Вырожденные волновые модели магнитной гидродинамики и магнитоупругости и их приложения в теории дифракции волн и управления
Представлены линеаризованные уравнения движения пространственно-неоднородной электропроводящей среды в магнитном поле. Построено улучшенное приближение слабой и идеальной электропроводности. Аналогичные приближения построены для неоднородной магнитоупругой среды и на их основе построены аналитически...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4708 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Вырожденные волновые модели магнитной гидродинамики и магнитоупругости и их приложения в теории дифракции волн и управления / И.Т. Селезов // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 2-3. — С. 159-167. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859481838127415296 |
|---|---|
| author | Селезов, И.Т. |
| author_facet | Селезов, И.Т. |
| citation_txt | Вырожденные волновые модели магнитной гидродинамики и магнитоупругости и их приложения в теории дифракции волн и управления / И.Т. Селезов // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 2-3. — С. 159-167. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Представлены линеаризованные уравнения движения пространственно-неоднородной электропроводящей среды в магнитном поле. Построено улучшенное приближение слабой и идеальной электропроводности. Аналогичные приближения построены для неоднородной магнитоупругой среды и на их основе построены аналитические решения задачи дифракции цилиндрических волн на круговом цилиндрическом препятствии. Анализируется влияние МГД-эффектов на рассеяние волн. Построены также аналитические решения задачи управления с обратными связями флаттером упругой пластины в МГД-потоке. Показано существенное улучшение динамической устойчивости системы.
Наведено лiнеаризованi рiвняння руху просторово-неоднорiдного електропровiдного середовища в магнiтному полi. Побудовано покращене наближення слабкої i iдеальної електропровiдностi. Аналогiчнi наближення побудовано для неоднорiного магнiтопружного середовища i на пiдставi цих наближень побудовано аналiтичнi розв'язки задачi дифракцiї цилiндричних хвиль на круговiй цилiндричнiй перешкодi. Аналiзується вплив МГД-ефектiв на розсiяння хвиль. Побудовано також аналiтичнi розв'язки задачi керування з зворотнiми зв'язками флатером пружної пластини в МГД-потоцi. Показано суттєве покращення динамiчної стiйкостi системи.
Linearized equations of motion of space-inhomogenious electrically conducting medium in the presence of magnetic field are presented. The refined approximation of a weak electroconductivity and perfect electroconductivity are developed. The similar approximations are developed for an inhomogeneous magnetoelastic solid. On the basis of these approximations analytical solutions of the problem of cylindrical wave diffraction by a circular cylindrical obstacle are obtained. The effect of MHD-parameters on the wave scattering is analysed. Also, analytical solutions of the problem of feedback control for a flutter of elastic plate in MHD-flow are obtained. Essential improvement of dynamical stability of the system is shown.
|
| first_indexed | 2025-11-24T13:38:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 159 – 167
УДК 537.84
ВЫРОЖДЕННЫЕ ВОЛНОВЫЕ МОДЕЛИ МАГНИТНОЙ
ГИДРОДИНАМИКИ И МАГНИТОУПРУГОСТИ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ ВОЛН
И УПРАВЛЕНИЯ
И. Т. СЕ Л ЕЗ ОВ
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 10.04.2007
Представлены линеаризованные уравнения движения пространственно-неоднородной электропроводящей среды в
магнитном поле. Построено улучшенное приближение слабой и идеальной электропроводности. Аналогичные при-
ближения построены для неоднородной магнитоупругой среды и на их основе построены аналитические решения
задачи дифракции цилиндрических волн на круговом цилиндрическом препятствии. Анализируется влияние МГД-
эффектов на рассеяние волн. Построены также аналитические решения задачи управления с обратными связями
флаттером упругой пластины в МГД-потоке. Показано существенное улучшение динамической устойчивости систе-
мы.
Наведено лiнеаризованi рiвняння руху просторово-неоднорiдного електропровiдного середовища в магнiтному по-
лi. Побудовано покращене наближення слабкої i iдеальної електропровiдностi. Аналогiчнi наближення побудовано
для неоднорiного магнiтопружного середовища i на пiдставi цих наближень побудовано аналiтичнi розв’язки задачi
дифракцiї цилiндричних хвиль на круговiй цилiндричнiй перешкодi. Аналiзується вплив МГД-ефектiв на розсiя-
ння хвиль. Побудовано також аналiтичнi розв’язки задачi керування з зворотнiми зв’язками флатером пружної
пластини в МГД-потоцi. Показано суттєве покращення динамiчної стiйкостi системи.
Linearized equations of motion of space-inhomogenious electrically conducting medium in the presence of magnetic field
are presented. The refined approximation of a weak electroconductivity and perfect electroconductivity are developed. The
similar approximations are developed for an inhomogeneous magnetoelastic solid. On the basis of these approximations
analytical solutions of the problem of cylindrical wave diffraction by a circular cylindrical obstacle are obtained. The effect
of MHD-parameters on the wave scattering is analysed. Also, analytical solutions of the problem of feedback control for
a flutter of elastic plate in MHD-flow are obtained. Essential improvement of dynamical stability of the system is shown.
ВВЕДЕНИЕ
Проблема рассеяния акустических и электрома-
гнитных волн абсолютно жесткими рассеивателя-
ми канонической формы получила большое разви-
тие как в плане математических подходов, так и в
экспериментальных исследованиях. В случае про-
зрачных рассеивателей со свойствами, зависящи-
ми от координат, или рассеивателей неканониче-
ской формы, получено меньше результатов, что
обусловлено, в первую очередь, сложностью ма-
тематического анализа такого рода задач.
Исследование же рассеяния упругих волн осло-
жняется необходимостью разделения уравнений
теории упругости даже в случае канонических
областей, а в случае более общих областей набор
криволинейных систем координат, допускающих
такое разделение, существенно ограничен [20]. Что
касается неоднородных упругих сред, то здесь воз-
можности разделения уравнений теории упруго-
сти еще более ограничены [19, 27]. Один из воз-
можных популярных подходов для рассеивателей
либо малого размера, либо малой неоднородности
– это борновские аппроксимации [20]. Другой, бо-
лее общий подход, свободный от указанных выше
ограничений, был развит на основе метода обоб-
щенных степенных рядов [8, 23].
Задачи теории рассеяния волн на локальных
неоднородностях в электропроводящем упругом
теле, помещенном в постоянное магнитное поле,
представляют как самостоятельный интерес, так
и прикладной, связанный с диагностикой включе-
ний, полостей, дефектов и других несовершенств,
а также плазменных неоднородностей [1], взаимо-
действия волн с клеткой и локальными неодноро-
дностями биологических объектов [3] и т. д.
В реальных материалах всегда имеется большое
количество различного рода микровключений, де-
фектов, пустот и др., которые при внешних во-
здействиях, например, при действии магнитного
поля, проявляются как сильные концентраторы
магнитоупругих полей, таких как поле напряже-
ний и индуцированное магнитное поле. Это может
служить источником зарождения трещин [10, 13].
Кроме того, при действии механических возмуще-
ний на магнитоупругое тело, находящееся в посто-
янном внешнем магнитном поле, в силу взаимо-
связанности упругого и электромагнитного полей
неизбежно появление возмущений электромагни-
c© И. Т. Селезов, 2007 159
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 159 – 167
тного поля как в области, занятой телом, так и
во внешней среде. Малые вариации электромагни-
тного поля, вызванные дифракцией магнитоупру-
гих волн на жестких препятствиях, полостях или
пространственных неоднородностях, могут быть
легко измерены бесконтактными методами, отли-
чающимися высокой чувствительностью и разре-
шающей способностью. По измеренным величи-
нам можно приближенно диагностировать основ-
ные свойства рассеивателей, их размеры и фор-
му, а в случае прозрачных рассеивателей – их сре-
днюю плотность и ее градиент [1]. Вышеизложен-
ное демонстрирует одно из возможных приложе-
ний теории магнитоупругости в неразрушающем
контроле [10, 16]. В качестве второго приложения
можно отметить сейсмологию.
Большие перспективы магнитной гидродинами-
ки связаны с возможностью создания массовой си-
лы Лоренца, которая может применяться в ка-
честве управляющей в теории автоматического
управления системами с распределенными пара-
метрами. Поле массовых сил Лоренца может легко
варьироваться в пространстве и времени в отли-
чие, например, от силы гравитации, которая по-
стоянна, что существенно расширяет возможности
управления.
В большинстве случаев в теории автоматиче-
ского управления применяется граничное управ-
ление. В последнее время указанная возможность
получила развитие в управлении течениями аэро-
и гидродинамических объектов для уменьшения
сопротивления, и отмечалось, что распределен-
ное управление массовыми силами соответствует
нереальному случаю, когда объемные силы при-
кладываются всюду в жидкости. Для граничного
управления управляющее воздействие – это ско-
рость границы, что более практично в механике
жидкости и может быть реализовано в реальных
ситуациях.
Управление посредством силы Лоренца получи-
ло развитие для уменьшения сопротивления, по-
давления отрывных течений, неустойчивостей.
Отметим некоторые исследования в этой обла-
сти. В [21] реализуется электромагнитное управ-
ление течением морской воды при обтекании кру-
гового цилиндра. Магнитное поле создается вмон-
тированными в цилиндр секциями постоянных ма-
гнитов. В [18] отрывное от стенки течение управ-
ляется акустическим возбуждением через щели в
профиле. Управление турбулентным течением в
канале силой Лоренца при формировании посто-
янного магнитного поля в стенке рассматривается
в [11, 12]. Показана возможность уменьшения со-
противления на 10%. В работе [28] реализуется
управление посредством силы Лоренца отрывом
течения в области разрежения при обтекании про-
филя, в котором создается пристеночное постоян-
ное магнитное поле распределенным набором по-
стоянных магнитов, вмонтированных в профиле в
области разрежения.
В [24] исследуется влияние электрического поля
на устойчивость течения слоя суспензии. В работе
[17] реализуется управление посредством силы Ло-
ренца слабопроводящей жидкостью, обтекающей
цилиндр, при создании постоянного пристеночно-
го магнитного поля набором постоянных магнитов
в цилиндре. Это дает возможность подавлять ви-
хревую дорожку Кармана или уменьшать сопро-
тивление.
Управление с обратными связями турбулен-
тным течением, а также явлениями, описывае-
мыми уравнением Бюргерса, рассматривается в
[14]. Исследуются два типа управлений – ра-
спределенное и граничное. В случае распреде-
ленного управления реализуется пространственно-
распределенное управляющее воздействие, в слу-
чае граничного управления возбуждение реализу-
ется посредством колебаний границы.
Из вышеизложенного видно, что во всех рабо-
тах, кроме [14], реализуется пассивное управление,
которое существенно уступает управлению с обра-
тными связями.
В данной статье приведена задача управле-
ния флаттерными колебаниями упругой пласти-
ны в МГД-потоке. Здесь применяется управление
с обратными связями, что существенно расширя-
ет возможности управления. Показано, что это ра-
сширяет область устойчивости по числу Маха на
50%.
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
НЕОДНОРОДНОЙ МГД-СРЕДЫ
Исходная система уравнений магнитной гидро-
динамики в криволинейной ортогональной систе-
ме координат ~x = (x1, x2, x3) записывается в виде
балансовых и конститутивных уравнений [7, 15]:
сохранения импульса
−~∇P = ρ̂
(
∂~V
∂t
+ (~V · ~∇)~V
)
− ~J × ~B, (1)
сохранение массы
∂ρ̂
∂t
+ ~∇ · (ρ̂~V ) = 0,
законы Ампера и Фарадея
160 И. Т. Селезов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 159 – 167
~∇× ~H = ~J, ~∇× ~E = −
∂ ~B
∂t
, (2)
условие отсутствия магнитных и электрических
зарядов
~∇ · ~D = 0, ~∇ · ~B = 0,
конститутивные уравнения
∂P
∂ρ̂
= c2
0, ~D = ε~E,
~B = µ ~H, ~J = γ(~x)(~E + ~V × ~B). (3)
Предполагается, что переменные P, ρ̂, ~V , ~J, ~B
зависят от ~x и t, диэлектрическая и магнитная
проницаемости постоянны ε = const, µ = const,
невозмущенные величины плотности ρ0, вектора
скорости ~V0 и электропроводности γ зависят от
пространственных координат: ρ0 = ρ0(~x), ~V0 =
= ~V0(~x), γ = γ(~x).
На поверхности раздела двух сред 1 и 2 должны
удовлетворяться условия сопряжения:
~n ·
(
~V 1 − ~V 2
)
= 0, (4)
[(
σ1
ik + T 1
ik
)
−
(
σ2
ik + T 2
ik
)]
ni = 0, (5)
i, k = 1, 2, 3,
~n ·
(
µ1
µ2
~H1 − ~H2
)
= 0, ~n ×
(
~H1 − ~H2
)
= 0, (6)
~n ·
(
µ1
µ2
~E1 − ~E2
)
= 0, ~n ×
(
~E1 − ~E2
)
= 0, (7)
σik = −pδik, (8)
Tik = εEiEk + PHHiHk−
−
1
2
δik
(
εE2 + PHH2
)
. (9)
В случае постановки начально-краевых задач сис-
тема (1)–(9) должна быть дополнена начальными
условиями. Кроме того, при рассмотрении кон-
кретных задач может быть необходимым привле-
чение условий регулярности.
После некоторых преобразований система урав-
нений (1)–(3) приводится к следующему виду:
−c2
0(~x)~∇ρ̂ = ρ̂
(
∂~V
∂t
+ (~V · ~∇)~V
)
−
−µ(~∇× ~H) × ~H, (10)
∂ρ̂
∂t
+ ~∇ ·
(
ρ̂~V
)
= 0, (11)
∂ ~H
∂t
= −~∇×
[
1
µγ (~x)
~∇× ~H
]
+ ~∇×
(
~V × ~H
)
, (12)
~∇× ~H = ~J, ~∇× ~E = −µ
∂ ~H
∂t
,
~∇ · ~E = 0, ~∇ · ~H = 0, (13)
~J = γ (~x)
(
~E + µ~V × ~H
)
,
~D = ε ~E, ~B = µ ~H. (14)
В дальнейшем, принимая в качестве характер-
ных величин l, cq, ρq , H0, вводятся безразмерные
величины (звездочки далее опускаются)
~x∗ =
~x
l
, t∗ =
cqt
l
, ~V ∗ =
~V
cq
, ρ̂∗ =
ρ̂
ρq
, p∗ =
p
ρqc2
q
,
~H∗ =
~H
H0
, ~E∗ =
1
µH0cq
~E, ~j∗ =
l
H0
~j, (15)
(σ∗
ik, T ∗
ik) =
1
ρqc2
q
(σik, Tik)
и безразмерные комплексы: PH =
µH2
0
ρqc2
q
– магни-
тное давление; Rm = cqlµσ – магнитное число Рей-
нольдса.
После обезразмеривания в соответствии с соо-
тношениями (15) нелинейная система уравнений
(10)–(14) и условия сопряжения (4)–(9) линеари-
зуются на основе двух предположений: представ-
ления поля в виде суперпозиции невозмущенного
и возмущенного полей и предположения малости
возмущенных полей по сравнению с невозмущен-
ными. В соответствии с первым предположением
искомые функции представляются в виде
ρ̂ (~x, t) = ρ0 (~x) + ρ (~x, t) ,
~V (~x, t) = ~V0 (~x) + ~v (~x, t) ,
~J (~x, t) = ~Jf (~x) +~j (~x, t) , (16)
И. Т. Селезов 161
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 159 – 167
~H (~x, t) = ~H0 + ~Hf (~x) +~h (~x, t) ,
~B (~x, t) = ~B0 + ~Bf (~x) +~b (~x, t) ,
~E (~x, t) = O + ~e (~x, t) , ~D (~x, t) = O + ~d (~x, t) .
В соответствии со вторым предположением о
малости возмущенных величин, обозначая симво-
лом z любую полевую функцию, имеем
|z (~x, t)|max
|Z0 (~x)|
<< 1. (17)
Из системы (10)–(14) с учетом представлений
(16) и предположения (17) получаем уравнения не-
возмущенного состояния
−~∇ρ0 (~x) = ρ0 (~x)
[
~V0 (~x) · ~∇
]
~V0 (~x)−
−PH
[
~∇× ~Hf (~x)
]
×
[
~H0 + ~Hf (~x)
]
,
~∇ · [ρ0(~x)~V0] = 0,
~∇×
[
1
Rm (~x)
~∇× ~Hf (~x)
]
− ~∇×
×
{
~V0 (~x) ×
[
~H0 × ~Hf (~x)
]}
= 0, (18)
~∇× ~Hf (~x) = ~Jf (~x) , ~∇ · ~Hf (~x) = 0,
~Jf (~x) = Rm (~x)
{
~V0 (~x) ×
[
~H0 × ~Hf (~x)
]}
,
~B0 + ~Bf (~x) = µ
[
~H0 × ~Hf (~x)
]
и возмущенного состояния
~∇ρ = ρ0(~x)
∂~v
∂t
+ [~V0(~x) · ~∇]~v + (~v · ~∇)~V0(~x)−
−{PH [~∇× ~Hf(~x)] · ~h + (~∇ · ~h) · [ ~H0 · ~Hf(~x)]},
∂ρ
∂t
+ ~∇ ·
[
ρ0 (~x)~v + ρ~V0 (~x)
]
= 0,
∂~h
∂t
= −~∇×
[
1
Rm (~x)
~∇×~h
]
+ ~∇×
×
{
~V0 (~x) ×~h + ~v ×
[
~H0 + ~Hf (~x)
]}
, (19)
~∇×~h = ~j, ~∇× ~e = −
∂~h
∂t
, ~∇ · ~e = 0, ~∇ · ~h = 0,
~j = Rm(~x){~e + [~V0(~x) ×~h + ~v × [ ~H0 + ~Hf (~x)]]},
~d = ε ~e , ~b = µ ~h.
В принципе, прежде, чем решать задачу возму-
щенного cостояния, необходимо решить задачу не-
возмущенного состояния (т. е. задачу магнитоста-
тики), что представляет принципиальные труд-
ности. Поэтому обычно рассматривают самые про-
стейшие ситуации (например, однородное магни-
тное поле), представляющие собой тривиальные
решения системы (18), либо просто не учитывают
неоднородность реального магнитного поля из-за
невозможности построения решений (например, в
случае ограниченных областей).
В случае покоящейся в невозмущенном состоя-
нии жидкости имеем ~V0 (~x) = 0, ~Hf (~x) = 0, т. е.
рассматриваются среды неоднородные только по
плотности ρ0 (~x), и тогда система уравнений (19)
сводится к магнитоакустическому приближению.
В рамках этой модели рассмотрим два предель-
ных приближения по магнитному числу Рейнольд-
са Rm.
В случае слабопроводящих сред (Rm << 1)
искомые функции представляются в виде разло-
жений по Rm:
~v = ~v0 + ~v1Rm + ~v2R2
m + . . . ,
ρ = ρ0 + ρ1Rm + ρ2Rm
2
+ ..., (20)
~h = 0 +~h1Rm +~h2R2
m + . . . ,
~e = 0 + ~e1Rm + ~e2R2
m + . . . ,
~j = 0 +~j1Rm +~j2R2
m + . . . .
Улучшенное приближение слабопроводящих
сред основано на предположениях сильного
магнитного поля и соотношении порядка величин
PH >> 1, Rm ∼ P−1
H << 1. (21)
Как видно из структуры представлений (20), в
соответствии с (21) гидродинамическое поле игра-
ет роль первичного порождающего.
162 И. Т. Селезов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 159 – 167
После подстановки разложений (20) в уравнения
(19) и сохранения членов первого порядка мало-
сти с учетом (21) уравнения первого приближения
имеют вид
ρ0
∂v0
∂t
+ ~∇p0 = RmPH
(
~v0 × ~H0
)
× ~H0,
∂ρ0
∂t
+ ~v0 · ~∇ρ0 + ρ0
~∇ · ~v0 = 0,
∂p0
∂t
= c2
[
∂ρ0
∂t
+
(
~v0 · ~∇
)
ρ0
]
, (22)
~∇×~h1 = ~v0 × ~H0, ~∇× ~e1 = −
∂~h1
∂t
,
~∇ · ~h1 = 0, ~∇ · ~e1 = 0.
Аналогичные преобразования на основе выра-
жений (20) и (21) проводятся и в условиях сопря-
жения (4)–(9).
На основе модели (22) рассмотрено много кон-
кретных задач и проведен анализ влияния МГД-
эффектов на распространение и дифракцию волн
[5–7].
Сильнопроводящие среды характеризуются не-
равенством Rm >> 1, так что искомые функции
f представляются в виде асимптотических разло-
жений по обратным степеням Rm:
f = f0 + f1R−1
m + f2R−2
m + . . . . (23)
С учетом разложения (23) уравнения первого
приближения, соответствующего идеальнопрово-
дящим средам, имеют вид
ρ0
∂~v0
∂t
+ ~∇p0 = PH
(
~∇×~h0
)
× ~H0,
∂ρ0
∂t
+ ~v0 · ~∇ρ0 + ρ0
~∇ · ~v0 = 0,
∂p0
∂t
= c2
[
∂ρ0
∂t
+ ~v0 · ~∇ρ0
]
, (24)
∂~h0
∂t
= ~∇×
(
~v0 × ~H0
)
, ~∇× ~e0 = −
∂~h0
∂t
,
~∇ · ~h0 = 0, ~e0 + ~v0 × ~H0 = 0.
Система уравнений (24) – гиперболического ти-
па. Эта вырожденная модель получила обширные
приложения в решении задач в связи с тем, что
имеется много реальных сильнопроводящих сред
и МГД-эффекты в таких средах могут быть суще-
ственными.
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕОДНОРО-
ДНОЙ МАГНИТОУПРУГОЙ СРЕДЫ
Рассмотрим магнитоупругую среду, поведение
которой определяется связанной системой уравне-
ний электромагнитного поля и теории упругости.
При указанных в предыдущем изложении пред-
положениях и условиях гладкости всех функций
линеаризованные уравнения возмущенного дви-
жения неоднородной магнитоупругой среды пред-
ставляются в виде [2, 26]
{
~∇ [λ (~x) + G (~x)] ~∇ · ~u
}
− ~∇×
×
[
G (~x) ~∇× ~u
]
+ 2
{[
~∇G (~x)
]
· ~∇
}
~u−
−
[
~∇G (~x)
](
~∇ · ~u
)
+
[
~∇G (~x)
]
×
(
~∇× ~u
)
=
= ρc (~x) ~̈u − Ph
(
~∇×~h
)
× ~H0, (25)
~̈h = −~∇×
[
R−1
m (~x)
(
~∇×~h
)]
+
+~∇ ×
(
~̇u × ~H0
)
, (26)
~∇×~h = ~j, ~∇× ~e = −PH
~̇h, (27)
~∇ · ~h = 0, ~∇ · ~e = 0, (28)
~j = Rm (~x)
(
P−1
H ~e + µ~̇u × ~H0
)
, (29)
~b = PH
~h, ~d = ε~e. (30)
Условия сопряжения на упругой поверхности
раздела двух магнитоупругих сред аналогичны
(4)–(9).
Система (25)–(30) представлена в безразмерной
форме, при этом при введении безразмерных вели-
чин в качестве характерных были приняты следу-
ющие: l – длина; v – скорость; ρ – массовая плот-
ность; H – магнитное поле. Поведение магнитоу-
пругой среды характеризуется двумя безразмер-
ными комплексами: PH = µH2/
(
ρv2
0
)
– магнитное
давление и Rm (~x) = R0f (~x) = lv0µγ (~x) – коэф-
фициент электропроводности (R0 = |Rm (~x)|max),
представляющий собой аналог магнитного числа
Рейнольдса в магнитной гидродинамике.
И. Т. Селезов 163
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 159 – 167
Улучшенное приближение слабой проводимо-
сти, как и в случае МГД-сред, основывается на
следующих допущениях: сильное магнитное поле
PH >> 1, соотношение порядков величин R0 ≈
P−1
H << 1, и, как следствие, возмущенное электро-
магнитное поле генерируется упругими возмуще-
ниями. Как и в случае однородной среды исходим
из разложений
~u = ~u0 + ~u1R0 + . . . , ~h = O +~h1R0 + . . . .
После подстановки этих разложений в систему
(24)–(30) и приравнивания членов при одинаковых
степенях Rm с учетом указанных выше допущений
получаем первое приближение в виде
L(~u) = ρc(~x)~̈u
0
− PHRm(~x)(~u0 × ~H0) × ~H0, (31)
~∇×~h1 = f(~x)(~̇u × ~H0), (32)
~∇× ~e1 = −
˙~h1, ~∇×~h1 = 0, ~∇·~e1 = 0. (33)
Систему (31)–(33) необходимо интегрировать
таким образом: общее решение находится из урав-
нения (31), затем из уравнений (32), (33) достаточ-
но находить только частные решения.
Приближение сильной электропроводности
R0 >> 1 выводится из разложений ~u и ~h по
степеням R−1
0
. В первом приближении полу-
чаем уравнения, соответствующие идеальной
проводимости:
L
(
~u0
)
= ρc (~x) ~̈u0 −PH
[
~∇× ~∇×
(
~u0 × ~H0
)]
× ~H0,
(34)
~h0 = ~∇×
(
~u0 × ~H0
)
, ~e0 = −PH~̇u0 × ~H0, (35)
~j0 = ~∇× ~∇×
(
~u0 × ~H0
)
, ~∇ · ~h0 = 0, ~∇ · ~e0 = 0.
(36)
В данном случае достаточно найти только ве-
личину ~u0 из уравнения (34), а затем определить
остальные полевые величины как частные реше-
ния уравнений (35) и (36).
Разделение векторных уравнений теории упру-
гости в случае неоднородных сред представляет
большие трудности и возможно только в некото-
рых частных случаях. В случае же магнитоупру-
гих сред проблема усложняется, некоторые случаи
разделения установлены в [2].
На основе приведенных выше моделей рассмо-
трено много задач дифракции магнитоупругих
волн на локальных неоднородностях [6, 23]. Про-
веден анализ влияния электропроводности среды
на рассеянное поле.
3. ДИФРАКЦИЯ МАГНИТОАКУСТИЧЕ-
СКИХ ВОЛН НА ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ
ПРЕПЯТСТВИИ
Приведена постановка и построено решение но-
вой задачи рассеяния цилиндрических волн дав-
ления на цилиндрическом препятствии в электро-
проводящей сжимаемой среде при действии ма-
гнитного поля H03. В цилиндрической системе
координат (r, θ, z) ⇔ (x1, x2, x3) рассматривается
идеальнопроводящий цилиндр x1 = a, на кото-
рый набегают цилиндрические волны давления,
излучаемые сосредоточенным осевым источником,
расположенном на расстоянии b от оси цилин-
дра. Внешняя среда описывается уравнениями ма-
гнитной гидродинамики в линейном акустическом
приближении. Предполагается также, что среда
имеет слабую электропроводность и на него дей-
ствует достаточно сильное однородное постоянное
магнитное поле H03.
Уравнения (22) в цилиндрической системе коор-
динат, связанной с рассеивателем, записываются в
виде [4]
ρ0
∂v1
∂t
= −c2
0
∂g
∂x1
− PHRmv1,
ρ0
∂v2
∂t
= −c2
0
1
x1
∂g
∂x2
− PHRmv2, (37)
∂ρ
∂t
+ ρ0
1
x1
[
∂
∂x1
(v1x1) +
∂
∂x2
v2
]
= 0,
1
x1
[
∂
∂x1
(h1x1) +
∂h2
∂x2
]
= 0,
1
x1
∂h3
∂x2
= v2,
∂h3
∂x1
= v1, (38)
1
x1
[
∂
∂x1
(e1x1) +
∂e2
∂x2
]
= 0.
Условия сопряжения (4)–(9), отнесенные к не-
возмущенной поверхности x1 = 1, с учетом иде-
альной проводимости цилиндра сводятся к таким
(остальные условия выполняются тождественно):
164 И. Т. Селезов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 159 – 167
vp
1
= 0, Rp
mhp
3
= j3, ep
2
= 0. (39)
Кроме того, искомые функции во внешней обла-
сти должны удовлетворять условиям излучения и
ограниченности при x1 → ∞.
Для определения вида излучаемой волны сна-
чала решается задача излучения в системе коор-
динат x̄1, x̄2, x̄3, которая связана с излучателем.
Искомые функции представляются в виде
f(x1 , x2, x3, t) = f∗(x1, x2, x3)e
−iωt. (40)
С учетом выражения (40) построены решения осе-
симметричной задачи излучения волн. Решения
задачи дифракции волн (37)–(39) после примене-
ния теоремы сложения Неймана, представляющей
общее поле в системе координат, связанной с рас-
сеивателем, получены в виде бесконечных рядов,
содержащих комбинации функций Бесселя и Хан-
келя.
На основе общих решений построим приближен-
ное решение для рассеянного поля плотности ρ
в дальней зоне в длинноволновом приближении.
В этом случае функции Ханкеля в решении за-
меняются их асимптотическими приближениями
при больших значениях аргумента, а среди коэф-
фициентов ряда Cv доминируют первые два C0
и C1. Кроме того, рассматриваются только ма-
лые значения PHRm. Тогда все функции, кото-
рые входят в решение, можно представить в виде
асимптотических разложений по PHRm. Это дает
возможность получить решение в виде аналитиче-
ских формул и затем исследовать их. После громо-
здких преобразований получаем такие выражения
для ρ:
Re ρ = −2exp
[
−
1
2
PHRm
ρ0c0
(b + x1)
]
×
×
[
1 +
1
16
(
PHRm
ωρ0
)]
−2
× (41)
×
(
cos kb −
PHRm
ωρ0
sin kb
)
(1 + 2 cosx2),
Imρ = −2exp
[
−
1
2
PHRm
ρ0c0
(b + x1)
]
×
×
[
1 +
1
16
(
PHRm
ωρ0
)]
−2
× (42)
×
(
sin kb −
PHRm
ωρ0
cos kb
)
(1 + 2 cosx2).
В правых частях выражений (41) и (42) опущен
множитель
(
1
kx1
)1/2
eikx1, левые части нормиро-
ваны множителем 4(kb)1/2k−2. Критерий удален-
ности поля и максимальная относительная погре-
шность при заданной точности вычислений εe име-
ют вид ipx1 ≥
4v2 − 1
8εe
,
1
2
p2ln ≤ εe . Если магни-
тное поле отсутствует (RmPH = 0), то из соотно-
шений (41) и (42) следует известное решение соо-
тветствующей акустической задачи [9].
Из выражений (41) и (42) легко установить,
что при фиксированных b и x1 с увеличением на-
пряженности невозмущенного магнитного поля H0
или электропроводности σ амплитуда рассеянного
поля уменьшается по экспоненциальному закону.
Кроме того, изменение напряженности магнитно-
го поля H0 или электропроводности σ влияет на
расположение нулей и экстремумов функций Reρ
и Imρ по дуговой координате x2, а это представ-
ляет собой значительный интерес при определении
диаграмм напряженности рассеянного поля.
4. ФЛАТТЕР УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ
В МГД-ПОТОКЕ
На основе приведенных выше уравнений для
слабопроводящей МГД-среды рассматривается за-
дача о подавлении аэроупругих колебаний пласти-
ны в потоке электропроводящей среды. Это дости-
гается применением управления с обратными свя-
зями посредством воздействия электромагнитных
(пондеромоторных) сил в отличие от широко ра-
спространенных подходов, основанных на грани-
чном управлении [22].
Рассматривается упругая пластина толщины 2δ
со срединной поверхностью x3 = 0, обтекаемая
сверху x3 ≥ δ элетропроводящим потоком с не-
возмущенной скоростью
⇀
V = (V01, 0, 0) при дей-
ствии однородного постоянного магнитного поля
~H = ( 0, 0, H3). Снизу при x3 ≤ −δ пласти-
на ограничена непроводящей покоящейся в на-
чальном состоянии средой. Управление реализу-
ется посредством магнитного поля ~hc(x1, x2, t) =
kw(x1, t)~h
p(x1, x2, t), которое должно удовлетво-
рять тем же уравнениям, что и объект управле-
ния (~hp – магнитное поле объекта, w – отклонение
пластины, k – коэффициент управления с обра-
И. Т. Селезов 165
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 159 – 167
тной связью). Наряду с ~hc здесь учитываются и ее
производные.
Математическая постановка, соответствующая
уравнениям (22), включает уравнения (в безра-
змерном виде) для МГД-потока в верхней области
x3 > 0 [22, 25]
ρ̂
(
∂ ~V
∂ t
+
(
~V · ~∇
)
~V
)
= −~∇ p̂ + PH
~J × ~H,
∂ ρ̂
∂ t
+ ~∇ ·
(
ρ̂ ~V
)
= 0,
d p
d ρ̂
= c2
0
,
~∇× ~H = ~J, ~∇× ~E = −
∂ ~H
∂ t
, ~∇· ~D = ρe, ~∇· ~B = 0,
~D = ε ~E, ~B = µ ~H, ~J = Rm
(
~E + ~V × ~H
)
.
(43)
условия сопряжения на поверхности раздела x3 =
= 0 (срединной поверхности) областей 1 (x3 > 0)
и 2 (x3 < 0)
~n ·
(
µ1
µ2
~H1 − ~H2
)
= 0, ~n ×
(
~H1 − ~H2
)
= 0,
~n ·
(
µ1
µ2
~E1 − ~E2
)
= 0, ~n ×
(
~E1 − ~E2
)
= 0,
~n ·
(
~V 1 − ~V 2
)
= 0,
[(
σ1
ik + T 1
ik
)
−
(
σ2
ik + T 2
ik
)]
ni = 0, i, k = 1, 2, 3,
(44)
где PH = µ H2
0/ρq c 2
q – магнитное давление; Rm =
= l cq µ σ << 1 – магнитное число Рейнольдса; σ
– электропроводность. Начальные условия в этой
задаче не требуются. Аналогичная система пред-
ставляется и для управляющего поля с индексом
“с”.
Вводятся предположения: ρe = 0, µ1 = µ2,
искомые функции представляются как ~H = ~H0 +
~h, p̂ = p0 + p, ρ̂0 = ρ0 + ρ, ~V = V0 + ~V , так что
невозмущенные величины с индексом ”0” не зави-
сят от x и t, а возмущенные величины предпола-
гаются малыми по сравнению с невозмущенными,
что позволяет линеаризовать систему (43), (44).
При этом применяется улучшенная аппроксима-
ция слабой электропроводности (22).
В результате условия (44) сводятся к следующей
системе:
(
∂ 2
∂ t2
+ a 1 ∇
2 ∇ 2 − a2
∂ 2
∂ t2
∇ 2 + a3
∂ 4
∂ t4
)
w =
=
(
1 − d1 ∇
2 + d2
∂ 2
∂ t2
)
q,
q = σp
2 2
+ T p
2 2
− T2 2, v2 =
(
∂
∂ t
+ V01
∂
∂ x1
)
w,
T p
2 i = T 2 i, (i = 1, 3) , H p
3
= H3. (45)
Представляя решения для каждой полевой
функции в виде f(x1 , x1, t) = F (x2)exp[i(ωt+αx1)],
приходим к задаче для определения функций, за-
висящих от x2 в верхней и нижней областях. По-
сле подстановки этих решений в условия сопря-
жения (45) получаем условие устойчивости, кото-
рое после выделения действительной и мнимой ча-
стей приводит к связанной системе уравнений для
определения критических частот и критических
скоростей – чисел Маха Mcr.
С учетом указанных предположений из системы
(43) и (45) выведено условие устойчивости, позво-
ляющее определить критическое число Маха Mcr
в зависимости от коэффициенты обратной связи
k:
Ω
c2
0
ρ0η
−ω2 + a1α
4 − a2ω
2α2 + a3ω
4
1 − d1α2 + d2ω2
=
= (1 + iαa1)iΩ +
b1
α
[(1 + iαa1)η
2 + α2 + η2]k, (46)
где α – волновое число; ω = Reω + i Im ω – кру-
говая частота. Сложные комплексные коэффици-
енты b1, η2 и ap, dq зависят от характерных пара-
метров.
На основе соотношения (46) выведены усло-
вия устойчивости и управляемости, которые ана-
лизируются при конкретных безразмерных пара-
метрах. Показано, что критическое число Ма-
ха Mcr возрастает с увеличением коэффициента
обратной связи k (примерно на 50%).
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Представлены уравнения магнитной гидродина-
мики и магнитоупругости неоднородных сред. По-
строено улучшенное приближение слабой электро-
проводности (магнитное число Рейнольдса Rm <<
1, а магнитное давление PH >> 1, так что Rm ∼
P−1
H << 1), а также приближение идеальной эле-
ктропроводности Rm → ∞. Такие модели суще-
ственно расширяют возможности построения ана-
литических решений и последующего анализа.
166 И. Т. Селезов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 159 – 167
Показано, что с увеличением напряженности не-
возмущенного магнитного поля H0 или электро-
проводности σ амплитуда рассеянного поля умень-
шается по экспоненциальному закону. Кроме то-
го, изменение напряженности магнитного поля H0
или электропроводности σ влияет на расположе-
ние нулей и экстремумов функций Reρ и Imρ по
дуговой координате x2, а это представляет значи-
тельный интерес при определении диаграмм на-
правленности рассеянного поля.
Построены также аналитические решения за-
дачи управления с обратными связями флаттер-
ными колебаниями упругой пластины в МГД-
потоке. Показано существенное улучшение дина-
мической устойчивости системы, т.е. критическое
число Маха Mcr может быть увеличено на 50%.
1. Селезов И.Т. К обратным задачам диагностики
плазменных неоднородностей // Распределенное
управление процессами в сплошных средах.– К.:
Ин-т кибернетики АН УССР, 1972. С. 22–48.
2. Селезов И. Т. Некоторые приближенные формы
уравнений движения магнитоупругих сред // Изв.
АН СССР, Механика твердого тела.– 1975.– N 5.–
С. 86-91.
3. Селезов И.Т. Дифракционное взаимодействие эле-
ктромагнитных волн с клеткой // Нелинейные
краевые задачи математической физики и их
приложения.– К.: Ин-т математики АН УССР,
1993. – С. 119–121.
4. Селезов I.Т., Кривонос Ю.Г. Стацiонарна задача
розсiяння цилiндричної магнiтоакустичної хвилi
на iдеальнопровiдному цилiндрi // Доповiдi АН
УРСР.– 1971.– N 2.– С. 169–173.
5. Селезов И.Т., Корсунский С.В. Нестационарные и
нелинейные волны в электропроводящих средах.–
Киев: Наукова думка, 1991.– 200 с.
6. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г., Яковлев В.В. Рассе-
яние волн локальными неоднородностями в спло-
шных средах.– Киев: Наукова думка, 1985.– 136 с.
7. Селезов И.Т., Селезова Л.В. Волны в магнито-
гидроупругих средах.– Киев: Наук. думка, 1975.–
164 с.
8. Селезов И.Т., Яковлев В.В. Дифракция волн
на симметричных неоднородностях.– Киев: Наук.
думка, 1978.– 146 с.
9. Шендеров Е.П. Дифракция цилиндрической зву-
ковой волны на цилиндре // Акуст. журн.– 1961.–
T. 7, N 3.– С. 370–374.
10. Baker G.A., Gammel J.L. Elastic wave scattering by
a flaw in an isotropic, homogeneous solid // J. Appl.
Phys.– 1981.– V. 52, N 6.– P. 3729–3737.
11. Berger T., Kim J., Lee C., Lim J. Turbulent boundary
layer control utilising the Lorentz force // Phys.
Fluids.– 2000.– 12.– P. 631–649.
12. Breuer K.S., Park J., Henoch C. Actuation and
control of a turbulent channel flow using Lorenz
forces // Phys. Fluids.– 2004.– V. 16, N 4.– P. 897-
907.
13. Chattopadhyay A., Maugin G.A. Magnetoelastic
surface shear waves due to a momentary point
source // J. Acoust. Soc. Amer.– 1993.– V. 94, N1.–
P. 437–446.
14. Choi H., Temam R., Moin P., Kim J. Feedback
control for unsteady flow and its application to the
stochastic Burgers equation // J. Fluid Mech.– 1993.–
253.– P. 509–543.
15. Eringen A.C., Maugin G.A. Electrodynamics of
continua. 1. Foundation of solid media. 2. Fluids and
complex media. Springer-Verlag, 1990.
16. Hasegawa H., Yoshiie K. Tension of elastic solid with
elastic circular-cylindrical inclusion // JSME Int. J.–
1996.– V. 39, N 2.– P. 186–191.
17. Hinze M. Control of weakly conductive fluids by near
wall Lorentz force // GAMM Mitteilungen.– 2007.–
V. 30, N 1.– P. 149–158.
18. Hsiao F.-B., Liu C.-F., Shyu J.-Y. Control of wall-
separated flow by internal acoustic excitation // AI-
AA J.– 1990.– V. 28, N 8.– P. 1440–1446.
19. Hook J.R. Separation of the vector wave equation of
elasticity for certain types of inhomogeneous isotopic
media // J. Acoust. Soc. Amer.– 1961.– V. 33, N 3.–
P. 302–313.
20. Morse F.M., Feshbach H. Methods of theoretical
physics. Vol.1 and 2.: New York, McGraw-Hill Inc., –
1953.– 930 and 880 p.
21. Posdziech O., Grundmann R. Electromagnetic
control of seawater flow around circular cylinders //
Eur. J. Mech., B, Fluids.– 2001.– 20.– P. 255–274.
22. Selezov I.T. Stabilization of a magnetohydrodynamic
flutter instability by distributed control //
Magnetohydrodynamics.– 1973.– V. 6, N 3.–
P. 326–330.
23. Selezov I.T. Diffraction of waves by radially
inhomogeneous inclusions // Physical Express.–
1993.– V. 1, N 2.– P. 101–115.
24. Selezov I.T. Effect of the electric field on wave moti-
on in a thin suspension layer flowing over an incli-
ned plane // J. Intelligent Material Systems and
Structures.– 1996.– V. 7, N 5.– P. 507–510.
Selezov I. Wave instabilities of MHD-flow over elastic
surface and their cancellation by feedback control./
Book of Abstracts. Annual Meeting GAMM 98,
Bremen, Germany, April 6–9,– 1998,– P. 127.
25. Selezov I. Some models of coupled magnetoelastic
fields and their application to the investigation of
propagation and diffraction of waves // J. Math.
Sciences.– 2001.– 104(5).– P. 1490–1500.
26. Singh S.J., Ben-Menahem A. Decoupling of the vector
wave equation of elasticity for radially heterogeneous
media // J. Acoust. Soc. Amer.– 1969.– V. 46, N 3,
Pt. 2.– P. 655–660.
27. Weier T., Gerbeth G. Control of separated flows by
time periodic Lorentz forces // Eur. J. Mechanics, B,
Fluids.– 2004.– N 23.– P. 835–849.
И. Т. Селезов 167
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4708 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T13:38:19Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Селезов, И.Т. 2009-12-18T14:00:35Z 2009-12-18T14:00:35Z 2007 Вырожденные волновые модели магнитной гидродинамики и магнитоупругости и их приложения в теории дифракции волн и управления / И.Т. Селезов // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 2-3. — С. 159-167. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4708 537.84 Представлены линеаризованные уравнения движения пространственно-неоднородной электропроводящей среды в магнитном поле. Построено улучшенное приближение слабой и идеальной электропроводности. Аналогичные приближения построены для неоднородной магнитоупругой среды и на их основе построены аналитические решения задачи дифракции цилиндрических волн на круговом цилиндрическом препятствии. Анализируется влияние МГД-эффектов на рассеяние волн. Построены также аналитические решения задачи управления с обратными связями флаттером упругой пластины в МГД-потоке. Показано существенное улучшение динамической устойчивости системы. Наведено лiнеаризованi рiвняння руху просторово-неоднорiдного електропровiдного середовища в магнiтному полi. Побудовано покращене наближення слабкої i iдеальної електропровiдностi. Аналогiчнi наближення побудовано для неоднорiного магнiтопружного середовища i на пiдставi цих наближень побудовано аналiтичнi розв'язки задачi дифракцiї цилiндричних хвиль на круговiй цилiндричнiй перешкодi. Аналiзується вплив МГД-ефектiв на розсiяння хвиль. Побудовано також аналiтичнi розв'язки задачi керування з зворотнiми зв'язками флатером пружної пластини в МГД-потоцi. Показано суттєве покращення динамiчної стiйкостi системи. Linearized equations of motion of space-inhomogenious electrically conducting medium in the presence of magnetic field are presented. The refined approximation of a weak electroconductivity and perfect electroconductivity are developed. The similar approximations are developed for an inhomogeneous magnetoelastic solid. On the basis of these approximations analytical solutions of the problem of cylindrical wave diffraction by a circular cylindrical obstacle are obtained. The effect of MHD-parameters on the wave scattering is analysed. Also, analytical solutions of the problem of feedback control for a flutter of elastic plate in MHD-flow are obtained. Essential improvement of dynamical stability of the system is shown. ru Інститут гідромеханіки НАН України Вырожденные волновые модели магнитной гидродинамики и магнитоупругости и их приложения в теории дифракции волн и управления Degenerated wave models of magnetohydrodynamics and magnetoelasticity and their applications in the theory of wave difraction and control Article published earlier |
| spellingShingle | Вырожденные волновые модели магнитной гидродинамики и магнитоупругости и их приложения в теории дифракции волн и управления Селезов, И.Т. |
| title | Вырожденные волновые модели магнитной гидродинамики и магнитоупругости и их приложения в теории дифракции волн и управления |
| title_alt | Degenerated wave models of magnetohydrodynamics and magnetoelasticity and their applications in the theory of wave difraction and control |
| title_full | Вырожденные волновые модели магнитной гидродинамики и магнитоупругости и их приложения в теории дифракции волн и управления |
| title_fullStr | Вырожденные волновые модели магнитной гидродинамики и магнитоупругости и их приложения в теории дифракции волн и управления |
| title_full_unstemmed | Вырожденные волновые модели магнитной гидродинамики и магнитоупругости и их приложения в теории дифракции волн и управления |
| title_short | Вырожденные волновые модели магнитной гидродинамики и магнитоупругости и их приложения в теории дифракции волн и управления |
| title_sort | вырожденные волновые модели магнитной гидродинамики и магнитоупругости и их приложения в теории дифракции волн и управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4708 |
| work_keys_str_mv | AT selezovit vyroždennyevolnovyemodelimagnitnoigidrodinamikiimagnitouprugostiiihpriloženiâvteoriidifrakciivolniupravleniâ AT selezovit degeneratedwavemodelsofmagnetohydrodynamicsandmagnetoelasticityandtheirapplicationsinthetheoryofwavedifractionandcontrol |