Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану

Предложен новый метод для анализа напряженно-деформированного состояния упругих круговых тороидальных оболочек, основанный на выборе в качестве неизвестных функций усилий и перемещений. Метод позволяет исследовать явление овализации гиба, возникающее при приложении внешних пространственных изгиба...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2004
Hauptverfasser:	Орыняк, И.В., Радченко, С.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2004
Schriftenreihe:	Проблемы прочности
Schlagworte:	Научно-технический раздел
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47087
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану / И.В. Орыняк, С.А. Радченко // Проблемы прочности. — 2004. — № 3. — С. 23-51. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47087
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-470872025-02-09T17:31:03Z Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану Strain Analysis of Pipe Bend Portion within Mixed Approach Framework. Part 1. Spatial Bending According to Saint-Venant Орыняк, И.В. Радченко, С.А. Научно-технический раздел Предложен новый метод для анализа напряженно-деформированного состояния упругих круговых тороидальных оболочек, основанный на выборе в качестве неизвестных функций усилий и перемещений. Метод позволяет исследовать явление овализации гиба, возникающее при приложении внешних пространственных изгибающих моментов. Получены геометрические уравнения, связывающие компоненты перемещений с деформациями, и введены гипотезы малости, что дает возможность пренебречь определенными комбинациями перемещений при рассмотрении деформирования оболочки. Показано, что гипотеза Кармана о недефор- мируемости срединной поверхности трубы может использоваться только после исключения окружного усилия из уравнений равновесия. Установлены границы применимости полученных решений в зависимости от порядка приближения по параметру гибкости. Выведены дифференциальные уравнения балочного типа для криволинейного стержня, связывающие углы поворотов и перемещения линии центров с внешними факторами нагружения. Полученные результаты сопоставляются с приведенными в литературных источниках. Запропоновано новий метод для аналізу напружено-деформованого стану пружних кругових тороїдальньїх оболонок, заснований на виборі у якості невідомих функцій зусиль і переміщень. Метод дозволяє досліджувати явище овалізації згину, що виникає при прикладенні зовнішніх просторових згинальних моментів. Отримано геометричні рівняння, що зв’язують компоненти переміщень із деформаціями, і введено гіпотези малості, що дозволяє знехтувати певними комбінаціями переміщень при розгляді деформування оболонки. Показано, що гіпотеза Кармана про недеформованість серединної поверхні труби може використовуватися тільки після виключення окружного зусилля з рівнянь рівноваги. Установлено границі застосовності отриманих рішень у залежності від порядку наближення по параметру гнучкості. Виведено диференціальні рівняння балкового типу для криволінійного стрижня, що зв’язують кути поворотів і переміщення лінії центрів із зовнішніми факторами навантаження. Отримані результати зіставляються з наведеними в літературних джерелах. We propose a new method for analysis of stress-strain state of elastic circular toroidal shells, based on selection of loads and displacements as unknown functions. The proposed method makes possible to study the phenomenon of pipe bend portion taking the oval shape under action of external spatial bending moments. The geometrical equations are obtained which link displacement components to strains, and infinitissimal assumptions are made which allow one to neglect certain combinations of displacements in consideration of shell deformation. It is shown that the Karman hypothesis on nondeformability of pipe median surface is applicable only upon exclusion of circumferential load in the equilibrium equations. We determined applicability intervals of the obtained solutions in dependence from the approximation order of flexibility parameter. We derived differential equations of beam type for curvilinear bar linking degrees of rotation and displacements of center lines with the external loading factors. The results obtained are compared to the available literary data. 2004 Article Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану / И.В. Орыняк, С.А. Радченко // Проблемы прочности. — 2004. — № 3. — С. 23-51. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47087 539.4 ru Проблемы прочности application/pdf Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Научно-технический раздел Научно-технический раздел
spellingShingle	Научно-технический раздел Научно-технический раздел Орыняк, И.В. Радченко, С.А. Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану Проблемы прочности
description	Предложен новый метод для анализа напряженно-деформированного состояния упругих круговых тороидальных оболочек, основанный на выборе в качестве неизвестных функций усилий и перемещений. Метод позволяет исследовать явление овализации гиба, возникающее при приложении внешних пространственных изгибающих моментов. Получены геометрические уравнения, связывающие компоненты перемещений с деформациями, и введены гипотезы малости, что дает возможность пренебречь определенными комбинациями перемещений при рассмотрении деформирования оболочки. Показано, что гипотеза Кармана о недефор- мируемости срединной поверхности трубы может использоваться только после исключения окружного усилия из уравнений равновесия. Установлены границы применимости полученных решений в зависимости от порядка приближения по параметру гибкости. Выведены дифференциальные уравнения балочного типа для криволинейного стержня, связывающие углы поворотов и перемещения линии центров с внешними факторами нагружения. Полученные результаты сопоставляются с приведенными в литературных источниках.
format	Article
author	Орыняк, И.В. Радченко, С.А.
author_facet	Орыняк, И.В. Радченко, С.А.
author_sort	Орыняк, И.В.
title	Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану
title_short	Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану
title_full	Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану
title_fullStr	Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану
title_full_unstemmed	Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану
title_sort	анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. сообщение 1. пространственный изгиб по сен-венану
publisher	Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate	2004
topic_facet	Научно-технический раздел
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47087
citation_txt	Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану / И.В. Орыняк, С.А. Радченко // Проблемы прочности. — 2004. — № 3. — С. 23-51. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.
series	Проблемы прочности
work_keys_str_mv	AT orynâkiv analizdeformacijgibatrubynaosnovesmešannogopodhodasoobŝenie1prostranstvennyjizgibposenvenanu AT radčenkosa analizdeformacijgibatrubynaosnovesmešannogopodhodasoobŝenie1prostranstvennyjizgibposenvenanu AT orynâkiv strainanalysisofpipebendportionwithinmixedapproachframeworkpart1spatialbendingaccordingtosaintvenant AT radčenkosa strainanalysisofpipebendportionwithinmixedapproachframeworkpart1spatialbendingaccordingtosaintvenant
first_indexed	2025-11-28T18:12:15Z
last_indexed	2025-11-28T18:12:15Z
_version_	1850058787109470208
fulltext	УДК 539.4 Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану И. В. Орыняк, С. А. Радченко Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина Предложен новый метод для анализа напряженно-деформированного состояния упругих круговых тороидальных оболочек, основанный на выборе в качестве неизвестных функций усилий и перемещений. Метод позволяет исследовать явление овализации гиба, возникающее при приложении внешних пространственных изгибающих моментов. Получены геометричес кие уравнения, связывающие компоненты перемещений с деформациями, и введены гипотезы малости, что дает возможность пренебречь определенными комбинациями перемещений при рассмотрении деформирования оболочки. Показано, что гипотеза Кармана о недефор- мируемости срединной поверхности трубы мож ет использоваться только после исклю чения окружного усилия из уравнений равновесия. Установлены границы применимости полученных реш ений в зависимости от порядка приближения по параметру гибкости. Выведены дифференциальные уравнения балочного типа для криволинейного стержня, связы вающие углы поворотов и перемещения линии центров с внешними факторами нагружения. Полученные результаты сопоставляются с приведенными в литературных источниках. Ключевые слова : гиб трубы, прямая труба, параметры кривизны и гибкости, гипотезы малости, овализация, изгиб в плоскости и из плоскости. Введение. Гиб трубы - ответственный компонент трубопроводных систем, используемых в энергетической, нефтехимической и других отрас лях народного хозяйства. Расчет напряженного состояния гиба для обосно вания его целостности при различных видах статической и динамической нагрузок является важной задачей. Отличительная особенность деформиро вания гиба заключается в том, что при приложении внешних изгибающих моментов перпендикулярно его оси возникают дополнительные перерезы вающие силы, приводящие к сплющиванию (овализации) поперечного сече ния. В свою очередь, это увеличивает податливость гиба трубы по сравне нию с прямой трубой одинакового поперечного сечения, описываемого в литературных источниках коэффициентом К . Существуют два безразмерных параметра, предопределяющих отличие гиба трубы от прямой трубы. Первый - параметр кривизны а, представ ляющий собой отношение радиуса сечения гиба Я к радиусу его оси В, второй - параметр гибкости X, определяемый по следующему соотноше- „ Я 2нию: X = ---- , где X - толщина стенки трубы. Чем больше эти коэффициенты, В1 тем значительнее проявляются различия в податливостях и распределении напряжений в прямой трубе и гибе. Первое аналитическое объяснение эффекта овализации поперечного . Я 2 сечения гиба трубы при изгибе в плоскости для а = Я/В ^ 0 и Х = ----< 1 В1 было предложено Карманом [1]. Суть решения состояла в представлении © И. В. ОРЫНЯК, С. А. РАДЧЕНКО, 2004 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 3 23 И. В. Орыняк, С. А. Радченко компонент перемещений в виде заданных тригонометрических функций с несколькими неизвестными коэффициентами. Составление и минимизация функционала упругой энергии позволили определить эти коэффициенты и получить явное аналитическое решение для коэффициента К . Основным моментом в анализе Кармана является использование гипотезы о несжима емости срединной поверхности поперечного сечения гиба (гипотеза Кар мана), которая предопределяет однозначную связь между тангенциальными и радиальными перемещениями. Позже появилось много работ, обобщающих результаты Кармана для учета больших значений а и Я, в том числе при изгибе из плоскости трубы, внутреннего давления, температуры и т.д. В связи с этим отметим работу Бразье [2], в которой впервые описывался эффект потери устойчивости прямой трубы при изгибе (эффект Бразье). Суть эффекта Бразье заключается в том, что с увеличением внешнего изгибающего момента растет кривизна исходной трубы, что приводит к увеличению значения Я в процессе дефор мирования, а значит, ко все более нелинейно увеличивающейся овализации поперечного сечения. Начиная с некоторого значения изгибающего момента овализация нарастает катастрофически, даже если происходит постепенное уменьшение нагрузки. Исследованию гиба трубы, в том числе исходного некругового сечения, посвящено большое количество работ. Отметим монографии [3-5], в кото рых обсуждается основная проблема гиба трубы и приведены многочислен ные литературные ссылки по данной тематике. Заметим, что в [3] вопросы нелинейного упругого деформирования оболочек с криволинейной осью решаются с достаточной степенью общности на высоком уровне. В настоящее время наблюдается повышенный интерес к анализу оболо чек с криволинейной осью, в частности к гибу трубы. Исследуются пробле мы геометрически и физически нелинейного поведения гиба [6- 8], потери устойчивости при комбинированном нагружении - изгиб с давлением, в том числе внешним [9], динамического анализа [10-12], включая определение собственных частот [13], описания краевых эффектов в зонах сопряжения гиба с другими конструктивными элементами трубопроводной системы [14-16]. При этом все еще имеют место работы, выполненные в русле традиционных проблем статики оболочек, описанных, в частности, в моно графиях [3-5]. Причина этого, наверное, заключается не только в уточнении известных решений, но и в необходимости разработки более общих подхо дов для анализа указанных выше проблем и применении их для решения относительно простых задач, уже рассмотренных в литературных источ никах. Данная работа посвящена разработке нового подхода к анализу замкну тых оболочек с криволинейной осью. Последовательно изучается ряд задач, решения которых приведены авторами в отдельных сообщениях. Особен ностью подхода является выбор в качестве исходных неизвестных, пред ставляемых в виде тригонометрических рядов, как деформационных, так и силовых параметров. Это позволяет применять гипотезу Кармана, т.е. сокра щать число неизвестных, с возможностью получения сравнительно простых аналитических решений при достаточно хорошей точности. 24 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2004, № 3 Анализ деформаций гиба трубы Уместно отметить, что решения задач статики теории оболочек в стро гой постановке сводятся к трем дифференциальным уравнениям с тремя неизвестными компонентами вектора перемещений. Решение их проводится численно [3, 17, 18] либо используются последующие упрощения. Упрощен ные подходы основаны на гипотезе Кармана. Однако, как показано в [15, 19], последняя выполняется только приближенно. Ее использование приводит к значительному преувеличению вторичных осевых сил от окружных сил овализации, а также к другим неточностям. Примером такого подхода слу жит полученное в [5] решение, где в предельном переходе при 0, 0 в результате действия изгибающего момента возникают не только линейно изменяющиеся продольные напряжения, но и пропорциональные им с коэф фициентом Пуассона окружные напряжения, что противоречит решению для прямой трубы. Заметим, что решения [5] вошли в ответственные регуля тивные документы по расчету трубопроводов, используемых в атомной [20], нефтехимической [21] и других отраслях промышленности. Цель настоящего сообщения заключалась в получении общих уравне ний для деформирования оси оболочки как линии центров масс поперечных сечений. Это связано с тем, что трубопроводные системы при расчетах рассматриваются в качестве стержневых моделей. Оболочечные, или локаль ные, так как описывают местное поведение каждой точки поперечного сечения, решения необходимы для установления упругих свойств сечения в целом. Однако, по нашему мнению, взаимосвязь между оболочечными и балочными, или глобальными, поскольку описывают поведение точек линии центров масс поперечных сечений, решениями в литературных источниках прослеживается недостаточно четко, что приводит к разным толкованиям при анализе таких стержневых систем. В частности, само понятие податли вости криволинейной балки неоднозначно и может относиться как к центру масс, так и к нейтральной оси. Поэтому очень важно, чтобы при анализе стержня оперировали понятиями и величинами, выработанными в оболо- чечном анализе. А это возможно, если задаться целью получения общего оболочечно-балочного решения, т.е. решения, в котором одновременно при сутствуют члены, ответственные как за перемещения оси балки, так и каждой точки поперечного сечения. 1. Основные уравнения. Гиб трубы рассматривается как тонкостенная оболочка. Геометрические размеры гиба и обозначения приведены на рис. 1, где г , р - локальная система полярных координат, связанная с каждым поперечным сечением; х , у , 2 - локальная система декартовых координат, причем у - координата исследуемой точки по лучу, соединяющему центр гиба (точка О) с центром рассматриваемого сечения (точка О1), отсчиты ваемая от точки О1; Я - средний радиус поперечного сечения; г - толщина стенки трубы; В - радиус кривизны; 0 = х /В - угловая координата попереч ного сечения гиба. Направления локальных перемещений точек срединной поверхности гиба трубы w, V, и совпадают с направлениями координат г , р , х соответственно. Угол р отсчитывается от оси 2 в сторону, противо положную оси у. Важно заметить, что все глобальные величины (внешние изгибающие и крутящий моменты, углы поворотов и перемещения сечения гиба, коэф 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2004, № 3 25 И. В. Орыняк, С. А. Радченко фициент увеличения податливости) относятся к центру сечения гиба. Это в дальнейшем позволит достаточно просто распространить полученные реше ния на случай сопряжения гиба трубы с другими элементами трубопровод ной системы. Рис. 1. Общий вид и система координат для гиба трубы. Учитываются следующие внешние силовые факторы, приводящие к деформации гиба: К х (в ) - крутящий момент; К 2 - изгибающий момент относительно оси 2, т.е. момент в плоскости гиба; К у (в) - изгибающий момент относительно оси у, т.е. момент из плоскости гиба, К х ( в ) = окх ( в )2лЯ 2 г; К 2 = о к 2жК 2 г; (1) К у (в ) = оку (в )жя2 г, где о - единичное напряжение; к - соответствующие безразмерные коэф фициенты, которые характеризуют величину внешнего нагружения. Поло жительные направления К х , К у и К 2 соответствуют вращению по часо вой стрелке вокруг соответствующей оси, если смотреть вдоль оси из начала координат. Внешние поперечные силы, приводящие к изменению вектора внешнего момента, не учитываются. В анализе момент К 2 будем рассмат ривать постоянным по координате х, а моменты К у и К х зависящими от координаты х. При этом глобальные изгибающий К у и крутящий К х моменты связаны между собой дифференциальными зависимостями: 26 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2004, № 3 Анализ деформаций гиба трубы dK . dK у 1 # - K y; i / = - K- (2) Из уравнений (2) несложно получить дифференциальную связь между безразмерными моментами k y и k x : dk. k у dk у * т - t - - ж - - 2 ^ (3) Уравнения равновесия для торообразной оболочки имеют следующий вид [22]: N т 1 d 1 dQx N x sin <р ~ R + RSS dm(Q m S) + S ~de~ + S - 0; (4a) 1 д Q m 1 dL N . cos m RS dm (SN(p) - R + S д в - S - 0; (4б) 1 d 2 dNx r s dm(S L )+ і в г - Qx sin m - 0; (4в) 1 d dM SQ m+ R d p (SM m) + ^ ^ - M x co sm - 0; (4r) 1 d 2 dM SQx + R S ду (S 2M x ) + V = ° (4Д) Здесь N у , N x , Q y , Qx - локальные продольные и поперечные силы в соответствующих направлениях; M у и M x - локальные изгибающие мо менты; L и M уХ - касательные сила и момент соответственно; S - перво начальный радиус кривизны каждой точки поверхности гиба трубы, S (у ) = B ° + R sin у = B ° (1 + а sin у ), (5) где B о - первоначальный радиус кривизны гиба. Внутренние силы и моменты связаны с деформациями с помощью так называемых физических уравнений, которые широко известны и записы ваются так: N y = н (£у + ^ £в ); (6а) Nx = H (£ е + № у ); (6б) н L = у (1“ ^ )Уву (6в) ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, N2 3 27 И. В. Орыняк, С. А. Радченко M р = н д ( х<р + м в ); (7а) М х = н д ( x e + М р ); (7б) И д ( \ - ц ) M рх = ----- 2------ХвР , (7В) где Ев , Е у , у в(р - деформации срединной поверхности; Х в , Ху и Хву - Ег , г2 кривизны в соответствующих направлениях; Н = -------^ , " = — ; Е - мо дуль Юнга, ц - коэффициент Пуассона. Геометрические уравнения связывают перемещения точек срединной поверхности с деформациями. Для обоснования дальнейших упрощений рассмотрим получение этих уравнений. В соответствии с решениями в рамках теории упругости деформации удлинения и сдвига, записанные в тороидальных координатах, имеют вид 1 ды + v cos р + w sin р B о + r sin р дв S 1 dv w (8а) £р r др + r ; (8б) _ dw £ r = — (8в) _ 1 ды ы cos р 1 dv ^ вр r др B о + r sin р B о + r sin р дв ; (9а) и и _ дv v дw = > = i r - r + ТдТр- <9б> _ 1 дW ды u sin р ^ r B о + r sin р дв дr B о + r sin р ’ (9в) где r - переменный радиус сечения гиба. На основании этих уравнений устанавливаются геометрические урав нения теории оболочек. Исходным является допущение о том, что переме щения произвольной точки оболочки могут быть представлены следующим образом: ы ( r , р , z ) = ы( r , р ) + ZH1( r , р ); (1Qa) 28 ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2004, № 3 Анализ деформаций гиба трубы V(Г,р , 2 ) = у(Г,р ) + 2Ц 2 (Г, р ); (106) ™( Г, р ) = Ч Г, р ), (10в) где и , V, ^ - перемещения срединной поверхности оболочки; ^ 1, Ц 2 - углы поворотов нормали к срединной поверхности; 2 - координата по толщине стенки оболочки (2 = 0, если точка находится на срединной поверхности), совпадающая по направлению с осью г. В соответствии с исходными гипотезами теории оболочек полагаем, что у рГ = у г в = 0. Тогда из уравне ний (9) и (10) можно получить выражения для ^ и ^ 2 : 1 I . дw 1 I (116) Аналогично выражению (10) деформации можно представить так: ё е = £ в + Ч е ; (12а) £р = £р + ч<р; (126) Увр=Увр + 2Хвр ■ (12в) При этом выражения для кривизн Х в , Хр и Хвр могут быть записаны в виде суммы деформационных и угловых компонент: Хв = Хв + Х М; (13а) х р = х р N + x M; (136) Хвр = Хвр + Хвр 5 (13в) где индексы N и M относятся соответственно к деформационной и угло вой компоненте. Деформационная компонента связана с изменением кри визны элемента, а угловая - с изменением угла наклона элемента. Выражения для £ в , £р , У вр , Хв, Хр и Хвр получают путем подста новки (10) с учетом (11) в (8а), (86) и (9а), при этом для вывода дефор мационных составляющих кривизн принимают во внимание представление r = R + z: 1 ди v cos р + w sln р e » = S Т в + S ; (14a) ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2004, № 3 29 И. В. Орыгняк, С. А. Радченко 1 ду w £(р~ Я д<р + Я ’ 1 ди и 008р 1 ду Увр = Я д р ~ ~~5 + 5 ~дв (14б) (14в) Хв = ЭШ р ди (у 008 р + W ЭШ р ) ЭШ р ^ 2 дв___________2 _________( + + ди — э т р - — г- дв дв 2 I дw + \|у - — I др, 00Э р Я5 V МХв (15а) 1 ду w 1 Хр Я 2 др Я 2 + Я 2 ду 2д w др др 2 хрN ХрМ (15б) х вр 1 ди и ооэ р э т р э т р ду + ------ ^ — — - — т1— + Я 2 др Хвр э т р ди иооэ р 2и э т р ооэ р 2 д w 2 ооэ р дw 1 ду ^ ------ - — + ---- ^ — + — — .ЯЯ др Я5 5' Я5 двдр 5 2 дв Я5 дв (15в) х м Хвр Зависимости (15) между кривизнами и перемещениями для срединной поверхности круговой тороидальной оболочки окончательно записываются так: Хв 1 д w (у ооэр + w э т р ) э т р I дw + \| у — — \| др5 2 дв2 ооэ р Я5 ’ (16а) Х р = 1 д2 w w Я 2 др 2 Я 2 (16б) Х вр = 1 ди и ооэр 1 ду Я др Б Б дв 1 э т р Я - ~ Т ~ 2 д w 2ооэ р дw двдр + 5 2 з в . (16в) и 1 30 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2004, № 3 Анализ деформаций гиба трубы Геометрические выражения (14) и (16) получены различным путем многими авторами. При этом деформационные выражения (14) совпадают, в то время как выражения для компонент Х в , Хр и Хвр в общем случае незначительно отличаются [10, 23], что в итоге приводит к почти одина ковым результатам при непосредственном трудоемком решении путем под становки геометрических уравнений (14) и (16) в уравнения равновесия (4) с учетом физических уравнений. Цель представленного выше схематического вывода деформационных уравнений заключается в обосновании упрощающих гипотез, обычно при меняемых для решения таких задач. Наиболее известной из них является гипотеза Кармана о несжимаемости срединной поверхности поперечного сечения в окружном направлении, которая с учетом (14б) имеет следующий вид: Такого рода гипотезы позволяют существенно упростить решение задачи. Однако это допущение недостаточно обосновано, и непосредст венное применение гипотезы может приводить к качественным ошибкам. Наша трактовка упрощающих гипотез несколько иная. Во-первых, рассмат риваемые ниже гипотезы касаются только деформирования гиба как обо лочки и неприменимы для деформирования гиба как стержня. Во-вторых, они пригодны для медленно изменяющегося по координате х (или в) напряженного состояния. Примем, что величина Q р может быть выражена как функция одной компоненты перемещений V или м>. Тогда согласно (7) и (4г) запишем где Б и Б 2 - некоторые операторы дифференцирования. Для переменных V и м>, которые сравнительно медленно изменяются в зависимости от угла рр , т.е. значения этих функций сопоставимы с их производными, можем записать где К 1 и К 2 - некоторые ограниченные константы, сопоставимые с еди ницей. Суть овализации (или оболочечного решения) состоит в том, что соглас но уравнениям равновесия (4а) и (4б) величины поперечных сил Q р соизме римы с продольной N р и касательной Ь силами. Тогда, сопоставляя их с учетом (6), (14) и (18б), получаем w = — др (17) Q р = Б 1( ̂ )И д = Б 2( V )Ид, (18а) Q р = К ̂ И д = К 2 vHд, (18б) (19а) ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2004, № 3 31 И. В. Орыняк, С. А. Радченко ду w иди \----- \----- "т ~ К lдw. Ядр Я Бдв 1 (19б) С учетом малости К ^ , сопоставимости величин у и w и того, что все нагрузки и перемещения медленно изменяются по координате в , условия (19) можно преобразовать следующим образом: ду ------- w << w; дер ду ------- w < < у ; др (20а) Б д ( и \ ду -------1 — I + ----- < < w,у. Я д р \ Б ) Бдв (20б) Тем не менее нельзя считать, что £р = 0 (см. уравнение (14б)), ведь малость одной величины определяется другой, с которой она сравнивается. ду Яди Поэтому из этих выражений не следует, что, например, — — — w < < — —. др Бдв Следовательно, при рассмотрении выражений для N р и Ых в физических уравнениях (6) неверно полагать £р = 0. Аналогично обосновывается, что в выражениях (14а) вполне правомочно выразить в соответствии с (17) пере менную w через у или, наоборот, что позволяет сократить количество неиз вестных. Однако нельзя считать, что Увр= 0, а значит, и Ь = 0. Проведенный анализ показал, что выражения для кривизн (16) в соответ ствии с гипотезами (20) могут быть записаны через одну неизвестную функцию у: Хв д 3 у у С08 р Б 2 дрдв2 ду др 31П р у + ■ д 2 у др 2 С08 р ЯБ (21а) 1 д3 у 1 ду Хр = я 2 д р 3 + я 2 д р ; (21б) Х вр =р Б д в \ Я 3д у ЯБ двдр 2 2соэр д у Б 2 дрдв (21в) 1 Выражения (21) вместе с обосновывающими их гипотезами (20) являются частью новизны предлагаемого подхода. Полученные условия (20) для краткости назовем гипотезами малости. 2. Метод решения. 2.1. Способ задания неизвестных. Предложенный ниже метод основан на комбинированном выборе исходных неизвестных, а именно используются разложения в тригонометрические ряды осевых усилий N x(в ,р ), касатель- 32 IББN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, N 3 Анализ деформаций гиба трубы ных усилий Ц 0 , р ), продольных и(0 , р ) и тангенциальных v(0 , р ) переме щений, а не только вектора перемещений, как обычно. Это позволяет, с одной стороны, сохранить простоту решения, с другой - добиться большой точности решения. Перемещения точек контура сечения гиба представляют собой сумму двух типов перемещений: связанных с перемещениями линии центров сече ний (они не вызывают деформации контура сечения) и обусловленных деформированием контура сечения. Таким образом, для точек контура гиба (рис. 1) имеем u uл.ц uдеф; (22a) v = v л.ц v деф; (22б) W = W л.ц + ^ Деф. (22в) Линия центров обладает шестью степенями свободы: три перемещения и три угла поворота. Поэтому соответствующие перемещения точек контура могут быть представлены в виде и лц = U 0( 0) + 0 z ( 0 )R sin р + 0 y ( 0 )R cos р; (23a) vл ц = -W z(0)sinр - Wy (0)cosр + R p 0(0); (236) ^ л ц = Wz (0)cos p - Wy (0)sin p , (23в) где U о, Wy, Wz - перемещения центра масс сечения, направленные вдоль базисных векторов локальной системы координат сечения xyz (рис. 1) со ответственно; 0 y , 0 z - углы поворотов относительно осей y, z; р о - угол закручивания сечения; положительные направления 0 y, 0 z и р о соответ ствуют вращению по часовой стрелке вокруг соответствующей оси, если смотреть вдоль оси из начала координат. Перемещения деформирования контура, обусловленные в первую оче редь овализацией, вызванной внешними изгибающими моментами, предста вим в виде бесконечных тригонометрических рядов. В общем виде они записываются следующим образом: идеф = TR[B°ut sin2p + B °ии ^ 3 р + ...]; (24a) vдеф = Q inR[C2n sin2p + C3n cos3p + ...] + + Q outR[C0ut ^ 2 р + C0ut sin3p +...] (24б) и, используя гипотезу Кармана (17), что допустимо, если только не считать вр = 0 в физических выражениях для N р и N x: ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, N2 3 33 И. В. Орыняк, С. А. Радченко ^ деф = Q inR[—2C2 cos2p + 3C f sin3p + ...] + + Q outR[2COut sin2p — 3COut cos3p + ...], (24b) n in k z0B 0 r^out k y (9 )0B 0 k x (9)0 ut r inгде Q = FD ; Q = -----—-----; T = — - — ; коэффициенты B t , C { , £R £R O' C °ut - функции от безразмерных параметров а и Я; индексами in и out обозначаются компоненты, связанные с изгибом в плоскости и из плоскости соответственно. Таким образом, согласно (22)-(24) полная запись искомых перемещений при пространственном изгибе следующая: u = U о + 9 zR sinp + 9 yR cosp + TR[B0ut sin2p + B0ut cos3p + ...]; (25a) v = —Wz sinp — Wy cosp — R p о + Q inR[C2n sin2p + C l3n cos3p + ...] + + Q outR[C0ut cos2p + C30ut sin3p + ...]; (25б) w = Wz cosp — Wy sinp + Q inR[—2C2n cos2p + 3C3n sin3p + ...] + + Q outR[2Cout sin2p — 3Cout cos3p +...]. (25b) Осевые и касательные усилия также удобно представить в виде бес конечных тригонометрических рядов: N x (9 ,p ) = —k z0t(sinp + J2n cos2p + A l3 sin3p + ...) — —k y (9)0t(cosp + Aout sin2p + A3ut cos3p + ...); (25г) L(9 ,p ) = — k x(9)0t(1 + Lo2ut cos2p + L3ut sin3p + ...), (25д) где A f , A°ut, L^ut - коэффициенты, являющиеся безразмерными функци ями от безразмерных параметров а и Я. Благодаря принятой нормировке безразмерных моментов k z , k y , k x первые коэффициенты при членах в скобках в разложениях N x (9, p ) и L(9 ,p ) равны единице. Это следует из шести условий: три условия равенства глобальных моментов (изгибающего момента в плоскости гиба относительно центра тяжести сечения, изгибающего момен та из плоскости гиба, крутящего момента) соответствующим значениям, определяемым выражениями (1); три условия равенства глобальных сил нулю, а именно: 34 ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2004, № 3 Анализ деформаций гиба трубы / Ц(в, р )Я 8ш = / Ц в , р )Я 008 <рё<р = / Ых (в , р )Rd<p = 0. (26) о о о 2.2 Последовательность решения. Преимущество предлагаемого ме тода решения в сравнении с описанными в литературных источниках состоит в том, что с его помощью можно получить две системы уравнений. Первая - это дифференциальные уравнения балочного типа для криво линейного стержня, связывающие углы поворотов и перемещения линии центров с внешними факторами нагружения (такие уравнения и их решение будут рассматриваться в сообщении 3), вторая - служит для определения безразмерных коэффициентов овализации в выражениях для перемещений и сил (25). При этом метод однозначно определяет само понятие коэффи циента увеличения податливости гиба. Принципиальная суть метода состоит в следующем. 1. В соответствии с принятыми гипотезами малости все компоненты выражаются через две основные неизвестные функции: V(в ,р ) (см. уравне ния (21)), что позволяет рассматривать моменты, перерезывающие силы, кривизны только как функции одной этой переменной, и Шх (в , р ), пред ставленную в виде разложения (25г). Все остальные величины и функции в конечном итоге выражаются через V и Ых . 2. При выводе уравнений (21) использовались условия малости (20), которые являются неправильными в физических уравнениях (6). Поэтому значения N р и Ь необходимо определять только из уравнений равновесия (4а) и (4в) соответственно как функции v(в ,р ) и N x(в ,р ). Таким образом, принятое разложение для Ь (25д) будет вспомогательным. Аналогично разложение для овализационных членов идеф (24а) также вспомогательное, и его коэффициенты Б °иг могут быть выражены из (6) и (14в) через коэффициенты разложений V и Ь. 3. Первым главным уравнением анализа, связывающим две основные функции V и N x , является уравнение равновесия (4б), в котором N р и Ь уже определены из (4а) и (4в). Вторым, связывающим V и N x , служит уравнение, полученное из (6): причем компонента £ в определяется с использованием гипотезы Кармана. Технически процедура решения такова: 1. Из уравнения равновесия (4а) выражаем окружные усилия N р : где осевое усилие N x определяется по формуле (25г), а перерезывающие силы - из уравнений равновесия (4г) и (4д). В настоящем анализе, когда N x - № р = Е %в , (27) N P ̂ др (^ р ̂ р ) R (28) ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2004, № 3 35 И. В. Орыняк, С. А. Радченко напряженное состояние медленно изменяется по координате х, полагаем, что ввиду малости поперечные силы Qx не влияют на решение и ими можно пренебречь. 2. Уравнение равновесия (4в) позволяет получить связь между коэффи циентами Ь1 и Л1 .С учетом малости поперечных сил Qx уравнение (4в) записывается следующим образом: 2Ь со8 р + 1+ а 8т р дЬ дЫ + ■ а др дв = 0. (29) 3. Уравнение равновесия (4б) с учетом (28) при пренебрежении силой Qx имеет вид д 2 д дЬ — (Qр 5 ) - Я — ( Ых ^ р ) - Q р 5 + Я д в ~ Мхк с08 р = 0 (30) др дв где коэффициенты в разложении Ь определяются с учетом (29). Это уравне ние - первое главное уравнение анализа. 4. Выражение для Q р с учетом (7), (21) и (24) может быть выражено из (4г) только как функция V, и с точностью до а 2, принятой в данном анализе, записывается так: / д4 д V Я : 2д V ' + др 4 др + С08 р I Я 2 дv — + ,3 '' д V др др 3 Л 81П р I Я 2 V + д V д р 2 (31) 5. Второе главное уравнение можно уточнить путем исключения усилия Ыр из (27) с помощью (28): ШхБ + Л[др (® р 5 р ) + ЫхЯ 81п р (32) где значение Ев определяется из (14а) с учетом гипотезы Кармана. 6 . Входящее в Ев выражение для перемещений и находится с исполь зованием выражения (14в), подставленного в уравнение для Ь (6в): (5 ди дv ЬБ = Ы \ --------- и со8р + — ̂Я др т дв (33) Таким образом, уравнения (29), (30), (32) и (33) с учетом (31) дают замк нутую систему для определения шести уравнений балочного типа и четырех наборов неизвестных коэффициентов: Б °и{, С™ (С °ш), Л™ (Л°ш), Ь°ш. 36 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2004, № 3 Анализ деформаций гиба трубы 3. Изгиб в плоскости. 3.1. Решение задачи. В качестве внешнего нагружения рассматривается изгибающий момент K z, постоянный по координате x и определяемый выражением (1). При таких условиях нагружения касательные усилия L в гибе будут равны нулю, что позволяет исключить из анализа уравнение (29), связывающее коэффициенты Li и A t . Таким образом, согласно общей процедуре решения задача сводится к решению трех уравнений анализа (30), (32) и (33). Неизвестные функции (25) при изгибе в плоскости представ ляются так: u = u о + 0 zR sin р; (34а) v = - w y cosр + Q inR[C2 sin2p + C 3 cos3p+ ...]; (34б) w = —w y sin ̂ + Q inR [-2C 2 cos2< ̂+ 3C 3n sin3<p+...]; (34b) Шх(в ,р ) = —к 2а ^ іп р + Л 12 cos2р + А “ sin3р+ ...). (34г) Подставляя (34) с учетом определенных Qр (31) и £в (14а) в три уравнения анализа (30), (32), (33), получаем три уравнения балочного типа: одно физическое уравнение, связывающее угол поворота оси гиба с внешним изгибающим моментом: д0 z K ink za B ОЭ0 ER и два геометрических уравнения для связи перемещений: dw„ и (35а) в о ^ + B T e z; (356) дио w y k zаа B 0Э0 B 0 + 2E (1 + 'w) 0, (35в) а также две группы уравнений для определения коэффициентов A ^ и C ln, полученных из уравнений анализа (30) и (32) путем сравнения коэффи циентов при одинаковых тригонометрических членах, т.е. sin пр и cos пр, n = 1, 2, ... . В общем виде первая группа уравнений записывается так: 6A[(I + 2)Af - iA+ 2 ]= ( i + 1)2[(i + 1) 2 - 1]2Cl+1 + + ( - 1)i+1 (i + 1)[(2 + 1) -1 ] [it i + 1) + ^ ]a Cin + ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2004, № 3 37 И. В. Орыняк, С. А. Радченко +(_ 1} , Щ ± 2)----- 1р + 1)----- 1] [ ( . + 2 )(. + 1} + ^ ̂ 1+ 2 . (з 6а) Вторая группа уравнений представляется следующим образом: л + 1 + ( - 1)1 2 (1+ ч )(л ? - л + 2) = с " ( 2 - 1 ) - С Ц 2(2 + 2) + + ( - 1), ( \|+ 1 ) [\| 2 + ]) ~ 11 /‘« с + , - ( \| - , 4Л '+ 1) [к>+ 1) + ч № 2с " + + ~ ) [(\| + 2)(\| + 1) + Ч ]Ча 2с 1+2 5 (36б) где 1В (1, 2 , 2к); Л - константа, Я 4(1- Ч 2) 2 , 2 Л = в 2 . 2 = ( 1 - ^ 2)Я2. (37) В 0 I Величина ^ \|н = 1 - а -л 2п(1+ ч ) + 3 с 2п - ^ 4 Л -с2п(1+ ^ (38) в уравнении (35а) называется коэффициентом увеличения податливости гиба по сравнению с таковым прямой трубы при изгибе в плоскости. Интересно заметить, что только коэффициенты Л2П и с 2 дают ненулевой вклад в изменение коэффициента К 1 п. Уравнения (36) имеют бесконечное число членов. Учитывая некоторое начальное число членов, можно получать любые приближения по параметру Я. Количество уравнений в каждой группе одинаково и равно 2к, где к - порядок приближения. Максимальный индекс коэффициентов Л\п, с \п, используемых в к-м приближении, равен у = 2к +1. Например, в первом приближении уравнения для определения коэффициентов Л\п, с \ п записы ваются следующим образом: 6Л(3- Л3п) = 36с2п - 12ас3п (6 + ч ); 6Л(4Л2п) = 9 • 64с3п - ^ с 2п (6 + ч ); 1п а п 2 ч а 1п 4 ч а 2 1п 2 ч 2 а 2 п 1п (39) Л2п -т -(1 + ч )(1 -Л 3п) = - ^ 7 ~ с 2п + ^ - т ~ с 3п + . , с 3п - 2с 3п;2 2 4 ^ 3 7 Л 2 Л 3 3Л 3 .1 п . а . ч , 1п 3 8ч а ^ 1п 3 3ч а 1п . ч \| 1 ^ Ы л 3 + ! (1+ ч )Л2 = 3 — 2 4 ^ с 2 (6+ ч) + 2 с 2 . 38 0556-171Х. Проблемыы прочности, 2004, N 3 Анализ деформаций гиба трубыг При рассмотрении второго приближения по параметру Я система раз решающих уравнений (39) дополнится еще четырьмя уравнениями для определения коэффициентов Л'п и С 'п. При решении задачи в третьем приближении по параметру Я имеем дополнительно еще четыре уравнения для коэффициентов Л™ и С ™. Таким образом, получается система ленточ ного типа с максимальным числом неизвестных в одном уравнении, равном пяти. Такие системы достаточно легко решаются. С определением коэффициентов К 1п и Л ™, С™ задача является фор мально завершенной. Наличие этих коэффициентов позволяет найти N x (р ) по формуле (25г), Q р (р ) и М р , М х - по (31) и (7) с учетом (24) и (16), а затем по (28) рассчитать Nр (р ). Отметим два преимущества полученного решения вообще и, в част ности, для податливости (38) по сравнению с имеющимися в литературных источниках. Во-первых, оно получено в результате точного решения диф ференциальных уравнений равновесия и геометрических уравнений, а не путем минимизации тех или иных функционалов и включает коэффициент Пуассона ц в явном виде, а значит, применимо для широкого класса материалов. Во-вторых, постановка задачи проведена таким образом, что безразмерный параметр а, входящий в множитель 5 (р ), присутствует в уравнениях в первой степени. Поэтому точность решения определяется только номером приближения по Я. В частности, при Я ^ 0 получаем точное решение для сплошного криволинейного бруса уже в нулевом приближении по Я. Приведем некоторые аналитические решения. В первом приближении выражение для К 1п согласно (38) и с учетом коэффициентов Л 2 , С 2 , определяемых из системы уравнений (39), записывается следующим обра зом: ы _ -3 4 5 6 -1 4 4 ц а 4 - 288а2Л + 82/^3а 4 + 22ц 4а 4 - К = -2 1 6 а 4 - 144а2Л + 1728а2 - 3456- 576Л + -3168Л + 5761л а 2 - 768ц 2а 2 + 2592а2 - 240Л2 - 120ца2Л - +144ц а 2 - 120ц 2 а 2 - 1 2 ц а 2Л + 2ц 2 а 2Л + 42ц 2 а 4 + 13ц3 а 4 + -340ц2а 2Л +168ц 2а 4 - 432а4 +ц 4а 4 - 36ц а 4 - 24Л2 (40) При а ^ 0 в соответствии с решениями (36) значения К равны: т 12 +10Л К ■ = Й + Л (41а) для первого приближения; 0556-171Х. Проблемыы прочности, 2004, № 3 39 И. В. Орыняк, С. А. Радченко 4800+ 4136A + 105A 2 К 2П = ------------------------- =— (416) 2 4800+ 536A + 3A 2 для второго приближения; 1п 2822400 + 2446176A + 73912A 2 + 252A 3 K 3n = -----------------------------------------2------- ^ (41в) 3 2822400 + 329376A + 3280A 2 + 3A 3 для третьего приближения. В соответствии с уравнениями (36) достаточно просто, особенно при использовании программ формальных математических вычислений типа MAPLE, MATHCAD, получить также последующие приближения для К 1П в аналитическом виде, которые из-за громоздкости не приводятся. Представленные решения при а ^ 0 почти идентичны решениям Кар мана для коэффициента податливости в соответствующих приближениях. Различие состоит лишь в том, что в формулах Кармана используется коэф фициент Я2, в наших же формулах коэффициент A, согласно (37), содержит дополнительный множитель (1 — л ). Это связано с тем, что в подходе Кармана и последующих решениях фактически используется вышеуказан ная зависимость N ^ = fxNx, в то время как в предложенном подходе N ^ определяется из первого уравнения равновесия (4a). Действительно, если бы в формуле (27) принять N ^ = fxNx и использовать это уравнение вместо (32), то результаты, полученные авторами и Карманом при малых а, были бы идентичны. При л = 0,3, а ^ 0 и значениях Я> 1 полученное и представленное графически решение для К 1П практически совпадает с известной формулой Кларка и Рейсснера [17]: К К &R = 1,65Я. (42) Тем не менее отметим, что настоящее решение является более общим, так как учитывает коэффициент а. В [24] приведена следующая зависи мость для коэффициента увеличения податливости: К к 0,58, (43) который при значениях Я> 3 совпадает с решением по ПНАЭ [20] и отличается от полученного на множитель -̂ 1 — /л 2 . 3.2. Анализ полученного решения. Точность полученного решения определяется порядком приближения по параметру X. Поскольку с увели чением порядка приближения решение значительно усложняется, на прак тике полезно знать границы применимости таких приближений. На рис. 2 показано, как изменяется коэффициент увеличения податливости К т в зависимости от X, рассчитанный по первому и второму приближениям при 40 0556-171Х. Проблемыы прочности, 2004, № 3 Анализ деформаций гиба трубы а ^ 0 . Аналогичные графики построены для третьего и четвертого прибли жений. По этим графикам границы применимости приближений по Я можно оценить так: для первого Я< 3; • для второго Я< 10; (44) для третьего Я< 30. Такие границы должны обеспечивать достаточную инженерную точ ность при проведении расчетов гибов труб. Однако они справедливы только при определении податливости гиба. Расчеты моментных или силовых ком понент по таким границам приводят к существенным неточностям. На рис. 3 представлены зависимости напряжений о от М ^ , рассчитанные по пер вому и второму приближениям по Я. Видно, что достаточная точность расчета (5...10% максимальных значений) достигается только при Я = 1,5, что в два раза меньше, чем предельная граница (44). Аналогичные резуль таты получены также при анализе решений для моментных и силовых компонент при втором, третьем и четвертом приближениях. Следовательно, необходимо изменить установленные ранее границы применимости прибли жений по Я (44). Предлагаемые границы приведены в таблице. Для сравне ния там же указаны границы, установленные в [5] и [25]. Границы применимости приближений по Я Приближение [5] [25] Наши результаты Первое < 2,86 < 2,00 < 1,5 Второе < 10,00 < 6,25 < 6,0 Третье < 20,00 < 12,50 < 15,0 Четвертое < 33,30 < 25,00 < 25,0 Рис. 2. Изменение коэффициента увеличения податливости К т при а ^ 0 в зависимости от Я (К™ и К 2" - коэффициенты увеличения податливости, рассчитанные по первому и второму приближениям соответственно). ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2004, № 3 41 И. В. Орьгняк, С. А. Радченко Рис. 3. Сопоставление зависимостей напряжений от М ^(^), рассчитанных по первому (1) и второму (2) приближениям при разных 1. 3,5 -\|^™ О -I----------------------------1--------------------------- 1--------------------------- 1--------------------------- 1 О 0,5 1 1,5 2 Рис. 4. Влияние параметра а на податливость. (Здесь и на рис. 5: 1 - а = 0,7; 2 - а = 0,5; 5 - а = 0,3; 4 - а = 0.) Кроме того, на точность приближений влияет параметр а. Рис. 4 иллюстрирует влияние а на изменение податливости при изгибе в плос кости гиба, рис. 5 - влияние а на распределение напряжений на внутренней поверхности гиба от усилий М ^ , М х , N ^ , Ых при 1 = 6. Представленные решения получены при четвертом приближении по 1. Как видно, неучет параметра а приводит к некоторой ошибке в определении коэффициента податливости гиба, моментов и сил. Наибольшее влияние параметр а ока зывает на распределение усилий N ^ . 3.3. Примеры. Для проверки точности полученных решений с помо щью предлагаемого метода расчета гибов труб рассмотрим примеры вычис ления напряжений о^ и о х [26]. Пример 1. Геометрические размеры гиба трубы следующие: В 0/ Я = 3,07, В 0 ̂ Я 2 = 0,147. На рис. 6 показано распределение осевых о х и окружных о^ напряжений на внутренней поверхности гиба. Там же представлены результаты численных расчетов, полученные с помощью известных вычис лительных программ АБШАР [25], МАЯС [27] и расчетного элемента РВ1 42 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2004, № 3 Анализ деформаций гиба трубы [26]. Применение предлагаемого метода расчета свидетельствует о хорошем соответствии между полученными результатами и данными численных рас четов и эксперимента. Рис. 6. Распределение осевых ах (a) и окружных (б) напряжений на внутренней поверхности гиба: 1 - ADINAP; 2 - MARC; 3 - PB1; 4 - наши результаты. ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, N2 3 43 И. В. Орыняк, С. А. Радченко П р и м е р 2 . Г е о м е тр и ч еск и е р а зм е р ы ги б а т р у б ы тако в ы : В 0 / Я = 2 ,88 , В о ̂ Я 2 = 0 ,108 . Н а р и с . 7 п р ед ст ав л е н ы за в и с и м о с т и о с е в ы х о х и о к р у ж н ы х о у н а п р я ж е н и й н а в н е ш н е й п о в е р х н о с т и ги ба . Т ам ж е п р и в е д е н ы р езу ль таты ч и с л е н н ы х р ас ч е то в [26, 28] и эк с п е р и м е н т а л ь н ы е д а н н ы е [28]. В это м сл у ч ае та к ж е н аб л ю д ается х о р о ш ее со о т в ет ст в и е результатов . Рис. 7. Распределение осевых о х (а) и окружных Ор (б) напряжений на внешней поверхности гиба: 1 - эксперимент; 2 - данные [28]; 3 - PB1; 4 - наши результаты. 4. И з г и б и з п л о с к о с т и . П р о б л е м е о п р ед ел е н и я п о д а тл и в о с ти и н а п р я ж е н и й п р и и зги б е и з п л о с к о с т и г и б а в л и те р ату р н ы х и ст о ч н и к ах у д ел яется м е н ь ш е в н и м а н и я . Э то о б у с л о в л е н о те м , ч т о гл о б а л ь н ы е и зг и б а ю щ и й К y и к р у тя щ и й K x м о м е н ты св яза н ы м е ж д у со б о й д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и за в и с и м о с т я м и (2 ) и н е м о гу т р ас см ат р и в ат ь с я р азд е л ь н о и п р и н и м а ть ся к о н с т а н т а м и по к о о р д и н ате х . П о это м у в у р а в н е н и я х р а в н о в е с и я ги б а (4) н ео б х о д и м о д о п о л н и т ел ь н о у ч и т ы в а ть у с и л и я L и M (рх, что зн а ч и те л ьн о у с л о ж н я е т задачу. В о м н о ги х и сс л ед о в ан и я х си л а L сч и та етс я п о ст о я н н о й по с еч ен и ю ги б а , т.е. н е за в и с я щ е й о т к о о р д и н аты р . О дн ако то гд а н е в ы п о л н я е тся д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е р а в н о в е с и я (4в). С п о м о щ ь ю о п и с а н н ого в ы ш е п о д х о д а м о ж н о ср а в н и те л ь н о л егк о п о л у ч и т ь и у ч е с т ь р е а л ь н о е р ас п р е д е л е н и е L к ак ф у н к ц и ю дв у х к о о р д и н ат 0 и р . П о с т а н о в к а за д а ч и и с п о с о б ее р е ш е н и я п о зв о л я ю т та к ж е у ч е с т ь к ас ате л ь н ы й м о м е н т M рх, вх о д ящ и й в у р а в н е н и я р а в н о в е с и я (4). 4 .1 . Р е ш е н и е з а д а ч и . Р а с с м о т р и м и зги б и з п л о с к о с т и г и б а тр у б ы с у ч е то м и зги б а ю щ его K y и к р у тящ его К х м о м ен то в , за в и ся щ и х от к о о р д и н аты х . С о гл асн о о б щ е й п р о ц е д у р е р еш е н и я , зад ач а св о д и тс я к р еш е н и ю ч е ты р е х у р а в н е н и й ан ал и за : (29), (30 ), (32 ), (33). Н е и зв е с т н ы е ф у н к ц и и (25) п р и и зги б е и з п л о с к о с т и за п и сы в аю тс я т а к : и = 0 y R c o s р + T R [ B 0 ut s in 2 p + B%ut c o s 3 p + . . . ] ; (45a) v = —W z s in р + R p о + Q outR [ C ° ut c o s 2 p + C ° ut s in 3 p + . . . ] ; (45б) 44 ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2004, № 3 Анализ деформаций гиба трубыг w = Wz cosp + Q outR[2C0ut sin2p — 3C3out cos3p+...]; (45b) N x(в ,p ) = —k y (в)at(cosp + sin2p + A0ut cos3p+...); (45Г) L(в ,p ) = —kx(в)at(1 + Lo2ut cos2p + Lo3ut sin3p+...). (45д) С использованием (45) записываем выражения для Q р (31) и £в (14а). Подставив их в уравнения анализа (29), (30), (32), (33) с учетом (45г) и (45д), получим три уравнения балочного типа: два физических уравнения, связывающих углы поворота оси гиба с внешними изгибающими и крутящими моментами: Отметим, что аналогично изгибу в плоскости только коэффициенты A°0ut и C0ut дают ненулевой вклад в изменение податливости. Дополнительно уравнения анализа (29), (30), (32), (33) позволяют полу чить путем сравнения коэффициентов при одинаковых тригонометрических членах (sinпр и cosпр, n = 1, 2,...) четыре группы уравнений для опреде ления коэффициентов A0ut, B0ut, C 0°ut и L°0ut. В общем виде эти уравнения записываются так: дР 0 в y kxa (46а) B 0дв B 0 GR ’ двy + p o K outk y a (466) B 0дв B 0 ER и одно геометрическое уравнение для связи перемещений: (46b) где К оШ - коэффициент увеличения податливости гиба при изгибе из плоскости, K кр - некоторый поправочный коэффициент, (48) ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2004, № 3 45 И. В. Орыняк, С. А. Радченко для первой группы, получаемой из (29): i + 2 rout i rout , /■ 14 i i + 1 rout tout \ ~ Y ~ Li - 2 Li+2 + ( - 1 ~ 0 ~ Li+1 = 2Ai+i; (49а) для второй группы - из (30): 6A[(i + 2)A°ut - iA%2 - L°+x ] = 2 2 = (_ ! ) i ( i - 1)[(i + 1) - 1] [i(i + !) + ^ ]a C out + ( i + i)2[(i + i) 2 - i]2c +1 + + ( -1 ) i+1 [(i + 2) - ^ [(i + 1) - 1][(i + 2)( i + 1) + ц ]«Ciou2; (496) для третьей группы - из (32): A + + (-1 ) i+‘ § ( 1 + ^ ) ( A“ - A ffi) = C “ (2 - 1 ) - C f f i ^ + f ) + \|( 1) i+1 (i + 1)3[( i + 1)2 - 1] ..C out 0 2 - 1)( i + 1)[i( • . 1) . ] a 2C out . + (-1 ) ---------- 12A---------- v a C i+1- — 24A— [i(i+ 1) + ,ŵ a C i + 2 + [(i + 2)24"a 1]( i +1) [(i + 2)( i + 1) + ^ a С - а (1 + л ) В ^ ; (49в) для четвертой группы - из (33): out у out а rsj -I \nout sj \| -л \ D out л , C i + 1 ( -1 )4 ; + 1) б $ - 2 [(I - 1 )Б Г - ( I + 3)Б™2] + 1 + ■ X_ тОШ \| г -\|\/ _/ тОШ тОШ \ глс\ \ — А +1 + ( - 1 Ь1 - А+2 Л (49г) где I е (1, 2 , . . . ,2к). Количество уравнений в каждой группе определяется порядком при ближения к и равно 2к. Максимальный индекс коэффициентов Л °Ш, Б °Ш, СОШ и ЬО̂г, используемых в к-м приближении, равен ] — 2к + 1. Всего для к-го приближения используются 8к уравнений. Ограничиваясь первым при ближением по параметру Я, запишем следующую систему разрешающих уравнений для коэффициентов Л °Ш, Б °Ш, С °Ш и 1°™: 46 TiSSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2004, № 3 Анализ деформаций гиба трубы 2 А оШ + \| (1 + ^ )(1 _ А ои{ ) = ^ С ^ С 3°Ш + 2 2 2 + ц а С °ш _ 2С °ш _ «(1+ ц )В °ш; ЗА А3п _ (1 + ц )А °Ш _ _ 3 ц а С °ш _ Ъ'1цца С Т (6 + ц) + + 1 С °ш _ а (1 + ц )В °ш; 1 2_ _ т°Ш1 _ _ т°Ш _ гх д°Ш , 2 Т а 12 _ 2А2 ; (50) з 2^°ш + — т °ш _2А ош • 2 а 3 3 ’ 6А(3 _ А°ш _ Ь°2Ш) _ 36С °ш + 12аС °ш (6 + ц ); 6А(4А°ш _ Ь°3Ш) _ 9-64С°ш + 3^ а С °ш(6 + ц ); а 1т°Ш \| т°Ш /"» г> °Ш \| /"» г> ОШ? \| /-г °ШТ + — Т = _ 2 В 2 + 2аВ 3 + - ------С 2 ; 2 2 3 2 3 1 + ц 2 а а 1 тош + _ т̂°ш _3В °ш___ в °ш + с °ш 3 2 2 _ 3 2 2 1 + ц 3 ' При рассмотрении каждого последующего приближения по параметру X система разрешающих уравнений дополняется еще восьмью уравнениями для определения коэффициентов А °ш, В °ш, С °шШ и Т°°шШ. Сравним уравнения (38) и (47). Данные уравнения формально отлича ются знаком при коэффициентах А2, которые пропорциональны а и входят в указанные уравнения с тем же множителем. Коэффициенты А2 при сутствуют в основном с разными знаками в системах, в которых они определяются, например (39) и (50). Поэтому вторые слагаемые в (39) и (50) совпадают по крайней мере с точностью до а . Что касается коэффи циентов С 2, то из сопоставления уравнений (36) и (49) видно, что они совпадают с точностью до множителя а включительно. Таким образом, выражения (38) и (47) совпадают с точностью до а . На рис. 8 приведено сопоставление коэффициентов увеличения податливости при изгибе в плос кости и из плоскости при а _ 0,7. 4.2. Пример. Для проверки точности полученных решений с помощью предлагаемого метода расчета гибов труб рассмотрим пример вычисления напряжений о у и о х при изгибе из плоскости [26]. Рассматривается гиб трубы с такими геометрическими характеристи ками: В Я _ 5,78; В ^ Я 2 _ 0,466. На рис. 9 показаны зависимости осевых о х и окружных о р напряжений на внешней поверхности гиба. Там же представлены результаты численных расчетов, полученных с помощью ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2004, № 3 47 И. В. Орыняк, С. А. Радченко 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Рис. 8. Сопоставление коэффициентов увеличения податливостей при изгибе в плоскости TS- in Ту’- outK и из плоскости K . Рис. 9. Распределение осевых о х (а) и окружных (б) напряжений на внешней поверх ности гиба: 1 - эксперимент; 2 - АБШАР; 3 - РВ1; 4 - наши результаты. известной вычислительной программы АБШАР [25] и расчетного элемента РВ1 [26], а также экспериментальные данные [29]. Наблюдается хорошее соответствие между полученными результатами и данными численных рас четов и эксперимента. Заключение. Для тороидальных оболочек на основе уравнений теории упругости получены геометрические уравнения, связывающие компоненты перемещений с деформациями. При анализе овализации упругих круговых тороидальных оболочек, возникающей при приложении внешних простран ственных изгибающих моментов, предложено использовать новый аналити ческий метод, основанный на точном решении дифференциальных уравне ний равновесия и геометрических уравнений, а не на минимизации тех или иных функционалов. В качестве неизвестных функций, подлежащих опреде лению, выбираются продольное и касательное усилия, а также тангенциаль ное и продольное перемещения в виде их разложения по тригонометри ческим функциям. При этом известные гипотезы малости, позволяющие пренебречь определенными комбинациями перемещений, используются 48 ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2004, № 3 Анализ деформаций гиба трубы только после исключения из условий равновесия (4) окружного N y и касательного L усилий. Это дает возможность получать точные решения для всех компонент поля напряжений, и при предельном переходе к прямой трубе не приведет к неверной связи между осевыми и окружными усилиями. Использование в постановочных уравнениях одновременно оболочеч- ных (локальных) и балочных (глобальных) переменных позволило устано вить интегральные характеристики сечения и получить общие уравнения для деформирования оси оболочки как линии центров масс поперечных сечений. Точность предлагаемого метода проверялась путем сопоставления рас считанных осевых о x и окружных а y напряжений с данными, приведен ными в литературных источниках. Р е з ю м е Запропоновано новий метод для аналізу напружено-деформованого стану пружних кругових тороїдальньїх оболонок, заснований на виборі у якості невідомих функцій зусиль і переміщень. Метод дозволяє досліджувати явище овалізації згину, що виникає при прикладенні зовнішніх просторо вих згинальних моментів. Отримано геометричні рівняння, що зв’язують компоненти переміщень із деформаціями, і введено гіпотези малості, що дозволяє знехтувати певними комбінаціями переміщень при розгляді дефор мування оболонки. Показано, що гіпотеза Кармана про недеформованість серединної поверхні труби може використовуватися тільки після виклю чення окружного зусилля з рівнянь рівноваги. Установлено границі засто совності отриманих рішень у залежності від порядку наближення по пара метру гнучкості. Виведено диференціальні рівняння балкового типу для криволінійного стрижня, що зв’язують кути поворотів і переміщення лінії центрів із зовнішніми факторами навантаження. Отримані результати зістав ляються з наведеними в літературних джерелах. 1. Karman Th. Über die Formänderung dünnwandiger Rohre, insbesondere federnder Ausgleichrohre // Z. Ver. de ut. Ing. - 1911. - SS. - S. 1889 - 1895. 2. Brazier L. G. On the flexure of thin cylindrical shells and other thin sections // Proc. Roy. Soc. Ser. A. - 1927. - 116, No. 773. - P. 104 - 114. 3. Акселърад Э. Л. Гибкие оболочки. - М.: Наука, 1976. - 376 с. 4. Акселърад Э. Л., Илъин В. П. Расчет трубопроводов. - Л.: Машино строение, 1972. - 240 с. 5. Костовецкий Д. Л. Прочность трубопроводных систем энергетических установок. - Л.: Энергия, 1973. - 264 с. 6. Kuznetsov V. V. and Levyakov S. V. Nonlinear pure bending of toroidal shells of arbitrary cross-section // Int. J. Sol. Struct. - 2001. - 38. - P. 7343 - 7354. ISSN Ü556-171X. Проблемы прочности, 2ÜÜ4, № З 49 И. В. Орыняк, С. А. Радченко 7. Shalaby M. A. and Younan M. Y. A. Effect of internal pressure on elastic- plastic behavior of pipe elbows under in-plane loading // J. Pres. Ves. Techn. - 1999. - 121. - P. 400 - 406. 8. Mourad H. M. and Younan M. Y. A. Limit-load analysis of pipe bends under out-of-plane moment loading and internal pressure // Ibid. - 2002. - 124. - P. 32 - 37. 9. Karamanos S. A. Bending instabilities of elastic tubes // Int. J. Sol. Struct. - 2002. - 39. - P. 2059 - 2085. 10. M ing R. S., Pan J., and Norton M. P. Free vibrations of elastic circular toroidal shells // Appl. Acoustics. - 2002. - 63. - P. 513 - 528. 11. Redecop D. Dynamic response of curved pipes // Int. J. Pres. Ves. & Piping. - 1997. - 70. - P. 167 - 172. 12. Redecop D . Dynamic response of short curved pipes to impulsive loading // Ibid. - 1995. - 61. - P. 41 - 47. 13. Huang D , Redekop D , and Xu B. Natural frequencies and mode shapes of curved pipes // Comp. and Struct. - 1977. - 63, No. 3. - P. 465 - 473. 14. Natarajan R. and Mirza S. Effect of internal pressure on flexibility factors in pipe elbows with end constraints // J. Pres. Ves. Techn. - 1985. - 107. - P. 60 - 63. 15. Orynyak I. V. First approximation to elastic analysis of end-effects in pipe bends // Int. J. Pres. Ves. & Piping. - 2002. - 72, No. 2. - P. 157 - 164. 16. Fonseca E. M. M , Melo F. J. M. Q., and Oliveira C. A. M. Determination of flexibility factors in curved pipes with end restraints using a semi-analytic formulation // Ibid. - 2002. - 79. - P. 829 - 840. 17. Clark R. A. and Reissner E. Bending of curved tubes // Adv. Appl. Mech. - 1951. - 2. - P. 93 - 122. 18. Zhang Y. M., Mirfakhraei P., Xu B , and Redekop D. A computer program for the elastostatics of a toroidal shell using the differential quadrature method // Int. J. Pres. Ves. & Piping. - 1998. - 75. - P. 919 - 929. 19. Орыняк И. В., Марчук Я. С., Радченко С. А. Решение для упругого гиба трубы на основе гипотезы плоских сечений // Вестн. Нац. техн. ун-та Украины “КПИ”. - 2002. - 43. - С. 60 - 67. 20. ПНАЭ Г-7-002-86. Нормы расчета на прочность оборудования и трубо проводов атомных энергетических установок. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 525 с. 21. СНиП 2.04.12-86. Расчет на прочность стальных трубопроводов. Строи тельные нормы и правила. - М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1986. - 16 с. 22. Волъмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. - М.: Наука, 1967. - 984 с. 23. Redecop D. and Xu B. Vibration analysis of toroidal panels using the differential quadrature method // Thin-Walled Struct. - 1999. - 34. - P. 217 - 231. 50 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2004, № 3 Анализ деформаций гиба трубы 24. Камерштейн А. Г., Рождественский В. В., Ручимский М. Н. Расчет трубопроводов на прочность. Справочная книга. Изд. 2-e, перераб. и доп. - М.: Недра, 1969. - 440 с. 25. Bathe K. J. and Almeida C. A. A simple and effective pipe elbow element - linear analysis // J. Appl. Mech. - 1980. - 47. - Р. 93 - 100. 26. Meckenzie D. and Bell R. A simple pipe bend element for piping flexibility analysis // Int. J. Pres. Ves. & Piping. - 1992. - 51, No. 1. - Р. 85 - 106. 27. Sobel L. In-plane bending of elbows // Comp. and Struct. - 1977. - 7. - Р. 701 - 715. 28. Ohtsubo H. and Watanabe O. Flexibility and stress factors of pipe bends - an analysis by finite ring method // J. Pres. Ves. Techn. - 1977. - 99. - Р. 281 - 290. 29. Smith R. T. and Ford H. Experiments on pipelines and pipe bends subject to three-dimensional loading // J. Mech. Eng. Sci. - 1967. - 9. - Р. 124 - 137. Поступила 27. 02. 2003 ISSN Ü556-171X. Проблемы прочности, 2ÜÜ4, № З 51

Анализ деформаций гиба трубы на основе смешанного подхода. Сообщение 1. Пространственный изгиб по Сен-Венану

Institution

Ähnliche Einträge