Математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi

Сделан анализ существующих неоднозначностей и противоречий в толковании терминов "солитон'', "уединенная'' и "одиночная волна''. Показано, что для однозначного описания околокритических течений, кроме числа Фруда, в их начальном сечении необходимо учитыва...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2006
Main Author:	Рябенко, О.А.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2006
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4749
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi / О.А. Рябенко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 60-72. — Бібліогр.: 42 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860249636475764736
author	Рябенко, О.А.
author_facet	Рябенко, О.А.
citation_txt	Математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi / О.А. Рябенко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 60-72. — Бібліогр.: 42 назв. — укр.
collection	DSpace DC
description	Сделан анализ существующих неоднозначностей и противоречий в толковании терминов "солитон'', "уединенная'' и "одиночная волна''. Показано, что для однозначного описания околокритических течений, кроме числа Фруда, в их начальном сечении необходимо учитывать также степень возможного искривления потока у вертикальной плоскости в том же сечении. Построена математическая модель волнообразных околокритических течений с учетом возможного искривления потока в их начальном сечении. Для условий поставленной задачи получено общее, а также частное решение для случая гидростатического распределения давления по глубине в начальном сечении рассматриваемых явлений. Зроблено аналiз iснуючих неоднозначностей та суперечностей у трактуваннi термiнiв "солiтон'', "самотня'' i "одиночна хвиля''. Показано, що для однозначного описання бiлякритичних течiй, крiм числа Фруда, в їх початковому перерiзi необхiдно враховувати також ступiнь можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в тому ж перерiзi. Побудована математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй з врахуванням можливого викривлення потоку в їх початковому перерiзi. Для умов поставленої задачi отримано загальний, а також частинний розв'язок для випадку гiдростатичного розподiлу тиску по глибинi у початковому перерiзi розглядуваних явищ. The analysis is made of existing indeterminancies and contradictions in treating terms "soliton'', "solitary'' and "single wave''. It is shown that for the non-ambiquous description of near-critical flows, besides Froude number, in their initial intersection it is necessary to vtake into account also the degree of possible flow curvature in the vertical plane in the same intersection. A mathematical model is built of wavelike nearcritical flows considering the possible flows curvature in their initial intersection. For the conditions of the problem set we obtained the general and also partial solution for case of the hydrostatic distribution of pressure in the initial intersection of phenomena discussed.
first_indexed	2025-12-07T18:41:18Z
format	Article
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 УДК 532.592 МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ХВИЛЕПОДIБНИХ БIЛЯКРИТИЧНИХ ТЕЧIЙ РIДИНИ З УРАХУВАННЯМ МОЖЛИВОГО ВИКРИВЛЕННЯ ПОТОКУ У ВЕРТИКАЛЬНIЙ ПЛОЩИНI В ЇХ ПОЧАТКОВОМУ ПЕРЕРIЗI O. A. Р Я Б ЕН К О Нацiональний унiверситет водного господарства та природокористування, Рiвне Получено 12.03.2005 Зроблено аналiз iснуючих неоднозначностей та суперечностей у трактуваннi термiнiв “солiтон”, “самотня” i “оди- ночна хвиля”. Показано, що для однозначного описання бiлякритичних течiй, крiм числа Фруда, в їх початковому перерiзi необхiдно враховувати також ступiнь можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в тому ж пе- рерiзi. Побудована математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй з врахуванням можливого викривлення потоку в їх початковому перерiзi. Для умов поставленої задачi отримано загальний, а також частинний розв’язок для випадку гiдростатичного розподiлу тиску по глибинi у початковому перерiзi розглядуваних явищ. Сделан анализ существующих неоднозначностей и противоречий в толковании терминов “солитон”, “уединенная” и “одиночная волна”. Показано, что для однозначного описания околокритических течений, кроме числа Фруда, в их начальном сечении необходимо учитывать также степень возможного искривления потока у вертикальной плоскости в том же сечении. Построена математическая модель волнообразных околокритических течений с учетом возможного искривления потока в их начальном сечении. Для условий поставленной задачи получено общее, а также частное решение для случая гидростатического распределения давления по глубине в начальном сечении рассматриваемых явлений. The analysis is made of existing indeterminancies and contradictions in treating terms “soliton”, “solitary” and “single wave”. It is shown that for the non-ambiquous description of near-critical flows, besides Froude number, in their initial intersection it is necessary to vtake into account also the degree of possible flow curvature in the vertical plane in the same intersection. A mathematical model is built of wavelike nearcritical flows considering the possible flows curvature in their initial intersection. For the conditions of the problem set we obtained the general and also partial solution for case of the hydrostatic distribution of pressure in the initial intersection of phenomena discussed. ВСТУП В останнi десятирiччя у таких галузях науки, як математика, фiзика, гiдромеханiка, гiдравлiка, гiдротехнiка, гiдрометеорологiя, океанографiя, га- зодинамiка, астрофiзика, бiологiя, солiтонiка та iн- шi, при розглядi рiзноманiтних хвиль i хвильових процесiв (як сказано в [1] – вiд елементарних ча- стинок до чорних дiр i рукавiв галактик) стосовно рiзних середовищ – рiдини, плазми, газу, атмосфе- ри, твердих тiл, напiвпровiдникiв, надпровiдникiв, лiнiй зв’язку, нервових волокон, кровоносних су- дин i т. п. – досить часто використовують поняття “солiтон”, “самотня хвиля”, “одиночна хвиля” [1 – 6]. При цьому автори в рiзних галузях науки тра- ктують цi термiни неоднозначно, вкладаючи в них рiзний змiст. Потрiбно констатувати, що єдиного загально- прийнятого визначення вищевказаних термiнiв (так само як i термiну “хвиля”) до нинiшнього часу ще не вироблено [4 – 6]. На жаль, до сих пiр також не встановленi однозначнi критерiї, якi б могли у якiсному та кiлькiсному вiдношеннях розрiзнити вказанi поняття, провести чiтку границю мiж ни- ми. Необхiдно пiдкреслити, що розглядуване пита- ння має велике наукове та практичне значення i виходить за рамки чисто термiнологiчної поста- новки проблеми, адже воно нерозривно пов’язане з питанням про умови iснування рiзних типiв згаду- ваних хвильових явищ. По сутi, саме цi умови ви- значають тип конкретного явища, утворюваного в межах реальних споруд, його основнi геометрич- нi характеристики (максимальну i другу спряженi глибини, довжину хвиль та iн.), вiд яких безпосе- редньо залежить прийняття необхiдних розмiрiв споруд у процесi їх проектування. Стосовно цiєї проблеми наука накопичила ве- личезну кiлькiсть фактичного теоретичного i екс- периментального матерiалу, часто розпорошеного серед рiзних її галузей, який конче потребує глибо- кого всестороннього аналiзу, осмислення та вiдпо- вiдних узагальнень. У процесi вироблення єдиної загальноприйнятої позицiї у цьому питаннi пози- тивну роль могли б (i повиннi!) вiдiграти вiдповiд- нi хвилi на водi, якi вiдносно легко можна отри- 60 c© О.А. Рябенко, 2006 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 мувати, спостерiгати в лабораторних i натурних умовах. При цьому рiзнi типи таких хвиль можна одержувати як нерухомими в просторi з усталеним у часi рухом води, так i рухомими з неусталеним рухом води. Тут доречно згадати, що саме на водi Дж. С. Рассел [7] вперше виявив i дослiдив рухому самотню хвилю, яку iнодi називають гiдродинамi- чним солiтоном Рассела [8, 9]. У данiй роботi ставиться мета розробити на основi проведених теоретичних i експерименталь- них дослiджень математичну модель хвилеподi- бних бiлякритичних течiй, в якiй би в явнiй фор- мi враховувалось можливе викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому пере- рiзi. Такий пiдхiд є оригiнальним i надзвичайно важливим для правильного розумiння хвилеподi- бних явищ, що утворюються не тiльки у водi, а й в iнших середовищах. 1. ЕКСПЕРИМЕНТИ З УСТАЛЕНИМИ БI- ЛЯКРИТИЧНИМИ ТЕЧIЯМИ Лабораторнi дослiдження усталених у часi бi- лякритичних течiй стосовно умов плоскої зада- чi проводилися у великому дзеркальному лотоку з прямокутною формою поперечного перерiзу гi- дротехнiчної лабораторiї Нацiонального унiверси- тету водного господарства та природокористуван- ня. Довжина лотока – 39.0 м, ширина – 1.0 м, висо- та – 1.7 м на початковiй дiлянцi довжиною 5.0 м i 1.0 м – на подальшiй частинi. Перша частина лото- ка, довжиною 23.1 м, встановлена на стацiонарних опорах i має постiйний поздовжнiй похил 0.000487, а друга частина, довжиною 15.9 м, влаштована на металевiй фермi таким чином, що її нахил можна змiнювати. Дно лотока – бетонне iз ретельно заза- лiзненою поверхнею. Дослiджуванi бiлякритичнi течiї утворювалися за схемою витiкання води з-пiд затвора, конфiгу- рацiю нижньої частини якого можна було змiню- вати. В проведених експериментах застосовували- ся чотири типи такої конфiгурацiї, описанi в [10], причому два з них мали плавний обрис нижньої частини, що дозволило позбавитися вертикально- го стиснення потоку за затвором. У процесi виконання дослiджень було викори- стано шiсть положень затвора на нерухомiй части- нi лотока. При цьому вiддаль вiд вихiдного краю затвора до кiнцевого перерiзу нерухомої частини лотока вiдповiдно становила: I – 17.85 м, II – 16.37 м, III – 10.87 м, IV – 4.90 м, V – 1.90 м. Обриси вiльної поверхнi потоку визначалися за допомогою тестера. На установцi для вимiрюван- ня осередненого тиску на дно по осi лотока було влаштовано двi групи п’єзометрiв загальною кiль- кiстю 95 шт. Приймальнi створи п’єзометрiв роз- ташовувались, в основному, з iнтервалом 5.0 см, лише шiсть останнiх приймальних створiв другої групи були розмiщенi з iнтервалом 10 см. Вихi- дний край затвора у II положеннi розташовував- ся над приймальним отвором п’єзометра N2 пер- шої групи, а у V та V I положеннях – вiдповiд- но над приймальними створами п’єзометрiв N6 та N26 другої групи. При цьому вiддаль мiж край- нiми приймальними отворами п’єзометрiв першої та другої груп становила 11.42 м. З метою отримання необхiдних типiв бiлякри- тичних течiй в якомога бiльш повному дiапазо- нi їх основних характеристик у проведених експе- риментах змiнювалися наступнi п’ять параметрiв дослiдiв: 1) витрата; 2) висота пiдняття затво- ра; 3) тип конфiгурацiї нижньої частини затвора; 4) довжина робочої дiлянки лотока з нерухомим дном (тобто використовувалися шiсть вищезгада- них положень затвора); 5) глибина нижнього б’є- фу. При цьому глибину нижнього б’єфу регулю- вали як за допомогою клапанного затвору, так i шляхом змiни похилу його кiнцевої частини. Основнi параметри дослiдiв при вивченнi бiля- критичних течiй з хвилястою поверхнею знаходи- лися в таких межах: витрата Q=27.0− 284.0 л/с, максимальна глибина пiд вершиною найвищої хви- лi hB =5.8− 40.0 см, причому характеристики по- току в початковому перерiзi дослiджуваних явищ були такими – глибина h1 =4.0− 26.0 см, коефiцi- єнт негiдростатичностi s1 =1.00−1.12, число Фру- да Fr1 =0.46− 4.53. Проведенi експерименти з установленими в ча- сi бiлякритичними течiями, коли утворюванi хвилi були нерухомими в просторi, виявили ряд насту- пних унiкальних явищ, якi суперечать iснуючим традицiйним поглядам i вимагають всесторонньо- го осмислення та пошукiв вiдповiдних пояснень. 1. Якщо затвор пiдняти на певну висоту hщ, то поступово змiнюючи значення витрати Q, мо- жна добитися такого руху води, при якому глиби- на вiдкритого потоку в перерiзi, вибраному безпо- середньо за затвором, буде дорiвнювати критичнiй глибинi, пiдрахованiй за формулою hk = 3 √ αq2 g , де α – коефiцiєнт кiнетичної енергiї; q – питома витрата; g – прискорення вiльного падiння. Суть даного парадоксу полягає в тому, що пи- тома енергiя перерiзу, знайдена за формулою О.А. Рябенко 61 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 E = h + αυ2 2g , при h = hk дорiвнює мiнiмальному значенню E = Emin, хоча потiк не зупиняється, а продов- жує рухатися, витрачаючи певну енергiю на цей рух. Форма вiльної поверхнi потоку та параметри двох дослiдiв iз hщ = hk наведенi в [11]. 2. Дослiди з кноїдальними хвилями, безстрибко- вим вальцевим спряженням б’єфiв та одиночною хвилею [10 – 15], проведенi при числах Фруда Fr1 < 1, показали, що експериментальнi значення другої спряженої глибини he 2 цих явищ та макси- мальної глибини he B бiлякритичних течiй з хвиля- стою поверхнею є бiльшими за початкову глибину h1, тобто he 2 > h1, (1) he B > h1. (2) В той же час, теоретичнi значення вказаних ве- личин hT 2 i hT B , пiдрахованi для значень Fr1 <1 за вiдомими формулами Беланже η2 = h2 h1 = 1 2 ( √ 1 + 8Fr1 − 1 ) (3) та Рассела – Буссiнеска ηB = hB h1 = Fr1, (4) вимагають протилежних спiввiдношень: hT 2 < h1, (5) hT B < h1. (6) Невiдповiднiсть порiвнюваних нерiвностей (1), (5) та (2), (6) свiдчить, що при виведеннi теоре- тичних залежностей (3) i (4) не врахованi якiсь важливi особливостi вищеназваних явищ, що не дозволяє використовувати зазначенi формули для всього класу бiлякритичних течiй. 3. Проведенi експерименти [10, 12, 13] пiдтвер- дили як класичну позицiю щодо iснування хвиля- стого стрибка при числах Фруда Fr1 =1 − 3, так i дiаметрально протилежну точку зору А. Н. Мель- никова [16] про можливiсть утворення досконало- го гiдравлiчного стрибка з поверхневим вальцем в областi цих самих чисел Фруда. I хоча в дослi- дах А. Н. Мельникова та в його трактовцi отри- маних результатiв далеко не все виявилося коре- ктним [17, 18], проте реальний факт iснування при одних i тих самих числах Фруда двох якiсно вiд- мiнних мiж собою явищ – досконалого i хвилясто- го стрибкiв – вимагає чiткого фiзичного пояснен- ня. 4. Проведенi нами експерименти з нерухомими бiлякритичними явищами [10 – 15] та аналiз ре- зультатiв дослiдiв рiзних авторiв iз хвилями пере- мiщення [19 – 21] дозволили видiлити ряд типiв нерухомих (рис. 1) та рухомих (рис. 2) хвильових явищ з однiєю хвилею. Проте накопиченої iнфор- мацiї та iснуючих критерiїв виявляється недоста- тньо для виявлення серед вказаних явищ тих, якi можна iдентифiкувати як самотню хвилю чи солi- тон. Зазначимо, що показанi на рис. 1 нерухомi оди- ночнi хвилi класифiкованi за чотирма ознаками: 1 – за станом потоку, на поверхнi якого утворю- ється хвиля, 2 – за законом розподiлу тиску по глибинi в початковому перерiзi хвилi, 3 – за наяв- нiстю хвоста, 4 – за наявнiстю донної перешкоди. 2. АНАЛIЗ НЕОДНОЗНАЧНОСТЕЙ ТА СУ- ПЕРЕЧНОСТЕЙ В ТРАКТУВАННI ТЕРМI- НIВ “СОЛIТОН”, “САМОТНЯ” I “ОДИНО- ЧНА ХВИЛЯ” Iснуючi неоднозначностi i суперечностi в тра- ктуваннi вказаних термiнiв (iнодi дещо формальнi та несуттєвi, а часом досить iстотнi) склалися вна- слiдок одночасного бурхливого розвитку науково- го напрямку динамiки хвиль i хвильових проце- сiв у рiзних галузях науки, наявностi специфiчних прийомiв i способiв вивчення окремих питань, ви- користовуваних у цих галузях, а також певної не- узгодженостi отриманих результатiв мiж собою. Цi неоднозначностi i суперечностi можна звести до наступного. 1. Термiн “самотня хвиля” був даний Дж. С. Рас- селом [7] (автор використав вирази “solitary wave of tvanslation” – самотня хвиля перенесення, “great solitary wave” – велика самотня хвиля) як назва особливого типу одиночних хвиль на водi. Проте в подальшому цей термiн стали застосовувати для вiдповiдних явищ не тiльки стосовно води, а i для iнших середовищ, у тому числi i нерiдинних. Цю неоднозначнiсть у принципi можна вважа- ти неiстотною, якщо вказувати тип середовища, стосовно якого розглядається дослiджуване яви- ще. Разом з цим потрiбно мати на увазi, що в мате- матицi використовуванi диференцiальнi рiвняння можуть вiдноситися одночасно до кiлькох типiв се- редовищ або взагалi можуть бути абстрагованi вiд конкретного типу середовища. В таких випадках 62 О.А. Рябенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 тип середовища повинен вiдiгравати вирiшальну роль при визначеннi серед множини математичних розв’язкiв, що мають чiткий фiзичний змiст i мо- жуть бути реалiзованими в конкретних умовах да- ного середовища. 2. Термiн “самотня хвиля” спочатку був засто- сований як назва особливого типу хвиль у вигля- дi одиночного пiдвищення кривої вiльної по- верхнi хвилi над поверхнею незбуреної рiдини. Але цю назву використовують також i для вiдповiд- ної хвилi у виглядi одиночного пониження (за- падини) кривої вiльної поверхнi вiдносно поверхнi незбуреної рiдини, тобто дзеркального вiдображе- ння поперечного типу хвиль. В роботi [8] самотню хвилю пiдвищення називають “солiтон”, а вiдпо- вiдну хвилю пониження – “антисолiтон”. Тут необхiдно зауважити, що стосовно можли- востi тривалого iснування самотньої хвилi пони- ження на поверхнi рiдини висловлюють вагомi сумнiви. Дж. В. Буссiнеск взагалi вiдкинув розв’я- зок у виглядi самотньої хвилi пониження як фiзи- чно неможливий [22]. Проте це ще не дає пiдстави повнiстю виключати з аналiзу самотню хвилю по- ниження. Суть проблеми полягає в тому, що при вивченнi вiдповiдних диференцiальних нелiнiйних хвильових i еволюцiйних рiвнянь у частинних по- хiдних та їхнiх розв’язкiв, що описують самотнi хвилi, пiд змiнною величиною, яка входить у цi за- лежностi, звичайно розумiють не тiльки глибину хвилi, а й iншi параметри розглядуваного явища. Такi параметри можуть характеризувати вiдхиле- ння вiд рiвноважного значення рiзних величин як дiйсних – глибини, висоти, швидкостi, щiльностi, потенцiалу i таке iн. [8], так i комплексних змiнних [9]. При цьому для певних параметрiв, що характе- ризують дослiджуване явище, використовуваний розв’язок може мати вигляд хвилi пiдвищення, а для iнших – хвилi пониження. Так, для самотньої хвилi на водi залежнiсть h=f(x) змiни глибини по довжинi має вигляд хвилi пiдвищення, а залеж- нiсть υ = q/h = φ(x) змiни швидкостi по довжи- нi – самотньої хвилi пониження (тут q – питома витрата). 3. Назва “самотня хвиля” була запропонована для рухомого у просторi явища певного типу – одиночної хвилi перемiщення. Разом з цим цю назву застосовують також i стосовно вiдповiдної одиночної нерухомої хвилi, вiльна поверхня якої займає незмiнне положення в просторi. Утворення таких нерухомих самотнiх хвиль описано для води [14, 23], плазми [4] та магнiтної рiдини [9]. Цю суперечнiсть можна вiдкинути, якщо рухо- му самотню хвилю розглядати у так званий перма- нентний перiод її iснування, коли хвиля перемiщу- ється з постiйною швидкiстю i незмiнним профi- лем вiльної поверхнi, внаслiдок чого у рухомiй си- стемi координат, яка рухається у тому ж напрям- ку i з тiєю ж швидкiстю, що i хвиля перемiщен- ня, таке явище виглядає нерухомим з усталеним у часi рухом рiдини. Характерно, що така рухома перманентна i нерухома самотнi хвилi описуються однiєю i тiєю ж залежнiстю [24], що дає пiдста- ву розглядати цi явища з єдиних позицiй. Аналiз диференцiальних рiвнянь, якi описують рухому i нерухому самотнi хвилi, дано в [24]. 4. При розглядi рiзноманiтних хвильових явищ, характерною ознакою яких є те, що кiлькiсть хвиль дорiвнює одиницi, часто використовують та- кi назви цих явищ, як “одиночна хвиля” i “са- мотня хвиля”, хоча умови застосування цих тер- мiнiв, їх вiдмiнностi та сукупнiсть вимог до них залишаються ще нез’ясованими в повнiй мiрi. Тут необхiдно пiдкреслити, що вирази “solitary wave” та “onde solitaire” перекладаються на україн- ську вiдповiдно з англiйської та французької мов i як “одиночна”, i як “самотня” хвилi (для порiвнян- ня наведемо вiдповiднi росiйськi вирази – “одиноч- ная” i “уединенная” волны). В той же час, наяв- нiсть ряду особливостей самотньої хвилi не дозво- ляє розглядати вирази “одиночна хвиля” та “са- мотня хвиля” як синонiми. Сказане в даному пун- ктi прекрасно iлюструють рис. 1 i 2, про що вже говорилось у п. 4 попереднього параграфа. 5. Самотню хвилю на водi, яку дослiдив i опи- сав Дж. С. Рассел, часто повнiстю ототожнюють з солiтоном [8, 9]. Але при бiльш загальному тра- ктуваннi цих термiнiв у них вкладають неоднако- вий змiст [5, 8, 25, 26]. Типовими в цьому вiдношеннi є такi вислов- лювання: “Всi солiтони є самотнiми хвилями, але зворотнє очевидно неправильно” [5], “Пiд солiто- ном неправильно розумiють просто самотню хви- лю” [8]; “Солiтонами називають тiльки тi самотнi хвилi, якi...“ [25]. С. Бардос [26] вважає, що коли сiмейство розв’язкiв вiдповiдних диференцiальних рiвнянь має нескiнчений набiр швидкостей, то для розв’язкiв потрiбно використовувати термiн “солi- тон”, а якщо набiр можливих швидкостей є скiн- ченим, то розв’язки потрiбно називати “самотнiми хвилями”. Застосування зазначених термiнiв ще бiльше урiзноманiтнюється для випадкiв просто- рової задачi, а також при використаннi солiтон- них рiвнянь у таких галузях науки, як нелiнiйнi задачi фiзики твердого тiла i квантової теорiї поля [4, 5, 27]. Наведенi приклади в тлумаченнi термiнiв “самотня хвиля” i “солiтон” свiдчать про необхi- днiсть встановлення чiтких критерiїв, що можуть iдентифiкувати розглядуванi явища та розрiзнити О.А. Рябенко 63 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 Рис. 1. Типи одиночних нерухомих хвиль на водi: a – одиночна хвиля в спокiйному потоцi; б – одиночна хвиля в критичному потоцi; г – одиночна хвиля з негiдростатикою в початковому перерiзi; д – самотня хвиля в бурхливому потоцi з гiдростатикою в початковому перерiзi (нерухомий гiдродинамiчний солiтон); e – одиночна чи самотня хвиля з хвостом; є – одиночна хвиля над донною перешкодою їх мiж собою у вiдповiдних випадках. 6. Назви “самотня хвиля” i “солiтон” спочатку були данi особливiй одиночнiй хвилi, профiль вiль- ної поверхнi якої має симетричну дзвоноподi- бну форму (такий профiль звичайно описують залежностями з квадратом гiперболiчного секан- са). Але в подальшому цi термiни стали застосову- вати також i до iнших одиночних хвиль чи iмпуль- сiв, форма профiлю яких iстотно вiдрiзняється вiд описаної. Рис. 2. Типи одиночних рухомих хвиль на водi: a – самотня хвиля (рухомий гiдродинамiчний солiтон); б – одиночна хвиля з хвостом; в – самотня хвиля з вiдiрваним хвостом Для iлюстрацiї сказаного на рис. 3 показанi фор- ми хвильових iмпульсiв деяких солiтонiв. Типи a, б вiдповiдають розв’язкам рiвняння Кортевега – де Фрiса для довгих хвиль на мiлкiй водi [2, 8], в, г – рiвнянню sin – Гордон для хвильових iмпульсiв у нелiнiйнiй оптицi [9], д – модифiкованому рiвнян- ню Кортевега – де Фрiса [1, 8, 9]. Характерно, що в залежностi вiд вихiдних умов можливо утворення кiлькох типiв брiзерiв рiзної форми [9]. Резюмуючи сказане в даному параграфi, необ- хiдно пiдкреслити, що неоднозначностi та супере- чностi, наведенi в пунктах 1, 2, 3 i 6 є несуттє- вими i вимагають лише чiткого зазначення хара- ктерних ознак розглядуваного явища – типу се- редовища, наявностi чи вiдсутностi перемiщення хвиль у просторi, типу використовуваних дифе- ренцiальних рiвнянь, форми профiлю хвиль i т.п. Разом з цим неоднозначностi, вказанi в пунктах 4 i 5, що стосуються трактування термiнiв “одиночна хвиля”, “самотня хвиля” i “солiтон”, вимагають встановлення критерiїв, якi можуть iдентифiкува- ти дане явище i вiдрiзнити його вiд iнших. Крiм то- го, розглядувана проблема потребує також чiткого встановлення умов iснування кноїдальних хвиль, адже саме iз загального розв’язку вiдомих дифе- ренцiальних рiвнянь Кортевега – де Фрiса, Серра та iн. у виглядi кноїдальних хвиль отримують са- мотню хвилю як частинний розв’язок цих рiвнянь. 64 О.А. Рябенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 Рис. 3. Типи солiтонiв: a – самотня хвиля пiдвищення (солiтон); б – самотня хвиля пониження (антисолiтон); в – кiнк; г – антикiнк; д – брiзер (дублет) 3. ВИБIР ВИЗНАЧАЛЬНИХ ФАКТОРIВ ДЛЯ ОПИСАННЯ БIЛЯКРИТИЧНИХ ТЕЧIЙ Для коректного описання рiзних типiв бiлякри- тичних течiй необхiдно встановити повний перелiк визначальних факторiв, якi однозначно описують формування розглядуваних явищ, їх характери- стики та умови iснування. Складнiсть цiєї пробле- ми полягає в тому, що характернi параметри бiля- критичних течiй (глибина, швидкiсть, енергiя та iн.) є близькими до критичних значень, внаслiдок чого такi течiї мають ряд особливостей, якi якiсно вiдрiзняють їх вiд звичайних безнапiрних потокiв, описуваних теорiєю плавно– та повiльнозмiнного руху [15]. Звичайно вважається, що всi потоки рiдини з вiльною поверхнею однозначно описуються чи- слом Фруда, яке складають за характерними пара- метрами розглядуваних явищ i часто вiдносять до їх початкового перерiзу. Для нерухомих у просторi явищ це число виражають такою залежнiстю: Fr1 = V 2 1 gh1 , а для хвиль перемiщення: Fr1 = c2 1 gh1 , де V1 – швидкiсть потоку в початковому перерiзi дослiджуваних явищ; h1 – глибина в тому ж пере- рiзi (глибина незбуреного потоку); c – швидкiсть руху хвиль перемiщення. Проте в якiй мiрi зазначена теза справедлива також i для бiлякритичних течiй залишається не- з’ясованим. Iснуючi погляди на питання про умо- ви iснування рiзних типiв бiлякритичних течiй рi- дини є надзвичайно суперечливими. Розглянемо основнi з цих суперечностей. 1. Деякi автори [17] вважають, що число Фру- да Fr1 =1 є граничним, що роздiляє областi iсну- вання самотньої i кноїдальних хвиль. При цьому робиться висновок, що кноїдальнi хвилi можуть утворюватися лише при Fr1 <1, а самотня хвиля – тiльки при Fr1 >1. На вiдмiну вiд цього iншi вченi доказують, що кноїдальнi хвилi можуть iснувати при числах Фруда Fr1 як менших, так i бiльших одиницi [28 – 29]. 2. Досить часто кноїдальнi хвилi розглядають у виглядi крутих хвиль перемiщення, що рухаються у просторi з певною швидкiстю c. Теоретичнi та експериментальнi дослiдження свiдчать, що такi хвилi перемiщення можуть iснувати лише при чи- слах Фруда Fr1 >1 [30 – 31]. Цьому положенню су- перечить вищезгадана точка зору про можливiсть утворення кноїдальних хвиль при числах Фруда Fr1 <1. 3. Звичайно вважається, що самотня хвиля утворюється в межах чисел Фруда Fr1 вiд одиницi до деякого значення FrB 1 . Рiзнi вченi отримують рiзнi значення верхньої межi FrB 1 iснування само- тньої хвилi: В. В. Смислов [32] – 2.0, А. А. Тур- сунов [19] – 4.22. В роботi [19] при розглядi за- лежностей К. О. Фрiдрiхса i Д. Г. Хайєрса [33], що описують самотню хвилю, наводиться значен- ня FrB 1 = 6.35. Але тут необхiдно пiдкреслити, що ця величина отримана не безпосередньо при роз- глядi питання про умови iснування даного явища, а в певнiй мiрi формально на основi визначення меж iснування окремих параметрiв самотньої хви- лi, використаних авторами роботи [33]. Якiсною стороною розглядуваної суперечностi є те, що деякi характеристики самотньої хвилi при О.А. Рябенко 65 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 певних значеннях числа Фруда Fr1 виходять за ме- жi фiзичного iснування цих характеристик. Так, В. В. Смислов [32] показав, що при Fr1 >2 глиби- на hB пiд вершиною самотньої хвилi, пiдрахована за класичною формулою (4), перевищує значення питомої енергiї потоку в початковому перерiзi E1 , що суперечить природi гiдравлiчних явищ. Iншим прикладом невiдповiдностi розрахункових i реаль- них характеристик, пов’язаної з умовами iснуван- ня самотньої хвилi, може слугувати наступна фор- мула А. А. Турсунова профiлю вiльної поверхнi самотньої хвилi [19]: η = h h1 = 1 + 1 2 F 2 1 ( 1− −exp { −4 lnF1sch 2ξ [ 1 + 3 2 lnF1(3sch2ξ − 2) ]} ) , (7) де ξ = x h1 √ 3 2 lnF1; F1 = √ Fr1. Розрахунки за формулою (7), описанi в [34, 35], показали, що при Fr1 ≥ 2.20 профiль вiльної по- верхнi хвилi наближається до поверхнi незбурено- го потоку не зверху, а знизу, тобто має вигляд си- метричного брiзера (див. рис. 3, д), що вiдповiдає реальному профiлю самотньої хвилi. 4. В рядi робiт [19, 36] при одному i тому самому значеннi числа Фруда Fr1 (звичайно згадується дi- апазон Fr1 ≈ 1.5 − 4.2) допускається iснування не одного якогось явища, а кiлькох типiв бiлякрити- чних течiй, i зокрема – самотньої хвилi, хвилясто- го стрибка, стрибка – хвилi, недосконалого стриб- ка у виглядi зруйнованої хвилi та iнших, що супе- речить тезi про однозначнiсть описання безнапiр- них потокiв числом Фруда. У доповнення до наведених суперечностей щодо умов iснування рiзних типiв бiлякритичних течiй необхiдно додатково зупинитися на такiй обстави- нi. Iснуючi теоретичнi роз’язки вiдомих рiвнянь Кортевега – де Фрiса, Серра та iнших у виглядi самотньої i кноїдальних хвиль виражаються че- рез їх максимальну hB i мiнiмальну h1 глибини, а також iншi параметри (питому витрату q, число Фруда Fr1 тощо). Якщо при цьому координатнi осi розмiстити тиким чином, що вертикальна oh про- ходить через вершину першої хвилi в напрямку вiд дна до вершини, а горизонтальнi 0x та −0x про- ходять по дну вздовж потоку (див. рис. 4), то при розглядi нерухомих i рухомих перманентних бiля- критичних явищ профiль самотньої хвилi можна описати формулою [17, 32]: Рис. 4. Схеми бiлякритичних течiй з хвилястою поверхнею: a – самотня хвиля; б – кноїдальнi хвилi h = h1 + (hB − h1)sch 2 [ √ 3g q2 (hB − h1) x 2 ] , а профiль кноїдальних хвиль – такою залежнiстю [17, 19, 28, 29]: h = h1 + (hB − h1)cn 2 ( x ∆ , k ) , де ∆ i k – параметри, описуванi наступними вира- зами: ∆ = √ 4hBh1p 3(hB − p) , k2 = hB − h1 hB − p , p = c2 c h2 c ghBh1 , де cc i hc – вiдповiдно середнi швидкiсть i глибина. Тут необхiдно пiдкреслити, що даний спосiб описання хвиль через їх максимальну hB та мi- нiмальну h1 глибини є цiлком коректним i широко застосовується для описання синусoїдальних, тро- хоїдальних та iнших типiв хвиль. Проте цей спосiб має два iстотних недолiки. 1. В бiльшостi реальних випадкiв гiдротехнiчної практики максимальна глибина hB хвилеподiбних потокiв апрiорi є невiдомою, причому визначен- ня її є однiєю з головних задач розрахункiв па- раметрiв потоку та пов’язаних з ними вiдповiдних розмiрiв гiдротехнiчних споруд, адже саме макси- мальна глибина hB таких потокiв визначає вiдмi- тки бровок каналiв, низа прогiнних балок мостiв, висоту безнапiрних тунелiв, труб, галерей тощо. 2. Граничнi умови в початковому перерiзi розглядуваних явищ виявляються нерозкритими, 66 О.А. Рябенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 внаслiдок чого вплив можливого викривлення по- току в їх початковому перерiзi на формування явищ, їхнi основнi характеристики та умови iсну- вання залишається невиясненим. Як видно з наведеної iнформацiї, iснуючi методи описання бiлякритичних течiй є недосконалими, а число Фруда Fr1 в їх початковому перерiзi не може однозначно описати цi течiї. В проведених дослiдах особлива увага придiля- лася перевiрцi поставленої пiд сумнiв традицiйної точки зору, що в початковому перерiзi хвилясто- го i досконалого стрибкiв, одиночної i самотньої хвиль та iнших типiв бiлякритичних течiй потiк завжди є паралельноструминним, а розподiл тис- ку по глибинi пiдпорядковується гiдростатичному закону. При наявностi донних п’єзометрiв ступiнь вiдхилення вiд гiдростатики в довiльному перерiзi потоку зручно оцiнювати за допомогою коефiцi- єнтiв негiдростатичностi s=hп.д./h, гiдродинамi- чного тиску k =Fе.г.д.т./Fе.г.с.т. та потенцiальної енергiї β = Eпот/h, де hп.д. – значення п’єзоме- тричного тиску на днi, виражене у висотi водяно- го стовпа, Fе.г.д.т. та Fе.г.с.т. – площi епюр вiдпо- вiдно гiдродинамiчного та гiдростатичного тиску, Eпот – питома потенцiальна енергiя, h – глиби- на потоку. У випадку параболiчного закону роз- подiлу гiдродинамiчного тиску по глибинi вказанi коефiцiєнти зв’язанi мiж собою такими залежно- стями [12]: β = 1 + 2s 3 ; k = 4s − 1 3 ; β = 1 + k 2 , (8) причому для гiдростатичного розподiлу тиску по глибинi коефiцiєнти s, k, β дорiвнюють одиницi. Проведенi дослiдження [10 – 15] дозволили встано- вити, що вказана точка зору не вiдповiдає дiйсно- стi. Фактично у багатьох випадках (а для деяких типiв бiлякритичних течiй – завжди) в початково- му перерiзi розглядуваних явищ потiк є викривле- ним у вертикальнiй площинi iз ввiгнутою кривою вiльної поверхнi, внаслiдок чого розподiл тиску по глибинi в зазначеному перерiзi не пiдпорядковує- ться гiдростатичному закону. Зроблений висновок добре iлюструють резуль- тати двох пар методичних дослiдiв, вiдображений на рис. 5 та в табл. 1. Цi дослiди пiдiбранi таким чином, що в кожнiй парi вiдповiдно є однаковими витрати Q, початковi глибини h1 дослiджуваних явищ, числа Фруда Fr1, але рiзними значення дру- гої спряженої глибини h2 (яка змiнювалася в до- слiдах шляхом змiни глибини нижнього б’єфу) та ступiнь викривлення потоку, а вiдповiдно i ступiнь вiдхилення вiд гiдростатичного розподiлу тиску в початковому перерiзi. З iнформацiї, наведеної на рис. 5 i в табл. 1, ви- дно, що хоча в порiвнюваних парах дослiдiв числа Фруда Fr1 є однаковими, проте обриси кривої вiль- ної поверхнi та п’єзометричної лiнiї, а вiдповiдно i геометричнi характеристики дослiджуваних явищ (максимальна i друга спряжена глибини, висота i довжина хвиль та iншi) iстотно вiдрiзняються мiж собою, причому в дослiдах другої пари рiзними є навiть типи явищ. Тиким чином, на основi отриманих даних можна зробити висновок, що для однозначного описання бiлякритичних течiй в додаток до числа Фруда Fr1 в їх початковому перерiзi необхiдно враховувати ще й ступiнь викривлення потоку у вертикальнiй площинi або пов’язану з цим викривленням сту- пiнь вiдхилення вiд гiдростатичного закону роз- подiлу тиску в зазначеному перерiзi, яку можна оцiнювати за допомогою коефiцiєнтiв s1, k1, β1. 4. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ХВИЛЕПО- ДIБНИХ БIЛЯКРИТИЧНИХ ТЕЧIЙ З ВРА- ХУВАННЯМ МОЖЛИВОГО ВИКРИВЛЕН- НЯ ПОТОКУ В ЇХ ПОЧАТКОВОМУ ПЕРЕ- РIЗI ТА ОТРИМАНI ЗАГАЛЬНI РОЗВ’ЯЗКИ Для описання хвильових явищ використовують рiзноманiтнi математичнi моделi, основанi на рiз- них вихiдних схемах. I. Т. Селезов [37] зазначає, що iснує не менше 12 прийнятних математичних моделей хвильового руху рiдини. Проте в жоднiй з iснуючих цих моделей не враховується у явно- му виглядi можливе викривлення потоку у верти- кальнiй площинi в початковому перерiзi хвилепо- дiбних бiлякритичних течiй. Головна iдея пропонованої математичної моде- лi полягає у вираженнi характеристик хвилеподi- бних бiлякритичних течiй (див. рис. 6) через пара- метри потоку в їх початковому перерiзi 1 – 1, в яко- му потiк може бути або ввiгнутим (d2h/dx2 > 0), або паралельноструминним ( d2h/dx2=0). З метою вирiшення поставленої задачi скориста- ємося рiвнянням Серра питомої енергiї довiльного перерiзу Eпер = E для рiзко змiнного руху, виве- деного стосовно умов плоскої задачi iз диференцi- ального рiвняння Ейлера руху рiдини з врахуван- ням нахилу та кривизни елементарних струминок у вертикальнiй площинi [38]: E = h + q2 2gh2 + q2 3gh d2h dx2 − q2 6gh2 ( dh dx )2 . Зауважимо, що в роботi [38] вiдповiдна залеж- нiсть стосовно тих же умов отримана також i для О.А. Рябенко 67 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 Рис. 5. Кривi вiльної поверхнi 1 та п’єзометричнi лiнiї 2 для двох пар дослiдiв: a, б – з кноїдальними хвилями; в, г – з безстрибковим вальцевим спряженням б’єфiв Табл 1. Основнi характеристики дослiдiв, зображених на рис. 5 Номер Q, h1, Fr1 S1 h2, hB, Тип дослiду л/с см см см явища a 96.6 10.0 0.96 1.06 11.6 13.2 кноїдальнi хвилi б 96.6 10.0 0.96 1.04 11.4 12.7 кноїдальнi хвилi в 92.5 10.0 0.88 1. 05 11 3 12 6 кноїдальнi хвилi безстрибкове г 92.5 10.0 0.88 1.11 12.35 - вальцеве спряження б’єфiв Рис. 6. Розрахункова схема хвилеподiбних бiлякритичних течiй функцiї iмпульсу (стрибкової функцiї) M . Спецiальнi дослiдження потокiв з криволiнiй- ною поверхнею [39, 40] дозволили встановити, що у перерiзах, проведених через екстремальнi точки з максимальними i мiнiмальними глибинами, роз- подiл гiдродинамiчного тиску по глибинi виявляє- 68 О.А. Рябенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 ться близьким до параболiчного закону, для якого коефiцiєнти s, k, β зв’язуються мiж собою спiввiд- ношеннями (15). Наявнiсть цих залежностей до- зволяє досить просто оцiнювати експерименталь- ним шляхом фактичне значення гiдродинамiчного тиску в зазначених перерiзах потоку лише за по- казом донного п’єзометра hп.д., значення якого в сукупностi iз вимiряною глибиною h у розглядува- ному перерiзi дозволяє швидко визначити потрiбнi коефiцiєнти s, k, β. При цьому питому енергiю E1 для перерiзу 1 – 1 можна знаходити таким чином: E1 = β1h1 + q2 2gh2 1 = 4s1 − 1 3 h1 + q2 2gh2 1 . Математичну постановку задачi виразимо через питому енергiю довiльного перерiзу E у виглядi наступної системи рiвнянь: E = h + q2 2gh2 + q2 3gh d2h dx2 − − q2 6gh2 ( dh dx )2 , dE dx = i − q2 C2h3 , dq dx = 0,                                (9) де i=sin Θ – похил дна; C – коефiцiєнт Шезi. Параметри потоку для характерних перерiзiв при вибраному положеннi координатних осей мо- жна визначити таким чином: a) x = 0, h = hB , dh dx = 0, d2h dx2 < 0, E = EB, M = MB ; б) x = x2, h = h2, dh dx > 0, d2h dx2 = 0, E = E2, M = M2; в) x = x1, h = h1, dh dx = 0, d2h dx2 > 0, E = E1, M = M1; г) x = x0 = ∞, h = h0, dh dx = 0, d2h dx2 = 0, E = E0, M = M0.                                                                          (10) Iндекси “0”, “1”, “2”, “3” в цих виразах i далi озна- чають, що використанi величини взятi вiдповiдно для перерiзiв 0 – 0 , 1 – 1 , 2 – 2 , 3 – 3 . Глиби- ни в перерiзах 1 – 1 , 2 – 2 називаються першою i другою спряженими глибинами вiдповiдно. При цьому вважається, що в перерiзi 2 – 2 розподiл тиску по глибинi наближено вiдповiдає гiдроста- тичному закону. В результатi розгляду системи рiвнянь (9) для граничних умов, визначених виразами (10), в ро- ботi [24] виведено наступне узагальнене диферен- цiальне рiвняння профiлю вiльної поверхнi хвиле- подiбних бiлякритичних течiй, записане в розмiр- нiй (11) та безрозмiрнiй (12) формах: ( dh dx )2 = 3g q2 { −h3 + ( 2β1h1 + q2 gh2 1 ) h2− − [ (2β1 − 1)h2 1 + 2q2 gh1 ] h + q2 g } , (11) ( dh dx )2 = 3 Fr1 [ − ( h h1 )3 + (2β1 + Fr1) ( h h1 )2 − − (2β1 − 1 + 2Fr1) h h1 + Fr1 ] . (12) В роботi [24] знайдено також коренi полiному правої частини рiвнянь (11), (12), встановлено фi- зичний змiст цих коренiв, здiйснено iнтегрування диференцiальних рiвнянь (11), (12) та отримано їх загальний розв’язок у виглядi наступної системи: η = h h1 = 1 + (ηB − 1)cn2 ( x ∆ , k ) , ∆ = 2h1 √ ηBFr1 3(η2 B − Fr1 ), k = √ ηB(ηB − 1) η2 B − Fr1 , ηB = 1 2 [ 4s1 − 1 3 + Fr1+ + √ ( 4s1 − 1 3 + Fr1 )2 − 4Fr1   .                                              (13) На основi розробленої математичної моделi сто- совно загального випадку, коли коефiцiєнт негi- дростатичностi s1 ≥ 1, автором виведено насту- пну залежнiсть для визначення другої спряженої глибини h2 всього класу бiлякритичних течiй: η2 = h2 h1 = 2√ 3 √ 4s1 − 1 3 + 2Fr1× О.А. Рябенко 69 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 × cos            π 3 − 1 3 arccos       3 √ 3α02Fr1 √ ( 4s1 − 1 3 + 2Fr1 )3                  , (14) де α02 – коефiцiєнт кiлькостi руху в перерiзi з дру- гою спряженою глибиною, а також формулу для знаходження максимальної глибини hB бiлякри- тичних течiй з хвилястою поверхнею (це остання залежнiсть в системi рiвнянь (13)). Вiдмiтною особливiстю залежностей (11), (12) та залежностей (13), (14) є те, що характеристи- ки потоку в них однозначно (з точнiстю до зна- чень коефiцiєнтiв Корiолiса та Буссiнеска) вира- жаються через параметри потоку в початковому перерiзi розглядуваних явищ – глибину h1, число Фруда Fr1, коефiцiєнт негiдростатичностi s1, при- чому розглядається загальний випадок можливо- го викривлення потоку у вертикальнiй площинi в початковому перерiзi бiлякритичних течiй, тобто коли коефiцiєнт негiдростатичностi s1 ≥ 1. 5. РОЗВ’ЯЗКИ ПОСТАВЛЕНОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ЧАСТИННОГО ВИПАДКУ ГIДРОСТА- ТИЧНОГО РОЗПОДIЛУ ТИСКУ ПО ГЛИБИ- НI В ПОЧАТКОВОМУ ПЕРЕРIЗI БIЛЯКРИ- ТИЧНИХ ТЕЧIЙ У частинному випадку наявностi в початково- му перерiзi розглядуваних явищ паралельностру- минного руху з гiдростатичним розподiлом тиску по глибинi потоку вищеописана математична мо- дель хвилеподiбних бiлякритичних течiй та отри- манi на її основi загальнi розв’язки iстотно спро- щуються внаслiдок рiвностi одиницi коефiцiєнтiв s1, k1, β1. При цьому диференцiальнi рiвняння (11) i (12) приймають вiдповiдно такий вигляд: ( dh dx )2 = 3g q2 [ −h3 + ( 2h1 + q2 gh2 1 ) h2− − ( h2 1 + 2q2 gh1 ) h + q2 g ] , (15) ( dh dx )2 = 3 Fr1 [ − ( h h1 )3 + (2 + Fr1) ( h h1 )2 − − (1 + 2Fr1) h h1 + Fr1 ] . (16) Розкривши круглi дужки i згрупувавши вiдпо- вiдним чином отриманi члени, вдається iстотно спростити диференцiальнi рiвняння (15), (16) i зве- сти їх до наступних виразiв, зручних для iнтегру- вання: ( dh dx )2 = 3g q2 (h − h1) 2 ( q2 gh2 1 − h ) , (17) ( dh dx )2 = 3 Fr1 ( h h1 − 1 )2 ( Fr1 − h h1 ) . (18) Зауважимо, що диференцiальнi рiвняння (17), (18) отримали в свiй час Г. Ламб, I. Iваса та iншi вченi [41, 42], хоча вони вивели їх з iнших вихiдних умов. Iнтегрування диференцiальних рiвнянь (17), (18) дає вiдому формулу профiлю вiльної поверхнi самотньої хвилi [24]: η = h h1 = 1 + (Fr1 − 1)sch2   √ 3(Fr1 − 1) Fr1 x 2h1   . (19) Цей вираз спiвпадає з вiдповiдними розв’язками Г. Ламба, Н. Н. Моiсєєва i А. М. Тер–Крикорова, В. Г. Вереземського, В. В. Смислова [17, 32, 41]. Частинний розв’язок (19) можна отримати та- кож безпосередньо iз загального розв’язку системи рiвнянь (13), поклавши s1 = 1. В такому випадку залежнiсть (13) зводиться до формули (4), модуль елiптичних функцiй k=1, параметр ∆ перетворю- ється до виразу ∆ = 2h1 √ Fr1 3(Fr1 − 1) , а елiптичний косинус вироджується в гiперболi- чний секанс cn ( x ∆ , 1 ) = sch x ∆ . При цьому загальний розв’язок у виглядi систе- ми рiвнянь (13) зводиться до однiєї–єдиної форму- ли (19) профiлю самотньої хвилi. Для встановлення всього комплексу умов iсну- вання самотньої хвилi, описуваної формулою (19), в додаток до умови s1 = 1, (20) використаної в цьому пунктi, необхiдно визначити область iснування чисел Фруда Fr1 в її початково- 70 О.А. Рябенко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 му перерiзi. З цiєю метою скористаємось форму- лою Рассела – Буссiнеска (4), дiйсною для дано- го випадку. Аналiз цiєї формули показує, що вона справедлива лише при виконаннi умови Fr1 > 1, (21) адже при числах Фруда Fr1 ≤1 максимальна гли- бина потоку hB ≤ 1, що не вiдповiдає умовам по- ставленої задачi (див. рис. 6). Таким чином, iснування самотньої хвилi, опису- ваної залежнiстю (19), можливо лише при одноча- сному виконаннi умов (20) i (21). На закiнчення даного пункту зазначимо, що за- гальна формула (14) спряжених глибин бiлякри- тичних течiй в частинному випадку при s1 =1 та коефiцiєнтах кiлькостi руху α01 =α02 =1 приймає вигляд η2 = 2√ 3 √ 1 + 2Fr1 × × cos {π 3 − 1 3 arccos   3 √ 3Fr1 √ (1 + 2Fr1) 3      , що тотожний формулi Беланже (3), виведенiй для досконалого гiдравлiчного стрибка. Крiм того, загальна формула для визначення максимальної глибини хвилеподiбних бiлякритичних течiй (де остання залежнiсть у системi рiвнянь (13) у ви- падку гiдростатичного розподiлу тиску по глиби- нi в її початковому перерiзi, тобто при s1 = 1, як це вже було зазначено вище, зводиться до вiдомої формули (4) Рассела – Буссiнеска для самотньої хвилi. ВИСНОВКИ 1. Проведенi експериментальнi дослiдження усталених бiлякритичних течiй та аналiз накопи- ченої iнформацiї про такi течiї i бiлякритичнi хви- лi перемiщення показали, що в початковому пе- рерiзi розглядуваних явищ можливе викривлен- ня потоку у вертикальнiй площинi, неврахуван- ня якого може призвести до хибних результатiв. I саме завдяки наявностi чи вiдсутностi такого ви- кривлення можна пояснити природу суперечливих явищ, описаних у першому параграфi. 2. Для розкриття iснуючих суперечностей i не- однозначностей в трактуваннi термiнiв „солiтон”, „самотня” i „одиночна” хвилi необхiдно встанови- ти критерiї, якi можуть iдентифiкувати дане яви- ще i враховувати можливе викривлення потоку у вертикальнiй площинi в початковому перерiзi цих явищ. 3. Використовуваний метод описання самотньої та кноїдальних хвиль через максимальну hB i мi- нiмальну h1 їх глибини є недосконалим, адже в бiльшостi випадкiв гiдротехнiчної практики ма- ксимальна глибина потоку hB апрiорi є невiдо- мою, а визначення її є однiєю з головних задач ви- конуваних розрахункiв. Крiм того, граничнi умо- ви в початковому перерiзi розглядуваних явищ при цьому методi є нерозкритими, внаслiдок чого вплив можливого викривлення потоку в цьому пе- рерiзi на формування явищ, їхнi характеристики та умови iснування залишаються невиясненими. 4. Побудована математична модель хвилеподi- бних бiлякритичних течiй рiдини, виведенi уза- гальненi диференцiальнi рiвняння профiлю вiль- ної поверхнi цих течiй (11), (12) та отриманi розв’язки враховують у явному виглядi характе- ристики потоку в початковому перерiзi цих течiй, в тому числi i можливе викривлення потоку у вер- тикальнiй площинi. 1. Lamb G. L. Elements of soliton theory.– New York: John Wiley, 1980. 2. Newell A. C. Solitons in mathematics and physics.– Soc. for Ind. and Appl. Math.: University of Arizona, 1985.– p. 3. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Пи- тяевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи.– М.: Наука, 1980.– 320 с. 4. Петвиашвили В. И., Похотелов О. А. Уединенные волны в плазме и атмосфере.– М.: Энергоатоми- здат, 1989.– 200 с. 5. Rajaraman R. Solitons and instantons.– Amsterdam: North–Holland Publ. Comp., 1982. 6. Селезов И. Т. Волновые процессы в гидроди- намических и упругих средах // Прикладная гидромеханика.– 2000.– 2 (74), N 4.– С. 99–118. 7. Russel J. S. Report on waves // Report of Bri- tish Association for the Advancement of Science.– London, 1844.– P. 311–390. 8. Lonngren K., Scott A. C., eds. Solitons in Action.– New york: Academic Press, 1978. 9. Bullough R. K., Caudrey P. J., eds. Solitons.– New York: Springer–Verlag, 1980. 10. Riabenko A. A. Conditions favorable to the existence of an undulating jump // Hydrotechnical Constructi- on. Translated from Russian. – Consultants Bureau, New York.– December 1990 – June 1991.– 24, N 12.– P. 762–770. 11. Рябенко А. А. О распределении давления по глу- бине потока за затворами с плавным очертанием нижней части // Гидравлика и гидротехника. – К.: Технiка.– 1974.– 18.– С. 139–144. 12. Рябенко А. А. Экспериментальные исследова- ния сопряженных глубин околокритических тече- ний // Гидравлика и гидротехника.- К.: Техника.– 1977.– 25.– С. 70–78. О.А. Рябенко 71 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 1. С. 60 – 72 13. Рябенко А. А. Экспериментальные исследования максимальной глубины околокритических тече- ний с волнообразной поверхностью // Гидравлика и гидротехника. - К.: Техника.– 1985.– 41.– С. 45– 50. 14. Рябенко А. А. Условия существования уединен- ной волны // Гидравлика и гидротехника.-К.: Технiка.– 1989.– 49.– С. 35–41. 15. Riabenko A. A. Types, characteristics and conditi- ons of existence of near-critical flows Hydrotechni- cal Construction. Translated from Russian // Consultants Bureau, New York.– May–November 1992.– 26, N 5.– P. 269–275. 16. Мельников А. Н. Несовершенный прыжок воды в прямоугольном призматическом русле с гори- зонтальным дном // Труды НИМИ.– 1958.– 6.– С. 509- 526. 17. Вереземский В. Г. О прыжке и сужении бурно- го потока: Автореф. Дис. канд.техн.наук.– МГМИ: М., 1967.– 14 с. 18. Смыслов В. В. Высота волнистого прыжка и кри- терий перехода его к совершенному гидравличе- скому прыжку // Изв. вузов. Строительство и архитектура.– 1964.– N 2.– С. 102–106. 19. Турсунов А. А. Околокритическое состояние без- напорных потоков воды // Изв. ВНИИГ.– 1969.– 90.– С. 201–224. 20. Эшмурадов Ю. Исследование процессов фор- мирования положительных волн перемещения в каналах.– Автореф. дис. канд. техн. наук: 05.14.9: Л., 1975.– 21 с. 21. Нышанов Е. Волны перемещения в машинных каналах.– Автореф. дис. канд. техн.наук: 05.14.09: К., 1988.– 24 с. 22. Bjussinesq J. Th’eoriе de l’intumescence liqui- de, appel’ee onde solitaire ou de translation, se propageant dans un canal rectangulaire // Compt. Ren. Acad. Sci. Paris.– 72.– 1871.– P. 755–759. 23. Смыслов В. В. Об остановившейся волне в бур- ном потоке жидкости // Изв. вузов. Энергетика.– 1964.– N 3.– С. 104–110. 24. Riabenko A. A. Free surface profile of wavelike near- critical flows and solitary solutions of some differenti- al equations // Int. Journ. Fluid Mech. Research.– 2001.– 28, N 6.– P. 834–856. 25. Kodama U., Ablowitz M. J. Perturbation of solitons and solitary waves // Stud. Appl. Math.– 1981.– 64, N 3.– P. 225–245. 26. Bardos C. Ordes solitaires et solitons // Boll. Umone mat. ital.– 1979.– A 16, N 1.– P. 21–47. 27. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.– К.: Наукова думка, 1981.– 284 с. 28. Littman W. On the existence of periodic waves with near critical speed // Comm. Pure Appl. Math.– 10.– 1957.– P. 241–269. 29. Wiegel R. L. A presentation of cnoidal wave theory for practical application // Journal of Fluid Mechanics.– 7, part 2.– Feb. 1960.– P. 273–286. 30. Чугаев Р. Р. Гидравлика.– Л.: Энергоиздат, 1982.– 672 с. 31. Chow V. T. Open channel hydraulics.– McGraw–Hill: New York, 1959.– 204 p. 32. Cмыслов В. В. Исследование уединенной волны с помощью одноразмерной теории // Гидравлика и гидротехника. – K.: Технiка.– 9, 1970.– С. 21–25. 33. Friedrichs K. O., Hayers D. H. The existence of soli- tary waves // Comm. Pure Appl. Math.– 7.– 1954.– P. 517–550. 34. Заиров Х. И. О профиле уединенной волны в при- зматическом русле // Сб. научных трудов СА- НИИРИ, Ташкент.– 1974.– 140.– С. 136–144. 35. Riabenko A. A. Representation of a wave jump and group of translation waves as a combination of a solitary wave and cnoidal waves // Hydrotechnical Construction. Translated from Russian.-Consultants Bureau, New York.– May–November 1998.– 32, N 5.– P. 246–252. 36. Слисский С. М. Гидравлические расчеты высо- конапорных гидротехнических сооружений.– М.: Энергоатомиздат, 1986.– 304 с. 37. Селезов И. Т., Сидорчук В. Н., Яковлев В. В. Трансформация волн в прибрежной зоне шельфа.– К.: Наукова думка, 1983.– 208 с. 38. Serre F. Contribution а letude des ’econlements permanents et variables dans les canaux // La Houille Blanche.– 1953.– № 3.– P. 374–388. 39. Смыслов В. В. Теория водослива с широким порогом.– К.: Изд–во АН УССР, 1956.– 184 с. 40. Khafagi A., Hammad S. Z. Velocity and Pressure Di- stribution in Curved Stream – Line Flov // Water and Water Engineering.– 1954.– March.– P. 106–115. 41. Lamb H. Hydrodynamics.– Donver: New York, 1932. 42. Iwasa Y. Analytical Consideration on Cnoidal and Solitary Waves // Memoirs of Facul. of Engineering, Kyoto University.– 1955.– 17, N 3.– P. 264–276. 72 О.А. Рябенко
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4749
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-9087
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T18:41:18Z
publishDate	2006
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Рябенко, О.А. 2009-12-22T16:06:50Z 2009-12-22T16:06:50Z 2006 Математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi / О.А. Рябенко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 60-72. — Бібліогр.: 42 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4749 532.592 Сделан анализ существующих неоднозначностей и противоречий в толковании терминов "солитон'', "уединенная'' и "одиночная волна''. Показано, что для однозначного описания околокритических течений, кроме числа Фруда, в их начальном сечении необходимо учитывать также степень возможного искривления потока у вертикальной плоскости в том же сечении. Построена математическая модель волнообразных околокритических течений с учетом возможного искривления потока в их начальном сечении. Для условий поставленной задачи получено общее, а также частное решение для случая гидростатического распределения давления по глубине в начальном сечении рассматриваемых явлений. Зроблено аналiз iснуючих неоднозначностей та суперечностей у трактуваннi термiнiв "солiтон'', "самотня'' i "одиночна хвиля''. Показано, що для однозначного описання бiлякритичних течiй, крiм числа Фруда, в їх початковому перерiзi необхiдно враховувати також ступiнь можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в тому ж перерiзi. Побудована математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй з врахуванням можливого викривлення потоку в їх початковому перерiзi. Для умов поставленої задачi отримано загальний, а також частинний розв'язок для випадку гiдростатичного розподiлу тиску по глибинi у початковому перерiзi розглядуваних явищ. The analysis is made of existing indeterminancies and contradictions in treating terms "soliton'', "solitary'' and "single wave''. It is shown that for the non-ambiquous description of near-critical flows, besides Froude number, in their initial intersection it is necessary to vtake into account also the degree of possible flow curvature in the vertical plane in the same intersection. A mathematical model is built of wavelike nearcritical flows considering the possible flows curvature in their initial intersection. For the conditions of the problem set we obtained the general and also partial solution for case of the hydrostatic distribution of pressure in the initial intersection of phenomena discussed. uk Інститут гідромеханіки НАН України Математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi Mathematical model of wavelike near-critical flows of fluid taking into account possible flow deformation in a vertical plane its initial cross-section Article published earlier
spellingShingle	Математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi Рябенко, О.А.
title	Математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi
title_alt	Mathematical model of wavelike near-critical flows of fluid taking into account possible flow deformation in a vertical plane its initial cross-section
title_full	Математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi
title_fullStr	Математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi
title_full_unstemmed	Математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi
title_short	Математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi
title_sort	математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4749
work_keys_str_mv	AT râbenkooa matematičnamodelʹhvilepodibnihbilâkritičnihtečiiridinizurahuvannâmmožlivogovikrivlennâpotokuuvertikalʹniiploŝinivíhpočatkovomupererizi AT râbenkooa mathematicalmodelofwavelikenearcriticalflowsoffluidtakingintoaccountpossibleflowdeformationinaverticalplaneitsinitialcrosssection

Математична модель хвилеподiбних бiлякритичних течiй рiдини з урахуванням можливого викривлення потоку у вертикальнiй площинi в їх початковому перерiзi

Institution

Similar Items