Влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра на краевые эффекты
A three-layer thick-walled cylinder with isotropic layers under a uniform axial end load is considered. In the exact statement, a problem on the influence of the thickness of layers on end effects is investigated, the total thickness of the cylinder being constant. As mathematical and mechanical mod...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4737 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра на краевые эффекты / С.А. Цирук // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 62-65. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860021623321526272 |
|---|---|
| author | Цирук, С.А. |
| author_facet | Цирук, С.А. |
| citation_txt | Влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра на краевые эффекты / С.А. Цирук // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 62-65. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | A three-layer thick-walled cylinder with isotropic layers under a uniform axial end load is considered. In the exact statement, a problem on the influence of the thickness of layers on end effects is investigated, the total thickness of the cylinder being constant. As mathematical and mechanical models, the axisymmetric problem of elasticity theory in cylindrical coordinates and the model of piecewise-homogeneous media are used. An approximate solution of a differential problem is found by a method of nets with using the base schemes. The example of calculations is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:47:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2008
С.А. Цирук
Влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра
на краевые эффекты
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
A three-layer thick-walled cylinder with isotropic layers under a uniform axial end load is
considered. In the exact statement, a problem on the influence of the thickness of layers on end
effects is investigated, the total thickness of the cylinder being constant. As mathematical and
mechanical models, the axisymmetric problem of elasticity theory in cylindrical coordinates and
the model of piecewise-homogeneous media are used. An approximate solution of a differential
problem is found by a method of nets with using the base schemes. The example of calculations
is given.
В [1, 2] рассмотрены в точной постановке задачи о краевых эффектах (КЭ) в трехслой-
ном цилиндре с изотропными слоями для конкретных конструкций. Ниже, в продолжение
этих работ, исследуется вопрос о влиянии на КЭ геометрии слоев цилиндра. Исследуется
осесимметричная задача о КЭ в трехслойном цилиндре с изотропными слоями. По торцам
действует осевая нагрузка постоянной интенсивности P33. В силу симметрии нагрузки, рас-
сматривается верхняя половина цилиндра (рис. 1). Длина Z выбирается так, что на границе
z = 0 имеет место невозмущенное напряженное состояние
0
σij .
Для решения задачи о КЭ необходимо сформулировать критерий оценки зон КЭ, найти
величины, входящие в формулу критерия, а затем исследовать, в должной мере, границы
зон и напряжения в пределах зон КЭ.
Сформулируем (первый [3]) критерий оценки зон КЭ. Для напряжений σq
ij граница зоны
КЭ определяется из соотношения
σq
ij =
0
σ
33
q(δ3j + 0,01ρ), (1)
где q = 1, 2, 3 — номер слоя цилиндра (см. рис. 1); σij
0
(σij) — возмущенные (невозмущен-
ные) напряжения; ρ — заданная в процентах величина возмущения напряжения σ′
ij, которая
разделяет напряжение в теле конструкции на возмущенное напряжение σij и невозмущен-
ное
0
σij .
Сформулируем задачу теории упругости для возмущенного напряженного состояния σij ,
входящего в формулу (1). В области, занятой расчетной схемой (см. рис. 1), отыскивается
функция u = (u1, u3) ≡ (u,w), удовлетворяющая в пределах компоненты таким соотноше-
ниям:
уравнениям равновесия
−
1
r
∂
∂r
(rσ11) −
∂σ31
∂z
+
σ22
r
= 0,
−
1
r
∂
∂r
(rσ13) −
∂σ33
∂z
= 0;
(2)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
Рис. 1
граничным условиям
0
σ
q
31 = 0 ∧
0
u
q
3 = 0, r0 6 r 6 r3 ∧ z = 0,
σ3
1m = 0, r = r3 ∧ 0 6 z 6 Z,
σ31 = 0 ∧ σ33 = P33, r0 6 r 6 r3 ∧ z = Z, (3)
σ1
1m = 0, r = r0 ∧ 0 6 z 6 Z;
условиям идеального контакта
[um] = 0 ∧ [σ1m] = 0, (r = r1 ∨ r = r2) ∧ 0 6 z 6 Z. (4)
Закон Гука в пределах компоненты описывается следующими уравнениями:
σij = Aikεkk, σ31 = 2Gε31, σ12 = σ23 = 0;
ε11 =
∂u
∂r
, ε22 =
u
r
, ε33 =
∂w
∂z
, ε31 =
1
2
(
∂u
∂z
+
∂w
∂r
)
, ε21 = ε23 = 0;
Aii =
E(1 − υ)
(1 + υ)(1 − 2υ)
, Aij =
Eυ
(1 + υ)(1 − 2υ)
, i 6= j.
(5)
Соотношения закона Гука, обратные соотношениям (5), имеют вид
εii =
1
E
{σii − υ(σjj + σkk)}, ε31 =
σ31
2G
, ε12 = ε23 = 0, i 6= j 6= k. (6)
Обозначения в соотношениях (2)–(6) общепринятые.
В формуле (1) напряжения
0
σ33 неизвестны. Для определения тензора напряжений
0
σ отыскивается решение задачи теории упругости для рассматриваемого цилиндра (см.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 63
Рис. 2
рис. 1), в случае нагружения
0
σ
q
33
=
0
P
q
33
, обеспечивающее в теле конструкции выполнение
соотношения
0
ε
q
33
=
0
ε = const и имеющее ненулевые компоненты решения
0
σ
q
33
=
0
P
q
33
= Eq 0
ε . (7)
Из (7), условий равновесия цилиндра и отсутствия на линии z = 0 напряжения возмущений
σ′
ij находим
0
ε =
P33R
E1R
2
1
+ E2R
2
2
+ E3R
2
3
, (8)
где Rq = rq − rq−1 и R = r3 − r0.
Приближенное решение задачи (2)–(6) отыскивается методом конечных разностей, ко-
гда сеточные уравнения строятся модифицированным вариационно-разностным методом,
использующим концепцию базовой схемы [4].
Рассматривается пример расчета цилиндра, у которого крайние слои имеют одинаковые
характеристики. При расчетах фиксируются: механические характеристики Eq, υq; разме-
ры Z, r0r3; нагрузка P33; отношение R/r0, указывающее на то, что цилиндр толстостенный.
Изменяются величины Rq = rq−rq−1, q = 1, 3. При этом толщина R цилиндра не изменяется.
Исходные данные следующие:
E1 = E3 = 200, υ1 = υ3 = 0,25, G1 = G3 = 80; E2 = 54, υ2 = 0,35,
G2 = 20; Z = 6, R = 1, r0 = 1, P33 = −1.
В работе исследуются величины d1
33 протяженности КЭ для напряжения σ1
33 при ρ =
= 0 и различных значениях Rq. В этом случае формула (1) для фиксированного варианта
расчета примет вид
σ1
33 = E1
0
ε, (9)
где
0
ε определяется из (8).
При расчетах толщины слоев изменялись в интервалах
0,0156 6 R1 = R3 6 0,25 ∧ 0,5 6 R2 6 0,988. (10)
Для каждого последующего варианта расчета величина R1 в (10) уменьшилась вдвое по
сравнению с предыдущим вариантом, и по формулам (8), (9) определялись величины
0
ε
и σ1
33.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №6
На рис. 2 представлен график зависимости величины протяженности краевого эффекта
d1
33 в первом слое цилиндра от толщины R1 этого слоя (см. рис. 1). Из графика видно,
что функция d1
33 возрастает, достигает максимума, после чего начинает убывать. Наличие
экстремума у функции d1
33 имеет, очевидно, определенное практическое значение.
1. Коханенко Ю.В., Цирук С.А., Латкин Д.П. Напряжения и краевые эффекты в трехслойном ци-
линдре // Доп. НАН України. – 2001. – № 8. – С. 37–39.
2. Коханенко Ю.В., Цiрук С.А., Латкiн Д.П. Визначення напруженого стану та крайових ефектiв у
тришаровому цилiндрi // Пробл. прочности. – 2002. – № 6. – С. 72–78.
3. Механика композитов. В 12 т. / Под ред. А.Н. Гузя. Т. 1. Статика материалов. – Киев: Наук. думка,
1993. – 455 с.
4. Коханенко Ю.В. Численное исследование задач трехмерной теории устойчивости композитов слои-
стой и ленточной структуры // Прикл. механика. – 2001. – 37, № 3. – С. 35–64.
Поступило в редакцию 08.11.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №6 65
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4737 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:47:28Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Цирук, С.А. 2009-12-22T10:58:35Z 2009-12-22T10:58:35Z 2008 Влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра на краевые эффекты / С.А. Цирук // Доп. НАН України. — 2008. — № 6. — С. 62-65. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4737 539.3 A three-layer thick-walled cylinder with isotropic layers under a uniform axial end load is considered. In the exact statement, a problem on the influence of the thickness of layers on end effects is investigated, the total thickness of the cylinder being constant. As mathematical and mechanical models, the axisymmetric problem of elasticity theory in cylindrical coordinates and the model of piecewise-homogeneous media are used. An approximate solution of a differential problem is found by a method of nets with using the base schemes. The example of calculations is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра на краевые эффекты Article published earlier |
| spellingShingle | Влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра на краевые эффекты Цирук, С.А. Механіка |
| title | Влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра на краевые эффекты |
| title_full | Влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра на краевые эффекты |
| title_fullStr | Влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра на краевые эффекты |
| title_full_unstemmed | Влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра на краевые эффекты |
| title_short | Влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра на краевые эффекты |
| title_sort | влияние геометрии компонент трехслойного цилиндра на краевые эффекты |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4737 |
| work_keys_str_mv | AT ciruksa vliâniegeometriikomponenttrehsloinogocilindranakraevyeéffekty |