О структуре конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена при больших числах Грассгофа
Метод Бриджмена является одним из основных методов получения кристаллических материалов. Конструкционные особенности установок кристаллизации Бриджмена таковы, что во время роста кристалла в жидкой фазе вещества (расплаве) возникает конвективное движение. Поскольку скорость выращивания кристаллов, к...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4756 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О структуре конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена при больших числах Грассгофа / Ю.П. Ладиков, П.П. Рабочий, О.К. Черемных // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 2. — С. 57-63. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860101068675874816 |
|---|---|
| author | Ладиков, Ю.П. Рабочий, П.П. Черемных, О.К. |
| author_facet | Ладиков, Ю.П. Рабочий, П.П. Черемных, О.К. |
| citation_txt | О структуре конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена при больших числах Грассгофа / Ю.П. Ладиков, П.П. Рабочий, О.К. Черемных // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 2. — С. 57-63. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Метод Бриджмена является одним из основных методов получения кристаллических материалов. Конструкционные особенности установок кристаллизации Бриджмена таковы, что во время роста кристалла в жидкой фазе вещества (расплаве) возникает конвективное движение. Поскольку скорость выращивания кристаллов, как правило, мала (~ 10-6 м/с), то даже слабые конвективные течения существенно влияют на диффузионные и тепловые условия на фронте кристаллизации. Такое влияние, в свою очередь, изменяет картину процессов тепломассопереноса и приводит к неконтролируемому искажению структуры кристалла. В связи с этим актуальными являются задачи, направленные на определение параметров процесса кристаллизации, при которых воздействие конвекции на фронт кристаллизации минимально. В данной работе на основе системы уравнений Буссинеска исследуется процесс стационарного конвективного теплопереноса в расплаве. Аналитически, а также с помощью численного моделирования, показано, что при достаточно больших числах Грассгофа можно соответствующим подбором граничных условий для температуры создать вблизи фронта кристаллизации зону равновесного расплава, в которой конвективное движение отсутствует.
Метод Бриджмена є одним з основних методiв отримання кристалiчних матерiалiв. Конструкцiйнi особливостi установок кристалiзацiї Бриджмена є такими, що пiд час росту кристала в рiдкiй фазi речовини (розплавi) виникає конвекцiйний рух. Оскiльки швидкiсть вирощування кристалiв, як правило, є малою (~ 10-6 м/с) м/с), то навiть слабкi конвекцiйнi течiї значно впливають на дифузiйнi та тепловi умови на фронтi кристалiзацiї. Такий вплив, в свою чергу, змiнює картину тепломасопереносу та призводить до неконтрольованого спотворення структури кристалу. Тому актуальними є задачi визначення параметрiв процесу кристалiзацiї, при яких вплив конвекцiї на фронт кристалiзацiї мiнiмальний. У данiй роботi на основi системи рiвнянь Буссiнеска дослiджується процес стацiонарного конвекцiйного теплопереносу у розплавi. Аналiтично, а також за допомогою чисельного моделювання, показано, що при достатньо великих числах Грассгофа можна вiдповiдним пiдбором граничних умов для температури створити поблизу фронту кристалiзацiї рiвноважну зону, конвекцiйний рух у якiй вiдсутнiй.
Bridgman method is among the main methods of crystal materials obtaining. Construction features of the Bridgman plant are for convection motion to appear in liquid phase of the substance (in melt) during the crystal growth. Since usually solidification velocity is small (~ 10-6 m/s), even slow convection flows influence on diffusion and heat conditions on the solid-melt interface. Such an influence effects on heat-mass transfer situation and gives rise to the uncontrolled crystal structure distortion. That is why solidification process parameters for convection influence on solid-melt interface to be the least determination problems are relevant. In this paper stationary convection heat-transfer process in melt is under investigation with Boussinesq equations set. Analytically and with numerical modeling it has been shown, that equilibrium melt region for convection motion to be absent can be created near solid-melt interface by appropriate choice of temperature boundary condition, if Grasshoff numbers are large enough.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:28:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 57 – 63
УДК 629.12:12.001
О СТРУКТУРЕ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ
В УСТАНОВКЕ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ БРИДЖМЕНА
ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ ГРАССГОФА
Ю. П. Л АД И К О В, П. П. РА Б ОЧ И Й, О. К. Ч ЕРЕ МН Ы Х
Институт космических исследований НАНУ-НКАУ
Получено 03.11.2004 � Пересмотрено 11.10.2005
Метод Бриджмена является одним из основных методов получения кристаллических материалов. Конструкционные
особенности установок кристаллизации Бриджмена таковы, что во время роста кристалла в жидкой фазе вещества
(расплаве) возникает конвективное движение. Поскольку скорость выращивания кристаллов, как правило, мала
(∼ 10−6 м/с), то даже слабые конвективные течения существенно влияют на диффузионные и тепловые условия
на фронте кристаллизации. Такое влияние, в свою очередь, изменяет картину процессов тепломассопереноса и
приводит к неконтролируемому искажению структуры кристалла. В связи с этим актуальными являются задачи,
направленные на определение параметров процесса кристаллизации, при которых воздействие конвекции на фронт
кристаллизации минимально. В данной работе на основе системы уравнений Буссинеска исследуется процесс стаци-
онарного конвективного теплопереноса в расплаве. Аналитически, а также с помощью численного моделирования,
показано, что при достаточно больших числах Грассгофа можно соответствующим подбором граничных условий
для температуры создать вблизи фронта кристаллизации зону равновесного расплава, в которой конвективное дви-
жение отсутствует.
Метод Бриджмена є одним з основних методiв отримання кристалiчних матерiалiв. Конструкцiйнi особливостi уста-
новок кристалiзацiї Бриджмена є такими, що пiд час росту кристала в рiдкiй фазi речовини (розплавi) виникає
конвекцiйний рух. Оскiльки швидкiсть вирощування кристалiв, як правило, є малою (∼ 10−6 м/с), то навiть слабкi
конвекцiйнi течiї значно впливають на дифузiйнi та тепловi умови на фронтi кристалiзацiї. Такий вплив, в свою
чергу, змiнює картину тепломасопереносу та призводить до неконтрольованого спотворення структури кристалу.
Тому актуальними є задачi визначення параметрiв процесу кристалiзацiї, при яких вплив конвекцiї на фронт кри-
сталiзацiї мiнiмальний. У данiй роботi на основi системи рiвнянь Буссiнеска дослiджується процес стацiонарного
конвекцiйного теплопереносу у розплавi. Аналiтично, а також за допомогою чисельного моделювання, показано, що
при достатньо великих числах Грассгофа можна вiдповiдним пiдбором граничних умов для температури створити
поблизу фронту кристалiзацiї рiвноважну зону, конвекцiйний рух у якiй вiдсутнiй.
Bridgman method is among the main methods of crystal materials obtaining. Construction features of the Bridgman
plant are for convection motion to appear in liquid phase of the substance (in melt) during the crystal growth. Since
usually solidification velocity is small (∼ 10−6 m/s), even slow convection flows influence on diffusion and heat conditions
on the solid-melt interface. Such an influence effects on heat-mass transfer situation and gives rise to the uncontrolled
crystal structure distortion. That is why solidification process parameters for convection influence on solid-melt interface
to be the least determination problems are relevant. In this paper stationary convection heat-transfer process in melt
is under investigation with Boussinesq equations set. Analytically and with numerical modeling it has been shown, that
equilibrium melt region for convection motion to be absent can be created near solid-melt interface by appropriate choice
of temperature boundary condition, if Grasshoff numbers are large enough.
ВВЕДЕНИЕ
Метод Бриджмена широко применяется как для
получения кристаллических материалов, так и
для проведения экспериментов по изучению про-
цессов затвердевания вещества [1]. При использо-
вании этого метода выращивание кристаллов осу-
ществляется путем направленной кристаллизации
расплава. При этом, как показывают многочислен-
ные экспериментальные и теоретические исследо-
вания, в процессе затвердевания в расплаве обра-
зуются конвективные течения, оказывающие су-
щественное влияние на диффузионные и тепло-
вые условия на фронте кристаллизации, что при-
водит к возникновению макронеоднородностей в
структуре кристалла, т. е. к ухудшению качества
последнего. В связи с этим представляют интерес
задачи, направленные на изучение возможностей,
позволяющих ослабить воздействие конвективно-
го движения расплава на фронт кристаллизации.
Известно, что при развитии конвективного тече-
ния в закрытой прямоугольной полости, подогре-
ваемой сбоку, увеличение числа Грассгофа приво-
дит к возникновению вблизи границ полости по-
граничных слоев [2,7]. При этом внутри полости
образуется зона равновесной жидкости (так на-
зываемое изоградиентное ядро), в которой кон-
вективное движение отсутствует. Задача о конве-
ктивном теплопереносе в расплаве также может
рассматриваться как задача о развитии свободной
конвекции в замкнутой подогреваемой сбоку по-
лости [2,3]. Поэтому указанный эффект образо-
вания пограничных слоев при увеличении числа
Грассгофа может быть использован для создания
зоны равновесной жидкости вблизи фронта кри-
c© Ю. П. Ладиков, П. П. Рабочий, О. К. Черемных, 2006 57
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 57 – 63
сталлизации. В данной работе такая возможность
исследуется с учетом конструкционных особенно-
стей установки Бриджмена.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
На рис. 1 схематически изображена установка
кристаллизации по методу Бриджмена [1]. Она со-
стоит из двух цилиндрических термостатов, тем-
пература одного из которых ниже (холодильник),
а другого - выше (нагреватель) температуры плав-
ления Tc. Внутри термостатов находится цилин-
дрическая ампула, заполненная веществом. Бла-
годаря соответствующему выбору температур тер-
мостатов фронт кристаллизации располагается в
зазоре между холодильником и нагревателем. В
результате часть вещества выше фронта кристал-
лизации находится в жидком состоянии, т. е. в
состоянии расплава. Процесс выращивания кри-
сталла осуществляется за счет одновременного пе-
ремещения обоих термостатов вверх. При этом
скорость их движения равна скорости движения
фронта кристаллизации. Как правило, эта ско-
рость мала (V ∼ 10−6 м/с), поэтому всюду да-
лее фронт кристаллизации будем считать неподви-
жным. Во время процесса кристаллизации справе-
дливы следующие условия. Расплавленное веще-
ство заполняет ампулу от верхнего торца до фрон-
та кристаллизации (см. рис. 1), температура на
котором постоянна и равна температуре плавле-
ния, и который будем считать плоским на про-
тяжении всего времени кристаллизации. Расплав
полностью смачивает стенки ампулы. Температу-
ру на верхнем торце ампулы можно считать по-
стоянной и равной некоторой температуре T0. При
сделанных предположениях стационарный конве-
ктивный теплоперенос внутри полости будет опи-
сываться системой уравнений Буссинеска:
(~v · ∇)~v = −∇p
ρ0
+ ν∆~v + gβT~γ, (1)
~v · ∇T = a∆T, (2)
∇ · ~v = 0, (3)
где ~v – гидродинамическая скорость элемента
объема расплава; g – ускорение свободного паде-
ния; ~γ = −~g/g; ρ0 – плотность расплава, соответ-
ствующая некоторому среднему значению T̄ ; T
– отклонение температуры расплава от величины
T̄ ; p – отклонение давления от величины p0;
∇p0 = −ρ0~g; β = −(1/ρ0)(∂ρ/∂T ) – коэффициент
термического расширения; ν и a – кинематическая
Рис. 1. Схематическое изображение установки
кристаллизации по методу Бриджмена
вязкость и температуропроводность расплава соо-
тветственно.
Введем цилиндрическую систему координат
(r, z, ϕ), ось z которой направим вдоль оси ампу-
лы, а начало поместим на фронте кристаллизации
(рис. 2). Будем считать, что задача обладает осе-
вой симметрией (∂/∂ϕ = 0), а для скорости на
границе полости заданы условия “прилипания”. С
учетом сказанного граничные условия примут вид
~v|z=0 = ~v|z=L0
= ~v|r=R0
= vr|r=0 =
∂~v
∂r
∣
∣
∣
∣
r=0
= 0,
(4)
T |z=0 = Tc, T |z=L0
= T0,
∂T
∂r
∣
∣
∣
∣
r=0
= 0, (5)
где R0 и L0 – радиус ампулы и длина области,
заполненной расплавом, соответственно (см. рис.
2). Вид граничного условия для температуры на
боковой поверхности ампулы будет определяться
из требования минимального, с учетом констру-
кционных особенностей установки Бриджмена, во-
здействия конвекции в расплаве на фронт кри-
сталлизации.
2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ
БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ ГРАССГОФА
Рассмотрим следующую вспомогательную зада-
чу. Пусть на боковой поверхности ампулы задан
некоторый поток тепла:
58 Ю. П. Ладиков, П. П. Рабочий, О. К. Черемных
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 57 – 63
0
L
0
d
0
R
z
0
0
T T=
0
T T=
c
T T=
0
T
r
¶
=
¶
Рис. 2. Схематическое изображение илиндрической
ампулы с веществом
∂T
∂r
∣
∣
∣
∣
r=R0
= G0,
а числа Грассгофа велики:
Gr � 1.
Перейдем к безразмерным переменным
r → r
R0
, z → z
R0
, ~v → ~vR0
ν
, t → tν
R2
0
и введем для полученных выражений функцию то-
ка ψ:
vr = −1
r
∂ψ
∂z
, vz =
1
r
∂ψ
∂r
. (6)
Получим систему нелинейных уравнений
{ψ, ω} = Gr
∂θ
∂r
+ r∆3ω, (7)
Pr{ψ, θ} = r∆1θ, (8)
1
r
∂ψ
∂z
∣
∣
∣
∣
r=0
=
∂
∂r
(
1
r
∂ψ
∂r
)∣
∣
∣
∣
r=0
,
∂ψ
∂r
∣
∣
∣
∣
Γ
=
∂ψ
∂z
∣
∣
∣
∣
Γ
= 0,
(9)
∂θ
∂r
∣
∣
∣
∣
r=0
= 0,
∂θ
∂r
∣
∣
∣
∣
r=1
= G, θ|z=0 = 0, θ|z=1 = 1,
(10)
где введены следующие обозначения:
{f, g} = (∂f/∂r)(∂g/∂z) − (∂f/∂z)(∂g/∂r),
ω =
1
r2
∆−1ψ,
∆k =
∂2
∂r2
+
k
r
∂
∂r
+
∂2
∂z2
,
Pr = ν/a
Gr = [gR3β(T0 − Tc)]/ν
2,
L = L0/R0
θ = (T − Tc)/(T0 − Tc),
G = (G0R0)/(T0 − Tc).
Введем малый параметр ε = 1/ 4
√
Gr � 1 и пред-
ставим переменные ψ и θ в виде разложения по ε:
ψ =
∞
∑
i=0
εiψi, θ =
∞
∑
i=0
εiθi. (11)
Подставим (11) в (7) - (10) и приравняем члены
при одинаковых степенях ε. Для нулевого прибли-
жения получим
∂θ0
∂r
= 0, (12)
Pr{ψ0, θ0} = r∆1θ0, (13)
∂ψ0
∂z
∣
∣
∣
∣
r=1
=
∂ψ0
∂r
∣
∣
∣
∣
r=1
= 0, θ0|z=0 = 0, θ0|z=1 = 1.
(14)
Из (12) следует, что θ0 = θ0 (z). С учетом этого
обстоятельства из уравнения (13) получим
1
r
∂ψ0
∂r
=
d2θ0/dz
2
dθ0/dz
= C (z) .
Из граничных условий следует, что
(∂ψ0/∂r)|r=1
= 0. Поэтому C (z) = 0, т. е.
vz0 =
1
r
∂ψ0
∂r
= 0.
Последнее равенство означает, что ψ0 = ψ0 (z).
Но, поскольку vr0 = − (1/r) (∂ψ0/∂z) и
(∂ψ0/∂z)|r=1 = 0, то
vr0 ≡ 0.
Ю. П. Ладиков, П. П. Рабочий, О. К. Черемных 59
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 57 – 63
Используя этот результат, из уравнения (13) и гра-
ничных условий (14) находим
θ0 = z/L.
Таким образом, в нулевом приближении решение
задачи (7) - (10) имеет вид
vz0 = vr0 = 0, θ0 = z/L.
Рассматривая все последующие приближения,
аналогичным образом можно показать, что
vzi = vri = 0, θi = 0, i = 1, 2...
Т. е. решение задачи (7) - (10) внутри области ра-
сплава имеет вид
~v = 0, θ = z/L. (15)
Выражения (15) соответствуют состоянию
устойчивого механического равновесия расплава.
Легко видеть, однако, что такое решение наруша-
ется вблизи боковой поверхности полости (r = 1),
где радиальный градиент температуры G отличен
от нуля. Это означает, что там будет возникать
пограничный слой, в котором будет происходить
конвективное движение.
Для получения решения в пограничном слое
введем переменную
ξ =
1 − r
ε
. (16)
Решение в пограничном слое будем искать в виде
θ (z, ξ) =
z
L
+
∞
∑
i=0
εi+1Θi (z, ξ) , (17)
ψ (z, ξ) =
∞
∑
i=0
εiΠi (z, ξ) .
Перейдем в уравнениях (7), (8) к новой перемен-
ной, подставим в них выражения (17) и приравня-
ем члены при одинаковых степенях ε. В нулевом
приближении получим:
∂η0
∂ξ
= −αV0, (18)
η0 =
∂3V0
∂ξ3
, (19)
где обозначено η0 = ∂Θ0/∂ξ, V0 = ∂Π0/∂ξ, α =
= PrL−1. Граничные условия при этом запишутся
в виде
V0|ξ=0
= 0, η0|ξ=0
= G. (20)
Кроме того, потребуем выполнения соотношений
“сшивки” с решением внутри области
η0|ξ→∞
= V0|ξ→∞
= 0. (21)
Легко убедиться, что соотношениям (18) - (21)
удовлетворяют функции
V0 (ξ, z) =
Ge−βξ sin (βξ)
2β3
, (22)
η0 (ξ, z) =
√
Ge−βξ sin
(
βξ +
π
4
)
, (23)
где β = 4
√
α/4.
Таким образом, при достаточно больших числах
Грассгофа конвективный теплоперенос в расплаве
описывается выражениями (22), (23). При этом,
как легко видеть из (22), величина скорости ра-
сплава в пограничном слое пропорциональна ве-
личине теплового потока через боковую поверх-
ность. Это означает, что вблизи теплоизолирован-
ных участков боковой поверхности конвективное
движение расплава отсутствует.
Данное обстоятельство указывает на способ, по-
зволяющий уменьшить влияние конвекции на фа-
зовую границу. Действительно, теплоизолировав
часть боковой поверхности между фронтом кри-
сталлизации и нагревателем:
G = 0, 0 ≤ z ≤ δ,
(здесь δ0 = R0δ – расстояние от фронта кристал-
лизации до нагревателя) можно ожидать, что при
достаточно больших числах Грассгофа макроско-
пического движения расплава в непосредственной
близости от фронта кристаллизации, в соответ-
ствии с выражением (22), не будет. Учитывая при
этом, что внутри нагревателя температура стенки
ампулы равна температуре нагревателя, мы полу-
чим следующий вид граничного условия на боко-
вой поверхности:
∂θ
∂r
∣
∣
∣
∣
r=1
= 0, 0 ≤ z ≤ δ, θ|r=1
= 1, δ < z ≤ L,
позволяющий при больших числах Грассгофа со-
здать вблизи фронта кристаллизации (0 ≤ z ≤ δ)
зону равновесной жидкости.
3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Численное моделирование конвективного тепло-
переноса в расплаве проводилось методом коне-
60 Ю. П. Ладиков, П. П. Рабочий, О. К. Черемных
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 57 – 63
чных разностей для полной системы нестацио-
нарных уравнений Навье - Стокса в переменных
функция тока - “вихрь” [4]:
∂ω
∂t
+
1
r
{ψ, ω} =
Gr
r
∂θ
∂r
+ ∆3ω, (24)
∂θ
∂t
+
1
r
{ψ, θ} =
1
Pr
∆1θ, (25)
ω =
1
r2
∆−1ψ, (26)
с граничными и начальными условиями
r = 0 : ω = ψ =
1
r
∂ψ
∂z
=
∂
∂r
(
1
r
∂ψ
∂r
)
= 0, (27)
∂θ
∂r
= 0,
r = 1 : ω =
1
r2
∂2ψ
∂r2
= ψ =
∂ψ
∂z
=
∂ψ
∂r
= 0,
∂θ
∂r
= 0, 0 ≤ z ≤ δ, θ = 1, δ < z ≤ L,
z = 0 : ω =
1
r2
∂2ψ
∂z2
= ψ =
∂ψ
∂z
=
∂ψ
∂r
= 0, θ = 0,
z = L : ω =
1
r2
∂2ψ
∂z2
= ψ =
∂ψ
∂r
=
∂ψ
∂z
= 0, θ = 1,
ψ|t=0 = ω|t=0 ≡ 0, θ|t=0 ≡ 1, (28)
где t→ (tν)/R2
0 – безразмерное время. Стационар-
ное решение системы (24) – (28) находилось мето-
дом установления [5, 6].
Расчеты проводились для Pr = 1, L = 5 на рав-
номерной прямоугольной сетке
w = {rk = hk, h =
1
M
, k = 0...M ;
zp = pl, l =
L
N
, p = 0...N ;
tn = nτ, τ =
τ0
S
, n = 0...S},
где (rk, zp, tn) – узлы сетки; τ0 – время установ-
ления стационарного режима; h, l и τ – шаги по
координатам r, z и t соответственно; M = 40...80;
N = 100...120. Применялась неявная продольно–
поперечная схема [6]. Разностные уравнения на ка-
ждом временном слое решались методом прогон-
ки. В качестве критерия установления стационар-
ного режима использовалось условие
max |∆ωS
p,k,∆ψ
S
p,k,∆θ
S
p,k| < ετ τ,
где ∆fS
p,k = |fS
p,k − fS−1
p,k |, ετ = O
(
h2 + l2 + τ2
)
,
означающее равенство, с точностью до погрешно-
сти аппроксимации, нулю производных по времени
от величин ωS
p,k, ψS
p,k, θS
p,k.
На рис. 3 показаны результаты расчетов для
δ = 0.5 и разных значений Gr. При Gr = 102
радиальный градиент температуры присутствует
во всем объеме, и возникающее вследствие этого
конвективное течение захватывает прифронтовую
зону расплава. То есть в этом случае конвектив-
ное течение может существенно воздействовать на
процессы на фронте кристаллизации. С увеличе-
нием числа Грассгофа зависимость температуры
от радиальной координаты в объеме расплава ста-
новится слабее, и при Gr = 106 радиальный гра-
диент температуры существует только в пограни-
чном слое вблизи стенки ампулы. Область лока-
лизации конвективного движения при этом также
уменьшается, “прижимаясь” к боковой поверхно-
сти вблизи точки z = δ.
Поскольку при достаточно больших числах
Грассгофа течение локализуется вблизи точки z =
δ, то, увеличивая δ, можно сместить область лока-
лизации такого течения вверх. На рис. 4 и 5 по-
казаны распределения температуры и линии тока
конвективных течений для δ = 1 и δ = 1.5, откуда
хорошо видно, что увеличение δ приводит к возни-
кновению вблизи фронта кристаллизации зоны, в
которой конвективное движение отсутствует.
В качестве интегральной характеристики интен-
сивности конвективного течения можно использо-
вать величину
K (Gr) =
∫ 1
0
∫ ∆
0
v2 (r, z, Gr)dzdr,
пропорциональную кинетической энергии распла-
ва, заполняющего область 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ z ≤ ∆.
На рис. 5 приведена зависимость величины k =
Ln [K
(
106
)
/K
(
102
)]
от ∆ для различных значе-
ний δ. Как видно из рисунка, с увеличением числа
Грассгофа интенсивность конвективного течения
во всем объеме возрастает, однако за счет смеще-
ния области локализации вихря вверх при увели-
чении δ вблизи фронта кристаллизации увеличе-
ние числа Грассгофа приводит к уменьшению по-
следней.
ВЫВОДЫ
Рассмотрена задача о стационарном конвектив-
ном теплопереносе в расплаве вещества при кри-
сталлизации по методу Бриджмена. Аналитиче-
ски, а также с помощью численных расчетов,
Ю. П. Ладиков, П. П. Рабочий, О. К. Черемных 61
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 57 – 63
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
θ
r
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
θ
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
θ
r
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
θ
r
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
θ
r
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
θ
r
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Gr=102 Gr=104 Gr=106
−0.0016
−0.006
−0.02
−0.04
−0.2
Gr=102 Gr=104 Gr=106
−0.5
−0.2
−0.65
−1.5
z=0.1
z=0.25
z=0.5
z=1
z=1.5
z=0.1
z=0.25
z=0.5
z=1
z=1.5
z=0.1
z=0.25
z=0.5
z=1
Рис. 3. Распределение температуры и линии тока конвективного течения при δ = 0.5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
θ
r
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
θ
r
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
θ
r
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Gr=102 Gr=104 Gr=106
−0.001
−0.005
−0.015
−0.02
−0.12
Gr=102 Gr=104 Gr=106
−0.4
−0.15
−0.45
−1.2
z=0.25
z=0.5
z=1
z=1.5
z=2
z=2
z=0.25
z=0.5
z=1
z=1.5
z=0.25
z=0.5
z=1
Gr=102 Gr=104 Gr=106
z=1.5
Рис. 4. Распределение температуры и линии тока конвективного течения при δ = 1
62 Ю. П. Ладиков, П. П. Рабочий, О. К. Черемных
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 57 – 63
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
θ
r
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
θ
r
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0 0.5 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r
θ
r
z
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Gr=102 Gr=104 Gr=106
−0.001
−0.004
−0.011
−0.015
−0.065
Gr=102 Gr=104 Gr=106
−0.25
−0.15
−0.45
−1.25
z=2
z=0.5
z=1.5
z=1
z=2.5 z=2
z=1.5
z=0.5
z=1
z=2.5 z=2
z=0.5
z=1
z=1.5
Gr=102 Gr=104 Gr=106
Рис. 5. Распределение температуры и линии тока конвективного течения при δ = 1.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
−2
−1
0
1
2
3
4
∆
Ln(K)
δ = 0.5
δ = 1.0
δ = 1.5
Рис. 6. Зависимость отношения средних
кинетических энергий расплава при Gr = 10
6 и
Gr = 10
2 от величины ∆
показано, что при больших числах Грассгофа
(∼ 106) конвективное движение отсутствует во
всем объеме расплава за исключением пограни-
чного слоя вблизи боковой поверхности ампулы,
где, в силу граничных условий, радиальный гра-
диент температуры не обращается в ноль. Указан
вид граничных условий для температуры, позво-
ляющих при достаточно больших числах Грасс-
гофа создать вблизи фронта кристаллизации зо-
ну равновесной жидкости, в которой конвективное
движение отсутствует. Показано, что при средних
числах Грассгофа (∼ 103) такой зоны создать
нельзя, так как конвекция захватывает объем ра-
сплава до фронта кристаллизации.
1. Шпак А.П., Федоров О.П., Берсудский Е.И., Жи-
волуб Е.Л. Некоторые проблемы исследования
процессов направленного затвердевания в услови-
ях микрогравитации (создание установки МОР-
ФОС) // Космiчна наука i технологiя.– 2002.–
№5/6.– С. 19-27.
2. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Гидродинамика.– M.:
Наука, 1987.– 735 с.
3. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная
устойчивость несжимаемой жидкости.– М.: Наука,
1972.– 392 с.
4. Долгих Г.А., Феонычев А.И. Численное исследо-
вание процессов тепло- и массообмена при направ-
ленной кристаллизации в условиях невесомости //
Проблемы механики и теплообмена в космической
технике.– М.: Машиностроение, 1982.– 24-32 с.
5. Самарский А.А. Теория разностных схем.– М.: На-
ука, 1977.– 285 с.
6. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А.
Численное моделирование процессов тепло- и
массообмена.– М.: Наука, 1984.– 401 с.
7. Mamou M., Vasseur P., Bilgen E. Analytical and
numerical study of double diffusive convection in a
vertical enclosure // Heat and mass transfer.– 1996.–
26.– P. 115-125.
Ю. П. Ладиков, П. П. Рабочий, О. К. Черемных 63
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4756 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:28:54Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ладиков, Ю.П. Рабочий, П.П. Черемных, О.К. 2009-12-22T16:52:42Z 2009-12-22T16:52:42Z 2006 О структуре конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена при больших числах Грассгофа / Ю.П. Ладиков, П.П. Рабочий, О.К. Черемных // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 2. — С. 57-63. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4756 629.12:12.001 Метод Бриджмена является одним из основных методов получения кристаллических материалов. Конструкционные особенности установок кристаллизации Бриджмена таковы, что во время роста кристалла в жидкой фазе вещества (расплаве) возникает конвективное движение. Поскольку скорость выращивания кристаллов, как правило, мала (~ 10-6 м/с), то даже слабые конвективные течения существенно влияют на диффузионные и тепловые условия на фронте кристаллизации. Такое влияние, в свою очередь, изменяет картину процессов тепломассопереноса и приводит к неконтролируемому искажению структуры кристалла. В связи с этим актуальными являются задачи, направленные на определение параметров процесса кристаллизации, при которых воздействие конвекции на фронт кристаллизации минимально. В данной работе на основе системы уравнений Буссинеска исследуется процесс стационарного конвективного теплопереноса в расплаве. Аналитически, а также с помощью численного моделирования, показано, что при достаточно больших числах Грассгофа можно соответствующим подбором граничных условий для температуры создать вблизи фронта кристаллизации зону равновесного расплава, в которой конвективное движение отсутствует. Метод Бриджмена є одним з основних методiв отримання кристалiчних матерiалiв. Конструкцiйнi особливостi установок кристалiзацiї Бриджмена є такими, що пiд час росту кристала в рiдкiй фазi речовини (розплавi) виникає конвекцiйний рух. Оскiльки швидкiсть вирощування кристалiв, як правило, є малою (~ 10-6 м/с) м/с), то навiть слабкi конвекцiйнi течiї значно впливають на дифузiйнi та тепловi умови на фронтi кристалiзацiї. Такий вплив, в свою чергу, змiнює картину тепломасопереносу та призводить до неконтрольованого спотворення структури кристалу. Тому актуальними є задачi визначення параметрiв процесу кристалiзацiї, при яких вплив конвекцiї на фронт кристалiзацiї мiнiмальний. У данiй роботi на основi системи рiвнянь Буссiнеска дослiджується процес стацiонарного конвекцiйного теплопереносу у розплавi. Аналiтично, а також за допомогою чисельного моделювання, показано, що при достатньо великих числах Грассгофа можна вiдповiдним пiдбором граничних умов для температури створити поблизу фронту кристалiзацiї рiвноважну зону, конвекцiйний рух у якiй вiдсутнiй. Bridgman method is among the main methods of crystal materials obtaining. Construction features of the Bridgman plant are for convection motion to appear in liquid phase of the substance (in melt) during the crystal growth. Since usually solidification velocity is small (~ 10-6 m/s), even slow convection flows influence on diffusion and heat conditions on the solid-melt interface. Such an influence effects on heat-mass transfer situation and gives rise to the uncontrolled crystal structure distortion. That is why solidification process parameters for convection influence on solid-melt interface to be the least determination problems are relevant. In this paper stationary convection heat-transfer process in melt is under investigation with Boussinesq equations set. Analytically and with numerical modeling it has been shown, that equilibrium melt region for convection motion to be absent can be created near solid-melt interface by appropriate choice of temperature boundary condition, if Grasshoff numbers are large enough. ru Інститут гідромеханіки НАН України О структуре конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена при больших числах Грассгофа On convective flow structures in installation of crystallization Bridgmen at high Grassgoff numbers Article published earlier |
| spellingShingle | О структуре конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена при больших числах Грассгофа Ладиков, Ю.П. Рабочий, П.П. Черемных, О.К. |
| title | О структуре конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена при больших числах Грассгофа |
| title_alt | On convective flow structures in installation of crystallization Bridgmen at high Grassgoff numbers |
| title_full | О структуре конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена при больших числах Грассгофа |
| title_fullStr | О структуре конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена при больших числах Грассгофа |
| title_full_unstemmed | О структуре конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена при больших числах Грассгофа |
| title_short | О структуре конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена при больших числах Грассгофа |
| title_sort | о структуре конвективных течений в установке кристаллизации бриджмена при больших числах грассгофа |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4756 |
| work_keys_str_mv | AT ladikovûp ostrukturekonvektivnyhtečeniivustanovkekristallizaciibridžmenapribolʹšihčislahgrassgofa AT rabočiipp ostrukturekonvektivnyhtečeniivustanovkekristallizaciibridžmenapribolʹšihčislahgrassgofa AT čeremnyhok ostrukturekonvektivnyhtečeniivustanovkekristallizaciibridžmenapribolʹšihčislahgrassgofa AT ladikovûp onconvectiveflowstructuresininstallationofcrystallizationbridgmenathighgrassgoffnumbers AT rabočiipp onconvectiveflowstructuresininstallationofcrystallizationbridgmenathighgrassgoffnumbers AT čeremnyhok onconvectiveflowstructuresininstallationofcrystallizationbridgmenathighgrassgoffnumbers |