Реализация интегральных динамических моделей с помощью квадратурных формул открытого типа
Рассмотрены вопросы исследования интегральных динамических моделей путем применения квадратурных формул открытого типа. Описаны алгоритмы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра и их систем. The questions of the study of integral dynamic models by applying the quadrature...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2012
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47272 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Реализация интегральных динамических моделей с помощью квадратурных формул открытого типа / В.А. Тихоход // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 197-207. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859649554584961024 |
|---|---|
| author | Тихоход, В.А. |
| author_facet | Тихоход, В.А. |
| citation_txt | Реализация интегральных динамических моделей с помощью квадратурных формул открытого типа / В.А. Тихоход // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 197-207. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки |
| description | Рассмотрены вопросы исследования интегральных динамических моделей путем применения квадратурных формул открытого типа. Описаны алгоритмы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра и их систем.
The questions of the study of integral dynamic models by applying the quadrature formula of open type. Described by algorithms for solving linear and nonlinear Volterra integral equations and their systems.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:32:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
Серія: Технічні науки. Випуск 6
197
The article deals with various kinds of topological structures of com-
puter networks, focused on use in the energetics monitoring systems. The
analysis of structures and selecting the most appropriate conditions regard-
ing the optimization of the network to enable the implementation of infor-
mation security means are conducted.
Key words: network topology, information security, tree-hypercube
network, ring topology.
Отримано: 09.02.2012
УДК 004.421:519.64
В. А. Тихоход, канд. техн. наук
Национальный технический университет Украины «КПИ», г. Киев
РЕАЛИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ ОТКРЫТОГО ТИПА
Рассмотрены вопросы исследования интегральных динами-
ческих моделей путем применения квадратурных формул от-
крытого типа. Описаны алгоритмы решения линейных и нели-
нейных интегральных уравнений типа Вольтерра и их систем.
Ключевые слова: интегральные модели динамических
систем, метод квадратур, алгоритмы решения интегральных
уравнений.
Введение. Как известно, интегральные уравнения Вольтерра со-
держат интегральный оператор с переменным верхним пределом. При
их численном решении распространенным подходом является аппрок-
симация интегрального оператора квадратурными суммами. При этом
часто для решения скалярных интегральных уравнений применяют
квадратурные формулы трапеций и прямоугольников, которые учиты-
вают значения функций на концах отрезка интегрирования. Такие
формулы называются формулами закрытого типа. При решении сис-
темы интегральных уравнений при помощи формул закрытого типа на
каждом дискретном шаге возникает необходимость в дополнительном
решении системы алгебраических уравнений относительно n неиз-
вестных, где n — количество искомых функций. Избежать решения
дополнительных уравнений позволяет применение квадратурных
формул открытого типа, которые не учитывают в расчетах значения
функции на концах отрезка интегрирования. Это позволяет уменьшить
сложность алгоритмов и сократить объемы вычислений.
Квадратурные формулы Ньютона — Котеса. Метод квадратурных
формул состоит [1] в замене интегрального уравнения аппроксимирующей
системой алгебраических (конечных) уравнений относительно дискретных
© В. А. Тихоход, 2012
Математичне та комп’ютерне моделювання
198
значений искомой функции и последующем решении полученной систе-
мы. При этом в уравнениях типа Вольтерра фиксируется верхний предел
интегрирования и применяются формулы для приближенного вычисления
определенного интеграла, имеющие в общем случае вид
1
( ) ( ) [ ]
b n
i i
ia
f x dx A f x R f
, (1)
где xi — фиксированные абсциссы (узлы) отрезка [a, b], Ai — число-
вые коэффициенты или весовые множители, R[f] — остаточный член
(погрешность аппроксимации); обычно Ai ≥ 0 и
1
n
i
i
A b a
. Для
формул закрытого типа x1 = a, xn = b.
Существует большое количество квадратурных формул вида (1).
К ним относятся также формулы Ньютона — Котеса (в том числе пря-
моугольников, трапеций, Симпсона).
Формулы Ньютона — Котеса вычисления определенного инте-
грала получаются путем замены подынтегрального выражения интер-
поляционным многочленом Лагранжа [2]
1 1 1
1 1 11
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
n
i i n
i
i i i i i i ni
x x x x x x x x
L x y
x x x x x x x x
.
Пусть узлы интерполирования расположены так:
xi = c + ih (i = 1, 2, …, n).
Здесь a либо совпадает с c, и тогда будем предполагать [2], что
b=a + (n + 1)h, либо c + h = a, и тогда предполагаем, что c + nh = b. В
первом случае узлы интерполирования не содержат точек c и d, а про-
межуток интегрирования разбивается узлами на n + 1 равных частей. Во
втором случае концы промежутка интегрирования являются узлами
интерполирования, и промежуток интегрирования разбивается узлами
на n–1 равных частей. Формулы численного интегрирования, которые
получаются в первом случае, называют формулами открытого типа, а во
втором случае — формулами замкнутого (закрытого) типа. При вычис-
лениях интеграла с помощью формул открытого типа нет необходимо-
сти вычислений функции на границах отрезка интегрирования.
Положим
a = c + (1 – k)h, b = c + (n + k)h.
Для формул открытого типа k = 1, а для формул замкнутого типа
k = 0. Коэффициенты формул Ньютона-Котеса не зависят от проме-
жутка интегрирования и от вида f(x), а являются функцией только от n.
Поэтому их можно вычислить заранее. Кроме того, равноотстоящие от
концов коэффициенты равны между собой. Значения коэффициентов
Ai зависят от трех параметров: типа квадратурной формулы k, количе-
ства узлов интерполяции n и номера узла интерполяции i.
Серія: Технічні науки. Випуск 6
199
Простейшие формулы открытого типа имеют вид:
2
0
3
1
1
( ) 2 ( ) ''( )
3
x
x
f x dx hf x h f ,
3
0
3
1 2
3 1
( ) ( ( ) ( )) ''( )
2 4
x
x
f x dx h f x f x h f , (2)
4
0
5 (4)
1 2 3
4 28
( ) (2 ( ) ( ) 2 ( )) ( )
3 90
x
x
f x dx h f x f x f x h f . (3)
Квадратурные формулы имеют высокую погрешность на боль-
шом отрезке. Эту погрешность снижают путем применения общих
или составных, квадратурных формул. Такие формулы получают, если
квадратурную формулу применить не ко всему отрезку, а разбить его
сначала на части и к каждой части в отдельности применить квадра-
турную формулу. При этом стремятся разбить на части так, чтобы ин-
теграл от соответствующей вписанной ломаной был возможно более
близким к интегралу от f(x). При этом значения интеграла от f(x) на
всем отрезке [a, b] и погрешность вычислений Rn определяют сумми-
рованием соответственно найденных значений интеграла от функции
на отдельных отрезках [xi, xi+1] и их погрешностей Ri.
Подходы к применению квадратурных формул высокого по-
рядка. При решении систем интегральных уравнений требуется
большое количество арифметических операций, что выдвигает повы-
шенные требования к точности применяемых методов. В ряде случаев
одним из методов уменьшения погрешности вычислений является
применение для решения интегральных уравнений составных квадра-
турных формул высокого порядка. При этом при применении n-
точечных формул возникает необходимость в интерполяции значений
искомой функции в промежуточных точках. Также необходимо ин-
терполировать ядра и правые части в случае их табличного описания.
Интерполирование функций часто не дает приемлемых результа-
тов и вносит погрешности в решение исходного уравнения. Избежать
интерполирования позволяет подход, который состоит в применении
алгоритмов на основе комбинаций квадратурных формул высоких по-
рядков, позволяющие проводить вычисления на сетке с произвольным
количеством узлов.
Алгоритмы, основанные на вычислении интегралов с помощью
комбинаций квадратурных формул закрытого типа высоких порядков
рассмотрены в работе [3]. Замена в этих алгоритмах формул закрытого
типа формулами открытого типа позволяет получить новые алгорит-
мы, в которых отсутствует этап решения систем алгебраических урав-
нений. При этом основной является замена простой квадратурной
Математичне та комп’ютерне моделювання
200
формулы в конце отрезка интегрирования, а общая квадратурная фор-
мула может применяться как открытого, так и закрытого типа.
Рассмотрим следующий вариант комбинации квадратурных фор-
мул. При непарном количестве узлов применяем для вычисления ин-
теграла общую квадратурную формулу Симпсона и простую 3-х то-
чечную квадратурную формулу открытого типа (2). При парном коли-
честве разбиваем интеграл на сумму интегралов
3
3
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ,
i i i
i
x x x
i i i
a a x
K x s y s ds K x s y s ds K x s y s ds
первый из которых вычисляем по общей квадратурной формуле
Симпсона, а второй — с помощью простой 4-х точечной квадратурной
формулы открытого типа (3). Комбинированная формула при этом
принимает вид (при шаге h — постоянном):
1
1
1 2 2 2 1
1 1
1
1
1 3 2 2 1
1 1
2 1
( )
4 2
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
2 ( ), ( 3) / 2, ;
4 2
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3
( ) ( ) , / 2 2,
2
.
ix
i
x
M M
i k l
k l
i
M M
i k l
k l
i i
f x dx
h h
f x f x h f x f x
hf x M i при i непарном
h h
f x f x h f x f x
h f x f x M i при i парном
(4)
Квадратурные коэффициенты формулы при произвольном шаге h
приведены в табл. 1.
Таблица 1
Квадратурные коэффициенты формулы (4)
Узел xi Коэффициенты
i = 2g + 1 1
1 3
h
A ; 2
2
4
3
k
k
h
A ; 2 1
2 1
2
3
l
l
h
A
; 2
2 3
i
i
h
A
;
3
1,
2
i
k
;
3
1, 1
2
i
l
i = 2g 1
1 3
h
A ; 2
2
4
3
k
k
h
A ; 2 1
2 1
2
3
l
l
h
A
; 3
3 3
i
i
h
A
;
2
2
3
2
i
i
h
A
; 1
1
3
2
i
i
h
A
; 1, 2
2
i
k ; 1, 3
2
i
l
Серія: Технічні науки. Випуск 6
201
Решение линейных скалярных интегральных уравнений Воль-
терра. Рассмотрим линейное интегральное уравнение типа Вольтерра II
рода вида:
( ) ( , ) ( ) ( )
x
a
y x K x s y s ds f x . (5)
Если решение ищется на отрезке [a, b], разбиваем его точками
a = x1 < x2 <…< xn < xn+1 = b на n частей. Для получения аппроксими-
рующей алгебраической системы используем выражение
( ) ( , ) ( ) ( )
ix
i i i
a
y x K x s y s ds f x , (6)
которое получается из исходной системы при фиксированных значе-
ниях xi независимой переменной x. После замены интегралов в (6) ко-
нечными суммами получаем:
1
( ) ( , ) ( ) ( ) [ ]
i
i i l l l i i
l
y x K x x y x A f x R y
, (7)
где Ri[y] — ошибки. Полагая Rj[y] малыми и отбрасывая их, получаем
формулу:
1
( ) ( , ) ( ) ( )
i
i i l l l i
l
y x K x x y x A f x
. (8)
Так как в (8) значение ( )iy x при использовании квадратурных
формул открытого типа не берется во внимание, а значения перемен-
ных ( )ly x для l < i известны, то
1
( , ) ( )
i
i l l l
l
K x x y x A
— есть постоян-
ная величина, суммируя которую с ( )if x определяем приближенные
значения y(x) в узлах xi ( 1, 1i n ).
Тестовый пример. Рассмотрим интегральное уравнение Вольтер-
ра II рода вида:
0
( ) ( ) ( ) 2 cos 1
x
y x x s y s ds x . (9)
Известно, что его точное решение
( ) cosy x x .
Методом квадратур найдем решение уравнения (9) на отрезке
[0, 6] с постоянным шагом h = 0,02. Для моделирования погрешности
входных данных к правой части уравнения (9) с помощью датчика
случайных чисел добавим ошибки с нулевым средним и среднеквад-
ратическим отклонением 5 4e .
Абсолютные погрешности решения показаны на рис. 1. Как вид-
но, в данном случае комбинация формул третьего и четвертого поряд-
Математичне та комп’ютерне моделювання
202
ков показала более точные результаты по сравнению с методом трапе-
ций и 3-х точечной формулой с использованием интерполяции.
Рис. 1. Абсолютная погрешность решения интегрального уравнения:
1 — комбинация квадратурных формул открытого и закрытого типов;
2 — формула открытого типа 3-го порядка с использованием
кубической интерполяции; 3 — метод трапеций
Решение систем линейных интегральных уравнений Воль-
терра. Рассмотрим систему линейных интегральных уравнений типа
Вольтерра II рода вида:
1
( ) ( , ) ( ) ( ), 1,
xm
r rj j i
j a
y x K x s y s ds f x r m
(10)
где m — размерность системы.
После аппроксимации, замены в (10) интегралов конечными
суммами и отбрасывания остаточных членов получается система
1 1
( ) ( , ) ( ) ( ), 1,
m i
r i rj i l j l l r i
j l
y x K x x y x A f x r m
. (11)
Так как значения yr в точке xl для l < i известны, а значение функции
в точке xi не принимаются во внимание, то
1 1
( , ) ( )
m i
rj i l j l l
j l
K x x y x A
—
есть постоянная величина, суммируя которую с ( )r if x определяем зна-
чения yr(x) в узлах xi ( 1, 1i n ).
Блок-схема алгоритма представлена на рис. 2. В ней используют-
ся следующие обозначения:
( ) ( ) ( )( , ), ( ), ( )l l i
rji rj i l j j l r r iK K x x y y x f f x .
Решение нелинейных скалярных интегральных уравнений
Вольтерра — Урысона. Рассмотрим нелинейное интегральное урав-
нение типа Вольтерра — Урысона II рода вида:
Серія: Технічні науки. Випуск 6
203
( ) , , ( ) ( )
x
a
y x K x s y s ds f x . (12)
Проделав операции, как в предыдущем пункте, получаем следующую
формулу для вычисления искомой функции:
1
( ) , , ( ) ( )
i
i l i l l i
l
y x A K x x y x f x
, (13)
где
1
, , ( )
i
l i l l
l
A K x x y x
— постоянная величина.
Решение системы нелинейных интегральных уравнений
Вольтерра — Урысона. Рассмотрим систему нелинейных интеграль-
ных уравнений типа Вольтерра — Урысона II рода вида:
1
( ) , , ( ) ( ), 1,
xn
i ij j i
j a
y x K x s y s ds f x i n
(14)
Рис. 2. Схема решения системы интегральных уравнений
с помощью квадратурных формул открытого типа
После аппроксимации, замены интегралов конечными суммами и
отбрасывании ошибок, получаем выражение:
Математичне та комп’ютерне моделювання
204
1 1
( ) , , ( ) ( ), 1,
m i
r i l rj i l j l r i
j l
y x A K x x y x f x r m
, (15)
где
1 1
, , ( )
m i
l rj i l j l
j l
A K x x y x
— постоянная величина, суммируя ко-
торую с ( )r if x определяют значения yr(x) в узлах xi ( 1, 1i n ).
Алгоритм решения системы нелинейных интегральных уравнений
Вольтерра — Урысона в системе Matlab представлен на рис. 3. Подпро-
грамма MC возвращает коэффициенты составной квадратурной форму-
лы Ньютона — Котеса закрытого типа. Подпрограмма MO возвращает
коэффициенты простой квадратурной формулы Ньютона — Котеса от-
крытого типа. Следующие функции являются встроенными в Matlab:
функция length(a) определяет размерность вектора a;
функция size(a, b) предназначена для определения размера массива
a по размерности b;
функция sum(a) вычисляет сумму элементов вектора или массива a.
Рис. 3. Алгоритм решения системы нелинейных интегральных
уравнений Вольтерра — Урысона II рода с помощью комбинации
квадратурных формул закрытого и открытого типов
Тестовый пример. Рассмотрим систему нелинейных интеграль-
ных уравнений вида:
Серія: Технічні науки. Випуск 6
205
2 2 2 4
1
0 0
2 2 2 2 4
2
0 0
1 1 1
( ) 0.5 ( ) ( ) ( ) ;
4 16 16
5 1 1
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ;
4 2 4
x x
x x x
x x
x x x
y x xy s ds x s y s ds e xe e
y x x s y s ds xy s ds e xe xe
(16)
с точным решением
2
1 2( ) , ( ) .x xy x e y x e (17)
Решим уравнение на отрезке [0, 7] с постоянным шагом h=0.01. Точ-
ное и приближенное решение представлено на рис. 4, 5, абсолютные по-
грешности представлены на рис. 6, 7. Как видно, для рассмотренного
примера при заданных параметрах предложенный алгоритм показал дос-
таточно высокую точность, не превышающую 0,6%. Чем мельче выбира-
ется шаг интегрирования, тем точнее получается решение.
Рис. 4. Решение системы интегральных уравнений (16) с помощью
комбинации квадратурных формул открытого и закрытого типов
(для функции y1): 1 — точное решение, 2 — приближенное решение
Рис. 5. Решение системы интегральных уравнений (16) с помощью
комбинации квадратурных формул открытого и закрытого типов
(для функции y2): 1 — точное решение, 2 — приближенное решение
Математичне та комп’ютерне моделювання
206
Рис. 6. Абсолютная погрешность решения системы интегральных
уравнений (16) с помощью комбинации квадратурных формул
открытого и закрытого типов (для функции y1)
Рис. 7. Абсолютная погрешность решения системы интегральных
уравнений (16) с помощью комбинации квадратурных формул
открытого и закрытого типов (для функции y2)
Выводы. Таким образом, применение квадратурных формул от-
крытого типа позволило уменьшить сложность алгоритмов решения
интегральных уравнений и их систем. Применение в алгоритмах ком-
бинаций квадратурных формул разных порядков также позволило по-
высить точность алгоритмов.
Список использованной литературы:
1. Верлань А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы /
А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. — К. : Наук. думка, 1986. — 542 с.
2. Березин С. И. Методы вычислений : в 2 т. / С. И. Березин, Н. П. Жид-
ков. — М. : Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1962. — Т. 1.
3. Верлань А. Ф. Комбинированные квадратурные алгоритмы реализации инте-
гральных моделей многосвязных динамических систем / А. Ф. Верлань,
В. А. Тихоход // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні
Серія: Технічні науки. Випуск 6
207
науки : зб. наук. праць. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський
національний університет, 2008. — Вип. 1. — С. 19–26.
The questions of the study of integral dynamic models by applying the
quadrature formula of open type. Described by algorithms for solving linear
and nonlinear Volterra integral equations and their systems.
Key words: integral models of dynamic systems, the method of quadra-
ture, algorithms for solving integral equations
Отримано: 21.03.2012
УДК 517.977.11;517.977.32
В. К. Толстых, д-р физ.-мат. наук
Донецкий национальный университет, г. Донецк
УПРАВЛЯЕМОСТЬ ПРОСТРАНСТВЕННО-
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Рассматривается новое понятие управляемости для систем с
распределёнными параметрами. Оно формулируется как кор-
ректность по А. Н. Тихонову обратного отображения прос-
транства состояний в пространство управлений. Предложен ме-
тод реализации такой управляемости посредством экстре-
мальных методов оптимизации с регуляризацией. Рассмотрен
пример реализации управляемости по заданному целевому
функционалу для квазилинейной гиперболической системы.
Ключевые слова: управляемость, СРП, регуляризация.
Введение. Отсутствие единого подхода в теории оптимизации
породило большое разнообразие понятий управляемости [1—8 и др.].
При рассмотрении управляемости интересуются принципиальной
возможностью перевода управляемой системы из одного заданного
множества состояний в другое заданное множество состояний (мно-
жество достижимости), как правило, за конечное время.
На сегодняшний день не выработано единого понятия и подхода
к анализу управляемости для произвольных систем с распределённы-
ми параметрами (СРП). Преобладают попытки обобщения результатов
управляемости, полученных для систем с сосредоточенными парамет-
рами. При этом управляемость трактуется как возможность перевода
системы из начального в заданное терминальное состояние при помо-
щи допустимых управлений.
Такое понятие управляемости для широкого круга задач оптими-
зации СРП оказывается бесполезным, поскольку управляемость по
терминальному состоянию не гарантирует управляемости по про-
странственно локализованным условиям, накладываемым на состоя-
ние СРП в целевом функционале типа
© В. К. Толстых, 2012
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.3
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.1000
/ColorConversionStrategy /sRGB
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo false
/PreserveFlatness false
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Remove
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
/Arial-Black
/Arial-BlackItalic
/Arial-BoldItalicMT
/Arial-BoldMT
/Arial-ItalicMT
/ArialMT
/ArialNarrow
/ArialNarrow-Bold
/ArialNarrow-BoldItalic
/ArialNarrow-Italic
/ArialUnicodeMS
/CenturyGothic
/CenturyGothic-Bold
/CenturyGothic-BoldItalic
/CenturyGothic-Italic
/CourierNewPS-BoldItalicMT
/CourierNewPS-BoldMT
/CourierNewPS-ItalicMT
/CourierNewPSMT
/Georgia
/Georgia-Bold
/Georgia-BoldItalic
/Georgia-Italic
/Impact
/LucidaConsole
/Tahoma
/Tahoma-Bold
/TimesNewRomanMT-ExtraBold
/TimesNewRomanPS-BoldItalicMT
/TimesNewRomanPS-BoldMT
/TimesNewRomanPS-ItalicMT
/TimesNewRomanPSMT
/Trebuchet-BoldItalic
/TrebuchetMS
/TrebuchetMS-Bold
/TrebuchetMS-Italic
/Verdana
/Verdana-Bold
/Verdana-BoldItalic
/Verdana-Italic
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages false
/ColorImageMinResolution 150
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 150
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages false
/GrayImageMinResolution 150
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 150
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.76
/HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 15
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages false
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects true
/CheckCompliance [
/PDFX1a:2001
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile (None)
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
/ARA <FEFF06270633062A062E062F0645002006470630064700200627064406250639062F0627062F0627062A002006440625064606340627062100200648062B062706260642002000410064006F00620065002000500044004600200645062A064806270641064206290020064506390020064506420627064A064A0633002006390631063600200648063706280627063906290020062706440648062B0627062606420020062706440645062A062F062706480644062900200641064A00200645062C062706440627062A002006270644062306390645062706440020062706440645062E062A064406410629061B0020064A06450643064600200641062A062D00200648062B0627062606420020005000440046002006270644064506460634062306290020062806270633062A062E062F062706450020004100630072006F0062006100740020064800410064006F006200650020005200650061006400650072002006250635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002E>
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
/ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000640065002000410064006f00620065002000500044004600200061006400650063007500610064006f007300200070006100720061002000760069007300750061006c0069007a00610063006900f3006e0020006500200069006d0070007200650073006900f3006e00200064006500200063006f006e006600690061006e007a006100200064006500200064006f00630075006d0065006e0074006f007300200063006f006d00650072006300690061006c00650073002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/ETI <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>
/FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f006200650020005000440046002000700072006f00660065007300730069006f006e006e0065006c007300200066006900610062006c0065007300200070006f007500720020006c0061002000760069007300750061006c00690073006100740069006f006e0020006500740020006c00270069006d007000720065007300730069006f006e002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e>
/GRE <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>
/HEB <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>
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.)
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <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>
/UKR <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>
/RUS <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>
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AllowImageBreaks true
/AllowTableBreaks true
/ExpandPage false
/HonorBaseURL true
/HonorRolloverEffect false
/IgnoreHTMLPageBreaks false
/IncludeHeaderFooter false
/MarginOffset [
0
0
0
0
]
/MetadataAuthor ()
/MetadataKeywords ()
/MetadataSubject ()
/MetadataTitle ()
/MetricPageSize [
0
0
]
/MetricUnit /inch
/MobileCompatible 0
/Namespace [
(Adobe)
(GoLive)
(8.0)
]
/OpenZoomToHTMLFontSize false
/PageOrientation /Portrait
/RemoveBackground false
/ShrinkContent true
/TreatColorsAs /MainMonitorColors
/UseEmbeddedProfiles false
/UseHTMLTitleAsMetadata true
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/BleedOffset [
0
0
0
0
]
/ConvertColors /ConvertToRGB
/DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1)
/DestinationProfileSelector /UseName
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements true
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MarksOffset 6
/MarksWeight 0.250000
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PageMarksFile /RomanDefault
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [600 600]
/PageSize [419.528 595.276]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47272 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | XXXX-0060 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:32:02Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Тихоход, В.А. 2013-07-11T12:12:32Z 2013-07-11T12:12:32Z 2012 Реализация интегральных динамических моделей с помощью квадратурных формул открытого типа / В.А. Тихоход // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 197-207. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. XXXX-0060 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47272 004.421:519.64 Рассмотрены вопросы исследования интегральных динамических моделей путем применения квадратурных формул открытого типа. Описаны алгоритмы решения линейных и нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра и их систем. The questions of the study of integral dynamic models by applying the quadrature formula of open type. Described by algorithms for solving linear and nonlinear Volterra integral equations and their systems. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Реализация интегральных динамических моделей с помощью квадратурных формул открытого типа Implementation of integral dynamic models by applying the quadrature formula of open type Article published earlier |
| spellingShingle | Реализация интегральных динамических моделей с помощью квадратурных формул открытого типа Тихоход, В.А. |
| title | Реализация интегральных динамических моделей с помощью квадратурных формул открытого типа |
| title_alt | Implementation of integral dynamic models by applying the quadrature formula of open type |
| title_full | Реализация интегральных динамических моделей с помощью квадратурных формул открытого типа |
| title_fullStr | Реализация интегральных динамических моделей с помощью квадратурных формул открытого типа |
| title_full_unstemmed | Реализация интегральных динамических моделей с помощью квадратурных формул открытого типа |
| title_short | Реализация интегральных динамических моделей с помощью квадратурных формул открытого типа |
| title_sort | реализация интегральных динамических моделей с помощью квадратурных формул открытого типа |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47272 |
| work_keys_str_mv | AT tihohodva realizaciâintegralʹnyhdinamičeskihmodeleispomoŝʹûkvadraturnyhformulotkrytogotipa AT tihohodva implementationofintegraldynamicmodelsbyapplyingthequadratureformulaofopentype |