Розсiяння внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй перемiшанiй локалiзованiй областi, що перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї
Решена двухмерная нестационарная задача рассеяния фоновой монохроматической внутренней волны на полностью перемешанном интрузионном пятне, находящемся в слое конечной толщины линейно стратифицированной жидкости и пребывающем на вязкой стадии своей эволюции. Использование приближенной аппроксимации р...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2007
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4709 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Розсiяння внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй перемiшанiй локалiзованiй областi, що перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 2-3. — С. 168-180. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860156757757657088 |
|---|---|
| author | Стеценко, О.Г. |
| author_facet | Стеценко, О.Г. |
| citation_txt | Розсiяння внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй перемiшанiй локалiзованiй областi, що перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 2-3. — С. 168-180. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Решена двухмерная нестационарная задача рассеяния фоновой монохроматической внутренней волны на полностью перемешанном интрузионном пятне, находящемся в слое конечной толщины линейно стратифицированной жидкости и пребывающем на вязкой стадии своей эволюции. Использование приближенной аппроксимации реальной геометрии пятна переменным во времени прямоугольником позволило получить решение в аналитическом виде. Определена структура и характеристики рассеянных внутренних волн, амплитуды которых имеют слабую парaметрическую зависимость от времени. Определена величина потока энергии рассеянных волн в единицу времени.
Розв'язана двовимiрна нестацiонарна задача розсiяння фонової монохроматичної внутрiшньої хвилi на повнiстю перемiшанiй iнтрузiйнiй плямi, яка знаходиться в шарi скiнченої товщини лiнiйно стратифiкованої рiдини i перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї. Використання наближеної апроксимацiї реальної геометрiї плями змiнним У часi прямокутником дозволило одержати розв'язок в аналiтичному виглядi. Визначено структуру i характеристики розсiяних внутрiшнiх хвиль, амплiтуди яких мають слабку параметричну залежнiсть вiд часу. Визначено величину потоку енергiї розсiяних хвиль в одиницю часу.
A solution is provided to the two-dimensional non-steady problem of scattering the background monochromatic internal wave on a completely mixed intrusion patch located in the finite thickness layer of linear stratified fluid, the said patch being in the viscous stage of its evolution. The use of a close approximation of actual patch geometry with time-dependent rectangle has provided an analytical solution. The structure and characteristics of scattered internal waves, the amplitudes of which have weak time parametric dependency, was determined. An energy flow of scattered waves in a unit of time was determined.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:53:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
УДК 551.511.001: 551.593
РОЗСIЯННЯ ВНУТРIШНIХ ХВИЛЬ НА ДВОВИМIРНIЙ
ПЕРЕМIШАНIЙ ЛОКАЛIЗОВАНIЙ ОБЛАСТI,
ЩО ПЕРЕБУВАЄ НА В’ЯЗКIЙ СТАДIЇ СВОЄЇ ЕВОЛЮЦIЇ
О. Г. СТЕЦ Е Н К О
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 15.03.2007
Розв’язана двовимiрна нестацiонарна задача розсiяння фонової монохроматичної внутрiшньої хвилi на повнiстю
перемiшанiй iнтрузiйнiй плямi, яка знаходиться в шарi скiнченої товщини лiнiйно стратифiкованої рiдини i пере-
буває на в’язкiй стадiї своєї еволюцiї. Використання наближеної апроксимацiї реальної геометрiї плями змiнним У
часi прямокутником дозволило одержати розв’язок в аналiтичному виглядi. Визначено структуру i характеристики
розсiяних внутрiшнiх хвиль, амплiтуди яких мають слабку параметричну залежнiсть вiд часу. Визначено величину
потоку енергiї розсiяних хвиль в одиницю часу.
Решена двухмерная нестационарная задача рассеяния фоновой монохроматической внутренней волны на полно-
стью перемешанном интрузионном пятне, находящемся в слое конечной толщины линейно стратифицированной
жидкости и пребывающем на вязкой стадии своей эволюции. Использование приближенной аппроксимации реаль-
ной геометрии пятна переменным во времени прямоугольником позволило получить решение в аналитическом виде.
Определена структура и характеристики рассеянных внутренних волн, амплитуды которых имеют слабую парaме-
трическую зависимость от времени. Определена величина потока энергии рассеянных волн в единицу времени.
A solution is provided to the two-dimensional non-steady problem of scattering the background monochromatic internal
wave on a completely mixed intrusion patch located in the finite thickness layer of linear stratified fluid, the said patch
being in the viscous stage of its evolution. The use of a close approximation of actual patch geometry with time-dependent
rectangle has provided an analytical solution. The structure and characteristics of scattered internal waves, the amplitudes
of wich have weak time parametric dependency, was determined. An energy flow of scattered waves in a unit of time was
determined.
ВСТУП
Структуротворчi процеси в реальних морях i
океанах обумовленi наявнiстю великого ряду ме-
ханiзмiв рiзної фiзичної природи, якi визначають
динамiку рухiв у цих акваторiях i характер їхнiх
гiдрофiзичних полiв.
Одним iз механiзмiв, якi формують структуру
цих полiв, є взаємодiя фонових внутрiшнiх хвиль
(ВХ) з локалiзованими перемiшаними областями.
Такi областi, через низку причин, пов’язаних з
втратою стiйкостi руху середовища, постiйно гене-
руються в морському i океанському середовищах,
вiдiграючи там iстотну роль у процесах переносу
маси i енергiї. Еволюцiя таких зон, якi називаю-
ться плямами (iнтрузiями, iнтрузiйними плямами)
i якi в момент утворення турбулiзованi за своєю
природою, є окремим напрямком вивчення турбу-
лентностi в стратифiкованих середовищах. Дина-
мiку таких турбулентних областей вивчали в бага-
тьох роботах [1–7]. Детальний аналiз фiзики яви-
ща, розгляд характерних стадiй еволюцiї цих обла-
стей з вiдповiдним аналiзом опублiкованих робiт
зроблено у [8]. Виконанi дослiдження обмежува-
лись випадками двохшарової та лiнiйної стратифi-
кацiї. Самi перемiшанi областi, як правило, мають
трьохвимiрний характер своєї геометрiї. Однак, у
багатьох випадках, наприклад, внаслiдок обвалу
на фронтi нелiнiйної внутрiшньої хвилi, або вна-
слiдок проходження пiдводного тiла, така область
матиме протяжний вигляд, коли один iз її хара-
ктерних горизонтальних розмiрiв набагато бiль-
ший вiд iншого. В цьому випадку можна говорити
про область з двовимiрною структурою.
Враховуючи важливу роль наявностi таких пе-
ремiшаних плям у структуротворчих процесах
верхнього шару океану, дослiдження взаємодiї фо-
нових внутрiшнiх хвиль з такими утвореннями
представляє безперечний iнтерес. Сама задача
взаємодiї вiдноситься до так званого класу задач
про мiжмодовi взаємодiї; в даному випадку це вза-
ємодiя iнтрузiй (плям) i внутрiшнiх хвиль. У зале-
жностi вiд спiввiдношення характерних масштабiв
руху у внутрiшнiх хвилях i плямах така взаємодiя
може бути як взаємною, так i односторонньою.
Дослiдження таких процесiв є достатньо скла-
дною задачею, оскiльки воно передбачає одноча-
сний аналiз двох процесiв iстотно рiзної природи,
якi описуються рiзними системами рiвнянь i, в той
самий час, взаємодiють мiж собою, впливаючи на
еволюцiю один одного. Тому природним є пiдхiд
до вивчення спрощеного варiанту такої мiжмодо-
вої взаємодiї, коли розглядаються нетурбулiзованi
плями. Незважаючи на ряд iстотних вiдмiнностей
168 c© О. Г. Стеценко, 2007
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
в характерi початкового етапу еволюцiї турбулi-
зованої плями порiвняно з нетурбулiзованою, на
фiнальнiй стадiї її еволюцiї турбулентнi пульсацiї
пiд дiєю сил в’язкостi вироджуються i об’єм пля-
ми практично не змiнюється, а профiль густини
всерединi плями близький до перемiшаного. Але
це фактично вiдповiдає в’язкiй стадiї еволюцiї не-
турбулiзованої плями вiдповiдного об’єму. Врахо-
вуючи те, що ця стадiя є найбiльш тривалою серед
стадiй, протягом яких взаємодiя плям з фоновими
внутрiшнiми хвилями є найбiльш енергетичною,
що дуже важливо з точки зору структуротворчих
можливостей результатiв такої взаємодiї, зрозумi-
лим є iнтерес до даного класу задач.
Ще у 80-тих роках минулого столiття з’явили-
ся роботи по вивченню взаємодiї фонових вну-
трiшнiх хвиль з локалiзованими неоднорiдностя-
ми поля густини [9–14]. Характерною особливi-
стю цих робiт було припущення замороженостi
структури локалiзованих збурень. Вони прийма-
лись повнiстю перемiшаними з незмiнною фор-
мою геометрiї, що, звичайно, не вiдповiдає дiйсно-
стi. Структура i енергетика поля розсiяних ВХ у
цих роботах практично не проаналiзованi. Однак,
в даних дослiдженнях встановленi такi цiкавi фа-
кти, як утворення зон концентрацiї енергiї розсi-
яних хвиль, насичення набiгаючої ВХ високоча-
стотними гармонiками та характер впливу її па-
раметрiв на кут нахилу зон концентрацiї розсiя-
них ВХ. В дослiдженнях [15-16] задач взаємодiї
даного класу вперше врахована реальна динамi-
ка еволюцiї двовимiрної перемiшаної плями на її
в’язко-дифузiйнiй стадiї. В роботi [15] розгляну-
то випадок взаємодiї, коли характерний горизон-
тальний розмiр плями значно менший вiд довжи-
ни ВХ i має мiсце максимальний вплив хвилi на
процес еволюцiї плями. В цiй роботi показано, що
навiть у такому випадку взаємодiї еволюцiя пля-
ми дуже слабо залежить вiд присутностi набiгаю-
чої ВХ. Змiни геометричних розмiрiв плями вкрай
незначнi, а має мiсце перiодичне (з перiодом ВХ)
незначне перекошення генерованих в околi плями
вихорiв. Асимптотика затухання збурень всереди-
нi плями також не змiнюється. Отже, впливом фо-
нових ВХ на еволюцiю плями можна знехтувати в
силу малостi градiєнтiв полiв швидкостi i тиску в
полi хвиль. Тому задачу динамiки еволюцiї пере-
мiшаної плями можна розглядати в умовах неру-
хомого навколишнього середовища, яке, врахову-
ючи спiввiдношення мiж характерними горизон-
тальним lH i вертикальним lV розмiрами плями
lV � lH ,
можна приймати лiнiйно стратифiкованим з гра-
дiєнтом профiлю густини, вiдповiдним горизонту
центра плями. Поле розсiяних внутрiшнiх хвиль,
як результат взаємодiї фонової ВХ з двовимiрною
плямою, що перебуває на в’язко-дифузiйнiй стадiї
своєї еволюцiї, тобто має змiнну в часi структу-
ру i геометрiю областi, вперше одержано в [16]. В
цiй роботi структура середовища всерединi плями
i його гiдродинамiчнi характеристики визначались
у результатi розв’язання нелiнiйної системи рiв-
нянь руху рiдини в частинних похiдних з врахува-
нням процесiв молекулярної дифузiї. Така модель
є достатньо складною для знаходження та аналiзу
розв’язку задачi. У виконаних дослiдженнях одер-
жано лише нульове наближення розв’язку, в яко-
му час використовується в якостi параметра, що
не дозволяє оцiнити вплив нестацiонарностi про-
цесу еволюцiї плями на поле розсiяних внутрiшнiх
хвиль. Не проаналiзована також енергетика поля
розсiяних ВХ.
Таким чином, у проблемi вивчення розсiяних
на iнтрузiйних плямах внутрiшнiх хвиль зали-
шається низка невирiшених питань, головними з
яких є врахування реальної нестацiонарностi та-
кого роду задач, обумовлених як еволюцiєю дина-
мiки розтiкання плями, так i формуванням у часi
областi розсiяних внутрiшнiх хвиль, а також до-
слiдження впливу на структуру i енергетику поля
розсiяних ВХ характеристик плями i фонових ВХ.
У данiй роботi розглядається задача розсiяння
фонових внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй нетур-
булiзованiй, повнiстю перемiшанiй плямi (густи-
на середовища всерединi плями стала i дорiвнює
густинi навколишнього середовища на горизонтi
центра плями), яка перебуває на в’язкiй стадiї сво-
єї еволюцiї. Ця стадiя еволюцiї плями вивчена в
роботах [17, 18]. Використання результатiв цих до-
слiджень дозволяє розробити просту iнтегральну
модель, яка описує процес формування i поширен-
ня поля розсiяних внутрiшнiх хвиль на такого ро-
ду перемiшаних областях для даного етапу їхньої
еволюцiї. Цей етап вiдбувається протягом трива-
лого перiоду i вiдповiдає найбiльшiй iнтенсивностi
розсiяння фонових внутрiшнiх хвиль. У виконаних
тут дослiдженнях розглянуто однократне розсiя-
ння монохроматичної фонової внутрiшньої хвилi
на плямi, яка знаходиться в шарi скiнченої тов-
щини лiнiйно стратифiкованої рiдини. Для такого
середовища має мiсце точний розв’язок задачi про
структуру лiнiйної набiгаючої ВХ. Приймається,
що хвильовий вектор фонової ВХ перпендикуляр-
ний вiсi двовимiрної перемiшаної плями.
О. Г. Стеценко 169
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
1. МАТЕМАТИЧНЕ ФОРМУЛЮВАННЯ
ЗАДАЧI
Як i у роботi [16], використовується система рiв-
нянь у наближеннi Бусинеска, яка описує рух се-
редовища в областi взаємодiї фонової внутрiшньої
хвилi з двовимiрною ентрузiйною областю. Засто-
совується представлення для збурених компонент
горизонтальної u(x, z, t) i вертикальної w(x, z, t)
складових швидкостi, тиску p(x, z, t) i плавучостi
b(x, z, t) = −g(ρ − ρc)/ρ0, де ρ(x, z, t) – густина се-
редовища; ρc – незбурена густина середовища, яка
є функцiєю координати z, а ρ0 – деяке характерне
значення густини середовища, у виглядi
u(x, z, t) = ui(x, z, t) + u0(x, z, t) + u1(x, z, t),
w(x, z, t) = wi(x, z, t) + w0(x, z, t) + w1(x, z, t),
p(x, z, t) = pi(x, z, t) + p0(x, z, t) + p1(x, z, t),
b(x, z, t) = bi(x, z, t) + b0(x, z, t) + b1(x, z, t).
Тут iндекс “i” вiдноситься до складової вiд iнтру-
зiйного процесу розтiкання плями, а iндекси “0” та
“1” вiдповiдно до набiгаючої та розсiяних хвиль. У
результатi можна одержати таку систему рiвнянь,
яка описує поле розсiяних внутрiшнiх хвиль:
∂u1
∂t
+
1
ρ0
∂p1
∂x
= 0 , (1)
∂w1
∂t
+
1
ρ0
∂p1
∂z
− b1 = 0 , (2)
∂u1
∂x
+
∂w1
∂z
= 0 (3)
∂b1
∂t
+ N2w1 = 0 , (4)
де N2(z) = ∂b/∂z – розподiл квадрату частоти
В’яйсяля-Брента у незбуреному середовищi.
Переходячи до безрозмiрних величин, викори-
стовуючи для цього в якостi лiнiйного масштабу
величину H – товщину шару середовища та мас-
штабiв часу – N−1
∗
, де N∗ – деяке характерне зна-
чення N(z), тиску – ρ0H
2N2
∗
i плавучостi – HN2
∗
),
систему (1)–(4) можна звести до одного рiвняння
вiдносно вертикальної складової швидкостi:
∂2
∂t2
(
∂2w1
∂x2
+
∂2w1
∂z2
)
+ N2(z)
∂2w1
∂x2
=
= − ∂2
∂x2
(
u0
∂bi
∂x
+ w0
∂bi
∂z
)
. (5)
Розв’язок рiвняння (5) повинен задовольня-
ти граничним умовам, якi з використанням на
вiльнiй поверхнi наближення “твердої кришки”
набувають вигляду
w1 = 0 при z = 0 i z = −1 , (6)
та початковим умовам
w1 =
∂w1
∂t
= 0 при t = 0. (7)
Складовi рiвняння (8) з bi задаються iз розв’яз-
ку iнтрузiйної задачi для лiнiйно стратифiковано-
го середовища з градiєнтом густини, вiдповiдним
горизонту розмiщення центра плями.
2. НАБЛИЖЕНА МОДЕЛЬ ЕВОЛЮЦIЇ
ДВОВИМIРНОЇ ПЕРЕМIШАНОЇ ПЛЯМИ
НА ЇЇ В’ЯЗКIЙ СТАДIЇ
Пiсля утворення перемiшаної нетурбулiзованої
локалiзованої областi вона проходить чотири ха-
рактернi стадiї еволюцiї: 1) початкова, коли сили
плавучостi домiнують над всiма iншими; 2) промi-
жна, коли рух характеризується рiвновагою мiж
силами плавучостi, iнерцiйними силами i хвильо-
вим опором плями; 3) в’язка, коли має мiсце рiв-
новага сил в’язкостi i плавучостi; 4) дифузiйно-
в’язка, коли разом з силами в’язкостi i плавучостi
ефективними стають i явища дифузiї тепла або со-
лi. З результатiв дослiдження гiдродинамiки про-
цесiв на вiдмiчених стадiях еволюцiї плям випли-
ває, що тривалiсть першого етапу еволюцiї стано-
вить 3Nt, а тривалiсть другого етапу вiдноситься
до промiжку часу вiд 3Nt до 25Nt. В кiнцi промi-
жної стадiї i, отже, на початку в’язкої стадiї вiд-
повiдно до даних експериментальних дослiджень
характернi значення безрозмiрних комплексiв δ i
δ·Re, де δ = lV /LH , а Re = uclH/ν (uc – го-
ризонтальна швидкiсть розтiкання плями, ν – кi-
нематична в’язкiсть середовища), задовольняють
умовам
δ � 1 i δ · Re = 30 ÷ 40. (8)
В роботi [18] для повнiстю перемiшаної плями
(густина всерединi плями стала величина, що вiд-
повiдає значенню густини зовнiшнього середови-
ща на горизонтi центра плями), яка знаходиться
у лiнiйно стратифiкованiй рiдинi, розв’язана за-
дача про характер її еволюцiї на в’язкiй стадiї.
При цьому використано гiдростатичне наближен-
ня в системi рiвнянь, яка описує рух середовища,
i знехтувано горизонтальним обмiном iмпульсом.
За таких умов одержанi закономiрностi змiни гео-
метрiї областi плями в часi. Якщо 2h i 2a – вiдпо-
вiдно вертикальний i горизонтальний розмiри пля-
ми, то для двовимiрної областi змiна цих величин
170 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
вiдбувається у вiдповiдностi до залежностей
a(t) = ζ0
[
κS4
16
(t − t1)
]
1
6
, (9)
h(t) =
1
2
(
ζ2
0
15
)
1
4
[
4κ
S2
(t − t1)
]
−
1
6
[
1 − x2
a2(t)
]
1
4
,
(10)
де
ζ0 = (15)
1
6
[
2Γ(5/4)
Γ(1/2)Γ(5/4)
]
2
3
; κ =
N2
240ν
;
S – площа перерiзу плями, яка не змiнюється в
часi; Γ(k) – гамма-функцiя; t1 – стала iнтегрува-
ння, яка вибирається так, щоб розв’язок для гео-
метрiї областi “зшився” iз заданими початковими
розмiрами перемiшаної областi. Побудова на пiд-
ставi виразiв (9),(10) залежностi h вiд a показує,
що h мало змiнюється вздовж плями практично
до її краю, про що свiдчать експериментальнi до-
слiдження [19, 20], в яких також встановлено, що
характер течiї всерединi плями подiбний до течiї
в’язкої рiдини мiж паралельними стiнками.
Вiдмiченi особливостi геометрiї плями та харак-
тер руху рiдини всерединi неї дозволяють iстотно
спростити розв’язання задачi, замiнивши реальну
геометрiю плями на змiнний в часi прямокутник з
основою 2a(t), де a(t) визначається з (9), та висо-
тою 2h(t), яка вiдповiдає заданiй площi плями:
2h(t) =
S
2a(t)
=
S
1
3
2ζ0
(
16
κ
)
1
6
(t − t1)
−
1
6 . (11)
Таке представлення виявляється надзвичайно зру-
чним при розв’язаннi задачi про розсiяння внутрi-
шньої хвилi. При виборi початкових значень a(0)
i h(0) необхiдно задовольняти спiввiдношення (8),
покладаючи там lV (0) = 2h(0), lH(0) = 2a(0) та
умову
uc(0) =
da
dt
(0).
Якщо в якостi початкового момента часу бере-
ться значення t = 0, то спiввiдношення (9) i (11)
необхiдно представити у виглядi
a(t) = ζ0
[
κS4
16
(t + t0)
]
1
6
, (12)
2h(t) =
S
2h(t)
=
S
1
3
2ζ0
(
16
κ
)
1
6
(t + t0)
−
1
6 , (13)
де значення t0 вiдповiдає тiй величинi t−t1 у зале-
жностях (9) i (11), яка визначає початковi значен-
ня a0 та h0 для вибраного моменту початку в’язко-
го етапу еволюцiї плями. Як вiдмiчалося ранiше, в
реальному процесi розтiкання iнтрузiї to ≈ 25N−1,
а в розв’язках (12), (13) ця величина iнша, оскiль-
ки вона вiдповiдає тому значенню часу, який ми-
нув би, якби процес iнтрузiї з самого початку мав
би тi закони еволюцiї, якi вiдповiдають в’язкому
етапу.
3. ЗАДАЧА РОЗСIЯННЯ ВХ НА ПЛЯМI,
ЩО ЗНАХОДИТЬСЯ В ШАРI СКIНЧЕНОЇ
ТОВЩИНИ ЛIНIЙНО СТРАТИФIКОВАНОЇ
РIДИНИ
Розглядається двовимiрна задача однократного
розсiяння монохроматичної фонової ВХ на пере-
мiшанiй плямi, що перебуває на в’язкiй стадiї ево-
люцiї i знаходиться у шарi скiнченої товщини H
лiнiйно стратифiкованої рiдини з N = 1 (оскiль-
ки N∗ = (βg)1/2 (спрощений варiант наближення
Бусинеска). Розподiл незбуреної густини в шарi рi-
дини вiдповiдає залежностi
ρs(z) = ρ0(1 − βz) ,
де β > 0. У вiдповiдностi з цим, густина середови-
ща всерединi плями стала i визначається виразом
ρ = ρ0(1 − βz0) ,
де z0 – координата горизонту, на якому знаходи-
ться центр плями. Тодi розподiл плавучостi всере-
динi областi плями B(x, z) представляється як
bi = −βg(z − z0) для (x, z) ∈ B(x, z) ,
або в безрозмiрнiй формi
bi = −(z − z0) для (x, z) ∈ B(x, z). (14)
При замiнi реальної геометрiї областi плями
B(x, z) прямокутником зi сторонами 2a(t) i 2h(t),
якi визначаються у вiдповiдностi з (12) (13), має
мiсце представлення для bi(x, z, t) у рiвняннi (5):
bi = −(z − z0) при − a ≤ x ≤ a i (−h ≤ z ≤ h) (15)
bi = 0 для всiх iнших x, z.
Компоненти швидкостi набiгаючої внутрiшньої
хвилi n-ї моди задаються виразами, якi вiдповiд-
ають розв’язку лiнiйної задачi для даної областi
стратифiкованої рiдини [21]
u0 =
πnA0ωn
k
cos(πnz)ei(kx−ωnt) , (16)
w0 = −iA0ωn sin(πnz)ei(kx−ωnt) , (17)
О. Г. Стеценко 171
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
де A0 – амплiтуда набiгаючої хвилi, хвильове чис-
ло k i частота ωn якої зв’язанi дисперсiйним спiв-
вiдношенням [21]
ωn =
k√
π2n2 + k2
, k =
πnωn
√
1 − ω2
n
.
Для заданих bi, u0, w0 рiвняння (5) набирає ви-
гляду
∂2
∂t2
(
∂2w1
∂x2
+
∂2w1
∂z2
)
+
∂2w1
∂x2
= ωnA0e
−iωnt× (18)
× ∂2
∂x2
[
eikx
[
−m
k
cos(πnz)
∂bi
∂x
+ i sin(πnz)
∂bi
∂z
]]
.
Його розв’зок шукається у виглядi
w1 = w̄(x, z, t)e−iωnt , (19)
де змiна в часi w̄ обумовлена повiльною змiною
геометрiї плями. Пiдстановка представлення (19)
у (18) дає таке рiвняння вiдносно w̄:
Lt
(
∂2w̄
∂x2
+
∂2w̄
∂z2
)
+
∂2w̄
∂x2
= ωnA0× (20)
× ∂2
∂x2
[
eikx
[
−m
k
cos(πnz)
∂bi
∂x
+ i sin(πnz)
∂bi
∂z
]]
,
де
Lt =
(
∂2
∂t2
− 2iωn
∂
∂t
− ω2
n
)
.
Граничнi та початковi умови для w̄(x, z, t) спiвпа-
дають вiдповiдно з умовами (6) та (7) для w1.
Розв’язок для w̄(x, z, t) знаходиться у виглядi
розкладу його в ряд по власним функцiям вiдпо-
вiдної лiнiйної хвильової задачi
w̄(x, z, t) =
∞
∑
m=1
sin(πmz) · Φm(x, t). (21)
Пiдставляючи представлення (21) i (14) у рiвня-
ння (20), потiм домноживши всi його складовi на
sin(πmz) i виконавши iнтегрування поперек шару
рiдини по z вiд -1 до 0 та враховуючи, що
0
∫
−1
sin(πmz) sin(πnz)dz =
1
2
при m = n
i дорiвнює 0 при m 6= n, можна одержати рiвняння
вiдносно Φm:
Lt
(
∂2Φm
∂x2
− π2m2Φm
)
+
∂2Φm
∂x2
= eikxFm , (22)
де величину Fm можна представити з допомогою
одиничних функцiй Хевiсайда H(x) як
Fm = iA0ωnk2G · [H(x + a) − H(x − a)].
Тут
G =
=
{sin[π(m− n)(z0 + h)] − sin[π(m− n)(z0 − h)]}
π(m − n)
−
−{sin[π(m + n)(z0 + h)] − sin[π(m + n)(z0 − h)]}
π(m + n)
при m 6= n i
G = 2h − 1
πm
sin(2πmh) cos(2πmz0)
при m = n.
Представлення розв’язку для w̄(x, z, t) у вигля-
дi (21) автоматично задовольняє нульовi граничнi
умови при z = 0 i z = −1. Нульовi початковi умови
повинен задовольнити розв’язок для Φm.
Оскiльки змiна в часi функцiї Φm(x, t) є слаб-
кою, розв’язок рiвняння (22) можна представити
у виглядi суми двох складових
Φm(x, t) = Φm0(x, t) + Φm1(x, t) ,
де Φm0(x, t) задовольняє рiвнянню
∂2Φm0
∂x2
+
π2m2ω2
n
1 − ω2
n
Φm0 =
eikxFm
1 − ω2
n
, (23)
а Φm1(x, t) – вiдповiдно рiвнянню
∂2Φm1
∂x2
+
π2m2ω2
n
1 − ω2
n
Φm1 =
Dm
1− ω2
n
, (24)
де
Dm =
(
2iωn
∂
∂t
− ∂2
∂t2
) (
∂2Φm0
∂x2
− π2m2ω2
nΦm0
)
.
Початковi умови для Φm0 та Φm1 такi ж, як i
для Φm, тобто
Φm0 = Φm1 =
∂Φm0
∂t
=
∂Φm1
∂t
= 0.
Розв’язок рiвняння (23) має вигляд [22]
Φm0 =
√
1 − ω2
n
πmωn
× (25)
×
x
∫
−∞
fm(x1, t)dx1 −
∞
∫
x
fm(x1, t)dx1
,
172 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
де
fm(x, t) =
eikxFm
1 − ω2
n
· sin
[
πmωm
√
1 − ω2
n
]
.
Для точок, якi знаходяться за межами областi
перемiшаної плями, його вираз набирає вигляду
Φm0 =
√
1 − ω2
n
πmωn
a
∫
−a
f(x1, t)dx1. (26)
Як видно, Φm0(x, t) мiстить час в якостi пара-
метра i, враховуючи вид функцiї Fm, вiн представ-
ляється в аналiтичному виглядi
Φm0 = Φr
m0 + iΦi
m0 , (27)
де
Φr
m0(x, t) =
A0kGSr
m
πm
√
1 − ω2
n
cos
(m
n
kx
)
, (28)
Φi
m0(x, t) =
A0kGSi
m
πm
√
1 − ω2
n
sin
(m
n
kx
)
, (29)
а Sr
m(t) i Si
m(t) визначаються виразами
Sr
m(t) = − n
m + n
sin
[
ka
(m
n
+ 1
)]
+
+
n
m− n
sin
[
ka
(m
n
− 1
)]
,
Si
m(t) =
n
m + n
sin
[
ka
(m
n
+ 1
)]
+
+
n
m − n
sin
[
ka
(m
n
− 1
)]
при m 6= n i
Sr
m(t) = −1
2
sin(2ka) + ka,
Si
m(t) =
1
2
sin(2ka) + ka
при m = n.
В наведених виразах враховано, що у розв’язку
(25) величину πmωn/
√
1 − ω2
n можна замiнити на
величину mk/n, оскiльки це випливає з дисперсiй-
ного спiввiдношення задачi.
Одержаний розв’язок для Φm0 з часом t в якостi
параметра не дозволяє безпосередньо задовольни-
ти нульовим початковим умовам. Цим умовам мо-
жна задовольнити лише на основi використання
особливостей фiзики формування областi розсiя-
них внутрiшнiх хвиль. Оскiльки тут не розгляда-
ються хвильовi збурення середовища, якi переду-
вали початку в’язкої стадiї еволюцiї плями, то вва-
жається, що в деякий момент часу t, який вiдпо-
вiдає початку цiєї стадiї еволюцiї i приймається за
нульовий, починає формуватись область B(x, z, t)
розсiяних внутрiшнiх хвиль. Її формують два пе-
реднi фронти ВХ, якi поширюються в обидвi сто-
рони вiд плями зi швидкiстю, що вiдповiдає фа-
зовiй швидкостi старшої гармонiки (m = 1) пред-
ставлення (19), (21) (в силу її найбiльшого значен-
ня). Вiдповiдно до одержаного розв’язку для Φm0
має мiсце Φm0 ∼ ei m
n
kx. Отже дискретна структу-
ра розсiяних монохроматичних внутрiшнiх хвиль
даної задачi така, що для m-ої складової розв’яз-
ку (19) (враховуючи представлення (21)) для w1m
маємо
w1m ∼ ei( m
n
kx−ωnt).
Фазова швидкiсть cfm поширення такої m-ої
складової визначається як
cfm =
nωn
mk
.
Таким чином, якщо прийняти, що область
розсiяних ВХ у довiльний момент часу займає
в усiй товщi стратифiкованої рiдини iнтервал
−cf1t < x < cf1t, зовнi якого хвильовi збу-
рення вiдсутнi, то нульовi початковi умови вико-
нуються автоматично, оскiльки в цьому випадку в
момент t = 0 в усьому середовищi вiдсутнi будь-
якi збурення. Слiд вiдмiтити, що такий пiдхiд був
би строго справедливим для випадку нульового
горизонтального розмiру плями в початковий мо-
мент. Оскiльки це не так, одержаний розв’язок бу-
де задовiльно описувати розсiяну хвильову карти-
ну для таких значень t, якi вiдповiдають умовi
cf1t >> a(t).
Однак, саме за таких умов розв’язок задачi i пред-
ставляє iнтерес.
Розв’язок для Φm1 знаходиться аналогiчно
розв’язку для Φm0. На пiдставi представлення
Φm1 = Φr
m1 + iΦi
m1 , (30)
iз виразу (24) випливає, що дiйсна i уявна частини
в (30) задовольняють вiдповiдно рiвнянням
∂2Φr
m1
∂x2
+
π2m2ω2
n
1 − ω2
Φr
m1 =
= − 1
1 − ω2
n
(
∂2Θr
m
∂t2
+ 2ωn
∂Θi
m
∂t
)
, (31)
∂2Φi
m1
∂x2
+
π2m2ω2
n
1 − ω2
n
Φi
m1 =
= − 1
1 − ω2
n
(
∂2Θi
m
∂t2
− 2ωn
∂Θr
m
∂t
)
, (32)
О. Г. Стеценко 173
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
де
Θr
m =
∂2Φr
m0
∂x2
− π2m2ω2
nΦr
m0,
Θi
m =
∂2Φi
m0
∂x2
− π2m2ω2
nΦi
m0.
Як i в попередньому випадку, у рiвняннях для
складових Φm1 час фiгурує в якостi параметра,
тому їх розв’язок знаходиться в такий же спосiб.
Враховуючи, що на пiдставi (27)–(29) в областi
зовнi плями має мiсце спiввiдношення для Φm0
∂2Φm0
∂x2
− π2m2ω2
nΦm0 =
= −m2
(
k2
n2
+ π2m2ω2
n
)
· Φm0
та аналогiчнi для Φr
m0 та Φi
m0, розв’язок рiвнянь
(31) i (32) має вигляд
Φr
m1 = Bm
(
Φr−
m1 − Φr+
m1
)
, (33)
Φi
m1 = −Bm
(
Φi−
m1 − Φi+
m1
)
, (34)
де
Φr−
m1 =
x
∫
−∞
Θr
m∗
sin
[m
n
k(x − x1)
]
dx1 ;
Φr+
m1 =
∞
∫
x
Θr
m∗
sin
[m
n
k(x − x1)
]
dx1 ;
Φi−
m1 =
x
∫
−∞
Θi
m∗
sin
[m
n
k(x − x1)
]
dx1 ;
Φi+
m1 =
∞
∫
x
Θi
m∗
sin
[m
n
k(x − x1)
]
dx1 ;
Θr
m∗
(x, t) = 2ωn
∂Φi
m0
∂t
+
∂2Φr
m0
∂t2
;
Θi
m∗
(x, t) = 2ωn
∂Φr
m0
∂t
− ∂2Φi
m0
∂t2
;
Bm =
m
πωn
√
1 − ω2
n
(
k2
n2
+ π2ω2
n
)
.
Проблема виконання нульових початкових умов
для Φm1 вирiшується iдентично випадку для Φm0 в
рамках фiзики формування областi розсiяних вну-
трiшнiх хвиль B(x, z, t).
Представлення для Φm0 у виглядi (28), (29) до-
зволяє взяти iнтеграли у розв’язках (33), (34) в
явнiй формi. В результатi, обчислюючи вiдповiднi
вирази
Im1 =
x
∫
−Lx
sin
[m
n
k(x − x1)
]
cos
(m
n
kx1
)
dx1 =
=
1
2
(Lx + x) sin
(m
n
kx
)
+
+
n
4mk
[
cos
(m
n
kx
)
− cos
[m
n
k(2Lx + x)
]]
,
Im2 =
x
∫
−Lx
sin
[m
n
k(x − x1)
]
sin
(m
n
kx1
)
dx1 =
= −1
2
(Lx + x) cos
(m
n
kx
)
+
+
n
4mk
[
sin
(m
n
kx
)
+ sin
[m
n
k(2Lx + x)
]]
,
Im3 =
Lx
∫
x
sin
[m
n
k(x − x1)
]
cos
(m
n
kx1
)
dx1 =
=
1
2
(Lx − x) sin
(m
n
kx
)
−
− n
4mk
[
cos
(m
n
kx
)
− cos
[m
n
k(2Lx − x)
]]
,
Im4 =
Lx
∫
x
sin
[m
n
k(x − x1)
]
sin
(m
n
kx1
)
dx1 =
= −1
2
(Lx − x) cos
(m
n
kx
)
+
+
n
4mk
[
sin
(m
n
kx
)
− sin
[m
n
k(2Lx − x)
]]
можна одержати аналiтичне представлення
розв’язку для Φm1:
Φr
m1(x, t) =
BmA0kG
πm
√
1 − ω2
n
Υr
m(x, t) , (35)
Φi
m1(x, t) = − BmA0kG
πm
√
1 − ω2
n
Υi
m(x, t), (36)
де
Υr
m = 2ωn(Im2 − Im4)
∂Si
m
∂t
+
+(Im1 − Im3)
∂2Sr
m
∂t2
,
Υi
m = 2ωn(Im1 − Im3)
∂Sr
m
∂t
−
−(Im2 − Im4)
∂2Si
m
∂t2
.
174 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
Дiйсна частина загального розв’язку для
w1(x, z, t) на пiдставi (21), (27)–(30), (35) i (36)
набирає вигляду
w1(x, z, t) =
m∗
∑
m=1
sin(πmz)× (37)
×
[
Φr
mcos(ωnt) + Φi
m sin(ωnt)
]
,
де
Φr
m(x, t) = Φr
m0(x, t) + Φr
m1(x, t) ,
Φi
m(x, t) = Φi
m0(x, t) + Φi
m1(x, t) ,
а m∗ в кожнiй розрахунковiй точцi дорiвнює кiль-
костi хвильових гармонiк, якi, зважаючи на те, що
кожна з них має свою фазову швидкiсть, у розра-
хунковий момент встигають прийти в цю точку.
Одержаний розв’язок (37) можна представити у
виглядi суми двох ВХ, якi поширюються в рiзнi
сторони вiд плями:
w1(x, z, t) = H(x)w11(x, z, t) + H(−x)w12(x.z, t).
(38)
Якщо обмежитись нульовим наближенням, то
представлення для w11(x, z.t) i w12(x, z, t) мають
вигляд
w11(x, z, t) =
A0kG
2π
√
1 − ω2
n
×
×
m∗
∑
m=1
sin(πmz)
(
Sr
m − Si
m
)
m
· cos
(m
n
kx − ωnt
)
,
w12(x, z, t) =
A0kG
2π
√
1 − ω2
n
×
×
m∗
∑
m=1
sin(πmz)
(
Sr
m + Si
m
)
m
· cos
(m
n
kx + ωnt
)
.
Складова w11(x, z, t) вiдповiдає хвилям, якi поши-
рюються вправо вiд плями (область додатнiх x),
а складова w12(x, z, t) – хвилям, якi поширюються
влiво вiд плями (область вiд’ємних x).
При побудовi картини розсiяних ВХ слiд врахо-
вувати параметричний характер слабкої залежно-
стi одержаного розв’язку для Φm(x, z, t) вiд часу
через a(t) у виразах Sr
m i Si
m та через h(t) у ви-
разi G. Як випливає з одержаного розв’язку за-
дачi у виглядi (37), картина поля розсiяних хвиль
у будь-який момент часу визначається геометри-
чними параметрами плями, якi вiдповiдають саме
цьому моменту часу. Але, насправдi, це не так, то-
му що такий результат протирiчить фiзицi процесу
породження поля цих ВХ. З використаної тут схе-
ми формування поля розсiяних хвиль випливає,
що в довiльний момент часу t в центрi плями поро-
джується елемент кожної iз спектра монохромати-
чних хвиль, який визначається значенням геоме-
тричних розмiрiв плями 2a(t) i 2h(t), якi вiдповiда-
ють саме цьому моменту часу t. При подальшому
поширеннi вiд плями цi елементи хвильвої стру-
ктури не змiнюються, несучи, таким чином, iнфор-
мацiю про динамiку плями в момент своєї генера-
цiї. Оскiльки фазова швидкiсть cfm поширення ко-
жної гармонiки ВХ є сталою величиною протягом
всього часу формування поля розсiяних хвиль, то
для врахування вiдмiченого параметричного впли-
ву змiни геометрiї плями в часi на хвильову кар-
тину необхiдно у виразах Sr
m i Si
m розв’язку (38)
замiсть a(t) брати a
(
t − |x|
cfm
)
i вiдповiдно у ви-
разi для G(t) замiсть h(t) брати h
(
t − |x|
cfm
)
. Таку
замiну необхiдно робити в обох наближеннях одер-
жаного розв’язку.
4. ЕНЕРГЕТИКА РОЗСIЯНИХ НА ПЛЯМI
ВНУТРIШНIХ ХВИЛЬ
Представляє iнтерес визначення потокiв енергiї,
якi несуть розсiянi внутрiшнi хвилi в обидвi сторо-
ни вiд iнтрузiйної плями. Для цього можна вико-
ристати вiдомий пiдхiд [22], в якому обчислюється
кiлькiсть кiнетичної Ek та потенцiальної Ep енер-
гiї в межах довжини хвилi.
На пiдставi одержаного розв’язку для верти-
кальної складової швидкостi мають мiсце та-
кi представлення для горизонтальної складової
швидкостi u(x, z, t) та амплiтуди розсiяних ВХ
η(x, z, t):
а) для хвиль, якi поширюються вправо вiд пля-
ми (область x > 0)
u(x, z, t) = −πn
2k
m∗
∑
m=1
cos(πmz) ×
×(Φr
m∗
− Φi
m∗
) sin
(m
n
kx − ωnt
)
, (39)
η(x, z, t) = − 1
2ωn
m∗
∑
m=1
sin(πmz) ×
×(Φr
m∗
− Φi
m∗
) sin
(m
n
kx − ωnt
)
, (40)
де
Φr
m∗
=
A0S
r
m(t)
πm
√
1 − ω2
n
; Φi
m∗
=
A0S
i
m(t)
πm
√
1 − ω2
n
;
б) для хвиль, якi поширюються влiво вiд плями
О. Г. Стеценко 175
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
(область x < 0)
u(x, z, t) = −πn
2k
m∗
∑
m=1
cos(πmz) ×
×(Φr
m∗
+ Φi
m∗
) sin
(m
n
kx + ωnt
)
, (41)
η(x, z, t) =
1
2ωn
m∗
∑
m=1
sin(πmz) ×
×(Φr
m∗
+ Φi
m∗
) sin
(m
n
kx + ωnt
)
. (42)
Для m-ої гармонiки ВХ в межах довжини хви-
лi λm = 2πn/mk обезрозмiренi значення (в якостi
масштабу береться величина ρ0H
4N2) кiнетичної
Ekm та потенцiальної Epm енергiї визначаються
такими виразами:
Ekm =
λm
∫
0
0
∫
−1
(
u2
m + w2
m
)
dxdz , (43)
Epm =
1
Fr
λm
∫
0
0
∫
−1
ηmdxdz , (44)
де Fr = HN2/g.
На пiдставi (38)–(42) iз (43) i (44) для хвиль в
областi x > 0
Ekp =
π3n3
8k3
∞
∑
m=1
1
m
(
Φr
m∗
− Φi
m∗
)2
, (45)
Epp = 0. (46)
Аналогiчно для хвиль в областi x < 0
Ekl =
π3n3
8k3
∞
∑
m=1
1
m
(
Φr
m∗
+ Φi
m∗
)2
, (47)
Epl = 0. (48)
Як неважко переконатись, час генерацiї однiєї
довжини хвилi Tm є однаковою величиною для
всiх гармонiк ВХ. Справдi,
Tm =
λm
cfm
=
2π2n
k
√
1 − ω2
n
= T ,
де величина T визначається параметрами фонової
ВХ. Тодi потiк енергiї в одиницю часу визначиться
наступними виразами :
а) для хвиль в областi x > 0
Ep
T
=
πn2
16k2
∞
∑
m=1
1
m
(
Φr
m∗
− Φi
m∗
)2
, (49)
б) для хвиль в областi x < 0
El
T
=
πn2
16k2
∞
∑
m=1
1
m
(
Φr
m∗
+ Φi
m∗
)2
. (50)
Рис. 1. Змiна в часi половини горизонтального
розмiру плями
5. РЕЗУЛЬТАТИ ЧИСЕЛЬНИХ
РОЗРАХУНКIВ
На пiдставi одержаного розв’язку задачi були
проведенi розрахунки полiв розсiяних ВХ на пе-
ремiшаних плямах для рiзних фонових ситуацiй.
В процесi чисельних експериментiв значення ча-
стоти В’яйсяля–Брента приймалось рiвним N =
5 · 10−4. Розглянутi рiзнi комбiнацiї значень хви-
льового числа k i номера моди n набiгаючої хвилi
в шарi лiнiйно стратифiкованої рiдини товщиною
200 м. Iнтрузiйна перемiшана пляма з незмiнною в
часi площею перерiзу 25 м2 в початковий момент
часу має горизонтальну протяжнiсть 2a0 = 58 м.
Розрахунки виконувались для часових iнтервалiв
у межах t вiд 20 до 200. Значення a(t) i h(t) визна-
чалися з виразiв (12), (13). На рис.1 представле-
но характер змiни величини a(t) впродовж цього
iнтервалу часу. Амплiтуда набiгаючої хвилi A0 =
5 м. Параметри набiгаючих хвиль вибирались та-
кими, що дiапазон їхнiх довжин мiстив як значно
бiльшi вiд горизонтальної протяжностi плями, так
i порядку цiєї величини.
Оцiнка кiлькостi складових m у розв’язку (21)
показала, що для практичних розрахункiв цiлком
достатньо обмежитись двадцятьма членами ряду,
якi можуть давати вклад у розв’яок у розрахунко-
вiй точцi. В проведених розрахунках це забезпечу-
вало вiдносну точнiсть в межах 0.1 вiдсотка. Оцiн-
ка вкладу у рзв’язок задачi складових першого на-
ближення показала, що вiн знаходиться в межах
0.5 вiдсотка. Тому в наведених тут iлюстрацiях ви-
користано лише нульове наближення розв’язку.
На рис. 2 та 3 наведена картина розсiяних ВХ на
п’яти горизонтах стратифiкованого шару рiдини
в межах одного i того ж iнтервалу x-iв, але для
рiзних значень часу. В першому випадку (рис. 2)
176 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
представлена повна картина ВХ для моменту t =
20, в iншому (рис. 3) – для моменту часу t = 200,
але в межах зони x-iв, що вiдповiдають рис. 2. Як
видно, хвильова картина на цих рисунках iстотньо
вiдрiзняється.
Рис. 2. Хвильова картина на п’яти горизонтах z для
k = 2; n = 2; z0 = −0.25; при t = 20
Причина таких вiдмiнностей полягає в тому, що
для t = 20 зображена вся зона x-iв областi хвильо-
вих збурень, коли в кожнiй розрахунковiй точцi
присутнi рiзнi кiлькостi гармонiк розсiяних ВХ, у
той час як на рис.3 для t = 200 в усiх точках цьо-
го iнтервалу x-iв присутнi по 20 гармонiк розсiя-
них ВХ. В останньому випадку хвильова картина
близька до тiєї, яка має мiсце для стацiонарного
розв’язку у випадку незмiнностi в часi геометрiї i
структури плями. Якщо побудувати характер змi-
ни величини модуля вертикальної складової збу-
реної швидкостi в нульовому наближеннi такого
стацiонарного розв’язку
|w̄| =
√
w2
m0r + w2
m0i ,
Рис. 3. Хвильова картина на п’яти горизонтах z для
k = 2; n = 2; z0 = −0.25; при t = 200 в межах зони x-iв
хвильової областi, вiдповiдної t = 20
Рис. 4. Картина розмiщення зон максимальних
амплiтуд стацiонарного розв’язку для
k = 2; n = 2; z0 = −0.25
де
wm0r(x, z, t) =
∞
∑
m=1
sin(πmz)Φr
m0(x, t) ,
wm0i(x, z, t) =
∞
∑
m=1
sin(πmz)Φi
m0(x, t) ,
О. Г. Стеценко 177
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
то має мiсце характерна картина розмiщення зон
максимальних значень амплiтуд, яка для розра-
хункового режиму має вигляд, представлений на
рис. 4. Цi зони мають вигляд системи двох перiо-
дично (з перiодом 2πn/k) розмiщених похилих по-
лос, якi проходять через пляму, починаються вiд
неї i мають кути нахилу α до вiсi x такi, що
tg α = ± k
πn
.
Саме такого типу зони максимальних амплiтуд
Рис. 5. Залежнiсть характеру хвильової картини
вiд хвильового числа фонової ВХ
для n = 2; z0 = −0.25; z = −0.3; при t = 30
вперше були отриманi в роботах [9, 11, 12]. Спiв-
ставлення рис. 3 i 4 показує наявнiсть певної ко-
реляцiю мiж положенням зон максимальних зна-
чень модуля комплексної швидкостi стацiонарного
розв’язку та зонами максимальних амплiтуд роз-
сiяних ВХ при t = 200. Слiд вiдмiтити при цьому,
що представлена на рис. 4 картина |w̄| не вклю-
чає наявнiсть у розв’язку множника e−iωnt, який
приводить до змiщення зон максимумiв амплiдуд
вздовж вici x-iв. Характерним також є те, що зо-
браженi на рис. 4 зони є саме зонами найбiльших
амплiтуд, поза якими також наявнi хвильовi збу-
рення.
На рис. 5 наведенi хвильовi картини на горизон-
тi z = −0.3 для рiзних значень хвильового чис-
ла при фiксованому значеннi номера моди фоно-
вої ВХ, а на рис. 6 – аналогiчнi картини розсiя-
них ВХ для рiзних значень номерiв мод фонової
ВХ при фiксованому значеннi хвильового числа.
В обох випадках хвильова картина iстотно змiню-
ється при вiдповiдних змiнах параметрiв, а як ви-
дно з рис. 5, вiд змiни хвильового числа k набiга-
ючої ВХ iстотно залежить горизонтальний розмiр
областi розсiяних ВХ. Збiльшення величини k при-
зводить до зменшення ширини областi розсiяних
ВХ.
Рис. 6. Залежнiсть характеру хвильової картини вiд
номера моди фонової ВХ для
k = 3; z0 = −0.25; z = −0.3; при t = 30
Характерною особливiстю всiх одержаних у про-
цесi розрахункiв хвильових картин розсiяних ВХ,
як це видно iз наведених рисункiв, є бiльша енер-
гетичнiсть тих з них, якi поширюються влiво вiд
плями в напрямку, протилежному напрямку по-
ширення фонової ВХ. Про це можна судити також
безпосередньо з виразiв (45) i (47) для вiдповiдних
178 О. Г. Стеценко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
Рис. 7. Змiна в часi потоку енергiї розсiяних хвиль
для n = 3; z0 = −0.25; z = −0.3
значень потокiв кiнетичної енергiї в одиницю часу.
Рис. 8. Змiна в часi потоку енергiї розсiяних хвиль,
якi поширюються по i проти напрямку поширення
фонової ВХ. для n = 3; k = 6; z0 = −0.25;
Важливим ефектом розсiяння фонових ВХ на
перемiшаних плямах є насичення стратифiкова-
ного середовища високочастотними складовими
(гармонiками). Особливо це характерно при розсi-
яннi коротких внутрiшнiх хвиль. Проведенi розра-
хунки показали також, що не вiдповiдає дiйсностi
твердження робiт [9,11,12] про те, що поза межами
зон концентрацiї енергiї розсiяних хвиль хвильовi
збурення вiдсутнi. Про це можна судити на пiдста-
вi всiх наведених тут хвильових картин.
Характер змiни потоку кiнетичної енергiї роз-
сiяних ВХ у часi для рiзних значень хвильового
числа фонової ВХ при фiксованому номерi її моди
наведено на рис. 7. Як видно, зi зростанням хви-
льового числа набiгаючої ВХ енергетика розсiяних
хвиль iстотно зростає. З ростом t для всiх випадкiв
спостерiгається повiльне зменшення потоку енергiї
в одиницю часу. На рис. 8 дано порiвняння вели-
чин потоку кiнетичної енергiї розсiяних хвиль El
та Ep, яке пiдтверджує вiдмiчену ранiше бiльшу
енергетичнiсть хвиль, якi поширюються в сторону,
протилежну напрямку поширення фонової ВХ.
6. ЗАКЛЮЧЕННЯ
Розроблена тут проста iнтегральна модель до-
зволяє описувати нестацiонарну картину поля роз-
сiяних внутрiшнiх хвиль, утворених при взаємо-
дiї монохроматичної фонової внутрiшньої хвилi з
двовимiрною перемiшаною iнтрузiйною областю,
що знаходиться на в’язкiй стадiї своєї еволюцiї.
Застосування наближеної (але достатньо точної)
апроксимацiї геометрiї реальної областi, одержа-
ної в розв’язку Г. I. Баренблата [18], змiнним у
часi прямокутником дозволяє одержати аналiти-
чний розв’язок вiдповiдної задачi розсiяння ВХ на
плямi, яка знаходиться в шарi скiнченої товщини
лiнiйно стратифiкованої рiдини. Подiбного резуль-
тату можна досягти i для iнших схем стратифi-
кацiї, якщо для них можна одержати аналiтичне
представлення для компонент швидкостi руху се-
редовища в полi лiнiйної фонової ВХ.
Виконанi розрахунки показали ефективнiсть за-
пропонованого методу. Одержанi результати узго-
джуються з одержаними ранiше результатами в
цьому напрямку i, в силу своєї аналiтичностi, до-
зволяють бiльш просто i наочно описати структу-
ру i енергетику поля розсiяних внутрiшнiх хвиль,
їх зв’язок з геометрiєю областi плями, характером
стратифiкацiї та характеристиками фонових ВХ.
Одержано, що розсiянi на плямi внутрiшнi хвилi
в кожнiй точцi представляють скiнчену суму моно-
хроматичних гармонiк, m-та з яких виражається
через параметри плями та фонової ВХ як
ηm = Am(k, n, a (t) , h (t))ei(m
n
k−ωnt) ,
де Am(k, n, a (t) , h (t)) – амплiтудний множник,
який визначається параметрами плями i набiгаю-
чої фонової ВХ. В силу слабкої залежностi Am вiд
часу при його обчисленнi достатньо обмежитись
нульовим наближенням розв’язку, де час виступає
в якостi параметра. Як показали вiдповiднi розра-
хунки, складовi першого наближення вносять по-
правку у розв’язок задачi в межах 0.5 вiдсотка.
Нестацiонарнiсть задачi визначається експонен-
О. Г. Стеценко 179
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 2-3. С. 168 – 180
цiйним множником розв’язку
ei( m
n
kx−ωnt)
та змiннiстю в часi ширини 2Lx областi, зайня-
тої власне розсiяними внутрiшнiми хвилями. Ця
ширина формується переднiми фронтами старших
(m = 1) гармонiк розсiяних хвиль (в обидвi сторо-
ни вiд плями), швидкiсть поширення яких є фазо-
ва швидкiсть цих гармонiк:
cf1 =
nωn
k
.
Якщо прийняти, що геометрiя плями не змiню-
ється з часом (a = const i h = const), то це вiдпо-
вiдає стацiонарному розв’язку задачi, такому, як
розглянутi в [9, 11, 12], коли розсiянi ВХ мають
структуру, вiдповiдну тiй, яка б мала мiсце для
випадку, коли вони заповнють всю область хвиле-
вода (Lx = ∞). В реальних задачах такi розв’язки
не є фiзичними як в силу, хоч i повiльної, але змi-
ни в часi величин a(t) i h(t), так i вiдмiченою вище
змiннiстю ширини областi розсiяних ВХ. Остан-
нiй чинник, головним чином, i характеризує неста-
цiонарнiсть розглянутого класу задач. Для вели-
ких значень часу в областi, вiдносно недалекiй вiд
плями, структура поля розсiяних ВХ близька до
вiдповiдної стацiонарному розв’язку. Принаймнi,
таке можна стверджувати для зони, де присутнi
бiльше десяти гармонiк розсiяних хвиль; у цьому
випадку вiдмiннiсть вiд стацiонарного розв’язку
має мiсце у другiй значущiй цифрi. Для двадцяти
гармонiк така вiдмiннiсть має мiсце вже у третiй
значущiй цифрi.
Результати такого роду дослiджень дозволяють
оцiнювати вплив на гiдрофiзичну структуру верх-
нього шару океану такого механiзму мiжмодової
взаємодiї, як розсiяння фонових ВХ океану на пе-
ремiшаних плямах, якi перебувають на в’язкiй ста-
дiї своєї еволюцiї.
1. Lin J.T., Pao Y.H. Waces in stratified fluids //
Annual Reviev of flupd Mechanics.– 1979.– V. 11.–
P. 317-338.
2. Pao H.P. Flow visualization stadies in turbulent wace
development in a stratified fluid // In: Flow visual.
III Proc. 3rd Int. Symp.– Ann. Arbor., Mch.– Sept.
6-9. 1983, Washington e.a.– P. 548.
3. Pearson H.J., Linden P.F. The final stady of decay of
turbulence in stably stratified fluid // J. Fluid Mech.–
1983.– V. 134.– P. 195-203.
4. Мадерич В.С., Никишов В.И. Дифузионно-вязкая
стадия растекания перемешанного пятна в стра-
тифицированной жидкости // Изв. АН СССР,
ФАО.– 1986.– T. 22, N 6.– С. 656-658.
5. Riley J. J., Metcalf R. W., Weisman M. A. Direct
numerical simulation of homogeneous turbulence in
density- stratified fluids // In: Proc. AIP Conf. Nonli-
near Properties of internal waves.– 1989 (ed B.J.
West).– R. 79.– P. 12.
6. Бенилов А.Ю. О разрушении турбулентных ска-
чков плотности в океане // Изв. АН СССР, ФАО.–
1985.– 21, N 2.– С. 197-207.
7. Lukjanov P.V., Maderich V.S. Restratification
processes in the final stage of turbulence decay in a
stably stratified media // ДНАН України.– 1995.–
N 5.– С. 45-49.
8. Мадерич В.С., Никишов В.И., Стеценко А.Г. Ди-
намика внутреннего перемешивания в стратифи-
цированных средах.– К.: Наукова думка, 1988.–
239 с.
9. Буданов С.П., Тибилов А.С., Яковлев В.А. Бор-
новское приближение решения задачи рассеяния
внутренних волн // ПМТФ.– 1984.– 144, N 2.–
С. 88-93.
10. Бунимович Л.А., Жмур В.В. Рассеяние волн на
ансамбле пятен перемешанной жидкости // Изв.
АН СССР, ФАО.– 1985.– 21, N 3.– С. 311-318.
11. Григорьев П.Л., Тибилов А.С., Яковлев В.А.
Приближение однократного рассеяния внутрен-
них волн на неоднородностях поля плотности //
Изв. АН СССР, ФАО.– 1985.– 21, N 3.– С. 321-324.
12. Григорьев П.Л., Тибилов А.С., Яковлев В.А. Рас-
сеяние внутренних волн на слабонеоднородньм во-
змущении поля плотности жидкости с учетом фор-
мы свободной поверхности и дна // Изв. АН СС-
СР, ФАО.– 1986.– 22, N 9.– С. 948-952.
13. Стеценко О.Г. Задача рассеяния внутренних волн
на слабонеоднородном возмущении поля плотнос-
ти в трехслойной модели океана // Изв. АН СССР,
ФАО.– 1987.– 23, N 11.– С. 1193-1197.
14. Жмур В.В. Рефракция внутренних волн на пятнах
перемешанной жидкости в двухслойном океане //
Изв. АН СССР, ФАО.– 1984.– 20, N 11.– С. 106-111.
15. Лук’янов П.В., Мадерич В.С, Стеценко О.Г.
В’язко-дифузiйна стадiя еволюцiї двовимiрної пе-
ремiшаної плями в полi внутрiшньої хвилi // При-
кладна гiдромеханiка.– 2001.– T. 4(76), N 3.– С. 42-
52.
16. Лук’янов П.В., Стеценко О.Г. Розсiяння внутрi-
шнiх хвиль на перемiшанiй плямi, що знаходиться
на в’язко-дифузiйнiй стадiї еволюцiї // Прикладна
гiдромеханiка.– 2002.– T. 4(76), N 1).– С. 76-83.
17. Padmanabhan H., Ames W.F., Kennedy J.F., Nin-
Kan Hung F. Numerical Investigation of Wace
Deformation in Density Stratified Fluids // Jour. of
Engineering Mathematics.– 1970.– V. 4, N 3.– P. 229-
241.
18. Баренблатт Г.И. Динамика турбулентных пятен и
интрузий в устойчиво стратифицированной жид-
кости // Изв. АН СССР, ФАО.– 1978.– 14, N 2.–
С. 195-206.
19. Абрамян Т.О. Экспериментальное исследование
вязкого растекания пятна перемешанной жидко-
сти в стратифицированной среде // Мор. гидро-
физ. журн.– 1985.– N 6.– С. 8-13.
20. Wu J. Mixed region collapse with internal wave
generation in a density - stratified medium // J.
Fluid. Mech.– 1969.– V. 35, pt. 3.– P. 531-544.
21. Ле Блон., Майсек Л. Волны в океане, т.1.– М.:
Мир, 1981.– 428 с.
22. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений в
жидкости.– М.: Наука, ГРФМЛ, 1977.– 815 с.
23. Камке Э. Справочник по обыкновенным диффе-
ренциальным уравнениям.– М.: Наука, РФМЛ,
1971.– 576 с.
180 О. Г. Стеценко
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4709 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:53:29Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Стеценко, О.Г. 2009-12-18T14:00:45Z 2009-12-18T14:00:45Z 2007 Розсiяння внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй перемiшанiй локалiзованiй областi, що перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 2-3. — С. 168-180. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4709 551.511.001: 551.593 Решена двухмерная нестационарная задача рассеяния фоновой монохроматической внутренней волны на полностью перемешанном интрузионном пятне, находящемся в слое конечной толщины линейно стратифицированной жидкости и пребывающем на вязкой стадии своей эволюции. Использование приближенной аппроксимации реальной геометрии пятна переменным во времени прямоугольником позволило получить решение в аналитическом виде. Определена структура и характеристики рассеянных внутренних волн, амплитуды которых имеют слабую парaметрическую зависимость от времени. Определена величина потока энергии рассеянных волн в единицу времени. Розв'язана двовимiрна нестацiонарна задача розсiяння фонової монохроматичної внутрiшньої хвилi на повнiстю перемiшанiй iнтрузiйнiй плямi, яка знаходиться в шарi скiнченої товщини лiнiйно стратифiкованої рiдини i перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї. Використання наближеної апроксимацiї реальної геометрiї плями змiнним У часi прямокутником дозволило одержати розв'язок в аналiтичному виглядi. Визначено структуру i характеристики розсiяних внутрiшнiх хвиль, амплiтуди яких мають слабку параметричну залежнiсть вiд часу. Визначено величину потоку енергiї розсiяних хвиль в одиницю часу. A solution is provided to the two-dimensional non-steady problem of scattering the background monochromatic internal wave on a completely mixed intrusion patch located in the finite thickness layer of linear stratified fluid, the said patch being in the viscous stage of its evolution. The use of a close approximation of actual patch geometry with time-dependent rectangle has provided an analytical solution. The structure and characteristics of scattered internal waves, the amplitudes of which have weak time parametric dependency, was determined. An energy flow of scattered waves in a unit of time was determined. uk Інститут гідромеханіки НАН України Розсiяння внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй перемiшанiй локалiзованiй областi, що перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї Scattering of internal waves by two-dimensional mixed local region which is at viscous stage of its evolution Article published earlier |
| spellingShingle | Розсiяння внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй перемiшанiй локалiзованiй областi, що перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї Стеценко, О.Г. |
| title | Розсiяння внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй перемiшанiй локалiзованiй областi, що перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї |
| title_alt | Scattering of internal waves by two-dimensional mixed local region which is at viscous stage of its evolution |
| title_full | Розсiяння внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй перемiшанiй локалiзованiй областi, що перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї |
| title_fullStr | Розсiяння внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй перемiшанiй локалiзованiй областi, що перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї |
| title_full_unstemmed | Розсiяння внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй перемiшанiй локалiзованiй областi, що перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї |
| title_short | Розсiяння внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй перемiшанiй локалiзованiй областi, що перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї |
| title_sort | розсiяння внутрiшнiх хвиль на двовимiрнiй перемiшанiй локалiзованiй областi, що перебуває на в'язкiй стадiї своєї еволюцiї |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4709 |
| work_keys_str_mv | AT stecenkoog rozsiânnâvnutrišnihhvilʹnadvovimirniiperemišaniilokalizovaniioblastiŝoperebuvaênavâzkiistadiísvoêíevolûcií AT stecenkoog scatteringofinternalwavesbytwodimensionalmixedlocalregionwhichisatviscousstageofitsevolution |