Анализ модели квантовых вычислений
В кратком реферативном обзоре приводится анализ квантовой модели вычислений в классическом представлении и геометрической алгебре. В результате анализа показана возможность представления квантовой модели вычислений в симметрической группе преобразований, в частности, в системе преобразований, опреде...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Математичні машини і системи |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47031 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Анализ модели квантовых вычислений / А.К. Беляев, В.П. Клименко // Мат. машини і системи. — 2009. — № 2. — С. 45–52. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860236551254966272 |
|---|---|
| author | Беляев, А.К. Клименко, В.П. |
| author_facet | Беляев, А.К. Клименко, В.П. |
| citation_txt | Анализ модели квантовых вычислений / А.К. Беляев, В.П. Клименко // Мат. машини і системи. — 2009. — № 2. — С. 45–52. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичні машини і системи |
| description | В кратком реферативном обзоре приводится анализ квантовой модели вычислений в классическом представлении и геометрической алгебре. В результате анализа показана возможность представления квантовой модели вычислений в симметрической группе преобразований, в частности, в системе преобразований, определенной на абстрактном p-позиционном регистре. Приводится оценка порядка полной группы двухкубитовых квантовых преобразований.
У стислому реферативному огляді наведено аналіз квантової моделі обчислень у класичному уявленні та геометричній алгебрі. В результаті аналізу показано можливість представлення квантової моделі обчислень у симетричній групі перетворень, зокрема, в системі перетворень, визначеній на абстрактному p-позиційному регістрі. Приводиться оцінка порядку повної групи двокубітових квантових перетворень.
In a brief abstract review an analysis over of quantum model of calculations is brought in classic presentation and in geometrical algebra. As a result of analysis the possibility of presentation of quantum model of calculations is shown in the symmetric group of transformations, particularly in the system of transformations defined on an abstract ppositional register. An estimation over of order of complete group of two-qubit quantum transformations is brought.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:24:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Беляев А.К., Клименко В.П., 2009 45
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2
УДК 004.31, 538.945, 530145
А.К. БЕЛЯЕВ, В.П. КЛИМЕНКО
АНАЛИЗ МОДЕЛИ КВАНТОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Abstract: In a brief abstract review an analysis over of quantum model of calculations is brought in classic
presentation and in geometrical algebra. As a result of analysis the possibility of presentation of quantum model of
calculations is shown in the symmetric group of transformations, particularly in the system of transformations defined
on an abstract p-positional register.
Key words: quantum computations, quantum geometric algebra, quantum algorithms, quantum computing models,
quantum register, abstract p -positional register.
Анотація: У стислому реферативному огляді наведено аналіз квантової моделі обчислень у класичному
уявленні та в геометричній алгебрі. В результаті аналізу показано можливість представлення квантової
моделі обчислень у симетричній групі перетворень, зокрема, в системі перетворень, визначеній на
абстрактному p-позиційному регістрі. Приводиться оцінка порядку повної групи двокубітових квантових
перетворень.
Ключові слова: квантові обчислення, квантова геометрична алгебра, квантові алгоритми, квантові
моделі обчислень, квантовий регістр, абстрактний p -позиційний регістр.
Аннотация: В кратком реферативном обзоре приводится анализ квантовой модели вычислений в
классическом представлении и геометрической алгебре. В результате анализа показана возможность
представления квантовой модели вычислений в симметрической группе преобразований, в частности, в
системе преобразований, определенной на абстрактном p-позиционном регистре. Приводится оценка
порядка полной группы двухкубитовых квантовых преобразований.
Ключевые слова: квантовые вычисления, квантовая геометрическая алгебра, квантовые алгоритмы,
квантовые модели вычислений, квантовый регистр, абстрактный p -позиционный регистр.
1. Введение
С развитием новых информационных технологий возрастающие объемы и сложность решения
задач требуют наличия адекватных вычислительных средств: сверхвысокой производительности,
надежности, малых габаритов и потребляемой энергии.
Традиционные методы вычислений, основанные на классических моделях и существующей
элементной базе, уже не могут удовлетворить возрастающие потребности вычислений. Это
приводит к поиску и разработке новых логических и физических принципов, основанных на
фундаментальных законах физики взаимодействия элементов на атомном уровне. Квантовая
механика и квантовые вычисления являются одними из таких направлений вычислений.
В настоящее время работы по квантовым вычислениям ведутся практически во всех
промышленно развитых странах [1]. Так, в Европейском Союзе и США [2, 3] разработаны и
выполняются подробные дорожные карты в области квантовых вычислений. Ускорение этих
исследований произошло в результате открытия квантовых алгоритмов решения задач [4],
практически не решаемых с применением традиционных вычислительных средств. Кроме того,
появление нового алгебраического аппарата – геометрической алгебры [5] существенно сблизило
квантовую механику и вычисления, расширило представления об их взаимодействии.
В качестве физической основы для квантовых вычислений предложены различные
физические явления и эффекты [6]. Однако наиболее перспективным считается направление,
представляющее сверхпроводящие цепи с Джозефсоновскими контактами. Так, Джозефсоновские
кубиты (квантовые биты) представляют собой макроскопическую квантовую двухуровневую
систему, и их экспериментальная реализация доступна современному уровню развития
микротехнологии [7, 8].
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 46
2. Анализ классической квантовой модели вычислений
Квантовые вычисления определяются постулатами квантовой механики. Рассмотрим некоторые из
них.
1. Состояния изолированной квантовой системы описываются единичным вектором в
конечномерном гильбертовом пространстве nΗ состояний. Это комплексное пространство со
скалярным произведением, элементы ортонормированного базиса которого образуют
вычислительный базис [6]. Так, для описания состояний простейшей двухуровневой системы –
кубита в пространстве 2Η выбирается ортонормированный вычислительный базис >0| и >1| –
кэт векторов (в обозначениях Дирака). В матричной записи базисные векторы соответствуют
матричным столбцам
>=
0
1
0| , а
>=
1
0
1| . Тогда скалярные произведения базисных векторов
равны соответственно 11|10|0 >=>=<< и 00|11|0 >=>=<< . Произвольное векторное
состояние записывается в виде суперпозиции базисных состояний >+>>= 1|0|| baϕ и
1|||| 22 =+ ba , где 2, Η∈ba – комплексные числа; 2|| a и 2|| b представляют собой вероятности
измерения состояний >0| и >1| соответственно.
Для двухкубитовой системы в пространстве 4Η произвольный вектор также
представляется в виде суперпозиции состояний ортонормированного вычислительного базиса и
имеет вид
>+>+>+>>= 11|10|01|00|| dcbaϕ и 1|||||||| 2222 =+++ dcba ,
где 4,,, Η∈dcba – комплексные числа, 2|| a , 2|| b , 2|| c и 2|| d – представляют собой
вероятности измерения состояний >00| , >01| , >10| и >11| соответственно. Элементы
вычислительного базиса в матричной записи имеют вид
>=
0
0
0
1
00| ,
>=
0
0
1
0
01| ,
>=
0
1
0
0
10| ,
>=
1
0
0
0
11| .
Таким образом, суперпозиция состояний представляется основным свойством квантовой
системы и охватывает как всю систему, так и отдельные ее элементы. Поэтому суперпозиция
состояний – источник параллелизма квантовых вычислений.
2. Эволюция замкнутой системы на временном интервале описывается унитарным
преобразованием >>= ϕψ || U , здесь >ψ| и >ϕ| – векторы состояния системы, а U –
унитарное преобразование. В матричном представлении, если U – унитарно, то /)(1 UU =− , где
1−U – обратная матрица, а /)(U – трансформированная комплексно сопряженная матрица.
Определитель унитарной матрицы – единица.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 47
Отсюда следует, что эволюция квантовой системы описывается обратимыми
преобразованиями.
Множество унитарных преобразований бесконечно. Однако, с некоторым приближением,
квантовые преобразования над конечным множеством кубитов можно представлять элементами
некоторого универсального конечного набора преобразований (вентилей) [9]. В [6] описываются
возможные наборы квантовых вентилей для различных применений. Таким образом, модель
квантовых вычислений представляется в виде набора квантовых схем. Рассмотрим состав
некоторого стандартного универсального набора вентилей [6], предназначенного для
аппроксимации произвольных унитарных операторов.
Это однокубитовые элементы Адамара – H , сдвига фазы – S , 8/π – T и двухкубитовый
оператор CNOT . В матричном представлении эти элементы имеют вид
−
=
11
11
2
1
H ;
=
i
S
0
11
;
=
)4/exp(0
11
πi
T .
Элемент CNOT используется как в классических, так и в квантовых вычислениях.
Функционально элемент представляет управляемое NOT , т.е. условную инверсию. В матричном
представлении элемент CNOT имеет вид
=
0100
1000
0010
0001
CNOT .
Эта подстановочная матрица элементов соответствующей группы подстановочных
преобразований [11], которая изоморфна симметрической группе перестановок. Таким образом,
элементу CNOT соответствует некоторая транспозиция симметрической группы перестановок.
В настоящее время показано [10], что минимальный набор квантовых элементов
образуется элементами двух типов: однокубитового преобразования Адамара ( H ) и элемента
Тоффоли ( CCN ) – трехкубитового оператора. Это универсальный вычислительный набор
преобразований квантовой системы.
Матричное представление элемента Тоффоли имеет вид
=
01
10
0
0
10
01
0
0
1000
0100
0010
0001
CCN .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 48
Квантовые элементы Тоффоли также представляются подстановочными матрицами [11] и
соответствуют некоторым транспозициям симметрической группы. Элемент Тоффоли – условный
оператор инверсии состояния кубита при выполнении условия совпадения состояний ( >11| ) двух
других кубитов. С другой стороны, элементы Тоффоли в виде транспозиций состояний могут
независимо образовывать функционально полный набор обратимых базовых преобразований
(микроопераций) абстрактного n-разрядного двоичного регистра [12].
Таким образом, наличие преобразования Адамара в системе образующих определяет
квантовую природу преобразований и их представление в общей системе квантовых
преобразований.
3. Анализ модели квантовых вычислений в геометрической алгебре
Геометрическая алгебра nG [5,13] – это некоторое ассоциативное исчисление, построенное на
основе эвклидовых пространств. Элементы алгебры – это скаляры, векторы, бивекторы, n -векторы
(элементы ранга 0, 1, 2,.. n соответственно). С каждым элементом отождествляется некоторый
геометрический объект.
Элементы алгебры обладают свойством сложения, образуя подклассы, замкнутые по
определенному рангу элементов. Операция умножения (геометрическое произведение)
ассоциативна, дистрибутивна, антикоммутативна. Квадрат любого вектора – скалярная величина.
Операция сложения выражает одновременное возникновение событий, а произведение –
механизм изменения операторов.
В качестве дополнительного постулата модели принято условие совместного
возникновения и исключения. Это означает, что простое состояние и его инверсия не могут
логически произойти в один и тот же момент времени. Постулат описывается выражением
0=+=+ )(-aaaa или 0)()( =+++ cbcb . (1)
Это основное соотношение обоснования вычислений квантовой модели в геометрической
алгебре.
Как рассматривалось в предыдущем разделе, кубитовые состояния определяются в
Гильбертовом пространстве в виде суммы двух комплексных чисел. Топологически такое
представление эквивалентно четырехмерному действительному пространству. В качестве
физического примера кубита может быть рассмотрена спин-частица ( 2
1 ), которая принимает два
базисных состояния: спин-вверх (используется обозначение ↑>| или >0| ) и спин-вниз
(обозначается ↓>| или >1| ). Эти базисы могут наблюдаться и представлять классическое (не
суперпозиционное) битовое состояние.
Основываясь на таком представлении кубита, его можно описать в геометрической алгебре.
Состояние кубита кодируется двумя битовыми векторными состояниями, которые могут произойти
одновременно. Они представляются в виде двух базисных ортонормированных векторов },{ a1a0 ,
порождающих геометрическую алгебру 2G . Принцип совместного возникновения и исключения (1)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 49
и алгебра 2G дают возможность определить состояния кубита в виде суммы независимых
векторов в 2G ( 2G – подкласс одноранговых векторов).
Кубит )( a1a0 ±±=A .
Векторное множество в 2G порождает линейное пространство размерностью 422 ==N и
содержит элементы },,,1{ a0a1a1a0± , где a0a1 – геометрическое произведение векторов,
бивектор или псевдоскаляр. Размерность этого пространства точно соответствует 2Η .
Как показано в [14], четыре возможных варианта знаков в сумме, представляющей кубит,
обозначают состояния: a1a0 −+=0A , a1a0 +−=1A , a1a0 −−=−A , a1a0 ++=+A . Размещение
векторов на плоскости представлено на рис. 1.
Рис. 1. Векторы и состояния для кубита )( a1a0 ±±=A
Значения сумм векторов вычисляются по правилам арифметики по 3mod и анализа
условия (1). Это линейная операция. Очевидно, что 010 =+ AA и 10 AA −= , а также 0=+ +− AA
и +− −= AA . Состояния 10 , AA и состояния +− AA , – попарно коллинеарные векторы, сами же
пары взаимно ортогональны. Состояния 10 , AA реализуются антисимметричными суммами и
представляют классические состояния. Состояния +− AA , реализуются симметричными суммами и
представляют суперпозиционные состояния. Эти бимодулярные результаты представлены в табл.
1. Это модель двухфазового кубита в геометрической алгебре.
Таблица 1. Таблица бимодулярных результатов сложения базовых векторов
Способ
фазирования
Состояние
кубита
Значения состояния Гильбертово состояние
a1a0 −+=0A a0 ON a1OFF
>>=+> 0|1|00|1
Антисимметричные
состояния –
классические
a1a0 +−=1A a0 OFF a1ON >>=+> 1|1|10|0
a1a0 ++=+A
a0 ON a1ON )0|1(|
2
1 >+>
Симметричные
состояния –
суперпозиционные a1a0 −−=−A a0 OFF a1OFF )0|1(|
2
1 >−>
Состояние
суперпозиции
Классическое
состояние
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 50
На плоскости, заданной состояниями },{ a1a0G2 = , определяется псевдоскаляр
),( a1a0SA = , действующий подобно спинору (т.е. преобразованию Адамара) на этой плоскости
[14]. Спинор работает независимо на каждом векторе суммы. Нужно отметить, что геометрическая
алгебра не содержит комплексных чисел и аппарата алгебры матриц; однако, они могут быть
интерпретированы в геометрической алгебре.
В табл. 2 представлено спинорное действие по переключению классических и
суперпозиционных состояний. Для вычисления состояний используется антикоммутативное
свойство геометрического произведения.
Таблица 2. Спинорное переключение классических и суперпозиционных состояний
Исходная
фаза
Исходное
состояние кубита
Вариант спинора
Конечное
состояние кубита
Конечная
фаза
a1a0 −+
a1a0a1a0 +=+ )(
a1a0 ++
Классичес-
кое
a1a0 +−
a1a0a1a0 −=− )(
a1a0 −−
Супер-
позиционное
a1a0 ++
a0a0a1a1 −=+ )(
a1a0 +−
Супер-
позиционное
a1a0 −−
a0a0a1a1 +=− )(
a1a0 −+
Классичес-
кое
Таким образом, приведенные построения показывают, что представление кубита в
геометрической алгебре позволяет кодировать состояние двухфазового кубита битовыми
состояниями. Дальнейшая отработка модели вычислений в геометрической алгебре связана с
представлением квантового регистра в виде геометрического произведения кубитов [14].
4. Представление преобразований двухфазового кубита в симметрической группе
преобразований
Анализ квантовых вычислений, представленных векторными состояниями в классической
квантовой модели и геометрической алгебре, показывает, что преобразования кубита могут быть
сведены к преобразованиям на конечных множествах состояний.
Известные наборы операторов кубита включают оператор Адамара
−
=
11
11
2
1
H и
оператор инверсии классического состояния или состояния разряда классического регистра:
=
01
10
NOT . Операторы Адамара и NOT образуют группу унитарных преобразований в
пространстве 2Η .
С точностью до числового множителя эта унитарная группа матриц может быть
представлена некоторой конечной группой матричных преобразований G . Элементы такой группы
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 51
изображены на диагр. 1. Группа порождается образующими }{ BA, , где
−
==
11
11
|| HA , а
==
01
10
|| NOTB . Вершины на диаграмме отмечены матричными элементами группы, а ребра
отмечены образующими группы. Порядок группы 8=p .
Процесс порождения в системе образующих }{ BA, проводится в соответствии с методикой
[12]. На каждом шаге учитываются только новые элементы. Исходный элемент в системе
порождения – тождественное преобразование
=
10
01
I .
Диагр. 1. Элементы группы G
Группе G может быть поставлена в соответствие некоторая изоморфная ей подгруппа /
G
симметрической группы перестановок степени 4 (перестановок четырех состояний: 0, 1, 2, 3).
Пример такой подгруппы /
G приведен на диагр. 2. }{ //
B,A – система образующих группы /
G ;
здесь )21( ,=/
A и =/
B )3,2)(1,0( (образующие представлены транспозициями). Это
инволютивные преобразования, т.е. e=2)( /
A и e=2)( /
B , где e – единица симметрической
группы.
Диагр. 2. Элементы группы /
G
С другой стороны, перестановки симметрической группы преобразований описывают
преобразования информационных множеств состояний абстрактных операционных устройств [15].
Перестановки, соответствующие преобразованиям двухфазового кубита, преобразуют
двоичные переменные двухразрядного операционного устройства. Тогда, в соответствии с [12],
B
B
B
BA A
A
−11
11
10
01
01
10
−
11
11
−
11
11
−
01
10
−10
01
− 11
11
/
A
/
A /
A
/
A
e
/
B
/
B
/
B
/
B)3,2)(1,0( )1,3,2,0( )3,0(
)2,1)(3,0(
)3,1)(2,0()2,3,1,0()2,1(
A
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2009, № 2 52
перестановки )3,2)(1,0( и )3,1)(2,0( соответствуют инверсиям двоичных переменных, а
перестановка )2,1( – обмену этих двоичных переменных, выполняя функции преобразования
Адамара. Так, например, для инверсий двоичных переменных выполняется соотношение
)3,1)(2,0()2,1)(3,2)(1,0)(2,1( = .
Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие преобразований
двухфазового кубита и преобразований абстрактного p -позиционного операционного устройства,
состояния которого преобразуются в соответствии с логикой преобразования кубита. Поэтому
квантовая система на основе кубитов может описываться абстрактным p -позиционным регистром.
Построение преобразований на кубитах сводится к построению конечных симметрических
групп преобразований. Так, для двухкубитовой системы порядок соответствующей полной группы
преобразований оценивается количеством 322560 элементов.
5. Выводы
В кратком реферативном обзоре приведен анализ квантовой модели вычислений в классическом
представлении и на основе геометрической алгебры. В геометрической алгебре также описывается
модель двухфазового кубита. На основе проведенного анализа квантовой модели вычислений
предложено представление двухфазового кубита в симметрической группе преобразований. В этом
случае кубит представляется абстрактным p -позиционным операционным устройством и
соответствующей группой преобразований. Таким образом, полученные представления позволяют
снизить сложность построения квантовой модели вычислений и упростить ее анализ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Research in Quantum Computing and Information // http://www.vcpc.univie.ac.at/~ian/hotlist/qc/research.shtml.
2. ERA Pilot Roadmap – Quantum Information Sciences and Technologies. – 2006
// http://qist.ect.it/reports/reports.htm .
3. Quantum Computation Roadmap. – 2004 // http://qist.lanl.gov/qcomp_map.shtml .
4. Rieffel E., Polak W. An Introduction to Quantum Computing for Non-Physicists // arXiv:quant-ph/9809016v2 19 Jan
2000. – 2000 // http://xxx.lanl.gov/pdf/quant-ph/9809016v2 .
5. Macdonald A. A Survey of Geometric Algebra and Geometric Calculus //
http://faculty.luther.edu/~macdonal/GA&GC.pdf .
6. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. – М.: Мир, 2006. – 823 с.
7. Омельянчук А.Н., Оболенский М.А. Квантовые компьютеры и джозефсоновские кубиты // Университеты:
наука и просвещение / Харьковский национальный университет. – Харьков: Империал, 2005. – № 2(22) – С.10
– 17; № 3 (23). – С. 12 – 19.
8. Войтович І.Д., Корсунський В.М. Перспективи квантових обчислень з використанням надпровідності //
Математичні машини і системи. – 2008. – № 4. – С. 23 – 56.
9. Китаев А. и др. Классические и квантовые вычисления / А. Китаев, А. Шень, М. Вялый. – М.: МЦНМО, 1999. –
192 с.
10. Aharonov D. A Simple Proof that Toffoli and Hadamard are Quantum Universal // arXiv:quant-ph/0301040 9 Jan
2003. – 2003 // http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0301040v1.
11. Калужнин А.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973. – 447 с.
12. Беляев А.К. Базовая система микроопераций и ее применение // Кибернетика. – 1972. – № 2. – С. 71 – 76.
13. Matzke D. Quantum computation using geometric algebra // http://www.utdallas.edu/~cantrell/matzke.pdf .
14. Matzke D. Quantum Geometric Algebra
// http://www.matzkefamily.net/doug/papers/ANPA24/QuantumGeometricAlgebra.pdf .
15. Глушков В.М. Кибернетика, вычислительная техника, информатика: Избр. тр. в 3 т. – Киев: Наукова думка,
1990. – Т. 1. – С. 179 – 191.
Стаття надійшла до редакції 22.01.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47031 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-9763 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:24:52Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Беляев, А.К. Клименко, В.П. 2013-07-08T17:22:23Z 2013-07-08T17:22:23Z 2009 Анализ модели квантовых вычислений / А.К. Беляев, В.П. Клименко // Мат. машини і системи. — 2009. — № 2. — С. 45–52. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47031 004.31, 538.945, 530145 В кратком реферативном обзоре приводится анализ квантовой модели вычислений в классическом представлении и геометрической алгебре. В результате анализа показана возможность представления квантовой модели вычислений в симметрической группе преобразований, в частности, в системе преобразований, определенной на абстрактном p-позиционном регистре. Приводится оценка порядка полной группы двухкубитовых квантовых преобразований. У стислому реферативному огляді наведено аналіз квантової моделі обчислень у класичному уявленні та геометричній алгебрі. В результаті аналізу показано можливість представлення квантової моделі обчислень у симетричній групі перетворень, зокрема, в системі перетворень, визначеній на абстрактному p-позиційному регістрі. Приводиться оцінка порядку повної групи двокубітових квантових перетворень. In a brief abstract review an analysis over of quantum model of calculations is brought in classic presentation and in geometrical algebra. As a result of analysis the possibility of presentation of quantum model of calculations is shown in the symmetric group of transformations, particularly in the system of transformations defined on an abstract ppositional register. An estimation over of order of complete group of two-qubit quantum transformations is brought. ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Математичні машини і системи Обчислювальні системи Анализ модели квантовых вычислений Аналіз моделі квантових обчислень Analysis of model of quantum computations Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ модели квантовых вычислений Беляев, А.К. Клименко, В.П. Обчислювальні системи |
| title | Анализ модели квантовых вычислений |
| title_alt | Аналіз моделі квантових обчислень Analysis of model of quantum computations |
| title_full | Анализ модели квантовых вычислений |
| title_fullStr | Анализ модели квантовых вычислений |
| title_full_unstemmed | Анализ модели квантовых вычислений |
| title_short | Анализ модели квантовых вычислений |
| title_sort | анализ модели квантовых вычислений |
| topic | Обчислювальні системи |
| topic_facet | Обчислювальні системи |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47031 |
| work_keys_str_mv | AT belâevak analizmodelikvantovyhvyčislenii AT klimenkovp analizmodelikvantovyhvyčislenii AT belâevak analízmodelíkvantovihobčislenʹ AT klimenkovp analízmodelíkvantovihobčislenʹ AT belâevak analysisofmodelofquantumcomputations AT klimenkovp analysisofmodelofquantumcomputations |