Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю

Рассмотрены задачи максимизации расстояния, пройденного осесимметричным телом под водой по инерции в режиме суперкавитации. Движение считается горизонтальным, средняя плотность тела - фиксированной. Использовались пять различных изопериметрических условий: постоянство длины, калибра и объема тела пр...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2006
Main Authors:	Нестерук, I.Г., Семененко, В.М.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2006
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4748
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю / I.Г. Нестерук, В.М. Семененко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 51-59. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4748
record_format	dspace
spelling	Нестерук, I.Г. Семененко, В.М. 2009-12-22T16:06:32Z 2009-12-22T16:06:32Z 2006 Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю / I.Г. Нестерук, В.М. Семененко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 51-59. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4748 532.528 Рассмотрены задачи максимизации расстояния, пройденного осесимметричным телом под водой по инерции в режиме суперкавитации. Движение считается горизонтальным, средняя плотность тела - фиксированной. Использовались пять различных изопериметрических условий: постоянство длины, калибра и объема тела при постоянной начальной скорости, фиксированный начальный импульс и фиксированная начальная кинетическая энергия. Известные асимптотические соотношения для формы тонкой каверны позволили получить простые аналитические зависимости для оптимальных размеров тела и радиуса кавитатора в первых трех задачах. При фиксированных начальных импульсе и энергии найдены оптимальные значения начальной скорости и оптимальные размеры тела. Полученные результаты хорошо согласуются с численными расчетами с использованием программы SCAV, разработанной в ИГМ НАН Украины. Розглянутi задачi максимизацiї вiдстанi, яка пройдена осесиметричним тiлом пiд водою за iнерцiєю в режимi суперкавiтацiї. Використовувались припущення про фiксовану середню густину тiла та п'ять рiзних iзопериметричних умов: сталi довжина, калiбр та об'єм тiла при сталiй початковiй швидкостi, сталi початковий iмпульс i початкова кiнетична енергiя. Вiдомi асимтотичнi спiввiдношення для форми тонкої каверни дозволили отримати простi аналiтичнi залежностi для оптимальних розмiрiв тiла i радiуса кавiтатора в перших трьох задачах. При фiксованих початкових iмпульсi та енергiї знайдено оптимальнi значення початкової швидкостi та оптимальнi розмiри тiла. Отриманi результати добре узгоджуються з чисельними розрахунками з використанням програми SCAV, розробленої в IГМ НАН України. Maximum range problems are considered for the underwater supercavitating motion of axisymmetric body on inertia. Assumption of the constant body density and five different isoperimetric conditions were used: fixed body length, calibre or volume for fixed initial velocity, fixed initial momentum and fixed initial kinetic energy. The known asymptotic formulae for the slender cavity shape gave an opportunity to obtain simple analitic equations for optimal values of the body dimensions and the cavitator radius in three first problems. In cases of fixed initial momentum and fixed kinetic energy, optimal initial velocity and optimal body dimensions were found. Obtained results are in good agreement with calculations carried out with the programms SCAV developed at the Institute of Hydromechanics NAS of Ukraine. uk Інститут гідромеханіки НАН України Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю Optimization problems for supercavitation movement of axiаlly symmetric bodies by inertia Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю
spellingShingle	Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю Нестерук, I.Г. Семененко, В.М.
title_short	Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю
title_full	Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю
title_fullStr	Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю
title_full_unstemmed	Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю
title_sort	задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю
author	Нестерук, I.Г. Семененко, В.М.
author_facet	Нестерук, I.Г. Семененко, В.М.
publishDate	2006
language	Ukrainian
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
format	Article
title_alt	Optimization problems for supercavitation movement of axiаlly symmetric bodies by inertia
description	Рассмотрены задачи максимизации расстояния, пройденного осесимметричным телом под водой по инерции в режиме суперкавитации. Движение считается горизонтальным, средняя плотность тела - фиксированной. Использовались пять различных изопериметрических условий: постоянство длины, калибра и объема тела при постоянной начальной скорости, фиксированный начальный импульс и фиксированная начальная кинетическая энергия. Известные асимптотические соотношения для формы тонкой каверны позволили получить простые аналитические зависимости для оптимальных размеров тела и радиуса кавитатора в первых трех задачах. При фиксированных начальных импульсе и энергии найдены оптимальные значения начальной скорости и оптимальные размеры тела. Полученные результаты хорошо согласуются с численными расчетами с использованием программы SCAV, разработанной в ИГМ НАН Украины. Розглянутi задачi максимизацiї вiдстанi, яка пройдена осесиметричним тiлом пiд водою за iнерцiєю в режимi суперкавiтацiї. Використовувались припущення про фiксовану середню густину тiла та п'ять рiзних iзопериметричних умов: сталi довжина, калiбр та об'єм тiла при сталiй початковiй швидкостi, сталi початковий iмпульс i початкова кiнетична енергiя. Вiдомi асимтотичнi спiввiдношення для форми тонкої каверни дозволили отримати простi аналiтичнi залежностi для оптимальних розмiрiв тiла i радiуса кавiтатора в перших трьох задачах. При фiксованих початкових iмпульсi та енергiї знайдено оптимальнi значення початкової швидкостi та оптимальнi розмiри тiла. Отриманi результати добре узгоджуються з чисельними розрахунками з використанням програми SCAV, розробленої в IГМ НАН України. Maximum range problems are considered for the underwater supercavitating motion of axisymmetric body on inertia. Assumption of the constant body density and five different isoperimetric conditions were used: fixed body length, calibre or volume for fixed initial velocity, fixed initial momentum and fixed initial kinetic energy. The known asymptotic formulae for the slender cavity shape gave an opportunity to obtain simple analitic equations for optimal values of the body dimensions and the cavitator radius in three first problems. In cases of fixed initial momentum and fixed kinetic energy, optimal initial velocity and optimal body dimensions were found. Obtained results are in good agreement with calculations carried out with the programms SCAV developed at the Institute of Hydromechanics NAS of Ukraine.
issn	1561-9087
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4748
citation_txt	Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю / I.Г. Нестерук, В.М. Семененко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 51-59. — Бібліогр.: 18 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT nesterukig zadačioptimizaciídlâsuperkavitaciinogoruhuosesimetričnihtilzainerciêû AT semenenkovm zadačioptimizaciídlâsuperkavitaciinogoruhuosesimetričnihtilzainerciêû AT nesterukig optimizationproblemsforsupercavitationmovementofaxiallysymmetricbodiesbyinertia AT semenenkovm optimizationproblemsforsupercavitationmovementofaxiallysymmetricbodiesbyinertia
first_indexed	2025-11-25T22:42:17Z
last_indexed	2025-11-25T22:42:17Z
_version_	1850569010349867008
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 51 – 59 УДК 532.528 ЗАДАЧI ОПТИМIЗАЦII ДЛЯ СУПЕРКАВIТАЦIЙНОГО РУХУ ОСЕСИМЕТРИЧНИХ ТIЛ ЗА IНЕРЦIЄЮ I. Г. Н ЕСТЕ РУ К, B. М. С ЕМЕ Н ЕН К О Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ Отримано 26.06.2005 Розглянутi задачi максимизацiї вiдстанi, яка пройдена осесиметричним тiлом пiд водою за iнерцiєю в режимi супер- кавiтацiї. Використовувались припущення про фiксовану середню густину тiла та п’ять рiзних iзопериметричних умов: сталi довжина, калiбр та об’єм тiла при сталiй початковiй швидкостi, сталi початковий iмпульс i початкова кiнетична енергiя. Вiдомi асимтотичнi спiввiдношення для форми тонкої каверни дозволили отримати простi ана- лiтичнi залежностi для оптимальних розмiрiв тiла i радiуса кавiтатора в перших трьох задачах. При фiксованих початкових iмпульсi та енергiї знайдено оптимальнi значення початкової швидкостi та оптимальнi розмiри тiла. Отриманi результати добре узгоджуються з чисельними розрахунками з використанням програми SCAV, розробле- ної в IГМ НАН України. Рассмотрены задачи максимизации расстояния, пройденного осесимметричным телом под водой по инерции в ре- жиме суперкавитации. Движение считается горизонтальным, средняя плотность тела – фиксированной. Исполь- зовались пять различных изопериметрических условий: постоянство длины, калибра и объема тела при постоян- ной начальной скорости, фиксированный начальный импульс и фиксированная начальная кинетическая энергия. Известные асимптотические соотношения для формы тонкой каверны позволили получить простые аналитические зависимости для оптимальных размеров тела и радиуса кавитатора в первых трех задачах. При фиксированных начальных импульсе и энергии найдены оптимальные значения начальной скорости и оптимальные размеры тела. Полученные результаты хорошо согласуются с численными расчетами с использованием программы SCAV, разра- ботанной в ИГМ НАН Украины. Maximum range problems are considered for the underwater supercavitating motion of axisymmetric body on inertia. Assumption of the constant body density and five different isoperimetric conditions were used: fixed body length, calibre or volume for fixed initial velocity, fixed initial momentum and fixed initial kinetic energy. The known asymptotic formulae for the slender cavity shape gave an opportunity to obtain simple analitic equations for optimal values of the body dimensions and the cavitator radius in three first problems. In cases of fixed initial momentum and fixed kinetic energy, optimal initial velocity and optimal body dimensions were found. Obtained results are in good agreement with calculations carried out with the programms SCAV developed at the Institute of Hydromechanics NAS of Ukraine. ВСТУП Рух у водi пов’язаний з набагато бiльшими витра- тами енергiї порiвняно з пересуванням у повiтрi з такою ж швидкiстю через те, що густина води ρ приблизно у 800 разiв бiльша, нiж густина повi- тря ρa. Тому дуже актуальними є задачi зменше- ння гiдродинамiчного опору та збiльшення даль- ностi високошвидкiсного руху за iнерцiєю. Один iз способiв вирiшення проблеми полягає у змен- шеннi площi контакту поверхнi тiла з водою (за рахунок збiльшення поверхнi контакту з повiтрям або водяною парою). Для пiдводного руху ця iдея реалiзована на тiлах, що обтiкаються у суперкавi- тацiйному режимi (див., наприклад, [1, 2]). Аналiз осесиметричних задач суперкавiтацiйно- го руху за iнерцiєю ускладнюється вiдсутнiстю то- чних розв’язкiв та нестацiонарним характером те- чiї. У тих випадках, коли течiя вважається квазi- стацiонарною, можна використовувати закономiр- ностi стацiонарних каверн з поточним значенням числа кавiтацiї: σ = 2(p∞ − pc) ρU2 , (1) де ρ – густина води; U – поточна швидкiсть тiла; p∞ – тиск у водi далеко вiд тiла на глибинi його руху; pc – тиск на поверхнi каверни, який можна вважати сталим через велику рiзницю у густинах води та газiв, що заповнюють каверну. Зокрема, для видовжених каверн (тобто при σ << 1), утво- рених затупленими кавiтаторами при великих чи- слах Фруда, можна використовувати вiдомi асiм- птотичнi спiввiдношення [3] R2 = x(1− x) λ2 , (2) λ = L D = √ − lnσ σ , (3) D Rn = 2 √ Cx σ , (4) L Rn = 2 √ −Cx lnσ σ , (5) де Rn – радиус кавитатора; λ – видовження ка- верни; D – максимальний дiаметр каверни; L – довжина каверни; Cx – коефiцiєнт кавiтацiйного опору, c© I.Г.Нестерук, В.М.Семененко, 2006 51 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 51 – 59 Cx = 2X ρU2πR2 n ; (6) де X – складова сил тиску в напрямку осi x, що збiгається з напрямком набiгаючого потоку. В рiв- няннi (2) безрозмiрнi радiус каверни R та коорди- ната x вiднесенi до довжини каверни L. Якщо скористатись вiдомим спiввiдношенням для стацiонарного суперкавiтацiйного опору зату- плених кавiтаторiв Cx = Cx0(1 + σ) i знехтувати змiнами числа кавiтацiї, то величину Cx можна вважати сталою. Тодi рiвняння руху за iнерцiєю легко iнтегруються i пройдений тiлом шлях S ви- значаеться формулою (див. [4]) S = 2m ρCxπR2 n ln U0 U , (7) де m – маса тiла; U0 – початкова швидкiсть тiла. Дана робота присвячена аналiзу формули (7) для рiзних iзопериметричних умов та перевiрцi отриманих висновкiв за допомогою чисельних роз- рахункiв з використанням програми SCAV [5]. 1. ОПТИМАЛЬНА ФОРМА ТIЛА Досвiд показує, що пiсля замивання потоком во- ди частини тiла, розташованої в кавернi, воно пра- ктично зупиняється через значне зростання опору. Тодi формула (7) дозволяє зробити висновок, що оптимальна форма тiла повинна збiгатись з фор- мою каверни в момент замикання (див. також [4]). Будь-яка iнша форма вiдповiдає меншому кори- сному об’єму, тому для неї маса та вiддаль будуть меншими. Оскiльки значний практичний iнтерес має зада- ча збiльшення вiддалi S при фiксованому об’ємi тiла, варто замiсть Cx застосовувати так званi об’- ємнi коефiцiєнти опору: CV = 2X ρU2V 2/3 , (8) в яких використовується об’єм тiла V , що у випад- ку суперкавiтацiї складається з кавiтатора та ча- стини, розташованої всерединi каверни. З урахува- нням рiвнянь (6) та (8) спiввiдношення (7) можна записати у виглядi S = 2ρbV 1/3 CV ln U0 U , (9) де ρb = ρb/ρ; ρb = m/V – середня густина тiла. Рис. 1. Залежностi об’ємних коефiцiєнтiв опору тиску конусiв та диска вiд числа кавiтацiї З формули (9) видно, що при фiксованих iн- ших параметрах максимальна вiдстань досягає- ться при мiнiмальному значеннi CV . Якщо вважа- ти, що форма частини тiла, розташованої в кавер- нi, збiгається з формою каверни та замикача, рiв- няння (2), (3), (5), (8) дозволяють отримати фор- мулу (див. [6]) CV = 32/3π1/3σ4/3 42/3(− lnσ)1/3 . (10) Варто зауважити, що об’ємний коефiцiєнт опо- ру диска (або iншого затупленого кавiтатора) не мiстить величини Cx i залежить лише вiд числа кавiтацiї. Для тонких конусiв спостерiгається та- кож залежнiсть вiд кута при вершинi 2θ, а про- веденi в [7] розрахунки свiдчать про меншi зна- чення CV порiвняно з затупленими кавiтаторами в усiх дiапазонах чисел кавiтацiї. Для того, щоб пiдтвердити цей важливий висновок, використову- вались розрахунки в нелiнiйнiй постановцi за за- пропонованою в статтi [6] методикою. Результати представленi на рис. 1 маркерами. Для порiвняння наведено розрахунки за фор- мулою (10) для затуплених кавiтаторiв (штрихо- ва лiнiя) та з використанням лiнiйної постановки [8] (суцiльнi лiнiї). Видно, що тонкi кавiтатори ма- ють переваги, але в областi малих чисел кавiтацiї рiзницею в CV можна знехтувати. З рис. 1 вихо- дить також, що об’ємнi коефiцiєнти опору стрiмко спадають при зменшеннi числа кавiтацii, тому пе- реваги суперкавiтацiйного режиму особливо помi- тнi при мiнiмально можливих σ. Дуже малим числам кавiтацiї вiдповiдають ве- ликi видовження каверни λ, що видно з рис. 2, де представленi результати розрахункiв за форму- 52 I.Г.Нестерук, В.М.Семененко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 51 – 59 Рис. 2. Залежностi видовження системи кавiтатор-каверна для конусiв та диска вiд числа кавiтацiї лою (3) для затуплених кавiтаторiв та з використа- нням другого наближення для тонких каверн за тонкими кавiтаторами [9] (β = tgθ). Для тонких кавiтаторiв на рис. 2 наведено видовження систе- ми кавiтатор-каверна λS , що визначається за фор- мулою λS = λ + Rn/(βD) (для диска, звичайно, λS = λ)). Оскiльки контур cуперкавiтуючого тiла має бу- ти вписаним у каверну, то тiло повинно мати якнайбiльше видовження. Iснують, однак, кон- структивнi мiркування, що обмежують значення видовження корпусiв транспортних засобiв. Не- хай максимальне значення λS дорiвнює 20 (див. [10]). Тодi за формулою (3) мiнiмально допусти- ме число кавiтацiї для диска становить прибли- зно 0.01 (див. рис. 2), а рiвняння (8) дає мiнiмаль- но можливе значення об’ємного коефiцiєнта опору CV (0.01) = CV min = 0.0016. Для тонких кавiта- торiв мiнiмально допустимi числа кавiтацiї мають бiльшi значення (див. рис. 2), вiдповiдно бiльшими є i мiнiмально можливi значення CV . Наприклад, для β = 0.1 величина CV min становить приблизно 0.003. Тому для досягнення абсолютного мiнiмуму величини CV затупленi кавiтатори мають перева- ги. Порiвняння отриманих значень CV з опором традицiйних тiл (без використання кавiтацiї) на- веденi в [11, 12]. Зокрема, в [11] наголошується, що на ефективнiсть того чи iншого режиму обтiка- ння сильно впливають об’ємне число Рейнольдса ReV = UV 1/3/ν та можливiсть уникнення вiдриву примежового шару. В [12] показано, що для видов- жених елiпсоїдiв обертання при Re ≈ 108 суперка- вiтацiйний режим бiльш ефективний при σ < 0.06. 2. ОПТИМIЗАЦIЯ ДАЛЬНОСТI ПРИ ФIКСОВАНИХ ДОВЖИНI ТIЛА ТА ПОЧАТКОВIЙ ШВИДКОСТI Oбмежимось у подальшому випадком затупле- них кавiтаторiв i горизонтального руху тiла, для якого U0 U = √ σ σ0 , (11) де σ0 – початкове число кавiтацiї. Для визначення об’єму каверни достатньо проiнтегрувати спiввiд- ношення (2): V = πL3 6λ2 . (12) Пiдстановка у (9) рiвнянь (10)–(12) дозволяє отри- мати формулу S = 2ρbL 3σ ln σ σ0 , (13) з якої (13) видно, що для фiксованих ρb, L та σ0 пройдений за iнерцiєю шлях залежить лише вiд кiнцевого числа кавiтацiї σ. Максимум S в цьому випадку збiгається з максимумом функцiї f1(σ) = 1 σ ln σ σ0 . (14) Диференцiювання формули (14) дає df1 dσ = 1 σ2 ( 1 − ln σ σ0 ) . Прирiвнюючи похiдну до нуля, отримуємо, що найбiльший пройдений за iнерцiєю шлях досяга- ється при σ∗ = e σ0 = 2, 718 σ0. (15) Пiдстановка вираза (15) в (3) дає оптимальне ви- довження тiла: λ∗ = 0, 607 √ −1 − lnσ0 σ0 . (16) Як вiдзначалось у попередньому роздiлi, опти- мальна форма тiла має збiгатись з формою кавер- ни при кiнцевому числi кавiтацiї σ, коли вiдбуває- ться замивання, яке, в свою чергу, обмежене знизу значенням 0.01. Тому з формул (13), (15) випли- ває, що для випадку σ0 ≥ 0.01/e = 0.00368 макси- мальна дальнiсть визначається рiвнянням S = 2ρbL 3eσ0 = 0.245 ρbL σ0 . (17) I.Г.Нестерук, В.М.Семененко 53 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 51 – 59 Формули (5) та (15) дозволяють знайти оптималь- ний радiуc кавiтатора Rn∗ = 1.359Lσ0 √ −Cx(1 + lnσ0) , (18) який залежить не тiльки вiд довжини тiла i числа кавiтацiї, але i вiд коефiцiєнта опору Cx. Не слiд, однак, забувати, що збiльшення σ0 при- зводить до стрiмкого зростання CV , i переваги мо- же мати безвiдривний режим обтiкання (без ви- користання кавiтацiї). Для оцiнок скористаємось значенням CV = 0.008, досягнутим для пiдводного аппарату “DOLPHIN” фiрми North American Avi- ation [13]) при ReV = 8.5 · 106. Якщо звернутись до формули (10) або рис. 1, то можна стверджу- вати, що при σ0 > 0.03 суперкавiтацiйний режим не має переваг i формули (17), (18) не описують оптимальнi значення. Слiд вiдзначити, що при менших значеннях чис- ла Рейнольдса безвiдривний режим також може мати переваги. Дiйсно, оцiнки CV для чисто ламi- нарного обтiкання без вiдриву примежового шару за формулою [14] CV = 4.708√ ReV дають при ReV > 3.4 · 105 значення, меншi 0.008. Тому для цього дiапазону чисел Рейнольдса фор- мули (17), (18) описують оптимальнi значення ли- ше для 0.00368 ≤ σ0 ≤ 0.03. Для значень числа кавiтацiї σ0 < 0.01/e = 0.00368 максимум функцiї (14) досягається при мi- нiмально можливому значеннi σ = 0.01, а макси- мальна дальнiсть дорiвнює S = 66.66ρbL ln 0.01 σ0 . (19) Оптимальна форма тiла в цьому випадку збiгає- ться з формою каверни при σ = 0.01, тобто λ = 21.46, а оптимальне значення радiуса кавiтатора можна визначити з формули (5): Rn∗ = 0.00233L√ Cx . (20) На рис. 3 суцiльною лiнiєю показанi результати розрахунку максимального пройденого шляху за формулами (17), (19). Для порiвняння маркера- ми наведенi результати розрахунку з викориcта- нням програми SCAV. Розрахунки виконувались для моделi (a), близької до оптимальної (див. рис. 4) при ρb = 7.8. Для σ0 ≥ 0.00368 видовжен- ня моделi (а) та радiус кавiтатора мiнялись вiдпо- вiдно до числа кавiтацiї за формулами (16), (18). Рис. 3. Залежнiсть шляху, пройденого СК-моделями за iнерцiєю, вiд числа кавiтацiї Рис. 4. Форма СК-моделей для розрахункiв SCAV: a – модель, близька до оптимальної при σ = 0.01; b – модель, яка забезпечує ту саму дальнiсть; c – cтiйка СК-модель Штриховою лiнiєю показанi результати разрахун- кiв SCAV для стiйкої моделi (c). На рис. 4 представлено форму трьох суперка- вiтуючих (СК) моделей, для яких виконувались чисельнi розрахунки. Контур моделей апроксиму- вався ламаною лiнiєю. Модель (a) є близькою до оптимального тiла при σ = 0.01. Модель (b) є пе- реднею половиною моделi (a) подвiйного розмiру. При однакових середнiй густинi i довжинi модель (b) забезпечує таку саму дальнiсть, як i модель (a), тому теж може вважатись у деякому сенсi опти- мальною. Але при однаковiй середнiй густинi маса моделi (b) буде в 4 рази бiльшою, i для її розгону до фiксованої початкової швидкостi потрiбна вiд- повiдно в 4 рази бiльша енергiя. Якщо вiдмовитись вiд умови фiксованої середньої густини тiла i за- 54 I.Г.Нестерук, В.М.Семененко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 51 – 59 Рис. 5. Оптимальнi значення радiуса конiчних кавiтаторiв за формулами (18), (20) та розрахунками SCAV безпечити однаковi маси та вдвiчи меншу довжи- ну моделi (b), то форми (a) та (b) дають однакову дальнiсть. Для реальних СК-моделей обов’язковою є вимо- га стiйкостi руху. Як показано в роботах [15, 16], основним механiзмом стiйкостi вiльного руху висо- кошвидкiсних СК-моделей є їхня самостабiлiзацiя шляхом рикошетування вiд поверхнi каверни. Для стiйкостi руху необхiдно, щоб контакти моделi та поверхнi каверни вiдбувались вниз за потоком вiд центру мас моделi. Тобто стiйкiсть руху залежить як вiд форми, так i вiд конструкцiї моделей, а са- ме вiд положення центру мас та моменту iнерцiї. Стiйкicть руху СК-моделей перевiряється прямим комп’ютерним моделюванням за допомогою про- грами STAB [5, 16]. Однорiднi оптимальнi моделi (a) i (b) є нестiйки- ми. Модель (c) вiдрiзняється вiд моделi (b) дещо зменшеним дiаметром двох внутрiшнiх ребер, що робить її стiйкою. Стiйка “неоптимальна” модель (с) забезпечує дещо меншу дальнiсть (див. рис. 3). На рис. 5 суцiльними лiнiями показанi резуль- тати розрахунку оптимальних значень радiуса ко- нiчних кавiтаторiв за формулами (18), (20). Для порiвняння маркерами наведенi результати розра- хунку SCAV для моделi (а) при θ = 90o з вра- хуванням змiни її видовження при σ0 > 0.00368. Видно, що чисельнi результати практично збiга- ються з розрахунками за простими аналiтичними формулами (18),(20). Штриховою лiнiєю показано результати обчислень SCAV для стiйкої моделi (d), що є вдвiчi зменшеною копiєю моделi (c). 3. МАКСИМАЛЬНИЙ ШЛЯХ ПРИ ФIКСОВАНИХ КАЛIБРI ТIЛА ТА ПОЧАТКОВIЙ ШВИДКОСТI Якщо замiсть довжини зафiксувати наибiльший дiаметр (калiбр) тiла, то результати попереднього роздiлу дещо трансформуються. В цьому випад- ку при фiксованому ρb потрiбно знайти оптималь- нi значення довжини тiла L∗ i радiуса кавiтатора Rn∗. Пiдставляючи спiввiдношення (3) в (13), ма- ємо S = 2ρbD 3σ √ − lnσ σ ln σ σ0 . (21) З формули (21) видно, що для фiксованих ρb, D та σ0 пройдений за iнерцiєю шлях залежить лише вiд кiнцевого числа кавiтацiї σ. Максимум S в цьому випадку збiгається з максимумом функцiї f2(σ) = (− lnσ)1/2 σ3/2 ln σ σ0 . (22) Шляхом диференцiювання (22) та прирiвнювання похiдної до нуля можна втановити, що точка ма- ксимуму визначається з рiвняння: ( 3 − 1 lnσ ) ln σ σ0 = 2 або 3y2 − 3(y0 + 1)y + y0 = 0, (23) де y = lnσ; y0 = lnσ0. Квадратне рiвняння (23) має розв’язок y = 3(y0 + 1) − √ 9(y0 + 1)2 − 12y0 6 . (24) Iнший корень рiвняння (23) є додатним, тобто вiд- повiдає σ > 1 i не представляє фiзичного iнтересу. Розрахунок за формулою (24) показує, що в дiа- пазонi початкових чисел кавiтацiї 0.00001 ≤ σ0 ≤ 0.01 вiдношення σ/σ0 мiняється в межах вiд 1.91 до 1.85. Тобто, на вiдмiну вiд (15) можна вважати, що при фiксованому калiбрi тiла i малих σ0 σ∗ ≈ 1.9 σ0. (25) При цьому максимальна дальнiсть, яка визначає- ться формулою (21), дорiвнює S = ρbD 0.163[− ln(1.9σ0)] 1/2 σ 3/2 0 . (26) Формули (3), (5), та (25) дозволяють знайти опти- мальну довжину тiла i оптимальний радiуc кавi- татора прi σ0 ≥ 0.01/1.9 = 0.00526: L∗ = D √ − ln(1.9σ0) 1.9σ0 , Rn∗ = 0.689 D √ σ0 Cx . I.Г.Нестерук, В.М.Семененко 55 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 51 – 59 Для значень початкового числа кавiтацiї σ0 < 0.00526 максимум функцiї (22) досягається при мi- нiмально допустимому значеннi σ = 0.01, а макси- мальна дальнiсть дорiвнює S = 1431ρbD ln 0.01 σ0 . (27) Оптимальна форма тiла в цьому випадку збi- гається з формою каверни при σ = 0.01, тобто λ∗ = 21.46, а оптимальне значення радiуса кавi- татора можна визначити з формул (3), (5): Rn∗ = 0.05 D√ Cx . 4. МАКСИМАЛЬНИЙ ШЛЯХ ПРИ ФIКСОВАНИХ ОБ’ЄМI ТIЛА ТА ПОЧАТКОВIЙ ШВИДКОСТI У цьому випадку при фiксованому ρb потрiбно знайти оптимальнi значення довжини тiла L∗, ви- довження тiла λ∗ i радiуса кавiтатора Rn∗. Пiдстановка у (9) спiввiдношень (10), (11) дозво- ляє отримати S = ρbV 1/3 42/3(− lnσ)1/3 32/3π1/3σ4/3 ln σ σ0 . (28) З формули (28) видно, що для фiксованих ρb, V та σ0 пройдений за iнерцiєю шлях залежить лише вiд кiнцевого числа кавiтацiї σ. Максимум S у цьому випадку збiгається з максимумом функцiї f3(σ) = (− lnσ)1/3 σ4/3 ln σ σ0 . (29) Диференцiюючи вираз (29) та зануляючи похiдну, доходимо висновку, що точка максимуму визнача- ється з рiвняння: ( 4 − 1 lnσ ) ln σ σ0 = 3 або y2 − y(y0 + 1) + 0.25y0 = 0. (30) Квадратне рiвняння (30) має розв’язок y = 0.5(y0 + 1− √ (y0 + 1)2 − y0). (31) Iнший корень рiвняння (30) є додатним. Результа- ти розрахунку за формулою (31) у дiапазонi поча- ткових чисел кавiтацiї 0.00001 ≤ σ0 ≤ 0.03 дають приблизно вдвiчi бiльшi оптимальнi значення кiн- цевого числа кавiтацiї (вiдношення σ/σ0 мiняється в межах вiд 2.08 до 1.99). Тобто можна вважати, що при фiксованому об’ємi тiла σ∗ ≈ 2σ0. (32) Як вiдзначалось, оптимальна форма тiла має збi- гатись з формою каверни при кiнцевому числi кавiтацiї σ, коли вiдбувається замивання, яке в свою чергу обмежене знизу значенням 0.01. То- му з формул (28), (32) випливає, що для випадку 0.005 ≤ σ0 ≤ 0.03 максимальна дальнiсть дорiвнює S = ρbV 1/3 0.228[− ln(2σ0)] 1/3 σ 4/3 0 . Подiбну формулу запропоновано в [17], але за- мiсть (32) в нiй рекомендовано використовувати спiввiдношення σ∗ = σ0e 3/4 ≈ 1.79σ0. Формули (3), (5), (12) та (32) дозволяють ви- значити оптимальнi довжину i видовження тiла та оптимальний радiуc кавiтатора: L∗ = Rn∗ √ −Cx ln(2σ0) σ0 , λ∗ = √ − ln(2σ0) 2σ0 , Rn∗ = 0.985V 1/3σ 2/3 0√ Cx[− ln(2σ0)]1/6 . Для значень початкового числа кавiтацiї σ0 < 0.005 максимум функцiї (29) досягається при мiнi- мально допустимому значеннi σ = 0.01, а макси- мальна дальнiсть дорiвнює S = 638.7ρbV 1/3 ln 0.01 σ0 . (33) Оптимальна форма тiла в цьому випадку збiга- ється з формою каверни при σ = 0.01, тобто λ = 21.46, а оптимальне значення радiуса кавiта- тора можна визначити з формул (3), (5), (12): Rn∗ = 0.0223 V 1/3 √ Cx . (34) 5. ОПТИМIЗАЦIЯ ДАЛЬНОСТI ПРИ ЗАДАНОМУ ПОЧАТКОВОМУ IМПУЛЬСI При проектуваннi високошвидкiсних СК- моделей їхнiй початковий iмпульс I0 = mU0 або початкова кiнетична енергiя T0 = mU2 0 /2 визначаються характеристиками метального при- строю i часто вважаються заданими. При цьому 56 I.Г.Нестерук, В.М.Семененко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 51 – 59 виникає питання, що вигiднiше для досягнення найбiльшої дальностi: використовувати тiло малої маси з великою початковою швидкiстю U0 або тiло великої маси з малою U0. Для вiдповiдi на це запитання при фiксованому ρb потрiбно знайти оптимальнi значення довжини тiла L∗, видовження тiла λ∗, радiуса кавiтатора Rn∗ та початкової швидкостi U0∗. В цьому роздiлi дослiджуватиметься дане пита- ння за умов фiксованого початкового iмпульсу, в наступному – при заданiй початковiй кiнетичнiй енергiї. З умови сталого початкового iмпульсу I0 = = V ρbU0 = const та формули (1) випливає σ0 = 2ρ2 bV 2∆p ρI2 0 , (35) де ∆p = pa + ρgh − pc; pa – атмосферний тиск; g – прискорення вiльного падiння; h – глибина горiзонтального руху тiла. Формулу (9) з врахуванням (11), (35) можна пе- ретворити до такого вигляду: S = aσ 1/6 0 CV ln σ σ0 , a = I 1/3 0 ρ 2/3 b 21/6ρ5/6∆p1/6 . (36) З формули (36) видно, що для фiксованих параме- трiв, якi визначають сталу a, та заданому кiнцево- му числi кавiтацiї σ пройдений за iнерцiєю шлях залежить лише вiд початкового числа кавiтацiї σ0. Максимум S в цьому випадку збiгається з макси- мумом функцiї f4(σ0) = σ 1/6 0 ln σ σ0 . (37) Диференцiювання формули (37) дає df4 dσ0 = 1 6σ 5/6 0 ( ln σ σ0 − 6 ) . Тому найбiльший пройдений за iнерцiєю шлях до- сягається при σ0 = e−6σ = 0.00248 σ, (38) а максимальна дальнiсть дорiвнює S = 6aσ1/6 eCV . (39) Оскiльки функцiя σ1/6/CV монотонно спадає при збiльшеннi кiнцевого числа кавiтацiї (див. (10)), максимальна дальнiсть досягатимeться при мiнiмально допустимому значеннi σ = 0.01, тобто при λ∗ = 21.46. Тодi з формул (39), (10) випливає S = 654a = 583I 1/3 0 ρ 2/3 b ρ5/6∆p1/6 . (40) Формулою (40) слiд користуватись з обережнi- стю, оскiльки для σ = 0, 01 визначене за рiвнян- ням (38) оптимальне значення початкового числа кавiтацiї σ0∗ ≈ 2.5 · 10−5 (41) вiдповiдає надзвуковiй початковiй швидкостi U0∗ = √ 2∆p ρσ0 , i спiввiдношення (2)–(5) потребують корекцiї. Оптимальний об’єм тiла можна визначити за до- помогою формул (35) та (41): V∗ = 0.0035I0 ρb √ ρ ∆p , (42) а оптимальнi значення довжини тiла – з рiвнянь (3), (12) при σ = 0.01 L∗ = 9.58 V 1/3 ∗ . (43) Пiсля цього оптимальний радiус кавiтатора можна знайти за допомогою формул (35) або (20) з вико- ристанням величин (42) або (43) вiдповiдно. З формули (42) випливає, що даному випадку властива оптимальна маса тiла m∗ = 0.0035I0 √ ρ ∆p , яка лiнiйно залежить вiд фiксованого початкового iмпульса, не залежить вiд густини тiла i зменшує- ться при збiльшеннi глибини руху. 6. МАКСИМАЛЬНИЙ ШЛЯХ ПРИ ЗАДАНIЙ ПОЧАТКОВIЙ КIНЕТИЧНIЙ ЕНЕРГIЇ З умови сталої початкової кiнетичної енергiї T0 = 0.5V ρbU 2 0 = const та формули (1) випливає σ0 = ρbV ∆p T0 . (44) Формулу (9) з урахуванням (11), (44) можна пере- творити до такого вигляду: S = b σ 1/3 0 CV ln σ σ0 , b = T 1/3 0 ρb 2/3 ∆p1/3 . (45) I.Г.Нестерук, В.М.Семененко 57 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 51 – 59 З формули (45) видно, що для фiксованих параме- трiв, якi визначають сталу b, та заданому кiнцево- му числi кавiтацiї σ пройдений за iнерцiєю шлях залежить лише вiд початкового числа кавiтацiї σ0. Максимум пройденого за iнерцiєю шляху в цьому випадку збiгається з максимумом функцiї f5(σ0) = σ 1/3 0 ln σ σ0 . (46) Диференцiювання формули (46) дає df5 dσ0 = 1 3σ 2/3 0 ( ln σ σ0 − 3 ) . Тому найбiльше значення S досягається при σ0 = e−3σ = 0.0498 σ, (47) а максимальна дальнiсть дорiвнює S = 3 b σ1/3 eCV . (48) Оскiльки функцiя σ1/3/CV монотонно спадає при збiльшеннi кiнцевого числа кавiтацiї (див. (10)), максимальна дальнiсть досягатиметься при мiнiмально допустимому значеннi σ = 0.01, тобто при λ∗ = 21.46. Тодi з формул (48), (10) випливає S = 151, 9 b = 151.9 T 1/3 0 ρb 2/3 ∆p1/3 , (49) а оптимальне значення початкового числа кавiта- цiї визначається з (47) при σ = 0.01: σ0∗ ≈ 5 · 10−4. (50) Оптимальний об’єм тiла можна визначити за до- помогою формул (44) та (50): V∗ = 5 · 10−4 T0 ρb∆p . (51) Пiсля цього оптимальне значення довжини тiла можна знайти за формулою (43), а оптимальний радiус кавiтатора – за допомогою формули (34). З формули (51) випливає, що даному випадку властива оптимальна маса тiла m∗ = 5 · 10−4 T0ρ ∆p , (52) яка лiнiйно залежить вiд фiксованої початкової енергiї, не залежить вiд густини тiла i зменшує- ться при збiльшеннi глибини руху. Наявнiсть значення маси тiла, що забезпечує ма- ксимальну дальнiсть, зазначена в статтi [18], де да- на задача розв’язувалась чисельно. Для величин T0 = 265 кДж, ∆p ≈ 4 · 105 Н/м2 в [18] отри- мано значення m∗ = 0.24 кг. Формула (51) дає m∗ = 0.331 кг. Досить значнi розбiжностi можна пояснити рiзними формами тiл. В роботi [18] роз- глядаються лише конiчнi тiла, тим часом як опти- мальною є форма тiла, що збiгається з формою каверни (саме це та конструктивнi обмеження на видовження тiла приводять до рiвняння (51)). Ще бiльшими є розбiжностi в значеннях пройде- ного шляху. Для моделi, виготовленої з вольфра- мового сплаву (ρb ≈ 16.0), у [18] отримане значен- ня S = 225 м, тодi як формула (49) дає S = 841 м. Така значна вiдмiннiсть у величинах оптимальної дальностi свiдчить, що форма тiла сильно впли- ває на пройдений ним за iнерцiєю шлях, i якщо у момент замивання тiло не заповнює всю каверну, то дальнiсть значно зменшується. Оцiнити вплив цього чинника можна за допомогою множника α – частки об’єму каверни в момент замикання, зайня- тої тiлом (0 < α ≤ 1). Цей множник слiд добавити в усi формули для дальностi пiсля рiвняння (9). Зокрема, формула (49) набуває вигляду S = 151.9 b α = 151.9 αT 1/3 0 ρb 2/3 ∆p1/3 . (53) Для конiчних тiл роботи [18] значення α не тiль- ки менше 0.5 (через те, що для розмiщення тi- ла використовується лише передня частина кавер- ни до мiделя). Слiд також врахувати зазор 17% мiж тiлом i каверною, передбачений у [18]. Тодi α < 0.5/1.173 = 0.312, що пояснює згаданi вище розбiжностi у дальностi. Цiкаво зазначити, що наявнiсть множника α не впливає на функцiї fi, i = 1, 2, 3, 4, 5, тому залиша- ються справедливими спiввiдношення (15), (25), (32), (38), (47) для оптимальних значень початко- вих та кiнцевих чисел кавiтацiї. Зокрема, для опи- саного вище тiла роботи [18] σ0 = 0.0465 σ. Видно, що розбiжностi з (47) не перевищують 7%. 7. ВИСНОВКИ Отриманi аналiтичнi спiввiдношення дозволя- ють для рiзних iзопериметричних умов легко оцi- нити гранично можливу дальнiсть руху за iнерцi- єю СК-тiл та знайти оптимальнi параметри фор- ми та маси тiла, радiуса кавiтатора i початкової швидкостi. Зробленi оцiнки свiдчать, що на дальнiсть ду- же впливає форма тiла, i пройдений за iнерцiєю шлях може бути значно меншим вiд запропонова- них оптимальних значень, якщо тiло займає ли- 58 I.Г.Нестерук, В.М.Семененко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 51 – 59 ше частину каверни в момент замивання. Зокре- ма, для реальних СК-моделей дальнiсть буде мен- ше оптимальної з ряду причин, головною з яких є мiркування стiйкостi руху. Реальнi СК-моделi по- виннi проектуватись з врахуванням умов стiйкостi руху, тому їхня форма буде вiдмiнною вiд опти- мальної, зокрема, модель може заповнювати лише частину об’єму каверни в момент замивання. В IГМ НАНУ разроблено комплекс програм, що дозволяють розраховувати та моделювати рi- знi типи суперкавiтацiйних процесiв [5]. До скла- ду комплексу входять програма SCAV, призначена для розрахунку форми нестацiонарних суперка- верн i закону змiни швидкостi СК-моделей, i про- грама STAB, призначена для комп’ютерного мо- делювання динамiки та дослiдження стiйкостi ру- ху високошвидкiсних СК-моделей. Останнi версiї програм SCAV та STAB дають можливiсть чисель- но розв’язувати задачi оптимального проектуван- ня СК-моделей з врахуванням умов стiйкостi руху та найменшого вiдхилення моделей на заданiй ди- станцiї, а також умов мiцностi. 1. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со сво- бодными границами.– Киев: Наук.думка, 1969.– 208 с. 2. Савченко Ю. Н. О движении в воде на суперкавитационных режимах обтекания // Гидромеханика.– 1996.– Вып. 70.– С. 105-115. 3. Garabedian P.R. Calculation of axially symmetric cavities and jets // Pac. J. Math.– 1956.– Vol. 6, No. 4.– P. 611-684. 4. Путилин С. И. Некоторые особенности динамики суперкавитирующих моделей // Гидромеханика.– 2000.– Т. 2 (74), N 3.– С. 65-74. 5. Савченко Ю.Н., Семененко В.Н., Путилин С.И., Наумова Е.И. Программный комплекс компью- терного моделирования суперкавитационного дви- жения тел в воде // Математические машины и системы.– 1999.– N 2.– С. 48-57. 6. Heстерук I.Г. Моделювання осесиметричних i пло- ских вiльних поверхонь за допомогою джерел та диполiв // Прикладна гiдромеханiка.– 2003.– Т. 5(77), N 2.– С. 37-44. 7. Нестерук I.Г. Розрахунки опору тонких кону- сiв з використанням другого наближення для форми утворених ними каверн // Прикладна гiдромеханiка.– 2003.– Т. 5, N 1 .– С. 42-46. 8. Нестерук И.Г. Некоторые задачи осесимметри- чных кавитационных течений // Изв. АН СССР, МЖГ.– 1982.– N 1.– С. 28-34. 9. Нестерук И.Г. Об определении формы тонкой осесимметричной каверны на основе интегродиф- ференциального уравнения // Изв. АН СССР, МЖГ.– 1985.– N 5.– С. 83-90. 10. Savchenko Yu.M. Supercavitating object propulsi- on // Von Karman Institute for Fluid Dynamics.– February 12-16, 2001.– Lecture 3.– P. 1-25. 11. Нестерук I.Г. Часткова кавiтацiя на видовжених тiлах // Прикладна гiдромеханiка.– 2004.– Т. 6 (78), N 3.– С. 64-75. 12. Савченко Ю.Н., Савченко Г.Ю. Оценка эф- фективности использования суперкавитации на осесимметричных корпусах // Прикладна гiдромеханiка.– 2004.– Т. 6(78), N 4.– С. 78-83. 13. Гидробионика в судостроении. Обзор Петровой И.М.– М.: ЦНИИТЭИС, 1970.– 272 с. 14. Nesteruk I. The Problems of Drag Reduction in High Speed Hydrodynamics // Int. Summer Sci- entific School “High Speed Hydrodynamics”.– 2002.– Cheboksary, Russia.– P. 351- 359. 15. Савченко Ю.Н., Власенко Ю.Д., Семенен- ко В.Н. Экспериментальные исследования высокоскоростных кавитационных течений // Гидромеханика.– 1998.– Вып. 72.– С. 103-111. 16. Семененко В.Н. Компьютерное моделирование ди- намики суперкавитирующих тел // Прикладна гiдромеханiка.– 2000.– Т. 2(77), N 1.– С. 64-69. 17. Serebryakov V.V. The models of the supercavitation prediction for high speed motion in water // Int. Summer Scientific School “High Speed Hydrodynamics”.– 2002.– Cheboksary, Russia.– С. 71-92. 18. Gieseke T.J. Toward an optimal weapon system uti- lizing supercavitating projectiles // Int. Conference on Cavitation “Cav2001”.– 2001.– Pasadena, USA.– С. SessionB3.002. I.Г.Нестерук, В.М.Семененко 59

Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю

Institution

Similar Items