,215107 0,076486 0,113571 0,014
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 25
На рис. 6 (двухслойная модель) показаны отношения 2 aɶ и 2â к функции 2
Stokesa , которые
совпадают при разных значениях параметров 1 2 3, ,β β β .
0 2 4 6 8 10
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
a2
/a
2S
t
kh
1
2
Рис. 6. Сравнение приближений двухслойной модели 2 aɶ , 2â и 2
Stokesa . Пунктирная кривая –
нелинейная аппроксимация при 1 2 3, ,β β β =0, кривая 1: 51 << kh , кривая 2: 101 << kh
На рис. 6 кривые, соответствующие отношению 2 2 2ˆ( , ) / Stokesa a aɶ при 1 2 3, ,β β β =0, совпадают
с приведенной в [14]. Кривые, соответствующие областям изменения 51 << kh и 101 << kh ,
совпадают для двухслойной модели (64) – (66), записанной в переменных 1 2, u uɶ ɶ и 1 2ˆ ˆ, u u для
различных наборов параметров 1 2 3, ,β β β . Таким образом, соотношения (74), (75) или (78) дают
взаимно однозначное соответствие между функциями 1 2, u uɶ ɶ и 1 2ˆ ˆ, u u , что приводит к взаимно
однозначному соответствию между моделью (как однослойной, так и двухслойной), полученной в
настоящей работе, и моделью [14–16].
3.4. Радиационные напряжения
Интегрируя по глубине уравнение вертикального момента (2) в каждом слое, запишем аналогично
случаю одного слоя жидкости [18] среднее по пространству давление жидкости в каждом слое:
(1) (1) 2 (1) (1) (1) (1)( ) ( )
z z
p g z w u w dz v w dz
x y
ζ ζ
ρ ζ ρ ρ ρ∂ ∂= − − + +
∂ ∂∫ ∫ , (98)
0 0
0
(2) (2) (2) 2 (2) (2) (2) (2)
0( ) ( )
z z
p g z p w u w dz v w dz
x y
η η
ηρ η ρ ρ ρ∂ ∂= + + − + +
∂ ∂∫ ∫ , (99)
где 0 2 0 2, -hη α η η β ζ= = .
В каждом слое проинтегрируем по глубине уравнения горизонтальных моментов (1) с учетом
уравнения неразрывности (3), а также граничных условий на дне и на свободной поверхности.
Складывая полученные уравнения и принимая во внимание условие непрерывности
горизонтальных и вертикальных компонент векторов скорости, а также давлений обоих слоев на
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 26
разделяющей поверхности
2
zα η= , получим радиационные напряжения в следующем виде
( 0th = ):
0
0
(1) (1) (1) (2) (2) (2) ' 2
2
0
1
[ ] [ ] ( ) ]
2
1
+ ( )( ) ( ) .
2
ij i j ij i j ij ij
h
S u u p dz u u p dz g
g g h
ηζ
η
ρ δ ρ δ ρ ζ δ
ρ η η ζ η ρ ζ
−
= + + + + +
− − − +
∫ ∫
(100)
Полученное выражение для радиационных напряжений может быть записано с учетом (74), (75)
или (78) в терминах 1 2, u u
� �ɶ ɶ или 1 2
ˆ ˆ, u u
� �
.
4. Выводы
В настоящей работе дан вывод полностью нелинейной модели типа Буссинеска порядка 2( )O µ в
терминах
1,2
( , , )u x y zαϕ= ∇�ɶ – градиента от задаваемого потенциала скорости на поверхностях
слоя жидкости
1,2
z zα= , определяемых свободными параметрами. Такой вывод является
альтернативным работам [14] и [15], где однослойная и двухслойная модели типа Буссинеска с
улучшенной дисперсией записаны в терминах скоростей
1,2
ˆ [ ( , , )]z zu x y z
α
ϕ == ∇�
на поверхностях
слоя жидкости
1,2
z zα= .
Сравнение линейных характеристик на примере однослойной модели типа Буссинеска,
записанной в терминах u
�ɶ , û
�
и u
�
, показало равенство дисперсионных соотношений при
сохранении порядка 2( )O µ и повышении порядка производных с помощью метода [4] в уравнении
движения, записанном в терминах средней скорости u
�
.
Так как между скоростями û
�
и u
�ɶ существует взаимно однозначное соответствие, то, как
следствие, получено равенство линейных и нелинейных характеристик двухслойных моделей,
записанных в этих терминах скоростей. Тогда методы оптимизации для отыскания свободных
параметров и область их определения ( )khΩ для одной из моделей могут быть применены к
другой модели с последующим заданием найденных свободных параметров и области их
определения ( )khΩ в качестве входных данных для программного кода.
Полученная однослойная модель (11), (17), (20) и двухслойная модель (64) – (66) типа
Буссинеска порядка 2( )O µ в терминах градиента от задаваемого потенциала скорости на
поверхностях слоя жидкости, определяемых свободными параметрами, могут быть использованы
для решения практических инженерных задач.
Авторы благодарят к.ф.-м.н. Железняка М.И. за консультации при выполнении работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Advances in coastal and ocean engineering / Еd. P. Liu. – World Scientific Publishing. – 1999. – Vol. 5. – 336 p.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 27
2. Dingemans M.W. Water wave propagation over uneven bottoms. Part 2. Non-linear wave propagation. – Danvers,
USA, 1997. – P. 473 – 963.
3. Svendsen Ib A. Introduction to nearshore hydrodynamics // Advanced Series on Ocean Engineering. – Univercity of
Delaver, USA, 2006. – Vol. 24. – 722 p.
4. Madsen P.A., Schaffer H.A. Higer-order Boussinesq-type equations for surface gravity waves: derivation and
analysis // Philosofical Trancations of Royal Society. – 1998. – Vol. 356. – P. 3123 – 3184.
5. Madsen P.A., Sorensen O.R. A new form of the Boussinesq equations with improved linear dispersion
characteristics. Part II. A slowly varying bathymetry // Coastal Engineering. – 1992. – Vol. 18. – P. 183 – 204.
6. Nwogu O. Alternative form of Boussinesq equations for nearshore wave propagation // J. Water Ways Port Coastal
Ocean Engineering, ASCE. – 1993. – Vol. 119. – P. 618 – 638.
7. A fully non-linear Boussinesq model for surface waves. Part 1. Highly nonlinear unsteady waves / G. Wei, J.T.
Kirby, S.T. Grilli et al. // J. Fluid Mech. – 1995. – Vol. 294. – P. 71 – 92.
8. Железняк М.И., Пелиновский Е.Н. Физико-математические модели наката цунами на берег // Сборник
научных работ «Накат цунами на берег». – Горький, 1985. – С. 8 – 33.
9. Железняк М.И., Демченко Р.И. Нелинейно-дисперсионные эффекты генерации волн подвижками дна в
прибрежной зоне // Тезисы докл. “Всесоюзное совещание по вычислительным методам в проблеме цунами”. –
с. Шушенское, Красноярск, ВЦ СО АН СССР, 1987. – С. 52.
10. Демченко Р.И. и др. Нелинейно-дисперсионная модель типа Буссинеска с улучшенной дисперсией / Р.И.
Демченко, П.В. Дикий, М.И. Железняк // Тезисы докл. «Математичне та імітаційне моделювання, МОДС-2007».
– Киев, 2007. – С. 23 – 26.
11. Gobbi M. et al. A fully nonlinear Boussinesq model for surface waves. Part 2. Extension to 4( )O kh / М. Gobbi,
J.T. Kirby, G. Wei // Journal of Fluid Mechanics. – 2000. – Vol. 405. – P. 181 – 210.
12. Agnon Y. et al. A new approach to high order Boussinesq models / Y. Agnon, P.A. Madsen, Н. Schaffer // Journal
of Fluid Mechanics. – 1999. – Vol. 399. – P. 319 – 333.
13. Madsen P.A. et al. A new Boussinesq method for fully nonlinear waves from shallow to deep water / P.A. Madsen,
H. B. Bingham, Н. Liu // Journal of Fluid Mechanics. – 2002. – Vol. 462. – P. 1 – 30.
14. Lynett P, Liu PL-F. A two-layer approach to water wave modelling // Proc. of the Royal Society of London. – 2004.
– Vol. 460. – P. 2637 – 2669.
15.Lynett P., Liu P. A numerical study of submarine-landslide-generated waves and run-up // Proc. of the Royal
Society of London. – 2002. – Vol. 458. – P. 2885 – 2910.
16. Kennedy А. et al. Boussinesq-type equations with improved nonlinear behaviour / А. Kennedy, J. Kirby, Q. Chen //
Wave Motion. – 2001. – Vol. 33. – P. 225 – 243.
17. Вольцингер Н.Е. и др. Длинноволновая динамика прибрежной зоны / Н.Е. Вольцингер, К.А. Клеванный,
Е.Н. Пелиновский. – Ленинград: Гидрометиоиздат, 1989. – 271 с.
18. Phillips O.M. The dynamics of the upper ocean // Cambridge University Press-London. – England, 1966. – 421 p.
Стаття надійшла до редакції 02.10.2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47029 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T22:39:27Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Демченко, Р.И. Дикий, П.В. 2013-07-08T17:17:04Z 2013-07-08T17:17:04Z 2009 Об уравнениях типа Буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ / Р.М. Демченко, П.В. Дикий // Мат. машини і системи. — 2009. — № 2. — С. 8–27. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47029 004.94: 532.59 В настоящей работе дан альтернативный вывод однослойной и двухслойной нелинейной модели типа Буссинеска порядка O(μ2 ) (μ -параметр дисперсии) в терминах градиента от задаваемого потенциала скорости на поверхностях слоя жидкости, определяемых свободными параметрами. Проведено сравнение линейных дисперсионных и нелинейных характеристик с моделями типа Буссинеска порядка O(μ2 ) , записанными в терминах компонент вектора скорости, равного градиенту потенциала, заданного на произвольных поверхностях слоя воды, а также в терминах средней скорости. У даній роботі наведено альтернативне отримання одношарової та двошарової нелінійної моделі типу Бусінеска порядку O(μ2 ) (μ -параметр дисперсії) у термінах градієнта від заданого потенціалу швидкості на поверхнях шару рідини, що визначається довільними параметрами. Проведено порівняння лінійних дисперсійних та нелінійних характеристик з моделями типу Бусінеска порядку O(μ2 ) , записаними у термінах компонент вектора швидкості, що дорівнює градієнту потенціала, який задається на довільних поверхнях шару води, а також у термінах середньої швидкості. Alternative derivation of Boussinesq-type one-layer and two-layer nonlinear model of O(μ2 ) order (μ is dispersion parameter) written with terms of gradient of velocity potential is presented. The last is being determined on the fluid layers surface defined by free parameters. Both linear dispersion and nonlinear characteristics comparisons for Boussinesq-type models of the order O(μ2 ) written with terms of the velocity vector equal to potential gradient defined on the arbitrary surface of the water layer, and with terms of the average velocity were fulfilled. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Обчислювальні системи Об уравнениях типа Буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ Про рівняння типу Бусінеска повністю нелінійних і одного порядку дисперсії About Boussinesq-type whole nonlinear equations and one order dispersion Article published earlier |
| spellingShingle | Об уравнениях типа Буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ Демченко, Р.И. Дикий, П.В. Обчислювальні системи |
| title | Об уравнениях типа Буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ |
| title_alt | Про рівняння типу Бусінеска повністю нелінійних і одного порядку дисперсії About Boussinesq-type whole nonlinear equations and one order dispersion |
| title_full | Об уравнениях типа Буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ |
| title_fullStr | Об уравнениях типа Буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ |
| title_full_unstemmed | Об уравнениях типа Буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ |
| title_short | Об уравнениях типа Буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ |
| title_sort | об уравнениях типа буссинеска полностью нелинейных и одного порядка дисперсии: вывод и сравнительный анализ |
| topic | Обчислювальні системи |
| topic_facet | Обчислювальні системи |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47029 |
| work_keys_str_mv | AT demčenkori oburavneniâhtipabussineskapolnostʹûnelineinyhiodnogoporâdkadispersiivyvodisravnitelʹnyianaliz AT dikiipv oburavneniâhtipabussineskapolnostʹûnelineinyhiodnogoporâdkadispersiivyvodisravnitelʹnyianaliz AT demčenkori prorívnânnâtipubusíneskapovnístûnelíníinihíodnogoporâdkudispersíí AT dikiipv prorívnânnâtipubusíneskapovnístûnelíníinihíodnogoporâdkudispersíí AT demčenkori aboutboussinesqtypewholenonlinearequationsandoneorderdispersion AT dikiipv aboutboussinesqtypewholenonlinearequationsandoneorderdispersion |