Умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда

Метою даної роботи є побудова конструктивних умов асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда. Досліджено умови локальної асимптотичної стійкості стаціонарного стану, що відповідає відсутності захворювання. Отримано достатні умови асимптотичної стійкості...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2012
Main Authors:	Марценюк, В.П., Андрущак, І.Є., Багрій-Заяць, О.А.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Series:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47264
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда / В.П. Марценюк, І.Є. Андрущак, О.А. Багрій-Заяць // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 131-142. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47264
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-472642025-02-09T16:55:03Z Умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда Conditions for asymptotic stability in growth models of pathological entities based on the Richard’s dynamic Марценюк, В.П. Андрущак, І.Є. Багрій-Заяць, О.А. Метою даної роботи є побудова конструктивних умов асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда. Досліджено умови локальної асимптотичної стійкості стаціонарного стану, що відповідає відсутності захворювання. Отримано достатні умови асимптотичної стійкості рівноважного стану моделі розвитку патологічного утворення в термінах коефіцієнтів характеристичного квазіполінома. The aim of this work is to build clear conditions of asymptotic stability for model of pathological formation growth based on the Richard dynamic. The conditions of local asymptotic stability of the stationary state corresponding to the absence of disease were investigated. Sufficient conditions for asymptotic stability of equilibrium models of pathological formation in terms of coefficients of the characteristic quazipolynomial were obtained. 2012 Article Умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда / В.П. Марценюк, І.Є. Андрущак, О.А. Багрій-Заяць // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 131-142. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. XXXX-0060 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47264 535.242.65 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Метою даної роботи є побудова конструктивних умов асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда. Досліджено умови локальної асимптотичної стійкості стаціонарного стану, що відповідає відсутності захворювання. Отримано достатні умови асимптотичної стійкості рівноважного стану моделі розвитку патологічного утворення в термінах коефіцієнтів характеристичного квазіполінома.
format	Article
author	Марценюк, В.П. Андрущак, І.Є. Багрій-Заяць, О.А.
spellingShingle	Марценюк, В.П. Андрущак, І.Є. Багрій-Заяць, О.А. Умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
author_facet	Марценюк, В.П. Андрущак, І.Є. Багрій-Заяць, О.А.
author_sort	Марценюк, В.П.
title	Умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда
title_short	Умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда
title_full	Умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда
title_fullStr	Умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда
title_full_unstemmed	Умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда
title_sort	умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки ріхарда
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2012
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47264
citation_txt	Умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда / В.П. Марценюк, І.Є. Андрущак, О.А. Багрій-Заяць // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 131-142. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
work_keys_str_mv	AT marcenûkvp umoviasimptotičnoístíjkostívmodelâhrostupatologíčnihutvorenʹnaosnovídinamíkiríharda AT andruŝakíê umoviasimptotičnoístíjkostívmodelâhrostupatologíčnihutvorenʹnaosnovídinamíkiríharda AT bagríjzaâcʹoa umoviasimptotičnoístíjkostívmodelâhrostupatologíčnihutvorenʹnaosnovídinamíkiríharda AT marcenûkvp conditionsforasymptoticstabilityingrowthmodelsofpathologicalentitiesbasedontherichardsdynamic AT andruŝakíê conditionsforasymptoticstabilityingrowthmodelsofpathologicalentitiesbasedontherichardsdynamic AT bagríjzaâcʹoa conditionsforasymptoticstabilityingrowthmodelsofpathologicalentitiesbasedontherichardsdynamic
first_indexed	2025-11-28T06:31:54Z
last_indexed	2025-11-28T06:31:54Z
_version_	1850014731663835136
fulltext	Серія: Технічні науки. Випуск 6 131 УДК 535.242.65 В. П. Марценюк, д-р техн. наук, І. Є. Андрущак, канд. техн. наук, О. А. Багрій-Заяць, асистент Тернопільський державний медичний університет імені І. Я. Горбачовського, м. Тернопіль Луцький національний технічний університет, м. Луцьк УМОВИ АСИМПТОТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ В МОДЕЛЯХ РОСТУ ПАТОЛОГІЧНИХ УТВОРЕНЬ НА ОСНОВІ ДИНАМІКИ РІХАРДА Метою даної роботи є побудова конструктивних умов асимп- тотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на ос- нові динаміки Ріхарда. Досліджено умови локальної асимптотич- ної стійкості стаціонарного стану, що відповідає відсутності за- хворювання. Отримано достатні умови асимптотичної стійкості рівноважного стану моделі розвитку патологічного утворення в термінах коефіцієнтів характеристичного квазіполінома. Ключові слова: асимптотична стійкість, динаміка Ріхарда, патологічний процес, критерій Рауса-Гурвіца. Вступ. Останнім часом збільшується увага дослідників до пробле- ми розвитку патологічних утворень в людському організмі. Актуальною є розробка адекватних математичних моделей росту клітинних популя- цій. Оскільки патологічні процеси переважно описуються нелінійними диференціальними рівняннями, які не мають аналітичних розв’язків, доводиться шукати методи, відмінні від аналітичного інтегрування ди- ференціальних рівнянь. Поряд з використанням чисельних методів розв’язування диференціальних рівнянь часто можна виявити важливі якісні властивості розв’язків нелінійних рівнянь, не розв’язуючи їх явно. До таких якісних властивостей належить стійкість розв’язків рівнянь. У роботах [1; 2] досліджено стійкість моделей на основі динамі- ки Гомперца, що застосовувалися при дослідженні процесів пухлин- ного росту. Зокрема в [2] розглянуто питання стійкості в моделі про- типухлинного імунітету з урахуванням порушення функціонування органа-мішені за допомогою метода вироджених функціоналів Ляпу- нова. У той же час не досліджені умови стійкості, коли ріст популя- цій патологічних клітин підлягає більш загальній динаміці Ріхарда. Тому метою даної роботи є побудова конструктивних умов асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень в людському організмі. Матеріали та методи дослідження. Розглядається модель роз- витку патологічного утворення на основі динаміки Ріхарда. У моделі враховуються наступні визначальні для перебігу процесу чинники. © В. П. Марценюк, І. Є. Андрущак, О. А. Багрій-Заяць, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 132 1. Концентрація клітин патологічного утворення ( )L t . 2. Концентрація антитіл ( )F t . Під антитілами розуміють субстрати імунної системи, що нейтралізують рецептори клітин патологіч- ного утворення. 3. Концентрація плазматичних клітин ( )C t . Це популяція носіїв і виробників антитіл. 4. Відносна характеристика росту патологічного утворення ( )m t . При відсутності жодного лікуючого впливу маємо таку систему диференціальних рівнянь: ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) n L L L dL t L t L t F t L t dt               , (1) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )C dC t m L t F t C t C dt          , (2) ( ) ( ) ( ( )) ( ),f f L dF t b C t L t F t dt     (3) ( ) ( ) ( )m dm t L t m t dt    , (4) де ( )L t — кількість клітин патологічного утворення, ( )C t — концен- трація плазматичних клітин, ( )F t — концентрація специфічних ан- титіл,  m t — ступінь ушкодженості органа, L — коефіцієнт, що визначає ймовірність нейтралізації (руйнування) клітини патологіч- ного утворення антитілом, fb — швидкість виробництва антитіл од- нією плазматичною клітиною, L — коефіцієнт, що зумовлює ймові- рність зустрічі антиген-антитіло, C — коефіцієнт, обернений до часу життя плазматичних клітин, f — коефіцієнт, обернено пропо- рційний до часу розпаду антитіл, m — коефіцієнт, що враховує швидкість відновлення пошкодженого органу,  — число специфіч- них антитіл, що потрібно для нейтралізації одного антигена,  — коефіцієнт, що визначає швидкість загибелі клітин за рахунок пош- коджуючої дії антигенів, ( )m — неперервна незростаюча функція ( 0 ( ) 1m  ), що характеризує порушення нормального функціону- вання імунної системи через значне пошкодження органа-мішені. Перераховані параметри є додатні і специфічні як для виду ре- цептора, так і для органа і для конкретного організму. Серія: Технічні науки. Випуск 6 133 При цьому 1 0( ), ( ), ( ), ( ) , )L t C t F t m t C t  . Задано неперервні початкові умови на 0 0, )t t t  : 0( ) ( )L t L t , 0( ) ( )C t C t , 0( ) ( )F t F t , 0( ) ( )m t m t . Знайдемо стани рівноваги системи, які належать границі області  : 0 1 0, ( ) ( ) 0, ( ) 0, 0. n L L L C f f L m L L FL m LF C C b C L F L m                                   (5) Зауважимо, що біологічно значуща область   4, , ,L C F m R   є додатньо-інваріантною для системи (5), оскільки векторне поле на гра- ниці  не виходить назовні  . Знайдемо стани рівноваги системи (5). Розв’язками системи будуть 0 0 0(0, , ,0)f f b C E C   та стаціонарні стани вигляду * * * ( , , , )E L C F m , де zL e , * 0( )z L F C z z f F C L C e C C b e e              , 0* f C z f f C b C F b e       , * z C m e    , де z — корінь рівняння 0ln ln 0 ( ) Z Z L f L f C L L C L f C LZ Z L f f C L C b e e b C zn n b e e                            . 0 0 00, , ,0f f b C E C          — стаціонарний стан, що відповідає відсутності захворювання (патологічного утворення). Параметр 0C відповідає за кі- лькість плазматичних клітин в організмі у нормі, а 0f f b C  — кількість антитіл, що є в нормі при відсутності патологічного утворення. При цьо- му патологічних клітин тут немає, що відповідає неушкодженості органа. Кількість стаціонарних станів вигляду * * * * ( , , , )E L C F m зале- жить від значення параметра n . Біологічний зміст мають лише додатні Математичне та комп’ютерне моделювання 134 значення розв’язків, які відповідають хронічному захворюванню різного ступеня важкості. Коли 0n  , то система (5) має єдиний стаціонарний розв’язок — 0 0 0(0, , ,0)f f b C E C   . У випадку 1n  кількість стаціонар- них станів визначається коренями полінома другого степеня:   2 1 2 3,A z a z a z a   де 2 1 L L f C L La b      , 2 L f C L L f C L L La b           , 3 0C f La C b   . У випадку 2n  кількість стаціонарних станів визначається ко- ренями полінома третього степеня:   3 2 1 2 3 4 ,B z b z b z b z b    де 1 f L L L Cb b      , 2 f L Cb    , 2 3 f L L L L Cb b        , 2 2 4 0f C L L f L L Cb b C         . Вцілому при довільному натуральному значенні параметра n система (5) має 2n  розв’язки, проте їх потрібно аналізувати, оскільки вони можуть не мати біологічного змісту. Дослідження стійкості стану рівноваги E . Здійснивши ліне- аризацію системи в околі точки * * * ( , , , )L C F m , отримуємо лінійну систему зі сталими коефіцієнтами: * 1 1 2( ( 1) ) n L L L L L dx L n F x L x dt                 , (6) 2 1 * * * 3 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,C dx t m F x t dt d m m L x t x L F x dm                (7) * 3 2 3 3 1f f L L dx b x x L x F x dt       , (8) 4 1 4.m dx x x dt    (9) Характеристичний поліном отриманої лінійної системи (6)—(9) є квазіполіномом (експоненціальним поліномом) четвертого ступеня: Серія: Технічні науки. Випуск 6 135 4 3 2 2 1 2 3 4 1 2 3 0,a a a a b e b e b e                 (10) де * * 1 ( 1) ( / )n C m f L L L La L n L F               , * * 2 * * * * * * * * * * * * ( 1) ( / ) ( 1) ( / ) ( ) ( 1)( / ) , C f C m m f C m n L L L n L L C L f L m L L C f n L m C L f L m L L a L L L n L L F L n L n L F F F F L                                                                 * * * 3 * * * * * * ( 1) ( / ) ) ( 1) ( / ) ( , n C f m C m L L L L C f C m C m f m n L L L C m a L n L F L L n L L F L                                               * * * 4 * * * * * ( 1) ( / ) ( ) , n C f m C m L L L L L C m f L a L n L F d m F L b F L dm                          * * 1 ( )fb b m L   ,  * * * * 2 ( ) 2 ( 1) ( / )n f L m L L Lb b m L F n L           ,  * * * * 3 ( ) ( 1) ( / ) 2n f L L L Lb b m L n L F          . При вивченні розміщення коренів рівняння на основі експонен- ціального полінома (10) буде використано наступний результат, до- ведений в роботі [3] з використанням теореми Руше [4]. Лема 1. Для експоненціального полінома 1 1 (0) (0)1 (0) 1 1 (1) (1)1 (1) 1 1 ( 1) ( 1)1 ( 1) 1 1 ( , ,..., ) ... ... ... ... , m m n n nn n nn m mn m nn P e e p p p p p p e p p p e                                         де 0( 1,2,..., )i i m   і ( ) ( 0,1,..., 1; 1,2,..., )i jp i m j n   є константа- ми, при зміні 1 2( , ,..., )m   сума порядків нулів 1( , ,..., )mP e e   у відкритій правій напівплощині може змінюватися, коли нуль з’являється на уявній осі, або перетинає її. Зрозуміло, що ( 0)iw w  буде коренем рівняння (10) тоді і тільки тоді, коли: Математичне та комп’ютерне моделювання 136 4 3 2 2 1 2 3 4 1 2 3 (cos sin ) (cos sin ) (cos sin ) 0. w ia w a w ia w a b w w i w ib w w i w b w i w                   Розділяючи дійсну і уявну частини, маємо: 4 2 2 2 4 1 2 3 3 2 1 3 1 2 3 cos sin cos , sin cos sin . w a w a b w w b w w b w a w a w b w w b w w b w                 (11) Додаючи квадрати обох рівнянь (11), маємо: 8 2 6 2 4 1 2 2 4 1 3 2 2 2 2 4 2 2 2 2 3 2 4 4 1 2 3 1 3 ( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) 2 , w a a w a a a a w a a a w a b w b w b b b w              тобто 8 2 6 2 2 4 1 2 2 4 1 3 1 2 2 2 2 2 3 2 4 2 1 3 4 3 ( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) ( ) 0. w a a w a a a a b w a a a b b b w a b               (12) Покладемо 2z w і введемо позначення 2 2 2 1 2 2 4 1 3 1 2 2 2 2 3 2 4 2 1 3 4 3 2 , 2 2 , 2 2 , . p a a q a a a a b r a a a b b b s a b             Тоді рівняння (12) набуває вигляду: 4 3 2 0.z pz qz rz s     (13) Твердження 1. Якщо 0s  , то рівняння (13) має принаймні один додатній розв’язок. Доведення. Позначимо 4 3 2( ) .h z z pz qz rz s     (14) Зрозуміло, що (0) 0h s  , а lim ( ) z h z    . Звідси випливає, що існує 0 (0, )z   , при якому 0( ) 0h z  , що й потрібно було показати. Твердження 2. Якщо 0s  і рівняння (13) має додатні дійсні корені, то 2 3/ 4 / 27 0,     (15) де 3 218 / 432 / 8 / 4, 3 /16 / 2p pq r p q       . Доведення. Із (14) маємо 3 2( ) 4 3 2 dh z z pz qz r dz     . Покладемо 3 24 3 2 0.z pz qz r    (16) Тоді три корені рівняння (16) (із врахуванням кратності) можуть бути знайдені за формулою Кардано [5]: Серія: Технічні науки. Випуск 6 137 2 3 2 33 3 1,2,3 / 2 / 4 / 27 / 2 / 4 / 27 .z              (17) Причому, беручи послідовно по одному з трьох значень кубіч- ного кореня 2 33 / 2 / 4 / 27       , потрібно з трьох можли- вих значень кореня 2 33 / 2 / 4 / 27       вибрати те, для якого / 3   . Якщо 0  , то (16) не має дійсних коренів. Отже, функція ( )h z є зростаючою. З умови (0) 0h s  випливає, що рівняння (13) не має додатних дійсних коренів. Отримали суперечність, що й доводить справедливість твердження. У випадку, коли 0  , серед коренів 1 2 3, ,z z z згідно з форму- лами (17) існує принаймні один, який є локальним мінімумом ( )h z . Позначимо: * arg min ( ), 1,3.iz h z i  Твердження 3. Якщо 0s  , тоді рівняння (13) має додатні коре- ні тоді і тільки тоді, коли * 0 ( ) 0z i h z  . Доведення. Достатність твердження є очевидною. При доведен- ні необхідності скористаємося доведенням від супротивного. Тобто, припустимо, що рівняння (13) має додатні корені, але при цьому або 0z  або * 0 ( ) 0z i h z  . Якщо 0z  , то, оскільки ( )h z є зростаючою при z z і (0) 0h s  , то звідси випливає, що ( )h z не має додатних дійсних коренів. Якщо 0 ( ) 0z i h z  , то ( )h z не має додатних дійсних коренів значення z . Отже, в загальному випадку маємо: Лема 2. Якщо 0s  , то рівняння (13) має принаймні один дода- тній корінь. Якщо 0s  , то рівняння (13) має додатні корені тоді і тільки то- ді, коли * 0 ( ) 0z i h z  . Якщо ж 0s  і 0  , то рівняння (13) не має додатних коренів. Припустимо, що рівняння (13) має додатні корені. Не обмежую- чи загальності, припустимо, що воно має чотири додатні корені, які позначимо відповідно 1 2 3 4, , ,z z z z .. Тоді рівняння (12) має чотири до- датні корені: Математичне та комп’ютерне моделювання 138 1 1 2 2 3 3 4 4, , , .w z w z w z w z    Позначимо 3 ( ) 1 3 2 2 2 2 2 3 1 1 arcsin 2( 1) , 1,2,3,4, 0,1,... ( ) j k k k k k k a w a w j k j w b w b b w                Тут  є розв’язком: 2 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 3 1 sin , cos ( ) ( ) k k k k k b w b b w b w b b w b w b b w           . Тоді, як випливає з другого рівняння (11), kiw є парами чисто уявних коренів рівняння (10) при ( ) , 1, 2,3, 0,1,...j k k j    . Зро- зуміло, що ( )lim , 1,2,3.j k j k     Отже, означимо  0 00 ( ) ( ) 0 0 1 3, 1 min ,j j kkk k j w w         . Теорема 1. Припустимо, що всі головні мінори гурвіціана 1 3 2 2 1 1 4 3 3 2 2 1 4 3 1 0 0 1 0 0 0 0 a a b a b a a b a b a b a b       (18) додатні. Якщо 0s  і 0  , тоді всі корені рівняння (10) мають від’ємні дійсні частини при всіх 0  . Якщо 0s  або 0s  , 0z  і ( ) 0h z  , тоді всі корені рівняння (10) мають від’ємні дійсні частини при 0[0, )  . Доведення. При 0  рівняння (10) набуває вигляду 4 3 2 1 2 1 3 2 4 3( ) ( ) ( ) 0a a b a b a b           . (19) За критерієм Рауса—Гурвіца всі корені рівняння (19) мають від’ємні дійсні частини тоді і тільки тоді, коли всі головні мінори гурвіціана (18) додатні. Якщо 0s  і 0  , то за лемою 2 рівняння (10) не має коренів з нульовою дійсною частиною для всіх 0  . Коли 0  або 0s  , 0 ( ) 0z i h z  , то за лемою 2 маємо, що коли ( ) ,j k  1,2,3,k  1j  , то рівняння (10) не має коренів з нульовою дійсною частиною і Серія: Технічні науки. Випуск 6 139 0 є мінімальним значенням  таким, що рівняння (10) має чисто уявні корені. Згідно з лемою 1 коренів з додатньою дійсною части- ною рівняння (10) при цьому не має. Теорема доведена. Доведений вище результат можна переформулювати в термінах коефіцієнтів моделі росту патологічного утворення, таким чином отримавши достатню умову стійкості. Теорема 2. Припустимо, що коефіцієнти моделі росту патологі- чного утворення (5) задовольняють умови теореми 1. Тоді, якщо 0s  і 0  , то стан рівноваги * * ( , , , )V F C m систе- ми ЗДР (5) є абсолютно стійким (асимптотично стійким для всіх 0  ). Якщо ж 0s  або 0s  , 0z  і ( ) 0h z  , тоді стан рівноваги * * *( , , , )V F C m системи ЗДР (5) є асимптотично стійким при 0[0, )  . Доведення випливає з теореми 1 та теореми про стійкість за пе- ршим наближенням [6]. Чисельний експеримент. Проведемо дослідження стійкості стану 0E на конкретному прикладі. Зауважимо, що дослідження ста- ну 0E визначається значенням 0C . Розглянемо два випадки. 1. Випадок 0 0C  . В такому разі 0 (0,0,0,0)TE  і дослідження зводиться до вивчення коренів характеристичного поліному — полі- ному четвертого порядку: 4 3 2 1 2 3 4 0,a a a a        (20) де 1 C m f La        , 2 C f C m m f L C L f L ma                  ,  3 C f m L C f m C m fa              , 4 C f m La      . Його корені: 1 m   , 2 f   , 3 C   , 4 L  . Враховуючи додатність параметрів системи, бачимо, що завжди існує одне власне значення 4 0L   , яке вказує на нестійкість стану 0E . Зауважимо, що нестійкість стану 0E у випадку 0 0C  вказує на невідворотній ріст патологічного утворення незважаючи на протидію імунної системи. На рисунку 1 показано розв’язки системи (1)—(4) для значень параметрів: Математичне та комп’ютерне моделювання 140 0.00396L  , 14L  , 0.008L  , 410  , 0.5C  , 0.17f  , 10  , 0.12m  , 1fb  , 200  , 1n  , ( ) 1m  , 0 0C  . Рис. 1. Чисельний розв’язок системи (1)—(4) у випадку 0 0C  Якщо в нормі в організмі людини немає специфічних антитіл до даного виду патологічних клітин 0( 0)C  , то патологічне утворення росте, а кількість патологічних клітин збільшується до певної межі насичення. 2. Випадок 0 0C  . В такому разі 0 0 00, , ,0f f b C E C          і дослі- дження зводиться до вивчення коренів характеристичного поліному четвертого порядку: 4 3 2 1 2 3 4 0a a a a        , (20) де 0 1 f C m f L L f b C a            , 2 0 0 0 , C f C m m f L C L f L m f f f C L f L m L f f f a b C b C b C                                 0 3 f C f m L L C f m C m f f b C a                         , 0 4 f C f m L L f b C a                . Його корені: Серія: Технічні науки. Випуск 6 141 1 m   , 2 f   , 3 C   , 0 4 L f L f f b C        . Враховуючи додатність параметрів системи, бачимо, що всі вла- сні значення 0, 1, 2,3, 4i i   , які вказують на стійкість стану 0E . Зауважимо, що стійкість стану 0E у випадку 0 0C  вказує на проти- дію імунної системи росту патологічного утворення. На рисунку 2 показано розв’язки системи (1)—(4) для значень параметрів: 0.00396L  , 14L  , 0.008L  , 410  , 0.5C  , 0.17f  , 10  , 0.12m  , 1fb  , 200  , 1n  , ( ) 1m  , 0 1C  . Якщо в організмі людини в нормі є плазматичні клітини, що ви- робляють специфічні антитіла до даного виду патологічних клітин 0( 0)C  , то імунна система бореться з ростом патологічного утво- рення. Рис. 2. Чисельний розв’язок системи (1)—(4) у випадку 0 0C  Графічне представлення (рис. 2) отриманого результату показує, що ріст патологічного утворення ( )L t зумовлює збільшення кількості антитіл ( )F t з деяким запізненням у часі. Організм бореться з захво- рюванням і переводить хворобу в хронічний стан. Висновки. Отже, в роботі вивчаються питання стійкості моде- лей розвитку патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда. Вка- зано шляхи вивчення стійкості узагальненої моделі динаміки Ріхарда. Досліджено умови локальної асимптотичної стійкості стаціонарного стану, що відповідає відсутності патологічного утворення. Отримано достатні умови асимптотичної стійкості рівноважного стану моделі розвитку патологічного утворення в термінах коефіцієнтів характе- ристичного квазіполінома. Математичне та комп’ютерне моделювання 142 Список використаних джерел: 1. Марценюк В. П. Построение и изучение устойчивости модели противо- опухолевого иммунитета / В. П. Марценюк // Кибернетика и системный анализ. — 2004. — №5. — С. 123–130. 2. Марценюк В.П. Об устойчивости в модели иммунной защиты с учетом нарушения функционирования органа–мишени: метод вырожденных функционалов Ляпунова / В. П. Марценюк // Кибернетика и системный анализ. — 2004. — № 1. 3. Sabatier J.-P. Bone Mineral Acquisition During Adolescence and Early Adulthood: A Study in 574 Healthy Female 10–24 Years of Age / J.-P. Sabatier, D. Guaydier- Souquieres Laroche // Osteoporosis Int. — 1996. — V. 6. — Р. 141–148. 4. Dieudonne, J. Foundation of Modern Analysis / J. Dieudonne. — New York : Academic Press, 1960. 5. Воднев В. Т. Основные математические формулы : справочник / В. Т. Воднев и др. — Мн. : Выш.шк., 1988. — 269 с. 6. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. — М. : Наука, 1967. — 472 с. The aim of this work is to build clear conditions of asymptotic stability for model of pathological formation growth based on the Richard dynamic. The conditions of local asymptotic stability of the stationary state corre- sponding to the absence of disease were investigated. Sufficient conditions for asymptotic stability of equilibrium models of pathological formation in terms of coefficients of the characteristic quazipolynomial were obtained. Key words: asymptotic stability, Richard dynamic, pathological pro- cess, Routh-Hurwitz criterion. Отримано: 21.02.2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <FEFF005400610074006f0020006e006100730074006100760065006e00ed00200070006f0075017e0069006a007400650020006b0020007600790074007600e101590065006e00ed00200064006f006b0075006d0065006e0074016f002000410064006f006200650020005000440046002000760068006f0064006e00fd00630068002000700072006f002000730070006f006c00650068006c0069007600e90020007a006f006200720061007a006f007600e1006e00ed002000610020007400690073006b0020006f006200630068006f0064006e00ed0063006800200064006f006b0075006d0065006e0074016f002e002000200056007900740076006f01590065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f007400650076015900ed007400200076002000700072006f006700720061006d0065006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076011b006a016100ed00630068002e> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020007000690065006d01130072006f00740069002000640072006f016100610069002000620069007a006e00650073006100200064006f006b0075006d0065006e007400750020006100700073006b006100740065006900200075006e0020006400720075006b010101610061006e00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200061002000760069007300750061006c0069007a006100e700e3006f002000650020006100200069006d0070007200650073007300e3006f00200063006f006e0066006900e1007600650069007300200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d0065007200630069006100690073002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e> /RUM <FEFF005500740069006c0069007a00610163006900200061006300650073007400650020007300650074010300720069002000700065006e007400720075002000610020006300720065006100200064006f00630075006d0065006e00740065002000410064006f006200650020005000440046002000610064006500630076006100740065002000700065006e007400720075002000760069007a00750061006c0069007a00610072006500610020015f006900200074006900700103007200690072006500610020006c0061002000630061006c006900740061007400650020007300750070006500720069006f0061007201030020006100200064006f00630075006d0065006e00740065006c006f007200200064006500200061006600610063006500720069002e002000200044006f00630075006d0065006e00740065006c00650020005000440046002000630072006500610074006500200070006f00740020006600690020006400650073006300680069007300650020006300750020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020015f00690020007600650072007300690075006e0069006c006500200075006c0074006500720069006f006100720065002e> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Умови асимптотичної стійкості в моделях росту патологічних утворень на основі динаміки Ріхарда

Institution

Similar Items