О новых формулах средних значений напряжения, тока и мощности в электроцепи с управляемыми диодами
On the basis of the singular expansion of a jump-like function, the mean value of a sinusoidal voltage shifted by phase is obtained.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4732 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О новых формулах средних значений напряжения, тока и мощности в электроцепи с управляемыми диодами / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 93-96. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860261013629173760 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | О новых формулах средних значений напряжения, тока и мощности в электроцепи с управляемыми диодами / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 93-96. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | On the basis of the singular expansion of a jump-like function, the mean value of a sinusoidal voltage shifted by phase is obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:55:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
Можно заметить, что применение ферромагнитных каркасов даже с относительно не-
высокой относительной магнитной проницаемостью µk = 30µ0 позволяет получить величи-
ну развиваемого электромагнитного момента Me = 100 Нм и при скорости n = 3000 об/мин
мощность такого ЭМПЭ составит свыше 30 кВт.
Таким образом, можно утверждать, что использование ферромагнитных каркасов тол-
щиной, например, δk = 2 мм, позволяет формировать структуры ЭМПЭ с повышенными
значениями линейной токовой нагрузки и получать при этом весьма высокую индукцию
магнитного поля в областях зазора и статорного каркаса. При этом за счет применения
известного способа скоса пазов ферромагнитных каркасов можно добиться уменьшения
уровня пульсаций электромагнитного момента.
1. Афонин А.А. Магнитные системы электромеханических преобразователей энергии с вариацией век-
торов намагниченности постоянных магнитов // Техн. електродинамiка. – 2004. – № 1. – С. 47–55.
2. Afonin A., Kramarz W., Cierzniewski P. Elektromechaniczne przetworniki energii z komutacja̧ elektroni-
czna̧. – Szczecin: Wyd. Politechniki Szczecińskiej, 2000. – 242 s.
3. Afonin A. Permanent magnet brushless motors with innovative excitation systems // Proc. of the 6th
Intern. Conf. on Electromechanical and Electrical Systems UEES’04. – Ukraine, 2004. – Vol. 1. – P. 27–38.
4. Гребеников В. В. Исследование магнитных полей в электрических машинах с различной ориентаци-
ей векторов намагниченности постоянных магнитов // Техн. електродинамiка. Тем. вип. “Проблеми
сучасної електротехнiки”. – 2004. – Ч. 5. – С. 47–50.
Поступило в редакцию 10.09.2007Щецинский политехнический институт, Польша
Институт электродинамики НАН Украины, Киев
УДК 621.3.(575)
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О новых формулах средних значений напряжения, тока
и мощности в электроцепи с управляемыми диодами
On the basis of the singular expansion of a jump-like function, the mean value of a sinusoidal
voltage shifted by phase is obtained.
Управляемое напряжение постоянного тока, получаемое в результате двухполупериодно-
го выпрямления переменного синусоидального напряжения сети с помощью управляемых
диодов (тиристоров), широко используется в различных областях промышленности: галь-
ваническое производство, зарядка аккумуляторных батарей, химическое производство, для
источников управляемого постоянного напряжения и т. д.
В основном в указанных производствах технологические процессы формируются по-
средством действия среднего значения выпрямляемого и управляемого синусоидального
напряжения U(t) = Ua sin ωt, где Ua — амплитуда; ω — круговая частота (ω = 2πf , f —
частота, Гц); t — время. При управлении выходного напряжения выпрямителя последнее
Uвых сдвигается относительно нуля на угол ϕ, т. е. на угол открывания управляемого диода.
Вид такого напряжения приведен на рис. 1. Здесь же показано среднее напряжение Ucp.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 93
Рис. 1
Среднее напряжение определяется формулой
Ucp =
2
T
T/2
∫
ϕ/ω
Ua sin ωtdt =
−2Ua
Tω
cos ωt
∣
∣
∣
∣
T/2
+ϕ/ω
=
Ua
π
(1 + cos ϕ), (1)
где T = 1/f — период колебаний синусоидального напряжения.
Как видно из (1), Ucp является функцией угла ϕ и вида выпрямляемого переменного
напряжения Ua sin ωt. При ϕ = 0 Ucp = 2Ua/π, т. е. соответствует классической формуле
среднего значения синусоидального напряжения [1]. При ϕ = π Ucp = 0. В случае однопо-
лупериодного выпрямителя Ucp = (Ua/2π)(1 + cos ϕ), что точно отражает физику процесса
выпрямления и метода определения среднего значения переменного напряжения.
Продолжим данное исследование в следующем направлении. В работах [2, 3] представ-
лено сингуларисное (особое) разложение скачкообразной функции в виде
1(t) = (1 − e−αt) + e−αt
n
∑
k=1
Uak cosk t, (2)
где α — коэффициент затухания; Uak — k-я амплитуда затухающей гармоники. Здесь
n
∑
k=1
Uak = 1; Uak = Ua1/ωk; Ua1 = 1/π.
Отметим, что сдвинутое по фазе ϕ напряжение U(t) = Ua sin(ωt + ϕ) при t = 0 (момент
включения в цепи U(t)) равно U(t) = Ua sin ϕ, т. е. в этот момент имеется скачок напряжения
U(t) на величину Ua(t) sin ϕ. В связи с этим, учитывая (2), функцию U(t) = Ua sin(ωt ± ϕ)
представим в виде следующего разложения [3]:
U(t) = Ua sin(ωt ± ϕ)(1 − e−αt) + |Ua|e
−αt sin(±ϕ)
n
∑
k=1
Uak cos ωkt. (3)
Выражение (3) при t = 0 равно Ua sin(+ϕ)
n
∑
k=1
Uak = Ua sin(+ϕ), при t = ∞ U(t) =
= Ua sin(ωt + ϕ), при α = ∞ U(t) = Ua sin(ωt + ϕ). Как видим, между Ua sin(ωt ± ϕ) и (3)
имеется наглядное соответствие.
Если считать Uвых, показанное на рис. 1, привязанное скачком Ua sin ϕ к t = 0, то тогда
может быть соответствие между Uвых (см. рис. 1) и U = Ua sin(ωt+ϕ), и будет справедливым
среднее значение выходного напряжения
Ucp =
2
T
T/2
∫
ϕ/ω
[
Ua(1 − e−αt) sin(ωt + ϕ) + |Ua|e
−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
]
dt. (4)
94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
Интегралы (4) будем вычислять в виде суммы интегралов
Ucp1 =
2
T
T/2
∫
ϕ/ω
Ua sin(ωt + ϕ) dt, Ucp2 = −
2
T
T/2
∫
ϕ/ω
Uae
−αt sin(ωt + ϕ) dt,
Ucp3k = +
2Ua
mkTk
5Tkmk/4
∫
Tk/4
e−αtUak sin ϕ(cos ωkt)dt, k = 1, n, mk =
T
Tk
,
UcpΣk
=
n
∑
k=1
Ucp3k, Ucp1 =
2
T
T/2
∫
−ϕ/ω
Ua sin(ωt + ϕ) dt =
Ua
π
(1 + cos ϕ),
(5)
т. е. равно (1).
Интегралы в Ucp2, Ucp3k, k = 1, n, вычислим с помощью метода по частям [4]:
Ucp2 =
−2Ua
T
T/2
∫
−ϕ/ω
e−αt sin(ωt+ϕ) dt =
1
1+
α2
ω2
2Ua
Tω
e−αt
[
cos(ωt+ϕ) +
α
ω
sin(ωt+ϕ)
]
∣
∣
∣
∣
T2
+ϕ/ω
. (6)
Введем в (6) тригонометрические преобразования [4]
cos(ωt + ϕ) = cos ωt cos ϕ − sin ωt sinϕ,
sin(ωt + ϕ) = sinωt cos ϕ + sinϕ cos ωt.
Тогда (6) запишем в виде
Ucp2 =
−ω2
α2+ω2
Ua
π
[
e−απ/ω
(
cos ϕ+
α
ω
sin ϕ−1
)
+ e−αϕ/ω
(
cos 2ϕ+
α
ω
sin 2ϕ−1 − 1
)]
. (7)
Далее вычислим Ucp3k, k = 1, n,
Ucp3k =
2Ua sin ϕ
mkTk
5Tkmk
4
∫
Tk
4
Uake
−αt cos ωktdt =
=
ω2
k
α2 + ω2
k
Ua2Uak sinϕ
mkTk
[
e−αt sin ωkt
ωk
−
α
ω2
k
e−αt cos ωkt
]
∣
∣
∣
∣
5Tkmk/4
Tk/4
=
=
UaUakω
2
k sin ϕ
mkπ(α2 + ω2
k)
= (e−αTk/4 − e−5αTkmk/4). (8)
И с учетом (8), Tk = 2π/ωk
UcpΣk =
Ua sin ϕ
π
n
∑
k=1
Uakω
2
ke
−απmk/(2ωk)
(α2 + ω2
k)mk
(1 − e−2απmk/ωk). (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 95
Таким образом, общее среднее значение, соответствующее (4), имеет вид
Ucp = (5) + (7) + (9). (10)
Из (3) видно, что при α = ∞ U(t) = Ua sin(ωt + ϕ), а это значит, что Ucp = (5) и Ucp2 +
+ UcpΣk = (7) + (9) = 0. Проверим этот факт. В (7) имеется знаменатель α2 + ω2 = ∞
при α = ∞. Поэтому (7) = 0. В (9) также есть знаменатель α2 + ω2
k = ∞ при α = ∞.
Поэтому (9) = 0. При ϕ = 0 Ucp = 2Ua/π, т. е. соответствие классической формуле [1].
Следовательно, факт соответствия Ucp, определяемого с использованием (3), подтверж-
дается.
Определим средние значения токов в электроцепи с активной (RH) нагрузкой. При
активной нагрузке в формулах для среднего значения тока IcpR = Ucp/R в выражении (10)
включается сомножитель 1/RH , т. е.
IcpR =
Ucp1 − Ucp2 + Ucp3
RH
=
(9)
RH
. (11)
Средняя мощность такой цепи выражается соотношением
PcpR = UcpIcpR = (10) · (11) =
(9)2
RH
=
1
RH
(Ucp1 − Ucp2 + Ucp3)
2. (12)
Понятно, что простота формул (10), (11), (12), с помощью которых определены средние
значения напряжения, тока и мощности, является кажущейся. В эти формулы органически
включены формулы (5), (7), (9). При их раскрытии получаем
Ucp =
Ua
π
{
(1 + cos ϕ) −
ω2
α2 + ω2
[
e−απ/ω
(
cos ϕ +
α
ω
sin ϕ − 1
)
+
+ e−αϕ/ω
(
cos 2ϕ +
α
ω
sin 2ϕ − 1
)]
+
+ sin ϕ
n
∑
k=1
Uakω
2
k
mk(α2 + ω2
k)
e−απ/(2ωk)(1 − e−2απmk/ωk)
}
. (13)
Тогда Icp = (13)/RH , а Pcp = (13)2/RH . Так как выражения Icp = (13)/RH и Pcp = (13)2/RH
находятся рядом с (12), то приводить их не будем, видна достаточная сложность получен-
ных формул. При определенных условиях (α = ∞, ϕ = 0) формулы (13), (13)/RH , (13)2/RH
приобретают вид, соответствующий классическим прежним расчетам.
Конечно, сингуларисное (особое) разложение скачкообразной функции обусловливает
некоторую математическую громоздкость в вычислении в данном случае Ucp, Icp, Pcp, но
учет скачка в выпрямленном напряжении (см. рис. 1), на наш взгляд, требует более точного
математического описания исследуемых величин, чему соответствует данное разложение.
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
2. Божко А. Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Доп. НАН Укра-
їни. – 2004. – № 9. – С. 83–87.
3. Божко А. Е. О новой трактовке переходных процессов в цепях переменного тока // Там само. –
2005. – № 4. – С. 81–86.
4. Бронштейн Н.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: ГИТТЛ, 1956. – 608 с.
Поступило в редакцию 04.06.2007Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
96 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4732 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:55:17Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2009-12-22T10:53:41Z 2009-12-22T10:53:41Z 2008 О новых формулах средних значений напряжения, тока и мощности в электроцепи с управляемыми диодами / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 93-96. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4732 On the basis of the singular expansion of a jump-like function, the mean value of a sinusoidal voltage shifted by phase is obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Енергетика О новых формулах средних значений напряжения, тока и мощности в электроцепи с управляемыми диодами Article published earlier |
| spellingShingle | О новых формулах средних значений напряжения, тока и мощности в электроцепи с управляемыми диодами Божко, А.Е. Енергетика |
| title | О новых формулах средних значений напряжения, тока и мощности в электроцепи с управляемыми диодами |
| title_full | О новых формулах средних значений напряжения, тока и мощности в электроцепи с управляемыми диодами |
| title_fullStr | О новых формулах средних значений напряжения, тока и мощности в электроцепи с управляемыми диодами |
| title_full_unstemmed | О новых формулах средних значений напряжения, тока и мощности в электроцепи с управляемыми диодами |
| title_short | О новых формулах средних значений напряжения, тока и мощности в электроцепи с управляемыми диодами |
| title_sort | о новых формулах средних значений напряжения, тока и мощности в электроцепи с управляемыми диодами |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4732 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae onovyhformulahsrednihznačeniinaprâženiâtokaimoŝnostivélektrocepisupravlâemymidiodami |