Осесиметрична контактна задача термопружності про тиск штампа, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар
Розглядається осесиметрична контактна задача термопружності про тиск циліндричного кругового штампа скінченної довжини з плоскою основою, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар. Допускається, що на площадці контакту виділяється тепло, кількість якого пропорційна коефіцієнту тертя,...
Saved in:
| Published in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47202 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Осесиметрична контактна задача термопружності про тиск штампа, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар / Б.С. Окрепкий, А.М. Алілуйко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 155-171. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859680084719304704 |
|---|---|
| author | Окрепкий, Б.С. Алілуйко, А.М. |
| author_facet | Окрепкий, Б.С. Алілуйко, А.М. |
| citation_txt | Осесиметрична контактна задача термопружності про тиск штампа, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар / Б.С. Окрепкий, А.М. Алілуйко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 155-171. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| description | Розглядається осесиметрична контактна задача термопружності про тиск циліндричного кругового штампа скінченної довжини з плоскою основою, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар. Допускається, що на площадці контакту виділяється тепло, кількість якого пропорційна коефіцієнту тертя, швидкості обертання і нормальному контактному напруженню. Тепловий контакт штампа із шаром неідеальний. Між вільними поверхнями розглядуваної системи тіл і навколишнім середовищем відбувається теплообмін по закону Ньютона.
Запропоновано метод визначення контактного нормального напруження і температурних полів в циліндрі і шарі.
The axis-symmetric contact task of thermo-elasticity of the cylinder circular punch stress of finite length with a plane foundation which is twirled on an elastic transversal-isotropic layer is observed. It is supposed, that in the contact area deposits warmly which amount is proportional to friction coefficient, to rotate velocities and to a normal contact stress. The heat contact between punch and layer is the imperfect. Between the free surfaces of the observed bodies system and the environment there is a heat exchange on a Newton's law.
Method of determination of normal contact stress and temperature fields in the cylinder and the layer is offered.
|
| first_indexed | 2025-11-30T18:16:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 5
155
The article is devoted to solving for non-linear integral Fredholm-
Urysohn equations of the first kind in the MATLAB, describing the inverse
problem of determining the siting of the heat source with known values of
the external temperature anomaly.
Key words: non-linear integral equation, Tikhonov regularization
method, regularization parameter, thermal field, Matlab.
Отримано: 25.05.2011
УДК 539.3
Б. С. Окрепкий, канд. фіз.-мат. наук,
А. М. Алілуйко, канд. фіз.-мат. наук
Тернопільський національний економічний університет, м. Тернопіль
ОСЕСИМЕТРИЧНА КОНТАКТНА ЗАДАЧА ТЕРМОПРУЖНОСТІ
ПРО ТИСК ШТАМПА, ЩО ОБЕРТАЄТЬСЯ, НА ПРУЖНИЙ
ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ІЗОТРОПНИЙ ШАР
Розглядається осесиметрична контактна задача термопружно-
сті про тиск циліндричного кругового штампа скінченної довжи-
ни з плоскою основою, що обертається, на пружний трансверса-
льно-ізотропний шар. Допускається, що на площадці контакту
виділяється тепло, кількість якого пропорційна коефіцієнту тертя,
швидкості обертання і нормальному контактному напруженню.
Тепловий контакт штампа із шаром неідеальний. Між вільними
поверхнями розглядуваної системи тіл і навколишнім середови-
щем відбувається теплообмін по закону Ньютона.
Запропоновано метод визначення контактного нормально-
го напруження і температурних полів в циліндрі і шарі.
Ключові слова: штамп, шар, анізотропія матеріалів, не-
ідеальний тепловий контакт, трансверсально-ізотропний,
термопружність, тепловиділення.
Постановка проблеми. Визначення контактних деформацій і
напружень з урахуванням температурних факторів і анізотропії мате-
ріалів є важливим завданням для дослідження міцності деталей ма-
шин і елементів конструкцій у місцях їхньої взаємодії, при розрахун-
ку конструкції на пружній основі для раціонального використання
конструкції і несучої здатності основи.
Аналіз останніх досліджень. У працях [1—5] досліджено вплив
температурних факторів на характер взаємодії тіл. Зокрема, в статтях
[3—5] розв’язані осесиметричні контактні здачі термопружності про
тиск кругового циліндричного обертаючого штампа з плоскою осно-
вою на пружний півпростір і шар для ізотропних матеріалів. Допус-
кається, що на площадці контакту виділяється тепло, кількість якого
пропорційна коефіцієнту тертя, швидкості обертання і нормальному
© Б. С. Окрепкий, А. М. Алілуйко, 2011
Математичне та комп’ютерне моделювання
156
контактному напруженню. Проте недостатньо вивчено вплив умов
неідеального теплового контакту для системи тіл циліндр-шар у ви-
падку анізотропних матеріалів.
Мета роботи. Побудувати розв’язок осесиметричної контактної
задачі термопружності про тиск трансверсально-ізотропного штампа
з плоскою основою, що обертається, на пружний трансверсально-
ізотропний шар з урахуванням неідеального теплового контакту.
Знайти формули для визначення температурних полів і нормальних
контактних напружень в системі тіл циліндр-шар. Дослідити вплив
контактної провідності і коефіцієнтів анізотропії на розподіл темпе-
ратури і напружень в зоні контакту двох тіл.
Постановка задачі. Нехай жорсткий циліндричний круговий
штамп довжиною L і радіусом R, з плоскою основою, втискується силою
P в трансверсально-ізотропний шар скінченної товщини H. Допускаєть-
ся, що штамп обертається з постійною кутовою швидкістю відносно
осі симетрії. За рахунок тертя на площадці контакту виділяється тепло,
кількість якого пропорційна швидкості r , коефіцієнту тертя 0k і кон-
тактному напруженню ( )z r . Тепловиділення на площадці контакту
спричиняє появу теплових потоків спрямованих всередину штампа і
шару. Поверхня шару зовні площадки контакту вільна від зовнішніх зу-
силь. На площадці контакту дотичні напруження 0rz , а r пропор-
ційні напруженню ( )z r . Тепловий контакт між тілами припускається
неідеальним. На вільних поверхнях циліндра і шару відбувається тепло-
обмін із зовнішнім середовищем по закону Ньютона.
При заданих припущеннях необхідно визначити нормальні на-
пруження під штампом і температурні поля в циліндрі і шарі.
Для розв’язування задачі введемо циліндричну систему коорди-
нат r , , z з площиною 0z , яка співпадає з поверхнею шару, віс-
сю OZ , спрямованою всередину штампа по його осі симетрії (рис. 1).
Рис. 1.
Всі величини (напруження, переміщення, температура Т, пружні
постійні, коефіцієнти теплопровідності і лінійного температурного
розширення, коефіцієнти теплообміну), які відносяться до шару поз-
начено верхнім індексом (1), аналогічні величини для циліндричної
області записуються без верхніх індексів.
Серія: Технічні науки. Випуск 5
157
Таким чином, запропонована задача розв’язується при наступ-
них граничних умовах:
1 0,
T
H T
z
; 0z L r R , (1)
2 0,
T
H T
r
0 ;z L r R , (2)
1
1
0
1
0
( ) / ,
0; 0 ,
z z z
z
T T
k r r J
z z
T
h T T z r R
z
(3)
1
1 1
2
1
1 1
1
0, 0;
0, ;0 ,
T
H T z R r
z
T
H T z H r
z
(4)
1
zu 0; 0z r R ; 1 0z 0;z R r , (5)
1 0rz 0; 0z r , 1 0zu , 1 0rz ; 0z H r . (6)
Тут z , 1
z , iH , 1
iH ( 1, 2)i — коефіцієнти теплопровідності і
теплообміну; 0h — контактна провідність; — величина вертикаль-
ного переміщення; J — механічний еквівалент тепла.
Відомо [6], що у випадку трансверсально-ізотропних тіл, темпе-
ратурне поле задовольняє диференціальне рівняння
2 2
2
2 2
1
0
T T T
r rr z
. (7)
Напруження і переміщення в шарі визначаємо через пружні по-
тенціали 1 і 2 згідно формул
1
(1) (1)
( ) 1 2 1 2
1 2
T
zu a s
z z
,
1
(1)2
( ) 1T
rz r z
,
1
(1) (1)2
( ) 1 11
.T
z r z r r
(8)
Функції (1)
1 і (1)
2 задовольняють систему диференціальних рі-
внянь
(1) (1) (1) (1)2 2 2
1 2 1 11 1 1 2
2 32 2 2 21
2
(1) (1) (1)2 2
1 2 1 12 2 2
1 42 2
1 1
( ) ,
1
( ) .
a T
r rr z za
a T
r rr z
(9)
Математичне та комп’ютерне моделювання
158
У співвідношеннях (7)—(9) 2 — відношення коефіцієнтів теп-
лопровідності в напрямку осі Oz і перпендикулярному до нього;
21
i , 2
is — корені деяких характеристичних рівнянь [6; 7], які зале-
жать від модулів пружності 1
ijA [8]; 1
ia 1,4i — деякі величини,
які залежать від коефіцієнтів лінійного температурного розширення
1T
і 1T
(в напрямку осі Oz і відповідно в площині ізотропії) [6].
Для визначення температурного поля в шарі введемо трансфор-
манту Ганкеля функції 1( , )T r z нульового порядку
1 1
0
0
( , ) ( , ) ( )T z rT r z J r dr
,
за допомогою якої, із рівняння (7) знаходимо 1( , )T через дві дові-
льні функції 1( ) і 2 ( )
1 11
1 2 0
0
( , ) ( ) ( ) ( )T e e J d
, (10)
де 0 ( )J — функції Бесселя першого роду; /r R ; /z R .
Температурне поле в циліндрі знаходимо методом Фур’є. Зага-
льний розв’язок матиме вигляд
2 2 2
0 0 0 0
1
0
1
( , ) 2
sin cos ,
k
k k
k
k
k k k k k k
k
z
T r z A z B D r z J r A sh
z
B ch I r C z D z
(11)
де kA , kB , kC , kD 0,k — довільні постійні; 0 kI r — фу-
нкції Бесселя першого роду уявного аргументу; k , k — власні чи-
сла, які визначаємо із граничних умов.
По відомих температурних полях, температурні потенціали (1)
1 і
(1)
2 визначаємо із системи (9) таким способом. Підставляючи значення
1T в друге рівняння (9), знаходимо (1)
2 , а знаючи (1)
2 і 1T , із першого
рівняння визначаємо (1)
1 . При цьому для загального розв’язку достат-
ньо знайти часткові розв’язки (1)
1 і (1)
2 рівнянь (9). Не зупиняючись на
викладках, запишемо кінцевий результат відповідно для шару
1 1(1) 1
1 1 2 01 2
0
1
( ) ( ) ( ) ( ) ,h e e J d
Серія: Технічні науки. Випуск 5
159
2 2 2(1) 1 1 1 1 1 1
4 1 1 12 ( ) ( ) /a h
, (12)
1
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 4 3 1 2 2 1h a a a
.
Компоненти температурних напружень і переміщень обчислю-
ються за формулами (8).
Маючи вирази для температурних напружень і переміщень, мо-
жна розв’язати задачу при механічних граничних умовах. Загальний
напружено-деформований стан унаслідок дії температурних і механі-
чних факторів одержуємо, додавши до компонент напружень і пере-
міщень (8) компоненти 1 ( )zu , 1 ( )z , 1 ( )rz , знайдені згідно [1] че-
рез функції напружень 1 і 2 , тобто
11 ( ) 1( ) ( )T
z z zu u u і т.д.
Вирази для компонент переміщень і напружень та рівняння для
функції напружень мають вигляд
1 1 1
1 1 2 2( )zu k k
z
,
2 2 21 1 1 1 1 1 1 1
1 33 1 13 1 2 33 2 22
2
1 1 1 1
44 1 1 2 2
( ) ,
( ) 1 1 ,
z
rz
k A A k A
z
A k k
r z
(13)
222 1
1 2
0i i
z
,
2
2
1 2
1
( 1, 2)i
r rr
,
де 1
ik , 1 2( ) ( 1, 2)i i — корені характеристичного рівняння [7].
Таким чином, для визначення переміщення і напружень в транс-
версально-ізотропному шарі маємо такі співвідношення:
1 1
1
1 1 1 1 1
1 2 1 2 0 1
10 0
1 1
( ) ( ) ( )z
k
u a h R e e J d
1 1 1 1
1 1 2 2
1
* * * *2
1 2 3 4 01
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
k
F e F e F e F e J d
1 1
121 1 1 1
1 1 2 0 210 0 1
1
( ) ( ) ( )z
d
h e e J d
R
Математичне та комп’ютерне моделювання
160
1 1 1 1
1 1 2 2
1
* * * *2
1 2 3 4 021
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
d
F e F e F e F e J d
1 1
1
1 1 1 1 1
1 1 2 1 44 1
10 0
1
( ) ( ) ( )rz
k
h e e J d A
(14)
1 1 1 1
1 1 2 2
1
* * * *2
1 2 3 4 11
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
k
F e F e F e F e J d
де ( )i ( 1,2)i , *( )iF — невідомі функції; 1 2 1
2 2 1h s h —
2 21 1 1
4 1/a
, 2
2s — корені рівняння [6; 7]:
2 21 4 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
44 11 12 11 12 13 44 11 33 13/ ,A S A A S A A A A A A A
1 1 1
1 11 12 ,a a a
21 1 1
11 33 131
2 1 1
1 11
,
a a a
a
a a
1 1
1 1
11 131
3 1 1
1 11
,T T
a a
a
a a
1
21 1 1 1
4 3 1 11/ ,
T
a a a 21 1 1 1 1
33 13 ( 1, 2)i i id k A A i .
Для спрощення викладок припустимо, що 2 0H . Для задово-
лення граничної умови (2) у формулі (11) потрібно покласти 0kD ,
0kC 0,k , /k k R , де k корені рівняння 1( ) 0kJ .
Гранична умова (1), з урахуванням ортогональності функцій Бесселя,
призводить до співвідношень між постійними nA і nB , у результаті
чого, температуру в циліндрі виразимо через одну нескінчену систе-
му постійних (1)
kC за формулою
1 1
(1)
01 1
1
1
(1)
0 1 1
1
1
1 1
( , )
( ) ( )
, , .
z z
z z
k k
k
k k
k kk
k
T l C
k
k sh l ch l L
J C k H R l
l l Rsh k ch
(15)
Серія: Технічні науки. Випуск 5
161
Граничні умови (3), (4) призводять до системи інтегральних рів-
нянь, які зв’язують функції ( ) ( 1, 2)k k з коефіцієнтами
(1) ( 0, )kC k і напруженням 1 ( )z :
(1) (1)
1 2 0 00
10
2 10
1
( ) ( ) ( )
( ), ( 1),
k k k
k
z
z
J d C J C
k
R
J
(16)
1 2 0 1
0
( ) ( ) ( ) ( ), ( 1)J d f
, (17)
2 1 2 2 0
0
( ) ( ) ( ) 0, ( 1)k k J d
, (18)
1 1
3 1 3 2 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, (0 ),
h h
k e k e J d
(19)
де
1 1
(1)
1 01 1 1
10
1 1 1
( ) z z
z z
f l C
kh
1 01
0 (1)
1
1
( )
,
k k
k k
k
kk
k
l
k th J
h
C
l
th k
/ ,h H R 1 1 ,k H R 1 1
2 2 ,k H R 1 1
3 1 ,k H R 1
0 0 / .zh h R
Застосувавши формулу обернення інтегрального перетворення
Ганкеля [9] до рівняння (19), одержимо систему рівнянь відносно
функцій 1( ) і 2 ( ) , розв’язок яких має вигляд:
13
1( ) ( ),
2 ( )
h
k
e
Q
13
2 ( ) ( ),
2 ( )
h
k
e
Q
(20)
2
2 3 2 31 1
( )
h h
Q k k sh k k ch
.
Підставивши функції 1( ) і 2 ( ) в рівняння (18) одержимо
0
0
( ) ( ) 0, ( 1).J d
(21)
Математичне та комп’ютерне моделювання
162
Задовольнивши граничним умовам (6), з врахуванням (20), для
напруження 1 ( ,0)z і переміщення 1 ( ,0)zu , на поверхні шару має-
мо формули:
1 2
0 0
0 10 0
1
0
0
( )1
( ,0) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
( )
( ,0) ( ) ( ) ,
z
z
QR
u G h J d J d
Q
J d
(22)
де
1 1
* * * *1 2
1 2 3 42 11 21
21 1 5
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ),
( )
d d
R F F F F
P
R h
Q
1 1 1 1
1 1 2 2
1 1
* * * *1 2
1 2 3 41 1
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
h h h h
k k
F e F e F e F e
1 1 1 3
1 2 ( ) 0
( )
k
a h R
Q
,
1( ) ,Q sh h sh h
1
( ) 1 ,
( )
ch h ch h
G h
Q
1 1
1 2
1 1
,
1 1
2 1
1 1
,
21 1 1
11 2 13 1
0 11 1 1
11 1 2
,
A A
d
A
1
2 3 1 3 3 1 4 1 2 41 1
2 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
h
h h
Q k e q k P q P Q q sh ch P
1
3 5 2 3 3 1 31 1 1
1 2 2
( ) ( )
h
h h h
q sh sh P q k sh k e q P
1 2 1 2 2 3 2 61 1 1 1 1
2 1 1 2 2
( ) ( ) ,
h h h h h
q k Q q k sh ch q sh sh q sh P
1 1
3 1 21 1 1 1
1 2 2 1
2
( ) ,
h h
P sh sh
4 31 1
( ) ,
h h
P sh k ch
Серія: Технічні науки. Випуск 5
163
5 31 1
( ) ,
h h
P ch k sh
6 21 1
( ) ,
h h
P sh k ch
(23)
1 1
1 1 1 1 1
1 1 2 1 1
44 1
,
(1 )
k h
q a h
A k
1 1 1 1 1 1
1 1 11 1 2
2 1 1 2 1 1 1
11 2 13 1 44
2
,
( ) 1
h A
q
A A k A
21 1 1 1 1 2 1
1 1 2 1 11
3 21 1 1 1
1 11 2 13
2 ( )
.
h A
q
d A A
Задовольнивши граничним умовам (5), приходимо до системи
інтегральних рівнянь відносно функцій ( ) і ( ) :
0 0
0 00 0
2
0
10
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )1
( ) ( ) ( 1),
( )
J d G h J d
R
Q
J d
Q
(24)
0
0
( ) ( ) 0 ( 1).J d
(25)
Якщо ввести функцію ( )f t співвідношенням
1
0
0
( ) ( ) cosf t tdt , (26)
то рівняння (25) задовольняється тотожно, а рівняння (24) зводиться
до інтегрального рівняння Абеля
2 2
0
( )
( ) ( )
f t
d t g
t
,
розв’язок якого, відповідно до [10], визначається формулою
2 2
0
2 ( )
( ) ,
td g
f t d
dt t
(27)
де
1
0 0
0 0 0
( )1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
( )
Q
g G h J d J d
R Q
(28)
Підставивши вираз (28) у формулу (27), одержимо інтегральне
рівняння Фредгольма другого роду відносно функції ( )f t
Математичне та комп’ютерне моделювання
164
1
0 0
1
0
2 2
( ) ( ) ( ) cos cos
( )2 1
cos ( ) (0 1).
( )
f t f x dx G h x td
R
Q
t d t
Q
(29)
Використовуючи умову рівноваги штампа
1
2 1
0
2 ( )zP R d
і вирази (22), (26), рівняння (29) зведемо до вигляду:
1 1
0 0
1
2
0 0
2 sin
( ) ( ) ( ) cos cos
( )2 1 sin
( ) cos (0 1).
( )2
f t f x dx G h x t d
QP
t d t
QR
(30)
Для визначення функції ( ) продовжимо рівняння (21) на весь
інтервал (0 )
0
0
( ) ( ) (1 ) ( ), (0 )J d U X
. (31)
Тут ( )U x — функція Хевісайда, ( )X — невідома функція, яку по-
дамо співвідношенням
0 0
1
( ) ( )
N
k k
k
X a a J
,
де ( 0, )ka k N — невідомі коефіцієнти, які необхідно визначити;
значення N підбирається із умови забезпечення необхідної точності
розв’язку задачі.
Застосувавши до обох частин рівняння (31) формулу обернення
інтегрального перетворення Ганкеля, знайдемо функцію ( ) через
невідомі коефіцієнти ka :
2 0
0 1 1 2 2
1
( )
( ) ( ) ( )
N
k k
k k
a J
a J J
. (32)
Підставивши функцію ( ) (32) в інтегральні рівняння (16),
(17), (30), з врахуванням (20), прийдемо до співвідношень, які
зв’язують між собою функцію ( )f t і коефіцієнти (1)
kC , ka :
1 1
(1) (1) (1)0
001 1
0 1
( ) 0, ( 1),
N
z z
k k kk k
k kz z
a C J C
(33)
Серія: Технічні науки. Випуск 5
165
2
(2) (1) (1) 10
00 1
0 1
( ) ( ), ( 1),
N
k k k zk k
k k z
k R
a C J C
J
(34)
1 1
0 0
2
00
2 sin
( ) ( ) ( ) cos cos
2
( ) (0 1),
2
N
k k
k
f t f x dx G h x t d
P
a t t
R
(35)
де
0 1
10
1 1
l
kh
,
1 1
0
1
k k
k
k
k
k
l
k th
h
l
th k
,
( ) ( )j
k 1,2; 0,j k — невласні інтеграли, обчислені згідно [11]:
*
1 0( ) ( ) 1 0 1
0 1
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 ,
( ) ( )
jj j m m m
m m
P J J P y I y K y
d r
Q Q iy
2
0 1( )
0 02 2
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )( )
j j kj
k kk
kk
P J J P
J d J
QQ
2 *
0 1
0 2 2
1
( ) ( ) ( )
2 ( ) , (1, 2), 1, ,
( )
m j m m m
k
m m k m
y P y I y K y
J j k
y Q iy
(1) 3
01 1
1 ,
k h
r r
(2)
3 01 ,r k r
1
0 2 3 2 31
,
h
r k k k k
1,my m — корені рівняння ( ) 0mQ iy ;
1 3 2 31 1 1 1
( ) , ( ) ,
h h h h
P k sh ch P sh k ch
(36)
* *
1 3 2 31 1 1 1
( ) sin cos , ( ) cos sin ,m m m m
m m m m m
y h y h y h y h
P y k y P y y k y
2
2 3 2 3 2 31 1 1 1
( ) ( ) cos 2 ( ) sin ,m m
m m m
y h y hh h
Q iy k k y k k y k k
1 2
0
10
( ) ( ) sin
( ) cos ,
( ) ( )
J Q
t t d
Q Q
Математичне та комп’ютерне моделювання
166
2
1 2
0 2 2
0 1
( ) ( ) sin
( ) ( ) cos .
( ) ( )
k k
k
J Q
t J t d
Q Q
Подамо функцію ( )f t у вигляді
1
2
2
00
( ) 2 1 1 2 .
2
N
k k
k
P
f t k P t y
R
(37)
Тоді нормальне напруження 1 ( ,0)z , враховуючи (22), (26) і (37)
матиме вигляд
1
0 2 12 2 1
1 1
( ,0) (2 1)( 1) ( ) , ( 1),
1
k
z k k
k
P
y k T y
R
(38)
де 2 1( )kT — функція Чебишева.
Помноживши обидві рівності (33), (34) на , 0 ( )kJ з вра-
хуванням виразу (38) і ортогональності функцій Бесселя, а також,
помноживши обидві частини рівняння (35) на t , 2
0 1 2tP t з враху-
ванням ортогональності функцій Лежандра на інтервалі (0; 1) і функ-
ції (37), прийдемо до системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно
невідомих 0,kx k N і 10,ky k N :
0, 0
0
0,
4
N
k k
k
x y
1
1
,
0 0
0, 0,
0 0
( ) 0 ( 1, ),
4
1,
NN
n k k k n k
k k
NN
k k k k
k k
x g y n N
i x A y
(39)
1
, , 1
0 0
0 ( 1, ),
NN
n k k n k k
k k
i x A y n N
де
1 2
0
,
2
k kT
P
a x
R
1
2
0 0
1 T
z
k R
J
,
1
1
(1) (1)
0 0,1
00
2
N
z
k k
kz T
C x
,
1
1
(1)(1)
,1 2
00
1
2
( )
N
z
n k n k
kz n nT
C x
J
, (40)
1
(2) (1)
0, 0, 0,1
0
,z
k k k
z
1
(2) (1)
, , ,1
,z
n k n k n k
nz
Серія: Технічні науки. Випуск 5
167
1 1( ) ,
2 2 2 2
n n n n
k n k k k kg J J J J
*1
1 1( ) ( ) ( )
0,0 0 1
10
( ) ( ) ( )1
( ) 2 ,
2 ( )
j m m mj j j
m m m
P y I y K y
d r
y Q iy
*1
1 1( ) ( )
00, 2 2
10
( ) ( ) ( )
( ) 2 ( ) ( 1, 2),
( )
m j m m mj j
kk k
m m k m
y P y K y I y
d J j
y Q iy
( ) ( )
,0 0,
j j
n n ,
1
( )
, 0
0
( ) ( )j
n k n kJ d
3 *
1 1
0 0 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( )
2 ( ) ( )
( )
m j m m m
k n
m m k m n m
y P y I y K y
J J
y y Q iy
,
,
( )
, 2
, 0
,
( )
( ),
2 ( )
n k
j
j nn k
n k n
n
k n
P
J k n
Q
.
2 1
,0
10
( ) ( ) ( )4
,
( ) ( )
n
n
Q J
i d
Q Q
2 1
, 0 2 2
0 1
( ) ( ) ( )4
( ) ,
( ) ( )
n
n k k
n
Q J
i J d
Q Q
0,0 0
0
4 sin
1 ( ) ( ) ,A G h d
(41)
1
0, 0 0,5 0,5
0
2( 1) (2 1) ( ) ( ) ,
2 2
k
k k kA k G h J J d
0
1 cos 1 sin
( )
2
, ,0
0
4 sin
( ) ( ) ,n nA G h d
1
, 0,5 0,5
0
2( 1) (2 1) ( ) ( ) ,
2 2
k
n k n k kA k G h J J d
(1)
,
, (1)
,
,
1 ,
n k
n k
n k
A k n
A
A k n
,
1 1
1 ( 1) sin
( ) ,
4 2 2 2 2 (1 ) (1 )
n
n n n n n n
( )n — сферичні функції.
Математичне та комп’ютерне моделювання
168
Для визначення температурних полів в циліндрі і шарі, з ураху-
ванням (10), (11), (15), (20), (32), (40) маємо формули:
а) циліндрична область
1
1
(1)
0,2 1
11 00
(1)1
0 ,
21 2
0 1 0
1 1
( , ) 2
2
( ) 1
2 ( , ) ;
( )
N
z
kk
kzT
N
m m kz
k m
k m mz m
P
T l x
kR
J
x R
J
(42)
б) шар ( 0, 0 )h
1
1 *
1 3 1
2 1
10 2 3 2 3
1 ( / ) ( , )
( , ) 2
( )2 / ( )
m
m mT
k h R yP
T
Q iyR k k h k k
1 0 0
0
0 1 1 0
( ) ( ) ( , ) ( )
2
( ) ( ) ( ) ( )
N
m m k k
k
m m k k k
K y I y R J
x x
K y I y Q J
2 *
1 01
2 2
0 11
( ) ( )( , )
2
( ) ( )( )
m mm m
m mm m k m
K y I yy R y
K y I yy Q iy
, (43)
31 1
( , ) ,
h h
R ch k sh
*
1 31 1
( , ) cos sin ,m m m m
h h
R y y y k y
2 1 1
( ) ( )
( , ) / .m m m m
m m m
l y l l l
R k sh y ch y ch k sh
При 0 1 множником береться верхній вираз в круглих дужках,
при 1 — нижній.
Щоб отримати ізотропний випадок задачі [5], достатньо у відпо-
відних формулах: підставити 1 1 , 1 1T T
і перейти до гра-
ниці при 1 1
1 2 1, 1 1
1 2 1,s s 1 1
1 2 1k k ; виразити модулі
пружності 1
ijA і коефіцієнти деформації через пружні постійні ізотро-
пного тіла [8].
Приведемо результати числового аналізу температурних полів і
контактних нормальних напружень під штампом в залежності від
контактної провідності 1
0h і параметра для трансверсально-
ізотропного матеріалу (магнію) при l = 2, h = 2, 1/ 0,1,z z 1 ,k
1
2 1,k 1
1 2 0k k .
Серія: Технічні науки. Випуск 5
169
Розв’язувалась система лінійних алгебраїчних рівнянь (39) з 40-
ма невідомими. В цьому випадку похибка, задоволена граничним
умовам задачі, складає не більше 4%.
Графіки залежності температури для шару
1
* 2 1
0( ) 2 ( ,0) /
T
T R T P (штриховані лінії відповідають ізот-
ропним матеріалам) і нормального контактного напруження
* 2 1( ) 2 ( ,0) /z zR P подані на рис. 2, 3.
а б
Рис. 2. Розподіл температури в зоні контакту для шару при різних значен-
нях: а — контактної провідності при 1 : 1 — 1
0 0,1;h 2 — 1
0 1;h 3 —
1
0h ; б — параметра : 1 — 1; 2 – 5; 3 — 10 .
а б
Рис. 3. Розподіл нормального контактного напруження для шару при різних
значеннях: а — контактної провідності: 1 — 1
0 0,1;h 2 — 1
0 1;h
3 — 1
0h ; б — параметра : 1 — 1; 2 — 5; 3 — 10 .
Висновки. Застосовуючи інтегральне перетворення Ганкеля та
метод Фур’є, розв’язок задачі термопружності зведено до визначення
деяких сталих із системи лінійних алгебраїчних рівнянь, через які
знаходимо температурні поля в будь-якій точці циліндра і шару, а
також нормальні напруження у зоні контакту.
Результати розрахунків для магнію показують, що у випадку
трансверсально-ізотропних матеріалів, порівняно з ізотропними, тем-
Математичне та комп’ютерне моделювання
170
пература в зоні контакту зменшується, а нормальні контактні напру-
ження збільшуються у межах 4—8%.
Дослідження показують, що контактна провідність 1
0h і параме-
тра значно впливають на розподіл температурних полів і контакт-
них напружень під штампом.
Список використаних джерел:
1. Грилицкий Д. В. Осесимметричная контактная задача теории упругости и
термоупругости / Д. Грилицкий, Я. Кизыма. — Львов : Изд-во при Львов.
ун-те, 1981. — 135 с.
2. Окрепкий Б. С. Осесиметрична контактна задача термопружності про тиск
обертаючого штампа на пружний півпростір / Б. С. Окрепкий. — К. : Ін-т ма-
тематики, 1996. — С. 165—174. — (Інтегральні перетворення та їх застосу-
вання до крайових задач) (Праці / Ін-т математики НАН України ; т. 13).
3. Окрепкий Б. С. Осесиметрична контактна задача термопружності про
тиск обертаючого штампа на пружний півпростір з врахуванням анізот-
ропії матеріалів / Б. С. Окрепкий, І. Крижанівський // Зб. наук. праць ака-
демії наук України. — 1998. — № 3. — С. 110—120.
4. Окрепкий Б. С. Осесиметрична контактна задача термопружності про
тиск обертаючого штампа, що обертається на пружний півпростір при не-
ідеальному тепловому контакті / Б. Окрепкий, М. Шелестовська // Вісник
Тернопільського державного технічного університету. — 2002. — Т. 7,
№ 1. — С. 5—11.
5. Грилицкий Д. В. Осесимметричная контактная задача термоупругости о
давлении вращающего штампа на слой / Д. Грилицкий, Б. Окрепкий //
Изв. АН СССР, МТТ. — 1984. — № 1. — С. 22—30.
6. Singh A. Axisymmetricol thermal stresses in transversely isotropic bodies /
A. Singh // Arch. mech. Stosowanej. — 1960. — V. 12, № 3. — P. 287—304.
7. Singh A. Stress distributions within solids of revolution / A. Singh // ZAMM.
— 1959. — V. 39, № 12. — P. 484—495.
8. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела / С. Г. Лехниц-
кий. — М. ; Л. : Гостехиздат, 1950. — 300 с.
9. Снеддон И. Н. Преобразования Фурье / И. Н. Снеддон. — М. : Издатель-
ство иностранной литературы, 1955. — 668 с.
10. Уиттенер Э. Т. Курс современного анализа / Э. Уиттенер, Г. Ватсон. —
М. : Физматгиз, 1963. — 343 с.
11. Мигович Ф. М. Обчислення групи невласних інтегралів, які містять фун-
кції Бесселя І-го роду / Ф. Мигович, Б. Окрепкий // Зб. наук. праць акаде-
мії наук України. — 1995. — № 8. — С. 133—137.
The axis-symmetric contact task of thermo-elasticity of the cylinder
circular punch stress of finite length with a plane foundation which is
twirled on an elastic transversal-isotropic layer is observed. It is supposed,
that in the contact area deposits warmly which amount is proportional to
friction coefficient, to rotate velocities and to a normal contact stress. The
heat contact between punch and layer is the imperfect. Between the free
Серія: Технічні науки. Випуск 5
171
surfaces of the observed bodies system and the environment there is a heat
exchange on a Newton's law.
Method of determination of normal contact stress and temperature
fields in the cylinder and the layer is offered.
Key words: punch, layer, anisotropy materials, non-ideal contact,
transversal-isotropic, thermo-elasticity.
Отримано: 15.04.2011
УДК 62.50
С. А. Положаенко, д-р техн. наук, профессор
Одесский национальный политехнический институт, г. Одесса
СИНТЕЗ ЗАКОНОВ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ,
ХАРАКТЕРИЗУЮЩИМИСЯ ВЫРАЖЕННЫМ
ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Предложен метод синтеза управления энергетическими объ-
ектами, переходные процессы в которых отличаются повышен-
ной инерционностью. Рассмотрена вычислительная процедура
определения коэффициентов регулятора системы управления.
Ключевые слова: энергетический объект, закон управле-
ния, запаздывания по координатам пространства состояния
и управлению, критерий оптимальности.
Значительный класс энергетических объектов (механизмов, машин
и установок) можно характеризовать как объекты с выраженным запаз-
дыванием. К таким объектам, в частности, можно отнести ответственные
судовые механизмы: рулевую машину, гидросистемы, энергетические
установки (главный двигатель, дизель-генераторы, утиль-котел), лебед-
ки, а также объекты нефтехимии, например, ректификационные пере-
гонные колонны, дозаторы, смесители и целый ряд других объектов.
Удельный вес и значимость данного класса объектов велик, поэтому
важным вопросом является управление этими объектами.
Как указано, основной отличительной особенностью рассматри-
ваемых объектов является их повышенная инерционность, которая про-
является в наличии запаздываний. При этом, с точки зрения теории
управления, запаздывания следует рассматривать двух видов: запазды-
вания на переменные состояния и запаздывания на управление. Ввиду
специфики конструкции (значительные геометрические размеры) или
физики протекающих процессов (тепловые процессы в энергетических
установках), данные объекты должны рассматриваться как объекты с
распределенными параметрами. Негативными проявлениями влияния
© C. А. Положаенко, 2011
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c00200064006500740061006c006a006500720065007400200073006b00e60072006d007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500640073006b007200690076006e0069006e006700200061006600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
/HEB <FEFF05d405e905ea05de05e905d5002005d105d405d205d305e805d505ea002005d005dc05d4002005db05d305d9002005dc05d905e605d505e8002005de05e105de05db05d9002000410064006f006200650020005000440046002005e205d105d505e8002005d405e605d205d4002005d505d405d305e405e105d4002005d005de05d905e005d4002005e905dc002005de05e105de05db05d905dd002005e205e105e705d905d905dd002e002005de05e105de05db05d90020005000440046002005e905e005d505e605e805d5002005e005d905ea05e005d905dd002005dc05e405ea05d905d705d4002005d105d005de05e605e205d505ea0020004100630072006f006200610074002005d5002d00410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002005d505d205e805e105d005d505ea002005de05ea05e705d305de05d505ea002005d905d505ea05e8002e>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <FEFF30d330b830cd30b9658766f8306e8868793a304a3088307353705237306b90693057305f002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a3067306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f3092884c3044307e30593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043d0430043404560439043d043e0433043e0020043f0435044004350433043b044f043404430020044204300020043404400443043a0443002004340456043b043e04320438044500200434043e043a0443043c0435043d044204560432002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47202 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0060 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T18:16:15Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Окрепкий, Б.С. Алілуйко, А.М. 2013-07-10T15:21:19Z 2013-07-10T15:21:19Z 2011 Осесиметрична контактна задача термопружності про тиск штампа, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар / Б.С. Окрепкий, А.М. Алілуйко // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2011. — Вип. 5. — С. 155-171. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. XXXX-0060 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47202 539.3 Розглядається осесиметрична контактна задача термопружності про тиск циліндричного кругового штампа скінченної довжини з плоскою основою, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар. Допускається, що на площадці контакту виділяється тепло, кількість якого пропорційна коефіцієнту тертя, швидкості обертання і нормальному контактному напруженню. Тепловий контакт штампа із шаром неідеальний. Між вільними поверхнями розглядуваної системи тіл і навколишнім середовищем відбувається теплообмін по закону Ньютона. Запропоновано метод визначення контактного нормального напруження і температурних полів в циліндрі і шарі. The axis-symmetric contact task of thermo-elasticity of the cylinder circular punch stress of finite length with a plane foundation which is twirled on an elastic transversal-isotropic layer is observed. It is supposed, that in the contact area deposits warmly which amount is proportional to friction coefficient, to rotate velocities and to a normal contact stress. The heat contact between punch and layer is the imperfect. Between the free surfaces of the observed bodies system and the environment there is a heat exchange on a Newton's law. Method of determination of normal contact stress and temperature fields in the cylinder and the layer is offered. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Осесиметрична контактна задача термопружності про тиск штампа, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар Axisymmetric contact problem of thermoelasticity on the pressure piston, rotating on an elastic transversally isotropic layer Article published earlier |
| spellingShingle | Осесиметрична контактна задача термопружності про тиск штампа, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар Окрепкий, Б.С. Алілуйко, А.М. |
| title | Осесиметрична контактна задача термопружності про тиск штампа, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар |
| title_alt | Axisymmetric contact problem of thermoelasticity on the pressure piston, rotating on an elastic transversally isotropic layer |
| title_full | Осесиметрична контактна задача термопружності про тиск штампа, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар |
| title_fullStr | Осесиметрична контактна задача термопружності про тиск штампа, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар |
| title_full_unstemmed | Осесиметрична контактна задача термопружності про тиск штампа, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар |
| title_short | Осесиметрична контактна задача термопружності про тиск штампа, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар |
| title_sort | осесиметрична контактна задача термопружності про тиск штампа, що обертається, на пружний трансверсально-ізотропний шар |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47202 |
| work_keys_str_mv | AT okrepkiibs osesimetričnakontaktnazadačatermopružnostíprotiskštampaŝoobertaêtʹsânapružniitransversalʹnoízotropniišar AT alíluikoam osesimetričnakontaktnazadačatermopružnostíprotiskštampaŝoobertaêtʹsânapružniitransversalʹnoízotropniišar AT okrepkiibs axisymmetriccontactproblemofthermoelasticityonthepressurepistonrotatingonanelastictransversallyisotropiclayer AT alíluikoam axisymmetriccontactproblemofthermoelasticityonthepressurepistonrotatingonanelastictransversallyisotropiclayer |