Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур'є — Бесселя на сегменті полярної осі

Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур'є — Бесселя на сегменті полярної осі

Методом узагальненого скінченного гібридного інтегрального перетворення типу Лежандра — Фур’є — Бесселя зі спектральним параметром одержано розв’язок задачі дифузії на трискладовому сегменті полярної осі в припущенні, що межі середовища м’які по відношенню до відбиття хвиль. Моделювання дифузійних...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Date:2012
Main Authors: Конет, І.М., Ленюк, М.П.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2012
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47278
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур'є — Бесселя на сегменті полярної осі / І.М.Конет, М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 113-124. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47278
record_format dspace
spelling Конет, І.М.
Ленюк, М.П.
2013-07-11T12:29:32Z
2013-07-11T12:29:32Z
2012
Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур'є — Бесселя на сегменті полярної осі / І.М.Конет, М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 113-124. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
XXXX-0060
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47278
517. 946
Методом узагальненого скінченного гібридного інтегрального перетворення типу Лежандра — Фур’є — Бесселя зі спектральним параметром одержано розв’язок задачі дифузії на трискладовому сегменті полярної осі в припущенні, що межі середовища м’які по відношенню до відбиття хвиль. Моделювання дифузійних процесів виконано за допомогою гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур’є — Бесселя.
Generalized method of finite hybrid integral transformation of Legendre — Fourier — Bessel with spectral parameter obtained solution of the problem of diffusion in three-segment polar axis under the assumption that the limits of the medium soft with respect to reflection of waves. Simulation of diffusion processes is made using hybrid Legendre differential operator — Fourier — Bessel.
uk
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур'є — Бесселя на сегменті полярної осі
Simulation of diffusion processes in heterogeneous environments with soft border hybrid differential Legendre - Fourier - Bessel segment of the polar axis
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур'є — Бесселя на сегменті полярної осі
spellingShingle Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур'є — Бесселя на сегменті полярної осі
Конет, І.М.
Ленюк, М.П.
title_short Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур'є — Бесселя на сегменті полярної осі
title_full Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур'є — Бесселя на сегменті полярної осі
title_fullStr Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур'є — Бесселя на сегменті полярної осі
title_full_unstemmed Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур'є — Бесселя на сегменті полярної осі
title_sort моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора лежандра — фур'є — бесселя на сегменті полярної осі
author Конет, І.М.
Ленюк, М.П.
author_facet Конет, І.М.
Ленюк, М.П.
publishDate 2012
language Ukrainian
container_title Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Simulation of diffusion processes in heterogeneous environments with soft border hybrid differential Legendre - Fourier - Bessel segment of the polar axis
description Методом узагальненого скінченного гібридного інтегрального перетворення типу Лежандра — Фур’є — Бесселя зі спектральним параметром одержано розв’язок задачі дифузії на трискладовому сегменті полярної осі в припущенні, що межі середовища м’які по відношенню до відбиття хвиль. Моделювання дифузійних процесів виконано за допомогою гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур’є — Бесселя. Generalized method of finite hybrid integral transformation of Legendre — Fourier — Bessel with spectral parameter obtained solution of the problem of diffusion in three-segment polar axis under the assumption that the limits of the medium soft with respect to reflection of waves. Simulation of diffusion processes is made using hybrid Legendre differential operator — Fourier — Bessel.
issn XXXX-0060
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47278
citation_txt Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежандра — Фур'є — Бесселя на сегменті полярної осі / І.М.Конет, М.П. Ленюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2012. — Вип. 6. — С. 113-124. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT konetím modelûvannâdifuzíinihprocesívvneodnorídnihseredoviŝahzmâkimimežamimetodomgíbridnogodiferencíalʹnogooperatoraležandrafurêbesselânasegmentípolârnoíosí
AT lenûkmp modelûvannâdifuzíinihprocesívvneodnorídnihseredoviŝahzmâkimimežamimetodomgíbridnogodiferencíalʹnogooperatoraležandrafurêbesselânasegmentípolârnoíosí
AT konetím simulationofdiffusionprocessesinheterogeneousenvironmentswithsoftborderhybriddifferentiallegendrefourierbesselsegmentofthepolaraxis
AT lenûkmp simulationofdiffusionprocessesinheterogeneousenvironmentswithsoftborderhybriddifferentiallegendrefourierbesselsegmentofthepolaraxis
first_indexed 2025-11-26T07:30:59Z
last_indexed 2025-11-26T07:30:59Z
_version_ 1850614374599753728
fulltext Серія: Технічні науки. Випуск 6 113 УДК 517. 946 І. М. Конет*, д-р фіз.-мат. наук, професор, М. П. Ленюк**, д-р фіз.-мат. наук, професор * Кам`янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам`янець-Подільський, ** Чернівецький факультет Харківського національного технічного університету «ХПІ», м. Чернівці МОДЕЛЮВАННЯ ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ В НЕОДНОРІДНИХ СЕРЕДОВИЩАХ З М’ЯКИМИ МЕЖАМИ МЕТОДОМ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЛЕЖАНДРА — ФУР'Є — БЕССЕЛЯ НА СЕГМЕНТІ ПОЛЯРНОЇ ОСІ Методом узагальненого скінченного гібридного інтегрального перетворення типу Лежандра — Фур’є — Бесселя зі спектраль- ним параметром одержано розв’язок задачі дифузії на трискладо- вому сегменті  0 3,R R полярної осі в припущенні, що межі сере- довища м’які по відношенню до відбиття хвиль. Моделювання дифузійних процесів виконано за допомогою гібридного дифере- нціального оператора Лежандра — Фур’є — Бесселя. Ключові слова: моделювання дифузійних процесів, гібрид- ний диференціальний оператор, власні елементи, скінченне гі- бридне інтегральне перетворення, основна тотожність, го- ловні розв’язки. Постановка проблеми та її аналіз. Процеси дифузії відіграють значну роль у виробничих процесах, впливають на міцність устатку- вання при врахуванні механічних та технологічних умов експлуатації металів і сплавів. Найпростішою математичною моделлю такого про- цесу є диференціальне рівняння дифузії параболічного типу [1] 2 2 2 0 32 ( , ), ( , ) u u u a f t r r R R t r         (1) з відповідними початковою та крайовими умовами. Потреби практики приводили до різноманітного узагальнення рівняння (1). Та в усіх випадках дифузійні процеси вивчалися в при- пущенні, що межа середовища жорстка відносно відбиття хвиль. Різ- ко змінюється картина дифузійного процесу, якщо межа середовища є м’якою відносно відбиття хвиль (в крайових операторах та операто- рах спряження присутня похідна за часовою змінною). У другій половині XX-го століття для вивчення механіко-технічних характеристик композитних матеріалів був розвинутий метод кусково- © І. М. Конет, М. П. Ленюк, 2012 Математичне та комп’ютерне моделювання 114 сталих фізико-технічних характеристик [2]. Це приводило в кожній кон- кретній задачі до інтегрування диференціальних рівнянь другого поряд- ку (або систем таких рівнянь) із сингулярними коефіцієнтами типу дель- та-функцій та її похідних. Та отримати інтегральне зображення точного аналітичного розв’язку задач цим методом, як виявилося, неможливо, Тому ми пропонуємо моделювання дифузійних процесів методом гібри- дних диференціальних операторів [3—5]. Основна частина. Побудуємо обмежений в області  2 0 1 1 2 2 3 0 3( , ) : (0; ); ( , ) ( , ) ( , ); 0,D t r t r R R R R R R R R         розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь дифузії пара- болічного типу зі сталими коефіцієнтами [1] 2 21 1 1 1 ( ) 1 1 0 1 2 2 22 2 2 2 2 2 1 22 2 23 3 3 3 , 3 3 2 3 [ ] ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ), [ ] ( , ), ( , ) u u a u f t r r R R t u u u a f t r r R R t r u u a B u f t r r R R t                            (2) з нульовими початковими умовами, крайовими умовами     0 3 0 3 11 1 0 22 3[ ( , )] ( ), [ ( , )] ( )R r R r R L u t r g t L u t r g t     (3) та умовами спряження 1 2 1( [ ( , )] [ ( , )]) ( ); , 1,2. k k k j k j k jk r R L u t r L u t r t j k     (4) У рівностях (2) беруть участь диференціальний оператор Бесселя 2 1 2 2 2 ,( ) 2 (2 1) ( ) d d B r r drdr           [6], диференціальний опера- тор Лежандра   2 2 d d cthr drdr       1 12 2 1 2 1 1 1 1 4 2 chr chr       [7] та диференціальний оператор Фур’є 2 2 d dr [8], де 2 1 0,   1 2( ) ( , ),   1 2 0   ,   . У рівностях (3), (4) беруть участь диференціальні оператори ( ) ; , 1,2; 0,3.m m m m m jk jk jk jk jkL j k m t r t                Розв’язок задачі (2)—(4) побудуємо методом скінченного гібри- дного інтегрального перетворення (СГІП) зі спектральним парамет- ром, породженого на множині 2I гібридним диференціальним опера- тором (ГДО) Серія: Технічні науки. Випуск 6 115                 2 , 1 1 2 2 2 1 2 2 2 3 3 ,2 , oM r R R r a d r R R r a r R R r a B dr                        (5) де  x — одинична функція Гевісайда. Оскільки ГДО   ,M    самоспряжений і на множині 2I не має особливих точок, то його спектр дійсний та дискретний [9]. Власні елементи (власні числа та відповідні їм власні функції) ГДО   ,M    знайдемо в результаті розв’язання спектральної задачі Штурма — Ліувілля: побудувати на множині 2I відмінний від нуля розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Лежандра, Фур’є та Бесселя         2 1 0 1, ;1 2 2 2 1 2, ;22 2 , 3 2 3, ;3 ( ) ( , ) 0, ( , ), ( , ) 0, ( , ), ( ) ( , ) 0, ( , ) v v v b V r r R R d b V r r R R dr B b V r r R R                            (6) з крайовими умовами     0 3 0 0 11 11 , ;1 3 3 22 22 , ;3 ( , ) 0, ) ( , ) 0 v r R v r R d V r dr d V r dr                                 (7) та однорідними умовами спряження     1 1 2 2, ; , ; 1( , ) ( , ) 0; , 1,2. k k k k k j j j jv k v k r R d d V r V r dr dr j k                                (8) У рівностях (6)—(8) беруть участь: спектральний параметр , компоненти   , ; ( , )v jV r   спектральної власної функції        3 , 1 , ; 1 ( , ) ( , )v j j v j j V r r R R r V r           (9) та функції       1 21 2 2 2 2 2, 0, 1,3 ; ,m m m j j j j jk jk jkb a k k j            Математичне та комп’ютерне моделювання 116    2 2 2, 0; , 1, 2; 0,3 .m m m jk jk jk j k m            Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рів- няння Лежандра   2 1 0b v   складають функції    * 1 1 v v A chr та    * 1 * 2 1 1 1 , 2v v B chr ib     [7]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є 2 2 22 0 d b v dr         складають фу- нкції 1 2cosv b r та 2 2sinv b r [8]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя  2 , 3 0vB b v   складають функції  1 , 3J b r   та  2 , 3N b r   [6]. В силу лінійності задачі (6)—(8) покладемо                         * * 1 1 1 1 0 1, ;1 2 2 2 2 1 2, ;2 3 , 3 3 , 3 2 3, ;3 ( , ) , , , ( , ) cos sin , , , ( , ) , , . v v v V r A A chr B B chr r R R V r A b r B b r r R R V r A J b r B N b r r R R                          (10) Крайові умови (7) та умови спряження (8) для визначення шести величин  , 1,3j jA B j  дають однорідну алгебраїчну систему із шес- ти рівнянь:        * * 1 1 ;01 ;02 0 1 0 1;11 ;11 0,Y chR A Y chR B                 * * 1 1 ;11 ;12 11 12 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2; 1 ; 1 0, 1,2;j jj j Y chR A Y chR B v b R A v b R B j                21 22 21 22 1 2 2 2 1 2 2 2 , ; 2 3 2 3 , ; 2 3 2 3 0,j j v j v jv b R A v b R B u b R A u b R B     (11)    31 32 , ;22 3 3 3 , ;22 3 3 3 0v vu b R A u b R B   . Введемо до розгляду функції:                     * * * 1 1 1 * * 1 1 ;01 ;12 0, 1 0 1; 1 ;11 ; 1 ;02 ;11 0 1;11 ; 1 ; 1, 2; j j j chR chR Y chR Y chR Y chR Y chR j                         11 22 12 21 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2, ; , 1, 2;jk j k j kb R b R v b R v b R v b R v b R j k             21 32 22 31 , ; 2 3 2 3 3 , ; 2 3 2 , ;22 3 3 , ; 2 3 2 , ;22 3 3, ;j v j v v j vb R b R u b R u b R u b R u b R                        * 1 * 1 0, 1 2 2 1 2 2; ;11 0, 1 1 2 1 2 2;21 , , ; jj j a chR chR b R b R chR chR b R b R              Серія: Технічні науки. Випуск 6 117                , , ;22 3 2 3 3 , ;12 3 2 3 3;1 ;2, , .a b R b R a b R b R              Алгебраїчна система (11) має ненульовий розв’язок тоді й тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю:    , 0.     Ми одержали трансцендентне рівняння для обчислення власних чисел n ГДО   , .vM   Підставимо в алгебраїчну систему (11)   ;n j n jnb b    * 1 1 1 2n nib      і відкинемо останнє рівняння внаслідок лінійної за- лежності. Покладемо        * * 1 1 ;02 ;01 1 0 0 1 0 0;11 ;11 , , n n A A Y chR B A Y chR       де 0 0A  підлягає визначенню. Перше рівняння системи стає тотожніс- тю. Для визначення 2 2,A B маємо алгебраїчну систему        * 1 11 12 2 2 1 2 2 2 1 2 0 0, 1; 1 , 1,2. n j n j n j v b R A v b R B A chR chR j     Звідси знаходимо, що                         * * 1 1 * * 1 1 12 120 2 0, 1 22 2 1 0, 1 12 2 1;11 ;21 21,1 2 11 110 2 0, 1 12 2 1 0, 1 22 2 1;21 ;11 21,1 2 , . n n n n n n n n n n A A chR chR v b R chR chR v b R c b A B chR chR v b R chR chR v b R c b                       (13) Для обчислення величин 3 3,A B отримаємо алгебраїчну систему        21 22 0 , ; 2 3 2 3 , ; 2 3 2 3 ; 21,1 2 , 1, 2.v j n v j n nj n A u b R A u b R B a j c b         Звідси знаходимо, що        21,2 0 21,1 2 3 3, ;2 , ;12 2 1 3 2 2 2( ) , ; ( );1 3 2 ( );2 3 2, ;22 , ;12 2 , ; , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). n n n n j j j n n n n n c A c b A B b R a u b R a u b R                                (14) Одержані згідно формул (13) та (14) значення величин , ( 1,3)j jA B j  підставимо у формули (10). Отримаємо функції:               * * * * 1 1 1 1 21,2 21,1 2, ;1 2 2 1 3 2 ;01 ;02 0 0;11 ;11 2 ( , ) ( ) ( ) , n n nv n v v c V r c b b R Y chR B chr Y chR A chr                     Математичне та комп’ютерне моделювання 118               * 1 * 1 21,2 1 0, 1 22 2 1 2, ;2 ;112 2 1 3 2 1 0, 1 12 2 1 2;21 2 ( , ) ; ; , n n n n nv n n n c V r chR chR b R b r b R chR chR b R b r                   (15)          1 12 11 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2; cos sin ; 1, 2;j n n j n n j n nb R b R v b R b r v b R b r j                 , 3 , 3, ;3 , ;1 , ;2( , ) .n n n n nvV r N b r J b r                Згідно рівності (9) спектральна вектор функція   , ( , )v nV r   ви- значена. Припустимо, що виконані умови на коефіцієнти: 0 0 0 0 3 3 3 3 11 11 11 11 22 22 22 220, 0, 0; 0, 0, 0;               11, 21, 1, 2 1 1 20, 0, 0, 0, 0, ;k k k k k k k k jm jm jm jm k k j k j j j jc c c               2, 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 20; .k k k k k k k k k k k k j k j j j j j j j j j j j jc                  Визначимо числа 2 1 11,1 11,2 2 11,22 2 2 1 2 1 1 2 2 2 3 3 21,221,1 21,2 1 , , 1, c c R c a a R a cc c shR         вагову функцію               0 1 1 2 1 1 2 2 2 3 3 r r R R r shr r R R r r R R r a r                      (16) та квадрат норми власної вектор-функції  10         3 0 2 2 , , 2 , 1 ( , ) ( , ) . R v n v n n n R V r V r r dr G            (17). Згідно з роботою [10] маємо такі твердження. Теорема 1 (про дискретний спектр). Корені n трансцендентно- го рівняння    , 0     складають дискретний спектр ГДО   ,vM   : дійсні, різні, симетрично розташовані відносно точки 0  й на пі- восі 0  утворюють монотонно зростаючу числову послідовність з єдиною граничною точкою .   Теорема 2 (про спектральну функцію). Система   , 1 ( , )v n n V r     власних вектор-функцій узагальнено ортогональна з ваговою функ- цією  r на множині 2I , повна й замкнена. Серія: Технічні науки. Випуск 6 119 Теорема 3 (про зображення рядом Фур’є). Будь яка вектор- функція  1 2 3( ) ( ), ( ), ( )g r g r g r g r G  (область визначення ГДО   ,vM   ) зображається за системою   , 1 ( , )v n n V r     абсолютно й рівно- мірно збіжним на множині 2I рядом Фур’є           3 0 , , 2 1 , 1 ( , ) ( ) ( , ) . ( , ) R v n v n n R v n V r g r g V d V r                    (18) Перейдемо до узагальнено ортонормованої системи власних ве- ктор-функцій        11 , , , 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) .v n v n v n n n v r V r V r                      Одержимо ряд Фур’є (18) в такій формі:         3 0 , , 1 ( ) ( , ) ( , ). R v n v n n R g r g v d v r               (19) Ряд Фур’є (19) визначає пряме   ,vH   та обернене   ,vH    скінчен- не гібридне інтегральне перетворення зі спектральним параметром, породжене на множині 2I ГДО   ,vM   :           3 0 , ,( ) ( , ) , R v v n n R H g r g r v r r dr g        (20)        , , 1 ( ) ( , ) .v n v n n H g r g v r g r           (21) Визначимо величини та функції:    1 0 2 2 1 1 1 1 11,1 2 2 2 11,2 1 1 1, ;1: , : , ( , ) , R n nv R d a shR c d a c g g r v r shrdr                 32 1 2 2 1 2 2 2 3 3 3, ;2 , ;3( , ) , ( , ) , RR n n n nv v R R g g r v r dr g g r v r r dr                , 2 2, ; 2 , ; 1( ) ( , ) ; , 1, 2. k k k k n i i nv i v k r R d Z v r i k dr                 Теорема 4 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція           1 2 , 3; ;f r g r g r B g r           неперервна на множині 2I , а функції  jg r задовольняють крайові умови Математичне та комп’ютерне моделювання 120     0 3 0 0 3 3 11 11 1 0 22 22 3, R r R r R d d g r g g r g dr dr                        (22) та умови спряження    1 1 2 2 1 ; , 1,2, k k k k k j j k j j k jk r R d d g r g r j k dr dr                            (23) то справджується основна тотожність скінченного гібридного інтег- рального перетворення ГДО   ,vM   :                 3 2 2 , , 1 1 10 2 3 2 11 0 1 1 0 0 22 3 3, ;1 , ;3 2 , , 2 1, ;12 , ;22 1 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) . v v n n i in i n n Rv v k k k n k n kv v k H M g r g k g v R a shR g v R R g d Z Z                                                  (24) Правила (20), (21) та (24) складають математичний апарат для одержання інтегрального зображення точного аналітичного розв’язку задачі дифузії (2)—(4). Запишемо систему (2) й нульові початкові умови у матричній формі:                     2 2 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 22 3 3 2 2 3 3 , 3 0 , , , 0 , , , , 0 . 0, , , t a u t r t f t r u t r a u t r f t r u t r t r f t r u t r a B u t r t                                                                    (25) Інтегральний оператор   ,vH   згідно правила (20) зобразимо у ви- гляді операторної матриці-рядка           1 2 0 1 3 2 , 1 2, ;1 , ;2 2 1 3, ;3 ( , ) ( , ) ( , ) . R R v n nv v R R R nv R H v r shrdr v r dr v r r dr                             (26) Застосуємо операторну матрицю-рядок (26) за правилом мно- ження матриць до задачі (25). Внаслідок основної тотожності (24) отримаємо задачу Коші: Серія: Технічні науки. Випуск 6 121    2 0 ; 0.n n n n n t du u F t u t dt         (27) У рівностях (27) прийняті позначення:                       2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 10 2 3 2 1 11 0 1 1 0 0 22 3 3, ;1 , ;3 2 , , 2 2, ;12 , ;22 1 max ; ; , ; ( , ) ( , ) ( ) ( ) . n n n n n Rv v k k k n k n kv v k q q F t v R a shR g v R R g t d Z t Z t                                            Безпосередньо перевіряється, що єдиним розв’язком задачі Коші (27) є функція       2 .n t t n n o u t e F d       (28) Оператор   ,vH    згідно правила (21) як обернений до (26) зобра- зимо у вигляді операторної матриці-стовпця           , ;1 1 , , ;2 1 , ;3 1 ( , ) ( , ) . ( , ) nv n v nv n nv n v r H v r v r                                            (29) Застосуємо операторну матрицю-стовпець (29) за правилом множення матриць до матриці-елемента   ,nu t   де функція  nu t визначена формулою (28). У результаті низки елементарних перетво- рень одержуємо інтегральне зображення єдиного аналітичного розв’язку задачі дифузії (2)—(4):           1 3 , ; , ; 1 1 0 ( , ) ( , ) , , , k k Rt j n v j n kv jk n k R u t r u t v r t r f                  H              0, ;1 , ;3 0 , , t k k Rv j v jd d W t r g W t r g d                                  2 ; ; 2 1, ;12 , ;22 1 0 , , , 1,3 t jk jk k k kv v k d t r t r d j                    R R Математичне та комп’ютерне моделювання 122       2 1 1 2 3, 1, .sh            (30) У формулі (30) беруть участь головні розв’язки задачі (2)—(4): 1) породжені неоднорідністю системи (2) функції впливу        2 , ;, ; , ; 1 , , ( , ) ( , ); , 1,3,n t v j n nv jk v k n t r e v r v j k             H (31) 2) породжені крайовою умовою в точці 0r R функції Гріна          2 10 11 0 , ;, ;1 , ;1 1 2 1 1 0 , ( , ) ( , )( ); 1,3, n t n v jv j v n n W t r e v R v r a shR j                   (32) 3) породжені крайовою умовою в точці 3r R функції Гріна          2 13 2 1 22 3 , ; 3, ;3 , ;3 1 , ( , ) ( , ) ; 1,3,n t n v j nv j v n W t r e v R v r R j                (33) 4) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна        2; , , ;, ; 2,( ); 2 1 , ( ) ( , ); , 1, 2; 1,3.n jk kt n v j nv iv i n t r e Z v r i k j            R (34) Зауваження 1. Якщо початкові умови ненульові, тобто    10 , ( ), , , 1,3,j j j jt u t r g r r R R j    (35) то переходимо до нових функцій ( , ) ( , ) ( ),j j jv t r u t r g r  для яких     0 0 , , ( ) ( ) ( ) 0.j j j j jt t v t r u t r g r g r g r        Зауваження 2. При 0m jk  та  0 1,3; , 1, 2m jk m j k    маємо класичну задачу дифузії на спряження, коли межі жорсткі по відно- шенню до відбиття дифузійних хвиль. Зауваження 3. Нехай початкові умови 0 ( ) 0.jt u g r    Ефек- том того, що межа м’яка по відношенню до відбиття хвиль дифузії, є поява в розв’язку (30) доданків                     0 3 , ; 11 22, ;1 , ;3 2 ; ; 2 1, ;12 , ;22 1 , , , , , . v j v j v j jk jk k k kv v k t r W t r t r d t r t r                         R R У цій рівності беруть участь величини:        0 0 0 3 3 3 11 11 1 0 11 1 0 22 22 3 3 22 3 3, ;g R g R g R g R                  1 1 2 1 2 1 ; , 1,2.k k k k jk j k k j k k j k k j k kg R g R g R g R j k              Серія: Технічні науки. Випуск 6 123 Зауваження 4. Якщо покласти  ( ) ( ) ( ), 1,3j j j jg r a b g r j    й знайти коефіцієнти із системи алгебраїчних рівнянь  0 0 0 11 11 0 1 11 1 0,R a b        1 1 1 2 2 1 2 1 ; , 1,2;k k k k k k j j k k j j j j k k j k jkR a b R a b j k                  3 3 3 23 23 3 3 22 3 0,R a b     (36) то величина ефекту    , ; , 0.v j t r   Зауважимо, що при виконанні умов на коефіцієнти, які беруть участь у формулюванні задачі (2)—(4), алгебраїчна система (36) має єдиний розв’язок. Його можна одержати за правилами Крамера. Зауваження 5. Якщо 2 2 1 0,q   то 2 2 2 2 1 2 1 20, 0,k k      2 2 2 3 1 3 0;k     якщо 2 2 2 0,q   то 2 2 2 2 1 2 1 20, 0,k k     2 2 3 2k   2 3 0;  якщо 2 2 3 0,q   то 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 3 20, 0,k k         2 3 0.k  Висновки. Одержані розв’язки поліпараметричні. Це дозволяє вибором параметрів виділяти безпосередньо із загальних структур будь-який практично важливий частковий випадок (у рамках розгля- нутої моделі). Розв’язок (30) дифузійної задачі (2)—(4) носить алго- ритмічний характер. Це дає можливість застосувати його як в теоре- тичних дослідженнях, так і в практиці числових розрахунків. Список використаних джерел: 1. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М. : Наука, 1972. — 735 с. 2. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднород- ного тела / Ю. М. Коляно. — К. : Наук. думка, 1992. — 280 с. 3. Конет І. М. Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Лежанд- ра — Фур’є — Фур’є на сегменті  0 3;R R полярної осі / І. М. Конет, М. П. Ленюк // Вісник Кам’янець-Подільського національного університету імені Івана Огієнка. Серія: Фізико-математичні науки. — Кам’янець- Подільський : Кам’янець-Поділ. нац. ун-т, 2008. — Вип. 1. — С. 126–133. 4. Конет І. М. Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середо- вищах з м’якими межами методом гібридного диференціального опера- тора Лежандра — Фур’є — Лежандра на полярній осі 0 0r R  / І. М. Конет, М. П. Ленюк // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Поділ. нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2010. — Вип. 4. — С. 119–136. 5. Конет І. М. Моделювання дифузійних процесів в неоднорідних середо- вищах з м’якими межами методом гібридного диференціального опера- Математичне та комп’ютерне моделювання 124 тора Бесселя — Лежандра — Фур’є на сегменті полярній осі / І. М. Конет, М. П. Ленюк // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Техні- чні науки : зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Поділ. нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2010. — Вип. 5. — С. 112–123. 6. Ленюк М. П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя / М. П. Ленюк. — К., 1983. — 62 с. — (Пре- принт / АН УССР. Ин-т математики; 83-3). 7. Конет І. М. Інтегральні перетворення типу Мелера — Фока / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2002. — 248 с. 8. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. — М.: Физматгиз, 1959. – 468 с. 9. Ленюк М.П. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра) / М. П. Ленюк, М. І. Шинкарик. — Тернопіль : Економ. думка, 2004. — 368 с. 10. Ленюк М. П. Побудова скінченного гібридного інтегрального перетворення при наявності спектрального параметру в крайових умовах та умовах спря- ження / М. П. Ленюк, В. В. Мороз // Науковий вісник Чернівецького універ- ситету. Математика. — Чернівці : Рута, 2006. — Вип. 314–315. — С. 105–113. Generalized method of finite hybrid integral transformation of Legen- dre — Fourier — Bessel with spectral parameter obtained solution of the problem of diffusion in three-segment  0 3,R R polar axis under the as- sumption that the limits of the medium soft with respect to reflection of waves. Simulation of diffusion processes is made using hybrid Legendre differential operator — Fourier — Bessel. Key words: modeling of diffusion processes, hybrid differential opera- tor, own elements, finite hybrid integral transformation, the basic identity, the main solutions. Отримано: 05.03.2012 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200075006d002000650069006e00650020007a0075007600650072006c00e40073007300690067006500200041006e007a006500690067006500200075006e00640020004100750073006700610062006500200076006f006e00200047006500730063006800e40066007400730064006f006b0075006d0065006e00740065006e0020007a0075002000650072007a00690065006c0065006e002e00200044006900650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000520065006100640065007200200035002e003000200075006e00640020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <FEFF0049007a006d0061006e0074006f006a00690065007400200161006f00730020006900650073007400610074012b006a0075006d00750073002c0020006c0061006900200076006500690064006f00740075002000410064006f00620065002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006100730020006900720020007000690065006d01130072006f00740069002000640072006f016100610069002000620069007a006e00650073006100200064006f006b0075006d0065006e007400750020006100700073006b006100740065006900200075006e0020006400720075006b010101610061006e00610069002e00200049007a0076006500690064006f006a006900650074002000500044004600200064006f006b0075006d0065006e007400750073002c0020006b006f002000760061007200200061007400760113007200740020006100720020004100630072006f00620061007400200075006e002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002c0020006b0101002000610072012b00200074006f0020006a00610075006e0101006b0101006d002000760065007200730069006a0101006d002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <FEFF0054006900650074006f0020006e006100730074006100760065006e0069006100200070006f0075017e0069007400650020006e00610020007600790074007600e100720061006e0069006500200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002000410064006f006200650020005000440046002000760068006f0064006e00fd006300680020006e0061002000730070006f013e00610068006c0069007600e90020007a006f006200720061007a006f00760061006e006900650020006100200074006c0061010d0020006f006200630068006f0064006e00fd0063006800200064006f006b0075006d0065006e0074006f0076002e00200056007900740076006f00720065006e00e900200064006f006b0075006d0065006e007400790020005000440046002000620075006400650020006d006f017e006e00e90020006f00740076006f00720069016500200076002000700072006f006700720061006d006f006300680020004100630072006f00620061007400200061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000610020006e006f0076016100ed00630068002e> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Similar Items