Вибродиагностические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины постоянной глубины
Рассматриваются результаты аналитического определения вибродиагностических параметров усталостного повреждения прямоугольной пластины типа прямолинейных трещин нормального отрыва постоянной глубины при различных условиях закрепления и формах колебаний однородной пластины постоянной толщины. Показан...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2005
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47320 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Вибродиагностические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины постоянной глубины / В.В. Матвеев, О.Е. Богинич // Проблемы прочности. — 2005. — № 1. — С. 43-59. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859584729535217664 |
|---|---|
| author | Матвеев, В.В. Богинич, О.Е. |
| author_facet | Матвеев, В.В. Богинич, О.Е. |
| citation_txt | Вибродиагностические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины постоянной глубины / В.В. Матвеев, О.Е. Богинич // Проблемы прочности. — 2005. — № 1. — С. 43-59. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Рассматриваются результаты аналитического определения вибродиагностических параметров усталостного повреждения прямоугольной пластины типа прямолинейных трещин нормального отрыва постоянной глубины при различных условиях закрепления и формах колебаний однородной пластины постоянной толщины. Показано, что в диапазоне изменения относительной глубины трещины до 0,3 параметр искажения моногармоничности колебаний при супергармоническом резонансе второго порядка превышает величину отно сительного изменения собственной частоты колебаний пластины на 1-2 порядка.
Розглянуто результати аналітичного визначення вібродіагностичних параметрів пошкодження прямокутної пластини у вигляді прямолінійних тріщин нормального відриву постійної глибини за різних умов закріплення та форм коливань однорідної пластини постійної товщини. Показано, що в діапазоні зміни відносної глибини тріщини до 0,3 параметр спотворення моногармонічності коливань при супергармонічному резонансі 2-го порядку перевищує величину відносної зміни власної частоти коливань пластини на один-два порядка.
We discuss the results of analytical determination of vibrodiagnostic parameters of rectilinear plate fatigue damage like Mode I line cracks of constant depth, assessed for various edge grip conditions and oscillation forms of a uniform plate of constant thickness. It is shown that within the variation range of relative crack depth up to 0.3, the parameter of distortion of the oscillation monoharmonicity corresponding to the superharmonic 2nd-order resonance exceeds the value of relative variation of the plate’s natural oscillation frequency by 1-2 or ders of magnitude.
|
| first_indexed | 2025-11-27T09:58:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 620.178.5:620.179
Вибродиагностические параметры усталостного повреждения
прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины
постоянной глубины
В. В. М атвеев, О. Е. Богинич
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Рассматриваются результаты аналитического определения вибродиагностических пара
метров усталостного повреждения прямоугольной пластины типа прямолинейных трещин
нормального отрыва постоянной глубины при различных условиях закрепления и формах
колебаний однородной пластины постоянной толщины. Показано, что в диапазоне изме
нения относительной глубины трещины до 0,3 параметр искажения моногармоничности
колебаний при супергармоническом резонансе второго порядка превышает величину отно
сительного изменения собственной частоты колебаний пластины на 1-2 порядка.
Ключевые слова: прямоугольная пластина, усталостное повреждение, тре
щина нормального отрыва, закрывающаяся трещина, вибродиагностические
параметры повреждения, собственная частота колебаний, основной и супер-
гармонический резонансы.
Введение. Полученные ранее [1] зависимости (15), (16), (19), (21)—(23)
для приближенного определения вибродиагностических параметров повреж
дения пластины типа усталостных трещин нормального отрыва, располо
женных параллельно одной из сторон пластины, выражаются через относи
тельную энергетическую характеристику повреждения:
АП т
к =
где П о - потенциальная энергия деформации неповрежденной пластины
при заданном нагружении; А П т - изменение потенциальной энергии дефор
мации пластины при идентичном ее нагружении, обусловленное наличием
трещины и определяемое через коэффициент интенсивности напряжений К 1.
Выражение для определения указанной характеристики (12) [1] можно
представить в виде
1Ъ Ф т
К 6В 2 Ф о , (1)
где
Ф т = / / [К 1( о т )]2 со8 ОаГ;
(*)
(2)
Ф
ь в
= и
о о
^ 2 \ 2 д w
. дх‘
+
Л 2 \ 2 д w
ду‘
+ 2v
2 2 д w д w
2 2 дх ду
+ 2(1- V)
2 2 "
д w
д̂хду )
аХаУ; (3)
© В. В. МАТВЕЕВ, О. Е. БОГИНИЧ, 2005
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 1 43
В. В. Матвеев, О. Е. Богинич
Ег3
Б - цилиндрическая жесткость неповрежденной пластины, Б = —(------ ^ ;
г - толщина пластины; К 1(о т ) - коэффициент интенсивности нормальных
напряжений; о т - номинальное максимальное нормальное напряжение
изгиба в сечении расположения трещины (х = х т ); др - вектор возможного
смещения точек фронта (контур Г) трещины; в - угол между др и нормалью
к фронту трещины; w - собственная форма колебаний пластины, w = х , У )•
Ниже представлены результаты определения с использованием зависи
мостей (1)—(3) относительной энергетической характеристики к и основных
вибродиагностических параметров наличия в прямоугольной пластине
(рис. 1) прямолинейных поверхностных трещин постоянной глубины, рас
положенных параллельно одной из сторон пластины, при различных усло
виях ее закрепления и формах колебаний, а также при разных количестве
трещин и их расположении. Результаты исследования прямоугольных плас
тин с поверхностными полуэллиптическими и сквозными трещинами будут
представлены в сообщении 3.
Рис. 1. Схема однородной прямоугольной пластины постоянной толщины t с прямолинейной
плоской поверхностной трещиной постоянной глубины к.
1. Определение относительной энергетической характеристики по
вреждения пластины . Для рассматриваемых прямолинейных трещин
постоянной глубины к, расположенных в сечениях с координатами х ті
( і = 1 ,2 , . . . , N ) вдоль всей ширины В пластины, что, например, может
иметь место при наличии относительно хрупкого покрытия постоянной
толщины, р = к, в = 0, ^Г = й у ,и выражение для функции (2) при наличии
N значимо невзаимодействующих трещин приводится к виду
N В к
Ф т = 2 / / К 12( 0 т,і , к) а м У. (4)
і=1 0 0
Рассмотрим случаи наличия трещин одинаковой глубины на одной и на
обеих поверхностях пластины.
44 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 1
Вибродиагностические параметры усталостного повреждения
1.1. Прямолинейные трещины на одной поверхности пластины. До
пуская в приближении возможность использования для коэффициента интен
сивности напряжений К 1, например, формулу, полученную для полосы
конечной длины с поперечной краевой трещиной при чистом изгибе [2],
К 1 = а т > /л й ^ и ( У),
где
^ 1Л(У) = 1,122- 1,40У + 7,33У2 - 13,08у 3 + 14 ,0у 4;
х=хтн 6М
у = - < 0,6; а т = ----- 2
г г2
в соответствии с (4) найдем
Н N N
Фт = я / н^ и (У / а 2; (у )ё у = я г 2Н и (у )^ / а ^ (у )ёу . (5)
0 I =1(5) I =1(5)
Здесь
У
н 1.1(У) = / У ^2 (У)йУ = 0,6295У 2 - 1,0472у 3 + 4,602у 4 - 9,9752у 5 +
0
+20,2948у 6 - 32,9933у 7 + 47,0408у 8 - 40,6933у 9 + 19 ,6у 10; (6)
а т1 - номинальные максимальные напряжения изгиба,
Б
а т,1 (у ) 6 2, г2
Л 2 д
■ + V-
2д
дх‘ ду ' х = х
(7)
При этом для закрывающейся трещины / а ̂ (у )ёу вычисляется в
(5)
интервале значений координаты у , определяющей при х = х т 1 величину
а т1 > 0. С целью упрощения обнаружения основных закономерностей воз
можного влияния появления трещин на вибрационные характеристики плас
тины ограничимся далее рассмотрением наиболее просто описываемых форм
колебаний.
1.1.1. Пластина, шарнирно опертая по всем краям. Как известно, формы
колебаний такой пластины описываются функцией
т я пя
Ч х ,у ) = А тп ЭШ— хэш у , т= 1 ,2 ,3 ,...; п = 1 ,2 ,3 ,..., (8)
Ь 5
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 1 45
В. В. Матвеев, О. Е. Богинич
которая определяет следующее выражение для максимальных напряжении
изгиба (7) в сечениях расположения трещин (х = х т1-) при заданных значе
ниях т и п:
т л ил
О т,1 (У ) = О max sin “ Г Х т,1 sin ~ jf У ’ (9)
где
О max 6л
D
— A2 ти ‘
t
(10)
Подставляя (9) в (5), для случая наличия N трещин получаем
N
2 2 .V* • 2 т л Г • 2 ПГ
Ф т = r o maxt H 1.1(У)^ sm ~ Т x T,i J sm "IT У̂ У- (11)
i=1 L (B)
/ 2 ПГ
sin — ydy вы-
(B) B
числяется в интервале значений координаты у, определяющей значение
напряжения растяжения о т1- (у ), т.е. в данном случае должно выполняться
условие
т л и л
sin-----x т i sin— у > 0.
L T’1 B
Используя формулы (3), (8) и выражая в соответствии с равенством (10)
А ти через О max, Найдем
B L t4 , 2 2
Ф 0 _ .. . . 2 m ,иО max, (12)144D 2
где
, . ( т ) ’ * ( в ' ’
» т ит ,и / \ 2 / \2
т )
Тогда выражение (1) для параметра к примет вид
^ „ r t H 1.1(У) 2 т л г 2 ил ,
-1.1.n = 24B L ~>2— ^ sin ~ T x т-i J sin B y dy - (13)^ т ,n i =1 (B)
При определении параметра к для закрывающихся трещин по формуле
(13) следует учитывать отмеченную ранее особенность вычисления интегра
/ 2 ПЖ
sln — уау. При наличии трещин разноИ глубины в указанной
(В) В
46 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, N 1
Вибродиагностические параметры усталостного повреждения
формуле под знак суммирования необходимо ввести функцию H п (у i ), где
у i = hi /t. Кроме того, при наличии нескольких трещин в зависимости от
места их расположения, обусловливаемого значением координат x т1-, и
рассматриваемой формы колебаний, которая характеризуется величинами m
и п, параметр к может иметь как одинаковое, так и разное значение на
полуциклах разного (±) знака.
/ 2 ПЖ
sin — ydy рассмотрим
(В) В
формы колебаний при п = 1 и наиболее вероятном расположении трещин в
сечениях с наибольшим значением максимальных напряжений изгиба, т.е.
при
1 + 2( i - 1)
x тi = ------------- L, j = 1 ,2 ,3 ,..., N = m. (14)
2m
тж л 2 пж В
В этом случае sin-----x т i =1, J sin — ydy = — , и с учетом того, что
L (В) В 2
тж ж
ослабленными сечениями являются те, где sin—̂ x т i sin в y > 0, выражение
для параметра к при колебаниях по m-й форме для четных значений m
примет вид
t H 1Л(у )
K1.1.m 6жmL i2 , (15)
^ m ,1
для нечетных значений m -
t H 11(у )
к 1.1. m (±) = 6ж( m ± 1) Т - Г 2-----:
^ m ,1
(16)
где
m~ | — I + 1
(17)
Как видно, в случае четных значений т параметр к при наличии
трещин во всех сечениях с наибольшим значением изгибающего момента
М х, т.е. N = т , не зависит от знака полуцикла к = к , в то время как в
случае нечетных значений т на полуциклах разных знаков он будет отли
чаться.
При наличии закрывающейся трещины в одном из сечений с наиболь
шим значением напряжения изгиба получаем единую формулу (15), где сле
дует принять т = 1 независимо от формы колебаний пластины, которая
будет учитываться только коэффициентом Я т 1 при соответствующем зна
чении т:
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2005, № 1 47
В. В. Матвеев, О. Е. Богинич
t Н „ ( у )
^ 1.1.т = 6^ (1 ± !) Т “~2----- ' (18)
^ т ,1
При N открытых, т. е. иезакрывающихся, трещинах одинаковой глуби
ны, расположенных в каких-либо сечениях х т ,• (см. (14)), выражения (15),
(16) приводятся к виду
_отк ̂ Н 11(У)к 1.1. N ~ 12^ т . (19)
т ,1
Параметр к не зависит от знака полуцикла колебаний как для симмет
ричных, так и несимметричных форм колебаний, т.е. к ( +) = К! i ^ (_).
При наличии трещин во всех указанных сечениях в формуле (19) следует
принять N = т.
Заметим, что при расположении трещин в сечениях с наибольшим
значением максимальных напряжений изгиба о т1- (у ) использование зави
симости (4) более правомочно, поскольку в этих сечениях действуют только
изгибающие моменты, значение крутящих моментов равно нулю.
1.1.2. Пластина, по двум краям (x = 0; x = L) шарнирно опертая и по
двум свободная. При наиболее простых балочных формах колебаний плас
тины
тж
w (x ,у ) = A m sin ~ x , т = 1 ,2 ,3 ,..., (20)
L
для которых приемлемо использование зависимости (4), максимальные на
пряжения изгиба в сечениях расположения трещин равны
тж
0 т, i = 0 max sin l x т, i , (21)
где о max определяется выражением (10) при n = 0.
Подставляя выражение (21) в формулу (5), найдем
N
2 2 'V' 2 тж
Ф т = ж0 maxBt H 1.1(У )^ sin ~ Т x т, i . (22)
i=1
Здесь для закрывающихся трещин под знаком суммирования учитываются
сечения x т i , определяющие о т i > 0.
Используя формулу (20) и выражая А т через о max, в соответствии с (3)
записываем
B L t4 2
Ф 0 = 72D 2 0 max. (23)
Тогда согласно обозначениям (1) получим следующее выражение для
параметра к:
48 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, N 1
Вибродиагностические параметры усталостного повреждения
-1.2.N = 12ж L H u ( У ~ Y Xт, i , (24)
i =1
где Н ц ( у ) определяется выражением (6).
Для наиболее вероятного расположения трещин в сечениях с наиболь-
1 + 2( I - 1)
шим значением максимальных напряжений изгиба (х т { = -----2------- Г, I = 1,
2, 3, ..., N = т) при колебаниях пластины по т-й форме для четных значений
т будем иметь
г
К1.2.т = 6—т ^ Н 1.1( у X (25)
для нечетных значений -
г
* 1.2(±).т = 6—( т ± 1) 2 Н 1.1(У )- (26)
При наличии трещины в каком-либо одном сечении с наибольшим
значением напряжений изгиба получаем единую формулу (26), где прини
маем т = 1 независимо от формы колебаний пластины.
В случае N незакрывающихся трещин, расположенных в каких-либо N
сечениях (14), также получаем единую формулу, не зависящую от знака
полуцикла колебаний:
*отк = 12 — лг г Н 1.1(У)
*1.2. N = 12—Л Г 2 ■ (27)
Г А т ,1
1.1.3. Пластина, жестко закрепленная по краям x = 0 и x = L и
свободная по остальным. При наиболее простых формах колебаний, описыва
емых балочной функцией
w (x ,y ) = Akj [(sinkjX - sh k jX ) - B j (cos kjX - ch k jX )], (28)
максимальные напряжения изгиба в сечениях расположения трещин x т t = x t
определяются выражением
6 M xi 6( k jL )2
о т t = — 2— = — 2L2— K^n k j X i + sh k j x {) - B j (cos k J-xi + ch k J-xi )]Akj ,
где k1L = 4,73; k2L = 7,853; k f = Ж (2j + 1), j = 3 ,4 ,...; B 1 =1,0178; B2 =
2
= 0,999223; B 3 =1,0000335; B 4 = 0,9999986; B 5 =1,0000001....
Представим о т t через максимальное напряжение изгиба (ошах),
соответствующее сечению с некоторой координатой x mj (0 < x mj < L):
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, N2 1 49
В. В. Матвеев, О. Е. Богинич
(sin k j x t + sh k j x t ) - B j (cos k j x t + ch k j x t )
0 T ’' ° maX (sin k j x mj + sh k j x mj ) - B j (c0S k j x mj + ch k j x mj ) ’ ^
где
ч26( kjL)
0 max 2 r2t 2 L2
■ [(sin kjxmj + sh kjxmj ) - B j (cos k fx mj + ch k f x mj )]A^j . (30)
Координата x mj- соответствует одной из координат, вычисляемых из
уравнения
(cos k j x j + ch k j x j ) + B j (sin k j x j - sh k j x j ) = 0.
/ 2 2
о т ̂(y ) dy = о T tB,
(B)
при наличии N трещин найдем
N
^ [(sin k j x t + sh k j x t ) - B j (cos k j x t + ch k j x t )]2
1 o i — 1
Ф т — nBt H 1Л(у ) о 9 *[(sin k j x mj + sh k j x mj ) - B j (cos k j x mj + ch k j x mj )]
(31)
Выражая A j через о max и учитывая (3) и (28), получаем
B t 4 l o max
Ф 0 ® ------2----------------------------------- maX-------------------------------- 2 - (32)36D [(sin kjxmj + sh kjxmj ) - B j (cos kjxmj + ch kjxmj )]
Тогда в соответствии с (1) определяем выражение для к:
N
к 1.3. n = 6л y H u (y ) £ [ ( s in kj-xt + sh kj-xt ) - B j (cos j - + ch k j x t )]2. (33)
i —1
Для случая закрывающихся трещин под знаком суммирования учитываются
только сечения х {, определяющие растягивающие максимальные напряже
ния изгиба.
Заметим, что значения функции (6) для рассматриваемого случая жест
кого закрепления краев пластины, обусловливающего статическую неопре
делимость системы и требующего решения задачи механики разрушения в
перемещениях, как следует из анализа данных работы [3], можно исполь
зовать с допустимой для инженерной практики погрешностью при условии
наличия неглубокой (у < 0,3) трещины, которая расположена вдали от за
щемленных краев достаточно гибкой пластины ( < 0,1). Поэтому, исполь
зуя функцию (6) при данных условиях закрепления пластины, ограничимся
50 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 1
Вибродиагностические параметры усталостного повреждения
рассмотрением низшей формы колебаний ( / = 1; к 1Ь = 4,73; В1 = 1,0178) при
наличии одной закрывающейся трещины ( N = 1), расположенной в сечении
действия наибольшего изгибающего момента М х (х { = Ь/2) . Учитывая, что
в данном случае
Для оценки влияния условий закрепления пластины на параметр к
сравним выражение (34) с (16) и (26) для полуцикла знака (+) при т = 1, т. е .
для случая низшей формы колебаний и наличия одной трещины .
соотношения размеров пластины (В/Ь) и коэффициента Пуассона V. При
у = 0,3 для отношений (В/Ь) < 2 имеем к т > к 131, т.е. в этом случае
к 1.1.1 > к 1.3.1 > к 1.2.1.
1.2. П рямолинейны е симметричные трещины. Рассмотрим N пар
трещин постоянной глубины И, расположенных в сечениях х = х т I ( I = 1,
2 ,..., N ) вдоль всей ширины В пластины, что может иметь место, напри
мер, при наличии относительно хрупкого покрытия одинаковой толщины на
обеих ее поверхностях.
В этом случае для функции (2) при условии отсутствия значимого
взаимовлияния между парами трещин пригодно выражение (4). Для коэф
фициента интенсивности напряжений с определенным допущением исполь
зуем, например, формулу, полученную для полосы с двумя симметричными
краевыми трещинами при чистом изгибе [2]:
Тогда в случае наличия N закрывающихся трещин для функции (2) полу
чим выражения, идентичные формулам (5), (11), (22), (31), для характерис
тики к 2.N - выражения, идентичные характеристике к ^N (13), (24), (33),
при следующем значении функции Н 1(у ):
8Ш к
Ь
2
Ь
2
- ВПсоэ к
Ь
2
имеем
к 1.3.1(±) = 7,84(1 ± 1) я Ь^Н 1.1( У). (34)
Как видно, к 111 > к 1 2 1 и к 1 3 1 > к 1 2 1. Значение к 1 1 1 зависит также от
К 1 = а ̂ л/я1 ^ 1.2( у ),
где
4 1 3 2 5 3
!̂ 1+ 2 ( 1 - у ) + 8 ( 1 - у ) + 116( 1 - у )
6 м х=хт
і 2
1 у
н 1.2( У) = 4 / у ^ 122( У) йу = -0 ,04612 + 0,02252(1- у ) -2 + 0,06218(1- у )2
о
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 1 51
В. В. Матвеев, О. Е. Богинич
-0 ,0 6 0 2 4 (1 -у )3 + 0 ,01601(1-у )4 + 0 ,00315(1 -у ) 5 - 0 ,01293 (1 -у )6 +
+ 0 ,03643(1 -у )7 - 0,03321(1- у ) 8 + 0,01221(1- у )9.
При одинаковой величине у имеем Н ^ ( у ) > Н п (у).
Учитывая, что трещины расположены на обеих поверхностях пластины,
накладываемое ранее условие о т1 (у ) > 0 утрачивает смысл, поскольку
одна из симметричных трещин при любом полуцикле колебании пластины
будет раскрываться, т.е. суммирование производится по всем N сечениям
независимо от знака о т {.
При расположении закрывающихся симметричных трещин одинаковой
глубины при данноИ т-И форме колебании пластины во всех сечениях,
определяемых координатами (14), характеристику к 2т для разных условиИ
закрепления пластины можно выразить через соответствующие выражения
характеристики к 1т (15), (16), (25), (26), (34) для четных значении т в
виде
_ 0 Н 2.1 (у )
к 2 т 2к1т Н 11( у ^ (35)
для нечетных значении -
2т Н 2.1(у )
к 2.т , 1 к 1.т(±) тт / \ ■ (36)т ± 1 4 ’ Н 1Л(у ) 4 7
Для незакрывающихся симметричных трещин, расположенных при дан-
нои форме колебании в каких-либо N сечениях (14), наедем
- о Н 21 ( у )
к ̂ = 2* 1. П н 11( у )■ (37)
где * 1N определяются выражениями (19), (27) и (34) на полуцикле знака (+).
Заметим, что при наличии как открытых, так и закрывающихся симмет
ричных трещин величина к одинакова для полуциклов разного знака, и
колебания упругои пластины, как и в случае открытых односторонних
трещин, описываются линеиным уравнением.
1.3. Оценка влияния относительных размеров трещины на характе
рист ику повреж дения пласт ины . В качестве иллюстрации возможной
зависимости характеристики к от относительных размеров закрывающихся
трещин и пластины на рис. 2,а , б приведены данные расчетов по формулам
(15), (16) и (25), (26) соответственно с использованием значении функции
(6). Результаты представлены в виде зависимости обобщенного параметра
кЬ/г от относительнои глубины у = одинаковых трещин, расположен
ных для даннои формы колебании в сечениях с наибольшим значением
максимальных напряжении изгиба, для разных форм колебании пластин,
характеризуемых числом т.
52 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, N 1
Вибродиагностические параметры усталостного повреждения
0,1 0,2
а
0,3 0,1 0,2
б
0,3
Рис. 2. Зависимость обобщенного параметра повреждения кЬ/ї от относительной глубины
у = к/ї одинаковых трещин, расположенных в сечениях с наибольшим значением макси
мальных напряжений изгиба: а - шарнирно опертая по всем краям квадратная пластина при
т = 1, ..., 4; б - шарнирно опертая по двум краям квадратная пластина при т = 1, ..., 5.
Использование обобщенного параметра кЬ/г позволяет по найденной
его величине для заданного значения у определять характеристику к при
разных отношениях длины Ь к толщине г пластины.
Для пластины, шарнирно опертой по всем краям, данные на рис. 2,а
получены при Б /Ь = 1. При другом значении отношения размеров пластины
параметр кЬ/г можно определить умножением приведенных на рис. 2
данных на коэффициент
* т ,1І В 1 =
;2* т ,1
(38)
где Xт ,1 находится по формуле (17).
Зависимость Xт 1 от отношения Б/Ь для разных значений т показана
на рис. 3.
При наличии закрывающейся трещины только в одном сечении с наи
большим максимальным напряжением изгиба при т-й форме колебаний
пластины приведенные значения параметра кЬ/г уменьшаются в т / 2 раза
для четных т и в (т ± 1)/2 раза для нечетных.
Для пластины, шарнирно опертой только по двум краям (рис. 2,6),
параметр кЬ/г, как видно из формулы (24), не зависит от отношения Б/Ь.
Следует также заметить, что при наличии трещины только в одном из
сечений с наибольшим максимальным напряжением изгиба параметр кЬ/г
не зависит от формы колебаний и его значение равно таковому при первой
форме колебаний (на рис. 2,6 т= 1).
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, N2 1 53
В. В. Матвеев, О. Е. Богинич
Рис. 3. Зависимость коэффициента Хт 1 от отношения размеров пластины £/£ для разных
значений параметра т.
2. Определение вибродпагностических параметров повреждения
пластины. В качестве вибродиагностических параметров повреждения плас
тины в [1] рассматривались относительное изменение собственной частоты
колебаний при открытой (0 т ) и периодически закрывающейся (0 тз) тре
щине, а также такие параметры искажения моногармоничности колебатель
ного процесса при наличии закрывающейся трещины, как относительная
величина постоянной составляющей А0/ Аі и амплитуды второй гармоники
А 2 ІА х при основном резонансе (у = ю о) и слабом (А2 < Аі) супергармони-
ческом резонансе 2-го порядка (ь = 0,5ю о). Указанные параметры выража
ются через рассмотренную ранее характеристику к:
0 т =
л/і + к — 1
VI + к
0 т.з =
л/і + к — 1
л/і + к + 1
(39)
А А 2к
А1 л(1 + к ̂ А1 9л(1 + к )
при у = ю 0; (40)
А2 лк(1 + V1 + к )[(8 — л )(1 + к) — л ]
А1 16(1 + к )2 б
при у = 0,5 ю 0 , (41)
где д - логарифмический декремент колебаний пластины.
При этом для случая наличия нескольких закрывающихся трещин, когда
в зависимости от места их расположения и формы колебаний пластины не
54 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 1
Вибродиагностические параметры усталостного повреждения
все трещины закрываются или открываются на полуциклах разного знака
(±) и нелинейность колебательной системы определяется различием па
раметра к на этих полуциклах (к(+); к (_)), в формулах (40), (41) указанный
параметр принимаем равным
к = к (+) к (-)
1 + к (-)
(42)
Заметим также, что использование выражения (41) с достаточной для
2,25 б
инженерной практики точностью ограничивалось условием к < ------------ -.
— - 2,25 о
Анализ приведенных зависимостей показал, что возможные значения пара
то ^2метров (39) и (40) примерно одного порядка, при этом $ т > $ тз ~ —— > — ,
А1 А1
и на порядок и более ниже значений параметра (41), определяемого при
супергармоническом резонансе. Поэтому в дальнейшем ограничимся рас
смотрением только выражений (39) и (41).
С помощью этих формул и полученной ранее зависимости характе
ристики к от относительной глубины у трещины для пластины, шарнирно
опертой по всем краям (15), (16) и шарнирно опертой только по двум краям
(18), (25), (26), можно оценить возможное относительное изменение собст
венных частот $ т , $ тз и относительной амплитуды второй гармоники
А2/ А х при супергармоническом резонансе 2-го порядка от относительной
глубины трещины у для рассмотренных случаев расположения трещин,
условий закрепления и форм колебаний пластины.
В качестве примера на рис. 4 показаны расчетные зависимости изме
нения собственных частот колебаний $ т и $ тз квадратной пластины при
разных условиях закрепления и формах колебаний от относительной глу
бины у одинаковых соответственно открытых и закрывающихся односто
ронних поверхностных трещин, расположенных для т-й формы колебаний в
сечениях с наибольшим значением максимальных напряжений изгиба а
1 + 2( I - 1)
(х т ,• = --------------, I = 1, 2, ..., N = т ) . Для шарнирно опертой по двум краям
, 2т
пластины при наличии трещины только в одном из сечений с а зависи
мости $ т и $ тз от у не зависимо от формы колебаний соответствуют
приведенным для случая т = 1.
Как видно, при наличии только одной трещины практическое диагности
рование наличия повреждения, предусматривающее возможность надежной
регистрации изменения собственных частот элементов конструкций при
$ > 5%, для рассмотренных относительных размеров пластины может быть
осуществлено только при относительной глубине данного вида трещины
у > 0,3. Кроме того, как отмечалось ранее [1], использование собственной
частоты в качестве вибродиагностического параметра повреждения требует
трудоемкой процедуры паспортизации исходных значений частот диагности
руемого объекта в воспроизводимых условиях его закрепления.
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 1 55
В. В. Матвеев, О. Е. Богинич
Ат,
/?т.з
0,032
0,024
0,016
0,008
0,20
0,16
0,12
0,08
0,04
0 0,1 _ 0,2 У
б
Рис. 4. Зависимости относительного изменения собственных частот колебаний /3т (сплош
ные линии) и /3 т з (штриховые линии) квадратной пластины при ^Ь = 0,1 от относительной
глубины у = И/1 одинаковых трещин, расположенных в сечениях с наибольшим значением
максимальных напряжений изгиба, при разных формах колебаний (т = 1, ..., 4): а - шарнирно
опертая по контуру (штрихпунктирные линии - значения /3 т, штрихпунктирные с двумя
точками - 3 т з для случая наличия одной трещины); б - шарнирно опертая по двум краям.
При этом собственная частота колебаний пластины является наименее
чувствительной к наличию закрывающихся трещин. Однако закрывающаяся
трещина обусловливает нелинейность колебательной системы, и в этом
о 0,1 0,2 Г
а
56 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 1
Вибродиагностические параметры усталостного повреждения
случае весьма высокую чувствительность к повреждению проявляет харак
терный параметр нарушения моногармоничности колебательного процесса
при супергармоническом резонансе, определяемый формулой (41). В качест
ве иллюстрации возможной зависимости этого параметра, т.е. относитель
ной амплитуды второй гармоники при супергармоническом резонансе 2-го
порядка, от относительной глубины односторонней трещины на рис. 5 для
квадратной пластины, шарнирно опертой по контуру, при разных формах и
значениях логарифмического декремента колебаний приведены указанные
зависимости (сплошные линии) для случая расположения трещины в одном
из сечений с наибольшим значением максимального напряжения изгиба. Для
сопоставления там же представлены зависимости относительного изменения
собственной частоты колебаний пластины 3 тз от у (штриховые линии).
Как видно, в области рассматриваемых значений относительной глубины
трещины (у < 0,3) чувствительность параметра ^ 2/^1 ш один-два порядка
превышает чувствительность собственной частоты.
А
0,6
0,4
0,2
(У = 0,02
- // ! т II К)
т = 3. і 2 Л і
/ / 8 = 0,1 /
/ 1
/ т = 3^ У
/ / / ^ / / / "■ У / / /
і ..
0,06
0,04
0,02
0 0,1 0,2 Г
Рис. 5. Зависимости относительной амплитуды второй гармоники А1 для случая супер-
гармонического резонанса 2-го порядка (сплошные линии) шарнирно опертой по контуру
прямоугольной пластины при = 0,1, д = 0,02 и 0,1, а также относительного изменения
собственной частоты колебаний пластины 3 т з (штриховые линии) от относительной глу
бины у = закрывающейся трещины, расположенной в одном из сечений с наибольшим
значением максимального напряжения изгиба, при разных формах колебаний, т = 1, 2, 3.
Однако при наличии нескольких закрывающихся трещин, расположение
которых при исследуемой форме колебаний обусловливает равенство значе
ний характеристики к на полуциклах разного знака (к (+) = к (_) = к) и,
следовательно, нулевое значение характеристики (42), упругая пластина
ведет себя как линейная система, т.е. супергармонический резонанс не
возбуждается и искажение моногармоничности вынужденных колебаний
отсутствует (А 2 І А 1 = 0). Для данного расположения незакрывающихся одно-
1 + 2( і _ 1)
сторонних трещин (хт і = ------------- Ь, і = 1, 2, 3 ,.. . , N = т) условие к (+) =
, 2т
= к (_) имеет место при четных формах (т = 2, 4,...) колебаний пластины.
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 1 57
В. В. Матвеев, О. Е. Богинич
В этом случае наряду с собственнои частотои колебании чувствитель-
нои характеристикои повреждения может быть обусловленное изменением
жесткости пластины относительное изменение характеристики демпфиро
вания колебании. Наиболее удобнои характеристикои демпфирования явля
ется логарифмическии декремент колебании д, методы определения кото
рого как при свободных, так и резонансных колебаниях упругих систем
хорошо известны [4].
Исходя из энергетического определения декремента колебании пласти
ны при заданном уровне амплитуды максимального номинального напря
жения изгиба о т х как отношения рассеяннои за цикл колебании энергии в
системе АЖ(о тах) к удвоенному амплитудному значению потенциальное
V Т Г ( \ ̂ АЖ (о тах)энергии ее деформации П (о т х ), т.е. д (о т х ) = ----- ---------, с использовани-
2П ( о тах )
ем соотношения П т ( о тах) = (1 + к )П 0( о тах) (см. (7), (8) [1]) наедем сле
дующие выражения для декрементов колебании неповрежденнои пластины
(д 0 ) и пластины с трещинами (д т ) при одинаковом уровне амплитуды
номинального максимального напряжения о тах:
АЖ0 АЖ0 + АЖт АЖ0 + АЖт
д 0 = ^ ^ ; д т =2По т 2П т 2(1+ к )П 0 ’
где АЖ0 - рассеяние энергии колебании вне трещины; АЖт - рассеяние
энергии, обусловленное наличием трещины.
Тогда относительное изменение декремента колебании пластины при
наличии трещины будет
АЖт
- д т - д 0 АЖ0 ~ К
д = ^ д т ° = т + г - . (43)
Если рассеянием энергии, обусловленным трещинои, по сравнению с
рассеянием энергии вне ее можно пренебречь, то получим
1д1 = 1 + - <44)
Как видно, наличие трещины обусловливает относительное уменьше
ние декремента колебании пластины, превышающее относительное умень
шение собственнои частоты колебании, определяемое формулои (39) для 0 т ,
примерно в 1,9 раза при к < 0,3. Однако, в отличие от параметра искажения
моногармоничности колебании (А2/А1), практическое использование пара
метра д, как и определение собственнои частоты колебании, требует обеспе
чения идентичных условии виброиспытании пластины в исходном состоя
нии и при наличии трещин.
58 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, N 1
Вибродиагностические параметры усталостного повреждения
Заключение. С использованием изложенной ранее авторами методики
получены приближенные аналитические выражения для определения отно
сительной энергетической характеристики повреждения к прямоугольной
пластины, обусловленного наличием прямолинейных поверхностных тре
щин постоянной глубины, при различном их расположении и разных усло
виях закрепления и формах колебаний пластины. Приведены расчетные
зависимости указанного параметра от относительной глубины закрыва
ющихся трещин для шарнирно опертой по контуру и шарнирно опертой по
двум краям пластины. С помощью полученных зависимостей для квад
ратной пластины рассчитаны вибродиагностические параметры поврежде
ния и приведены зависимости относительного изменения собственной час
тоты и относительной амплитуды второй гармоники при супергармони-
ческом резонансе 2-го порядка от относительной глубины трещин. Пока
зано, что в рассмотренном диапазоне изменения относительной глубины
трещины 0 < у < 0,3 значение параметра искажения моногармоничности
колебаний на один-два порядка превышает величину относительного изме
нения собственной частоты колебаний пластины.
Р е з ю м е
Розглянуто результати аналітичного визначення вібродіагностичних пара
метрів пошкодження прямокутної пластини у вигляді прямолінійних тріщин
нормального відриву постійної глибини за різних умов закріплення та форм
коливань однорідної пластини постійної товщини. Показано, що в діапазоні
зміни відносної глибини тріщини до 0,3 параметр спотворення моногар-
монічності коливань при супергармонічному резонансі 2-го порядку пере
вищує величину відносної зміни власної частоти коливань пластини на
один-два порядка.
1. Матвеев В. В., Богинич О. Е. Вибродиагностические параметры уста
лостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщ. 1. Методика
определения параметров повреждения // Пробл. прочности. - 2004. -
№ 6. - С. 5 - 16.
2. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: В 2 т. Т. 1 /
Под ред. Ю. Мураками. - М.: Мир, 1990. - 448 с.
3. Вайншток В. А. Инженерный метод расчета коэффициентов интенсив
ности напряжений для трещин в статически неопределимых системах //
Пробл. прочности. - 1987. - № 6. - С. 46 - 49.
4. Матвеев В. В. Демпфирование колебаний деформируемых тел. - Киев:
Наук. думка, 1985. - 264 с.
Поступила 11. 03. 2004
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 1 59
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47320 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T09:58:58Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Матвеев, В.В. Богинич, О.Е. 2013-07-11T17:48:05Z 2013-07-11T17:48:05Z 2005 Вибродиагностические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины постоянной глубины / В.В. Матвеев, О.Е. Богинич // Проблемы прочности. — 2005. — № 1. — С. 43-59. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47320 620.178.5:620.179 Рассматриваются результаты аналитического определения вибродиагностических параметров усталостного повреждения прямоугольной пластины типа прямолинейных трещин нормального отрыва постоянной глубины при различных условиях закрепления и формах колебаний однородной пластины постоянной толщины. Показано, что в диапазоне изменения относительной глубины трещины до 0,3 параметр искажения моногармоничности колебаний при супергармоническом резонансе второго порядка превышает величину отно сительного изменения собственной частоты колебаний пластины на 1-2 порядка. Розглянуто результати аналітичного визначення вібродіагностичних параметрів пошкодження прямокутної пластини у вигляді прямолінійних тріщин нормального відриву постійної глибини за різних умов закріплення та форм коливань однорідної пластини постійної товщини. Показано, що в діапазоні зміни відносної глибини тріщини до 0,3 параметр спотворення моногармонічності коливань при супергармонічному резонансі 2-го порядку перевищує величину відносної зміни власної частоти коливань пластини на один-два порядка. We discuss the results of analytical determination of vibrodiagnostic parameters of rectilinear plate fatigue damage like Mode I line cracks of constant depth, assessed for various edge grip conditions and oscillation forms of a uniform plate of constant thickness. It is shown that within the variation range of relative crack depth up to 0.3, the parameter of distortion of the oscillation monoharmonicity corresponding to the superharmonic 2nd-order resonance exceeds the value of relative variation of the plate’s natural oscillation frequency by 1-2 or ders of magnitude. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Вибродиагностические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины постоянной глубины Vibrodiagnostic parameters of fatigue damage of rectangular plates. Part 2. Line cracks of constant depth Article published earlier |
| spellingShingle | Вибродиагностические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины постоянной глубины Матвеев, В.В. Богинич, О.Е. Научно-технический раздел |
| title | Вибродиагностические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины постоянной глубины |
| title_alt | Vibrodiagnostic parameters of fatigue damage of rectangular plates. Part 2. Line cracks of constant depth |
| title_full | Вибродиагностические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины постоянной глубины |
| title_fullStr | Вибродиагностические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины постоянной глубины |
| title_full_unstemmed | Вибродиагностические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины постоянной глубины |
| title_short | Вибродиагностические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. Сообщение 2. Прямолинейные трещины постоянной глубины |
| title_sort | вибродиагностические параметры усталостного повреждения прямоугольных пластин. сообщение 2. прямолинейные трещины постоянной глубины |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47320 |
| work_keys_str_mv | AT matveevvv vibrodiagnostičeskieparametryustalostnogopovreždeniâprâmougolʹnyhplastinsoobŝenie2prâmolineinyetreŝinypostoânnoiglubiny AT boginičoe vibrodiagnostičeskieparametryustalostnogopovreždeniâprâmougolʹnyhplastinsoobŝenie2prâmolineinyetreŝinypostoânnoiglubiny AT matveevvv vibrodiagnosticparametersoffatiguedamageofrectangularplatespart2linecracksofconstantdepth AT boginičoe vibrodiagnosticparametersoffatiguedamageofrectangularplatespart2linecracksofconstantdepth |