Гиперслучайные явления и их описание
Исследованы недетерминированные массовые явления, для которых вероятностная мера не определена. Эти явления, названные гиперслучайными, наблюдаются тогда, когда условия проведения экспериментов меняются неизвестным образом. Разработаны основы математического аппарата для описания гиперслучайных явле...
Saved in:
| Date: | 2005 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2005
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/474 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Гиперслучайные явления и их описание / И.И. Горбань // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 1-2. — С. 16-27. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860250537799188480 |
|---|---|
| author | Горбань, И.И. |
| author_facet | Горбань, И.И. |
| citation_txt | Гиперслучайные явления и их описание / И.И. Горбань // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 1-2. — С. 16-27. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Исследованы недетерминированные массовые явления, для которых вероятностная мера не определена. Эти явления, названные гиперслучайными, наблюдаются тогда, когда условия проведения экспериментов меняются неизвестным образом. Разработаны основы математического аппарата для описания гиперслучайных явлений. Показано, что оценки, описывающие такие явления, несут больше информации и характеризуют их полнее, чем аналогичные вероятностные и числовые характеристики, рассчитываемые на основе классических статистических методов.
The non-determinated mass phenomena, for which probability measure is undefined, are considered. Such phenomena are referred to as the hyper-random ones, and occur when the experimental conditions change in an unknown way. The fundamentals of mathematical apparatus for describing the hyper-random phenomena are developed. It is shown that the estimates describing such phenomena possess more information and characterize them in more detail than the corresponding probabilistic and numerical characteristics obtained by means of classical statistical methods.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:42:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 16 – 27
УДК 519.2+600.1
ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ИХ ОПИСАНИЕ
И. И. Г О РБ А Н Ь
Украинский научно-исследовательский и учебный центр
проблем стандартизации, сертификации и качества, Киев
Получено 06.05.2005 � Пересмотрено 15.08.2005
Исследованы недетерминированные массовые явления, для которых вероятностная мера не определена. Эти явле-
ния, названные гиперслучайными, наблюдаются тогда, когда условия проведения экспериментов меняются неизве-
стным образом. Разработаны основы математического аппарата для описания гиперслучайных явлений. Показано,
что оценки, описывающие такие явления, несут больше информации и характеризуют их полнее, чем аналогичные
вероятностные и числовые характеристики, рассчитываемые на основе классических статистических методов.
Дослiдженi недетермiнованi масовi явища, для яких iмовiрнiсна мiра не визначена. Цi явища, названi гiпервипадко-
вими, спостерiгаються тодi, коли умови проведення експериментiв змiнюються невiдомим чином. Розробленi основи
математичного апарату для опису гiпервипадкових явищ. Показано, що оцiнки, якi описують такi явища, несуть
бiльше iнформацiї i характеризують їх бiльш повно, нiж вiдповiднi iмовiрнiснi та числовi характеристики, якi роз-
раховуються на основi класичних статистичних методiв.
The non-determinated mass phenomena, for which probability measure is undefined, are considered. Such phenomena
are referred to as the hyper-random ones, and occur when the experimental conditions change in an unknown way.
The fundamentals of mathematical apparatus for describing the hyper-random phenomena are developed. It is shown
that the estimates describing such phenomena possess more information and characterize them in more detail than the
corresponding probabilistic and numerical characteristics obtained by means of classical statistical methods.
ВВЕДЕНИЕ
На практике часто приходится сталкиваться с
событиями, величинами и функциями, похожими
на случайные. Результаты наблюдения указанных
явлений, названных гиперслучайными [1], зара-
нее предсказать нельзя. Как и случайные явления,
они относятся к классу недетерминированных (не-
определенных) [1 – 6]. Однако между случайными
и гиперслучайными событиями существуют прин-
ципиальные отличия, связанные с условиями на-
блюдения.
Для случайных явлений эти условия полагаю-
тся неизменными. На этом основании для каждо-
го события можно указать определенную вероя-
тностную меру [7 – 9]. Для гиперслучайных явле-
ний условия меняются неизвестным (неопределен-
ным) образом. При этом задать вероятностную ме-
ру принципиально нельзя.
Характерным примером гиперслучайного явле-
ния может служить любое событие A, частота
которого pN(A) в N опытах не имеет предела
при N→∞. Гиперслучайной величиной оказыва-
ется результат измерения любого параметра, ко-
гда условия, при которых проводятся измерения,
непредсказуемо меняются.
Для описания гиперслучайных явлений были
предложены и разработаны специальные мето-
ды [1]. Цель данной статьи состоит в развитии
этих методов применительно к гиперслучайным
событиям и величинам и представлении возмож-
ностей их применения для описания акустических
явлений.
1. ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ
ОПИСАНИЕ
Пусть заданы пространство Ω с элементарными
событиями ω∈Ω и σ – алгебра (борелевское по-
ле J ) подмножеств (событий). При фиксирован-
ных условиях g каждому событию A можно поста-
вить в соответствие вероятностную меру P (A/g).
Таким образом, тройкой (Ω,J , P ) задается вероя-
тностное пространство. Условия g могут быть де-
терминированными (полностью известными, т. е.
g=const) или случайными (если определена веро-
ятностная мера P (g) ∀g∈G). В обоих случаях A
является случайным событием – событием, для ко-
торого определена вероятностная мера.
При неопределенных условиях g (когда изве-
стно лишь G – множество возможных значений
g, но неизвестно какое именно значение принима-
ет величина g) P (A/g) становится неопределенной
величиной. События, для которых вероятностная
мера не определена, нельзя считать случайными.
Будем называть их гиперслучайными. Из сказан-
ного следует, что гиперслучайные события задаю-
тся четверкой (Ω,J , G, Pg), где Pg – вероятностная
мера при фиксированном g∈G.
Для гиперслучайного события задать вероятно-
стную меру нельзя, но можно поставить в соответ-
ствие определенные величины, количественно ха-
16 c© И. И. Горбань, 2005
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 16 – 27
рактеризующие диапазон изменения вероятности
события: верхнюю PS(A) и нижнюю PI(A) грани-
цы
PS(A) = sup
g∈G
P (A/g),
PI(A) = inf
g∈G
P (A/g),
(1)
называемые в дальнейшем границами вероят-
ности. В детерминированных (фиксированных)
условиях (g=const) эти границы совпадают. Тогда
гиперслучайное событие вырождается в случайное
и величина P (A)=PS(A)=PI(A) представляет со-
бой вероятность случайного события A.
Нетрудно убедиться, что
1)
PS(A) ≥ 0, PI(A) ≥ 0; (2)
2) для попарно несовместных событий
PS(∪
n
An) ≤ ∑
n
PS(An),
PI(∪
n
An) ≥ ∑
n
PI(An),
(3)
3)
PS(Ω) = PI(Ω) = 1. (4)
Из выражений (1) – (4) следует, что PS(A) и PI(A)
представляют собой нормированные полумеры.
При этом
0 ≤ PS(A) ≤ 1, 0 ≤ PI(A) ≤ 1,
PS(∅) = PI(∅) = 0.
Для гиперслучайных явлений имеют место сле-
дующие соотношения:
1) если Am⊂Am+1 , m≥1, то
PS(
∞∪
m=1
Am) = lim
M→∞
PS(AM ),
PI(
∞∪
m=1
Am) = lim
M→∞
PI(AM ),
(5)
2) если Am+1⊂Am, m≥1, то
PS(
∞∩
m=1
Am) = lim
M→∞
PS(AM ),
PI(
∞∩
m=1
Am) = lim
M→∞
PI(AM ).
(6)
Доказательство равенств (5) основано на том,
что объединение событий A1, . . . , AM , связанных
между собой соотношением A1⊂ . . .⊂AM , пред-
ставляет собой событие AM . При доказательстве
равенств (6) используется то, что пересечение со-
бытийA1, . . . , AM , связанных между собой соотно-
шением A1⊃ . . .⊃AM , совпадает с событием AM .
Для гиперслучайных событий A1 и A2 справе-
дливы неравенства
PS(A1 ∪A2) ≤ PS(A1)+PS(A2)−PI(A1 ∩A2), (7)
PI(A1 ∪A2) ≥ PI(A1) +PI(A2)−PS(A1 ∩A2), (8)
аналогичные выражению, описывающему теорему
сложения для случайных событий
P (A1 ∪A2) = P (A1) + P (A2) − P (A1 ∩A2).
Для доказательства неравенств (7), (8) рассмо-
трим два события A1 и A2, в общем случае совме-
стных. Верхняя граница частоты события A1∪A2
будет
PS(A1 ∪A2) =
= sup
g∈G
(P (A1/g) + P (A2/g) − P (A1 ∩A2/g)) ≤
≤ sup
g∈G
(P (A1/g) + P (A2/g)) − inf
g∈G
(P (A1 ∩A2/g).
Отсюда следует неравенство (7). Нижняя граница
частоты события A1∪A2 будет
PI(A1 ∪A2) =
= inf
g∈G
(P (A1/g) + P (A2/g) − P (A1 ∩A2/g)).
Отсюда следует неравенство (8).
Отметим, что, когда события A1 и A2 несовме-
стны, то PS(A1∩A2)=0, PI(A1∩A2)=0 и из выра-
жений (7), (8) следует
PS(A1 ∪A2) ≤ PS(A1) + PS(A2),
PI(A1 ∪A2) ≥ PI(A1) + PI(A2).
(9)
Когда же A1⊂A2, то, согласно формуле (5),
PS(A1 ∪A2) = PS(A2),
PI(A1 ∪A2) = PI(A2).
И. И. Горбань 17
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 16 – 27
В общем случае для гиперслучайных событий
A1 и A2 справедливы неравенства
PS(A1 ∩A2) ≤ PS(A1)PS(A2/A1),
PS(A1) 6= 0,
PI(A1 ∩A2) ≥ PI(A1)PI(A2/A1),
PI(A1) 6= 0,
(10)
аналогичные выражению
P (A1 ∩A2) = P (A1)P (A2/A1),
описывающему теорему умножения для случай-
ных событий при P (A1) 6=0. В данном случае под
PS(A2/A1) и PI(A2/A1) подразумеваются, соответ-
ственно, верхняя и нижняя границы вероятности
события A2 при условии, что произошло событие
A1. Доказательство неравенств (10) аналогично
рассмотренному выше.
Гиперслучайные события A1 и A2 будем на-
зывать независимыми, если границы вероятности
пересечения этих событий факторизуются:
PS(A1 ∩A2) = PS(A1)PS(A2),
PI(A1 ∩A2) = PI(A1)PI(A2).
(11)
Смысл формул (11) заключается в том, что при
независимых гиперслучайных событиях A1 и A2
границы функции распределения пересечения со-
бытий определяются лишь границами функции
распределения события A1 и границами функ-
ции распределения события A2. При этом несу-
щественно, произошло или не произошло событие
A1 до выяснения, каковы границы события A2, и
произошло или нет событие A2 до выяснения, ка-
ковы границы события A1. Результат будет один
и тот же.
Аналогами формулы полной вероятности и тео-
ремы гипотез (теоремы Байеса) теории вероятно-
сти служат следующие теоремы, также доказыва-
емые по рассмотренной выше схеме.
Теорема 1. Пусть событие A может произойти
совместно с одним и только одним событием из
набора H1, . . . , HM , образующего полную группу
несовместных гипотез. Тогда
PS(A) ≤
M
∑
m=1
PS(Hm)PS(A/Hm),
PI(A) ≥
M
∑
m=1
PI(Hm)PI(A/Hm).
(12)
Теорема 2. Пусть H1, H2, . . . – множество по-
парно несовместных гипотез, образующих полную
группу. Тогда для каждой пары событий Hm, A
справедливы неравенства
PS(Hm/A) ≤ PS(Hm ∩A)
PI(A)
≤
≤ PS(Hm)PS(A/Hm)
∞
∑
m=1
PI(Hm)PI(A/Hm)
,
PI(Hm/A) ≥ PI(Hm ∩A)
PS(A)
≥
≥ PI(Hm)PI(A/Hm)
∞
∑
m=1
PS(Hm)PS(A/Hm)
.
2. СКАЛЯРНЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ВЕ-
ЛИЧИНЫ И ИХ ОПИСАНИЕ
Скалярной гиперслучайной величиной X будем
называть произвольную числовую функцию, опре-
деленную на пространстве Ω элементарных со-
бытий ω, для которой вероятностная мера не опре-
делена. Значения x гиперслучайной величины X
могут быть получены с помощью некоторой функ-
ции x=ψ(ω), где ω∈Ω.
Для описания гиперслучайных величин мож-
но предложить аналоги вероятностных характе-
ристик случайных величин: функции распределе-
ния вероятности, плотности распределения веро-
ятности, характеристической функции, образую-
щей функции моментов, образующей функции фа-
кториальных моментов и др. Остановимся на пер-
вых трех из них.
Аналогами функции распределения могут слу-
жить функции, определяемые следующим обра-
зом:
FS(x) = sup
g∈G
P {X ≤ x/g},
FI(x) = inf
g∈G
P {X ≤ x/g}.
(13)
Здесь P {X≤x/g} – вероятность выполнения нера-
венства X≤x в условиях g.
Из выражений (13) видно, что функции FS(x)
и FI(x) определены, соответственно, как верхняя
и нижняя границы вероятности выполнения усло-
вия X≤x. В дальнейшем будем называть их гра-
ницами функции распределения. Функции FS(x) и
FI(x) обладают теми же свойствами, что и функ-
ция распределения вероятности случайной вели-
чины: они неотрицательные (FS(x)≥0, FI(x)≥0),
18 И. И. Горбань
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 16 – 27
ограниченные (0≤FS(x)≤1, 0≤FI(x)≤1) и неу-
бывающие. Кроме того, FS(x)≥FI(x), при ми-
нимальном значении гиперслучайной величины
(если оно существует) границы совпадают и равны
нулю, а при максимальном (если оно существует) –
совпадают и равны единице.
Между границами функции распределе-
ния расположена зона неопределенности
(рис. 1). Ее ширина определяется разностью
∆F (x)=FS(x)−FI (x): чем больше неопределен-
ность, тем больше величина ∆F (x). Если X –
случайная величина, то границы функции рас-
пределения совпадают и разность ∆F (x) равна
нулю.
Для выяснения особенностей границ функции
распределения при высоком уровне неопределен-
ности рассмотрим гиперслучайную величину X,
определенную на интервале [a, b]. По мере возра-
стания неопределенности (приближения к полно-
му хаосу [10 –13]) верхняя граница стремится к
единице, а нижняя – к нулю. При этом верх-
нюю границу можно рассматривать, например,
как функцию
FS(x) =
0 при x < a,
(1 − ε)/2 при x = a,
1 − ε при x ∈ (a, b),
1 − ε/2 при x = b,
1 при x > b,
(14)
а нижнюю – как функцию
FI(x) =
0 при x < a,
ε/2 при x = a,
ε при x ∈ (a, b),
(1 + ε)/2 при x = b,
1 при x > b,
(15)
где ε→0 (рис. 2). Определенные таким образом
зависимости FS(x), FI(x) стремятся при ε→0 к
функциям, имеющим единичные скачки в точках
a и b соответственно. Если a→−∞, а b→∞, эти
единичные скачки находятся на минус и плюс бе-
сконечности.
Гиперслучайную величину будем называть не-
прерывной, если на любом конечном интервале
границы ее функции распределения непрерывны
и существуют кусочно-непрерывные их произво-
дные. Для непрерывной гиперслучайной величи-
ны аналогами плотности вероятности случайной
FS (x)
1
0 x
FI (x)
Рис. 1. Границы функции распределения и зона
неопределенности (затемненная область)
ε
ε−1
)(xF
S
)(xF
I
xa b
1
)(xF
I
Рис. 2. Пример расположения границ
функции распределения гиперслучайной величины X
и зоны неопределенности (затемненная область)
при приближении к хаосу (ε→0)
величины могут служить функции
fS(x) =
dFS(x)
dx
, fI (x) =
dFI(x)
dx
, (16)
представляющие собой производные верхней и ни-
жней границ функции распределения и называе-
мые в дальнейшем границами плотности распре-
деления.
Используя обобщенные функции, можно опре-
делить границы плотности распределения не толь-
ко для непрерывных гиперслучайных величин, но
и для тех, у которых границы функции распреде-
ления представляют собой кусочно-непрерывные
функции (например, функций (14), (15)).
Нетрудно убедиться, что границы плотности ра-
спределения обладают следующими свойствами
плотности вероятности случайной величины: по-
скольку FS(x) и FI(x) неубывающие, то они нео-
трицательны (fS(x)≥0, fI(x)≥0); поскольку пер-
вообразные FS(x), FI(x) функций fS(x), fI(x) при
И. И. Горбань 19
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 16 – 27
x→∞ равны единице, то
∞
∫
−∞
fS(x)dx =
∞
∫
−∞
fI (x)dx = 1
и
FS(x2) − FS(x1) =
x2
∫
x1
fS(x)dx,
FI(x2) − FI(x1) =
x2
∫
x1
fI(x)dx.
Аналогами характеристической функции слу-
чайной величины могут служить границы хара-
ктеристической функции гиперслучайной величи-
ны, под которыми понимается преобразование Фу-
рье границ плотности распределения:
QS(jω) =
∞
∫
−∞
fS(x) exp(jωx)dx,
QI(jω) =
∞
∫
−∞
fI(x) exp(jωx)dx.
(17)
Границы характеристической функции обла-
дают свойствами характеристической функ-
ции: они ограничены (|QS(jω)|≤QS(0)=1,
|QI(jω)|≤QI(0)=1) и в случае вещественных
гиперслучайных величин являются компле-
ксно самосопряженными (QS(−jω)=Q∗
S(jω),
QI(−jω)=Q∗
I (jω)).
В отличие от границ функции распределения,
границы плотности распределения и границы ха-
рактеристической функции не столь наглядно ха-
рактеризуют зону неопределенности, хотя с их по-
мощью можно ввести полезные для этого величи-
ны
∆f(x) = fS(x) − fI(x),
∆Q(jω) = QS(jω) −QI(jω).
Информативными характеристиками могут ока-
заться средние границ:
среднее границ функции распределения
F0(x) = (FS(x) + FI(x))/2,
среднее границ плотности распределения
f0(x) = (fS(x) + fI(x))/2
и среднее границ характеристической функции
Q0(jω) = (QS(jω) +QI(jω))/2.
Эти средние связаны между собой очевидными со-
отношениями:
f0(x) =
dF0(x)
dx
,
Q0(jω) =
∞
∫
−∞
f0(x) exp(jωx)dx.
Для описания гиперслучайных величин могут
быть использованы различные числовые характе-
ристики, аналогичные характеристикам случай-
ных величин: математическому ожиданию, дис-
персии, среднеквадратическому отклонению и др.
Математическими ожиданиями границ
MS [ϕ(X)], MI [ϕ(X)] функции ϕ(X) гипер-
случайной величины X с границами плотности
распределения fS(x), fI(x) будем называть
интегралы
MS [ϕ(X)] =
∞
∫
−∞
ϕ(x)fS(x)dx,
MI [ϕ(X)] =
∞
∫
−∞
ϕ(x)fI (x)dx.
(18)
Математические ожидания границ существуют
только тогда, когда существуют (в смысле абсо-
лютной сходимости) интегралы (18).
Из выражений (17), (18) видно, что границы
характеристической функции – это математиче-
ские ожидания верхней и нижней границы ком-
плексной гиперслучайной величины exp(jωX). Из
выражений (18) следует, что математические ожи-
дания границ mSx, mIx гиперслучайной величины
X, представляемые как математические ожидания
границ функции ϕ(X)=X , описываются выраже-
ниями
mSx = MS [X] =
∞
∫
−∞
xfS(x)dx,
mIx = MI [X] =
∞
∫
−∞
xfI(x)dx.
(19)
Для вещественной гиперслучайной величины X
дисперсии границ DSx и DIx определим как
DSx = MS [(X −mSx)2],
DIx = MI [(X −mIx)2],
(20)
20 И. И. Горбань
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 16 – 27
а среднеквадратические отклонения σSx и σIx гра-
ниц – как
σSx =
√
DSx , σIx =
√
DIx . (21)
Математические ожидания границ mSx и mIx
гиперслучайной величины X характеризуют сре-
дние значения X, рассчитанные для верхней и
нижней границ плотности распределения. Дис-
персии границ DSx и DIx величины X, а так-
же среднеквадратические отклонения границ σSx
и σIx величины X характеризуют разброс значе-
ний X относительно соответствующих математи-
ческих ожиданий mSx и mIx.
Учитывая, что при FS(x1)=FI(x2) имеет место
неравенство x1≤x2, нетрудно показать, что все-
гда mSx≤mIx. В то же время, величина дисперсии
DSx может быть больше, меньше или равна DIx.
В качестве интегральных характеристик можно
предложить также среднее математических ожи-
даний границ функции ϕ(X), определяемое как
M0[ϕ(X)]=(MS [ϕ(X)]+MI [ϕ(X)])/2, среднее ма-
тематических ожиданий границ функции X, опре-
деляемое какm0x =(mSx+mIx)/2, среднее диспер-
сий границ D0x =M0[(X−m0x)2] и среднее средне-
квадратических отклонений σ0x =
√
D0x.
Кроме того, можно ввести ряд других хара-
ктеристик, дающих представление о гиперслучай-
ной величине, в частности, начальные моменты
границ mSν и mIν ν-го порядка, определив их
как математические ожидания границ функции
ϕ(X)=Xν , центральные моменты µSν и µIν гра-
ниц ν-го порядка, определив их как математиче-
ские ожидания соответственно границ функциий
ϕ(X)=(X−mSx)ν и ϕ(X)=(X−mIx)ν и т. п.
3. ВЕКТОРНЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ВЕ-
ЛИЧИНЫ И ИХ ОПИСАНИЕ
Материалы предыдущего раздела обобщаются
на векторные гиперслучайные величины, каждая
компонента которых представляет собой скаляр-
ную гиперслучайную величину.
Определим границы функции распреде-
ления векторной гиперслучайной величины
~X=(X1, . . . , XM ) как
FS(~x) = sup
g∈G
P {X1 ≤ x1, . . . , XM ≤ xM/g}, (22)
FI(~x) = inf
g∈G
P {X1 ≤ x1, . . . , XM ≤ xM/g}, (23)
границы плотности распределения – как
fS(~x) =
∂MFS(~x)
∂x1 . . . ∂xM
,
fI(~x) =
∂MFI(~x)
∂x1 . . . ∂xM
,
(24)
а границы характеристической функции – как
QS(j~ω) =
∞
∫
−∞
. . .
∞
∫
−∞
fS(~x) exp(j~ω~x)d~x,
QI(j~ω) =
∞
∫
−∞
. . .
∞
∫
−∞
fI (~x) exp(j~ω~x)d~x.
Все они обладают теми же свойствами, что и
аналогичные характеристики векторных случай-
ных величин, а также специфическими свойства-
ми, аналогичными свойствам скалярных гиперслу-
чайных величин. В частности, FS(~x)≥FI(~x), при-
чем границы гиперслучайных величин совпадают
при устремлении компонент вектора ~x к минус и
плюс бесконечности.
Рассмотрим L-мерную гиперслучайную величи-
ну ~Z=( ~X, ~Y ), состоящую из M -мерной гиперслу-
чайной величины ~X и (L−M)-мерной гиперслу-
чайной величины ~Y . По аналогии со случайными
величинами введем понятия границ условной
функции распределения FS(~y/~x), FI(~y/~x), гра-
ниц условной плотности распределения fS(~y/~x),
fI (~y/~x) и границ условной характеристической
функции QS(j~ωy/~x), QI(j~ωy/~x) гиперслучайной
величины ~Y при условии, что гиперслучайная ве-
личина ~X приняла конкретное значение ~x.
Границы совместной плотности распределения
fS(~x, ~y), fI(~x, ~y) системы гиперслучайных величин
~Z = ( ~X, ~Y ) связаны с границами условной плот-
ности распределения fS(~y/~x), fI (~y/~x) гиперслу-
чайной величины ~Y и границами плотности рас-
пределения fS(~x), fI (~x) гиперслучайной величины
~X неравенствами
fS(~x, ~y) ≤ fS(~x)fS(~y/~x),
fI (~x, ~y) ≥ fI (~x)fI (~y/~x),
(25)
следующими из выражений (10).
Гиперслучайные величины ~X и ~Y будем на-
зывать независимыми, если границы плотности
распределения fS(~x, ~y) и fI (~x, ~y) допускают фа-
И. И. Горбань 21
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 16 – 27
кторизацию:
fS(~x, ~y) = fS(~x)fS(~y),
fI(~x, ~y) = fI(~x)fI(~y).
(26)
Нетрудно убедиться, что для независимых ве-
личин ~X и ~Y факторизуются не только грани-
цы плотности распределения, но также грани-
цы функции распределения и характеристической
функции:
FS(~x, ~y) = FS(~x)FS(~y),
FI(~x, ~y) = FI(~x)FI(~y),
QS(j~ωx, j~ωy) = QS(j~ωx)QS(j~ωy),
QI(j~ωx, j~ωy) = QI(j~ωx)QI(j~ωy).
Следует обратить внимание на то, что незави-
симость гиперслучайных величин не означает, что
между ними отсутствует связь. Она просто не про-
является на уровне установленных полумер. Уме-
стно отметить, что понятие независимости случай-
ных величин, широко используемое в теории ве-
роятности, следует трактовать аналогично: связь
между случайными величинами может существо-
вать, хотя на уровне вероятностной меры она не
наблюдается.
Границы плотности распределения M -мерной
гиперслучайной величины (X1 , . . . , XM ) определя-
ются следующими неравенствами:
fS(x1, . . . , xM) ≤
≤ fS(xM/x1, . . . , xM−1) . . . fS(x2/x1)fS(x1),
(27)
fI(x1, . . . , xM) ≥
≥ fI (xM/x1, . . . , xM−1) . . . fI(x2/x1)fI (x1).
(28)
Здесь fS(xm/x1, . . . , xm−1), fI(xm/x1, . . . , xm−1),
(m=2,M) – границы одномерных условных пло-
тностей распределения; fS(x1), fI(x1) – грани-
цы одномерной безусловной плотности распреде-
ления. Доказательство этих соотношений может
быть проведено методом математической инду-
кции с использованием неравенств (25).
Отметим, что если компоненты гиперслучайной
величины независимы, справедливо
fS(x1, . . . , xM) = fS(x1) . . . fS(xM),
fI (x1, . . . , xM) = fI (x1) . . . fI(xM ).
Для векторного M -мерного гиперслучайного ве-
ктора определим средние границ функции распре-
деления, плотности распределения и характери-
стической функции:
F0(~x) = (FS(~x) + FI(~x))/2,
f0(~x) = (fS(~x) + fI(~x))/2,
Q0(j~ω) = (QS(j~ω) +QI(j~ω))/2.
Эти средние связаны между собой очевидными со-
отношениями, аналогичными скалярному случаю:
f0(~x) =
∂MF0(~x)
∂x1 . . . ∂xM
,
Q0(j~ω) =
∞
∫
−∞
f0(~x) exp(j~ω~x)d~x.
В качестве основных числовых характеристик
векторных гиперслучайных величин можно пред-
ложить математические ожидания границ M -
мерной векторной функции ~ϕ( ~X) гиперслучай-
ной L-мерной величины ~X=(X1, . . . , XL) с гра-
ницами плотности распределения fS(x1, . . . , xL) и
fI(x1, . . . , xL), определяемые как
MS [~ϕ( ~X)] =
∞
∫
−∞
. . .
∞
∫
−∞
~ϕ(x1, . . . , xL)×
×fS(x1, . . . , xL)dx1 . . . dxL,
(29)
MI [~ϕ( ~X)] =
∞
∫
−∞
. . .
∞
∫
−∞
~ϕ(x1, . . . , xL)×
×fI (x1, . . . , xL)dx1 . . . dxL
(30)
(если интегралы существуют).
Частным случаем характеристик (29), (30) яв-
ляются математические ожидания границ ~mSx и
~mIx величины ~X , представляющие собой матема-
тические ожидания границ функции ~ϕ( ~X)= ~X:
~mSx = MS [ ~X], ~mIx = MI [ ~X ]. (31)
Для L-мерного гиперслучайного вектора ~X с ве-
щественными компонентами характеристикой раз-
броса могут служить дисперсии границ ~DSz , ~DIz ,
представляющие собой математические ожидания
границ, соответственно, функций
~ϕ( ~X) =
(
(Xl −mSxl
)2, l = 1, L
)
,
~ϕ( ~X) =
(
(Xl −mIxl
)2, l = 1, L
)
22 И. И. Горбань
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 16 – 27
и среднеквадратические отклонения ~σSx, ~σIx гра-
ниц, компоненты которых определены как вели-
чины, равные квадратному корню из компонент
векторов ~DSx, ~DIx. Здесь mSxl
и mIxl
– l-ые ком-
поненты векторов ~mSx и ~mIx соответственно.
Для L-мерного гиперслучайного комплексного
вектора ~̇Z= ~X+j~Y характеристикой разброса мо-
гут служить комплексные дисперсии границ ~̇DSz,
~̇DIz, представляющие собой L-мерные математи-
ческие ожидания векторов
(
(Xl −mSxl
)2 + j(Yl −mSyl
)2, l = 1, L
)
,
(
(Xl −mIxl
)2 + j(Yl −mIyl
)2, l = 1, L
)
,
и комплексные среднеквадратические отклонения
границ ~̇σSz и ~̇σIz, вещественные компоненты ко-
торых равны корню из соответствующих веще-
ственных компонент комплексных дисперсий гра-
ниц ~̇DSz, ~̇DIz, а мнимые – корню из соответству-
ющих мнимых компонент этих величин.
Весьма полезными характеристиками могут
быть начальные моменты границ mSν1...νL
и
mIν1...νL
порядка ν=ν1+. . .+νL компонент L-
мерной гиперслучайной вещественной величины
~X , определяемые следующим образом:
mSν1...νL
= MS [Xν1
1 . . .XνL
L ],
mIν1...νL
= MI [X
ν1
1
. . .XνL
L ]
(32)
(νl – целое положительное число; l=1, L), а также
центральные моменты границ µSν1...νL
и µIν1...νL
порядка ν=ν1+. . .+νL. Они определяются как
µSν1...νL
=
= MS [(X1 −mSx1
)ν1 . . . (XL −mSxL
)νL ],
(33)
µIν1...νL
=
= MI [(X1 −mIx1
)ν1 . . . (XL −mIxL
)νL ].
(34)
Смешанные центральные моменты границ вто-
рого порядка µS11
и µI11
вещественных гиперслу-
чайных величин X1 и X2 можно назвать корре-
ляционными моментами границ, смешанные на-
чальные моменты границ второго порядка mS11
и mI11
– ковариационными моментами границ, а
смешанные центральные моменты второго поряд-
ка, нормированные на соответствующие средне-
квадратические отклонения σSx1
, σSx2
и σIx1
, σIx2
границ – коэффициентами корреляции границ
rS =
µS11
σSx1
σSx2
,
rI =
µI11
σIx1
σIx2
.
(35)
1xS
σ
1xS
m
1xI
m 1
2xI
m
2xS
m
2
1xI
σ
2xI
σ
2xS
σ
Рис. 3. Эллипсы рассеяния при гауссовских
законах распределения: µS11
=µI11 =0
2xI
m
1xS
m
1xI
m
1
2xS
m
2
Рис. 4. Эллипсы рассеяния при гауссовских
законах распределения: rS =rI =1
Корреляционные моменты границ µS11
и µI11
,
ковариационные моменты границ mS11
и mI11
и
математические ожидания границ mSx1
, mSx2
,
mIx1
и mIx2
двух гиперслучайных величин X1 и
X2 связаны между собой соотношениями
µS11
= mS11
−mSx1
mSx2
,
µI11
= mI11
−mIx1
mIx2
,
(36)
аналогичными известному соотношению для слу-
чайных величин.
Определим ковариационные моменты границ
mS11
и mI11
комплексной гиперслучайной величи-
И. И. Горбань 23
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 16 – 27
ны Ż=X+jY как математические ожидания гра-
ниц произведения действительной и мнимой ча-
стей этой величины:
mS11
= MS [XY ], mI11
= MI [XY ],
а корреляционные моменты границ µS11
и µI11
–
как математические ожидания границ произведе-
ния ее центрированных вещественных и мнимой
частей:
µS11
= MS [(X −mSx)(Y −mSy)],
µI11
= MI [(X −mIx)(Y −mIy)].
Гиперслучайные величины X1 и X2 будем на-
зывать некоррелированными, если их корреляци-
онные моменты границ равны нулю: µS11
=µI11
=0.
При этом rS =rI =0 и ковариационные моменты
границ согласно выражению (36) связаны с мате-
матическими ожиданиями границ следующими за-
висимостями:
mS11
= mSx1
mSx2
,
mI11
= mIx1
mIx2
.
Гиперслучайные величины X1 и X2 будем на-
зывать ортогональными, если ковариационные мо-
менты границ равны нулю: mS11
=mI11
= 0. При
этом корреляционные моменты границ µS11
и µI11
,
как видно из выражения (36), оказываются свя-
занными с математическими ожиданиями границ
следующим образом:
µS11
= −mSx1
mSx2
,
µI11
= −mIx1
mIx2
.
Если гиперслучайные величины X1 и X2 некор-
релированы, то при гауссовских законах распре-
деления оси эллипсов рассеяния ориентированы
вдоль осей координат (рис. 3). Если существует
линейная зависимость между этими величинами,
то rS =rI =1 и эллипсы рассеяния вырождаются в
отрезки прямых (рис. 4):
x2 =
σSx2
σSx1
x1 +
(
mSx2
− σSx2
σSx1
mSx1
)
,
x2 =
σIx2
σIx1
x1 +
(
mIx2
− σIx2
σIx1
mIx1
)
.
Нетрудно показать, что из независимости гипер-
случайных величинX1 иX2 следует их некоррели-
рованность. Обратное утверждение в общем слу-
чае неверно.
Понятия некоррелированности и ортогональ-
ности гиперслучайных величин можно обобщить
на случай N комплексных гиперслучайных ве-
личин. Комплексные гиперслучайные величины
X1, . . . , XN назовем некоррелированными (попар-
но), если для всех n 6=m, n,m=1, N имеют место
равенства
MS [XnX
∗
m] = MS [Xn]MS[X∗
m],
MI [XnX
∗
m] = MI [Xn]MI [X
∗
m],
и ортогональными (попарно), если при тех же
условиях
MS [XnX
∗
m] = MI [XnX
∗
m] = 0.
Здесь звездочкой обозначена процедура компле-
ксного сопряжения.
В векторном случае для средних границ функ-
ции распределения можно ввести следующие ха-
рактеристики: вектор среднего математических
ожиданий границ функции ϕ(X)
M0[~ϕ( ~X)] =
(
MS [~ϕ( ~X)] +MI [~ϕ( ~X)]
)
/2,
вектор среднего математических ожиданий гра-
ниц гиперслучайной функции X
~m0x = (~mSx + ~mIx)/2,
вектор среднего дисперсий границ
~D0x =
(
M0[(Xl −m0xl
)2], l = 1, L
)
,
вектор среднего среднеквадратических отклоне-
ний ~σ0x, компоненты которого равны корню из
компонент дисперсии ~D0x, среднее начальных мо-
ментов границ
m0ν1...νL
= (mSν1...νL
+mIν1...νL
)/2,
среднее центральных моментов границ
µ0ν1...νL
= (µSν1...νL
+ µIν1...νL
)/2
и др.
Для гиперслучайных скалярных вели-
чин X1 и X2 очевидным образом можно
ввести среднее корреляционных моментов
µ011=(µS11+µI11)/2 и среднее ковариацион-
ных моментов m011 =(mS11+mI11)/2. Если
гиперслучайные величины некоррелированы, то
среднее корреляционных моментов границ µ011
равно нулю. Если же они ортогональны, то нулю
равно среднее ковариационных моментов m011.
Кроме указанных характеристик, может быть
предложен еще ряд других, аналогичных исполь-
зуемым при описании векторных случайных вели-
чин.
24 И. И. Горбань
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 16 – 27
n
0 1000 2000 3000 4000
x(
n)
0
10
20
30
40
50
60
m*
Ix+
*
Ix
m*
Ix
m*
Ix-
*
Ix
m*
Sx+
*
Sx
m*
Sx
m*
Sx-
*
Sx
а
x
0 10 20 30 40 50 60
F(
x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F*(x)
F*
I(x)
F*
S(x)
б
Рис. 5. Результаты регистрации уровня шума (а) и оценок функции распределения (б)
4. ОПИСАНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕ-
НИЙ
Проиллюстрируем возможности использования
предложенного математического аппарата для
описания акустических явлений на примере изме-
рения уровня шума в океане с помощью гидро-
акустического устройства, которое на протяжении
многих месяцев несколько раз в день регистрирует
данные в фиксированной точке океана. Естествен-
но, за время наблюдения акустические условия су-
щественно меняются. Это может быть обусловлено
разными причинами: изменчивостью метеорологи-
ческих условий, суточной и сезонной вариабельно-
стью активности живых организмов, изменением
условий судоходства и др. Исходя из этого, уро-
вень шума x(n) является функцией номера изме-
рения n (рис. 5, а).
Задачу измерения уровня шума можно форму-
лировать по-разному. Интересуясь усредненными
характеристиками, можно считать, что условия
зафиксированы самим фактом проведения иссле-
дований в конкретной точке океана. Тогда уро-
вень шума представляет собой случайную вели-
чину. Все данные, полученные в результате изме-
рений, можно рассматривать как выборку из ге-
неральной совокупности случайной величины, по
которой можно оценить вероятностные и число-
вые характеристики, например, оценку функции
распределения (кривая F ∗(x) на рис. 5, б), оцен-
ку математического ожидания, оценку дисперсии,
оценку корреляционного момента и др.
Воспользовавшись дополнительными сведения-
ми, например, о времени проведения измерений,
метеоусловиях, наличии судов в исследуемом ра-
йоне в разные периоды времени, можно сгруппи-
ровать полученные данные таким образом, чтобы
связать тот или иной результат измерения с опре-
И. И. Горбань 25
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 16 – 27
деленными условиями. Тогда при фиксированных
условиях уровень шума оказывается случайной ве-
личиной, по выборке из соответствующей гене-
ральной совокупности которой можно получить
соответствующие оценки вероятностных и число-
вых характеристик. Вся же совокупность данных
может рассматриваться либо как выборка из гене-
ральной совокупности случайной величины (если
известно априорное распределение вероятностей
условий), либо как выборка из генеральной сово-
купности гиперслучайной величины (если закон
распределения условий неизвестен и нет основа-
ний считать, что он существует).
Не располагая обширной дополнительной апри-
орной информацией и учитывая лишь то, что аку-
стические условия меняются достаточно медлен-
но, можно построить схему с измерением уровня
шума на ряде примыкающих друг к другу времен-
ных интервалов, где условия можно считать неи-
зменными. Множество данных, соответствующих
каждому такому интервалу, представляет собой
выборку из генеральной совокупности случайной
величины. При этом весь объем данных, получен-
ных при разных условиях, нельзя рассматривать
в качестве выборки из генеральной совокупности
определенной случайной величиной. Это – выбор-
ка из генеральной совокупности гиперслучайной
величины.
Во всех случаях, когда результат измерения
представляет собой гиперслучайную величину, вне
зависимости от того, каким образом она сформи-
рована, по полученной выборке из ее генеральной
совокупности можно рассчитать оценки границ ве-
роятностных характеристик и числовые характе-
ристики границ, в частности оценки верхней и ни-
жней границ функции распределения F ∗
S(x), F ∗
I (x)
(см. рис. 5, б), оценки математических ожиданий
границ m∗
Sx, m∗
Ix, среднеквадратических отклоне-
ний σ∗
Sx, σ∗
Ix (прямые на рис. 5, а), оценки диспер-
сий границ D∗
Sx, D∗
Ix и пр.
Приведенные результаты свидетельствуют, что
оценки границ функции распределения F ∗
S(x),
F ∗
I (x) и числовые характеристики границ (в част-
ности,m∗
Sx, m∗
Ix, σ∗
Sx, σ∗
Ix) несут значительно боль-
ше информации об исследуемой величине, чем
функция распределения F ∗(x) и аналогичные чи-
словые характеристики, рассчитанные по всему
объему данных. Нетрудно убедиться, что оцен-
ка средней границ функции распределения F ∗
0 (x)
близка к оценке функции распределения F ∗(x), а
оценки средних числовых характеристик границ
близки к соответствующим оценкам числовых ха-
рактеристик, получаемым по всему объему дан-
ных.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Многие реальные явления содержат элемен-
ты неопределенности, описать которые изве-
стными вероятностными способами не уда-
ется. К ним относятся события, величины
и функции, происходящие при неопределен-
ных условиях. Для характеристики такого
класса явлений, названных гиперслучайными,
предложено использовать полумеры, задавае-
мые на борелевском поле. Они характеризуют
верхнюю и нижнюю границы области неопре-
деленности. Для гиперслучайных событий эти
полумеры представляют собой границы услов-
ных вероятностей событий, а для гиперслу-
чайных величин – границы условных функ-
ций распределения.
2. Случайные события и величины представля-
ют собой частный случай гиперслучайных яв-
лений. Для случайных событий и величин рас-
сматриваемые полумеры совпадают и выро-
ждаются в вероятностную меру. При возра-
стании неопределенности границы области не-
определенности расширяются и при полной
неопределенности (полном хаосе) занимают
предельные значения.
3. Для описания гиперслучайных событий и ве-
личин разработан специальный математиче-
ский аппарат. Его основу составляют характе-
ристики и параметры, аналогичные использу-
емым в теории вероятностей.
4. Установлено, что оценки, описывающие ги-
перслучайные явления, несут больше инфор-
мации об исследуемом явлении и характе-
ризуют его полнее, чем аналогичные веро-
ятностные и числовые характеристики, рас-
считываемые классическими статистически-
ми методами. Поэтому тогда, когда есть осно-
вания полагать, что при проведении измере-
ний условия меняются и при этом не известно,
каким образом, следует отдавать предпочте-
ние предлагаемым методам описания неопре-
деленных явлений.
В настоящее время в печати находится моногра-
фия [14], в которой развиваются предложенный
подход и методы описания гиперслучайных явле-
ний.
БЛАГОДАРНОСТИ
Автор выражает благодарность академикам НАН
Украины В. Т. Гринченко и В. С. Королюку, а так-
26 И. И. Горбань
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 16 – 27
же доктору физ.-мат. наук профессору Ю. С. Ми-
шуре за критические замечания и конструктивное
обсуждение материалов статьи.
1. Горбань И. И. Случайность, гиперслучайность, ха-
ос и неопределенность // Стандартизацiя, серти-
фiкацiя, якiсть.– 2005.– N 3.– С. 41–48.
2. Бочарников В. П. Fuzzy-технология: Матема-
тические основы. Практика моделирования в
экономике.– С.-Пб: Наука РАН, 2001.– 328 с.
3. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Прило-
жения к представлению знаний в информатике.–
М.: Радио и связь, 1990.– 288 с.
4. Кофман А. Введение в теорию нечетких
множеств.– М.: Радио и связь, 1982.– 432 с.
5. Нечеткие множества и теория возможностей. По-
следние достижения / Под ред. Я. Я. Ягера.– М.:
Радио и связь, 1986.– 430 с.
6. Surgeno M. Fuzzy decision making problems //
Trans. Soc. Instr. Control Engng, Tokyo.– 1975.– 11,
N 6.– P. 85–90.
7. Королюк В.С. и др. Справочник по теории вероя-
тностей и математической статистике.– М.: Наука,
1985.– 637 с.
8. Колмогоров А. Н. Теория вероятностей и матема-
тическая статистика.– М.: Наука, 1986.– 535 с.
9. Горбань I. I. Теорiя ймовiрностей i математична
статистика для наукових працiвникiв i iнженерiв.–
К.: IПММС НАН України, 2003.– 244 с.
10. Шустер Г. Детерминированный хаос.– М.: Мир,
1988.– 240 с.
11. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических
системах.– М.: Постмаркет, 2000.– 350 с.
12. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu. Turbulence,
ideal // Encyclopedia of nonlinear science.– London:
Taylor Francis, 2005.– P. 955–957.
13. Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снар-
ский А. А. Введение в нелинейную динамику. Хаос
и фракталы.– К.: Наук. думка, 2005.– 263 с.
14. Горбань И. И. Теория гиперслучайных явлений.–
К.: ДП УкрНДНЦ (в печати).
И. И. Горбань 27
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-474 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:42:43Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбань, И.И. 2008-04-22T15:01:58Z 2008-04-22T15:01:58Z 2005 Гиперслучайные явления и их описание / И.И. Горбань // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 1-2. — С. 16-27. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/474 519.2+600.1 Исследованы недетерминированные массовые явления, для которых вероятностная мера не определена. Эти явления, названные гиперслучайными, наблюдаются тогда, когда условия проведения экспериментов меняются неизвестным образом. Разработаны основы математического аппарата для описания гиперслучайных явлений. Показано, что оценки, описывающие такие явления, несут больше информации и характеризуют их полнее, чем аналогичные вероятностные и числовые характеристики, рассчитываемые на основе классических статистических методов. The non-determinated mass phenomena, for which probability measure is undefined, are considered. Such phenomena are referred to as the hyper-random ones, and occur when the experimental conditions change in an unknown way. The fundamentals of mathematical apparatus for describing the hyper-random phenomena are developed. It is shown that the estimates describing such phenomena possess more information and characterize them in more detail than the corresponding probabilistic and numerical characteristics obtained by means of classical statistical methods. ru Інститут гідромеханіки НАН України Гиперслучайные явления и их описание Hyper-random phenomena and their description Article published earlier |
| spellingShingle | Гиперслучайные явления и их описание Горбань, И.И. |
| title | Гиперслучайные явления и их описание |
| title_alt | Hyper-random phenomena and their description |
| title_full | Гиперслучайные явления и их описание |
| title_fullStr | Гиперслучайные явления и их описание |
| title_full_unstemmed | Гиперслучайные явления и их описание |
| title_short | Гиперслучайные явления и их описание |
| title_sort | гиперслучайные явления и их описание |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/474 |
| work_keys_str_mv | AT gorbanʹii giperslučainyeâvleniâiihopisanie AT gorbanʹii hyperrandomphenomenaandtheirdescription |