Итерационные алгоритмы конечноэлементного метода сопряженных градиентов
Рассматривается применение метода сопряженных градиентов для решения самосопряженных задач эллиптического типа второго порядка в представлении конечными элементами. Метод приводит к снижению вычислительных трудностей по сравнению с прямыми методами, в том числе по отношению к методу исключения Гаусс...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47183 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Итерационные алгоритмы конечноэлементного метода сопряженных градиентов / Л.А. Митько // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 144-155. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860261304024956928 |
|---|---|
| author | Митько, Л.А. |
| author_facet | Митько, Л.А. |
| citation_txt | Итерационные алгоритмы конечноэлементного метода сопряженных градиентов / Л.А. Митько // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 144-155. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| description | Рассматривается применение метода сопряженных градиентов для решения самосопряженных задач эллиптического типа второго порядка в представлении конечными элементами. Метод приводит к снижению вычислительных трудностей по сравнению с прямыми методами, в том числе по отношению к методу исключения Гаусса, и, кроме того, его применение позволяет понизить влияние накопления ошибки округления.
We consider the application of the conjugate gradient method for solving problems of self-adjoint elliptic second order in the representation of finite elements. Method reduces the computational difficulties in comparison with direct methods, including in relation to the Gauss elimination, and in addition, their use can reduce the effect of the accumulation of rounding errors.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:55:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
144
УДК 519.6
Л. А. Митько, канд. физ.-мат. наук
Институт проблем моделирования в энергетике
им. Г.Е. Пухова НАН Украины, г. Киев
ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО
МЕТОДА СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ
Рассматривается применение метода сопряженных градиен-
тов для решения самосопряженных задач эллиптического типа
второго порядка в представлении конечными элементами. Ме-
тод приводит к снижению вычислительных трудностей по срав-
нению с прямыми методами, в том числе по отношению к мето-
ду исключения Гаусса, и, кроме того, его применение позволяет
понизить влияние накопления ошибки округления.
Ключевые слова: системы уравнений, метод сопряжен-
ных градиентов, конечные элементы, точность, невязка.
Представим систему линейных уравнений в частных производ-
ных эллиптического типа в виде системы линейных алгебраических
уравнений
h h hK U f
(1)
с лангражианом конечных элементов, соответствующим сетке конеч-
ных элементов с параметром сетки h (предполагается использование
улучшенной сетки по сравнению с грубой сеткой, соответствующей,
например, 1h ). Как известно, ошибка полученного решения hU
состоит из ошибок округления и ошибок аппроксимации.
Можно заметить, что при 0h полная ошибка сначала падает,
поскольку ошибка аппроксимации стремится к нулю, однако, для
достаточно малых значений h полная ошибка может нарастать, если,
например, при решении системы уравнений (1) использовать метод
исключения Гаусса. Причина состоит в том, что ошибки округления в
процессе вычислений и ошибки компьютерного представления дан-
ных hK и hf
, вообще, накапливаются в решении hU
, по крайней
мере, при числе обусловленности 1
h h hH K K порядка hK .
Эффект накопления может быть объяснен в рамках анализа
ошибок [1], т. е. связью ошибок процесса вычислений с ошибками в
исходных данных. Известно, что в задачах второго порядка hH при
0h убывает как 2mO h .
© Л. А. Митько, 2010
Серія: Технічні науки. Випуск 4
145
Рассмотрим метод решения эллиптической задачи второго порядка,
основанный на специальном применении предварительно обусловлен-
ного метода сопряженных градиентов (ПОСГ), который обладает высо-
кой устойчивостью (слабо зависят от накопления ошибки округления
при 0h ). Для данного метода сложность вычислений имеет порядок
nO h при запоминании информации и O (
1
12 ln
n
h h
) — при вы-
числении арифметических операций, где n — размерность пространст-
ва. Рассматриваемый метод является итерационным с низким порядком
вычислительной сложности для решения широкого круга задач при
представлении лагранжиана конечными элементами.
В дальнейшем норму вектора будем обозначать 2l — нормой;
норму матрицы — нормой связи (спектральной нормой). Внутреннее
произведение 2l будем обозначать (.,.).
Выбор сетки и метод ПОСГ. Построение метода начнем с вы-
бора сетки для треугольных или прямоугольных элементов, с пара-
метром сетки 2h , и, затем, решение уравнения в конечных элементах
(1) (1)22 2hh h
K U f
или (2) (2)22 2hh h
K U f
, например, методом ПОСГ.
Здесь верхние индексы (1) и (2) обозначают аппроксимации конеч-
ными элементами, кусочно-линейными или квадратичными, соответ-
ственно. Будем рассматривать только два этих вида аппроксимации,
хотя общие соображения остаются верными и для аппроксимаций
более высокого порядка.
Предлагаемое изменение сетки состоит в том, что грани каж-
дого элемента разделены на две равные части (рис. 1). Приближенное
решение 2hU
линейно интерполируется в средней точке, и результи-
рующий вектор (0)h
U
, соответствующий узловым точкам на h , бе-
рется в дальнейшем в качестве начального приближения для итера-
ционного процесса.
Рис.1. Однородно разделенная сетка. Сплошные линии — сетка 2h , пунк-
тирные линии — сетка h .
Математичне та комп’ютерне моделювання
146
Теперь будем считать, что kC являются коэффициентами моди-
фицированного неполного разложения Холецкого (МНРХ) [2] и бу-
дем решать уравнения 2 2 2h h h
K U f
с помощью итераций по ме-
тоду сопряженных градиентов ПОСГ:
2 2
11
1
: ,
: ,
: ,
0,1
s s
h hh h
s s s
h Sh h h
s s s
Sh h h
r K U f
d C r d
U U d
s
(2)
где 0 0s и s определяются из обычного внутреннего произ-
ведения. Итерационный процесс заканчивается, если невязки
6s
hr
, где — произвольно выбранный параметр. В этом случае
ошибка в решении при итерациях имеет тот же самый порядок 4O h ,
что и ошибка аппроксимаций, если при этом предполагается, что функ-
ция и граничные условия таковы, что решение является локально глад-
ким. Как мы далее увидим, полная ошибка при использовании устойчи-
вого метода будет иметь порядок 4 , 0O O h h , где — ком-
пьютерная точность числа.
Заметим, что в системе уравнений (2) невязки вычисляются по
своей, отдельной формуле. Хорошо известно, что это приводит к вы-
числению произведения матрицы на вектор на каждом шаге (при со-
хранении в памяти одного вектора), в отличие от метода, в котором
эти невязки вычисляются рекурсивным способом [3; 4].
Использование отдельной формулы для невязок является прин-
ципиальным моментом, поскольку именно применение специальной
формулы при достаточно быстром итерационном процессе позволяет
избежать накопления ошибки округления. При этом в алгоритме со-
пряженных градиентов используется итерационное приближение
аналогично работе [5]. Однако, в рассмотренных ниже примерах ве-
личина ошибки округления настолько мала, что нет необходимости
выполнять итерационный процесс.
Известно [4], что если при решении системы уравнений (2) ис-
пользовать следующий критерий остановки счета S
hr K
`
0 ,o h
r K то число итераций ограничивается числом:
Серія: Технічні науки. Випуск 4
147
*
0
0
1 2
int ln ,
2I
S H I
(3)
где I — целая часть, а
1 1
2 2
0 hh hH H C K C
и 2
12
.,.h h
K K
.
Следовательно, в 2l -норме относительная ошибка невязки сни-
жается, по крайней мере, в 0o H раз за *S итераций. Далее уви-
дим, что хотя hC получены из более простой матрицы 1h
K , ведут
они себя в соответствии с 2h
K , поскольку для 0h , 1
0H O h .
Скорость сходимости метода ПОСГ. В [5] показано, что
(1)
1 1
12 2
0 h hh
H H C K C O h
, если hC являются коэффициентами
разложения МНРХ функций (1) .h
K Здесь мы также предполагаем, что
(1)h
K является доминирующей диагональной матрицей, которая, на-
пример, соответствует случаю, когда в конечном элементе (треуголь-
нике) все углы / 2 . Доминирующая диагональность означает, что
разложение (1)h
K является устойчивым. Отметим, что (2)h
K не явля-
ется диагонально доминирующей матрицей. Далее покажем, что
(2)
1 1
12 2
h hh
H C K C O h
. Таким образом, из уравнения (3) следует,
что число итераций и число операций на определение одного неиз-
вестного в уравнении (2) будет порядка 1/2( )O h . Этот результат по-
лучен на основе спектральной эквивалентности, что можно показать
следующим образом.
Пусть ( )i
hL , 1;2i представляет две аппроксимации дифференциа-
льного оператора эллиптического типа второго порядка на области .
Аппроксимации соответствуют одному и тому же числу узлов N = N(h)
аппроксимации лагранжиана в представлении конечными элементами.
Параметр h является параметром дискретизации и при модификации
сетки, выполняемого в настоящей работе, он ведет себя таким образом,
что число узлов для (1)
hL остается таким же, как и для (2) .hL
Математичне та комп’ютерне моделювання
148
Определение. Будем считать, что (1)
hL и (2)
hL спектрально экви-
валентны, если
1
2
0 ;
h
h
L U U
c C
L U U
, 0,NU R U
где с, С не зависит от h [6; 7].
Теперь сформулируем теорему, связанную со спектральной эк-
вивалентностью. На заданной сетке конечных элементов, состоящей
из T макроэлементов и N лагранжевых узлов, где l — норма макро-
элементов, le имеет ln узлов, 1;2,...,l T , — мы имеем две гло-
бальные матрицы конечных элементов 1 2,K K . Будем считать, что
1 1
1 2,K K обозначают матрицу локальных (макро) конечных элемен-
тов на le . Хорошо известно, что такие матрицы являются положи-
тельными, полуопределенными. Следовательно, все данные для
1
, 1;2iK i , соответствующие узлам вне le , равны нулю.
Теорема 1. Пусть матрицы 1 1
1 2,K K определены так, как указа-
но выше, и предположим, что они имеют одно и то же пространство
нулей, так что
( ) ( )
1 1 2
l lN N K N K , 1, 2,...,l T .
Пусть также (1)
, , 1, 2i j j будут экстремальными собственными
значениями (1) , 1, 2iK i и предположим, что
(1)
2,2
(1)1
1,1
max
l T
и
(1)
1,2
(1)1
2,1
max
l T
не зависят от числа элементов, но могут зависеть от наименьшего
угла в lUe . Тогда 1 2,K K являются спектрально эквивалентными.
Доказательство. Имеем:
(1) (1) (1)
1 1 1 11,1 1 1,2 ; \NU U K U U U U U R N
,
следовательно
(1) (1) (1)
1 1 1 11 2 1 ; \Nc K U U K U U C K U U U R N
,
где
(1) (1) (1) (1)
2,1 1,2 2,1 1,2
1 1
min / , max / .c c
Серія: Технічні науки. Випуск 4
149
Поскольку пространство нулей 1 1
1 2,K K идентичны, это нера-
венство будет справедливым для всех NU R
. Так как согласно оп-
ределению ( ) ,l
i iK и K ( )
1
T
l
i i
l
K K
, тo будем иметь:
1 2 1, , , ; Nc K U U K U U C K U U U R
Здесь, согласно принятым допущениям, с и С не зависят от чис-
ла элементов. Следовательно, 1 2,K K спектрально эквивалентны.
Из-за однородного деления сетки углы в lU e заданы при перво-
начальном построении грубой сетки, и, следовательно, не зависят от
параметра сетки h . Кроме того, хорошо известно, что пространство
нулей лагранжиевых матриц конечных элементов является линейным
пространством, стянутым постоянным вектором. Таким образом, из
теоремы 1 следует, что матрицы (1)h
K и (2)h
K спектрально эквива-
лентны и из этого сразу получается следующий результат:
(2)
1 1
12 2 .h hh
H C K C O h
При моделировании задачи Лапласа ( U f в , 0U на
, — единичный квадрат) при использований прямоугольных
треугольников в [5] показано, что
(1) (2) (1)
1/2 1/2
2.
h h h
H K K K
Таким образом, самое большое, что можно ожидать при использо-
вании разложения, полученного для (1)h
K , — это незначительное сни-
жение числа итераций по сравнению со случаем использования (2)h
K .
Вычисление невязок. Для упрощения представления предпола-
гается, что все данные в ( ) ,ih
K i = 1, 2, нормализованы (например диаго-
нализацией) и должны быть порядка O (1) при 0h . В соответствии с
этим (2) (1), 0
h
K O h и (2)
2( ), 0
h
K O h h . Если невязки в
уравнении (2) рассчитывать прямым перемножением матриц, то
, 1,2......,i i j j i
j
r K U f i N ,
где ijK — элементы, входящие в (2)h
K , и абсолютная ошибка в ir
того же самого порядка, что и ошибки ijK в ijK . Более конкретно
Математичне та комп’ютерне моделювання
150
это будет означать, что если точность задаваемого в машине числа
равна и, таким образом, ( )ijK O при 0h , то абсолютная.
ошибка ir в ir также порядка ( ),O 0h . С помощью обратного
анализа ошибок эту ошибку можно связать с ошибкой iU в реше-
нии для векторов U. Очевидно, что из ( 2 )h
r r K U U f
следует ( 2 ) 1
h
U K r .
Таким образом, 2( )U O h при 0h . Однако, если ir
рассчитывать менее подробно, то можно сделать меньше ошибок, что
на самом деле соответствует меньшим ошибкам в элементах матри-
цы. Представим два метода, в которых такая цель достигается. В обо-
их случаях рассматриваем самосопряженные задачи второго порядка.
Метод 1. Суммирование разностей. Этот метод основывается
на свойстве
ij j
j
K , где 2( )i O h (4)
справедливом для всех строк i , за исключением ближайшей к гранич-
ному узлу Дирихле. Тогда ir можно вычислить как сумму разностей
1 1
,i ij i j ij i j i i i
j j
j h j h
r K U U K U U U f
(5)
где hj и hj , где h представляет дискретную сетку и
соответствующая узловая точка является либо внутренней, либо гра-
ничным узлом Неймана или Дирихле, соответственно. (Граничные
условия третьего рода можно рассматривать точно таким же спосо-
бом.) Элементы ijK , которые удобно запоминать в виде вектора-
порядка 1( )O h , связывают внутренний узел i с граничным узлом
Дирихле, в котором известно значение ig . В соответствии с этим, 'i
f
дает вклад в вычисление функции только с одной, правой стороны.
Очевидно, что в уравнении (5) 2( )i O h (или O ) для всех
строк i . Следовательно, согласно принятому условию гладкости ре-
шения, ( ), ( )i j i jU U O h U g O h для всех пар индексов ,i j при
0ijK . Следовательно, абсолютная ошибка в ir будет , 0O h h
и из r O h следует, точно также, как было показано выше,
что 10 , 0u h h .
Серія: Технічні науки. Випуск 4
151
Метод 2. Суммирование разностей второго порядка. В этом
методе предполагаем, что имеется однородная сетка или, по крайней
мере, гладко меняющаяся сетка типа представленной на рис. 1. Это
реализуется, по крайней мере, во внутренней части заданной области
и для многих областей, в которых существует гладкое отображе-
ние h на множество прямоугольников [8].
15
16
14 13
12
11
1
Рис. 2. Связь между точками сетки
Сначала, мы также предполагаем, что коэффициенты в уравне-
нии удовлетворяют условиям Лифшица. 3атем, в дополнение к урав-
нению (4) будем считать, что элементы матрицы удовлетворяют сле-
дующему:
3. . ( ), 0
j ji i i ik k O h h
(6)
и, суммируя вторые разности, получим:
3
3
. 3 . . 3
1
2
j j ji i i i i j i j i i i i i j i j i i i
j
r k u u u k k u u u f
(7)
Очевидно, что возможные граничные узлы Дирихле могут быть
рассмотрены таким же путем, как в методе I, предполагая, что все
элементы матрицы ,i i jK , также как и разности
3. .j ji i i iK K
, рассчи-
тываются с двойной точностью и затем запоминаются с обычной
точностью. Разности
3. .j ji i i iK K
можно рассчитывать, используя
численную схему интегрирования для каждого члена по методу ин-
тегрирования разностей в контексте двухточечной краевой задачи:
( ) ( ), .
u
p x f x a x b
x x
Если 3 ( , )p C a b , то приближение имеет следующий вид —
3
1 1 1 1
2 2 2 2
,j
j j j j
p x p x p x x x O h
. В этом случае
нет необходимости производить вычисления с двойной точностью.
Математичне та комп’ютерне моделювання
152
Мы видим, что для симметричных задач этот метод требует большей
памяти, чем прямые методы и метод 1. Считая, что 2 ( )u C (ло-
кально), видим, что все члены в уравнении (7) будут 2( )O h и, таким
образом, абсолютная ошибка в ir будет O . Следовательно,
ошибка в hU
будет порядка ( ).O
Проводились численные расчеты для определения величины на-
капливаемой ошибки округления при использовании метода разло-
жения Холецкого и других методов расчета невязок в методе ПОСГ
тестовой задачи с заданной точностью ~ 0,5·10-6 (рис. 4).
Рис. 3. Тестовая задача:
U U
f
x x y y
в , U g на .
Пример 1. Решение тестовой задачи при следующих значения
данных: 0 1 1 2 31, (1 ), (1 )g g x x g y y
Пример 2. Решение тестовой задачи при следующих значения
данных: 0 1 1 2 31, 10, (1 ), (1 )g g x x g y y
В примерах 1—2 f выбрана таким образом, что точным реше-
нием является выражение (1 ) (1 )U xy x y .
Величина ошибки округления определяется сравнением с полу-
ченным решением при всех исходных данных и всех численных рас-
четах с двойной точностью.
Полученные результаты представлены в таблицах 1 и 2. Ошибки
округления в
~
~ hU измерены в 2l -норме. В таблицах различные спосо-
бы вычисления разностей в методе ПОСГ обозначены следующим
образом: "обычный" (прямое вычисление вперед), метод 1 (суммиро-
вание разностей), метод 2 (суммирование вторых разностей). Расчеты
(если нет других указаний) по методу Холецкого выполняются с
Серія: Технічні науки. Випуск 4
153
обычной точностью (ОТ), а в методе ПОСГ все необходимые расчеты
проведены с двойной точностью (ДТ).
Таблица 1.
Ошибки округления для примера 1
h N метод Холецкого
метод ПОСГ
обычный метод 2 метод 1
1/4 49
.25.10-5
.15.10-5 (ДТ)
.57.10-6 .59.10-7
.28.10-7
.28.10-7 (ОТ)
1/8 225
.14.10-4
.87.10-5 (ДТ)
.23.10-5 .58.10-7
.27.10-7
.27.10-7 (ОТ)
1/16 961
.82.10-4
.55.10-4(ДТ)
.90.10-5 .62.10-7 .27.10-7
.27.10-7 (ОТ)
Таблица 2.
Ошибки округления для примера 2
h N
метод
Холецкого
метод ПОСГ
обычный метод 2 метод 1
1/4 49
.30.10-5
.64.10-6 .72.10-7 .34.10-7
.57.10-7(ОТ)
1/8 225
.18.10-5
.24.10-5 .73.10-7 .32.10-7
.23.10-6(ОТ)
1/16 961
.11.10-3
.10.10-4 .76.10-7 .33.10-7
.34.10-7(ОТ)
При расчетах по методу ПОСГ с обычной точностью точность
расчетов будет близкой (смотрите примеры, приведенные в табли-
цах). Причина этого заключается в выборе хорошей начальной ап-
проксимации. При задании менее точных начальных приближений
(например, 0 0U или 0 1
hU C f ) в расчетах с обычной точностью
наблюдалась более заметная потеря точности. Следует отметить, что,
в методе ПОСГ невозможно в принципе снизить относительную
ошибку невязок до величины . Поэтому, для того чтобы в окон-
чательном решении абсолютная ошибка была порядка , необходи-
мо выбирать хорошее начальное приближение. В методе 2 по край-
ней мере матричные коэффициенты должны быть рассчитаны с
двойной точностью. Если этого не сделать, то наблюдается нараста-
ние ошибки порядка 1( )O h .
Эффективность метода ПОСТ может быть улучшена следую-
щим способом. Поскольку тщательный расчет невязок требуется
только на последней итерации (или, если число итераций велико, то
на нескольких последних итерациях), невязки могут быть вычислены
методом рекурсии[4], за исключением расчета на последней итера-
ции, где должен быть применен один из предложенных двух методов.
Математичне та комп’ютерне моделювання
154
В таблице 3 представлено число итераций (р) и число арифмети-
ческих операций (w), необходимые при расчете одного неизвестного
методом ПОСГ, для приведенных примеров.
Таблица 3
Число итераций (р) и число арифметических операций (w)
при расчете одного неизвестного для примеров 1 и 2.
h
Пример 1 Пример 2
=1 =1 =10-1
p w p w p w p w
1/8 4 135 6 180 5 160 7 205
1/16 6 180 8 230 7 205 9 255
Когда проводится модифицированное неполное разложение
(1)h
K , используется метод МНРХ [9]. Начальное приближение берет-
ся из решения уравнения 2 2
22 2hh hK U f
и линейной интерполяции
по улучшенной сетке, как было описано выше. Эта система решалась
итерациями тем же самым методом ПОСГ, как и на улучшенной сет-
ке, но с (0) 0U . Точность была 1 и 110 . Невязки были рас-
считаны рекурсивным методом, за исключением последней итерации,
на которой использовался метод 2. Отметим, что ошибка дискретиза-
ции в этом примере была порядка 4( )O h .
Таким образом, в статье предложен метод, устойчивый к ошибке
округления, который в тоже время обладает небольшими вычисли-
тельными трудностями. Число арифметических операций при расчете
одного неизвестного c точностью 110 составляет всего лишь
порядка 240, и для плоской задачи число неизвестных равно N=961
( 1/16h ). Для пространственной задачи c точностью 110 мож-
но ожидать, что количество шагов будет порядка 150, и N=1331
( 1/16h ). Коэффициенты матрицы и исходные данные заносятся с
обычной точностью и с этой точностью могут запоминаться все вы-
числения.
Этот метод, так же как и мультисеточные методы, может быть лег-
ко использован в улучшенных итерационных процедурах. Следователь-
но, расчеты невязок могут производиться с обычной точностью. Кроме
того, невязки могут быть рассчитаны с обычной точностью по методу
нормальных колебаний (обычное итерационное улучшение)[9].
Список использованной литературы:
1. Wilkinson J. H. Rounding Errors in Algebraic Processes / J. H. Wilkinson //
Notes on Applied Science. — London, № 32. — 1963.
Серія: Технічні науки. Випуск 4
155
2. I. Cuntafsson, Stability and rate of convergence of modified incomplete Cho-
lesky factorization methods, Report 79.02 R. Department of Computer
Sciences, Chalmers University of Technology, Gхteborg, Sweden, 1979.
3. Reid J. K. On the method of conjugate gradients for the solution of largo
sparse systems of linear equations, in of the conference on Largo Sparse Sets
Linear Equations / J. K. Reid. — Academic Press, 1971. — P. 321—354.
4. Axelsson O. A class of iterativ for finite element equations, Comp. Appl.
Hech. Eng. 9. — 1976. — P. 123—137.
5. Jankowski H. Iterative refinement implies numerical stability, BIT /
H. Jankowski, H. Wozniakowski. — 1977, P. 303—311.
6. Cunn J. E. The solution of elliptic difference equations by semi-explicit itera-
tive techniques, J. SIAM Numor. Anal. Ser B2. — 1964. — P. 24—45.
7. Дьяконов Е. Г. О применении эквивалентных по спектру операторов для
решения разностных аналогов сильноэллиптических систем /
Е. Г. Дьяконов // Докл. АН СССР. — 1965. — Т. 163. — С. 1314—1317.
8. Axelsson O. On a graphical package for non-linear partial differential equation
problems, Information Processing 77 (B. Glichrist, ed.) IFIP, North-Holland /
O. Axelsson, U. Nävert. — Amsterdam, 1977.
9. J. H. Argyris, Th. L. Johnson, R. A. Rosanoff and J.R. Roy. On numerical error
in the finite element method, ISD-Report No.177, Institut fьr Statik und Dynamik
der Luft-und Raumfahctkonstruktionen, University of Stuttgard, BRD (1975).
We consider the application of the conjugate gradient method for solving
problems of self-adjoint elliptic second order in the representation of finite ele-
ments. Method reduces the computational difficulties in comparison with direct
methods, including in relation to the Gauss elimination, and in addition, their
use can reduce the effect of the accumulation of rounding errors.
Key words: systems of equations, the conjugate gradient method, fi-
nite elements, accuracy, discrepancy.
Отримано 19.10.2010
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
/ARA <FEFF06270633062A062E062F0645002006470630064700200627064406250639062F0627062F0627062A002006440625064606340627062100200648062B062706260642002000410064006F00620065002000500044004600200645062A064806270641064206290020064506390020064506420627064A064A0633002006390631063600200648063706280627063906290020062706440648062B0627062606420020062706440645062A062F062706480644062900200641064A00200645062C062706440627062A002006270644062306390645062706440020062706440645062E062A064406410629061B0020064A06450643064600200641062A062D00200648062B0627062606420020005000440046002006270644064506460634062306290020062806270633062A062E062F062706450020004100630072006F0062006100740020064800410064006F006200650020005200650061006400650072002006250635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002E>
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <FEFF004b00610073007500740061006700650020006e0065006900640020007300e400740074006500690064002000e4007200690064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020007500730061006c006400750073007600e400e4007200730065006b0073002000760061006100740061006d006900730065006b00730020006a00610020007000720069006e00740069006d006900730065006b007300200073006f00620069006c0069006b0065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069006400650020006c006f006f006d006900730065006b0073002e00200020004c006f006f0064007500640020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065002000730061006100740065002000610076006100640061002000700072006f006700720061006d006d006900640065006700610020004100630072006f0062006100740020006e0069006e0067002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006a00610020007500750065006d006100740065002000760065007200730069006f006f006e00690064006500670061002e>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200061002000760069007300750061006c0069007a006100e700e3006f002000650020006100200069006d0070007200650073007300e3006f00200063006f006e0066006900e1007600650069007300200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d0065007200630069006100690073002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <FEFF005400690063006100720069002000620065006c00670065006c006500720069006e0020006700fc00760065006e0069006c0069007200200062006900720020015f0065006b0069006c006400650020006700f6007200fc006e007400fc006c0065006e006d006500730069002000760065002000790061007a0064013100720131006c006d006100730131006e006100200075007900670075006e002000410064006f006200650020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020006f006c0075015f007400750072006d0061006b0020006900e70069006e00200062007500200061007900610072006c0061007201310020006b0075006c006c0061006e0131006e002e00200020004f006c0075015f0074007500720075006c0061006e0020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020004100630072006f006200610074002000760065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006500200073006f006e0072006100730131006e00640061006b00690020007300fc007200fc006d006c00650072006c00650020006100e70131006c006100620069006c00690072002e>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47183 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0060 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:55:38Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Митько, Л.А. 2013-07-10T12:32:11Z 2013-07-10T12:32:11Z 2010 Итерационные алгоритмы конечноэлементного метода сопряженных градиентов / Л.А. Митько // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 4. — С. 144-155. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. XXXX-0060 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47183 519.6 Рассматривается применение метода сопряженных градиентов для решения самосопряженных задач эллиптического типа второго порядка в представлении конечными элементами. Метод приводит к снижению вычислительных трудностей по сравнению с прямыми методами, в том числе по отношению к методу исключения Гаусса, и, кроме того, его применение позволяет понизить влияние накопления ошибки округления. We consider the application of the conjugate gradient method for solving problems of self-adjoint elliptic second order in the representation of finite elements. Method reduces the computational difficulties in comparison with direct methods, including in relation to the Gauss elimination, and in addition, their use can reduce the effect of the accumulation of rounding errors. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Итерационные алгоритмы конечноэлементного метода сопряженных градиентов Iterative algorithms in finite element conjugate gradient method Article published earlier |
| spellingShingle | Итерационные алгоритмы конечноэлементного метода сопряженных градиентов Митько, Л.А. |
| title | Итерационные алгоритмы конечноэлементного метода сопряженных градиентов |
| title_alt | Iterative algorithms in finite element conjugate gradient method |
| title_full | Итерационные алгоритмы конечноэлементного метода сопряженных градиентов |
| title_fullStr | Итерационные алгоритмы конечноэлементного метода сопряженных градиентов |
| title_full_unstemmed | Итерационные алгоритмы конечноэлементного метода сопряженных градиентов |
| title_short | Итерационные алгоритмы конечноэлементного метода сопряженных градиентов |
| title_sort | итерационные алгоритмы конечноэлементного метода сопряженных градиентов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47183 |
| work_keys_str_mv | AT mitʹkola iteracionnyealgoritmykonečnoélementnogometodasoprâžennyhgradientov AT mitʹkola iterativealgorithmsinfiniteelementconjugategradientmethod |