Свободное глиссирование пластины при больших числах Фруда
Получено асимптотическое решение для больших чисел Фруда задачи установившегося глиссирования пластины с заданной нагрузкой и свободным (неизвестным) углом хода. Даны формулы для смоченной длины, угла хода и осадки задней кромки в зависимости от числа Фруда и положения центра тяжести глиссера. Отрим...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4757 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Свободное глиссирование пластины при больших числах Фруда / М.В. Макасеев // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 2. — С. 64-68. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859666482131107840 |
|---|---|
| author | Макасеев, М.В. |
| author_facet | Макасеев, М.В. |
| citation_txt | Свободное глиссирование пластины при больших числах Фруда / М.В. Макасеев // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 2. — С. 64-68. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Получено асимптотическое решение для больших чисел Фруда задачи установившегося глиссирования пластины с заданной нагрузкой и свободным (неизвестным) углом хода. Даны формулы для смоченной длины, угла хода и осадки задней кромки в зависимости от числа Фруда и положения центра тяжести глиссера.
Отримано асимптотичний розв'язок для великих чисел Фруда задачi сталого глiсування пластини з заданим навантаженням i вiльним (невiдомим) кутом ходу. Дано формули для змоченої довжини, кута ходу та осадки задньої кромки в залежностi вiд числа Фруда i положення центру ваги глисера.
The asymptotic solution for large Froude numbers of a problem steady planing plates with given load and free (unknown) by a trim angle are obtained. The formulas for wetted length, trim angle and draught of a trailing edge depending on a Froude number and center of gravity position of a glider are given.
|
| first_indexed | 2025-11-30T11:22:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 64 – 68
УДК 532.5
СВОБОДНОЕ ГЛИССИРОВАНИЕ ПЛАСТИНЫ
ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ ФРУДА
М. В. МА КА СЕ ЕВ
Национальный технический университет Украины "КПИ", Киев
Получено 27.10.2005 � Пересмотрено 11.02.2006
Получено асимптотическое решение для больших чисел Фруда задачи установившегося глиссирования пластины
с заданной нагрузкой и свободным (неизвестным) углом хода. Даны формулы для смоченной длины, угла хода и
осадки задней кромки в зависимости от числа Фруда и положения центра тяжести глиссера.
Отримано асимптотичний розв’язок для великих чисел Фруда задачi сталого глiсування пластини з заданим на-
вантаженням i вiльним (невiдомим) кутом ходу. Дано формули для змоченої довжини, кута ходу та осадки задньої
кромки в залежностi вiд числа Фруда i положення центру ваги глисера.
The asymptotic solution for large Froude numbers of a problem steady planing plates with given load and free (unknown)
by a trim angle are obtained. The formulas for wetted length, trim angle and draught of a trailing edge depending on a
Froude number and center of gravity position of a glider are given.
ВВЕДЕНИЕ
Под свободным глиссированием понимается
движение глиссера при условии, что на него кроме
некоторой силы тяги, сообщающей заданную по-
ступательнуй скорость, действуют только сила тя-
жести и сила реакции воды. При этом заданными
являются нагрузка на глиссер (водоизмещение) и
положение центра тяжести. Осадку глиссера, угол
хода (угол дифферента) и смоченную поверхность
необходимо определить. К "несвободному" глис-
сированию в данном случае можно отнести дру-
гие виды движения глиссера при всех возможных
способах фиксирования угла хода и осадки, встре-
чающиеся, например, в экспериментальных иссле-
дованиях.
Плоская задача об установившемся глиссирова-
нии пластины при фиксированном угле хода реше-
на решена Л.И.Седовым [1], [2] и Н.Е.Кочиным [3]
разными методами. В качестве характерного ли-
нейного размера использовалась смоченная длина
l, а число Фруда определялось как Fr = V0/
√
gl,
где V0 – скорость движения глиссера, g – ускоре-
ние свободного падения. При таком подходе оста-
ется нерешенной задача о смоченной длине, так
как одному фиксированному значению числа Фру-
да соответствует бесконечное множество пар зна-
чений смоченной длины и скорости.
В реальных условиях и при экспериментальных
исследованиях глиссирования характерный линей-
ный размер определяется по нагрузке на глиссер
(водоизмещению): a = 3
√
∆/ρg, где ∆ – нагруз-
ка, ρg – удельный вес воды. Задача о глиссирова-
нии пластины с заданной нагрузкой и неизвестной
смоченной длиной решена в [4]. При этом угол хо-
да оставался фиксированным. Задача о свободном
глиссировании пластины с неизвестным углом хо-
да решена в [5]. В настоящей работе получено
асимптотическое решение этой задачи для боль-
ших чисел Фруда, даны расчетные формулы для
смоченной длины, угла хода и осадки задней кром-
ки.
1. СИСТЕМА ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ ЗАДАЧИ О СВОБОДНОМ ГЛИССИРО-
ВАНИИ
В системе координат, связанной с глиссирую-
щей пластиной так, что ось x направлена в сторо-
ну движения и совпадает с невозмущенным уров-
нем свободной поверхности на бесконечности, ось
y проходит через заднюю кромку пластины, основ-
ное интегральное уравнение задачи имеет вид [4]:
1
π
l
∫
0
γ(s)
x − s
ds + ν
l
∫
0
γ(s)[R(x − s, ν)−
− cos ν(x− s)]ds = −f ′(x), 0 < x < l, (1)
где γ (x) – перепад давления на пластине; ν – па-
раметр весомости: ν = ga/V 2
0 = 1/Fr2,
R (x, ν) =
[π
2
sgnx + Siνx
]
cos νx− Ciν |x| sinνx,
Six и Cix – интегральные синус и косинус [6];
f (x) = f0 + kx – форма пластины; f0 – осадка
задней кромки; k = tgα; α – угол хода. Первый
64 c© М. В. Макасеев, 2006
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 64 – 68
интеграл в (1) понимается в смысле главного зна-
чения. Уравнение (1) выражает условие гладкого
обтекания пластины. При свободном глиссирова-
нии к уравнению (1) добавляются условия равно-
весия сил и моментов [5]:
l
∫
0
γ (x)dx = ν, (2)
l
∫
0
γ (x)xdx = νb, (3)
где b – расстояние от задней кромки до центра тя-
жести. Неизвестными в системе являются γ (x), l
и k.
Форма свободной поверхности после решения
системы (1)–(3) определяется по формуле [4]
ϑ (x) =
l
∫
0
γ (s) [Q (ν, x − s) + sinν (x − s)]ds,
где
Q (ν, x) =
= − 1
π
[
cos νxCiν |x | + sin ν |x |
(π
2
+ Siν |x |
)]
.
2. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЛЯ
БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ФРУДА
Систему уравнений (1)–(3) после замены пере-
менных s̄ = s/l, x̄ = x/l запишем в виде
1
π
1
∫
0
γ(s̄)
x̄ − s̄
ds̄ + ω
1
∫
0
γ(s̄)[R(x̄ − s̄, ω)−
− cos ω(x̄ − s̄)]ds̄ = −k, 0 < x̄ < 1, (4)
lkc̄y (1, ω) = ν, (5)
l2kc̄m (1, ω) = νb, (6)
где ω = νl; c̄y (1, ω) = cy (1, ω) /k; c̄m (1, ω) =
= cm (1, ω) /k,
cy (1, ω) =
1
∫
0
γ (x̄) dx̄, cm (1, ω) =
1
∫
0
γ (x̄) x̄dx̄.
Уравнение (4) по форме совпадает с исходным
уравнением (1) при l = 1, что соответствует фор-
мально задаче с заданной единичной длиной и па-
раметром весомости ω.
Идея решения уравнений (4)–(6) при малых ν
(Fr → ∞) такая. Считая в (4) k временно изве-
стным, найдем формальное решение этого урав-
нения при малых ω, т.е. найдем асимптотическое
разложение по параметру ω величин cy (1, ω) и
cm (1, ω). Подставляя затем эти разложения в (5)
и (6) и заменяя ω на νl, найдем из (5) и (6) в свою
очередь разложения l и k.
Формальное решение (4) при фиксированном k
соответствует решению задачи глиссирования с
заданным углом хода и заданной смоченной дли-
ной в постановке Л.И.Седова и Н.Е.Кочина [1–3].
Для больших чисел Фруда в [1–3] получены асим-
птотические формулы для коэффициентов сил.
Поскольку метод решения, применяемый в настоя-
щей работе, отличается от методов [1–3], покажем,
что асимптотическое решение (4) совпадает с ре-
шением, полученным в [1–3].
Для удобства изложения вместо уравнения (4)
будем решать (1) при l = 1 и малых ν . Используя
известные [6] формулы для интегральных синуса
и косинуса
Six = x − 1
3!
x3
3
+
1
5!
x5
5
∓ ...
Cix = C + lnx − 1
2!
x2
2
+
1
4!
x4
4
∓ ...,
(здесь C – постоянная Эйлера), а также формулы
разложения для обычных синуса и косинуса, по-
лучим при ν → 0 разложение для уравнения (1):
1
π
1
∫
0
γ(s)
x − s
ds + ν
1
∫
0
γ(s)
[
1
2
sgn(x − s) − 1
]
ds−
−ν2 ln ν
π
1
∫
0
γ (s) (x − s) ds+O
(
ν2
)
= −k, 0 < x < 1,
(7)
и функции ϑ (x) (при l = 1):
ϑ (x) = −C + lnν
π
1
∫
0
γ (s) ds− 1
π
1
∫
0
γ (s) ln |x − s| ds+
+ν
1
∫
0
γ(s)
[
1 − 1
2
sgn(x − s)
]
(x − s) ds+
+
ν2 ln ν
2π
1
∫
0
γ (s) (x − s)
2
ds + O
(
ν2
)
. (8)
М. В. Макасеев 65
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 64 – 68
Исходя из характера разложений (7), (8), фун-
кцию γ (x) будем искать в виде асимптотического
ряда
γ (x) = γ0 (x)+
+γ1 (x)ν lnν + γ2 (x) ν + γ3 (x) ν2 ln ν + ...., (9)
подставляя который в разложение (7) и вычи-
сляя коеффициенты полученного разложения, бу-
дем иметь уравнения для определения функций
γ0 (x), γ1 (x), ... :
1
π
1
∫
0
γ0 (s)
x − s
ds = −k, 0 < x < 1,
1
π
1
∫
0
γ1 (s)
x − s
ds = 0, 0 < x < 1,
1
π
1
∫
0
γ2 (s)
x − s
ds =
= −
1
∫
0
γ0(s)
[
1
2
sgn(x − s) − 1
]
ds, 0 < x < 1,
1
π
1
∫
0
γ3 (s)
x − s
ds =
=
1
π
1
∫
0
γ0 (s) (x − s) ds, 0 < x < 1, ...
Решения этих уравнений при предположении
γ (0) = 0, что соответствует постулату Кутта-
Жуковского в теории крыла, следует искать в
классе функций, ограниченных при x = 0 и не-
ограниченных при x = 1. Последовательно опре-
деляем:
γ0 (x) = k
√
x
1 − x
,
γ1 (x) = 0,
γ2 (x) =
= −k
π
√
x
1 − x
1
∫
0
√
1 − s
s
s
∫
0
√
t
1 − t
dt
ds
x − s
+
3π2
4
,
γ3 (x) = k
√
x
1 − x
(
x
2
− 5
8
)
, ....
Найдем коэффициенты подъемной силы:
cy (1, ν) = cy0 + ν lnνcy1 + νcy2 + ν2 lnνcy3 + ...,
и момента относительно задней кромки
cm (1, ν) = cm0 + ν ln νcm1 + νcm2 + ν2 ln νcm3 + ...,
где
cyi =
1
∫
0
γi(x)dx, cmi =
1
∫
0
γi (x)xdx, i = 0, 1, 2, ....
Вычисления дают:
cy0 =
kπ
2
, cy1 = 0, cy2 = −k
(
π2 + 4
)
4
, cy3 = 0, ...,
cm0 =
3π
8
k, cm1 = 0, cm2 = −9π2 + 32
48
k,
cm3 = −5π
64
k, ....
В результате можно записать:
cy (1, ν) =
π
2
k − π2 + 4
4
kν + O
(
ν2
)
, (10)
cm (1, ν) =
3π
8
k− 9π2 + 32
48
kν− 5π
64
kν2 lnν +O
(
ν2
)
.
(11)
Коэффициент сопротивления в этом случае
cx (1, ν) = kcy (1, ν) .
Формулы (10), (11) совпадают с точностью
до обозначений с соответствующими формулами
Л.И.Седова и Н.Е.Кочина [1–3]. Воспользуемся
найденными значениями коэффициентов асимпто-
тических разложений для решения системы (4)–
(6).
Из уравнений (5) и (6) получим, что
l = b
cy (1, ω)
cm (1, ω)
,
и при ν → 0 имеем l = 4b/3 = l0, следовательно,
разложение для l должно иметь форму
l = l0 + l1ν lnν + l2ν + l3ν
2 lnν + .... (12)
При ν → 0 из (5) имеем k = 0. Поэтому разло-
жение для k должно иметь вид
k = k1ν lnν + k2ν + k3ν
2 ln ν + .... (13)
Подставляя разложения (12), (14) в уравнения
(5), (6) и вычисляя коэффициенты, находим:
66 М. В. Макасеев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 64 – 68
l0 =
bcy0
cm0
=
4b
3
, l1 = 0, l2 = l20
(
cy2
cy0
− cm2
cm0
)
= −32b2
81π
,
k1 = 0, k2 =
1
l0cy0
, k3 = 0,
k4 = l0k2
(
cm2
cm0
− 2
cy2
cy0
)
=
9π2 + 40
9π2
.
В результате
l =
4
3
b − 32
81π
b2ν + O
(
ν2 ln ν
)
, (14)
k =
3
2πb
ν +
9π2 + 40
9π2
ν2 + O
(
ν3 ln ν
)
. (15)
Коэффициент сопротивления свободно глисси-
рующей пластины
cx (l, ν) = kν =
3
2πb
ν2 +
9π2 + 40
9π2
ν3 + O
(
ν4 ln ν
)
.
Для формы свободной поверхности можно по-
лучить:
ϑ (x) = −ν (C + ln ν)
π
− 1
π
l
∫
0
γ (s) ln |x − s|ds+
+ν
l
∫
0
γ (s)
[
1 − 1
2
sgn(x − s)
]
(x − s)ds + ....
Осадка задней кромки:
ϑ (0) = −ν (C + ln ν)
π
−
− 1
π
l
∫
0
γ (s) ln sds − 3
2
ν
l
∫
0
γ (s) sds + ... =
= −ν (C + lnν)
π
− ν ln l
π
− l
π
1
∫
0
γ (s̄) ln s̄ds̄− 3ν2b
2
+...
Подставляя сюда разложение γ (s̄) по парамет-
ру ω, а также ряды (15), (16), после вычислений
получим
Рис. 1. Зависимость смоченной длины
от числа Фруда при различных
положениях центра тяжести
ϑ (0) = −ν
π
(
C + 1 + ln
νb
3
)
−1.56ν2b+O
(
ν3 lnν
)
.
(16)
Приведем значения некоторых интегралов, ко-
торые были использованы при вычислении коэф-
фициентов асимптотических формул:
1
∫
0
√
x
1 − x
xdx =
3π
8
,
1
∫
0
√
1 − x
x
x
∫
0
√
s
1 − s
dsdx =
π2
8
− 1,
1
∫
0
√
(1 − x)x
x
∫
0
√
s
1 − s
dsdx =
π2
32
− 1
6
,
1
∫
0
√
x
1 − x
lnxdx =
π
2
− π ln 2
3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
На рис. 1–3 представлены графики зависимо-
стей смоченной длины, угла хода в градусах и
осадки задней кромки плоской пластины в зави-
симости от числа Фруда при различных положе-
ниях центра тяжести. Сплошные линии – резуль-
таты численного решения [5] системы (15), штри-
ховые построены по асимптотическим формулам
(14)–(16).
М. В. Макасеев 67
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 64 – 68
Рис. 2. Зависимость угла хода
от числа Фруда при различных
положениях центра тяжести
Рис. 3. Зависимость осадки задней кромки
от числа Фруда при различных
положениях центра тяжести
При свободном установившемся глиссировании
положение центра давления, как следует из урав-
нений (2) и (3), всегда совпадает с положением
центра тяжести:
xc = cm (l, ν) /cy (l, ν) = b.
С увеличением скорости движения глиссера
(Fr → ∞) смоченная длина приближается к вели-
чине 4b/3 (рис. 1), т. е. центр давления приближа-
ется к точке, находящейся на расстоянии 1/4 смо-
ченной длины от передней кромки. Это подтвер-
ждает справедливость известных аналогий теории
глиссирования на больших скоростях с линеаризо-
ванной теорией крыла.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученные в работе асимптотические форму-
лы для основных гидродинамических характери-
стик пластины при установившемся глиссирова-
нии с заданными нагрузкой и положением центра
тяжести при больших числах Фруда дают резуль-
таты, достаточно хорошо согласующиеся с изве-
стными численными решениями. Указанные фор-
мулы могут быть использованы для оценочных ра-
счетов при проектировании скоростных судов, ги-
дросамолетов, других транспортных средств с ди-
намическими принципами поддержания, а также в
исследованиях и технических расчетах, связанных
с глиссированием.
1. Седов Л.И. Плоская задача о глиссировании по
поверхности тяжелой жидкости // Труды конф.
по волновому сопротивлению.– М.: ЦАГИ.– 1937.–
С. 3-38.
2. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и
аэродинамики.– М: Наука, 1981.– 448 с.
3. Кочин Н.Е. Плоская задача о глиссировании сла-
бо изогнутого контура по поверхности тяжелой не-
сжимаемой жидкости // Труды ЦАГИ.– 1938.– вып.
356.– С. 3 - 24.
4. Dovgiy S.A., Efremov I.I., Makasyeyev M.V. Some
problems of a planing theory // High speed
hydrodynamics / Proc. of Int. Summer Scintifiic
School. June 16–23, 2002. Cheboksary, Russia.–
Comput.Public.: Cheboksary, Russia / Washington,
USA.– 2002.– С. 241 - 248.
5. Макасеев М.В. Установившееся глиссирование пла-
стины по поверхности весомой жидкости при задан-
ной нагрузке и свободном угле хода // Прикладна
гiдромеханiка.– 2003.– том 5(77), №2.– С. 73-75.
6. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции.–
М.: Наука, 1977.– 342 с.
68 М. В. Макасеев
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4757 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T11:22:47Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макасеев, М.В. 2009-12-22T16:53:00Z 2009-12-22T16:53:00Z 2006 Свободное глиссирование пластины при больших числах Фруда / М.В. Макасеев // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 2. — С. 64-68. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4757 532.5 Получено асимптотическое решение для больших чисел Фруда задачи установившегося глиссирования пластины с заданной нагрузкой и свободным (неизвестным) углом хода. Даны формулы для смоченной длины, угла хода и осадки задней кромки в зависимости от числа Фруда и положения центра тяжести глиссера. Отримано асимптотичний розв'язок для великих чисел Фруда задачi сталого глiсування пластини з заданим навантаженням i вiльним (невiдомим) кутом ходу. Дано формули для змоченої довжини, кута ходу та осадки задньої кромки в залежностi вiд числа Фруда i положення центру ваги глисера. The asymptotic solution for large Froude numbers of a problem steady planing plates with given load and free (unknown) by a trim angle are obtained. The formulas for wetted length, trim angle and draught of a trailing edge depending on a Froude number and center of gravity position of a glider are given. ru Інститут гідромеханіки НАН України Свободное глиссирование пластины при больших числах Фруда Free plate gliding at high Froude numbers Article published earlier |
| spellingShingle | Свободное глиссирование пластины при больших числах Фруда Макасеев, М.В. |
| title | Свободное глиссирование пластины при больших числах Фруда |
| title_alt | Free plate gliding at high Froude numbers |
| title_full | Свободное глиссирование пластины при больших числах Фруда |
| title_fullStr | Свободное глиссирование пластины при больших числах Фруда |
| title_full_unstemmed | Свободное глиссирование пластины при больших числах Фруда |
| title_short | Свободное глиссирование пластины при больших числах Фруда |
| title_sort | свободное глиссирование пластины при больших числах фруда |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4757 |
| work_keys_str_mv | AT makaseevmv svobodnoeglissirovanieplastinypribolʹšihčislahfruda AT makaseevmv freeplateglidingathighfroudenumbers |