О понятиях “среднее и действующее значения вибрации”
The notions of mean and effective values of vibrations are substantiated.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4721 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О понятиях “среднее и действующее значения вибрации” / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 52-55. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860182210058911744 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | О понятиях “среднее и действующее значения вибрации” / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 52-55. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The notions of mean and effective values of vibrations are substantiated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:02:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
7. Хакен Г. Синергетика: Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. –
Москва: Мир, 1985. – 424 с.
8. Haddad W.M., Chellaboina V., Nersesov S.G. Impulsive and Hybrid Dynamical Systems. Stability, Dissi-
pativity and Control. – Рrinceton: Princeton University Press, 2006. – 504 p.
9. Lobas L.G., Koval’chuk V.V., Bambura O.V. Evolution of the Equilibrium States of an Inverted Pendu-
lum // Int. Apl. Mech. – 2007. – 43, No 4. – P. 121–129.
10. Мартынюк А.А., Никитина Н.В. Нахождение предельного значения энергии двойного математи-
ческого маятника // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 9. – С. 106–114.
Поступило в редакцию 27.11.2007Черкасский национальный университет
им. Б. Хмельницкого
Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 534.232.001.11
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О понятиях “среднее и действующее значения
вибрации”
The notions of mean and effective values of vibrations are substantiated.
В работах по теории колебаний, например [1, 2], рассматриваются осредненные характерис-
тики механических колебаний, такие, как среднее значение, среднее абсолютного значения
и среднее квадратичное значение за период колебательного процесса. Однако достаточного
объяснения целесообразности этих значений не приводится. Понятно, что среднее значение
гармонического колебания x = xa sin ωt, где xa — амплитуда; ω — круговая частота; t —
время за период T = 2π/ω, определяемое формулой xcp =
1
T
T
∫
0
xa sin ωt dt = 0. Это среднее
значение выводится чисто математически и в практике исследования механических коле-
баний является бесполезным. Другое дело среднее абсолютного значения
Ucp.абс =
1
T
T
∫
0
|x(t)| dt, (1)
которое физически отражает действие механических гармонических колебаний в виде двух
их полуволн. В теоретических основах электротехники [3] для гармонических токов и на-
пряжений формула (1) модернизирована в виде
xcp =
2
T
T/2
∫
0
x(t) dt =
2
T
T/2
∫
0
xa sin ωt dt =
2xa
π
. (2)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
В этой формуле берется среднее значение за каждый полупериод T/2, равное π/ω. С точ-
ки зрения воздействия вибрации (механического колебания) x(t) = xa sin ωt на какой-то
объект даже в течение периода T этот объект ощущает в среднем в каждый полупериод
T/2 действие этой вибрации в виде xa/π и за период 2xa/π, а не нуль. Поэтому, как и
в электротехнике, формула (2) должна быть основополагающей. Следует также обратить
внимание на среднее квадратичное значение вибрации
xcp.кв =
(
1
T
T
∫
0
x2(t) dt
)1/2
=
(
1
T
T
∫
0
(xa sin ωt)2 dt
)
=
xa√
2
. (3)
В электротехнике это значение называется действующим, или эффективным значением
переменного тока, и это такое значение постоянного тока, при прохождении которого рас-
сеивание тепловой энергии на сопротивлении R за период T = (2π/ω)I2
g RT равно энергии
рассеивания тепловой энергии переменного тока i = Ia sin ωt. То же относится и к напряже-
нию U = Ua sin ωt. Для вибрации эти действующие значения могут несколько отличаться
в интерпретации от приведенной формулы. Рассеивание энергии при механических коле-
баниях — это поглощение или диссипация энергии в результате действия в колебательной
системе (КС) сил сопротивления. Так как понятие действующего значения тока относится
к вынужденным режимам работы схем, то и в нашем случае будем относить это понятие
к вынужденным колебаниям систем.
Рассеяние энергии, связанное с вынужденными колебаниями, определяется работой дис-
сипативной силы Fg = bẋ(t), которая для каждого периода колебаний T = 2π/ω опреде-
ляется выражением
∆ET =
2π/ω
∫
0
Fg · ẋ dt =
2π/ω
∫
0
bẋ2 dt, (4)
где b — коэффициент диссипации в КС.
Подставляя в (4) ẋ(t) = −xaω sin ωt, получим
∆ET = πbωx2
a. (5)
Из (4) и (5) видно, что при установившихся колебаниях источник вынуждающей силы дол-
жен пополнять энергию КС в каждый период колебаний в количестве, определяемом (5).
Дифференциальное уравнение движения КС с одной степенью свободы имеет вид
mẍ + bẋ + cx = F,
где m — масса; c — коэффициент жесткости; F = Fa sinωt.
В электротехнике действующим значением переменных тока или напряжения является
постоянное эквивалентное по энергии рассеяния значение этих величин. Для колебаний КС
может быть постоянная скорость ẋ. Тогда запишем равенство
2π/ω
∫
0
bẋ2
g dt = πbωx2
a или bẋ2
gt
∣
∣
∣
2π/ω
0
=
2π
ω
bẋ2 = πbx2
a,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 53
откуда
ẋg =
ωxa√
2
. (6)
Таким образом, в теории колебаний в качестве действующего значения колебания мо-
жет быть скорость, равная величине ωxa/
√
2. В выражении (6) амплитуда xa определяется
соотношением [4]
xa =
Fa
m
√
(ω2 − ω2
0
)2 +
(
bω
m
)2
. (7)
С учетом (7)
ẋg =
Fa
m
ω
{
√
2
[
(ω2 − ω2
0
)2 +
(
bω
m
)2]}−1
. (8)
Выражением (8), на наш взгляд, определяется действующее значение вибрации (колебания)
КС с одной степенью свободы, которое учитывает параметры КС и амплитуду вынужда-
ющей силы.
В случае, если вынуждающая сила является полигармонической FΣ =
n
∑
k=1
Fak sin ωkt, то
в силу принципа суперпозиции колебания КС будут также полигармоническим, т. е. xΣ =
=
n
∑
k=1
xak sin(ωkt − ϕk). Действующее значение xgΣ будет определяться на основании равен-
ства энергий
n
∑
k=1
2π/ωk
∫
0
bẋ2
gk dt = πb
n
∑
k=1
ωkx
2
ak,
откуда общая действующая скорость
ẋgΣ =
n
∑
k=1
ẋgk =
√
√
√
√
1
2
n
∑
k=1
ωkx
2
ak. (9)
Здесь xak =
Fak
m
√
(ω2
k − ω2
0
)2 + (bωk/m)2
и, окончательно,
ẋgΣ =
1
m
√
√
√
√
√
√
1
2
n
∑
k=1
ωkF
2
ak
√
(ω2
k − ω2
0
)2 +
(
bωk
m
)2
. (10)
Формулы (9) и (10) отражают действующее значение скорости КС при полигармоничес-
кой вынуждающей силе. В этих формулах в качестве времени, определяющем xg
∑ , берется
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
период первой гармоники T1 = 2π/ω1. Если же надо взять другой отрезок времени τ , то
формула (9) будет иметь вид
ẋgΣ =
√
√
√
√
π
τ
n
∑
k=1
ωkx
2
ak.
Заметим, что амплитуда скорости гармонического колебания равна ωxa, т. е. в ω раз
больше амплитуды перемещения xa. Поэтому, анализируя выражения (6), можно прийти
к выводу, что действующее значение перемещения колебательной системы имеет вид
xg =
xa√
2
. (11)
Формула (11) соответствует формуле действующего значения в электротехнике и квад-
ратичному значению колебания в механике. При полигармоническом воздействии действу-
ющее значение перемещения колебательной системы на основании выражения (9) будет
xgΣ =
√
√
√
√
1
2
n
∑
k=1
x2
ak =
√
√
√
√
n
∑
k=1
x2
gk. (12)
Выражение (12) также отражает эквивалентность действующему значению тока в элект-
ротехнике при положении нескольких гармонических токов и квадратичному значению ко-
лебаний при полигармоническом возбуждении КС.
1. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. – Москва: Наука, 1972. – 419 с.
2. Вибрации в технике. В 6-ти т. / Под ред. В.В. Болотина. – Москва: Машиностроение, 1978. – Т. 1. –
352 с.
3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
4. Божко А.Е., Голуб Н.М. Динамико-энергетические связи колебательных систем. – Киев: Наук. дум-
ка, 1980. – 188 с.
Поступило в редакцию 03.04.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 55
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4721 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:02:54Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2009-12-22T10:41:09Z 2009-12-22T10:41:09Z 2008 О понятиях “среднее и действующее значения вибрации” / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 52-55. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4721 534.232.001.11 The notions of mean and effective values of vibrations are substantiated. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка О понятиях “среднее и действующее значения вибрации” Article published earlier |
| spellingShingle | О понятиях “среднее и действующее значения вибрации” Божко, А.Е. Механіка |
| title | О понятиях “среднее и действующее значения вибрации” |
| title_full | О понятиях “среднее и действующее значения вибрации” |
| title_fullStr | О понятиях “среднее и действующее значения вибрации” |
| title_full_unstemmed | О понятиях “среднее и действующее значения вибрации” |
| title_short | О понятиях “среднее и действующее значения вибрации” |
| title_sort | о понятиях “среднее и действующее значения вибрации” |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4721 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae oponâtiâhsredneeideistvuûŝeeznačeniâvibracii |