Устойчивость равновесия системы несмешивающихся токонесущих жидкостей в магнитном поле
Рассматриваются вопросы устойчивости равновесных состояний токонесущих жидкостей, взаимодействующих с внешним магнитным полем. Подробно изучен случай двухслойной системы несмешивающихся жидкостей, заполняющих цилиндрический сосуд прямоугольного сечения, в однородном магнитном поле. Показано, что с у...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4764 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Устойчивость равновесия системы несмешивающихся токонесущих жидкостей в магнитном поле / И.Д. Борисов, С.А. Пославский, Ю.И. Руднев // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 4. — С. 3-14. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859991548281749504 |
|---|---|
| author | Борисов, И.Д. Пославский, С.А. Руднев, Ю.И. |
| author_facet | Борисов, И.Д. Пославский, С.А. Руднев, Ю.И. |
| citation_txt | Устойчивость равновесия системы несмешивающихся токонесущих жидкостей в магнитном поле / И.Д. Борисов, С.А. Пославский, Ю.И. Руднев // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 4. — С. 3-14. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассматриваются вопросы устойчивости равновесных состояний токонесущих жидкостей, взаимодействующих с внешним магнитным полем. Подробно изучен случай двухслойной системы несмешивающихся жидкостей, заполняющих цилиндрический сосуд прямоугольного сечения, в однородном магнитном поле. Показано, что с увеличением индукции магнитного поля и/или силы тока, пропускаемого через данную МГД-систему, равновесное состояние, отвечающее плоской поверхности раздела жидкостей, теряет устойчивость. Это проявляется в возникновении на поверхности раздела жидкостей периодических волн. В рамках линейной теории вопрос об устойчивости равновесных состояний сводится к исследованию спектра частот свободных нормальных колебаний системы. Решение соответствующей спектральной краевой задачи осуществляется численно с помощью метода Галеркина. Проведены расчеты границы области устойчивости в пространстве безразмерных параметров системы. Выяснен характер влияния основных параметров системы на пороги волнообразования.
Розглядаються питання стiйкостi рiвноважних станiв струмонесучих рiдин, якi взаємодiють з зовнiшнiм магнiтним полем. Детально вивчений випадок двошарової системи незмiшних рiдин, якi заповнюють цилiндричну порожнину прямокутного перетину, в однорiдному магнiтному полi. Показано, що зi збiльшенням iндукцiї магнiтного поля i/або сили струму, який пропускається через дану МГД-систему, рiвноважний стан, що вiдповiдає плоскiй поверхнi роздiлу рiдин, втрачає стiйкiсть. Це проявляється у виникненнi на поверхнi роздiлу рiдин перiодичних хвиль. У рамках лiнiйної теорiї питання стiйкостi рiвноважних станiв зводиться до дослiдження спектру частот вiльних нормальних коливань системи. Розв'язання вiдповiдної спектральної крайової задачi здiйснюється чисельно за допомогою методу Гальоркiна. Проведено розрахунки межi областi стiйкостi в просторi безрозмiрних параметрiв системи. З'ясовано характер впливу основних параметрiв системи на пороги збудження хвиль.
Stability problems of equilibrium states of current-carrying liquids in interaction with external magnetic field are considered. The case of two-layer system of immiscible liquids that fills a rectangular cylindrical vessel in uniform magnetic field is studied in detail.It was shown that with increasing of magnetic field induction and/or electric current which pass through the MHD-system, the equilibrium state corresponding to the flat fluid interface becomes unstable. Such instability appears as arising of periodic waves on the interface. In linear theory the equilibrium stability problem is reduced to study of free oscillation frequency spectrum. Solving of corresponding spectral boundary problem is carried out numerically using Galerkin method. The boundary of stability region in the space of dimensionless parameters of the system is calculated. The influence of main parameters on stability threshold is clarified.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:32:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
НАУКОВI СТАТТI ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
УДК 537.84
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ
НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ
ТОКОНЕСУЩИХ ЖИДКОСТЕЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
И. Д. Б О РИ СО В , С. А. П ОС Л АВ СК И Й , Ю. И. РУ Д Н ЕВ
Харьковский национальный университет им.В.Н.Каразина
Получено 27.05.2006
Рассматриваются вопросы устойчивости равновесных состояний токонесущих жидкостей, взаимодействующих с
внешним магнитным полем. Подробно изучен случай двухслойной системы несмешивающихся жидкостей, заполня-
ющих цилиндрический сосуд прямоугольного сечения, в однородном магнитном поле. Показано, что с увеличением
индукции магнитного поля и/или силы тока, пропускаемого через данную МГД-систему, равновесное состояние,
отвечающее плоской поверхности раздела жидкостей, теряет устойчивость. Это проявляется в возникновении на
поверхности раздела жидкостей периодических волн. В рамках линейной теории вопрос об устойчивости равно-
весных состояний сводится к исследованию спектра частот свободных нормальных колебаний системы. Решение
соответствующей спектральной краевой задачи осуществляется численно с помощью метода Галеркина. Проведе-
ны расчеты границы области устойчивости в пространстве безразмерных параметров системы. Выяснен характер
влияния основных параметров системы на пороги волнообразования.
Розглядаються питання стiйкостi рiвноважних станiв струмонесучих рiдин, якi взаємодiють з зовнiшнiм магнiтним
полем. Детально вивчений випадок двошарової системи незмiшних рiдин, якi заповнюють цилiндричну порожнину
прямокутного перетину, в однорiдному магнiтному полi. Показано, що зi збiльшенням iндукцiї магнiтного поля i/або
сили струму, який пропускається через дану МГД-систему, рiвноважний стан, що вiдповiдає плоскiй поверхнi роздi-
лу рiдин, втрачає стiйкiсть. Це проявляється у виникненнi на поверхнi роздiлу рiдин перiодичних хвиль. У рамках
лiнiйної теорiї питання стiйкостi рiвноважних станiв зводиться до дослiдження спектру частот вiльних нормальних
коливань системи. Розв’язання вiдповiдної спектральної крайової задачi здiйснюється чисельно за допомогою мето-
ду Гальоркiна. Проведено розрахунки межi областi стiйкостi в просторi безрозмiрних параметрiв системи. З’ясовано
характер впливу основних параметрiв системи на пороги збудження хвиль.
Stability problems of equilibrium states of current-carrying liquids in interaction with external magnetic field are consi-
dered. The case of two-layer system of immiscible liquids that fills a rectangular cylindrical vessel in uniform magnetic
field is studied in detail.It was shown that with increasing of magnetic field induction and/or electric current which pass
through the MHD-system, the equilibrium state corresponding to the flat fluid interface becomes unstable. Such instability
appears as arising of periodic waves on the interface. In linear theory the equilibrium stability problem is reduced to study
of free oscillation frequency spectrum. Solving of corresponding spectral boundary problem is carried out numerically using
Galerkin method. The boundary of stability region in the space of dimensionless parameters of the system is calculated.
The influence of main parameters on stability threshold is clarified.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование равновесных состояний и устой-
чивости равновесия токонесущих жидкостей в ма-
гнитном поле является одной из основных задач,
возникающих во многих инженерно-технических
приложениях магнитной гидромеханики. Большой
практический интерес представляет, в частности,
задача об устойчивости поверхности раздела ра-
сплавленного металла и электролита в алюминие-
вых электролизерах большой мощности [?].
Негативное влияние МГД-процессов на технико-
экономические показатели работы алюминиевых
электролизеров отмечалось в [?] и других рабо-
тах более 50 лет тому назад. Электромагнитные
силы вызывают вихревые движения электроли-
та и жидкого алюминия, перекосы (отклонения
от горизонтального уровня) поверхности раздела
“металл – электролит”; при определенных усло-
виях стационарное течение расплава электроли-
та и алюминия теряет устойчивость, сменяясь пе-
риодическим по времени волновым режимом дви-
жения. Это приводит к значительному снижению
выхода алюминия по току и увеличению удельных
энергозатрат на его производство.
Первые целенаправленные эксперименты по ис-
следованию волн на поверхности раздела “металл
– электролит” в промышленных электролизерах
проводились Урата и др. [?]. В приближении “мел-
кой воды” в [?] получено нелинейное эволюционное
уравнение, описывающее динамику поверхности
раздела “металл - электролит”. При выводе этого
уравнения использовалась упрощенная схема эле-
ктролизера, включающая в себя цилиндрический
сосуд прямоугольного сечения, заполненный дву-
мя горизонтальными слоями проводящих жидко-
стей, ограниченных сверху и снизу плоскими по-
верхностями электродов. Начиная с [?], эта схема и
приближение “мелкой воды” использовались в по-
давляющем большинстве работ, посвященных те-
оретическому анализу волновых процессов в алю-
миниевых электролизерах.
c© И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев, 2006 3
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
Физический механизм потери устойчивости,
приводящий к появлению волн на поверхности ра-
здела “металл – электролит”, был описан в работе
Селе [?]. В основе этого механизма лежит взаимо-
действие вертикального магнитного поля с гори-
зонтальными токами, появляющимися в распла-
ве при случайных возмущениях поверхности ра-
здела жидкостей. Здесь же был предложен при-
ближенный критерий МГД-устойчивости электро-
лизеров, накладывающий определенные ограниче-
ния на величину вертикальной компоненты инду-
кции магнитного поля, силу тока и толщины сло-
ев металла и электролита. Критерий Селе, в си-
лу его простоты, часто используют при обработке
экспериментальных результатов для аппроксима-
ции границы области устойчивости в пространстве
указанных параметров (см., например, Абрамов и
др. [?]).
Устойчивость равновесия двух безграничных го-
ризонтальных слоев проводящих жидкостей в вер-
тикальном магнитном поле исследовалась Сней-
дом [??]. Проведенный анализ ограничивался рас-
смотрением плоских и осесимметричных возмуще-
ний поверхности раздела, что не позволило устано-
вить наиболее интересные особенности дестабили-
зирующего влияния магнитного поля при возму-
щениях общего вида.
МГД-устойчивость алюминиевых электролизе-
ров в рамках линейной теории исследовалась в
работе авторов данной статьи [?]. Решение зада-
чи для малых возмущений (квази)равновесного
состояния расплава, описываемых линеаризован-
ными уравнениями магнитной гидродинамики,
осуществлялось численно на основе метода Галер-
кина. Проведенный анализ показал, что основную
роль в механизме генерации волн действительно
играет вертикальная компонента магнитного по-
ля, как это указывалось в [?]. Было показано так-
же, что неустойчивость носит пороговый харак-
тер, обусловленный вязкостью жидкостей.
Подход, основанный на анализе линеаризован-
ных уравнений магнитной гидродинамики (без
учета вязкости жидкостей), рассматривался Сней-
дом и Вангом [?].
Линейные колебания поверхности раздела жид-
костей в асимптотическом приближении двухслой-
ной “мелкой воды” изучались в работе Бояревича и
Ромерио [?]. Аналогичные математические модели
при исследовании МГД–процессов в алюминиевых
электролизерах использовали Дэвидсон [?], Линд-
сей и Дэвидсон [??– ??], Моррис и Дэвидсон [?],
Деркач и др. [?].
Анализ механизмов генерации волн в рамках
модели, предложенной в [?], проводился Лукьяно-
вым и др. [?]. Устойчивость стационарных течений
токонесущих жидкостей в магнитном поле приме-
нительно к алюминиевым электролизерам иссле-
довалась в работах Куренкова и др. [?], Сана и др.
[??, ??]. Ранее этот вопрос рассматривался в [?].
Следует отметить, что в большинстве из указан-
ных выше работ не учитывалась вязкость жидко-
стей. Это обстоятельство не позволило правиль-
но объяснить пороговый характер неустойчивости
и указать методы определения границы области
устойчивости в пространстве определяющих пара-
метров рассматриваемых МГД–систем.
Данная работа продолжает исследования, нача-
тые в [?,?]. Подробно рассмотрен случай двухслой-
ной системы несмешивающихся токонесущих жид-
костей, взаимодействующих с вертикальным ма-
гнитным полем.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1.1. Основные предположения и обозначения
Рассматривается система двух несмешивающи-
хся жидкостей, заполняющих цилиндрическую по-
лость, ограниченную плоскими горизонтальными
поверхностями электродов и непроводящей боко-
вой стенкой, как показано на рис. 1. Систему будем
считать элементом электрической цепи, по кото-
рой протекает постоянный ток J0. Будем считать
также, что жидкости испытывают воздействие по-
стоянного однородного магнитного поля, создавае-
мого внешними источниками. Индукцию внешнего
магнитного поля обозначим через ~B0 (B0 = const).
Пусть Ω1, Ω2 – области, занимаемые нижней
и верхней жидкостями, Ω3, Ω4 – верхний и ни-
жний электроды, соответственно. Верхний эле-
ктрод, для определенности, будем считать анодом,
нижний – катодом. Пусть ∂Ωk – граница области
Ωk; Γik – общий участок границ двух соприкаса-
ющихся областей Ωi,Ωk, так что Γik = ∂Ωi ∩ ∂Ωk,
i, k = 1, 4, i < k. Отметим, что в принятых обозна-
чениях Γ12 означает поверхность раздела жидко-
стей. Боковую поверхность цилиндрической обла-
сти Ωk, k = 1, 4 обозначим через Sk.
Введем прямоугольную систему координат
Ox1x2x3, ось Ox3 которой направлена верти-
кально вверх. Пропускание тока через рассма-
триваемую МГД-систему вызывает появление
дополнительного магнитного поля с индукцией
~BJ(~x). Взаимодействие объемных токов ~(~x), ра-
спределенных в Ω1,Ω2, с суммарным магнитным
полем ~B = ~B0 + ~BJ приводит к появлению пон-
4 И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
Рис. 1. Принципиальная схема МГД-системы
деромоторных сил, действующих на жидкости, с
объемной плотностью
~F (k) = ~j(k) × ~B(k) , k = 1, 2.
Здесь и всюду далее верхний индекс в круглых
скобках означает номер области, к которой отно-
сится та или иная величина.
В состоянии равновесия жидкостей должны
выполняться следующие условия:
−∇p(k)
0 + ρk~g +~j(k) × ~B(k) = 0 в Ωk, k = 1, 2, (1)
p
(1)
0 = p
(2)
0 на Γ12, (2)
где p
(k)
0 – гидростатическое давление; ρk – плот-
ность k-й жидкости; ~g – ускорение силы тяжести.
Для объемной плотности тока и потенциала эле-
ктрического поля примем закон Ома:
~j(k) = −σk∇ψ(k), k = 1, 4, (3)
где σk(= const) – удельная электропроводность
среды в Ωk. В этом случае потенциал электриче-
ского поля должен удовлетворять уравнениям:
∆ψ(k) = 0 в Ωk, k = 1, 4. (4)
Будем считать, что токоподвод к верхней гра-
ни анода Γ03, как и токоотвод от нижней грани
катода Γ04, осуществляются с помощью проводя-
щих пластин, удельная электропроводность кото-
рых значительно превышает удельную электро-
проводность электродов. В этом случае потенциал
электрического поля ψ(~x) на каждой из поверхно-
стей Γ03, Γ04 можно считать постоянным, полагая
ψ(3) = U(= const) на Γ03;ψ
(4) = 0 на Γ04. (5)
На поверхностях раздела сред должны выпол-
няться условия непрерывности электрического по-
тенциала и нормальных компонент тока:
{ψ}Γik
= 0,
{
σ
∂ψ
∂n
}
Γik
= 0 на Γik, ik = 12, 14, 23.
(6)
Здесь ~n – единичный вектор нормали к поверхно-
сти раздела сред, направленный в область с боль-
шим индексом. Фигурные скобки в (??) и далее
означают скачок заключенной в них величины на
поверхности раздела сред:
{A}Γik
:= (A(k) −A(i))|Γik
.
На неэлектропроводных боковых стенках сосуда
должны выполняться условия непротекания тока:
∂ψ(k)
∂n
= 0 на Sk, k = 1, 4. (7)
Потенциал U электрического поля на верхней
грани анода и полный ток J0, протекающий по
рассматриваемой цепи, являются заранее неизве-
стными величинами. Для их определения необхо-
димо задать дополнительные соотношения:
J0 =
∫
Γ
σ
∂ψ
∂x3
dΓ, U + J0R0 = E , (8)
где E – ЭДС источника тока; R0 – суммарное со-
противление токоподводящих шин, включая вну-
треннее сопротивление источника тока. В равен-
ствах (??) под Γ можно понимать произвольное
поперечное сечение любой из областей Ωk, k = 1, 4
горизонтальной плоскостью x3 = const.
Будем считать, что магнитное поле собствен-
ных токов рассматриваемой системы значительно
меньше внешнего поля, BJ � B0. В этом слу-
чае собственным магнитным полем можно пре-
небречь, полагая ~B(k) = ~B0, k = 1, 2. В принятых
предположениях система уравнений и граничных
условий полностью определяет равновесные со-
стояния жидкостей, если дополнительно считать
объем одной из жидкостей (для определенности,
первой) заданным:
И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев 5
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
∫
Ω1
dΩ = V1. (9)
Нетрудно проверить, что в однородном магни-
тном поле ~B0 плоская горизонтальная поверхность
раздела жидкостей x3 = 0 отвечает возможному
состоянию равновесия рассматриваемой системы с
однородным распределением объемных токов и ги-
дростатическим давлением, определяемыми сле-
дующими соотношениями:
~j(k) = −j0~e3, j0 = const, k = 1, 4;
p
(k)
0 = −ρkgx3 + (~j0 × ~B0) · ~x+ const, k = 1, 2,
(10)
где ~e3 – орт оси Ox3.
1.2. Математическая формулировка эволюци-
онной задачи
Состояние покоя рассматриваемой системы, удов-
летворяющее условиям равновесия (??)–(??), да-
леко не всегда является устойчивым относительно
начальных возмущений. Действительно, как по-
казывают эксперименты на лабораторных моде-
лях [?] при увеличении силы тока J0 и/или инду-
кции внешнего магнитного поля B0 состояние по-
коя сменяется волновым режимом движения жид-
костей. В этом режиме на поверхности раздела
жидкостей генерируются крупномасштабные вол-
ны, длина которых соизмерима с горизонталь-
ными размерами сосуда. При поддержании посто-
янных внешних условий колебания жидкостей до-
статочно быстро приобретают периодический по
времени характер. Аналогичные эффекты наблю-
даются на промышленных алюминиевых электро-
лизерах [?].
Критическое значение силы тока Jкр, с пре-
вышением которого на границе раздела жидко-
стей генерируются волны, зависит от всей сово-
купности геометрических и физических параме-
тров системы. Определение Jкр является одной
из основных задач при решении проблем МГД-
устойчивости алюминиевых электролизеров.
Имеющиеся экспериментальные данные позво-
ляют утверждать, что при малых значениях
∆J = J0 − Jкр > 0 возникающие колебания жид-
костей носят линейный характер. Для их описания
можно воспользоваться линеаризованными урав-
нениями магнитной гидродинамики.
Обозначим через ζ (t, x1, x2) отклонение поверх-
ности раздела от равновесного положения, через
~v (t, ~x) – поле скоростей жидкостей. Как обычно
принято в линейной теории, функции ζ (t, x1, x2),
~v (t, ~x) будем считать малыми величинами первого
порядка малости. Гидродинамическое давление p,
плотность электрического тока ~j, потенциал эле-
ктрического поля ψ представим в виде суммы рав-
новесных значений этих величин и их малых во-
змущений:
p(t, ~x) = p0(~x) + p′(t, ~x),
~j(t, ~x) = ~j0(~x) + ~j′(t, ~x),
ψ(t, ~x) = ψ0(~x) + ψ′(t, ~x).
В дальнейшем штрихи, обозначающие возмуще-
ния величин, будем опускать.
В линейном приближении движение жидкостей
описывается следующими уравнениями:
ρk
∂~v(k)
∂t
= −∇p(k) + ηk∆~v(k) +~j(k) × ~B0 , (11)
div~v(k) = 0 в Ωk, k = 1, 2, (12)
где ηk – динамическая вязкость k-й жидкости.
На поверхности раздела жидкостей должны
выполняться кинематические условия:
∂ζ
∂t
= v
(1)
3 = v
(2)
3 , v(1)
α = v(2)
α , α = 1, 2 на Γ12 (13)
и динамические условия:
{
η
(
∂vα
∂x3
+
∂v3
∂xα
)}
Γ12
= 0, α = 1, 2 на Γ12, (14)
{
−p + 2η
∂v3
∂x3
}
Γ12
= (ρ1 − ρ2) gζ на Γ12. (15)
Условия (??), (??) представляют собой линеа-
ризованные условия непрерывности касательных
и нормальных напряжений на поверхности разде-
ла жидкостей.
На твердых стенках примем, как обычно, усло-
вие прилипания частиц жидкости:
~v(k) = 0 на ∂Ωk \ Γ12, k = 1, 2. (16)
Будем считать, что закон Ома (??) выполняется
для возмущений тока и потенциала электрическо-
го поля, так что
~j(k) = −σk∇ψ(k), k = 1, 4, (17)
∆ψ(k) = 0 в Ωk, k = 1, 4. (18)
Линеаризуя условия непрерывности потенциала
электрического поля и нормальных компонент то-
ка на поверхностях раздела сред, будем иметь:
{ψ}Γ12
= −σ1 − σ2
σ1σ2
j0ζ,
{
σ
∂ψ
∂x3
}
Γ12
= 0 на Γ12;
(19)
6 И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
{ψ}Γik
= 0,
{
σ
∂ψ
∂x3
}
Γik
= 0 на Γik, ik = 14, 23;
(20)
∂ψ(k)
∂n
= 0 на Sk, k = 1, 4. (21)
Будем считать, что в процессе движения жидко-
стей суммарный ток, протекающий по рассматри-
ваемой электрической цепи, остается неизменным,
J0 = const. В этом случае на верхней грани анода
и нижней грани катода следует принять условия:
ψ(3) = 0 на Γ03; ψ
(4) = 0 на Γ04. (22)
Отметим, что при заданной функции ζ краевая
задача (??)–(??) полностью определяет возмуще-
ние потенциала электрического поля и токов в ка-
ждой из областей Ωk, k = 1, 4.
В начальный момент времени поле скоростей и
форма поверхности раздела жидкостей предпола-
гаются известными,
ζ
∣
∣
∣t=0 = ζ0 на Γ12;~v
(k)
∣
∣
∣t=0 = ~v
(k)
0 в Ωk, k = 1, 2.
(23)
Вектор-функции ~v
(k)
0 (~x), k = 1, 2 должны удовле-
творять уравнениям (??) и условиям (??), (??), а
функция ζ0(x1, x2) – условию
∫
Γ12
ζ0(x1, x2)dΓ = 0.
В принятых предположениях движение жид-
костей полностью описывается системой уравне-
ний, граничных и начальных условий (??)–(??).
Вопрос об устойчивости равновесного состояния
жидкостей сводится к исследованию устойчиво-
сти тривиального решения эволюционной зада-
чи (??)–(??) относительно начальных возмущений
ζ0 (x, y) , ~v0 (~x).
1.3. Нормальные колебания жидкостей. Спек-
тральный признак устойчивости
С эволюционной задачей (??)–(??) тесно связа-
на спектральная задача о нормальных свободных
колебаниях жидкостей, описываемых решениями,
экспоненциально зависящими от времени:
~v
p
ζ
ψ
~j
(t, ~x) = exp (λt)
~v
p
ζ
ψ
~j
(~x) . (24)
Спектральный параметр λ в общем случае при-
нимает комплексные значения: λ = γ + iω, где γ
– фактор затухания (в случае γ < 0 ) или нара-
стания (в случае γ > 0) колебаний; ω – круговая
частота собственных колебаний системы. Введем
поле малых смещений частиц жидкостей ~u(t, ~x) =
= exp(λt)~u(~x), связанное с полем скоростей следу-
ющим соотношениeм:
~v(t, ~x) =
∂~u(t, ~x)
∂t
= λ exp(λt)~u(~x). (25)
Подставляя выражение (??) в (??)-(??) и учи-
тывая при этом (??), после отделения экспо-
ненциального временного множителя приходим к
спектральной краевой задаче (относительно соб-
ственных значений λ и амплитудных множителей
~u(~x), p(~x), ζ(x1, x2), ψ(~x)):
λ2ρk~u
(k) = −∇p(k) + ληk∆~u(k) +~j(k) × ~B0, (26)
div~u(k) = 0 в Ωk, k = 1, 2; (27)
ζ = u
(1)
3 = u
(2)
3 , u(1)
α = u(2)
α , α = 1, 2 на Γ12; (28)
{
η
(
∂uα
∂x3
+
∂u3
∂xα
)}
Γ12
= 0, α = 1, 2 на Γ12; (29)
{
−p+ 2λη
∂u3
∂x3
}
Γ12
= (ρ1 − ρ2) gζ на Γ12; (30)
~u(k) = 0 на ∂Ωk \ Γ12, k = 1, 2; (31)
~j(k) = −σk∇ψ(k) в Ωk, k = 1, 4; (32)
∆ψ(k) = 0 в Ωk, k = 1, 4; (33)
{ψ}Γ12
= −σ1 − σ2
σ1σ2
j0ζ,
{
σ
∂ψ
∂x3
}
Γ12
= 0 на Γ12;
(34)
{ψ}Γik
= 0,
{
σ
∂ψ
∂x3
}
Γik
= 0 на Γik, ik = 14, 23;
(35)
∂ψ(k)
∂n
= 0 на Sk, k = 1, 4; (36)
ψ(3) = 0 на Γ03; ψ
(4) = 0 на Γ04. (37)
Очевидно, что при γ > 0 решения вида (??) не-
ограниченно возрастают. Физически это означает,
что случайные возмущения, усиливаемые электро-
магнитными силами, нарастают со временем, при-
водя к появлению незатухающих волн на поверх-
ности раздела жидкостей. Период колебаний и
форма волн определяются наиболее быстро расту-
щими решениями вида (??). Амплитуда волн в ли-
нейной задаче является неопределяемым параме-
тром; конечность амплитуды реальных волн объя-
сняется нелинейными эффектами, не учитывае-
мыми в выражениях (??)–(??).
И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев 7
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
Как известно [?], в отсутствии тока и магнитно-
го поля задача (??)–(??) имеет дискретный спектр
собственных значений λk = γk + iωk (k = 1, 2, . . .).
Можно показать, что дискретность спектра сохра-
няется и в рассматриваемом здесь случае. Это по-
зволяет записать условие устойчивости (неустой-
чивости) равновесного состояния рассматривае-
мой системы в виде:
max
k
γk < 0 – условие устойчивости,
(max
k
γk > 0 – условие неустойчивости).
(38)
Очевидно, что при J0 = 0, B0 = 0 и ρ1 >
ρ2 (легкая жидкость расположена над тяжелой)
рассматриваемое состояние равновесия устойчиво.
Опираясь на спектральный признак устойчивости
(??), можно показать, что в случае J0 6= 0, B0 6= 0
для жидкостей с пренебрежимо малой вязкостью,
т.е. при η1 = η2 = 0, равновесное состояние всегда
неустойчиво. Таким образом, в рассматриваемой
задаче вязкость жидкостей играет исключитель-
но важную роль, определяя пороговый характер
МГД-неустойчивости равновесия.
Спектральный признак устойчивости (??)
используется в дальнейшем для построения
границы области устойчивости в пространс-
тве физических параметров рассматриваемой
системы.
2. МЕТОД РЕШЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ
ЗАДАЧИ
2.1. Общая схема метода Галеркина
Для приближенного вычисления собственных зна-
чений и собственных функций спектральной за-
дачи (??)–(??) будем применять метод Галерки-
на. Для этого выберем в качестве базиса полную
систему соленоидальных вектор-функций {~ui}∞i=1,
определенных в Ω1,Ω2, удовлетворяющих услови-
ям (??), (??) и условию непрерывности (??) на по-
верхности Γ12, а в остальном произвольных. Ка-
ждой базисной функции ~ui сопоставим функцию
ζi := ~n · ~ui |Γ12
на Γ12. Поле смещений частиц жид-
костей, отклонение поверхности раздела от равно-
весного положения, возмущения потенциала эле-
ктрического поля и токов представим в виде:
~u =
N
∑
k=1
ck~uk, ζ =
N
∑
k=1
ckζk,
ψ =
N
∑
k=1
ckψk, ~j =
N
∑
k=1
ck~jk,
(39)
где ck – коэффициенты, подлежащие определе-
нию, а функции ψk,~jk находятся как решение кра-
евой задачи (??) – (??) при ζ = ζk. Число базисных
функций N подбирается из условий практической
сходимости вычислительного процесса, описанно-
го в следующем разделе.
Пусть ~u(~x), ~ξ(~x) – соленоидальные вектор-
функции, удовлетворяющие тем же условиям, что
и базисные функции ~uk(~x). В этом случае имеет
место следующая формула Грина для оператора
Стокса:
∫
Ω1∪Ω2
(−∇p+ λη∆~u) ~ξdΩ =
= −λD(~ξ, ~u) −
∫
Γ12
{
−p + 2λη
∂u3
∂x3
}
ξ3dΓ−
−λ
∫
Γ12
2
∑
α=1
{
η
(
∂uα
∂x3
+
∂u3
∂xα
)}
Γ
ξαdΓ,
(40)
D(~ξ, ~u) :=
:=
∫
Ω1∪Ω2
3
∑
i,k=1
η
2
(
∂ξi
∂xk
+
∂ξk
∂xi
)(
∂ui
∂xk
+
∂uk
∂xi
)
dΩ.
Подставляя (??) в уравнение (??) и умножая
скалярно обе части полученного равенства на ~u∗i
(звездочка означает комплексно сопряженную ве-
личину), после интегрирования по области Ω1∪Ω2
с использованием формулы (??) и условий (??),
(??) будем иметь:
(
λ2A + λD + (B − C)
)
c = 0, (41)
c := (c1, c2, . . . , cN)t.
Здесь определенные ниже A, B – матрицы ки-
нетической и потенциальной энергий; D – ма-
трица вязкой диссипации; C – матрица МГД-
взаимодействия.
Элементы aik матрицы A имеют вид:
aik =
∫
Ω1∪Ω2
ρ~u∗i ~ukdΩ, i, k = 1, . . . , N. (42)
Элементы bik матрицы B определены выражения-
ми:
bik =
∫
Γ12
g (ρ1 − ρ2) ζ
∗
i ζkdΓ, i, k = 1, . . . , N. (43)
Отметим, что для поля скоростей, представля-
емого в виде выражения (??), (??), квадратичная
форма ctAc, определяет кинетическую энергию
8 И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
рассматриваемой системы, а квадратичная форма
ctBc – потенциальную энергию системы. По этой
причине A и B названы матрицами кинетической
и потенциальной энергий соответственно.
Элементы cik матрицы МГД–взаимодействия C
определяются по формулам:
cik =
∫
Ω1∪Ω2
~u∗i ·
(
~jk × ~B0
)
dΩ, i, k = 1, . . . , N. (44)
Общее выражение для элементов dik матрицы
диссипации D имеет вид:
dik = D(~u∗i , ~uk), i, k = 1, . . . , N. (45)
Квадратичный функционал D(~u, ~u) и отвечающая
ему квадратичная форма ctDc определяют дисси-
пацию энергии, обусловленную вязкостью жидко-
стей, что и объясняет название матрицы D.
Метод Галёркина позволил редуцировать исхо-
дную спектральную краевую задачу к алгебраиче-
ской спектральной задаче для квадратичного пу-
чка матриц (??). Введем n–мерный вектор-столбец
b := λc. Заметим также, что A – эрмитова положи-
тельно определенная матрица, так что существует
обратная матрица A−1. Нетрудно видеть, что (??)
приводится к эквивалентному уравнению:
(
−A−1D −A−1 (B − C)
I 0
)(
b
c
)
= λ
(
b
c
)
,
(46)
где I – единичная N ×N – матрица.
Собственные числа λ спектральной задачи (??),
как и эквивалентной ей задачи (??), являются
приближенными значениями собственных чисел
краевой задачи (??) – (??), а собственные векторы
c определяют моды колебаний возмущенных вели-
чин в соответствии с их представлениями (??). За-
бегая вперед, отметим, что собственные числа за-
дачи (??) будут определяться численно с исполь-
зованием QR-алгоритма [?].
2.2. Матрицы кинетической и потенциальной
энергий
Приведенные выше формулировки эволюционной
и спектральной задач, а также общая процедура
метода Галеркина относятся к цилиндрическому
сосуду с произвольным поперечным сечением. В
дальнейшем будем считать, что поперечное сече-
ние полости сосуда имеет прямоугольную форму.
Кроме того, ограничимся рассмотрением жидко-
стей малой вязкости. Эффективным методом ре-
шения задач гидродинамики в случае маловязких
жидкостей является, как известно, метод погра-
ничного слоя, позволяющий сравнительно просто
находить асимптотические решения в виде рядов
по степеням коэффициентов вязкости.
При реализации метода Галёркина представляе-
тся наиболее целесообразным использовать в каче-
стве базисных функций {~ui}∞i=1 собственные функ-
ции задачи о малых колебаниях рассматриваемой
системы в отсутствие токов и магнитного поля.
Эта задача описывается системой уравнений (??)–
(??), где необходимо положить ~ = 0.
В соответствии с общей процедурой метода по-
граничного слоя [?] представим функции ~ui(~x) в
виде
~ui = ∇ϕi(~x) + ~wi(~x), i = 1, . . . , N, (47)
где ϕ – потенциал смещений частиц жидкостей;
~w – вектор-функция, учитывающая влияние вяз-
кости в тонких слоях, примыкающих к твердым
стенкам и границе раздела жидкостей. Функции
ϕ(~x), ~w(~x), в свою очередь, представим в виде ря-
дов:
ϕ(k) = ϕ0(k) + ν
1/2
k ϕ1(k) + . . . ,
~w(k) = ~w0(k) + ν
1/2
k ~w1(k) + . . . , k = 1, 2,
где νk – кинематическая вязкость k-ой жидкости.
Комплексные собственные частоты колебаний так-
же будем отыскивать в виде ряда:
λ = λ0 + ν1/2λ1 + . . . ,
где под ν можно понимать ν1 или ν2, что приводит
к одному и тому же результату.
Для практических расчетов, как правило, до-
статочно ограничиться первыми двумя члена-
ми асимптотического ряда для λ. Можно пока-
зать, что для их определения достаточно найти
ϕ0(k), ~w0(k), k = 1, 2.
Функции ϕ0(k) описывают колебания системы
идеальных жидкостей и определяются как реше-
ния краевой задачи:
∆ϕ(k) = 0 в Ωk, k = 1, 2;
ζ =
∂ϕ(1)
∂x3
=
∂ϕ(2)
∂x3
на Γ12;
(λ0)
2
(
ρ1ϕ
(1) − ρ2ϕ
(2)
)
+ g (ρ1 − ρ2) ζ = 0 на Γ12;
∂ϕ(k)
∂n
= 0 на Sk, k = 1, 2.
В случае цилиндра с прямоугольным попере-
чным сечением решения этой задачи легко выпи-
сываются в явном виде:
И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев 9
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
ϕ
(1)
j =
ch (κj (h1 + x3))
κjsh (κjh1)
ζj (x1, x2) ,
ϕ
(2)
j = −ch (κj (h2 − x3))
κjsh (κjh2)
ζj (x1, x2) ,
ζj = αj cos (κ1jx1) cos (κ2jx2) , λ
0
j = ±iω0
j ,
ω0
j =
(
g (ρ1 − ρ2)κj
ρ1cth (κjh1) + ρ2cth (κjh2)
)1/2
; (48)
κ1j :=
πp1j
l1
, κ2j :=
πp2j
l2
, κj :=
(
κ2
1j + κ2
2j
)1/2
,
p1j, p2j = 0, 1, 2, . . . ; p1j + p2j 6= 0, j = 1, 2, . . . .
Здесь h1 – толщина слоя нижней жидкости; h2
– толщина слоя верхней жидкости; l1, l2 – гори-
зонтальные размеры сосуда вдоль осей Ox1, Ox2
соответственно; ω0
j – собственные частоты колеба-
ний рассматриваемой двухслойной системы жид-
костей в отсутствие вязкости, магнитного поля и
токов.
Для определенности будем считать, что целочи-
сленные параметры p1j, p2j выбираются так, что-
бы волновые числа κj образовывали неубываю-
щую последовательность. Произвол в выборе ам-
плитудных множителей αj (с размерностью дли-
ны) можно использовать для той или иной нор-
мировки собственных функций ζj, ϕ
(k)
j ; в даль-
нейшем для упрощения записи элементов матриц,
входящих в (??), (??), будем полагать αj = 1 ∀j =
1, 2, . . . .
При подсчете элементов матриц кинетической
и потенциальной энергий погранслойными слага-
емыми ~wi в представлении поля смещений ча-
стиц жидкостей (47) можно пренебречь. Исполь-
зуя выражения (48), элементы матрицы кинети-
ческой энергии нетрудно выписать в явном виде:
aij = δij
(ρ1cthκih1 + ρ2cth κih2) l1l2εi
κi
, (49)
εi =
{
1/2, (κ1iκ2i = 0)
1/4, (κ1iκ2i 6= 0)
.
Для элементов матрицы потенциальной энергии
будем иметь:
bij = δij (ρ1 − ρ2) gεi. (50)
В выражениях (??), (??) через δij , как обычно,
обозначены символы Кронекера.
2.3. Матрица вязкой диссипации
В отличие от матриц кинетической и потенци-
альной энергий элементы матрицы вязкой дисси-
пации определяются в основном погранслойными
функциями ~wj . Для вектор-функций ~wj вблизи
твердых стенок имеем следующее общее выраже-
ние:
~w
(k)
j = −∇τϕj exp
−1 + i√
2
√
ω0
j
νk
ξ,
, k = 1, 2,
(51)
где ξ – координата, отсчитываемая вглубь жид-
кости по нормали к твердой стенке; ∇τ – поверх-
ностный градиент скалярной функции, определен-
ный на соответствующей твердой стенке. Вблизи
поверхности раздела жидкостей ~wj имеют вид:
~w
(1)
j = − ρ2
√
ν2 ~w0j
ρ1
√
ν1 + ρ2
√
ν2
exp
1 + i√
2
√
ω0
j
ν1
x3
,
~w
(2)
j =
ρ1
√
ν1 ~w0j
ρ1
√
ν1 + ρ2
√
ν2
exp
−1 + i√
2
√
ω0
j
ν2
x3
,
(52)
~w0j := κ−1
j (cthκjh1 + cth κjh2)∇τζj .
Для элементов матрицы вязкой диссипации вме-
сто (??) можно принять приближенное выражение
dij ≈
∫
Ω1∪Ω2
η
∂ ~w∗
i
∂ξ
· ∂ ~wj
∂ξ
dΩ, i, j = 1, 2, . . .N. (53)
Для тонких слоев жидкостей диссипацией энер-
гии на боковых стенках сосуда можно пренебречь.
В этом случае из выражения (??) с учетом (??),
(??), будем иметь:
dij = δij
√
ωi
2
(
ρ1
√
ν1
sh 2(κih1)
+
ρ2
√
ν2
sh 2(κih2)
+
+
(cth (κih1) + cth (κih2))
2ρ1ρ2
√
ν1ν2
ρ1
√
ν1 + ρ2
√
ν2
)
εi. (54)
Отметим, что для промышленных алюминиевых
электролизеров толщина слоя металла h1 = 20−30
см, слоя электролита h2 = 4−7 см при ширине ван-
ны порядка 4 м и длине, достигающей 15 м. Таким
образом, применительно к алюминиевым электро-
лизерам приближение, в котором получены выра-
жения (??), можно считать вполне удовлетвори-
тельным.
2.4. Матрица МГД-взаимодействия
Выпишем компоненты матрицы МГД-
взаимодействия, считая внешнее магнитное
поле вертикальным, ~B0 = B0~e3.
10 И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
Как отмечалось ранее, базисные функции
ψ
(k)
i , k = 1, 4 в представлении потенциала электри-
ческого поля определяются по функциям ζi как
решения краевой задачи (??)–(??) при ζ = ζi. Для
цилиндрического сосуда прямоугольного сечения
эти решения легко выписываются в явном виде:
ψ
(1)
i =
j0
σ1
α1i
[
sh (κih4)ch (κi(h1 + x3))+
+
σ4
σ1
ch (κih4)sh (κi(h1 + x3))
]
ζi(x1, x2),
ψ
(2)
i =
j0
σ2
α2i
[
sh (κih3)ch (κi(h2 − x3))+
+
σ3
σ2
ch (κih3)sh (κi(h2 − x3))
]
ζi(x1, x2),
ψ
(3)
i =
j0
σ2
α2ish (κi(h2 + h3 − x3))ζi(x1, x2),
ψ
(4)
i =
j0
σ1
α1ish (κi(h1 + h4 + x3))ζi(x1, x2). (55)
Коэффициенты α1i, α2i в (??) определены выра-
жениями:
α1i =
(1 − σ2/σ1) s2i
r2is1i + (σ2/σ1)r1is2i
,
α2i = − (1 − σ2/σ1) s1i
r2is1i + (σ2/σ1)r1is2i
,
где
r1i = ch (κih1)sh (κih4) + (σ4/σ1)sh (κih1)ch (κih4),
r2i = ch (κih2)sh (κih3) + (σ3/σ2)sh (κih2)ch (κih3),
s1i = sh (κih1)sh (κih4) + (σ4/σ1)ch (κih1)ch (κih4),
s2i = sh (κih2)sh (κih3) + (σ3/σ2)ch (κih2)ch (κih3).
Подставляя выражения (??) в (??) и учитывая
при этом (47), получим выражения для элементов
матрицы МГД-взаимодействия:
mij = B0j0 ×
×
(
α1j
κish (κih1)
(
sh (κjh4)I
(1)
1ij +
σ4
σ1
ch (κjh4)I
(1)
2ij
)
+
+
α2j
κish (κih2)
(
sh (κjh3)I
(2)
1ij +
σ3
σ2
ch (κjh3)I
(2)
2ij
))
×
× (κ1 iκ2 jK1 ijK2 ji − κ1 jκ2 iK1 jiK2 ij) ,
(56)
где
I
(m)
1ij =
sh (2κihm)
4κi
+
hm
2
, κi = κj ,
sh (κi + κj)hm
2(κi + κj)
+
sh (κi − κj)hm
2(κi − κj)
, κi 6= κj ,
I
(m)
2ij =
=
1
4κi
(1 − ch (2κihm)) , κi = κj,
1 − ch (κi + κj)hm
2(κi + κj)
+
1 − ch (κi − κj)hm
2(κi − κj)
, κi 6= κj,
Ks ij =
0, psi + psj−четное число,
2κs i
κ2
s i − κ2
s j
, psi + psj−нечетное число.
Полученные выражения для матриц МГД-
взаимодействия, диссипации, кинетической и по-
тенциальной энергий используются в дальнейшем
в численных исследованиях МГД-устойчивости
поверхности раздела жидкостей.
3. ГРАНИЦА ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ
3.1. Безразмерные параметры задачи
Как отмечалось выше, с точки зрения приложений
наибольший интерес в данной задаче представля-
ют критические значения геометрических и физи-
ческих параметров рассматриваемой системы, со-
ответствующие режиму возбуждения волн.
Введем безразмерный параметр
W =
J0B0
(ρ1 − ρ2)gS
, (57)
где S = l1l2 – площадь горизонтального сечения
полости сосуда, содержащего жидкости. Параметр
W характеризует, очевидно, отношение электро-
магнитных сил, действующих на жидкости, к си-
ле тяжести и является одним из основных параме-
тров, определяющих поведение рассматриваемой
системы. В дальнейшем будем называть W пара-
метром МГД-взаимодействия.
Обозначим через q совокупность всех осталь-
ных безразмерных параметров системы. В чис-
ло этих параметров входят, в частности, гео-
метрические безразмерные параметры: l̄ = l2/l1,
h̄k = hk/L, k = 1, 4, где L – характерный ли-
нейный размер задачи. Сразу же отметим, что
в приведенных ниже результатах расчетов в ка-
честве характерного линейного размера выбира-
лась величина L = S1/2. Это объясняется тем,
что для промышленных электролизеров площадь
S определяет их мощность, так что при выборе
оптимальных параметров электролизера заданной
мощности удобно относить все линейные размеры
к величине S1/2.
И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев 11
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
В число безразмерных физических пара-
метров входят отношения плотностей жидко-
стей ρ̄ := ρ2/ρ1, удельных электропроводностей
сред σ̄k = σk/σ1, k = 2, 4 и числа Рейнольдса
Re k = g1/2L3/2/νk, k = 1, 2. Таким образом,
поведение рассматриваемой системы помимо W
определяется совокупностью 11 параметров:
q = (l̄, h̄1, h̄2, h̄3, h̄4, ρ̄, σ̄2, σ̄3, σ̄4,Re 1,Re 2).
Собственные числа рассматриваемой спек-
тральной задачи зависят, очевидно, от всей
совокупности безразмерных параметров, так что
λk = γk(W, q) + i ωk(W, q), k = 1, 2, . . . .
В силу этих зависимостей спектральный признак
устойчивости равновесия, сформулированный в
предыдущем разделе, определяет области устой-
чивости (и неустойчивости) равновесных состоя-
ний системы в пространстве безразмерных пара-
метров (W, q). Граница области устойчивости в
этом пространстве определяется равенством:
max
k
γk(W, q) = 0. (58)
Разрешая уравнение (??) относительно W , най-
дем, очевидно, критические значения этого пара-
метра в зависимости от q: Wкр = Wкр(q). Зная
Wкр(q), уравнение границы области устойчивости
можно записать в виде
W = Wкр(l̄, h̄1, h̄2, h̄3, h̄4, ρ̄, σ̄2, σ̄3, σ̄4,Re 1,Re 2).
(59)
3.2. Результаты вычислений
Согласно равенства (??) построение границы
области устойчивости равновесных состояний сво-
дится к вычислению собственных чисел спек-
тральной краевой задачи (??)-(??), выделению
собственных чисел с максимальной веществен-
ной частью с последующим уточнением значений
безразмерных параметров W, q, при которых ма-
ксимальная вещественная часть собственных чи-
сел обращается в нуль. Расчет собственных чи-
сел спектральной краевой задачи, как показано
в предыдущем разделе, сводится к алгебраиче-
ской задаче на собственные значения (??). Реше-
ние последней задачи осуществлялось численно с
использованием QR-алгоритма. Уточнение пара-
метров W, q, отвечающих нулевому значению ма-
ксимальной вещественной части собственных чи-
сел, проводилось с использованием стандартной
процедуры метода дихотомии. Для реализации
Рис. 2. Зависимость Wкр от соотношения
горизонтальных размеров поверхности раздела
жидкостей:
1 – σ4/σ1 = 0.1; 2 – σ4/σ1 = 0.05; 3 – σ4/σ1 = 0.01
Рис. 3. Зависимость собственной частоты ω̄кр от
соотношения горизонтальных размеров поверхности
раздела жидкостей
описанного процесса вычислений разработана про-
грамма расчета критических значений Wкр при
произвольных значениях остальных безразмерных
параметров q.
На рис. 2 приведены графики зависимости Wкр
от соотношения горизонтальных размеров сосу-
да l̄ = l2/l1 для различных значений параметра
σ̄4. Для остальных параметров выбирались сле-
дующие значения: l̄ = 0.35, h̄1 = 0.037, h̄2 = 0.08,
h̄3 = 0.07, h̄4 = 0.05, ρ̄ = 0.913, σ̄2 = 0.6 · 10−4,
σ̄3 = 0.82 · 10−2, Re 1 = 0.8 · 108, Re 2 = 0.4 · 108.
Эти значения приближенно соответствуют пара-
метрам промышленных алюминиевых электроли-
зеров.
Область устойчивости равновесных состояний
12 И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
на рис. 2 расположена ниже соответствующей кри-
вой. Изломы критических кривых объясняются
сменой форм периодических колебаний жидкостей
при изменении l̄. Форма возбуждаемых волн опре-
деляется равенством:
ζ =
N
∑
k=1
(ak cos(ωкрt) − bk sin(ωкрt)) ζk,
где ak = Re(ck), bk = Im(ck). Как показали расче-
ты, обычно два коэффициента ck по модулю зна-
чительно больше остальных. Соответствующие им
функции ζk будем называть главными взаимодей-
ствующими модами колебаний. Номера главных
взаимодействующих мод (p1k, p2k) указаны на рис.
2 над гладкими участками критических кривых.
Обращает на себя внимание значительное вли-
яние на устойчивость системы параметра σ4/σ1;
с увеличением этого параметра растет значение
Wкр. Иными словами, увеличение удельной эле-
ктропроводности нижнего электрода способствует
расширению области МГД-устойчивости рассма-
триваемой системы.
Смена форм колебаний сопровождается скачко-
образными изменениями собственной частоты ωкр.
Введем безразмерную собственную частоту коле-
баний жидкостей ω̄, полагая ω̄ = g−1/2L1/2ω. За-
висимость ω̄кр от соотношения горизонтальных
размеров поверхности раздела показана на рис.
3 для значений параметров, отвечающих кривой
2 на рис. 2. Вычисления показали, что собствен-
ная частота ωкр близка к собственным частотам
гидродинамических колебаний системы, отвечаю-
щих главным взаимодействующим модам в отсут-
ствие магнитного поля и токов. При совпадении
этих частот параметр Wкр принимает локально
минимальные значения. Таким образом, генериру-
емые на поверхности раздела жидкостей волны но-
сят характер своеобразного резонансного взаимо-
действия собственных мод колебаний системы с
совпадающими или близкими частотами.
На рис. 4 приведены графики зависимости Wкр
от безразмерной толщины слоя нижней жидко-
сти h̄1 = h1/L для различных значений l̄; значе-
ния остальных параметров отвечают кривой 3 на
рис. 2. Для малых h̄1 зависимость Wкр(h̄1) носит
примерно линейный характер, что полностью со-
ответствует имеющимся экспериментальным дан-
ным [??, ??]. При увеличении h̄1 параметр Wкр
возрастает и выходит на установившиеся значе-
ния.
Расширение области устойчивости при увеличе-
нии h̄1, как и при увеличении σ̄4, легко объясня-
ется тем, что с ростом этих параметров уменьша-
Рис. 4. Зависимость Wкр от толщины слоя нижней
жидкости h1/L:
1 – l̄ = 0.35;2 – l̄ = 0.52; 3 – l̄ = 0.71; 4 – l̄ = 0.75
Рис. 5. Зависимость Wкр от толщины слоя верхней
жидкости h2/L:
1 – l̄ = 0.35;2 – l̄ = 0.52; 3 – l̄ = 0.71; 4 – l̄ = 0.75
ются горизонтальные составляющие возмущений
тока в расплаве, взаимодействие которых с вер-
тикальным магнитным полем является причиной
генерации волн.
Зависимость Wкр от толщины слоя верхней
жидкости h̄2 показана на рис. 5 для различных
значений l̄; остальные безразмерные параметры
выбирались такими же, как для кривой 3 на рис.
2. Как видно из приведенных графиков, увели-
чение h̄2, в отличие от h̄1, может приводить к
уменьшению Wкр. Отметим, что на промышлен-
ных электролизерах нейтрализация влияния вол-
новых процессов на процесс электролиза осуще-
ствляется подъемом анодного массива, т. е. путем
увеличения параметра h̄2.
И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев 13
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В рамках линейной теории проведено исследо-
вание устойчивости равновесных состояний сис-
темы несмешивающихся токонесущих жидкостей,
взаимодействующих с внешним магнитным по-
лем. Показано, что увеличение параметра МГД-
взаимодействия (пропорционального силе тока и
индукции магнитного поля) неизбежно приводит
к потере устойчивости равновесия и появлению
волн на поверхности раздела жидкостей. Показа-
но также, что вязкость жидкостей определяет по-
роговый характер МГД-неустойчивости системы.
В отсутствие вязкости равновесное состояние рас-
сматриваемой системы всегда неустойчиво.
Электромагнитные силы, действующие на ра-
сплавы алюминия и электролита в промышленных
электролизерах, малы по сравнению с гравитаци-
онными силами. Этим объясняется то, что длин-
новолновые колебания расплава, наблюдаемые на
электролизерах большой мощности, имеют пери-
од, близкий к периоду обычных гравитационных
волн. Решающую роль в процессе генерации волн
играет, как правило, взаимодействие двух мод соб-
ственных колебаний жидкостей c cовпадающими
или близкими частотами (периодами).
В случае цилиндрического сосуда прямоуголь-
ного сечения основным параметром, определяю-
щим собственные частоты колебаний рассматри-
ваемой системы, является отношение размеров по-
перечного сечения сосуда. Рациональный выбор
размеров сосуда (при сохранении площади попе-
речного сечения и других геометрических и физи-
ческих величин) позволяет существенно повысить
пороги волнообразования.
1. Ветюков М. М., Цыплаков А. М., Школьни-
ков С. Н. Электрометаллургия алюминия и
магния.– М.: Металлургия, 1987.– 320 с.
2. Мещеряков С. М. О влиянии магнитных полей
ошиновки на работу электролизных ванн // Цве-
тные металлы.– 1955.– N 6.– С. 22–25.
3. Urata N., Mori S., Ikeuchi H. Behaviour of bath
and molten metal in aluminium electrolytic cell //
Keikinzoku.– 1976.– 26, N 11.– P. 573–600.
4. Sele T. Instabilities of the metal surface in electrolytic
alumina reduction cells // Metall. Trans. B.– 1977.–
8B.– P. 613–618.
5. Абрамов А. А., Скворцов А. П., Пряхин Г. С. Ана-
лиз причин нестабильной работы мощных алю-
миниевых электролизеров // Цветные металлы.–
1985.– N 6.– С. 44–47.
6. Sneyd A. D. Stability of fluid layers carrying a
normal electric current // J.Fluid Mech.– 1985.–
156.– P. 223–236.
7. Исследование МГД-явлений в алюминиевых эле-
ктролизерах большой мощности: Отчет о НИР
(промежуточн.) / Харьковский гос. ун-т им.
А.М.Горького; №ГР 0186.0130987; Инв.№ 0288.0
069389. – Харьков, 1988. – 82 с.
8. Sneyd A. D., Wang A. Interfacial instability due to
MHD mode coupling in aluminium reduction cells //
J.Fluid Mech.– 1994.– 263.– P. 243–259.
9. Bojarevich V., Romerio M. V. Long waves instability
of liquid metal - electrolyte interface in aluminium
electrolysis cells: a generation of Sele’s criterion //
Euro.J.Mech., B/Fluids.– 1994.– 13 N 1.– P. 33–56.
10. Davidson P. A. An energy analysis of unstable, alumi-
nium reduction cells // Euro.J.Mech., B/Fluids.–
1994.– 13 N 1.– P. 15–32.
11. Lindsay J. R., Davidson P. A. Application of new
stability criteria to industrial cell design // Light
Metals. – 1997. – P. 423–428.
12. Davidson P. A., Lindsay J. R. A new model of
interfacial waves in aluminium reduction cells // Li-
ght Metals. – 1997. – P. 437–442.
13. Davidson P. A., Lindsay J. R. Stability of interfacial
waves in aluminium reduction cells // J.Fluid Mech.–
1998.– 362.– P. 273–295.
14. Morris S. J. S., Davidson P. A. Hydromagnetic edge
waves and instability in reduction cells // J.Fluid
Mech.– 2003.– 493.– P. 121–130.
15. Деркач А. С., Скворцов А. П., Цибуков И. К.,
Шрамко В. А., Калимов А. Г., Сведенцов М. Л.
Трехмерная модель расчета МГД-параметров
алюминиевого электролизера // Цветные
металлы.– 2000.– № 1.– С. 30–34.
16. Lukyanov A., El G., Molokov S. Instability of MHD-
modified interfacial gravity waves revisited // Phisics
Letters A.– 2001.– 290.– P. 165–172.
17. Kurenkov A., Thess A., Zikanov O., Segatz M.,
Droste Ch., Vogelsang D. Stability of alumi-
num reduction cells with mean flow //
Magnetohydrodynamics.– 2004.– 40 N 2.– P. 203–
212.
18. Sun H., Zikanov O., Ziegler D. P. Non-linear two-
dimensional model of melt flows and interface instabi-
lity in aluminum reduction cells // Fluid Dynamics
Research.– 2004.– 35.– P. 255–274.
19. Sun H., Zikanov O., Finlayson B. A. Effect
of background melt flow and interface distorti-
on on the stability of Hall-Heroult cells //
Magnetohydrodynamics.– 2005.– 41 N 3.– P. 273–
287.
20. Борисов И. Д., Никифоров С. А., Пацегон Н. Ф.,
Руднев Ю. И., Скворцов А. П. Математическое мо-
делирование МГД–процессов в алюминиевых эле-
ктролизерах // Вiсник Донецького унiверситету,
Сер. А: Природничi науки.– 2002.– N 1.– С. 195–
199.
21. Копачевский Н. Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Опе-
раторные методы в линейной гидродинамике.– М.:
Наука, 1989.– 416 с.
22. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема соб-
ственных значений.– М: Наука, 1970.– 564 с.
23. Черноусько Ф. Л. Динамика твердого тела с по-
лостями содержащими вязкую жидкость.– М.: ВЦ
АН СССР, 1968.– 342 с.
14 И. Д. Борисов, С. А. Пославский, Ю. И. Руднев
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4764 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:32:23Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Борисов, И.Д. Пославский, С.А. Руднев, Ю.И. 2009-12-23T09:21:43Z 2009-12-23T09:21:43Z 2006 Устойчивость равновесия системы несмешивающихся токонесущих жидкостей в магнитном поле / И.Д. Борисов, С.А. Пославский, Ю.И. Руднев // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 4. — С. 3-14. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4764 537.84 Рассматриваются вопросы устойчивости равновесных состояний токонесущих жидкостей, взаимодействующих с внешним магнитным полем. Подробно изучен случай двухслойной системы несмешивающихся жидкостей, заполняющих цилиндрический сосуд прямоугольного сечения, в однородном магнитном поле. Показано, что с увеличением индукции магнитного поля и/или силы тока, пропускаемого через данную МГД-систему, равновесное состояние, отвечающее плоской поверхности раздела жидкостей, теряет устойчивость. Это проявляется в возникновении на поверхности раздела жидкостей периодических волн. В рамках линейной теории вопрос об устойчивости равновесных состояний сводится к исследованию спектра частот свободных нормальных колебаний системы. Решение соответствующей спектральной краевой задачи осуществляется численно с помощью метода Галеркина. Проведены расчеты границы области устойчивости в пространстве безразмерных параметров системы. Выяснен характер влияния основных параметров системы на пороги волнообразования. Розглядаються питання стiйкостi рiвноважних станiв струмонесучих рiдин, якi взаємодiють з зовнiшнiм магнiтним полем. Детально вивчений випадок двошарової системи незмiшних рiдин, якi заповнюють цилiндричну порожнину прямокутного перетину, в однорiдному магнiтному полi. Показано, що зi збiльшенням iндукцiї магнiтного поля i/або сили струму, який пропускається через дану МГД-систему, рiвноважний стан, що вiдповiдає плоскiй поверхнi роздiлу рiдин, втрачає стiйкiсть. Це проявляється у виникненнi на поверхнi роздiлу рiдин перiодичних хвиль. У рамках лiнiйної теорiї питання стiйкостi рiвноважних станiв зводиться до дослiдження спектру частот вiльних нормальних коливань системи. Розв'язання вiдповiдної спектральної крайової задачi здiйснюється чисельно за допомогою методу Гальоркiна. Проведено розрахунки межi областi стiйкостi в просторi безрозмiрних параметрiв системи. З'ясовано характер впливу основних параметрiв системи на пороги збудження хвиль. Stability problems of equilibrium states of current-carrying liquids in interaction with external magnetic field are considered. The case of two-layer system of immiscible liquids that fills a rectangular cylindrical vessel in uniform magnetic field is studied in detail.It was shown that with increasing of magnetic field induction and/or electric current which pass through the MHD-system, the equilibrium state corresponding to the flat fluid interface becomes unstable. Such instability appears as arising of periodic waves on the interface. In linear theory the equilibrium stability problem is reduced to study of free oscillation frequency spectrum. Solving of corresponding spectral boundary problem is carried out numerically using Galerkin method. The boundary of stability region in the space of dimensionless parameters of the system is calculated. The influence of main parameters on stability threshold is clarified. ru Інститут гідромеханіки НАН України Устойчивость равновесия системы несмешивающихся токонесущих жидкостей в магнитном поле Equilibrium stability of system of immiscible current-carrying fluids in magnetic field Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость равновесия системы несмешивающихся токонесущих жидкостей в магнитном поле Борисов, И.Д. Пославский, С.А. Руднев, Ю.И. |
| title | Устойчивость равновесия системы несмешивающихся токонесущих жидкостей в магнитном поле |
| title_alt | Equilibrium stability of system of immiscible current-carrying fluids in magnetic field |
| title_full | Устойчивость равновесия системы несмешивающихся токонесущих жидкостей в магнитном поле |
| title_fullStr | Устойчивость равновесия системы несмешивающихся токонесущих жидкостей в магнитном поле |
| title_full_unstemmed | Устойчивость равновесия системы несмешивающихся токонесущих жидкостей в магнитном поле |
| title_short | Устойчивость равновесия системы несмешивающихся токонесущих жидкостей в магнитном поле |
| title_sort | устойчивость равновесия системы несмешивающихся токонесущих жидкостей в магнитном поле |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4764 |
| work_keys_str_mv | AT borisovid ustoičivostʹravnovesiâsistemynesmešivaûŝihsâtokonesuŝihžidkosteivmagnitnompole AT poslavskiisa ustoičivostʹravnovesiâsistemynesmešivaûŝihsâtokonesuŝihžidkosteivmagnitnompole AT rudnevûi ustoičivostʹravnovesiâsistemynesmešivaûŝihsâtokonesuŝihžidkosteivmagnitnompole AT borisovid equilibriumstabilityofsystemofimmisciblecurrentcarryingfluidsinmagneticfield AT poslavskiisa equilibriumstabilityofsystemofimmisciblecurrentcarryingfluidsinmagneticfield AT rudnevûi equilibriumstabilityofsystemofimmisciblecurrentcarryingfluidsinmagneticfield |