О связи критических состояний конических оболочек при простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных колебаний
На основании анализа зависимостей частот собственных прецессионных колебаний вращающихся конических оболочек от их угловой скорости установлены критические состояния оболочек, сопровождаемые их выпучиванием при простом вращении и резонансными колебаниями при сложном вращении. Показано, что путем...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2004 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2004
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47076 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О связи критических состояний конических оболочек при простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных колебаний / В.И. Гуляев, И.Л. Соловьев, М.А. Белова // Проблемы прочности. — 2004. — № 2. — С. 52-66. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859736096568508416 |
|---|---|
| author | Гуляев, В.И. Соловьев, И.Л. Белова, М.А. |
| author_facet | Гуляев, В.И. Соловьев, И.Л. Белова, М.А. |
| citation_txt | О связи критических состояний конических оболочек при простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных колебаний / В.И. Гуляев, И.Л. Соловьев, М.А. Белова // Проблемы прочности. — 2004. — № 2. — С. 52-66. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | На основании анализа зависимостей частот собственных прецессионных колебаний вращающихся
конических оболочек от их угловой скорости установлены критические состояния
оболочек, сопровождаемые их выпучиванием при простом вращении и резонансными колебаниями
при сложном вращении. Показано, что путем выбора соответствующих систем
отсчета можно придать сходство формам их закритического поведения.
На основі аналізу залежностей частот власних прецесійних коливань обертових
конічних оболонок від їх кутової швидкості установлено критичні
стани оболонок, що супроводжуються їх випинанням при простому обертанні
і резонансними коливаннями при складному обертанні. Показано, що
шляхом вибору відповідних систем відрахування можна надати подібність
формам їх закритичної поведінки.
Based on the analysis of relationships between natural
precession oscillation frequencies of rotating
conic shells and their angular velocities, we identified
the critical states of shells manifested by their
buckling in simple rotation or by resonance oscillations
- in complex rotation. It is shown that supercritical
mode shapes can be presented in a similar
form by selecting the appropriate reference system.
|
| first_indexed | 2025-12-01T15:08:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 359.3:621
О связи критических состояний конических оболочек при простом
и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных
колебаний
В. И. Гуляев, И. Л. Соловьев, М. А. Белова
Национальный транспортный университет, Киев, Украина
На основании анализа зависимостей частот собственных прецессионных колебаний враща
ющихся конических оболочек от их угловой скорости установлены критические состояния
оболочек, сопровождаемые их выпучиванием при простом вращении и резонансными коле
баниями при сложном вращении. Показано, что путем выбора соответствующих систем
отсчета можно придать сходство формам их закритического поведения.
Ключевые слова: вращающиеся оболочки, потеря устойчивости равновесия,
собственные прецессионные колебания, сложное вращение, прецессионные
резонансы.
Введение. Основными конструктивными элементами многих энергети
ческих, электрических и транспортных машин являются вращающиеся
валы и роторы. Выполняя важные функции, роторы часто служат главным
источником возбуждения вредных вибраций. Интенсивность последних за
висит от ряда факторов, наиболее существенный из которых - близость
рабочих скоростей к так называемым критическим скоростям. Критические
состояния ротора могут возникать в режимах как простого [1, 2], так и
сложного [3, 4] вращений. Поскольку указанные виды критических состоя
ний обусловлены действием неконсервативных сил, зависящих от характера
движения ротора и его упругих смещений, формы их поведения при прос
том и сложном вращении являются разными.
Характерная особенность критического состояния установленных на
упругих валах роторов при простом вращении - статическая потеря устой
чивости, при которой ось вала прогибается в плоскости, вращающейся
вместе с системой. Поскольку силы, выводящие вал из состояния неустой
чивого равновесия, зависят от величины прогиба его оси, они являются
позиционными. Поэтому включение этих сил в разрешающие уравнения
упругих колебаний приводит к изменению их структуры. При теоретичес
ком анализе явления статической потери устойчивости обычно рассматрива
ются упрощенные расчетные модели, в которых роторы заменяются абсо
лютно твердыми телами, и принимается, что критическое состояние системы
может наступить из-за упругой податливости вала. Ранее [2, 5] показано, что
эффекты возникновения критических состояний могут быть свойственны и
самому ротору, если он тонкостенный и обладает достаточно упругой подат
ливостью.
Другой тип критических состояний тонкостенного упругого ротора
может возникать при сложном вращении [3-6], когда он установлен на
подвижном теле и его ось вращения совершает дополнительный принуди
© В. И. ГУЛЯЕВ, И. Л. СОЛОВЬЕВ, М. А. БЕЛОВА, 2004
52 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2
О связи критических состояний конических оболочек
тельный поворот вследствие изменения пространственной ориентации несу
щего тела. В этом случае в результате суперпозиции и гироскопического
взаимодействия различных видов вращений генерируются упругие прецес
сионные колебания, которые при определенных значениях угловой скорости
собственного вращения могут приобрести резонансный характер. В системе
координат, связанной с носителем, указанные колебания представляются в
форме некоторого стационарного деформированного состояния, симметрич
ного относительно плоскости, содержащей векторы угловых скоростей вра
щения оболочки и поворота носителя.
Явлениям бифуркационного выпучивания тонких оболочек при прос
том вращении и их прецессионных колебаний при сложном вращении
можно придать схожие формы посредством выбора соответствующих сис
тем отсчета. Такой подход позволяет добиться определенного сходства так
же в постановках задач о критическом состоянии оболочек при простом и
сложном вращении. В первом случае ставится задача о собственных значе
ниях однородной системы линеаризированных обыкновенных дифферен
циальных уравнений статики, во втором - краевая задача для неоднородной
системы линеаризированных обыкновенных дифференциальных уравнений
динамики. Как в первом, так и во втором случае критерием наступления
бифуркационного состояния является вырождение левой части линеаризи
рованных уравнений [7].
На основании предложенного подхода в [5, 6 ] путем непосредственного
решения поставленных задач установлены критические значения угловых
скоростей простого и сложного вращений и найдены формы их бифуркаций.
Для второго случая изучен также характер прецессионных колебаний в
пред- и закритических состояниях. Однако представляется весьма важным
исследование указанных явлений с позиции анализа частот собственных
колебаний вращающихся оболочек. Известно [8-11], что простое вращение
оболочки приводит не только к количественной эволюции спектра ее собст
венных частот, связанной с преднапряжением, но и к качественным измене
ниям, которые заключаются в расщеплении кратных частот колебаний и в
переходе от колебаний по стоячим формам к формам, бегущим в окружном
направлении. При этом для одной из расщепленных частот волна бежит в
направлении вращения (прямая прецессия), для другой - в противополож
ном направлении (обратная прецессия). Ниже показано, что состояния, в
которых значения пары расщепленных частот опять становятся равными и
обращаются в нуль, соответствуют статической бифуркации оболочки при
простом вращении, и в случаях, когда частота обратной прецессии равна
угловой скорости простого вращения оболочки, ее сложное вращение сопро
вождается прецессионными резонансами.
Уравнения движения элемента оболочки при сложном вращении.
Возникающие при простом и сложном вращениях критические состояния
равновесия и движения тонкостенного упругого ротора, моделируемого
тонкой оболочкой, характеризуются тем, что в обоих случаях бифурка
ционные эффекты возникают в окрестности некоторого ее преднапряжен-
ного состояния, вызванного простым вращением со скоростью т. Подоб
ными оказываются также формы потери устойчивости, реализуемые во
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2 53
В. И. Гуляев, И. Л. Соловьев, М. А. Белова
вращающейся и неподвижной системах координат в обоих случаях дефор
мированием оболочки по первой (наименее энергоемкой) гармонике в окруж
ном направлении. Этими сходствами обусловлена универсальность методик
нахождения критических состояний в обеих постановках, отличающихся в
основном тем, что для задачи статического выпучивания оболочки разре
шающие уравнения формулируются во вращающейся системе координат, в
то время как уравнения ее прецессионных колебаний составляются в систе
ме координат, связанной с носителем. Как известно [8-11], собственные
колебания вращающихся оболочек также оказываются прецессионными. Для
анализа связи этих колебаний с критическими состояниями при их простом
и сложном вращении выделим из спектра их собственных форм такие, в
которых прецессия по окружной координате также происходит по первой
гармонике. Поскольку при таких подходах разрешающие уравнения задач
статической потери устойчивости и собственных прецессионных колебаний
представляют собой частный случай уравнений прецессионных колебаний
оболочки при сложном вращении, сформулируем вначале задачу об опреде
лении прецессионных резонансов тонких осесимметричных оболочек при
сложном вращении, рассматривая задачи собственных колебаний и о стати
ческом выпучивании как ее более простые варианты.
Примем, что тонкая коническая оболочка своим меньшим основанием
жестко связана с абсолютно твердым носителем, вращающимся вместе с
системой координат Охуг с постоянной по модулю угловой скоростью т
относительно оси симметрии Ог, которая, в свою очередь, совершает плос
кий принудительный поворот с постоянной скоростью т0. На контуре
большого основания оболочка свободна от внешних сил и связей.
Введем правые системы координат: О Х * У * Z * - инерциальная систе-
*
ма координат с началом в центре опорного контура оболочки, ось ОУ
которой колинеарна вектору т о; 0XУZ - поворачивающаяся система коорди-
*
нат, неподвижная ось ОУ которой совпадает с осью ОУ , ось 0 Z совпадает с
осью Ог и поворачивается вместе с ней. На срединной поверхности обо-
1 2 3лочки введем ортогональную криволинейную систему координат Ох х х ,
в которой координатная линия х 1 лежит в образующем сечении, х 2 направ
лена в окружном направлении, х 3 - по внутренней нормали к поверхности
оболочки.
Полагая, что т > > т о, можно принять, что вызванные сложным
вращением колебания оболочки являются установившимися, и для их иссле
дования будем рассматривать оболочку в двух состояниях. В первом состоя
нии оболочка совершает простое вращение с угловой скоростью т. Она
напряжена стационарными осесимметричными центробежными силами
инерции и колебаний не совершает. Во втором состоянии, которое связано с
поворотом системы, на элементы оболочки действуют дополнительные силы
инерции, бегущие в окружном направлении и периодически изменяющиеся
во времени. Последние возбуждают малые колебания оболочки в форме
54 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2
О связи критических состояний конических оболочек
гармоническои волны, прецессирующеи с частотой ш относительно исход
ного напряженного состояния. Условие т > > т 0 позволяет рассматривать
эти состояния по очереди, используя решение уравнений для первого состоя
ния при вычислении коэффициентов уравнений колебаний оболочки во
втором состоянии.
С учетом наличия в оболочке при сложном вращении предварительных
напряжений простого вращения воспользуемся геометрически нелинейными
уравнениями динамического равновесия ее элемента в общем виде [1 2 ],
которые в системе Охуг имеют следующую форму:
У а Т а + р = 0 ; У аМ а + (е а х Т а )4а = 0 (а = 1 , 2 ), ( 1 )
где Т а - вектор внутренних сил; М а - вектор внутренних моментов; У а -
символ ковариантной производной; р - вектор интенсивности внешних сил.
Используя соотношения связи между контравариантными компонен
тами функций внутренних сил Т 1 и моментов М 1 и ковариантными
составляющими функций деформации £ у и изменения кривизн Л у
Т 1 = Е Ы аа(а 1]а аР + ( 1 —V) а 1а а 1 ) / ( 1 —V2);
(2 )
М 1 = ЕН3 л а/3 (а иа а + (1 —V) а 1а а 1 ) / 1 2 ( 1 —V2)
и выражая эти функции через ковариантные компоненты и , и 2 , и 3 вектора
перемещений и и углы поворота &1 сечений
£ ц = (е 1 • ди /д х 1 + е ц • д и /дх1 + • & ц ) / 2 ;
&1 = (ди / дх1) е 3;
Л ц = (е к/ с 1к • д Й /дх 1 + е к/ с 1 • д й /дх1 ) /2 ;
Я = с 1 & 1-е ,• ( 1 , Ц, к = 1 , 2 )
с учетом при раскрытии векторных операций в ( 1 ) изменения параметров
Ь/ второй квадратичной формы в процессе деформации оболочки, полу
чаем нелинейные уравнения ее динамического равновесия.
В рассматриваемом случае роль активных сил, действующих на оболоч
ку, играют только силы инерции. Для их определения используем равенство
р = —уНа, где у - плотность материала оболочки; Н - ее толщина; а - вектор
абсолютного ускорения, рассчитываемый по формуле а = а е + а г + а с. Век
торы переносного (а е), относительного (а г) и кориолисова (а с) ускорений
вычисляются по соотношениям [13]
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N2 2 55
В. И. Гуляев, И. Л. Соловьев, М. А. Белова
a е = ? X p + Q x (Q x р ); a r = d 2 р / d t2; a c = 2 Q x ( d p / dt), (4 )
где Q = wо + w, £ = wо X w - соответственно векторы абсолютной угловой
скорости и углового ускорения подвижной системы координат Oxyz; р -
радиус-вектор элемента оболочки в этой системе.
В результате выполнения векторных операций (4) и пренебрежения
величиной о 2 найдем контравариантные компоненты векторов ускорений:
ае = —w 2 r sinp jy ja n + 2 w 0 w r sin(w t + x 2 )cosp /д /a rr —
— w 2 u r sin2 p / arr + w 2 u з sinp cos p /^ ja n ;
a 2 = — w 2 u 2 / a 2 2 ;
3 2 2a e = w rc o s p + 2 w 0 wrsin(wt + x )sin p +
• + w 2 (u r sinp /y fa ii — u 3 cosp )cosp; (5)
a С = —2wu2 s in p /^ /a jja 2 2 ;
a^ = 2wiij sinp /^ ja n a 22 — 2mii3 cosp /y ja 22 ;
a 3 = 2wii2 cos p /д /a 22 ;
a r = u j / a jj; a r = u 2 j a 2 2 ; a r = u 3 .
Эти ускорения кроме слагаемых, зависящих только от независимой пере
менной t, включают также слагаемые с зависимыми переменными uj, u 2 ,
u 3 , iij, u 2 , u 3 , которые вводятся в левые части разрешающих уравнений,
что приводит к перестройке структуры уравнений и возможности их вырож
дения, связанной с возникновением критических состояний.
Уравнения динамики оболочки при сложном вращении следуют из
соотношений (1)—(3), преобразованных с учетом (4), (5). Однако в равен
ствах, содержащих большую величину w2, учитываются изменения геомет
рии оболочки при ее нагружении и вместо r и p , определяющих соответ
ственно расстояние от оси вращения до рассматриваемого сечения и угол
наклона касательной к образующей, используются величины r + Д г, p +
+ М
Отметим, что наличие множителей sin(wt + x ) в правых частях урав
нений (5) связано с видом инерционной нагрузки на оболочку, которая
является гармонической по x 2 , t и с частотой w обегает ее по окружности,
инициируя прецессионные колебания с частотой w. При моделировании
возбуждаемых этими силами прецессионных колебаний в силу условий
w > > w о принимаем, что они малы. Поэтому вначале выделяем напряженно-
деформированное состояние простого вращения со скоростью w и затем
исследуем прецессионные колебания с помощью уравнений движения, лине
аризированных в окрестности первого состояния [3]:
56 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 2
О связи критических состояний конических оболочек
дДГ11/д х 1 + дДГ 1 2 / дх 2 + (2Гп + Г 22 )Д Г 1 1 + г ] 2 Д Г 2 2 - b jA T 1 3 -
- y h [ - w 2 sin p Д r /л/a 1 1 - w 2r cos рД#** / A/a 1 1 -
- 2 w sin рДи 2 1 'Ja11a 2 2 + Д !^ / a 11] = 2 yhw 0 w r sin( w t + x 2)cos р Д /о Ц ;
дДГ 1 2 / дх 1 + дДГ 2 2 / дх 2 + (3Г 122 + Г 11 1 )Д Г 1 2 - Ь |Д Г 2 3 -
- y h [ - w 2 r cos рД # */л/ a 2 2 + 2w sin p A i iJ J a 11a 2 2 -
' • / I----- •• / 2 (6)2w cos р Д и з j ̂ a 2 2 Д^ 2 / a 2 2 w Ди2 / a 2 2 ] — 0;
дДГ 1 3 / дх 1 + дДГ 2 3 / дх 2 + (Г 122 + Г 11 1 )Д Г 1 3 + ЬПД Г 1 1 +
+ ДЬПГ 1 1 + ь 2 2 Д Г 2 2 + ДЬ22Г 2 2 -
-y h [w 2 cos рД г - w2r sin рД#** + 2wcos р Д и 2 / -yja2 2 + Aii3 ] —
2
— 2 yhw0w rsin р sin(wt + х ).
* *
Слагаемые с множителями Д г, A#j , Д# 2 в левых частях этих уравне
ний определяют так называемые позиционные силы, слагаемые с множи
телями Д ^ 1 , Дм2 , Дм3 характеризуют гироскопические силы, выражения в
правых частях играют роль активных сил. Из-за их явной зависимости от
функции sin(wt + х ) они генерируют гармонические волны, распространя
ющиеся в окружном направлении против направления вращения (обратная
прецессия). Поскольку угловая скорость их прецессирования по модулю
равна угловой скорости собственного вращения, для наблюдателя в непо
движной системе координат они представляются в форме стоячей волны,
описываемой равенствами
1 2
Д и1 — и (1)(х )sin(wt + х );
1 2
Д и 2 — и (2)(х )cos(wt + х );
1 2 Д и 3 — и (3)(х )sin(wt + х );
' ....................................................... (7)
Д Г 1 1 — г (11)( х J)sin( wt + х 2);
ДГ 2 2 — г (22)( х 1 )sin( wt + х 2 );
ДГ 2 3 — г (23)( х J)cos( wt + х 2).
Подставив (7) в (6 ), получим систему обыкновенных дифференциаль
ных уравнений, которая решается методом начальных параметров [3]. Част
ные решения этих уравнений строятся с помощью метода Рунге-Кутта.
Уравнения собственных колебаний вращ аю щ ихся оболочек. Путем
исключения из (6 ) слагаемых, содержащих множитель wо, получаем уравне
ния малых свободных колебаний оболочки при простом вращении. Посколь
ку левая часть преобразованных уравнений содержит искомые функции
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 2 57
В. И. Гуляев, И. Л. Соловьев, М. А. Белова
перемещений Awj, Дм2 , Дм3 , а также их первые и вторые производные по
времени, они не могут описывать собственные колебания в форме стоячих
волн и могут иметь решения только в форме волн, бегущих в окружном
направлении и аппроксимируемых первой гармоникой по фазовой коорди
нате ct + х 2:
1 2 Дм1 = м(!)(х )sin(ct + х );
1 2 Дм2 = м(2 )(х )cos(ct + х );
1 2 Дмз = м(з)(х )sin(ct + х );
' ....................................................... (8 )
Д Т 1 1 = Т (11)( х 1) sin( ct + х 2 );
Д Т 2 2 = Т (22)( х 1) sin( ct + х 2);
ДТ 2 3 = Т (23)( х 1 )cos( ct + х 2 ),
где с - частота свободных колебаний. Очевидно, что положительное значе
ние с соответствует обратной прецессии, отрицательное - прямой прецес
сии.
На основании (6 ) и (8 ) строится однородная система обыкновенных
дифференциальных уравнений:
й Т (11)/ й х 1 - Т (12) + (2Г 11 1 + Г 2 )Т(11) + Г22 Т (22) - Ъ \Т(13) -
- y h ( - w 2 r c o s p # (1 ^ an - w 2 м(1) sin2 p j a n + w 2 м(3) sincpc o s an -
- 2(0 cм(2 ) sin p /y ]a n a 2 2 - c 2 м(1 ^ a u ) = 0 ;
й Т (12V й х 1 + Т (22) + (3Г 122 + Г 11 1 )Т(12) - Ъ22 Т (23) -
• - y h (-w 2 м(2)1 a 2 2 - 2wcм(1 ) sinр Д /a n a 2 2 + 2wcм(3 ) cos a 2 2 - (9)
- c 2 м (2) / a 2 2 - w 2 r cos p ^ (2 ^ a 2 2 ) = 0 ;
йТ(13)/й х 1 - Т (23) + (Г 2 + Г 11 1 )Т (13) + Ъп Т (11) - ц (1 1 )Т01 1 + Ъ22Т (22) -
- ^ (2 2 )Т02 2 - y h (-w 2r sin p # (1 ^ д/ОЦ + w 2 м(1 ) sin p cos p / -
2 2 / I----- 2- w м(3 ) cos p + 2 wcм(2 ) cos p yja22 - c м(3 )) = 0 .
Значения с, при которых она имеет нетривиальное решение для задан
ной скорости w, равны частотам собственных прецессионных колебаний, а
сами решения определяют формы бегущих волн.
У равнения критических состояний тонкостенного упругого ротора
при простом вращ ении. Моделирование потери устойчивости оболочеч-
ного ротора при простом вращении проводится на основании приведенных
выше соотношений, упрощенных с учетом того, что w 0 = 0 , и оболочка не
58 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 2
О связи критических состояний конических оболочек
совершает колебаний. В таком случае нет необходимости в использовании
поворачивающейся системы координат 0ХУ2 и можно рассматривать стати
ческое деформирование оболочки во вращающейся системе координат Охуг.
При этом вместо (5) имеем
-т 1т эш р Д /а Ц ; а 2е = 0 ;
ас = 0; ас = 0; ас = 0; ат = 0 ;
= т 2 т соэ р;
е 2 3 ( 1 0 ) а2 = 0 ; а 3 = 0 .
Подставляя равенства ( 1 0) в уравнения ( 1 ) и линеаризуя их в окрест
ности состояния простого вращения, получаем однородную систему уравне
ний равновесия оболочек в некотором возмущенном, в общем случае неосе
симметричном, состоянии:
дД Т 1 1 /д х 1 + дД Т 1 2/дх 2 + (2ГІ! + Г І!)Д Г 1 1 + Г22 ДТ 2 2 - Ь}А Т 1 3 -
- у Н [-т 2 тсоэрД#**/Л/ а 1 1 - т 2 Дм1 э т 2 р / а11 +
+ т 2 Дм з яп р соэ р Д / а 1 1 ]= 0 ;
дД Т 1 2 / дх 1 + дДТ22/ дх 2 + (3Г 122 + Г 11 1 )Д Т 1 2 -
- ЬІ ДТ 2 3 + уНт 2 т соэ рД # * = 0;
дД Т 1 3 /д х 1 + д Д Т 23/ дх 2 + (Г 122 + Г 11 1 )Д Т 1 3 + Ь1 1 Д Т 1 1 +
( 1 1 )
+ д ь 1 т 1 1 + Ь2 2 Д Т 2 2 + ДЬ2 2 Т 2 2 -
2 ̂ 2 / / 2 2 ■уН[-т т э т р Д ^ + т Дм1 8Іп р соэ р / л/а 1 1 - т Дм3 соэ р ]= 0.
Данная система дополняется соответствующими линеаризированными
соотношениями связи между функциями внутренних сил и моментов, де
формаций и изменения кривизн, а также равенствами, определяющими* *
функции Д#! , Д# 2. Как и выше, полагаем, что выпучивание оболочки
может происходить по наименее энергоемкой форме, в которой искомые
переменные в зависимости от их четности или нечетности по координате X 2
представляются в виде
1 2 Дм1 = и (1 )( х ) э т х ;
1 2 Дм2 = и (2 )(х )соэх
1 2 Дм3 = и (3 )(х ) э т х
( 1 2 )
А Т(11) = Т (11)( х ̂ я п х 2;
АТ 2 2 = т (22)( х ̂ я п х 2;
АТ 2 3 = т (23)( х 1)соэ х 2.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2 59
В. И. Гуляев, И. Л. Соловьев, М. А. Белова
Значения т, при которых однородная система (11) имеет нетривиаль
ные решения, являются критическими, а сами решения определяют формы
потери устойчивости.
Результаты исследований. С помощью предложенного подхода про
анализирована зависимость критических состояний конических оболочек
при простом и сложном вращениях от частоты их собственных колебаний.
По уравнениям срединной поверхности оболочки, задаваемым в виде
2 * 2 1 х = f cos х ; y = f sin x ; z = x ,
где f = k x 1 + r; к = tg а , вычислялись параметры первой и второй квадра
тичных форм a 1 1 , a 2 2 , b 1, b | , b 1 1 , 6 2 2 ■
Были выбраны три оболочки с углами конусности 2а = 150, 120 и 90°.
Во всех случаях длина образующей l = 0,6 м, толщина h = 0,001 м. Своим
меньшим основанием (диаметр 2 r = 0 , 1 м) оболочки были жестко защем
лены, на контуре большого основания задавались условия свободного края.
Значения критических скоростей при простом вращении ткр и резо
нансных скоростей при сложном вращении трез для рассмотренных оболо
чек приведены в таблице. Как видно, значения первых резонансных частот
(т рез) находятся ниже значений первых критических скоростей (т^р), по
этому бифуркационные состояния сложного вращения наступают раньше.
Критические и резонансные значения угловой скорости вращения
конической оболочки
2а (град), равное
150 120 90
кру 1661 - 1040
кр
«2 1844 - -
кр«3 2192 - -
крУ4 2389 - -
резт[ 1011 1196 1624
рез 1332 - -
рез«3 1583 - -
рез«4 1829 - -
Для установления зависимости между этими скоростями построены
частотные кривые вращающейся конической оболочки при і = 1-5 для слу
чая 2а = 150° (рис. 1). Кривые, расположенные в правом квадранте (с* > 0),
соответствуют обратной прецессии, кривые в левом квадранте (с~[ < 0 ) -
прямой прецессии. Следует отметить, что зависимость Сі от О является
60 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 2
О связи критических состояний конических оболочек
существенной, поэтому встречающаяся иногда в практике проектировщиков
методика определения резонансных частот оболочечных элементов роторов
по значениям частот колебаний соответствующих невращающихся оболочек
может привести к большим погрешностям.
о, с1
-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000
Рис. 1. Частотные кривые вращающейся конической оболочки.
При ю — 0 имеет место равенство | с~| — с^ , свидетельствующее о том,
что собственные частоты невращающейся оболочки кратные. Им соответ
ствуют стоячие формы волн, меридиональные сечения которых показаны на
рис. 2,а,б.
а б в г
Рис. 2. Формы деформирования оболочки: а, б - соответственно первая (/ — 1) и вторая (/ — 2)
формы собственных колебаний; в - форма потери устойчивости; г - форма предрезонансных
колебаний.
С изменением ю характеристические кривые с~ (ю) и сг+ (ю) теряют
симметричность относительно оси ординат, т.е. кратные частоты расщепля
ются. Поэтому собственные прямая и обратная прецессии при одном и том
же значении ю реализуются с разными скоростями с . Из рис. 1 следует,
что характеристические кривые имеют довольно сложный вид с наличием
большого числа точек близкого прохождения, в окрестности которых про
ТЗЖ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2 61
В. И. Гуляев, И. Л. Соловьев, М. А. Белова
исходит обмен формами колебаний. Так, кривая, исходящая из точки с1 на
оси абсцисс, сближается с кривой, исходящей из точки с—, но они не
пересекаются и после сближения являются как бы продолжением друг
друга. При этом происходит также обмен формами колебаний. В то же время
их антиподы (кривые с+ и с+) при сближении соединяются и замыкают
друг друга. Кривая с— после отдаления от кривой с— пересекает ось
координат в точке ш^р и сближается с точкой соединения кривых с + и с+,
однако не касается их, а резко изменяет направление и отдаляется, являясь
как бы продолжением кривой с +. При этом в окрестности точки сближения
также происходит обмен формами колебаний. Затем кривая с— сближается и
соединяется с кривой с+.
Аналогично ведет себя кривая с— после отдаления от зоны сближения
ее с кривой с—. Затем она пересекает ось ординат в точке ш2р и близко
подходит к точке соединения кривых с — и с+ , после чего отдаляется от
этой зоны, как бы являясь продолжением кривой с + и части кривой с—.
Далее кривая с— соединяется с кривой с+.
Однако кривая с— после сближения с кривой с—, пересечения оси
ординат в точке ш 3 р и сближения с точкой соединения кривых с— и с+ не
соединяется с кривой с+ , а только сближается с ней и вновь отходит к оси
ординат, как бы являясь ее продолжением.
Построенные на рис. 1 частотные кривые являются портретом колеба
тельного движения оболочки. С их помощью можно установить значения
критических угловых скоростей оболочки при простом и сложном враще
нии. Так, в соответствии с динамическим критерием потери устойчивости
равновесия упругой системы [ 1 4] в ее первом критическом состоянии первая
частота свободных колебаний обращается в нуль и т.д. В рассмотренном
случае все критические значения шкр статического выпучивания оболочки
с углом раскрытия 2а = 1 50°, полученные по описанной выше методике
(таблица), оказались равными значениям угловой скорости ш, при которых
кривые с—(ш), с—(ш) и с—(ш) пересекают ось ординат и обращаются в
нуль. При этом первая форма статической потери устойчивости (рис. 2,в)
была идентична второй форме свободных колебаний (рис. 2,б), что связано с
обменом формами колебаний в точках сближения частотных кривых.
Резонансные режимы колебаний оболочки при сложном вращении уста-
резнавливаются путем выделения значений скорости ш 1 , равных значениям
частоты собственных колебаний. Поскольку в этом случае динамическая
нагрузка в правой части уравнения (6) является функцией фазовой коорди
наты ш( + х обратной прецессии, происходящей со скоростью ш, прецес
сионные резонансы могут быть реализованы только при совпадении частоты
62 /ЗЗЖ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 2
О связи критических состояний конических оболочек
обратной свободной прецессии и скорости ы, т.е. при выполнении равенства
юрез = с + (юрез). Последнее имеет место при пересечении кривой с {(ю)
луча, исходящего под углом 45° из начала координат в правом квадранте
рис. 1. В нашем случае эти пересечения наблюдались при приведенных в
таблице значениях юрез, которые совпали с резонансными значениями юрез,
найденными путем решения уравнений вынужденных колебаний при слож
ном вращении (6 ).
Важно отметить, что после первого пересечения луча характеристичес
кие кривые, пересекая его неоднократно, продолжают располагаться в бли
зости от него. Это значит, что во всем диапазоне этих частот оболочка
остается в почти резонансном режиме.
Для случая 2а — 150° были рассчитаны как функции угловой скорости
ю результирующий упругий момент М упр [5, 6 ] в заделке оболочки и
общий гироскопический момент М гир — I z ют о, действующий при сложном
вращении на эквивалентную твердотельную оболочку с моментом инерции
I z (рис. 3). Из рис. 3 видно, что функция М гир изменяется линейно. До
первой резонансной частоты юрез величина М упр практически совпадает с
М гир , однако в окрестности прецессионных резонансов учет упругой подат
ливости приводит к существенному уточнению момента, действующего на
оболочку.
О 500 1000 1500 2000 2500
Рис. 3. Изменение результирующих упругого М р и гироскопического Мгир моментов.
Форма прецессионных колебаний оболочки в предрезонансной зоне
(рис. 2 ,г) близка первой форме свободных колебаний (рис. 2 ,а).
На рис. 4 показаны типичные формы движения свободного кругового
контура оболочки при статической потере устойчивости во вращающейся и
неподвижной системах координат. В системе координат Оху2 выпученный
контур представляется как неподвижная смещенная окружность (на рис. 4,а
жирная линия), в то время как в инерциальной системе координат ОХ У 2
- как смещенная относительно центра вращающаяся окружность (рис. 4,б).
ТЯЖ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2 63
В. И. Гуляев, И. Л. Соловьев, М. А. Белова
На рис. 4 нанесена метка А, которая позволяет отслеживать ориентацию
сечения по отношению к выбранной системе отсчета. Отметим, что в
данном случае метка А направлена радиально.
Рис. 4. Форма движения свободного края оболочки при потере устойчивости во враща
ющейся (а) и неподвижной (б) системах координат. (Здесь и на рис. 5 пунктиром показаны
контурные линии оболочки в недеформированном состоянии.)
Рис. 5. Формы прецессионных колебаний края оболочки при сложном вращении: а -
вращающаяся система координат; б - поворачивающаяся система координат.
Иначе обстоит дело с формой предрезонансных колебаний оболочки
при сложном вращении, так как она по-разному проявляется во враща
ющейся (Oxyz) и поворачивающейся (ОХУХ) системах координат. Рис. 5,а
иллюстрирует поступательное движение края оболочки вокруг центра О в
системе координат Oxyz. При этом каждая точка контурной линии движется
по круговой траектории в направлении хода часовой стрелки с угловой
скоростью ы, подобно замкнутой кривой, описываемой меткой А в этом же
направлении, причем ориентация метки остается неизменной (так называемая
обратная регулярная прецессия). В то же время система координат Oxyz
вращается в направлении против хода часовой стрелки в системе координат
ОХУ2. Поэтому результирующее движение контурной линии в системе ОХУ2
представляется в виде круга, смещенного на расстояние и (3 )( I) вдоль оси ОУ
и вращающегося вдоль своего контура против хода часовой стрелки с угловой
скоростью ы (рис. 5,б). При этом метка А направлена радиально.
64 ІББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2
О связи критических состояний конических оболочек
Авторы выражают благодарность чл.-кор. НАН Украины Â. Â. Матвееву
и д-ру техн. наук А. П. Зиньковскому за обсуждение результатов работы и
полезные советы.
Р е з ю м е
На основі аналізу залежностей частот власних прецесійних коливань обер
тових конічних оболонок від їх кутової швидкості установлено критичні
стани оболонок, що супроводжуються їх випинанням при простому обер
танні і резонансними коливаннями при складному обертанні. Показано, що
шляхом вибору відповідних систем відрахування можна надати подібність
формам їх закритичної поведінки.
1. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. - М.: Мир, 1971.
- 192 с.
2. Гуляев В. И., Киричук A. A., Ясинский В. A. Устойчивость кинема
тически возбуждаемых колебаний вращающейся сферической оболочки
// Прикл. механика. - 1991. - 27, № 9. - С. 39 - 47.
3. Гуляев В. И., Гром A. A., Снежко H. A. Прецессионные колебания
конических оболочек при сложном вращении // Механика твердого
тела. - 1999. - № 2. - С. 15б - 1б3.
4. Гуляев В. И., Луговой П. З , Соловьев И. Л. Теоретические и экспери
ментальные исследования динамики упругого сферического сегмента
при сложном вращении // Прикл. механика. - 2001. - 37, № б. - С. 111
117.
5. Гуляев В. И., Луговой П. З , Соловьев И. Л., Белова М. A. О бифурка
ционных состояниях вращающихся сферических оболочек // Там же. -
2002. - 38, № 9. - С. 11б - 123.
6. Gulyaev V.I., Solovjov I. L., Lugovyy P. Z. Analysis of precession vibrations
of thin-wall elastic shells in compound rotation // J. Sound Vibration. -
2001. - 246, No. 3. - P. 491 - 504.
7. Aрнoльд В. И., Варченко A. H., Гусейн-Заде С. М. Особенности диффе
ренцируемых отображений. - М.: Физматгиз, 1982. - 304 с.
8 . Егармин H. E. О прецессии стоячих волн колебаний вращающейся
осесимметричной оболочки // Механика твердого тела. - 198б. - 21, № 1.
- С. 142 - 148.
9. Смирнов A. Л., Товстик П. Е. Качественное исследование динамики
вращающихся оболочек вращения // Современные проблемы механики
и авиации. - М.: Машиностроение, 1982. - С. 280 - 290.
10. Padovan Y. Natural frequencies in rotating prestressed cylinders // J. Sound
Vibration. - 1973. - 31. - No. 4. - P. 4б9 - 482.
11. Sivadas K. R. Vibration analysis of prestressed rotating thick circular conical
shell // Ibid. - 1995. - 186, No. 1. - P. 99 - 109.
ISSN 0556-Î7ÎX. Проблемы прочности, 2004, N 2 65
В. И. Гуляев, И. Л. Соловьев, М. А. Белова
12. Григоренко Я. М., Гуляев В. И. Нелинейные задачи теории оболочек и
методы их решения (обзор) // Прикл. механика. - 1991. - 27, № 10. -
С. 3 - 23.
13. Лурье А. И. Аналитическая механика. - М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.
14. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Физматгиз,
1967. - 984 с.
Поступила 17. 01. 2003
66 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47076 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T15:08:28Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гуляев, В.И. Соловьев, И.Л. Белова, М.А. 2013-07-09T16:48:50Z 2013-07-09T16:48:50Z 2004 О связи критических состояний конических оболочек при простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных колебаний / В.И. Гуляев, И.Л. Соловьев, М.А. Белова // Проблемы прочности. — 2004. — № 2. — С. 52-66. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47076 359.3:621 На основании анализа зависимостей частот собственных прецессионных колебаний вращающихся конических оболочек от их угловой скорости установлены критические состояния оболочек, сопровождаемые их выпучиванием при простом вращении и резонансными колебаниями при сложном вращении. Показано, что путем выбора соответствующих систем отсчета можно придать сходство формам их закритического поведения. На основі аналізу залежностей частот власних прецесійних коливань обертових конічних оболонок від їх кутової швидкості установлено критичні стани оболонок, що супроводжуються їх випинанням при простому обертанні і резонансними коливаннями при складному обертанні. Показано, що шляхом вибору відповідних систем відрахування можна надати подібність формам їх закритичної поведінки. Based on the analysis of relationships between natural precession oscillation frequencies of rotating conic shells and their angular velocities, we identified the critical states of shells manifested by their buckling in simple rotation or by resonance oscillations - in complex rotation. It is shown that supercritical mode shapes can be presented in a similar form by selecting the appropriate reference system. Авторы выражают благодарность чл.-кор. НАН Украины В. В. Матвееву и д-ру техн. наук А. П. Зиньковскому за обсуждение результатов работы и полезные советы. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел О связи критических состояний конических оболочек при простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных колебаний On Correlation between the Critical States of Conic Shells in Simple and Complex Rotation with Their Natural Precession Oscillation Frequencies Article published earlier |
| spellingShingle | О связи критических состояний конических оболочек при простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных колебаний Гуляев, В.И. Соловьев, И.Л. Белова, М.А. Научно-технический раздел |
| title | О связи критических состояний конических оболочек при простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных колебаний |
| title_alt | On Correlation between the Critical States of Conic Shells in Simple and Complex Rotation with Their Natural Precession Oscillation Frequencies |
| title_full | О связи критических состояний конических оболочек при простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных колебаний |
| title_fullStr | О связи критических состояний конических оболочек при простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных колебаний |
| title_full_unstemmed | О связи критических состояний конических оболочек при простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных колебаний |
| title_short | О связи критических состояний конических оболочек при простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных колебаний |
| title_sort | о связи критических состояний конических оболочек при простом и сложном вращениях с частотами собственных прецессионных колебаний |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47076 |
| work_keys_str_mv | AT gulâevvi osvâzikritičeskihsostoâniikoničeskihoboločekpriprostomisložnomvraŝeniâhsčastotamisobstvennyhprecessionnyhkolebanii AT solovʹevil osvâzikritičeskihsostoâniikoničeskihoboločekpriprostomisložnomvraŝeniâhsčastotamisobstvennyhprecessionnyhkolebanii AT belovama osvâzikritičeskihsostoâniikoničeskihoboločekpriprostomisložnomvraŝeniâhsčastotamisobstvennyhprecessionnyhkolebanii AT gulâevvi oncorrelationbetweenthecriticalstatesofconicshellsinsimpleandcomplexrotationwiththeirnaturalprecessionoscillationfrequencies AT solovʹevil oncorrelationbetweenthecriticalstatesofconicshellsinsimpleandcomplexrotationwiththeirnaturalprecessionoscillationfrequencies AT belovama oncorrelationbetweenthecriticalstatesofconicshellsinsimpleandcomplexrotationwiththeirnaturalprecessionoscillationfrequencies |