Моделирование связанного процесса деформирования и трещинообразования упругохрупких материалов
Предложена приближенная модель совместного деформирования и микроповреждения
 упругохрупких материалов в виде образования системы стохастически расположенных
 плоских микротрещин. Запропоновано наближену модель спільного деформування і мікропошкод-
 ження пружнокрихких матері...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2004 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2004
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47070 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Моделирование связанного процесса деформирования и
 трещинообразования упругохрупких материалов / Д.В. Бабич // Проблемы прочности. — 2004. — № 2. — С. 96-105. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860129147140964352 |
|---|---|
| author | Бабич, Д.В. |
| author_facet | Бабич, Д.В. |
| citation_txt | Моделирование связанного процесса деформирования и
 трещинообразования упругохрупких материалов / Д.В. Бабич // Проблемы прочности. — 2004. — № 2. — С. 96-105. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Предложена приближенная модель совместного деформирования и микроповреждения
упругохрупких материалов в виде образования системы стохастически расположенных
плоских микротрещин.
Запропоновано наближену модель спільного деформування і мікропошкод-
ження пружнокрихких матеріалів у вигляді утворення системи стохастично
розташованих плоских мікротріщин.
An approximate model is proposed, which describes
the joint process of deformation and formation
of microdefects in materials resulting in
development of a system of plane microcracks
with stochastic order arrangement.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:44:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.376
М оделирование связанного процесса деформирования и
трещинообразования упругохрупких материалов
Д. В. Бабич
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, Украина
Предложена приближенная модель совместного деформирования и микроповреждения
упругохрупких материалов в виде образования системы стохастически расположенных
плоских микротрещин.
Ключевые слова : моделирование, связанный процесс, деформирование, тре-
щинообразование, упругохрупкий материал.
Согласно современным представлениям [1-3], разрушение материалов
является сложным процессом, включающим разрушение структурных эле
ментов различных масштабов. На первой стадии разрушения размеры по
вреждений микроструктуры малы по сравнению с линейными размерами
частиц, на второй стадии они достигают размеров элементов микрострук
туры. В отличие от субмикроскопических повреждений, которые при удале
нии нагрузки, как правило, исчезают (“залечиваются”), микроскопические
повреждения имеют необратимый характер (остаются в виде микротрещин)
и на макроуровне проявляются в виде изменения механических характе
ристик материала, в частности его деформативной способности. На третьей
стадии разрушения в материале возникают макроскопические трещины, при
водящие к нарушению целостности тела.
Вопросы оценки влияния поврежденности конструкционных мате
риалов на их деформационные и прочностные свойства на основе фено
менологических моделей освещены в работах [4-6].
В [7] предложен структурный подход к описанию связанного процесса
деформирования и микроповреждаемости, базирующийся на моделировании
повреждаемости образованием системы стохастически расположенных
микропор, пустых либо наполненных разрушенным материалом.
Ниже предлагается континуальная модель деформирования упругохруп
ких материалов, сопровождающегося накоплением повреждений в виде
плоских микротрещин, случайным образом рассеянных по объему мате
риала. При построении модели полагали, что характерные размеры и форма
микротрещин близки к таковым всевозможных сечений структурных эле
ментов материала. Предполагалось также, что в процессе деформирования
микротрещины не растут и не взаимодействуют между собой, а объемная
плотность (концентрация) микродефектов изменяется с ростом уровня сред
них напряжений в силу неоднородности микропрочности материала и опре
деляется относительной долей разрушенных структурных элементов, содер
жащихся в представительном объеме.
© Д. В. БАБИЧ, 2004
96 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2
Моделирование связанного процесса деформирования
Процедура построения модели состоит из двух этапов.
1. Выводятся уравнения состояния для поврежденного материала с
постоянной концентрацией плоских микродефектов.
2. На основании подходящих критериев прочности и законов распре
деления микропрочности по объему материала определяется концентрация
микродефектов в зависимости от уровня напряженного состояния, наводи
мого в теле.
При небольших концентрациях рассеянных в материале микродефек
тов, когда можно пренебречь их взаимодействием, а это правомерно в случае
если расстояния между трещинами превышают их характерные размеры [8 ],
поврежденный материал в соответствии с принципом Эшелби [9] можно
моделировать непрерывной средой с уравнениями состояния вида [8 ]
£ у аук1 а к1 , Ь j , к , 1 1, 2, 3, (1)
где средние однородные макронапряжения а считаются заданными в
лабораторной системе координат Ох 1Х 2 х 3 , связанной с представительным
объемом; макродеформации £ ̂ подлежат осреднению.
Эффективные податливости а щ поврежденной среды определяются
энергетическим методом [8 ], основанным на эквивалентности энергии по
врежденной среды и сплошной, моделирующей первую [9].
Далее будут рассматриваться микродефекты в виде эллиптической и
круговой формы.
При широком распределении трещин по ориентациям и размерам в
результате статистического осреднения эффективные податливости повреж
денного материала определяются через характеристики трещин и постоян
ные упругости сплошного материала:
а 1]к1 = а °н + а \]к1 , (2 )
где а'уШ - результат осреднения энергии освобождения [8 , 1 0 , 1 1 ], завися
щий от закона распределения трещин по ориентациям и размерам, задава
емого плотностью распределения ^ ( в , р , \р, а , Ь); в , р , \р - углы Эйлера; а,
и оЬ - полуоси эллиптических трещин; а к - податливости сплошного мате
риала.
Для изотропного материала, поврежденного дефектами в виде эллипти
ческих трещин, статистически однородно изотропно распределенными по
объему, в зависимости от наводимого в теле напряженного состояния и
характера взаимодействия поверхностей трещин в соответствии с изложен
ной процедурой вторые слагаемые в (2 ) будут определяться следующими
соотношениями [1 0 , 1 1 ].
1. При всестороннем растяжении, сопровождающемся раскрытием тре-
3
щин ( 2 а а > 0):
/ = 1
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2 97
Д. В. Бабич
2 2
а 'ии — 15(А1 + А2 ) + 5 А3 :
2 . 8
I - 1 ,2 , 3;
а й/у - 5 (А1 + А2) + 15 А3 , Ь у - 1 2 3; (3)
УУ
1 2
' 1 5 ( А 1 + А2 ) + 1 5 А3? ь у — 1 , 2 , 3
2. При всестороннем сжатии с учетом трения скольжения (^ ° и < 0):
1 —1
а'на — 1 5 ( 1 - 3 / ^ )(А 1 + А2 ), I — 1,2,3;
2 2а;.1у. — 1 5 ( 3 - 4 / 2 )(А + А2 ), I, У — 1, 2, 3;
чч
1
15
( 1 + 2 / 2 )(А 1 + А2 ), I, У — 1,2,3.
(4)
В (3), (4) введены следующие обозначения:
, О - ^ ^ , , , О - ^ ^ , ч , (1 - ^ 0 )А, —— =-----Я (к ,V о)£; А2 —— ------- 2 (к ,V о)£; А3 — _____ в;
Е г Е г Е( к )Е о
Я (к ,Vо) — к 2 [(к 2 - V о ) Е ( к ) + Vок12К(к)]-1 ;
2 (к , V о) — к 2[( к 2 + V о к 2 )Е( к ) - V о к 2 К (к )]-1 ;
4л Л Л 2 4л I 2 \
в — -— J J аЬ Б (а ,Ь)dadb — -— N о \аЬ у,
где в - малый параметр, определяющий концентрацию трещин; к — 1 - - ^ ;
а 2
9 9к 1 — 1 - к ; К (к ), Е (к ) - полные эллиптические интегралы первого и вто
рого рода; / - коэффициент трения скольжения; N о - количество трещин в
единице объема; Е о, Vо - модуль упругости и коэффициент Пуассона
сплошного материала.
Приведенные соотношения имеют место при одинаковых отношениях
полуосей эллиптических трещин. В случае круговых трещин радиуса а
постоянные А 1 запишем в виде
, , 4 ( 1 ^ о) . 2 ( 1 - Vо) 4л , 3 \
А 1 — А 2 — л ( 2 ^ о )Ео в А 3 — л Е о в £ — 3 N о \ a /. (5)
Технические постоянные поврежденного материала через податливости
в общем случае определяются соотношениями [9]:
98 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2
2
Моделирование связанного процесса деформирования
Ей
V
(6 )
■ = а.: i, j = 1, 2, 3,
1
1
где E : i , G j , V j - соответственно модули упругости и сдвига и коэффи
циент Пуассона поврежденного материала.
Из соотношений (3), (4) следует, что при всестороннем сжатии либо
растяжении изотропный материал, поврежденный системой хаотически рас
пределенных трещин, моделируется изотропной средой. В случае сложного
напряженного состояния, включающего растяжение и сжатие, возможен
механизм нелинейной связи между макронапряжениями и макродеформа
циями [1 0 , 1 1 ], который обусловлен характером взаимодействия поверх
ностей в теле трещин неизменной концентрации. Другой механизм нели
нейного деформирования поврежденной среды связан с изменением кон
центрации трещин є в (3), (4) в зависимости от истории нагружения в силу
неоднородности прочностных свойств структурных элементов материала.
В качестве критерия разрушения микроэлементов материала при растя
жении и сжатии принимается соотношение 1 -й теории прочности
а'п > а , (7)
где а - случайная величина, может обозначать предельное значение растя
гивающего либо сжимающего истинного напряжения, нормального к про
извольной плоскости сечения представительного объема, в котором заданы
средние напряжения а j .
По достижении истинным растягивающим напряжением а'п значения
а на соответствующей площадке образуются микротрещины с плоскостями,
нормальными к направлению действия а 'п. В случае сжимающего напря
жения а'п микротрещины ориентируются преимущественно параллельно
направлению а'п [12, 13]. При этом характер деформирования (растяжение
либо сжатие), определяющий выбор критерия прочности, будет опреде-
1
ляться знаком среднего гидростатического напряжения а г = ^ ( а п + а 22 +
+ а 3 3 ), где а г > 0 - растяжение; а г < 0 - сжатие.
Если в качестве представительного объема выбрать шар единичного
радиуса, в центре которого известны средние главные напряжения а i: (i = 1,
2, 3), то среднее нормальное напряжение а п на площадке, ориентация
нормали к которой задана сферическими координатами в (широта) и р
(долгота), будет определяться по выражению [3]
а п = а 1 1 cos2 р sin2 в + а 2 2 sin2 р sin2 в + а 3 3 cos2 в. (8 )
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 2 99
Д. В. Бабич
Истинное растягивающее напряжение о'п на этой площадке, изменя
ющееся с уменьшением эффективной площади сечения вследствие разру
шения микрочастиц, представляется соотношением
где Рп (о 'п) - относительная часть разрушенной площади сечения с нор
малью п.
Концентрация плоских микродефектов в произвольном сечении пред
ставительного объема определяется вероятностью Рп (о'п > о ) того, что
значения нормального напряжения о'п будут больше прочности частиц
микроструктуры о, являющейся случайной величиной. Для аппроксимации
распределения механических свойств кристаллитов и зерен, имеющих раз
личную ориентацию, по аналогии с [14] используется соотношение
где а , о о, о с - параметры распределения, определяемые по выборочным
значениям, например, методом моментов [15]. Суть метода состоит в при
равнивании определенного количества выборочных моментов к соответст
вующим моментам распределения, которые являются функциями неизвест
ных параметров о о , о с , а. Рассматривая количество моментов, равное числу
подлежащих определению параметров, и решая полученные уравнения отно
сительно этих параметров, имеем искомые оценки параметров распреде
ления.
Основные моменты (средняя микропрочность (о) и дисперсия В 2) для
распределения ( 1 0 ) представляются в виде
С учетом (10) вероятность разрушения элементов структуры, пересека
ющих единицу площади поверхности представительного объема в виде
шара некоторого радиуса, будет определяться соотношением
о 'п = о п / [1 - Рп(о 'п )]> (9)
1 ,
о, (° < ° о) ;
( о о < о < о с);
( о > о с X
( 1 0 )
( 1 1 )
( 1 2 )
(13)
100 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2
Моделирование связанного процесса деформирования
Физический смысл величины р заключается в том, что она пред
ставляет относительную долю площади поверхности шара, на которой нор
мальные истинные напряжения о'п превышают предел прочности о микро
частиц в поверхностном слое, т.е. на этой площади нарушается сплошность
вследствие образования плоских микротрещин.
Если предположить, что характерные размеры и форма плоских дефек
тов и сечений структурных элементов материала близки, то отношение
количества разрушенных микрочастиц к их общему количеству N в
представительном объеме будет определять объемную концентрацию плос
ких микродефектов £ (3)-(5). При этом £ = р.
Действительно, пусть в шаре радиуса г и объема V имеется N микро
частиц. Если {у) = V /N - средний объем микрочастиц, то из формул
4 3 2 1V = з жг ; Б = 4жг ; V = 3 Бг (14)
следуют выражения
г = (г ) ; 5 = 4л
Поскольку в соответствии с (13) доля разрушенной площади поверх
ности шара равна Б р = р Б , согласно последней формуле (14) объем разру
шенных структурных элементов составит
(15)
Теперь можно определить концентрацию микротрещин (3), (4) в виде
£ = N 0 (аЬ22
В случае, например, эллипсоидальных структурных элементов для пред
ставительного единичного объема, содержащего N микрочастиц, имеет
место соотношение
Л ПТ , ^
(16)
2
Поскольку N о = N Р и N Р = p N , имеем
4л
"э£ = N о ^ Г [аЬ / = Р- (17)
Таким образом, связанный процесс деформирования и дисперсного
разрушения в виде образования системы стохастически ориентированных
плоских микротрещин моделируется замкнутой системой нелинейных урав
нений (3), (4), (7)—(10), (13), (17).
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2 101
Д. В. Бабич
Необходимо отметить, что параметр Рп существенно зависит от харак
тера нагружения тела. При однократном нагружении тела, в естественном
состоянии которого отсутствуют микродефекты, Рп находится из формулы
(9) при о'п = о п. Для определения о'п при пошаговом нагружении в качест
ве Рп используется значение, соответствующее предшествующему этапу
нагружения. При определении Рп в случае сжимающих напряжений о'п
следует иметь в виду, что несущая площадь сечений представительного
объема не изменяется.
Точное определение параметра р затруднительно из-за нелинейности
соотношений (9), (10). Ввиду малости параметра Рп, который согласно
при нарушении целостности тела, приведенные выше соотношения можно
упростить. Для этого правую часть соотношения (10) следует разложить в
ряд по малому параметру Рп. Тогда при удержании, например, членов
первого порядка относительно Рп оно упростится к виду
где о'п определяется с учетом проведенных упрощений.
При двухпараметрическом распределении микропрочности (оо = 0) вы
ражение для Рп при 0 < о'п < о с имеет вид
При условии о п < < о с выражение (19) можно представить в форме
В качестве примера, иллюстрирующего применение полученных соотно
шений для описания связанного процесса деформирования и дисперсного
разрушения, рассматривается деформирование углеродных и борных воло
кон при растяжении напряжением о ц . На рисунке представлены диаграммы
деформирования углеродных и борных волокон с различной зажимной дли
1
результатам статистической теории прочности [1 ] не превышает значение ^
(19)
(2 0 )
102 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2
Моделирование связанного процесса деформирования
ной їі . При расчете диаграмм деформирования использовались эксперимен
тальные значения характеристик упругости, средней прочности и ее стан
дартного отклонения [16]:
для углеродных волокон
Е 0 = 4 ,2 -101 1 Па, V0 = 0,2, (а) 1(2) = 2,35-109(1,90-109) Па,
9 9 (2 1 а)9 9
' 0 “ 4 , 2 1 0 Па, у 0 “ ^̂ ,2 ̂ \с̂ / 1 (2 )
Я 1(2) = 0,607 -109 (0,672-10у) Па;
для борных волокон
Е 0 = 3 , 7 -101 1 Па, V 0 = 0,25, (о ) 3 = 2,2-109 Па,
9 (2 1 б)
В 3 = 0,565-109 Па.
В случае двухпараметрического распределения прочности параметры
распределения а , о с , рассчитанные на основании ( 1 1 ), ( 1 2 ), (2 1 ), для ука
занных волокон составили: а = 3, о с = 3,13-109 Па при / 1 ; а = 2, о с =
= 2,8-109 П а п р и /2; а = 3, о с = 2,9-109 П а п р и /3.
Диаграммы деформирования для углеродных (сплошные линии) и борных (штриховая ли
ния) волокон: 1 - /х = 0,025 м; 2 - /2 = 0,070 м; 3 - /3 = 0,040 м.
Диаграммы деформирования рассчитаны в предположении образова
ния в волокнах микродефектов типа плоских круговых трещин. В этом
случае эффективные податливости определяются с использованием соотно
шений (5).
Основная особенность приведенных диаграмм - нелинейность зависи
мостей макронапряжение-макродеформация при малых деформациях. Пред
ставляется, что природа нелинейности деформирования в случае хрупких
материалов может быть объяснена на основе изложенных выше сообра
жений, базирующихся на механизме микроразрушения “отрывом”. В случае
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2 103
Д. В. Бабич
пластических материалов нелинейность деформирования связана с меха
низмами микроразрушения “сдвигом” и с явлением “микропластичности”.
Соответствующая для этого случая модель совместного деформирования и
повреждаемости может быть построена с использованием изложенного под
хода при учете специфики пластического деформирования материалов.
Р е з ю м е
Запропоновано наближену модель спільного деформування і мікропошкод-
ження пружнокрихких матеріалів у вигляді утворення системи стохастично
розташованих плоских мікротріщин.
1. Волков С. Д . Статистическая теория прочности. - М.: Машгиз, 1960. -
176 с.
2. Новиков И. И., Ермишкин В. А. Микромеханизмы разрушения метал
лов. - М.: Наука, 1991. - 362 с.
3. Тамуж В. П., Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных
материалов. - Рига: Зинатне, 1978. - 294 с.
4. Березин А. В., Козинкина А. И. Физические модели и методы оценки
накопления повреждений в твердых телах // Пробл. машиностроения и
надежности машин. - 2002. - № 3. - С. 115 - 121.
5. Бобырь Н. И. Обобщенная модель повреждаемости конструкционных
материалов при сложном малоцикловом нагружении // Пробл. проч
ности. - 2000. - № 5. - С. 112 - 121.
6 . Лебедев А. А., Чаусов Н. Г., Богинич И. О., Недосека С. А. Комплексная
оценка поврежденности материала при пластическом деформировании
// Там же. - 1996. - № 5. - С. 23 - 30.
7. Хорошун Л. П. Микромеханика кратковременной повреждаемости мате
риала. 1. Кратковременная повреждаемость // Прикл. механика. - 1998.
- 34, № 10. - С. 120 - 127.
8 . Салганик Р. Л. Механика тел с большим числом трещин // Механика
твердого тела. - 1973. - № 4. - С. 149 - 158.
9. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. - М.: Мир, 1983. -
334 с.
10. Бабич Д. В. Приближенный учет поврежденности материала в задачах
о равновесии упругих оболочек // Пробл. прочности. - 1996. - № 3. -
С. 20 - 30.
11. Бабич Д. В. Исследование устойчивости композитных оболочек с уче
том трещиноватости компонентов материала // Прикл. механика. -
1999. - 35, № 11. - С. 46 - 54.
12. Германович Л. Н., Дыскин А. В. Модель разрушения хрупкого мате
риала с трещинами при одноосном нагружении // Механика твердого
тела. - 1988. - № 2. - С. 118 - 131.
104 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 2
Моделирование связанного процесса деформирования
13. Dragon A. and Mros Z. A continuum model for plastic-brittle behavior of
rock and concrete // Int. J. Eng. Sci. - 1979. - 17. - P. 121 - 137.
14. Болотин В. В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. - М.:
Машиностроение, 1984. - 312 с.
15. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. - 648 с.
16. Грушецкий И. В., Димитриенко И. П., Ермоленко А. Ф. Разрушение
конструкций из композитных материалов. - Рига, Зинатне, 1986. - 264 с.
Поступила 06. 11. 2002
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 2 105
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47070 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:44:00Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бабич, Д.В. 2013-07-09T16:32:50Z 2013-07-09T16:32:50Z 2004 Моделирование связанного процесса деформирования и
 трещинообразования упругохрупких материалов / Д.В. Бабич // Проблемы прочности. — 2004. — № 2. — С. 96-105. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47070 539.376 Предложена приближенная модель совместного деформирования и микроповреждения
 упругохрупких материалов в виде образования системы стохастически расположенных
 плоских микротрещин. Запропоновано наближену модель спільного деформування і мікропошкод-
 ження пружнокрихких матеріалів у вигляді утворення системи стохастично
 розташованих плоских мікротріщин. An approximate model is proposed, which describes
 the joint process of deformation and formation
 of microdefects in materials resulting in
 development of a system of plane microcracks
 with stochastic order arrangement. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Моделирование связанного процесса деформирования и трещинообразования упругохрупких материалов Modeling of Joint Deformation and Cracking Processes in Brittle Elastic Materials Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование связанного процесса деформирования и трещинообразования упругохрупких материалов Бабич, Д.В. Научно-технический раздел |
| title | Моделирование связанного процесса деформирования и трещинообразования упругохрупких материалов |
| title_alt | Modeling of Joint Deformation and Cracking Processes in Brittle Elastic Materials |
| title_full | Моделирование связанного процесса деформирования и трещинообразования упругохрупких материалов |
| title_fullStr | Моделирование связанного процесса деформирования и трещинообразования упругохрупких материалов |
| title_full_unstemmed | Моделирование связанного процесса деформирования и трещинообразования упругохрупких материалов |
| title_short | Моделирование связанного процесса деформирования и трещинообразования упругохрупких материалов |
| title_sort | моделирование связанного процесса деформирования и трещинообразования упругохрупких материалов |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47070 |
| work_keys_str_mv | AT babičdv modelirovaniesvâzannogoprocessadeformirovaniâitreŝinoobrazovaniâuprugohrupkihmaterialov AT babičdv modelingofjointdeformationandcrackingprocessesinbrittleelasticmaterials |