Устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа трещин и включений
Для описания устойчивого и неустойчивого деформирования материала, содержащего дефекты, предложен метод расчета предельного состояния твердых тел, базирующийся на известных соотношениях упругости. В основу метода положена оценка распределения величины жесткости по объему тела. Предельное состояние с...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2005
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47344 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа трещин и включений / В.Г. Барило // Проблемы прочности. — 2005. — № 1. — С. 118-135. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860123785309454336 |
|---|---|
| author | Барило, В.Г. |
| author_facet | Барило, В.Г. |
| citation_txt | Устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа трещин и включений / В.Г. Барило // Проблемы прочности. — 2005. — № 1. — С. 118-135. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Для описания устойчивого и неустойчивого деформирования материала, содержащего дефекты, предложен метод расчета предельного состояния твердых тел, базирующийся на известных соотношениях упругости. В основу метода положена оценка распределения величины жесткости по объему тела. Предельное состояние связано с достижением отрицательных значений суммарной жесткости тела и нагружающей системы. Показано, что увеличение размеров поврежденной области, которые значительно меньше размеров детали, при определенной жесткости приводит к потере устойчивости и несущей способности всей детали. Представлены расчеты жесткости тел в форме шара, цилиндра и пластины с включениями, а также пластины с трещиной.
До опису умов стійкого і нестійкого деформування матеріалу за наявності дефектів запропоновано метод розрахунку граничного стану твердих тіл, що базується на відомих співвідношеннях пружності. В основу методу покладено визначення розподілу параметра жорсткості по об’єму деталі. Умова граничного стану тіла пов’язана з отриманням від’ємних значень сумарної жорсткості тіла і навантажувальної системи. Показано, що за певної жорсткості пошкодженої області зі збільшенням її розмірів, що значно менші за розміри деталі, відбувається втрата стійкості і несучої здатності всієї деталі. Наведено розрахунки жорсткості тіл у формі кулі, циліндра і пластини з включеннями, а також пластини з тріщиною.
In order to describe stable and unstable deformation of material containing defects, we propose a method for calculation of the limiting state of solid bodies based on the known relations of the elastic theory. The method is based on estimation of the stiffness value distribution within the solid body volume. The limiting state of the body is related to the attainment of negative values by the total stiffness of the solid body and the loading system. It is shown that increase in the dimensions of the damaged region, which are much smaller than those of the solid body, results in the loss of stability and bearing capacity of the latter. We provide stiffness calculations for solid bodies in the shape of a sphere, a cylinder, and a plate with inclusions, as well as plate with a crack.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:40:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа
трещин и включений
В. Г. Барило
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Для описания устойчивого и неустойчивого деформирования материала, содержащего
дефекты, предложен метод расчета предельного состояния твердых тел, базирующийся на
известных соотношениях упругости. В основу метода положена оценка распределения
величины жесткости по объему тела. Предельное состояние связано с достижением
отрицательных значений суммарной жесткости тела и нагружающей системы. Показано,
что увеличение размеров поврежденной области, которые значительно меньше размеров
детали, при определенной жесткости приводит к потере устойчивости и несущей способ
ности всей детали. Представлены расчеты жесткости тел в форме шара, цилиндра и плас
тины с включениями, а также пластины с трещиной.
Ключевые слова : устойчивость, жесткость, равновесие, деформирование,
материал, среда, шар, цилиндр, пластина, трещина.
Введение. Известно, что детали машин, например лопатки газовых
турбин, валки прокатных станов, поршни двигателей внутреннего сгорания,
подвергаются воздействию силовых, тепловых, химических и многих дру
гих факторов. При этом они деформируются, в них происходят химические
реакции, фазовые превращения и прочие изменения, которые при опреде
ленных условиях приводят к потере несущей способности. Потеря несущей
способности детали обусловлена только уменьшением ее жесткости. Тем не
менее расчет изменения жесткости в процессе деформирования далеко не
всегда анализируют, граничные условия по жесткости задают упрощенно.
Учитывают лишь влияние неупругости на усилие сопротивления, но не на
жесткость. Последовательный расчет и анализ состояния жесткости и лишь
затем напряженного состояния с учетом изменений первого позволяют при
близиться к реальной несущей способности детали, разрушающейся в про
цессе деформирования. При мягкой нагружающей системе потеря несущей
способности происходит по достижении нулевых значений жесткости дета
ли, что соответствует ее максимальному усилию сопротивления, в то время
как при жесткой нагружающей системе несущая способность сохраняется
при более низких (отрицательных) значениях жесткости. Под жесткостью
элемента обычно понимают отношение между приложенной к элементу
силой и его перемещением, что создает сопротивление, уравновешивающее
приложенную силу в новом положении равновесия. До приложения силы
деталь обычно находится в положении равновесия и покоя. Приложение
силы изменяет положение равновесия, деталь начинает деформироваться, а
точка приложения силы - перемещаться. Увеличение перемещения вызывает
появление и рост силы реакции детали. Если направления реакции и при
ложенной силы противоположны, точка приложения самопроизвольно пере
местится в новое устойчивое положение равновесия. Жесткость устойчивых
элементов принята положительной, так как направления приложенной силы
© В. Г. БАРИЛО, 2005
118 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 1
Устойчивость деформирования твердых тел
и перемещения совпадают. Жесткость неустойчивых элементов соответст
венно будет отрицательной. Однако приложение силы к элементу с отрица
тельной жесткостью вызовет реакцию, направленную в сторону, противо
положную новому положению равновесия. Поэтому самопроизвольно эле
мент не придет в положение равновесия. Но если его переместить в поло
жение будущего равновесия предварительно, а затем приложить силу, то
реакция ее уравновесит. При нулевой и отрицательной жесткости нагружа
ющей системы новое положение равновесия останется неустойчивым. При
положительной жесткости системы новое положение равновесия становит
ся устойчивым, если суммарная жесткость системы и элемента больше
нуля.
Достаточно большая положительная жесткость нагружающей системы
позволяет получить полные диаграммы деформирования образцов матери
алов, включая область отрицательных значений их жесткости [1]. При
мягкой нагружающей системе деталь потеряет устойчивость по достижении
максимальной несущей способности, т.е. нулевой жесткости. В случае отри
цательной жесткости нагружающей системы деталь потеряет устойчивость
и несущую способность при положительной жесткости, т.е. до момента,
когда сила сопротивления достигает максимума. Если отрицательная жест
кость нагружающей системы по абсолютной величине будет больше поло
жительной жесткости детали, то деформирование последней изначально
будет неустойчивым.
При снижении жесткости нагружающей системы по мере увеличения
нагрузки деталь может терять устойчивость без изменения своей жесткости.
Например, сжатие или кручение длинных стержней малого сечения, сжатие
или изгиб тонких пластин [2], деформирование (сжатие) элементов вдоль
трещин, растяжение тонких пластин с трещинами или вырезами [3]. В
настоящей работе рассматриваются случаи потери устойчивости в резуль
тате снижения жесткости самой детали вследствие увеличения размеров
поврежденных областей с пониженной жесткостью по мере роста нагрузки.
Устойчивость деформирования материала, как показано в работах [4, 5],
также определяется знаком его жесткости, а именно: “условием устойчи
вости деформирования материала является положительный знак его модуля
упругости”. Если рассматривать ограниченный объем материала, то устой
чивость его деформирования будет зависеть от жесткости окружающей
среды. Для оценки устойчивости материала в однородном одноосном напря
женном состоянии при механическом взаимодействии с окружающей средой
ненулевой жесткости предложен параметр, сравнение которого с модулем
упругости материала характеризует эквивалентную жесткость или податли
вость системы элемент - окружающая среда, а следовательно, и устойчи
вость этой системы [6].
Поскольку деформации, напряжения и энергия зависят от жесткости
материала, кроме прямой оценки устойчивости с помощью последней
успешно применяются косвенные методы, использующие деформационные,
силовые и энергетические критерии. Например, в работе [7] приведен крите
рий устойчивости сжимаемых тел в виде разложенного в ряд положитель
ного изменения упругого потенциала в зависимости от деформации. Равен
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 1 119
В. Г. Бар-ило
ство нулю коэффициента при первой производной фактически означает
положительное значение второй производной энергии деформирования, а
следовательно, и положительное значение жесткости рассматриваемых сжи
маемых тел.
В настоящее время известны подходы к оценке устойчивости дефор
мирования материала путем сопоставления упругой и поверхностной энер
гии при росте трещины, а также экспериментального определения несущей
способности и устойчивости деформирования тел с помощью коэффициента
К 1с, /-интеграла или величины раскрытия берегов трещины [8]. Развиваются
исследования по оценке трещиностойкости материала с использованием пол
ных диаграмм деформирования [1]. В [9] предложен критерий устойчивости,
основанный на допущении потери материалом устойчивости упругопласти
ческого деформирования, происходящей при превышении хотя бы одним
компонентом тензора напряжений нагружающей системы соответствующего
компонента тензора напряжений сопротивления материала.
П остановка задачи. В общем случае величину несущей способности
детали получают из известных диаграмм деформирования детали и нагру
жающей системы. Вид диаграммы деформирования зависит от свойств
материала, формы и размеров детали. Наибольшее влияние на диаграмму
деформирования обычно оказывает один из концентраторов напряжений,
например наибольшая трещина.
Вблизи концентраторов напряжений имеют место значительные дефор
мации и высокая жесткость нагружающей системы. Нагружающей системой
в нашем случае является часть конструкции, за исключением малой области
вблизи концентратора, где отрицательная жесткость возникает тогда, когда
жесткость всей детали еще практически не изменяется, т.е. при нагрузках,
существенно меньших максимальной несущей способности детали. С рос
том нагрузки размеры поврежденной области увеличиваются, что приводит
к изменению жесткости детали. Однако изменение жесткости нагружающей
системы всей детали не всегда заметно влияет на жесткость нагружающей
системы поврежденной области. В данной работе несущую способность
рассчитывают из распределения жесткости по объему детали при заданных
граничных условиях. Жесткость детали определяют, задавая граничные усло
вия на границе с поврежденной областью, в то время как для определения
жесткости нагружающей системы поврежденной области - в местах при
ложения нагрузки и контакта детали с другими элементами. Размеры детали
и жесткость нагружающей системы полагают известными. Размеры повреж
денной области определяются из условия отсутствия неупругих деформаций
за ее пределами. Процесс деформирования поврежденной области оцени
вают путем решения обратной задачи при известной диаграмме деформи
рования и размерах стандартных образцов с известным концентратором
напряжений. Предлагаемый метод позволяет заменить экспериментальное
определение несущей способности деталей расчетом функции жесткости
детали от нагрузки с учетом жесткости нагружающей системы. В результате
этого уменьшается объем экспериментов. Для расчета распределения жест
кости по объему детали используют отношения напряжений к относитель
ным перемещениям.
120 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 1
Устойчивость деформирования твердых тел ...
Рассмотрим наиболее простой случай. Растягивается идеально упругий
стержень постоянного сечения неограниченной длины. Напряжения равны
отношению силы к сечению стержня. Перемещения одной точки могут
произойти только относительно другой точки, которую принимаем за начало
координат. Относительные перемещения равны отношению перемещения к
расстоянию от рассматриваемой точки до начала координат. Распределение
жесткости по объему такого стержня будет однородным. Если стержень
имеет повреждение в виде трещины, распределение жесткости в нем будет
неоднородным. Это подтверждается известным аналитическим решением
распределения напряжений и перемещений у вершины трещины для идеаль
но упругого тела. В плоскости трещины распределение жесткости имеет вид
ступенчатой функции: над трещиной жесткость равна нулю, в остальной
части стержня в той же плоскости она отличается от нуля, но не изменяется
по его сечению. С удалением от плоскости трещины функция сглаживается
и становится однородной на бесконечности.
Рассмотрим распределение жесткости в наиболее простом теле - шаре,
имеющем в центре включение с отличными от материала шара упругими
свойствами.
Устойчивость деформирования ш ара при осесимметричном нагру
жении. Устойчивость простых тел исследовалась во многих работах, напри
мер в [2, 7]. Однако в них потерю устойчивости связывали с изменением
формы тел (отклонением от осесимметричности или прямолинейности). В
настоящей работе рассматриваются случаи потери устойчивости простых
идеально упругих тел без изменения их формы вследствие снижения жест
кости материала включения. Жесткость материала характеризуется законом
Гука [10]:
Е I л
О у — I £ у + £ ььО у
ч 1 + л \ У 1 - 2 л кк 1]
(1)
где О у - напряжения; £ у - деформации; Е - модуль упругости; л -
коэффициент Пуассона; £ ьь — £ 11 + £ 22 + £ зз ; О у - символ Кронекера ( I — 1,
2, 3; у — 1, 2, 3).
Учитывая, что в сферических координатах при осевой симметрии
£у (1 - О у ) — 0, £11 — £ г , £ 22 — £ 33 — £д, закон Гука можно записать в виде
Е Е
О г — :--------- ((1 —Л )£ г + 2Л£е X ° е —:----------------(£е + Л £ г ). (2)
1 —Л — 2л 1—л — 2 л
Подставив (2) в уравнение равновесия
О й (О гГ2) (3)
° ^ —^ ---- , (3)2гаг
с учетом соотношений между деформациями и перемещениями
аи и
£ г — Т г и £в = Г (4)
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 1 121
В. Г. Бар-ило
получим дифференциальное уравнение
ё 2 и 2 ёи 2и
Р " + ^ - Г2 = ° (5)
Решением этого уравнения является функция
1
и = А г + В — , (6)
г
где постоянные А и В определяются из граничных условий, причем А -
величина безразмерная, В - имеет размерность м 3.
Жесткость материала шара определим следующим образом:
о = (7)
Подставив в (7) уравнения (2), (4) и (6), получим распределение жест
кости по радиусу шара:
А Е ,г3 - В Е 2
0 = 1̂-------- " , (8)А г 3 + В
где Е 1 и Е 2 - коэффициенты упругости,
Е 2Е
Е> = -------- , Е 2 = --------.
1 - 2р 1 + р
Выражение (8) не изменится от деления числителя и знаменателя на
величину А или В, поэтому распределение жесткости О будет известно,
если из граничных условий определить одну постоянную, а именно: отно
шение постоянных А и В. Таким образом, распределение жесткости не
содержит дополнительной информации, необходимой для определения рас
пределений напряжений и перемещений, что упрощает расчет. Задав жест
кость материала шара, равной О°, на сфере радиуса Я определим отно
шение постоянных А и В:
В/А = Я 3(Е 1 - О ° ) /( Е 2 + О°).
На рис. 1 представлены зависимости жесткости материала шара О от
относительного радиуса г/Я при различной заданной жесткости О° на
сфере радиуса Я. Принимая модуль упругости Е = 1 и коэффициент Пуас
сона р = 0,3, получаем Е 1 = 2,5 и Е 2 = 1,5385. Если задать О ° = Е 1, то
жесткость материала О, как видно из рис. 1, не изменяется в диапазоне
г = Я...<я. Это означает, что жесткость материала включения и шара одина
122 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 1
Устойчивость деформирования твердых тел
кова, т.е. Е х соответствует жесткости однородного сплошного шара про
извольного радиуса.
В литературе величина Е 1 известна как объемный модуль упругости.
Однако объемным модулем упругости чаще называют величину Е^/Ъ. Если
на сфере радиуса Я задать бесконечно большую жесткость О0 = °°, то
жесткость материала с увеличением текущего радиуса в том же диапазоне
г = Я ...о уменьшается от о до Е ^ При О о = 0, т.е. при г < Я, шар
принимают за объект, выполненный из абсолютно мягкого материала, на
пример просто полый, жесткость О материала шара с увеличением радиуса
повышается от нуля до Е ^ Жесткость материала шара при положительных и
отрицательных значениях жесткости включения будет увеличиваться анало
гично, если Е! > О о > —Е 2. При О о < —Е 2 жесткость материала с увели
чением текущего радиуса г уменьшается до бесконечно больших абсо
лютных значений. Отрицательные значения О о свидетельствуют об умень
шении напряжений сопротивления с увеличением перемещения.
Рис. 1. Зависимость жесткости О материала шара от относительного радиуса г/Я.
Рассмотрим изменения жесткости материала в диапазоне г = 0 ...Я. При
г < Я отрицательная сила, направленная внутрь материала, имеет знак, про
тивоположный знаку силы, также направленной внутрь материала, но при
г > Я. Поэтому для оценки жесткости материала при г < Я фактически
используется другой параметр
г
-2
ВЕ 2 — А Е 1г 3
(9)и А г 3 + В
где В А = Я 3( Е 1 + О о )/( Е 2 — О о) - жесткость такой же сферы радиуса г,
но при действии давления на внутреннюю поверхность шара.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, N 1 123
В. Г. Бар-ило
Как видно из рис. 1, зависимость жесткости материала от радиуса при
г = 0 ...Я подобна такой же зависимости при г = Я ...^ , но в этом случае все
параметры имеют противоположное значение: нулю соответствует беско
нечность, вместо Е 1 используется — Е 2 , Е 2 аналогично — В диапазоне
варьирования О о = » . . .— Е 1 при г ^ 0 жесткость О материала шара стре
мится к Е 2. При О о = Е 2 жесткость О не зависит от радиуса, т.е. величина
Е 2 для полой сферы произвольного радиуса в неограниченном теле из
однородного материала аналогична объемному модулю упругости Е 1 для
однородного шара с бесконечно малым внутренним радиусом. При О о < —Е 1
жесткость О с уменьшением текущего радиуса г снижается до неогра
ниченно больших абсолютных отрицательных значений. Таким образом, при
°°> О о > —Е 2 с удалением от поверхности включения жесткость прибли
жается к объемному модулю материала шара. При О о < —Е 2 она будет
отрицательна при любых размерах шара. При о > О о > —Е 2, как следует из
рис. 1, жесткость определяется отношением г/Я. С увеличением размера
включения и уменьшением О о жесткость снижается до нулевых и отрица
тельных значений. Причем включение весьма малых размеров по мере
уменьшения О о до величины, близкой к Е 2, способно снизить жесткость и
вызвать потерю устойчивости шара сколь угодно больших размеров. Анало
гичные выводы можно сделать относительно жесткости полой сферы внутри
шара при заданных граничных условиях на его поверхности, поменяв места
ми Е 1 и Е 2 и заменив знак О в формуле (9) на противоположный.
Следовательно, жесткость нагружающей системы шара существенно влияет
на устойчивость включения только при значении О, близком к — Е 1.
Для расчета распределения жесткости в более сложных телах рассмот
рим способы задания граничных условий.
Расчет распределения жесткости по объему материала на основании
задания граничны х условий. Величина жесткости, задаваемая формулой
(9), может быть определена из граничных условий внутри материала как
О о при заданном Я, которые, в свою очередь, могут быть определены
другим способом. Например, используя напряжения:
К р (К Я —1)
О о = К рК Я — 1 К р — 1 ’ (1о)
Е 1 Е 2
где К р = а 1/ а 2; К я = Я1/ Я 2; а 1, а 2 - напряжения при Я1 и Я 2 соответ
ственно.
Для расчета распределения жесткости граничные условия удобнее зада
вать с учетом жесткости окружающей среды. Рассмотрим наиболее простой
случай. На рис. 2 представлен образец 1 длиной Ьм с постоянным попереч
ным сечением Е м и модулем упругости Е м. Образец в двух направлениях
окружен средой с нулевой жесткостью, в третьем направлении слева он
закреплен абсолютно жестко, справа - соединен со средой 2 в форме
стержня длиной Ьс с поперечным сечением Е с и модулем упругости Е с.
Среда 2 справа закреплена абсолютно жестко. Причиной деформирования
124 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 1
Устойчивость деформирования твердыгх тел
образца и среды является возмущающее изменение длины Д£0 образца или
среды вследствие химических, тепловых, электромагнитных или других
воздействий, а также их аддитивного влияния (для деформирования это
несущественно). Для описанной выше схемы закрепления сумма упругих
изменений длин образца материала ДТм, среды ДТС и возмущающего
изменения Д^о будет равна нулю. При положительных модулях материала
Е м и среды Е с и положительном Д^о образец материала и среда сжимают
друг друга силами Q м и Q с, пропорциональными соответственно жест
костям J м, J с и изменениям длин М м, ДТс. Причем в равновесном
состоянии существуют такие значения ДТм и ДТс, при которых указанные
силы, равные по величине и противоположные по направлению, уравно
вешивают друг друга, и это равновесие устойчиво. Силы пропорциональны
Д^о, а также эквивалентной жесткости ^ - 1 + J - 1) -1 последовательно
соединенных образца и среды.
Рис. 2. Схема закрепления образца материала 1 и среды 2.
Известно, что силу, направленную внутрь материала, принято считать
отрицательной. Таким образом, с учетом приведенных выше условий можно
записать
Q м = м ДТм; Q с = с ДТс = ~ '} с ( ДТ0 + ДТм);
1 1 1 (11)
Q м = - Q с = ( J м 1 + J c 1) 1 Д^0.
Напряжения, действующие в материале при его сжатии, также полагают
отрицательными, т.е. используют напряжения среды. Напряжения сжатого
материала противоположны по знаку напряжениям среды, и при положи
тельном модуле упругости Е м они стремятся вернуть материал в исходное
состояние.
В относительном виде выражение (11) можно представить так:
о м = Е м£; о с = - ° с( £ о + £); ° = ° с = - ° м = - 1 £ 0 1 , (12)
е м + оС
где £ 0 = ^ ~ , 0 с = ЕТ Т Еь м Тс Ем
Уравнения (12) являются наиболее общим граничным условием. В
частных случаях при Ос ^ 0, £0 ^ м , — О с(£0 + £) 0 или при Ос
£0 + £ ^ 0, - Ос(£0 + £) ^ и 0 Е м/ Тм граничные условия могут быть выра
жены напряжениями или перемещениями соответственно.
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 1 125
В. Г. Бар-ило
Устойчивость деформирования цилиндра при осесимметричном
нагружении. Состояние материала у вершины трещины ближе к состоянию
материала в цилиндре и пластине, чем в шаре. Таким образом в цилиндри
ческой системе координат решение задач упругости упрощается. Поэтому
представляется целесообразным рассмотреть распределение жесткости в
цилиндре и пластине. Цилиндр - более сложное тело по сравнению с шаром,
поскольку он взаимодействует с окружающей средой по цилиндрической и
плоской торцевой поверхностям.
В цилиндрических координатах при осевой симметрии £у (1— д у ) = 0,
£ 33 = £ 2 уравнения (2) будут иметь вид
Е
= -------------- 2 [(1 —^ )£ г + М £е + £ г )];1 — ц — 2ц
E
a e = :--------- г г [(1 —ц )£е + ц (£ г + £ z )]; (13)1 — ц — 2ц 2 v '
E
a z = - --------- — 2 [(1—Ц)£ z + Ц (£ г + £0 )].
1 — ц — 2ц 2
Наличие торцевой поверхности создает дополнительную неопределен
ность по оси z. Для ее устранения задаем граничные условия по оси z:
a z Gcz(£ 0z ^ £ z ),
где Gcz - жесткость среды, отнесенная к размерам цилиндра; £ 0 z - актив
ная деформация среды по оси z. Тогда выражение для £ z с учетом
граничных условий запишем так:
_ ч____________ц____________ £0zG cz(1 — ц — 2ц )
£ z = \ £ Г ̂ £ ft / О л •
1 —ц + (1 —ц — 2ц 2) G cz/E E(1 — ц ) + G cz (1 —ц — 2ц 2)
(14)
Подставив выражение (14) в (13), получим уравнения уже без выраже
ния для a z, но с учетом граничных условий. Если среда по оси z деформи
руется пассивно, £ оz = 0. Примем также, что жесткость среды не зависит от
радиуса, т.е. G cz = const. Тогда с учетом уравнения равновесия, которое для
цилиндра имеет вид
a 0 = d (a rr ) / Г dr ,
получим решение, аналогичное решению для шара. Уравнения (5), (6) и (8)
можно записать в общем для цилиндра и шара виде:
d 2 u n — 1 du n — 1 1 A E 1r n — B E 2
— ;r + ---------— —— u = 0, u = A r + B -----т , G = -------------------, (15)
d r2 r dr r 2 r n—11 A r n + B
126 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 1
Устойчивость деформирования твердых тел
где п = 3 для шара и п = 2 для цилиндра. Величины Е 1 и Е 2 для шара
вычисляются по формулам (8), для цилиндра -
Е 1 =
Е I
1 — ц — 2ц '
2ц ‘
1 —ц + (1 —ц — 2ц ) с сг!Е !
Е 2 =
(п — 1)Е
1 + ц (16)
В частности, при в С2 = 0 получим Е\
Е
1 — ц
, при в с2 = » ,
Е 1 =
Е
21 — ц — 2 ц 2
Зависимость коэффициента Е 1 от жесткости в С2 среды представлена
на рис. 3. Значения в С2 = 1...1000 представлены в логарифмической форме.
Как видно, при изменении жесткости среды от 0 до о величина Е 1 воз
растает незначительно, от 0 до — 1 она уменьшается до нуля и при в С2 < — 1
быстро достигает больших отрицательных значений, что указывает на сни
жение устойчивости деформирования материала цилиндра. Следует отме
тить, что снижение жесткости и устойчивости цилиндра с уменьшением
жесткости среды, контактирующей с торцевой поверхностью, соответствует
снижению трещиностойкости с уменьшением толщины пластины с тре
щиной.
Рис. 3. Зависимость коэффициента Е от жесткости СС2 среды на торцевой поверхности
цилиндра.
Устойчивость деформирования пластины при однородном по
поверхности нагружении. Для определения жесткости материала пластины
по оси х необходимо задать жесткости среды по осям у и 2:
О у = —в су ( £ 0 у + £ у ); О 2 = —в С2 (е 0 2 + £ 2 ) . (17)
Уравнение (1) для пластины с учетом граничных условий (17) имеет
О х = (2^ + Я + Я у + Я 2 )е х + Я 0 у + Я 0 2,
ц Е
вид
где
Е
Я =
2(1+ ц У 1—ц — 2ц ‘
155^ 0556-171Х. Проблемыы прочности, 2005, N 1 127
1
В. Г. Бар-ило
* у = в Су + 2у ’
2v + X + в Су + X — —
Су в С2 + 2г
, в Сг + 2г
2v + X + в С2 + X-
Х 0 у Х у
в Су £ 0 у в сг £ 0 г в Су £ 0 у
Х 0 г _ Х г
в с2 + 2У X
в сг £ 0 г — в су£ 0 у в сг £ 0 2
Приняв, что среда пассивна, т.е. £ 0у = 0, £ 0г = 0, и распределение ее
жесткости в Су, в Сг равномерно по толщине, с учетом уравнения равно
весия doх /йх = 0 получим также уравнения для пластины в виде (15), но
при п = 1 и г = х . Для пластины коэффициент Е 1 = 2v + X + X у + X г .
Зависимость коэффициента Е 1 от в Су и в Сг иллюстрирует рис. 4. При
в Су = в С2 = 0 получим Е 1 = Е, при в Су = в Сг = ю - Е 1 = 2v + X, при в Су =
= -2 v в диапазоне изменения в Сг = -2 v ...ю - Е 1 = 2у. Для пластины
коэффициент Е 2 равен нулю при п = 1, для цилиндра Е 2 = 2 V при п = 2 и
для шара Е 2 = 4 V при п = 3. Во всех трех случаях коэффициент Е 1 соответ
ствует отношению внешнего давления или напряжения к относительному
изменению произвольного радиуса шара, цилиндра или половины толщины
пластины, Е 2 - отношению внутреннего давления или напряжения к относи
тельному изменению произвольного размера полости в бесконечном теле
(радиуса для сферы или цилиндра и половины толщины полости для плас
тины).
Рис. 4. Зависимость коэффициента Е пластины в направлении оси х от жесткости в Су,
среды в направлении осей у и г.
в С
2 2
128 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 1
Устойчивость деформирования твердых тел
На рис. 5 представлена общая для шара, цилиндра и пластины зависи
мость жесткости от расстояния до поверхности, на которой заданы гранич
ные условия с соответствующими для каждого тела значениями п, Е 1 и Е 2.
Величины внутренней (при г < К) и внешней (при г > К) жесткости раз
личаются по знаку, физическому смыслу и определяются по разным форму
лам, например (8) и (9). Тем не менее расчет этих параметров можно
выполнить по одной формуле, например (15), а различие в знаке учесть
выбором оси 0 _ , значения на которой увеличиваются сверху вниз при г < К,
в то время как значения на оси 0 + - снизу вверх при г > К.
10'2 10 '1 10° ю 1 п®и л = 2
Ю"1 10° г т л п = ъ
Рис. 5. Зависимость жесткости О материала пластины, цилиндра, шара от относительного
радиуса г/Л.
Устойчивость деформирования материала при касательных и нормаль
ных напряжениях аналогична. Однако у изотропных материалов при сдвиге
отсутствует взаимодействие между компонентами тензоров деформаций и
напряжений в разных направлениях, т.е. недиагональные компоненты тен
зора коэффициентов жесткости равны нулю. Таким образом, коэффициент
Е і не зависит от жесткости среды в направлении осей у и 2, для всех
рассматриваемых тел он одинаков и равен Е х = V. Коэффициент V известен
как модуль сдвига. Соответственно коэффициент Е 2 при сдвиге одинаков
для всех трех тел и равен нулю. Это означает, что при касательных пере
мещениях полости произвольного размера всех трех форм в бесконечном
теле имеют нулевую жесткость, при нормальных перемещениях - только
полость в виде бесконечной пластины произвольной толщины.
Устойчивость деформирования пластины с трещиной. Аналитичес
кий расчет напряженно-деформированного состояния материала у вершины
трещины достаточно сложен. Существующие расчеты деформаций и напря
жений методом конечных элементов не предполагают учета и получения
величины жесткости материала и учета отрицательных значений его модуля
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 1 129
В. Г. Барило
упругости. Поэтому производилась приближенная оценка жесткости у вер
шины трещины косвенным методом. Вначале рассчитывали напряженно-
деформированное состояние материала пластины с трещиной путем реше
ния двухмерной упругой задачи. Толщина пластины предполагалась бес
конечной со свободными торцами. Высота ее принята о,о4 м, ширина -
о,о1 м, длина трещины - о,оо5 м. Модуль упругости равен 1 ГПа, коэф
фициент Пуассона - о,3. Пластина растягивалась приложением нагрузки,
создающей напряжение на торцевой поверхности в 6 МПа при нулевой
жесткости среды, т.е. на расстоянии о,о2 м от плоскости трещины напря
жения при деформировании не изменяются. На прочих поверхностях плас
тины жесткость среды и напряжения равны нулю.
На рис. 6 ввиду симметричного расположения трещины на испытуемой
пластине представлена половина ее сечения. Сечение разбито на три облас
ти, 443 элемента и 239 узлов. Две области, расположенные у вершины тре
щины, имеют равномерную сетку. Область а размером о,ооо5 X о,ооо5 м
расположена непосредственно над трещиной слева от ее вершины, область б
размером о,оо1 хо,ооо5 м - справа от вершины трещины. Область б и часть
области в вправо от вершины трещины фиксированы в направлении оси у с
возможностью свободного перемещения в направлении оси х, таким обра
зом эти участки образуют единое целое с нижней половиной пластины.
Область а и часть области в влево от вершины трещины свободны и явля
ются берегами трещины. Вершина трещины (узел 213) закреплена по обеим
осям х и у. Растягивающие усилия приложены к узлам 17 и 32 по оси у.
Полная кривая деформирования материала представлена упрощенно
(рис. 6). В работе [1] на рис. 2 и 3 приведены реальные полные диаграммы
деформирования цилиндрических и плоских образцов из стали КПбо при
различной жесткости концентратора. Видно, что с увеличением жесткости
концентратора площадка текучести уменьшается, а предел прочности повы
шается, т.е. форма диаграммы деформирования упрощается и приближается
к выбранной.
Таким образом, из рис. 6 следует, что до деформаций £ < Ю —4 жест
кость материала принята положительной и постоянной, по достижении зна
чений £ > Ю —4 она отрицательна и также постоянна. При выбранных усло
виях нагружения напряжения а в узле 213 достигают примерно 1оо МПа,
деформации £ = Ю—4. Коэффициент интенсивности напряжений К 1 =
= а (х )4х ~ о,75 МПа • м 12. Расчет жесткости, включая область ее отрица
тельных значений, осуществлялся путем приложения сил к узлам 181 и 199,
находящимся у вершины трещины. Вначале величину силы выбирали так,
чтобы перемещения указанных узлов в направлении оси у были близки к
нулю. В результате приложения силы трещина стала короче на о,ооо1 м, и ее
вершиной стал не 213 узел, а 181. Предполагалось, что деформации в узлах
181 и 199 больше тех, при которых достигаются максимальные напряжения
на полной диаграмме деформирования материала: £ > Ю —4. Такое напря
женно-деформированное состояние материала пластины с трещиной прини
мали за исходное. Затем осуществлялся ряд расчетов при £ > Ю —4, увели
ченной на 1% нагрузке и различных значениях модуля упругости. Первые
130 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 1
Устойчивость деформирования твердых тел
расчеты также проводили путем решения двухмерной упругой задачи, т.е.
силы, приложенные к узлам 181 и 199, увеличивали так, чтобы перемещения
этих узлов в направлении оси у были близки к нулю. С использованием
приращения напряжений и перемещений в результате повышения нагрузки
получаем распределение жесткости у вершины трещины (рис. 7). Жесткость
рассчитывали по формуле
Ао
О = А и у ,
где Да, Ди - изменение напряжений и перемещений по сравнению с
исходным состоянием; расстояние от плоскости трещины откладывают по
оси у , когда вершину трещины принимают за начало координат.
Рис. 6. Схема разбиения сечения пластины с трещиной на области и конечные элементы и
упрощенная диаграмма деформирования материала.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 1 131
В. Г. Барило
Рис. 7. Распределение жесткости О по сечению пластины у вершины трещины при различ
ных значениях модуля упругости Е0 и деформациях е> 10 4.
Теоретически при у = 0, Е о = Е зависимость между жесткостью О и
расстоянием от вершины трещины по оси х имеет ступенчатый характер.
При х < 0 получим О = 0, так как берега трещины способны свободно пере
мещаться, при х > 0 - О = Е 1 = (1,7...2,0)Е, поскольку в этой области мате
риал не содержит трещин. С увеличением расстояния у зависимость О(х )
становится более плавной, и погрешность расчета уменьшается. На рис. 7
приведена зависимость О(х ) для пяти значений у и для Е 0 = Е, получен
ная путем асимптотического аналитического расчета распределения напряже
ний и перемещений у вершины трещины [8]. Для прочих значений Е 0 < Е
расчеты выполняли только методом конечных элементов.
Величина Е 1 для шара равна 2,5Е (рис. 1), для цилиндра - 1,67Е при
ОС2 = 0 (рис. 3), для пластины - Е при ОС2 = 0 и Осу = 0 (рис. 4), для
пластины с трещиной - (1,7...2,0)Е (рис. 7). Таким образом, условия дефор
мирования материала вблизи вершины трещины ближе к условиям цилинд
ра, чем пластины или шара.
132 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 1
Устойчивость деформирования твердых тел
Затем выполняли расчет без изменения сил, приложенных к узлам 181 и
199, что моделировало нулевую величину жесткости материала (G = 0) при
£ > 10 между этими узлами в направлении оси у. Как видно, область этих
значений сместилась внутрь материала при незначительном изменении на
пряжений (примерно 1% на поверхности пластины и в вершине трещины).
На следующем этапе проводили расчеты с прогрессирующим умень
шением сил, приложенных к узлам 181 и 199, при увеличении растяги
вающих напряжений на внешней поверхности пластины на 1%, что модели
ровало отрицательные значения жесткости материала G < 0 при £ > 1 0 —4
между этими узлами. Для упрощения на рис. 7 зависимость G(x ) при
x > 2-10-4 м представлена только для значений E 0 = E и E 0 = —0,3E.
Видно, что уменьшение E 0 до отрицательных значений приводит к появле
нию области отрицательных значений G у вершины трещины, размеры
которой увеличиваются с дальнейшим уменьшением E 0. Как и в случае тел
простой формы, размеры области отрицательных значений G будут расти с
увеличением размеров области, в которой £ > 10 4, т.е. с увеличением коэф
фициента интенсивности напряжений K 1. При нулевой жесткости среды,
т.е. при мягком режиме нагружения, материал пластины потеряет устой
чивость деформирования как только область отрицательных значений G
достигнет наружной поверхности, где приложена нагрузка.
Увеличение области отрицательных значений жесткости G приводит к
снижению G по всему сечению пластины, в частности на внешней по
верхности. При положительных значениях E 0 жесткость пластины с тре
щиной уменьшается незначительно, в то время как при отрицательных
значениях E 0 имеет место существенное уменьшение G (рис. 8). Путем
экстраполяции определяем, что жесткость пластины достигнет нулевых
значений при E 0 « — 0,4E.
G/E
0,4
0,3
0,2
0.1 ■
Г1
г
° -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8Е„/Е
Рис. 8. Зависимость относительной жесткости G/E материала на поверхности пластины от
относительного модуля упругости EqIE при £> 10—4 в вершине трещины.
Таким образом, размер разрушающегося включения в вершине трещи
ны, равный 2• 10 4 м при E 0 « —0,4 E, является предельным. Этот размер
соответствует напряженному состоянию, которое характеризуется значени-
12ем коэффициента интенсивности напряжений K 1 «0 , 7 5 МПа • м 1 . Полу
ченное значение также является предельным.
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2005, № 1 133
В. Г. Бар-ило
Заключение. Установлено, что вблизи концентратора напряжений име
ется область незначительных размеров с такими большими деформациями и
повреждениями, что ее жесткость отрицательна.
Область с отрицательной жесткостью деформируется устойчиво вслед
ствие высокой положительной жесткости нагружающей системы до тех пор,
пока положительна их суммарная жесткость.
Влияние граничных условий на жесткость тела можно оценить путем
расчета распределения жесткости по объему тела. В широком диапазоне
изменения граничных условий жесткость тела меняется несущественно, при
определенных значениях жесткости влияние граничных условий так велико,
что при весьма малых размерах поверхности контакта и ограниченном их
изменении тело сколь угодно больших размеров теряет жесткость, устойчи
вость и несущую способность.
Расчет распределения жесткости при известных граничных условиях
дает возможность оценить жесткость, устойчивость и несущую способность
тела.
Р е з ю м е
До опису умов стійкого і нестійкого деформування матеріалу за наявності
дефектів запропоновано метод розрахунку граничного стану твердих тіл, що
базується на відомих співвідношеннях пружності. В основу методу покла
дено визначення розподілу параметра жорсткості по об’єму деталі. Умова
граничного стану тіла пов’язана з отриманням від’ємних значень сумарної
жорсткості тіла і навантажувальної системи. Показано, що за певної жорст
кості пошкодженої області зі збільшенням її розмірів, що значно менші за
розміри деталі, відбувається втрата стійкості і несучої здатності всієї деталі.
Наведено розрахунки жорсткості тіл у формі кулі, циліндра і пластини з
включеннями, а також пластини з тріщиною.
1. Чаусов Н. Г., Лебедев A. A., Зайцева Л. В., Гетманчук А. В. Влияние
вида напряженного состояния на кинетику накопления повреждений и
трещиностойкость корпусной сталы 15Х2МФА в разных состояниях.
Сообщ. 1. Стадийность процесса разрушения стали КП60 // Пробл.
прочности. - 1993. - № 4. - С. 3 - 9.
2. Дътник А. Н. Устойчивость упругих систем. - М.; Л: Изд-во АН СССР,
1950. - 133 с.
3. Гузъ A. H., Дышелъ М. Ш., Назаренко В. М. Разрушение и устойчивость
материалов с трещинами. - Киев: Наук. думка, 1992. - 456 с. - (Неклас
сические проблемы механики разрушения / Под общей ред. А. Н. Гузя:
В 4-х т; Т. 4. Кн. 1.)
4. Haase R. Thermodynamik der irreversiblen Prozesse. - Dietrich Steinkopff
Verlag Darmstadt, 1963. - 544 s.
5. Третъяченко Г. H., Карпинос Б. C. Прочность и долговечность мате
риалов при циклических тепловых воздействиях. - Киев: Наук. думка,
1990. - 256 с.
134 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 1
Устойчивость деформирования твердыгх тел
6. Барило В. Г. Устойчивость деформирования материала // Пробл. проч
ности. - 1994. - № Ъ. - С. 74 - 81.
7. Гузь А. Н. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых
тел. - Киев: Вища шк., 1986. - 511 с.
8. Трощенко В. Т., Красовский А. Я., Покровский В. В. и др. Сопротив
ление материалов деформированию и разрушению. Справочное посо
бие. - Киев: Наук. думка, 1993. - Т. 1. - 288 с.
9. Волков С. Д. Проблемы прочности и механики разрушения // Пробл.
прочности. - 1978. - № 7. - С. Ъ - 1о.
1о. Коваленко А. Д. Термоупругость. - Киев: Вища шк., 1975. - 216 с.
Поступила о4. о4. 2ооо
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, N 1 135
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47344 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:40:48Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Барило, В.Г. 2013-07-11T19:40:48Z 2013-07-11T19:40:48Z 2005 Устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа трещин и включений / В.Г. Барило // Проблемы прочности. — 2005. — № 1. — С. 118-135. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47344 539.3 Для описания устойчивого и неустойчивого деформирования материала, содержащего дефекты, предложен метод расчета предельного состояния твердых тел, базирующийся на известных соотношениях упругости. В основу метода положена оценка распределения величины жесткости по объему тела. Предельное состояние связано с достижением отрицательных значений суммарной жесткости тела и нагружающей системы. Показано, что увеличение размеров поврежденной области, которые значительно меньше размеров детали, при определенной жесткости приводит к потере устойчивости и несущей способности всей детали. Представлены расчеты жесткости тел в форме шара, цилиндра и пластины с включениями, а также пластины с трещиной. До опису умов стійкого і нестійкого деформування матеріалу за наявності дефектів запропоновано метод розрахунку граничного стану твердих тіл, що базується на відомих співвідношеннях пружності. В основу методу покладено визначення розподілу параметра жорсткості по об’єму деталі. Умова граничного стану тіла пов’язана з отриманням від’ємних значень сумарної жорсткості тіла і навантажувальної системи. Показано, що за певної жорсткості пошкодженої області зі збільшенням її розмірів, що значно менші за розміри деталі, відбувається втрата стійкості і несучої здатності всієї деталі. Наведено розрахунки жорсткості тіл у формі кулі, циліндра і пластини з включеннями, а також пластини з тріщиною. In order to describe stable and unstable deformation of material containing defects, we propose a method for calculation of the limiting state of solid bodies based on the known relations of the elastic theory. The method is based on estimation of the stiffness value distribution within the solid body volume. The limiting state of the body is related to the attainment of negative values by the total stiffness of the solid body and the loading system. It is shown that increase in the dimensions of the damaged region, which are much smaller than those of the solid body, results in the loss of stability and bearing capacity of the latter. We provide stiffness calculations for solid bodies in the shape of a sphere, a cylinder, and a plate with inclusions, as well as plate with a crack. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа трещин и включений Deformation stability of solid bodies with defects like cracks and inclusions Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа трещин и включений Барило, В.Г. Научно-технический раздел |
| title | Устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа трещин и включений |
| title_alt | Deformation stability of solid bodies with defects like cracks and inclusions |
| title_full | Устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа трещин и включений |
| title_fullStr | Устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа трещин и включений |
| title_full_unstemmed | Устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа трещин и включений |
| title_short | Устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа трещин и включений |
| title_sort | устойчивость деформирования твердых тел с дефектами типа трещин и включений |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47344 |
| work_keys_str_mv | AT barilovg ustoičivostʹdeformirovaniâtverdyhtelsdefektamitipatreŝinivklûčenii AT barilovg deformationstabilityofsolidbodieswithdefectslikecracksandinclusions |