Ламинарное течение в пористом плоском криволинейном канале
Аналитически получен профиль скорости для ламинарного течения в пористом плоском канале. Исследовано влияние пористости и ширины канала на коэффициент гидравлического сопротивления и профиль скорости в канале. Аналiтично отриманий профiль швидкостi для ламiнарної течiї в пористому плоскому каналi. Д...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4717 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Ламинарное течение в пористом плоском криволинейном канале / А.А. Авраменко, Т.В. Сорокина, Т.Б. Басок // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 4. — С. 66-68. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859491611931574272 |
|---|---|
| author | Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Басок, Т.Б. |
| author_facet | Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Басок, Т.Б. |
| citation_txt | Ламинарное течение в пористом плоском криволинейном канале / А.А. Авраменко, Т.В. Сорокина, Т.Б. Басок // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 4. — С. 66-68. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Аналитически получен профиль скорости для ламинарного течения в пористом плоском канале. Исследовано влияние пористости и ширины канала на коэффициент гидравлического сопротивления и профиль скорости в канале.
Аналiтично отриманий профiль швидкостi для ламiнарної течiї в пористому плоскому каналi. Дослiджено вплив пористостi та ширини каналу на коефiцiєнт гiдравлiчного опору та профiль швидкостi у каналi.
Velocity profile for laminar flow in porous flat channel is obtained analytically. Influence of po-rosity and width of channel on coefficient of hydraulic resistance and velocity profile in channel is investigated.
|
| first_indexed | 2025-11-24T17:13:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 4. С. 66 – 68 КОРОТКI ПОВIДОМЛЕННЯ
УДК 532.526
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ПОРИСТОМ ПЛОСКОМ
КРИВОЛИНЕЙНОМ КАНАЛЕ
А. А. А ВР А МЕН К О∗, Т. В. СО РО К И Н А∗, Т. Б. Б АС ОК∗∗
∗ Институт технической теплофизики НАН Украины, Киев
∗∗ Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко
Получено 01.08.2006
Аналитически получен профиль скорости для ламинарного течения в пористом плоском канале. Исследовано вли-
яние пористости и ширины канала на коэффициент гидравлического сопротивления и профиль скорости в канале.
Аналiтично отриманий профiль швидкостi для ламiнарної течiї в пористому плоскому каналi. Дослiджено вплив
пористостi та ширини каналу на коефiцiєнт гiдравлiчного опору та профiль швидкостi у каналi.
Velocity profile for laminar flow in porous flat channel is obtained analytically. Influence of po-rosity and width of channel
on coefficient of hydraulic resistance and velocity profile in channel is investigated.
ВВЕДЕНИЕ
Принцип ДИВЭ (дискретно-импульсного ввода
энергии) [1] часто встречается в технологических
процессах грануляции, биотехнологиях и т. д. При
этом процессы ДИВЭ протекают в каналах с пори-
стой средой различной конфигурации. В работе [2]
рассматривалась задача о течении в пористом пря-
молинейном канале и на основании точного реше-
ния выведен профиль скорости в неявном виде.
Авторами работы [3] получено приближенное ре-
шение в явном виде для профиля скорости в по-
ристом прямолинейном канале. Однако в аппара-
тах ДИВЭ встречаются криволинейные каналы с
пористой средой, что вызывает необходимость ис-
следования гидродинамики в таких каналах.
1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Целью настоящей работы является получение
профиля скорости в аналитическом виде для слу-
чая пористого плоского криволинейного канала.
Уравнение, описывающее течение в пористом
плоском криволинейном канале, имеет следующий
вид:
1
r
∂p
∂ϕ
= µ
(
∂2u
∂r2
+
1
r
∂u
∂r
− u
r2
− u
K
)
,
где p – давление; r, ϕ – цилиндрические коорди-
наты; u – угловая проекция скорости; µ – дина-
мическая вязкость; K – проницаемость пористой
среды. Течение происходит вдоль азимутальной
координаты ϕ в криволинейном канале с радиу-
сом выпуклой стенки R1 и вогнутой – R2. Ази-
мутальный градиент давления не зависит от ра-
диальной координаты и является постоянной ве-
личиной. Следовательно, данное уравнение пред-
ставляет собой обыкновенное дифференциальное
уравнение, которое удобно представить в безра-
змерной форме:
d2w
d (r∗)
2
+
1
r∗
dw
dr∗
− w
(r∗)
2
− w
Da
= − 1
r∗
, (1)
где
w =
µu
R2
(
− ∂p
∂ϕ
) , r∗ =
r
R2
,
Da =
K
R2
2
– число Дарси.
Уравнение (1) необходимо решить при следую-
щих граничных условиях:
w = 0 при r∗ = η, w = 0 при r∗ = 1, (2)
где η = R1/R2. Выражение (1) является неодно-
родным дифференциальным уравнением и может
быть решено методом вариации произвольных по-
стоянных. Для этого, прежде всего, находим ре-
шение соответствующего однородного уравнения:
d2w
d (r∗)
2
+
1
r∗
dw
dr∗
− w
(r∗)
2
− w
Da
= 0.
Решение такого уравнения выражается через мо-
дифицированные функции Бесселя:
w = C1I1
(
r∗√
Da
)
+ C2K1
(
r∗√
Da
)
, (3)
66 c© А. А. Авраменко, Т. В. Сорокина, Т. Б. Басок, 2007
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 4. С. 66 – 68
где I1 и K1 – модифицированные функции Бесселя
первого порядка первого и второго рода соответ-
ственно, C1 и C2 – постоянные интегрирования.
В соответствии с методом вариации произволь-
ных постоянных для нахождения решения уравне-
ния (1) постоянные интегрирования в (3) заменя-
ются на неизвестные функции A(r∗) и B(r∗), так
что имеем
w = A (r∗) I1
(
r∗√
Da
)
+ B (r∗)K1
(
r∗√
Da
)
.
Эти неизвестные функции определятся как реше-
ние системы дифференциальных уравнений:
dA (r∗)
dr∗
I1
(
r∗√
Da
)
+
dB (r∗)
dr∗
K1
(
r∗√
Da
)
= 0,
dA (r∗)
dr∗
dI1
(
r∗/
√
Da
)
dr∗
+
+
dB (r∗)
dr∗
dK1
(
r∗/
√
Da
)
dr∗
= − 1
r∗
.
В результате интегрирования приведенной систе-
мы получаем
w =
Da
r∗
+ C∗
1I1
(
r∗√
Da
)
+ C∗
2K1
(
r∗√
Da
)
, (4)
где константы интегрирования определяются сле-
дующими соотношениями:
C∗
1 = ηM2
K1(M) − ηK1(ηM)
I1(M)K1(ηM) − I1(ηM)K1(M)
,
C∗
2
= ηM2
I1(M) − ηI1(ηM)
I1(ηM)K1(M) − I1(M)K1(ηM)
,
причем M = 1/
√
Da. Используя выражение (4),
определяем среднерасходную скорость w̄ по фор-
муле:
w̄ = 1
1−η
1
∫
η
w (r∗) dr∗ =
=
√
Da
1−η
{
C∗
1
[
I0
(
1√
Da
)
− I0
(
η√
Da
)]
+
+C∗
2
[
K0
(
η√
Da
)
− K0
(
1√
Da
)]
−
−
√
Da lnη
}
,
(5)
Рис. 1. Распределение безразмерной скорости в
канале при:
1 – Da=1, η =0.5; 2 – Da = 0.0001, η =0.5
где I0 и K0 – модифицированные функции Бесселя
нулевого порядка первого и второго рода соответ-
ственно.
Из рис. 1, где представлены распределения без-
размерной скорости, отнесенной к ее среднерасхо-
дному значению, видно, что при значениях Da ≥
0.005 влияние пористости на форму профиля ско-
рости невелико и профили скорости в пористой и
чистой среде, которые рассчитаны по формуле
w (r∗)
w̄
=
4 (1 − η) r∗
4η2 ln2 η − (1 − η2)2
×
×
[
(
1 − η2
)
ln r∗ + η2 lnη
(
1 − 1
(r∗)
2
)]
,
близки по форме. При Da < 0.005 уже начина-
ет сказываться влияние пористости и более четко
проявляется диапазон радиальной координаты, на
котором выполняется условие
u · r = const,
что свойственно турбулентным потокам в криво-
линейных каналах [4]. Следовательно, можно сде-
лать вывод о том, что пористость среды оказыва-
ет на гидродинамику потока влияние, качественно
схожее с влиянием турбулентности.
Гидравлическое сопротивление канала опреде-
ляется формулой Дарси – Вейсбаха
− ∂p
∂ϕ
= λ
1 + η
2 (1 − η)
ρū2
2
,
где ū – среднерасходная размерная скорость; λ
– коэффициент гидравлического сопротивления.
Этот коэффициент обратно пропорционален сре-
днерасходной скорости. Поэтому отношение ко-
эффициентов гидравлического сопротивления для
А. А. Авраменко, Т. В. Сорокина, Т. Б. Басок 67
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2007. Том 9, N 4. С. 66 – 68
Рис. 2. Зависимость относительного коэффициента
гидравлического сопротивления от ширины зазора
при Da = idem:
1 – Da=0.05; 2 – Da = 0.1; 3 – Da = 0.15
Рис. 3. Зависимость относительного коэффициентa
гидравлического сопротивления от чиcла Дарси при
Da = idem:
1 – η=0.09; 2 – η = 0.95
пористой и чистой среды можно выразить соотно-
шением
λ∗ =
λp
λ0
=
w̄0
w̄p
,
где w̄p – среднерасходная безразмерная скорость
для пористой среды, которая вычисляется по фор-
муле (5); среднерасходная безразмерная скорость
для чистой среды определяется формулой
w̄0 =
(
1 + η4
)
− 2η2
(
1 + 2 ln2 η
)
8 (1 − η) (1 − η2)
.
Результаты расчетов для относительного ко-
эффициент гидравлического сопротивления пред-
ставлены на рис. 2 и 3. Оба рисунка показывают,
что с уменьшением числа Дарси коэффициент λ∗
возрастает. Причем влияние числа Дарси на ги-
дравлическое сопротивление падает, по мере того
как значение параметра η стремится к единицы.
Рис. 4. Положение ηmax в зависимости от числа
Дарси
Представленная на рис. 4 зависимость λ∗ =
λ∗ (η) при Da = idem носит экстремальный харак-
тер. Положение максимума ηmax зависит от чис-
ла Дарси. Видно, что с уменьшением числа Дарси
максимум сдвигается в сторону больших значений
η.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проведенных исследований полу-
чен профиль скорости для случая ламинарного те-
чения в пористом плоском криволинейном кана-
ле. Это позволило исследовать характер влияния
пористости и ширины канала на форму профиля
и коэффициент гидравлического сопротивления.
Показано, что с уменьшением ширины канала вли-
яние числа Дарси на гидродинамику потока осла-
бевает.
1. Долинский А. А., Басок Б. И., Гулый С. И., На-
корчевский А. И., Шурчкова Ю. А. Дискретно-
импульсный ввод энергии в теплотехнологиях.– Ки-
ев: ИТТФ НАНУ, 1996.– 208 с.
2. Nield D. A., Junqueira S. L. M., Lage J. L. Forced
convection in a fluid-saturated porous-medium channel
with isothermal or isoflux boundaries // J. Fluid
Mech..– 1996.– 332.– P. 201–214.
3. Valf K., Kim S. J. Forced convection in a channel filled
with a porous medium: an exact solution // J. of Heat
Transfer.– 1989.– 111.– P. 1105.
4. Ellis L. B. and Joubert P. N. Turbulent shear flow in
a curved duct // J. Fluid Mech.– 1974.– 62, Part 1.–
P. 65–84.
68 А. А. Авраменко, Т. В. Сорокина, Т. Б. Басок
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4717 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T17:13:19Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Басок, Т.Б. 2009-12-18T15:24:15Z 2009-12-18T15:24:15Z 2007 Ламинарное течение в пористом плоском криволинейном канале / А.А. Авраменко, Т.В. Сорокина, Т.Б. Басок // Прикладна гідромеханіка. — 2007. — Т. 9, № 4. — С. 66-68. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4717 532.526 Аналитически получен профиль скорости для ламинарного течения в пористом плоском канале. Исследовано влияние пористости и ширины канала на коэффициент гидравлического сопротивления и профиль скорости в канале. Аналiтично отриманий профiль швидкостi для ламiнарної течiї в пористому плоскому каналi. Дослiджено вплив пористостi та ширини каналу на коефiцiєнт гiдравлiчного опору та профiль швидкостi у каналi. Velocity profile for laminar flow in porous flat channel is obtained analytically. Influence of po-rosity and width of channel on coefficient of hydraulic resistance and velocity profile in channel is investigated. ru Інститут гідромеханіки НАН України Ламинарное течение в пористом плоском криволинейном канале Laminar flow in porous flat curvilinear channel Article published earlier |
| spellingShingle | Ламинарное течение в пористом плоском криволинейном канале Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Басок, Т.Б. |
| title | Ламинарное течение в пористом плоском криволинейном канале |
| title_alt | Laminar flow in porous flat curvilinear channel |
| title_full | Ламинарное течение в пористом плоском криволинейном канале |
| title_fullStr | Ламинарное течение в пористом плоском криволинейном канале |
| title_full_unstemmed | Ламинарное течение в пористом плоском криволинейном канале |
| title_short | Ламинарное течение в пористом плоском криволинейном канале |
| title_sort | ламинарное течение в пористом плоском криволинейном канале |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4717 |
| work_keys_str_mv | AT avramenkoaa laminarnoetečenievporistomploskomkrivolineinomkanale AT sorokinatv laminarnoetečenievporistomploskomkrivolineinomkanale AT basoktb laminarnoetečenievporistomploskomkrivolineinomkanale AT avramenkoaa laminarflowinporousflatcurvilinearchannel AT sorokinatv laminarflowinporousflatcurvilinearchannel AT basoktb laminarflowinporousflatcurvilinearchannel |