Течiя Стокса у плоскому секторi
Cтатья касается двумерного ползущего течения в секторной полости, обусловленного касательной скоростью на её окружной границе. Для решения предложенной задачи развит аналитический метод суперпозиции; исследована точность удовлетворения граничных условий. Установлена связь с другим аналитическим подх...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4747 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Течiя Стокса у плоскому секторi / В.В. Мелешко, В.В. Лях // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 39-50. — Бібліогр.: 30 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859628722159616000 |
|---|---|
| author | Мелешко, В.В. Лях, В.В. |
| author_facet | Мелешко, В.В. Лях, В.В. |
| citation_txt | Течiя Стокса у плоскому секторi / В.В. Мелешко, В.В. Лях // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 39-50. — Бібліогр.: 30 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Cтатья касается двумерного ползущего течения в секторной полости, обусловленного касательной скоростью на её окружной границе. Для решения предложенной задачи развит аналитический метод суперпозиции; исследована точность удовлетворения граничных условий. Установлена связь с другим аналитическим подходом, методом однородных решений; отдельные результаты представляются неожиданными. Для нескольких углов раскрытия сектора и постоянной скорости на окружной границе приведены картины течений, таблица и графики распределений других физических характеристик. Для полукруглой полости получено простое замкнутое решение.
Cтаття стосується двовимiрної повiльної течiї у секторнiй порожнинi, що зумовлена дотичною швидкiстю на її круговiй границi. Для розв'язання запропонованої задачi розвинуто аналiтичний метод суперпозицiї; дослiджено точнiсть задоволення граничних умов. Встановлений зв'язок з iншим аналiтичним пiдходом, методом однорiдних розв'язкiв; окремi результати здаються несподiваними. Для кiлькох кутiв розхилу сектора i сталої швидкостi на круговiй границi наведенi картини течiй, таблиця i графiки розподiлiв iнших фiзичних характеристик. Для напiвкруглої порожнини отримано простий замкнутий розв'язок.
Paper deals with two-dimensional creeping flow in a sector cavity caused by a tangential velocity at its curved wall. An analytical method of superposition for the solution of the problem is developed; the accuracy of fulfilling the boundary conditions is investigated. Connection with another analytical method, the method of homogeneous solutions, is established; some results seem to be surprising. For some opening angles of the sector and a uniform velocity at the curved wall the streamlines patterns, the table, and the graphs of other physical distributions are shown. For the semicircular cavity a simple closed-form solution is obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-29T14:00:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 39 – 50
УДК 532.5
ТЕЧIЯ СТОКСА У ПЛОСКОМУ СЕКТОРI
В. В. МЕЛ Е ШК О, В. В. Л Я Х
Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка, Київ
Получено 20.04.2005 � Пересмотрено 20.05.2005
Cтаття стосується двовимiрної повiльної течiї у секторнiй порожнинi, що зумовлена дотичною швидкiстю на її
круговiй границi. Для розв’язання запропонованої задачi розвинуто аналiтичний метод суперпозицiї; дослiджено
точнiсть задоволення граничних умов. Встановлений зв’язок з iншим аналiтичним пiдходом, методом однорiдних
розв’язкiв; окремi результати здаються несподiваними. Для кiлькох кутiв розхилу сектора i сталої швидкостi на
круговiй границi наведенi картини течiй, таблиця i графiки розподiлiв iнших фiзичних характеристик. Для напiв-
круглої порожнини отримано простий замкнутий розв’язок.
Cтатья касаеться двумерного ползущего течения в секторной полости, обусловленного касательной скоростью на
её окружной границе. Для решения предложенной задачи развит аналитический метод суперпозиции; исследована
точность удовлетворения граничных условий. Установлена связь с другим аналитическим подходом, методом одно-
родных решений; отдельные результаты представляются неожиданными. Для нескольких углов раскрытия сектора
и постоянной скорости на окружной границе приведены картины течений, таблица и графики распределений других
физических характеристик. Для полукруглой полости получено простое замкнутое решение.
Paper deals with two-dimensional creeping flow in a sector cavity caused by a tangential velocity at its curved wall. An
analytical method of superposition for the solution of the problem is developed; the accuracy of fulfilling the boundary
conditions is investigated. Connection with another analytical method, the method of homogeneous solutions, is establi-
shed; some results seem to be surprising. For some opening angles of the sector and a uniform velocity at the curved wall
the streamlines patterns, the table, and the graphs of other physical distributions are shown. For the semicircular cavity
a simple closed-form solution is obtained.
ВСТУП
У цiй статтi мова йде про двовимiрну повiль-
ну течiю в’язкої нестисливої рiдини всерединi се-
кторної порожнини 0≤r≤a,−α≤ϑ≤α довiльного,
не бiльш бiльш нiж розгорнутого кута розхилу,
тобто 2α≤π. Течiю спричиняє задана на круговiй
границi r=a дотична швидкiсть, тодi як бiчнi стiн-
ки ϑ=±α лишаються нерухомими. Для розв’язан-
ня цiєї задачi застосований аналiтичний метод су-
перпозицiї, та встановлений зв’язок з iншим аналi-
тичним пiдходом – методом однорiдних розв’язкiв.
Графiчно представлено численну кiлькiсть розпо-
дiлiв фiзичних показникiв для рiзних кутiв розхи-
лу.
При дуже малих числах Рейнольдса (течiя Сто-
кса) двовимiрна задача протiкання нестисливої рi-
дини потребує розв’язати в областi порожнини
однорiдне бiгармонiчне рiвняння вiдносно функ-
цiї тока, так щоб задовольнити на границi областi
заданi значення функцiї тока i її нормальної по-
хiдної. Завдяки вiдомiй аналогiї Релея [1, 2] з ма-
тематично подiбними задачами про згин тонких
пружних защемлених пластин, є можливiсть за-
стосувати деякi розробленi у теорiї пружностi ме-
тоди (див., наприклад, статтi [3, 4]), аби розв’яза-
ти запропоновану задачу. Слiд нагадати, що для
напiвкруглої пружної пластини елегантний розв’я-
зок у замкнутiй формi через бiполярнi координати
незалежно отримано у роботах [5] i [6, 7].
Попри цi результати, задача про течiю Стокса у
секторнiй порожнинi детально не дослiджувалася
до сих пiр. У роботi [8], виходячи з методу розви-
нень за власними функцiями (методу однорiдних
розв’язкiв), вивчена течiя Стокса, що з’являється
у секторi з вiльною круговою границею внаслiдок
температурної конвекцiї - на бiчних стiнках задано
перепад температур. У статтi [9] дослiджено течiю
Стокса у кiльцевiй порожнинi завдяки руховi кру-
гових границь. У статтi [10] для течiї Стокса у на-
пiвкруглiй порожнинi зi сталою швидкiстю на кру-
говiй границi отримано простий замкнутий розв’я-
зок, який подiбний до вiдомого розв’язку Гудьє-
ра [11]–Тейлора [12] для чвертьплощини, в якiй
одна стiнка рухається зi сталою швидкiстю.
Цiкавим аспектом задачi про течiю Стокса в се-
кторi, що заслуговує окремої уваги, є природа течiї
в околi кутових точок. Релей [2] помилково ствер-
джував, що всi частковi похiднi вiд функцiї проги-
ну для защемленої пластинки мають дорiвнювати
нулю у кутових точках, i тому висновив, що на
малiй вiдстанi r вiд кута прогин спадає швидше
за будь-який ступiнь r. У роботi [13] зазначено,
що упущена можливiсть дробового показника при
r у функцiї тока (прогину), i встановлено, що для
порожнини у виглядi клина з нерухомими стiнка-
ми ϑ=0;α є ненульовi бiгармонiчнi функцiї тока
c© В. В. Мелешко, В. В. Лях, 2006 39
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 39 – 50
типу Ψ=rλ+1fλ(ϑ), де всi допустимi значення цьо-
го показника λ є числа суть комплекснi, принайм-
нi до певного кута розхилу 146.3◦. Mоффат [14]
з’ясував, що кожному такому комплексному λ бi-
ля вершини клина вiдповiдає нескiнченна вихрова
структура (пiзнiше названа ‘вихорами Моффата’).
З огляду на вiзуалiзованi в експериментi [15, 16]
вихори Моффата, цiкаво вивчити теоретично та-
ку поведiнку у скiнченному секторi. Питання на-
ступне – чи можна дослiдити течiю у скiнченному
секторi у тiй же мiрi, як це зробив Моффат [17] у
нескiнченному клинi.
Аби вiдповiсти на цi питання, у пропонованiй
роботi збудованi розв’язки за методом суперпози-
цiї та однорiдних розв’язкiв. Перший пiдхiд цiл-
ком аналогiчний до того, що використаний у робо-
тах [9, 18] для iнших типiв двовимiрних порожнин
з кутовими точками. Задовольняючи заданi грани-
чнi умови, приходимо до нескiнченної системи лi-
нiйних iнтегро-алгебраїчних рiвнянь вiдносно ко-
ефiцiєнтiв i щiльностi вiдповiдних рядiв i iнтегра-
лiв Фур’є. Знання головних членiв асимптотичної
поведiнки цих коефiцiєнтiв i щiльностi забезпечує
високу точнiсть при визначеннi картини течiй, рi-
зноманiтних фiзичних параметрiв, зокрема поля
швидкостей, в усiй областi включно з границею.
В данiй роботi встановлений зв’язок мiж двома
аналiтичними пiдходами, причому окремi резуль-
тати виявились дещо несподiваними.
Попри очевиднi переваги розв’язку за методом
суперпозицiї у задоволеннi граничних умов на збу-
рюючiй круговiй границi i при дослiдженнi ло-
кальної поведiнки функцiї тока поблизу вiдповiд-
них кутових точок (кути руху), вже при незна-
чному вiдходi вiд областi збурення в бiк вершини
сектора (кута застою), принаймнi на 10% у радi-
альному напрямку, вiдмiнностi у фiзичних пока-
зниках, обрахованих за двома методами, стають
такими невiдчутними, що ними можна знехтувати
i смiливо використовувати розвинення за власни-
ми функцiями, перехiд до якого вiд розв’язку за
суперпозицiєю встановлено. Причому тодi у цьо-
му розвиненнi достатньо скористатися лише кiль-
кома, а то й одним першим (головним) членом,
чого нi в якому разi не можна робити бiля границi
з неоднорiдними граничними умовами. Все сказа-
не повнiстю пiдтверджує справедливiсть висновкiв
Моффата [17] щодо асимптотичної структури течiї
поблизу вершини i для скiнченного сектора, при-
чому як в областi, де визначальним є вплив одно-
рiдних границь, так i в незначнiй областi збурення
поля неоднорiдними граничними умовами.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI
Розглянемо двовимiрну течiю Стокса у плоско-
му секторi з кутом при вершинi 2α (рис. 1). Те-
чiю спричиняє дотична швидкiсть V (ϑ) на круго-
вiй границi r=a, тодi як бiчнi стiнки |ϑ|=α неру-
хомi:
ur = 0, uϑ = 0, 0 ≤ r ≤ a, ϑ = ±α,
ur = 0, uϑ = V (ϑ), r = a, |ϑ|≤ α. (1)
У нашому аналiзi обмежимось кутами розхилу се-
ктора 2α≤ π i вважатимемо функцiю V (ϑ) непе-
рервною i парною. Компоненти вектора швидко-
стi можна подати через скалярну функцiю тока
Ψ(r, ϑ):
ur =
1
r
∂Ψ
∂ϑ
, uϑ = −
∂Ψ
∂r
. (2)
Функцiя тока для повiльної течiї в’язкої рiдини за-
довольняє однорiдне бiгармонiчне рiвняння [19,20]
∆∆Ψ = 0, (3)
де ∆ =
∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
+
1
r2
∂2
∂ϑ2
– оператор Лапласа в
полярних координатах (r, ϑ).
Для функцiї тока Ψ маємо класичну бiгармо-
нiчну задачу по знаходженню функцiї, значення
якої i нормальної похiдної якої заданi на границi
областi:
Ψ = 0,
∂Ψ
∂ϑ
= 0, 0 ≤ r ≤ a, ϑ = ±α,
Ψ = 0,
∂Ψ
∂r
= −V (ϑ), r = a, |ϑ|≤ α. (4)
Крiм математичної задачi знаходження розв’яз-
ку рiвнянь (3), (4), ставиться i фiзична задача до-
слiдження картини течiй поблизу границь обла-
стi, зокрема в кутах руху, встановлення полiв
завихрення i тиску.
2. МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ
Для розв’язання бiгармонiчної граничної зада-
чi (3), (4) використаємо два аналiтичнi методи.
Обидва вони ґрунтуються на певних частинних
розв’язках однорiдного бiгармонiчного рiвняння
(3), однак спосiб i, як наслiдок, якiсть виконання
граничних умов (4) рiзняться.
2.1. Метод однорiдних розв’язкiв
Фактично цей метод є узагальненням класично-
го метода Фур’є розв’язання рiвняння Лапласа в
40 В. В. Мелешко, В. В. Лях
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 39 – 50
Рис. 1. Схема секторної порожнини 0≤r≤a, |ϑ|≤α з
нерухомими бiчними гранями i заданою на круговiй
границi дотичною швидкiстю V (ϑ).
Зазначенi локальна система координат (ρ, χ) у
кутовiй точцi O(a, α) i точка роздiлення W (rw , α)
областi типу прямокутника або сектора, коли гра-
ниця має кутовi точки. Згiдно цього пiдходу [8]
функцiя тока вибирається у такому виглядi:
Ψ(r, ϑ) =
n=∞
∑
n=−∞
Cn
λ2
n − 1
(
r
a
)λn+1
φn(ϑ), (5)
де φn(ϑ) – такi власнi функцiї
φn(ϑ) = cos(λn − 1)α cos(λn + 1)ϑ −
− cos(λn + 1)α cos(λn − 1)ϑ, (6)
а власнi значення λn є комплекснi коренi рiвняння
sin 2αλ+ λ sin 2α = 0, (7)
з Reλ>0, λ−n=λ̄n (тут ¯ позначає компле-
ксну спряженiсть), звiдки випливає φ−n(ϑ)=φn(ϑ).
Комплекснi коефiцiєнти Cn (C−n=C̄n, C0=0) по-
трiбно знайти.
Функцiї φn(ϑ) i φ′
n(ϑ) дорiвнюють нулю при
|ϑ| = α, тобто граничнi умови (4) на |ϑ| = α ви-
конуються тотожно для довiльних Cn. Визначен-
ня справжнiх Cn є доволi нетривiальною задачею:
необхiдно розкласти двi заданi функцiї – значення
Ψ i ї ї нормальної похiдної на r = a – по неорто-
гональним комплексним функцiям φn(ϑ). В окре-
мих, вiдмiнних вiд нашого, випадках граничних
умов на r = a (за [21] так званих канонiчних за-
дачах) завдяки спецiальним вiдношенням бiорто-
гональностi для Cn можна встановити явнi вира-
зи [8, 22]. В iншому разi, i нашому зокрема, для їх
знаходження доводиться використовувати нескiн-
ченнi системи алгебраїчних рiвнянь, якi розв’язу-
ються простою редукцiєю, а отримуються рiзни-
ми шляхами. Зокрема, за методом найменших ква-
дратiв [22], або прямою коллокацiєю [23] i таке iн.;
бiльш ґрунтовно дивiться у роботi [21].
Хоча цей метод i виглядає доволi про-
сто, неминуче постає складне питання повноти
представлення (5), тобто чи достатньо в ньому
врахувати певну кiлькiсть членiв, аби з довiльною
бажаною точнiстю наблизити двi довiльнi функцiї,
заданi на r = a. Аби вiдповiсти на нього, очевидно
треба знати асимптотику Cn при великих n, що
не забезпечується розв’язком за редукцiєю. В ча-
стинному випадку V (α) = 0 (див., зокрема, [8])
гарних результатiв вдається досягти i невеликою
кiлькiстю членiв розкладу (5). В iншому разi ре-
зультати задоволення граничних умов на r = a бi-
ля кутових точок незадовiльнi; докладну дискусiю
i аналiз можна знайти в [9, 21].
2.2. Метод суперпозицiї
За цим методом функцiя тока Ψ у зрiзаному
клинi подається у виглядi суми двох бiгармонiчних
функцiй
Ψ = Ψ1 + Ψ2, (8)
якi повиннi мати достатню функцiональну свобо-
ду, аби задовольнити довiльним граничним умо-
вам для функцiї i її нормальної похiдної на грани-
цях r = a i |ϑ| = α, вiдповiдно.
Функцiя Ψ1 отримується стандартним роздiлен-
ням змiнних, а саме
Ψ1 = a
∞
∑
m=1
[
Am
(
r
a
)αm
+Bm
(
r
a
)αm+2
]
cosαmϑ,
де αm =
2m− 1
2α
π. (9)
Аби побудувати Ψ2, вводимо нову змiнну
ρ= ln(a/r) i шукаємо роз’язок бiгармонiчного рiв-
няння (3) у формi Ψ2 = F (ρ, ϑ) ae−ρ. Для функцiї
F з (3) отримаємо рiвняння:
∂4F
∂ρ4
+2
∂4F
∂ρ2∂ϑ2
+
∂4F
∂ϑ4
−2
∂2F
∂ρ2
+2
∂2F
∂ϑ2
+F = 0 (10)
в областi 0 ≤ ρ < ∞, |ϑ| ≤ α. Розв’язок цього
рiвняння, парний по ϑ, можна вибрати у виглядi
такого iнтегралу Фур’є
F=
∞
∫
0
[
C(β)
sh βϑ
sh βα
sinϑ+D(β)
ch βϑ
ch βα
cosϑ
]
sinβρdβ,
(11)
В. В. Мелешко, В. В. Лях 41
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 39 – 50
де щiльностi C(β) i D(β) поки невiдомi.
Оскiльки Ψ1 = 0 при |ϑ| = α для довiльних Am
i Bm i Ψ2 = 0 при r = a (ρ = 0) для будь-яких
C(β) i D(β), то з умови Ψ = 0 випливають вимоги
Ψ1 = 0 при r = a i Ψ2 = 0 при |ϑ| = α, якi призво-
дять, вiдповiдно, до спiввiдношень Am + Bm = 0
i C(β) sinα+D(β) cos α = 0. Останнi будуть вико-
нанi, якщо ввести новi невiдомi коефiцiєнти Xm i
щiльнiсть Y (β):
Am = Xm
(−1)m
2αm
, Bm = −Xm
(−1)m
2αm
, (12)
C(β) = −
α
π
·
Y (β)
β
cosα, D(β) =
α
π
·
Y (β)
β
sinα.
(13)
Тодi у нових позначеннях функцiя тока Ψ у се-
кторi, яка обнуляється на його границi i має до-
статню функцiональну свободу для задоволення
другої граничної умови на контурi, прийме такий
вигляд:
Ψ = a
∞
∑
m=1
(−1)m
2αm
Xm
[
(
r
a
)αm
−
(
r
a
)αm+2
]
cosαmϑ +
+ r
α
π
∞
∫
0
Y (β)P (β, ϑ)
sinβρ
β
dβ,
(14)
де
P (β, ϑ) =
chβϑ
chβα
cosϑ sinα−
shβϑ
shβα
sinϑ cosα. (15)
Застосовуючи наступний ряд Фур’є
ch (β+i)ϑ =
2
α
ch (β+i)α
∞
∑
m=1
(−1)m−1αm
α2
m+(β+i)2
cosαmϑ,
отримуємо такий розклад Фур’є:
P (β, ϑ) =
4β p(β)
α
∞
∑
m=1
(−1)m−1αm
(c2m+β2)(d2
m+β2)
cosαmϑ,
(16)
де
cm = αm − 1, dm = αm + 1,
p(β) = thβα sin2 α+ cthβα cos2 α.
(17)
За допомогою розкладу (16) i наступного iнтегра-
лу Фур’є (тут γ> 0)
(
r
a
)γ
= e−γρ =
2
π
∞
∫
0
β
β2 + γ2
sinβρdβ (18)
граничнi умови (4) для нормальної похiдної вiд
Ψ перетворюємо на таку нескiнченну iнтегро-
алгебраїчну систему лiнiйних рiвнянь вiдносно не-
вiдомих коефiцiєнтiв Xm i щiльностi Y (β):
Y (β)∆(β) −
4β2
α
∞
∑
m=1
αmXm
(c2m + β2)(d2
m + β2)
= 0,
β ≥ 0;
Xm−
4α2
m
π
∞
∫
0
β p(β)Y (β)
(c2m + β2)(d2
m + β2)
dβ =−αmVm,
m ≥ 1.
(19)
Тут введенi такi позначення
∆(β) = 1 +
β sin 2α
sh 2βα
,
Vm =
(−1)m−1
α
α
∫
−α
V (ϑ) cosαmϑ dϑ.
(20)
2.2.1. Аналiз нескiнченної системи
Аби переконатися у точностi поки що формаль-
ного розв’язку (14), потрiбно дослiдити збiжнiсть
розв’язку нескiнченної системи (19). Для цього
спочатку поглянемо на її вiльнi члени.
Нехай парна функцiя V (ϑ) є двiчi диференцiйо-
ваною. Тодi, iнтегруючи по частинах, можна отри-
мати
Vm =
2
αmα
V (α) + V̄m,
V̄m =
(−1)m
α2
mα
α
∫
−α
V ′′(ϑ) cosαmϑ dϑ,
(21)
причому V̄m = O(α−3
m ) при m → ∞. Насправдi,
(−1)m−1V̄m, m≥ 1 – це коефiцiєнти Фур’є функцiї
V (ϑ)−V (α), яка дорiвнює 0 при ϑ = ±α.
Послiдовнiсть αmVm є обмеженою, проте при
V (α) 6=0 вiльнi члени системи (19) не прямують до
нуля приm→∞. Аби зробити нескiнченну систему
бiльш зручною – зi спадаючими вiльними членами
– зробимо в (19) таку замiну невiдомих:
Xm = X0 + xm, Y (β) = Y0 + y(β), (22)
де певнi константи X0 i Y0 потрiбно визначити у
подальшому розглядi. Тодi вiдносно нових невiдо-
42 В. В. Мелешко, В. В. Лях
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 39 – 50
мих отримаємо таку нескiнченну систему:
y(β)∆(β)−
4β2
α
∞
∑
m=1
αmxm
(c2m+β2)(d2
m+β2)
= s(β),
β≥ 0,
xm −
4α2
m
π
∞
∫
0
β p(β) y(β)
(c2m + β2)(d2
m + β2)
dβ = rm,
m≥ 1,
(23)
де
s(β) = X0 S(β) − Y0 ∆(β),
rm = −αmVm −X0 + Y0 Rm,
(24)
S(β) =
4β2
α
∞
∑
m=1
αm
(c2m + β2)(d2
m + β2)
, (25)
Rm =
4α2
m
π
∫ ∞
0
β p(β)
(c2m + β2)(d2
m + β2)
dβ. (26)
Ряд S(β) шляхом простих перетворень можна пiд-
сумувати як
S(β) =
β
2πi
[
ψ
(
1
2
−
1 − iβ
c
)
− ψ
(
1
2
−
1 + iβ
c
)
−
−ψ
(
1
2
+
1 + iβ
c
)
+ ψ
(
1
2
+
1 − iβ
c
)]
.
(27)
Тут c=π/α; ψ – псi- (або дiгамма-) функцiя [24].
Iнтеграл Rm можна подати у явному виглядi
Rm =
4α2
m
π
[
It sin2 α+ Ic cos2 α
]
, (28)
де
It =
1
4αm
[
ψ
(
m+
1
c
)
− ψ
(
m−
1
c
)]
,
Ic =
1
4αm
[
ψ
(
m−
1
2
+
1
c
)
− ψ
(
m−
1
2
−
1
c
)]
−
−
c
4αm(α2
m − 1)
.
(29)
Далi, використовуючи асимптотичне представлен-
ня (див. [24], п. 6.3.18)
ψ(ζ)=ln ζ−
1
2ζ
−
1
12ζ
+O
(
1
ζ4
)
, ζ → ∞, |arg ζ|< π,
отримуємо такi асимптотичнi рiвностi:
S(β) =
2
π
+ O
(
β−2
)
, β → ∞,
Rm =
2
π
+ O
(
α−2
m
)
, m→ ∞.
(30)
Отже, за гладкої функцiї V (ϑ) можна записати
s(β) =
(
2
π
X0 − Y0
)
+ O
(
β−2
)
, β → ∞,
rm =
(
−
2
α
V (α)−X0 +
2
π
Y0
)
+ O
(
α−2
m
)
, m→ ∞.
(31)
Покладаючи для X0 i Y0 такi значення
X0 =−
2π2
π2 − 4
V (α)
α
, Y0 =−
4π
π2 − 4
V (α)
α
, (32)
ми позбуваємось головних членiв у (31), а отже
s(β) i rm затухатимуть, вiдповiдно, як O
(
β−2
)
i
O
(
α−2
m
)
при β → ∞ i m→ ∞.
Можна показати, що сума S(β) i iнтеграли Rm,
якi є сумами недiагональних елементiв вiдповiдно
1-го та iнших (m≥1) рядкiв матрицi нескiнченної
системи (19), чiтко меншi за одиницю. Тодi за за-
гальною теорiєю лiнiйних нескiнченних систем [25]
система (19) є цiлком регулярною, i метод простої
редукцiї збiгається до єдиного ‘головного’ розв’яз-
ку за умови обмежених правих частин. Хоча реду-
кцiю можна застосувати i безпосередньо до систе-
ми (19), проте представлення (22), (32) дозволяє
значно покращити збiжнiсть розв’язку i застосу-
вати до (19) метод ‘покращеної’ редукцiї, або, що
те саме, просто редукцiю до вже бiльш зручної –
з затухаючими вiльними членами – системи (23):
xm = 0, m > M, (33)
причому на практицi достатньо обмежитись незна-
чною кiлькiстю перших членiв, за звичай п’ятьма
(M = 5). Цей процес покращення редукцiї i збi-
жностi є стандартною для чисельних методiв те-
хнiкою прискорення збiжностi шляхом видiлення
повiльної частини у замкнутому виглядi i можна
продовжити, якщо врахувати в (22) подальшi чле-
ни (асимптотичного) розкладу.
2.2.2. Точний розв’язок нескiнченної системи
В окремому випадку при α =
1
2
π, коли клинови-
дна порожнина стає напiвкруглою, i задано сталу
кругову швидкiсть V (ϑ)=V0, нескiнченна система
(19) має точний розв’язок у замкнутiй формi:
Xm =X0 =−
4πV0
π2 − 4
, Y (β)=Y0 =−
8V0
π2 − 4
(34)
для всiх m i β.
Дiйсно, у цьому випадку маємо αm =2m−1 i
αmVm =
4
π
V0, Rm =
2
π
, S(β) =
2
π
,
В. В. Мелешко, В. В. Лях 43
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 39 – 50
звiдки rm = 0, s(β) = 0. Тому з однорiдної регу-
лярної нескiнченної системи (23) отримаємо
xm = 0, m ≥ 1, y(β) = 0, 0 ≤ β <∞, (35)
звiдки i випливає розв’язок (34).
3. ФУНКЦIЯ ТОКА ТА IНШI ФIЗИЧНI ХА-
РАКТЕРИСТИКИ
Пiдставляючи спiввiдношення (22) в (14) i видi-
ляючи головну частину у замкнуту форму, за до-
помогою суми (59) та iнтегралiв (60), (61) отрима-
ємо таке представлення функцiї тока у секторнiй
порожнинi:
Ψ =
r2 − a2
2a
[
X0
α
π
arctan
2(ar)c/2 cos πϑ
2α
ac − rc
−
−
∞
∑
m=1
(−1)m
αm
xm
(
r
a
)αm
cosαmϑ
]
+
+ Y0
α
π
[
arctan
ac − rc
2(ar)c/2 cos πϑ
2α
cos ϑ sinα −
− arctan
(
ac − rc
ac + rc
tg
πϑ
2α
)
sinϑ cosα
]
+
+ r
α
π
∞
∫
0
y(β)
β
[
chβϑ
chβα
cos ϑ sinα −
−
shβϑ
shβα
sinϑ cosα
]
sin
(
β ln
a
r
)
dβ,
(36)
де c=π/α. Попри дещо складний вигляд, вираз
(36) дозволяє ефективно розраховувати функцiю
тока i поле швидкостей в усiй облаcтi. Аби отрима-
ти компоненти вектора швидкостi на контурi поро-
жнини, треба здiйснити певнi простi граничнi пе-
реходи.
Для напiвкруглої порожнини (α =
1
2
π, c = 2)
та сталої швидкостi V (ϑ) = V0, враховуючи (34)
i (35), розв’язок (36) набуває простого замкнутого
вигляду
Ψ =−
2V0
π2 − 4
(
πr cosϑ −
−
π(a2− r2) + 4ar cosϑ
2a
arctan
2ar cos ϑ
a2− r2
)
,
(37)
який спiвпадає з тим, що вже визначено в [10].
Виразiв (36) i (2) достатньо для отримання по-
ля швидкостей i, зокрема, лiнiй тока. Тут важли-
вою є асимптотична поведiнка xm, y(β). Загалом,
при довiльнiй граничнiй швидкостi V (ϑ) у (22)
xm =O(α−1
m ), m→ ∞ i y(β)=O(β−1), β → ∞. Про-
те, якщо V ′(α)=0, що виконується i для важливо-
го частинного випадку сталої граничної швидкостi
V (ϑ)=V0, то xm =o(α−2
m ), m → ∞ i y(β)=o(β−2 ),
β → ∞ (бiльш докладно дивiться в [9]). Тодi ря-
ди i iнтеграли у виразi (36) i похiдних вiд нього
збiгаються рiвномiрно i абсолютно в усiй областi
0< r≤ a, |ϑ|≤ α≤
1
2
π.
Оскiльки вираз (36) задовольняє бiгармонiчне
рiвняння (3) i граничнi умови (4) для функцiї Ψ
тотожно, то оцiнкою його якостi є лише точнiсть
задоволення цих умов для похiдних вiд Ψ. Так
обрахованi, для M = 5 в (33), значення кругової
швидкостi uϑ на r = a при певних, позаяк довiль-
них α ≤
1
2
π i як завгодно близькому наближеннi
до кутiв r = a, |ϑ| = α вiдрiзняються вiд заданого
сталого значення щонайгiрше у п’ятому знаку.
Аналiтичний вираз (36) також дозволяє знайти
на бiчних гранях точки, в яких нульова лiнiя то-
ка роздвоюється. Цi точки роздiлення спричиня-
ють iснування так званих сепаратрис – нульових,
окрiм граничних, лiнiй тока, якi зумовлюють iсну-
вання вихрового пакету, що часто спостерiгається
в експериментах. Знайдемо положення цих точок
i кути нахилу сепаратрис таким чином.
Нехай точка W (rw, α) на бiчнiй гранi є точкою
роздiлення нульової лiнiї тока (див. рис. 1). Роз-
кладемо функцiю тока Ψ(r, ϑ) в околi цiєї точки в
ряд Тейлора по ∆r = rw− r, ∆ϑ = α− ϑ. Тодi з
використанням вираза (2) можна записати
Ψ(rw − ∆r, α− ∆ϑ) = Ψ(rw, α) +
+
[
uϑ
∣
∣
W
∆r − (rur)
∣
∣
W
∆ϑ
]
+
+
1
2
[
−
∂uϑ
∂r
∣
∣
∣
∣
W
(∆r)2 + 2
∂(rur)
∂r
∣
∣
∣
∣
W
∆r∆ϑ +
+
∂(rur)
∂ϑ
∣
∣
∣
∣
W
(∆ϑ)2
]
+
+
1
6
[
∂2uϑ
∂r2
∣
∣
∣
∣
W
(∆r)3 + 3
∂2uϑ
∂r ∂ϑ
∣
∣
∣
∣
W
(∆r)2∆ϑ +
+3
∂2uϑ
∂ϑ2
∣
∣
∣
∣
W
∆r(∆ϑ)2 −
∂2(rur)
∂ϑ2
∣
∣
∣
∣
W
(∆ϑ)3
]
+
+O
(
(∆r)4, (∆ϑ)4
)
.
(38)
Далi, компоненти швидкостi ur, uϑ разом зi своїми
частинними похiдними по r дорiвнюють нулю. То-
дi, якщо точка (r−∆r, α−∆ϑ) належить нульовiй
лiнiї тока, то мають виконуватись такi спiввiдно-
44 В. В. Мелешко, В. В. Лях
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 39 – 50
шення:
∂ur
∂ϑ
∣
∣
∣
∣
W
= 0, 3
∂2uϑ
∂ϑ2
∣
∣
∣
∣
W
∆r−
∂2(rur)
∂ϑ2
∣
∣
∣
∣
W
∆ϑ = 0.
(39)
Перше визначає величину rw, а друге – кут нахи-
лу, тобто
tgχw =
rw ∆ϑ
∆r
= 3
∂2uϑ
∂ϑ2
∣
∣
∣
∣
W
/
∂2ur
∂ϑ2
∣
∣
∣
∣
W
. (40)
3.1. Локальна поведiнка функцiї тока
За допомогою представлення (36) можна про-
аналiзувати поведiнку функцiї тока в околi кутiв.
Зокрема, вводячи локальну систему координат
ρ, χ з центром у кутовiй точцi O(a, α) (див. рис. 1),
як
ρ cosχ = r sin(α− ϑ), ρ sinχ = a− r cos(α− ϑ),
i переходячи у виразi (36) до нових локальних ко-
ординат, пiсля розкладу всiх членiв у ряди по ρ
отримаємо при ρ→ 0
Ψ=−
4V0
π2 − 4
ρ
[
χ cosχ−
π
2
(
π
2
−χ
)
sinχ
]
+ O(ρ2).
(41)
З виразу (41) видно, що бiля кутових точок, зокре-
ма O(a, α), поведiнка потоку спiвпадає з вiдомим
розв’язком Тейлора [12] для течiї Стокса у чвер-
тьплощинi, в якiй стiнка χ = 0 рухається зi сталою
швидкiстю.
3.2. Завихрення i тиск
Окремий iнтерес представляють поля завихрен-
ня ω(r, ϑ),
ω = ∇2Ψ, (42)
i тиску p(r, ϑ). Функцiя тиску визначається з рiв-
нянь Стокса
∇p=µ∆~u, (43)
(тут ~u=(ur, uϑ) – вектор швидкостi, що виражає-
ться через функцiю тока формулами (2); µ – в’яз-
кiсть рiдини) прямим iнтегруванням з точнiстю до
однорiдного стану стиску-розтягу, як
p/µ=−Q+ const, (44)
де Q – гармонiчна функцiя, спряжена з функцiєю
завихрення ω умовами Кошi-Рiмана.
Вiдмiтимо, що локально, бiля кутових точок
(a,±α), картини лiнiй рiвного завихрення i тиску
(зокрема для 2α=60◦, див. рис. 3, a i b вiдповiдно)
цiлком спiвпадають з тими, що можна отримати
з розв’язку Тейлора [12] для течiї Стокса у чвер-
тьплощинi з однiєю рухомою (зi сталою швидкi-
стю) стiнкою.
4. ЗВЯ’ЗОК МIЖ ДВОМА МЕТОДАМИ
Розглянемо питання, як взаємопов’язанi два до-
волi рiзнi представлення (5) i (14) функцiї Ψ. Для
цього уважно дослiдимо iнтегральну частину Ψ2
представлення (14). Враховуючи парнiсть функцiї
Y (β), що видно з (19), подамо Ψ2 у комплекснiй
формi:
Ψ2(r, ϑ) =
α r
2πi
∞
∫
−∞
β−1Y (β)P (β, ϑ) eiρβ dβ. (45)
Тепер введемо до розгляду такi мероморфнi функ-
цiї X(ζ) i F (ζ, ϑ) комплексної змiнної ζ:
X(ζ) =
∞
∑
m=1
8αmXm
(c2m + ζ2)(d2
m + ζ2)
, (46)
F (ζ, ϑ) =
ζ
∆M (ζ)
Q(ζ, ϑ)X(ζ), (47)
де введенi наступнi позначення:
∆M (ζ) = sh 2αζ + ζ sin 2α,
Q(ζ, ϑ) = ch ζϑ sh ζα cosϑ sinα
− sh ζϑ ch ζα sinϑ cosα.
(48)
Тодi вираз (45) можна переписати як
Ψ2(r, θ) =
r
2πi
∞
∫
−∞
F (β, ϑ) eiρβ dβ. (49)
Цей iнтеграл можна обрахувати за теоремою про
лишки.
Замикаючi контури слiд вибрати у виглядi по-
слiдовностi пiвкiл |ζ| = Rn, Im ζ > 0, причому
Rn=(n+1/4)π/α. Причина вибору саме таких кон-
турiв, якi роздiляють коренi ζn рiвняння ∆M(ζ)=0
(воно насправдi спiвпадає з рiвнянням (7) з точнi-
стю до множника у змiннiй), є цiлком подiбною до
пояснень Файлона [26], тобто аби знехтувати iнте-
гралом по пiвколу |ζ| = Rn при n→ ∞. Дiйсно, це
можна зробити завдяки оцiнкам
|∆M(ζ)| ≥ c (|ζ|+ e2α |Re ζ|), |ζ| = Rn, (50)
де c > 0 – певна константа, незалежна вiд n.
Всерединi замкнутих контурiв пiдiнтегральна
функцiя має простi полюси в точках ζ=icm, ζ=idm
i нулях ∆M(ζ). Враховуючи значення лишкiв
функцiї F (ζ, ϑ) eiρζ , тобто
Resζ=ζn
F (ζ, ϑ)eiρζ =
ζn
∆′
M (ζn)
Q(ζn, ϑ)X(ζn) eiρζn ,
В. В. Мелешко, В. В. Лях 45
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 39 – 50
Resζ=icm
F (ζ, ϑ)eiρζ =
Q(icm, ϑ)
∆M(icm)
e−ρ(αm−1)Xm,
Resζ=idm
F (ζ, ϑ)eiρζ = −
Q(idm, ϑ)
∆M(idm)
e−ρ(αm+1)Xm,
отримаємо
Ψ2(r, ϑ) = r
∞
∑
n=1
ζn
∆′
M(ζn)
Q(ζn, ϑ)X(ζn) eiρζn +
+ r
∞
∑
m=1
Xm e−αmρ
{
Q(icm, ϑ) eρ
∆M (icm)
−
Q(idm, ϑ) e−ρ
∆M(idm)
}
.
(51)
Нескладно показати, що
Q(icm, ϑ) eρ
∆M (icm)
−
Q(idm, ϑ) e−ρ
∆M(idm)
=
= −
(−1)m
2αm
[
a
r
−
r
a
]
cosαmϑ.
Тодi другий доданок у виразi для Ψ2 (51) вiдрiзня-
ється вiд Ψ1 з (14) лише знаком. А отже, маємо
Ψ(r, ϑ) = a
∞
∑
n=1
ζn X(ζn)
∆′
M(ζn)
Q(ζn, ϑ)
(
r
a
)−iζn+1
,
Im ζn > 0, r < a.
(52)
Ця формула дає розклад розв’язку Ψ(r, ϑ) в ряд
за однорiдними розв’язками
Ψn(r, ϑ) = Q(ζn, ϑ)
(
r
a
)−iζn+1
, (53)
де ζn – нулi функцiї ∆M(ζ) з додатною уявною
частиною i занумерованi у порядку зростання їх
модулiв.
Аби пов’язати вирази (5) i (53), зробимо в остан-
ньому замiну ζn=iλn, де λn (Re λn>0) вже коренi
рiвняння (5). З урахуванням
Q(iλn, ϑ) =
i
2
φn(ϑ)
отримаємо
Ψ(r, ϑ) =
∞
∑
n=1
C̃n φn(ϑ)
(
r
a
)λn+1
, Reλn> 0, (54)
де
C̃n = −
a λn
2 ∆′
M(iλn)
X(iλn).
Якщо тут ввести позначення λ−n = λ̄n, C̃−n = C̃n,
φ−n(ϑ) = φn(ϑ), n ≥ 1, то з точнiстю до множника
отримаємо (5).
Табл 1. Виконання граничної умови uϑ|r=a
=1
при 2α=60◦ залежно вiд методу розв’язання:
1 – метод суперпозицiї (M=5),
2 – однорiднi розв’язки (N=20) за методом
найменших квадратiв,
3 – однорiднi розв’язки (N=20): точнi значення
коефiцiєнтiв за формулою (55)
ϑ/α 1 2 3
0.0 1.000 0.962 0.944
0.1 1.000 0.962 0.947
0.2 1.000 0.962 0.954
0.3 1.000 0.963 0.968
0.4 1.000 0.964 0.989
0.5 1.000 0.968 1.026
0.6 1.000 0.976 1.068
0.7 1.000 0.993 1.132
0.8 1.000 1.033 1.217
0.9 1.000 1.151 1.297
1.0 1.000 0 0
Отже, на цьому шляху встановлення зв’язку
мiж розв’язками за методами однорiдних розв’яз-
кiв (5) i суперпозицiї (14) отримали всi коефiцiєнти
розкладу за однорiдними розв’язками (54) у явно-
му виглядi:
C̃n = −
2aλn
α cos 2αλn + sinα cosα
×
×
∞
∑
m=1
αmXm
(c2m− λ2
n)(d2
m− λ2
n)
, n≥ 1, Re λn> 0,
(55)
залежно вiд геометрiї областi i дiйсних коефiцiєн-
тiв Xm, якi легко встановити у спосiб, наведений
вище.
5. ЧИСЕЛЬНI РЕЗУЛЬТАТИ I АНАЛIЗ
Для чисельного аналiзу виберемо важливий ча-
стинний випадок сталої дотичної швидкостi на
кришцi сектора uϑ|r=a=V (ϑ)≡1.
Перш за все, звернемо увагу на виконання гра-
ничних умов, зокрема єдиної неоднорiдної умови
(див. табл. 1). Очевидно, як не раз зазначалося
ранiше [9, 18], що метод суперпозицiї (табл. 1, 1)
тут поза конкуренцiєю – за доволi незначної кiль-
костi обчислювальних операцiй (зрiзана матриця
лише 5× 5) досягається точне виконання всiх гра-
ничних умов, особливо у кутових точках, де доти-
чна швидкiсть має розрив.
Проте, бiльш докладно потрiбно зупинитись на
iншому. З наведених даних виявляється, що роз-
винення за власними функцiями (54) (сума бере-
ться вiд 1 до N=20) з точними значеннями ко-
ефiцiєнтiв C̃n дає гiрший результат (табл. 1, 3),
46 В. В. Мелешко, В. В. Лях
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 39 – 50
нiж таке саме представлення, але вже з коефiцiєн-
тами, встановленими за методом найменших ква-
дратiв (МНК) (табл. 1, 2). Причому це стосується
як поточкової збiжностi, так i збiжностi у розу-
мiннi середньо-квадратичної похибки. (Аналогiчнi
результати отриманi у роботi [22], де у бiльш про-
стiй ‘канонiчнiй’ задачi точнi коефiцiєнти визна-
чаються завдяки вiдомим спiввiдношенням бiорто-
гональностi.) Узагальнимо цей на перший погляд
дивний результат: для довiльного скiнченного N
iснує хоча б один, а отже i безлiч наборiв коефi-
цiєнтiв Cn, 1≤n≤N таких, що вiдповiдне зрiзане
розвинення за власними функцiями є бiльш то-
чним, анiж те, що отримане iз точного розв’язку
(54). Цей набiр можна знайти за МНК. (Нагадає-
мо, що всi наведенi у цiй роботi типи розв’язкiв за-
довольняють бiгармонiчне рiвняння тотожньо не-
залежно вiд вибору коефiцiєнтiв, який впливає ли-
ше на якiсть виконання граничних умов.) З огля-
ду на теорiю рядiв Фур’є, цей висновок – довiль-
на скiнченна кiлькiсть доданкiв точного розв’яз-
ку не є оптимальною – настiльки ж неочiкуваний,
наскiльки i прогнозований, оскiльки не виконує-
ться головна необхiдна умова цiєї теорiї – функцiї
φn(ϑ), n≥1 не є ортогональними.
Дискусiю з цього приводу можна розвинути.
Зокрема, зауважимо на таких двох моментах. По-
перше, при збiльшеннi N коефiцiєнти Cn, обрахо-
ванi за МНК, збiгаються до точних значень C̃n.
Так знайдеться досить великеN>20 таке, що Cn =
C̃n, 1≤n≤20. Проте iнша частина Cn з ростом n
значно вiдрiзнятиметься вiд точних значень, аби
задовольнити вимогам МНК. По-друге, якщо за-
фiксувати N у МНК i збiльшувати його у зрi-
заному ‘точному’ розвиненнi, виконання гранич-
ної умови для дотичної швидкостi покращувати-
меться в першу чергу у точках, ближчих до осi
клина ϑ=0◦, i ще довго буде поступатися МНК
при наближеннi до кутових точок i у середньо-
квадратичному розумiннi загалом.
Вище викладене засвiдчує, що точний вираз
(54), аналогiчно iншим розв’язкам за методом вла-
сних розвинень, є непридатним – його неможли-
во використати – в околi кутових точок збурюю-
чої границi, в яких дотична швидкiсть має розрив
(V (α)6=0). Попри це, розв’язок (54) є корисним не
лише теоретично. З форми однорiдних розв’язкiв i
властивостей власних значень λn (див. [8,17]) оче-
видно випливає швидке їхнє степеневе затухання
при r<a. Тому для розв’язку (54) в цiлому визна-
чальним буде лише його перший член i коефiцiєнт
при ньому, а отже, при вiдходi вiд границi збуре-
ння, принаймнi на 10% у радiальному напрямку,
зрiзаний розв’язок (54), N=5, у наших обчислен-
нях майже не вiдрiзняється вiд розв’язку за МНК
i суперпозицiєю. Причому, цифра 10% тут досить
умовна, а головний якiсний висновок був вiдомий
заздалегiдь – чим далi ми вiдходимо вiд збурю-
ючої границi, тим менше N можна вибирати, на-
вiть 1, якщо ‘достатньо’ вiдiйти. Цi висновки пов-
нiстю пiдтверджують всi результати Моффата [17]
i для скiнченного клина (сектора) i дозволяють з
використанням готових формул (54),(55) швидко
порахувати необхiднi фiзичнi показники на доста-
тнiй вiдстанi вiд границi r=a. З огляду на точнiсть
пiдрахункiв i кiлькiсть обчислювальних операцiй,
нема нiякої необхiдностi звертатися анi до МНК,
де потрiбно розв’язати систему лiнiйних алгебра-
їчних рiвнянь порядку, принаймнi, 20×20, аби за-
безпечити точнiсть перших коефiцiєнтiв Cn, анi до
розв’язку за суперпозицiєю, де треба порахувати
невласнi iнтеграли вiд швидко осцилюючих фун-
кцiй. Iнша справа поблизу збурюючої границi i вiд-
повiдних кутових точок, де, як вже зазначалося,
треба застосовувати розв’язок за методом супер-
позицiї, в якому пiдiнтегральнi функцiї вже будуть
повiльно осцилюючi.
Все це дає гарне пiдгрунтя для отримання на-
ступних результатiв. На рис. 2 вiдображенi кар-
тини течiй для рiзних характерних кутiв розхи-
лу сектора 2α. Специфiчний кут 2α=28.5◦ (див.
рис. 2, a – тут вихорiв Моффата бiльше за три)
обрано, аби порiвняти картину з експерименталь-
ними даними Танеди [15, 16], якому вдалося вiзуа-
лiзувати два першi вихори. Два наступнi кути 60◦
i 90◦ (три i два вихори, вiдповiдно, див. рис. 2, b
i с) – часто зустрiчаються. Рис. 2, d демонструє,
що вже при 2α=120◦ лишається один вихор, хоча
за формальною математикою вихорiв є нескiнчен-
на кiлькiсть для всiх наведених прикладiв i аж до
певного кута 146.3◦, при якому перший корiнь ха-
рактеристичного рiвняння (7) стає дiйсним. При
2α=120◦ всi iншi, окрiм першого, вихори захова-
нi на промiжку r<0.005a, а тому нема ‘фiзичного’
сенсу говорити про бiльш нiж один вихор, i карти-
на надалi до кута 180◦ (напiвкруг) не змiнювати-
меться.
На рис. 3, a i b для 2α=60◦ зображенi вiдповiдно
лiнiї рiвного завихрення (за формулою (42)) i лiнiї
рiвного тиску (iзобари). Тут зробленi позначення з
урахуванням того, що у поставленiй задачi функ-
цiя завихрення є парною по ϑ, а тиску – непарною.
Табл. 2, згiдно формул (39), (40), дає першi, тоб-
то найближчi до збурюючої границi, точки роздi-
лення нульової лiнiї тока (за [19] точки нульово-
го тертя) i кути нахилу сепаратрис у залежностi
вiд кута розхилу клина. Тут бачимо, що в дiапа-
В. В. Мелешко, В. В. Лях 47
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 39 – 50
Рис. 2. Картини течiй для кутiв розхилу 2α:
a – 28.5◦; b – 60◦; c – 90◦; d – 120◦
Табл 2. Точка нульового тертя rw i кут нахилу
сепаратриси χw для кута розхилу сектора 2α
2α, ◦ rw χw, ◦
10 0.804 58.52
28.5 0.530 58.07
60 0.236 56.15
90 0.080 52.44
120 0.009 45.44
зонi 2α, де наявний вихровий пакет, тобто бiльше
нiж один вихор, кут нахилу сепаратриси хоч i спа-
дає, проте надзвичайно повiльно i майже не змi-
нюється. ‘Нефiзичний’ (з точки зору малого вiд-
носного розмiру областi не першого вихора) випа-
док 2α=120◦ наведений для того, щоб продемон-
струвати, що, як i передбачається, рано чи пiзно
кут нахилу сепаратриси χw (до речi, разом з коор-
динатою rw точки роздiлення нульової лiнiї тока)
почне зменшуватися суттєво i має впасти на нуль
при 2α=146.3◦, коли сепаратриса та iншi, окрiм
першого, вихори Моффата зникнуть i формально.
Загалом, хоч в [19, 27] правильно зазначається,
що кут, пiд яким роздiляється нульова лiнiя то-
48 В. В. Мелешко, В. В. Лях
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 39 – 50
Рис. 3. Лiнiї завихрення (a) i iзобари (b) при 2α=60◦
ка на жорсткiй границi, не визначається лише ло-
кальними умовами i залежить вiд загальної карти-
ни обтiкання тiла, за результатами табл. 2 цi мiр-
кування необхiдно уточнити для нашого випадку.
Дiйсно, кут роздiлення хоч i незначно, але чутли-
вий лише до геометрiї всiєї областi, а саме кута
розхилу сектора 2α, тобто вiн вiдчуває, пiд яким
кутом нахилена протилежна жорстка стiнка, i оче-
видно не залежить вiд конкретного значення зада-
ної дотичної швидкостi.
ВИСНОВКИ
Результати цiєї роботи ще раз засвiдчують на
незамiнностi методу суперпозицiї у задачах для
течiй Стокса в областях з негладкими границя-
ми i негладкими граничними умовами. По-перше,
як i ранiше, це особливо стосується областi побли-
зу збурюючої границi, задоволення неоднорiдних
граничних умов на нiй i дослiдження локальної по-
ведiнки фiзичних полiв в околi вiдповiдних з цiєю
границею кутових точок. По-друге, завдяки мето-
ду суперпозицiї встановлений перехiд до розв’язку
за методом власних розвинень, який значно спро-
щує, порiвняно з тим-таки методом суперпозицiї
чи методом найменших квадратiв, обчислення не-
обхiдних характеристик при вiдходi вiд невеликої
областi збурення у значну область застою, де до-
мiнує вплив однорiдних граничних умов.
ДОДАТОК
1. В основнiй частинi використанi значення iн-
тегралiв
It =
∞
∫
0
x thpx dx
(x2 + q2)(x2 + r2)
= (56)
=
1
r2 − q2
[
ψ
(
1
2
+
pr
π
)
− ψ
(
1
2
+
pq
π
)]
,
Ic =
∞
∫
0
x cth px dx
(x2 + q2)(x2 + r2)
= (57)
=
1
r2 − q2
[
ψ
(pr
π
)
− ψ
(pq
π
)]
−
π
2p (q + r) qr
,
де p, q, r>0. (Цi iнтеграли не включенi до п.2.5.47
таблиць [28]. Тодi як формула (6) табл. 97 в [29]
мiстить помилку.)
Цi iнтеграли можна порахувати кiлькома шля-
хами. Ми використали теорему про лишки, зами-
каючи контур у верхню пiвплощину комплексної
площини ζ i знаходячи значення лишкiв у точках
ζn=i(2n − 1)π/2p, (n = 1, 2, . . .), ζq=iq, ζr=ir i
ζn=inπ/p, (n = 1, 2, . . .), ζq=iq, ζr=ir для iнтегра-
лiв It i Ic, вiдповiдно, а потiм використавши су-
му [28], п.5.1.6:
∞
∑
k=0
1
(k + a)(k + b)
=
1
b− a
[
ψ(b) − ψ(a)
]
. (58)
Iнший пiдхiд полягає у використаннi розкладiв
th px =
∞
∑
n=1
8px
(2n− 1)2π2 + 4p2x2
,
В. В. Мелешко, В. В. Лях 49
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 39 – 50
cth px =
1
px
+
∞
∑
n=1
2px
n2π2 + p2x2
,
якi призводять до очевидного iнтегрування пра-
вильних дробiв з подальшим застосуванням (58).
Варто вiдмiтити, що в формулi (6) табл. 97 в [29],
яка виражає (розбiжний) iнтеграл через (розбi-
жний) ряд, пропущений множник 2. Правильний
результат такий:
∞
∫
0
th px
x
x2 + q2
dx = 2π
∞
∑
n=1
1
2pq + (2n− 1)π
,
який, з рештою, також призводить до значення iн-
тегралу It.
2. Ми також використали значення суми [30]
∞
∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
e
−(2n−1)A cos(2n+1)x =
1
2
arctg
(cosx
shA
)
,
(59)
та iнтеграли [28], п.2.5.47:
∞
∫
0
sh ax
sh cx
·
sin bx
x
dx = arctg
(
tg
aπ
2c
th
bπ
2c
)
, (60)
∞
∫
0
ch ax
ch cx
·
sin bx
x
dx = arctg
(
sh bπ
2c
cos aπ
2c
)
. (61)
1. Rayleigh Lord. On the flow of viscous fluids, especi-
ally in two dimensions // Phil. Mag.– 1893.– (ser. 5),
36.– P. 354–372.
2. Rayleigh Lord. Hydrodynamical notes // Phil. Mag.–
1911.– (ser. 6), 21.– P. 177–195.
3. Hassé H. R. The bending of uniformly loaded clamped
plate in the form of circular sector // Quart. J. Mech.
Appl. Math.– 1950.– 3.– P. 271–278.
4. Morley L. S. D. Variational reduction of the clamped
plate to two succesive membrane problems with an
application to uniformly loaded sectors // Quart. J.
Mech. Appl. Math.– 1963.– 16.– P. 451–471.
5. Уфлянд Я. С. Биполярные координаты в теории
упругости.– М.: Гостехиздат, 1950.– 232 с.
6. Woinowsky-Krieger S. Clamped semicircular plate
under uniform load // Trans. ASME: J. Appl. Mech.–
1955.– 22.– P. 129–278.
7. Woinowsky-Krieger S. Über die Verwendung von Bi-
polarkoordinaten zur Lösung einiger Probleme der
Plattenbiegung // Ing.-Archiv.– 1956.– 24.– S. 47–
52.
8. Liu C. H., Joseph D. D. Stokes flow in wedge-shaped
trenches // J. Fluid Mech.– 1977.– 80, Part 3.–
P. 443–463.
9. Krasnopolskaya T. S., Meleshko V. V.,
Peters G. W. M., Meijer H. E. H. Steady Stokes
flow in an annular cavity // Quart. J. Mech. Appl.
Math.– 1996.– 49, Pt. 4.– P. 593–619.
10. Meleshko V. V., Gomilko A. M. Two-dimensional
Stokes flow in a semicircle // Прикладна
гiдромеханiка.– 1999.– 1(73), N 1.– С. 35–37.
11. Goodier J. N. An analogy between the slow moti-
on of a viscous fluid in two dimensions, and systems
of plane stress // Phil. Mag.– 1934.– (ser. 7), 17.–
P. 554–576.
12. Taylor G. I. On scraping viscous fluid from a plane
surface // Miszellaneen der Angewandten Mechanik
(ed. M. Schäfer).– Berlin, Akademie-Verlag, 1962.–
S. 313–315.
13. Dean W. R., Montagnon P. E. On the steady motion
of voscous liquid in a corner // Proc. Cambridge Phil.
Soc.– 1949.– 45.– P. 389–395.
14. Moffatt H. K. Viscous and resistive eddies near a
sharp corner // J. Fluid Mech.– 1964.– 18.– P. 1–
18.
15. Taneda S. Vizualization of separating Stokes flows //
J. Phys. Soc. Japan.– 1979.– 46.– P. 1935–1942.
16. Дайк ван М. Альбом течений жидкости и газа.–
М.: Мир, 1986.– 180 с.
17. Moffatt H. K. Viscous eddies near a sharp corner //
Arch. Mech. Stosow.– 1964.– 2.– S. 365–372.
18. Meleshko V. V. Steady Stokes flow in a rectangular
cavity // Proc. R. Soc. Lond.– 1996.– A 452.–
P. 1999–2002.
19. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.–
М.: Мир, 1973.– 758 с.
20. Meleshko V. V. Selected topics in the history of the
two-dimensional biharminc problem // Appl. Mech.
Rev.– 2003.– 56.– P. 33–85.
21. Spence D. A. A class of biharmonic end-strip
problems arising in Elasticity and Stokes flow // IMA
J. Appl. Math.– 1983.– 30.– P. 107–139.
22. Shankar P. N. On the use of biorthogonality relations
in the solution of some boundary value problems for
the biharmonic equation // Current Sci.– 2003.– 85,
N 7.– P. 975–979.
23. Wang C. Y. Low Reynolds number flow due to a
rotating finned shaft in a cylinder // Z. angew. Math.
Phys.– 1997.– 48.– S. 439–450.
24. Абрамовиц M., Стиган И. Справочник по спе-
циальным функциям с формулами, графиками и
таблицами.– М.: Наука, 1979.– 832 с.
25. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные
методы высшего анализа.– Л.: Физматгиз, 1962.–
708 с.
26. Filon L. N. G. On the expansion of polynomials in
series of functions // Proc. Lond. Math. Soc.– 1907.–
ser. 2, 4.– P. 396–430.
27. Michael D. H., O’Neill M. E. The separation of Stokes
flow // J. Fluid Mech.– 1977.– 80.– P. 785–794.
28. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И.
Интегралы и ряды. Т. 1. Элементарные функции.–
М.: Наука, 1981.– 800 с.
29. Bierens de Haan D. Nouvelles tables d’intégrales
définies.– London: Hafner, 1965.– 716 p.
30. Oberhettinger F. Fourier expansions: a collecton of
formulas.– London: Academic Press, 1973.– 64 p.
50 В. В. Мелешко, В. В. Лях
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4747 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T14:00:45Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мелешко, В.В. Лях, В.В. 2009-12-22T16:06:11Z 2009-12-22T16:06:11Z 2006 Течiя Стокса у плоскому секторi / В.В. Мелешко, В.В. Лях // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 39-50. — Бібліогр.: 30 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4747 532.5 Cтатья касается двумерного ползущего течения в секторной полости, обусловленного касательной скоростью на её окружной границе. Для решения предложенной задачи развит аналитический метод суперпозиции; исследована точность удовлетворения граничных условий. Установлена связь с другим аналитическим подходом, методом однородных решений; отдельные результаты представляются неожиданными. Для нескольких углов раскрытия сектора и постоянной скорости на окружной границе приведены картины течений, таблица и графики распределений других физических характеристик. Для полукруглой полости получено простое замкнутое решение. Cтаття стосується двовимiрної повiльної течiї у секторнiй порожнинi, що зумовлена дотичною швидкiстю на її круговiй границi. Для розв'язання запропонованої задачi розвинуто аналiтичний метод суперпозицiї; дослiджено точнiсть задоволення граничних умов. Встановлений зв'язок з iншим аналiтичним пiдходом, методом однорiдних розв'язкiв; окремi результати здаються несподiваними. Для кiлькох кутiв розхилу сектора i сталої швидкостi на круговiй границi наведенi картини течiй, таблиця i графiки розподiлiв iнших фiзичних характеристик. Для напiвкруглої порожнини отримано простий замкнутий розв'язок. Paper deals with two-dimensional creeping flow in a sector cavity caused by a tangential velocity at its curved wall. An analytical method of superposition for the solution of the problem is developed; the accuracy of fulfilling the boundary conditions is investigated. Connection with another analytical method, the method of homogeneous solutions, is established; some results seem to be surprising. For some opening angles of the sector and a uniform velocity at the curved wall the streamlines patterns, the table, and the graphs of other physical distributions are shown. For the semicircular cavity a simple closed-form solution is obtained. uk Інститут гідромеханіки НАН України Течiя Стокса у плоскому секторi Stokes flow in a plane sector Article published earlier |
| spellingShingle | Течiя Стокса у плоскому секторi Мелешко, В.В. Лях, В.В. |
| title | Течiя Стокса у плоскому секторi |
| title_alt | Stokes flow in a plane sector |
| title_full | Течiя Стокса у плоскому секторi |
| title_fullStr | Течiя Стокса у плоскому секторi |
| title_full_unstemmed | Течiя Стокса у плоскому секторi |
| title_short | Течiя Стокса у плоскому секторi |
| title_sort | течiя стокса у плоскому секторi |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4747 |
| work_keys_str_mv | AT meleškovv tečiâstoksauploskomusektori AT lâhvv tečiâstoksauploskomusektori AT meleškovv stokesflowinaplanesector AT lâhvv stokesflowinaplanesector |