Гидродинамика прибрежной зоны Черного моря в районе устья рукава Быстрый дельты р. Дунай: 1. Трансформация волн на неоднородностях дна и течениях
С помощью метода разделения потоков для волнового уравнения "пологих склонов" с учетом оценки медленно изменяющихся течений и их градиентов в настоящей работе приведена более компактная запись системы уравнений гиперболического типа. Для решения уравнений модели разработан конечно-разностн...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4765 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гидродинамика прибрежной зоны Черного моря в районе устья рукава Быстрый дельты р. Дунай: 1. Трансформация волн на неоднородностях дна и течениях / Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 4. — С. 15-25. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4765 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Демченко, Р.И. Железняк, М.И. Кивва, С.Л. Коломиец, П.C. Хомицкий, В.В. 2009-12-23T09:22:03Z 2009-12-23T09:22:03Z 2006 Гидродинамика прибрежной зоны Черного моря в районе устья рукава Быстрый дельты р. Дунай: 1. Трансформация волн на неоднородностях дна и течениях / Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 4. — С. 15-25. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4765 532.465 С помощью метода разделения потоков для волнового уравнения "пологих склонов" с учетом оценки медленно изменяющихся течений и их градиентов в настоящей работе приведена более компактная запись системы уравнений гиперболического типа. Для решения уравнений модели разработан конечно-разностный алгоритм четвертого порядка точности, реализованный в программном модуле HWAVE. Модель тестировалась по данным лабораторных экспериментов и применялась для моделирования волновых полей в морской части дельты р. Дунай. За допомогою методу розподiлу потокiв для хвильового рiвняння "положистих схилiв, враховуючи оцiнку повiльної змiни течiй та їх градiєнтiв, у наступнiй роботi наведений бiльш компактний запис системи рiвнянь гiперболiчного типу. Для розв'язання рiвнянь моделi розроблено кiнцево-рiзницевий алгоритм четвертого порядку точностi, реалiзований у програмному модулi HWAVE. Модель була протестована за даними лабораторних експериментiв i застосована для моделювання хвильових полiв у морськiй частинi дельти р. Дунай. The system of hyperbolic type equations is presented in this work in the more compact way by flow separating method for wave "mild slope" equation, taking into account the slowly current and its gradient change estimation. To solve model equations the fourth order of accuracy finite-difference approximation was made and realized in programmed HWAVE-module. The model was tested by laboratory experiments and applied for wave fields modeling at the sea part of the river Danube delta. ru Інститут гідромеханіки НАН України Гидродинамика прибрежной зоны Черного моря в районе устья рукава Быстрый дельты р. Дунай: 1. Трансформация волн на неоднородностях дна и течениях The hydrodynamics of Black Sea coastal zone near the branch Bystry mouth of the Delta of the Danube: 1. Waves transformation on the current and bottom inhomogeneities Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Гидродинамика прибрежной зоны Черного моря в районе устья рукава Быстрый дельты р. Дунай: 1. Трансформация волн на неоднородностях дна и течениях |
| spellingShingle |
Гидродинамика прибрежной зоны Черного моря в районе устья рукава Быстрый дельты р. Дунай: 1. Трансформация волн на неоднородностях дна и течениях Демченко, Р.И. Железняк, М.И. Кивва, С.Л. Коломиец, П.C. Хомицкий, В.В. |
| title_short |
Гидродинамика прибрежной зоны Черного моря в районе устья рукава Быстрый дельты р. Дунай: 1. Трансформация волн на неоднородностях дна и течениях |
| title_full |
Гидродинамика прибрежной зоны Черного моря в районе устья рукава Быстрый дельты р. Дунай: 1. Трансформация волн на неоднородностях дна и течениях |
| title_fullStr |
Гидродинамика прибрежной зоны Черного моря в районе устья рукава Быстрый дельты р. Дунай: 1. Трансформация волн на неоднородностях дна и течениях |
| title_full_unstemmed |
Гидродинамика прибрежной зоны Черного моря в районе устья рукава Быстрый дельты р. Дунай: 1. Трансформация волн на неоднородностях дна и течениях |
| title_sort |
гидродинамика прибрежной зоны черного моря в районе устья рукава быстрый дельты р. дунай: 1. трансформация волн на неоднородностях дна и течениях |
| author |
Демченко, Р.И. Железняк, М.И. Кивва, С.Л. Коломиец, П.C. Хомицкий, В.В. |
| author_facet |
Демченко, Р.И. Железняк, М.И. Кивва, С.Л. Коломиец, П.C. Хомицкий, В.В. |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The hydrodynamics of Black Sea coastal zone near the branch Bystry mouth of the Delta of the Danube: 1. Waves transformation on the current and bottom inhomogeneities |
| description |
С помощью метода разделения потоков для волнового уравнения "пологих склонов" с учетом оценки медленно изменяющихся течений и их градиентов в настоящей работе приведена более компактная запись системы уравнений гиперболического типа. Для решения уравнений модели разработан конечно-разностный алгоритм четвертого порядка точности, реализованный в программном модуле HWAVE. Модель тестировалась по данным лабораторных экспериментов и применялась для моделирования волновых полей в морской части дельты р. Дунай.
За допомогою методу розподiлу потокiв для хвильового рiвняння "положистих схилiв, враховуючи оцiнку повiльної змiни течiй та їх градiєнтiв, у наступнiй роботi наведений бiльш компактний запис системи рiвнянь гiперболiчного типу. Для розв'язання рiвнянь моделi розроблено кiнцево-рiзницевий алгоритм четвертого порядку точностi, реалiзований у програмному модулi HWAVE. Модель була протестована за даними лабораторних експериментiв i застосована для моделювання хвильових полiв у морськiй частинi дельти р. Дунай.
The system of hyperbolic type equations is presented in this work in the more compact way by flow separating method for wave "mild slope" equation, taking into account the slowly current and its gradient change estimation. To solve model equations the fourth order of accuracy finite-difference approximation was made and realized in programmed HWAVE-module. The model was tested by laboratory experiments and applied for wave fields modeling at the sea part of the river Danube delta.
|
| issn |
1561-9087 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4765 |
| citation_txt |
Гидродинамика прибрежной зоны Черного моря в районе устья рукава Быстрый дельты р. Дунай: 1. Трансформация волн на неоднородностях дна и течениях / Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 4. — С. 15-25. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT demčenkori gidrodinamikapribrežnoizonyčernogomorâvraioneustʹârukavabystryidelʹtyrdunai1transformaciâvolnnaneodnorodnostâhdnaitečeniâh AT železnâkmi gidrodinamikapribrežnoizonyčernogomorâvraioneustʹârukavabystryidelʹtyrdunai1transformaciâvolnnaneodnorodnostâhdnaitečeniâh AT kivvasl gidrodinamikapribrežnoizonyčernogomorâvraioneustʹârukavabystryidelʹtyrdunai1transformaciâvolnnaneodnorodnostâhdnaitečeniâh AT kolomiecpc gidrodinamikapribrežnoizonyčernogomorâvraioneustʹârukavabystryidelʹtyrdunai1transformaciâvolnnaneodnorodnostâhdnaitečeniâh AT homickiivv gidrodinamikapribrežnoizonyčernogomorâvraioneustʹârukavabystryidelʹtyrdunai1transformaciâvolnnaneodnorodnostâhdnaitečeniâh AT demčenkori thehydrodynamicsofblackseacoastalzonenearthebranchbystrymouthofthedeltaofthedanube1wavestransformationonthecurrentandbottominhomogeneities AT železnâkmi thehydrodynamicsofblackseacoastalzonenearthebranchbystrymouthofthedeltaofthedanube1wavestransformationonthecurrentandbottominhomogeneities AT kivvasl thehydrodynamicsofblackseacoastalzonenearthebranchbystrymouthofthedeltaofthedanube1wavestransformationonthecurrentandbottominhomogeneities AT kolomiecpc thehydrodynamicsofblackseacoastalzonenearthebranchbystrymouthofthedeltaofthedanube1wavestransformationonthecurrentandbottominhomogeneities AT homickiivv thehydrodynamicsofblackseacoastalzonenearthebranchbystrymouthofthedeltaofthedanube1wavestransformationonthecurrentandbottominhomogeneities |
| first_indexed |
2025-11-26T04:17:58Z |
| last_indexed |
2025-11-26T04:17:58Z |
| _version_ |
1850611378067341312 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
УДК 532.465
ГИДРОДИНАМИКА ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЫ
ЧЕРНОГО МОРЯ В РАЙОНЕ УСТЬЯ РУКАВА БЫСТРЫЙ
ДЕЛЬТЫ Р.ДУНАЙ:
1. ТРАНСФОРМАЦИЯ ВОЛН
НА НЕОДНОРОДНОСТЯХ ДНА И ТЕЧЕНИЯХ
Р. И. ДЕ МЧ ЕН К О∗, М. И. Ж Е Л ЕЗН Я К∗, С. Л. К И ВВ А∗,
П. C. К О Л ОМИ Е Ц∗, В. В. ХО МИ Ц К И Й∗∗
∗ИПММС НАН Украины, ∗∗ИГМ НАН Украины
Получено 13.04.2006
С помощью метода разделения потоков для волнового уравнения “пологих склонов” с учетом оценки медленно
изменяющихся течений и их градиентов в настоящей работе приведена более компактная запись системы уравне-
ний гиперболического типа. Для решения уравнений модели разработан конечно-разностный алгоритм четвертого
порядка точности, реализованный в программном модуле HWAVE. Модель тестировалась по данным лабораторных
экспериментов и применялась для моделирования волновых полей в морской части дельты р. Дунай.
За допомогою методу розподiлу потокiв для хвильового рiвняння “положистих схилiв”, враховуючи оцiнку повiльної
змiни течiй та їх градiєнтiв, у наступнiй роботi наведений бiльш компактний запис системи рiвнянь гiперболiчно-
го типу. Для розв’язання рiвнянь моделi розроблено кiнцево-рiзницевий алгоритм четвертого порядку точностi,
реалiзований у програмному модулi HWAVE. Модель була протестована за даними лабораторних експериментiв i
застосована для моделювання хвильових полiв у морськiй частинi дельти р. Дунай.
The system of hyperbolic type equations is presented in this work in the more compact way by flow separating method
for wave “mild slope” equation, taking into account the slowly current and its gradient change estimation. To solve model
equations the fourth order of accuracy finite-difference approximation was made and realized in programmed HWAVE-
module. The model was tested by laboratory experiments and applied for wave fields modeling at the sea part of the river
Danube delta.
ВВЕДЕНИЕ
Практика объединения математического и ла-
бораторного моделирования используется веду-
щими европейскими инженерными и научными
учреждениями морской гидравлики и гидроте-
хники, такими как Delft Hydraulics (Нидерлан-
ды), Danish Hydraulics Institute (Дания). В России
(г. Санкт-Петербург) такой подход использовался
при проектировании дамбы для защиты от мор-
ских нагонов. При этом лабораторное моделиро-
вание было выполнено в Институте гидротехники
им. Веденеева Б. Е., а математическое моделиро-
вание на основе программного комплекса “Карди-
нал” – в “Спецморзащите” Ленисполкома. Научно-
исследовательские работы по созданию постоянно
действующей математической модели глубоково-
дного судового хода (ГСХ) Дунай – Черное мо-
ре в районе украинской части дельты р.Дунай,
в том числе лабораторное моделирование рабо-
ты ГСХ для некоторых вариантов компоновки ка-
нала и его защитных сооружений, были проведе-
ны Институтом гидромеханики НАН Украины в
2001-2003 гг. Объединение методов лабораторно-
го и математического моделирования позволяет, с
одной стороны, проверить точность последнего по
данным лабораторных исследований, а с другой –
использовать математическое моделирование по-
сле верификации и калибровки для расчетов зна-
чительно большего количества сценариев, чем это
могут позволить более трудоемкие и дорогие лабо-
раторные модели. В данной статье представлены
результаты моделирования волновых полей. Мо-
дели воздействия волн на гидродинамические и
литодинамические процессы представлены в сле-
дующих статьях цикла.
1. МОДЕЛЬ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ
Гиперболическая аппроксимация волнового
уравнения “пологих склонов” для идеальной
несжимаемой жидкости с точностью до членов
порядка 0(α2) (где α – параметр крутизны вол-
ны) и с помощью разложения Биркгофа [5, 6]
по параметру ε в приближении O(ε2), ε < 1
( δ = ε/µ, µ = d/L0, ε – средний уклон дна на рас-
стоянии d, L0 = g/ω2−характерная длина волны)
рассмотрена Копелэндом [8]. В [1, 2] представлена
модель гиперболической аппроксимации волно-
c© Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий, 2006 15
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
вого уравнения “пологих склонов” для случая
линейной трансформации поверхностных волн на
установившемся течении ~U = (U1, U2):
~u = ~U + α~∇
^
Φ + O(α2), (1)
∇U1h,∇U2h � c/L0. (2)
С помощью подхода, описанного в [10, 11], мож-
но показать, что волновое уравнение “пологих
склонов”, представленное в [1, 2], с точностью до
O(α2, αε2) может быть модифицировано добавле-
нием слагаемого, пропорционального коэффици-
енту диссипации волновой энергии, γd, обуслов-
ленного обрушением волн и донным трением:
D2
Dt2
ϕ̃ +
D
Dt
γdϕ̃−∇· (b∇ϕ̃)+
(
σ2 − k2b
)
ϕ̃ = 0, (3)
где
D
Dt
=
∂
∂t
+ ~U · ∇, ∇ =
∂
∂x
,
∂
∂y
.
Здесь потенциал скорости имеет вид:
^
Φ = Φ(x, y, z, t) · f(z), f(z) =
chk(z + h)
chk(h + ζ0)
, (4)
Φ(x, y, z, t) = ϕ̃(x, y, t)+ε2z2ϕ̃1(x, y, t)+O(ε4), (5)
и волновые параметры определены соотношения-
ми:
c =
√
g
k
tg (k · h), cg =
1
2
c · (1 + G) ,
G =
2kh
sh (2kh)
, b = c · cg,
ω = σ + ~k · ~U, σ2 = gktg (kh), (6)
где h – глубина; k(x, y) – волновое число; ω – угло-
вая частота; ζ0 – изменение уровня воды, связан-
ное с наличием поля течений ~U .
Если представить решение в виде гармониче-
ских функций
ϕ̃ = ϕ(x, y) exp(−iωt), η̃ = η(x, y) exp(−iωt), (7)
то полученное уравнение (??) в случае ~U = 0 сов-
падает с волновым уравнением “пологих склонов”,
приведенным в [10, 11]:
∇ · (b∇ϕ) + b
[
k2 + i
k
cg
γd
]
ϕ = 0. (8)
Так как для гармонических функций (??)
выполняются соотношения
ϕ̃t = −iωϕ̃, η̃t = −iωη̃, (9)
ϕ̃tt = −ω2ϕ̃, η̃tt = −ω2η̃, (10)
то запишем уравнение (??) в нестационарной фор-
ме, принимая во внимание осредненный по глуби-
не закон сохранения масс для течения ~U = ~U(x, y)
и условие (??):
1
ω2
[
k2b − σ2 + ω2
]∂2ϕ̃
∂t2
−∇ · (b∇ϕ̃)+
+∇ ·
(
~U
(
~U · ∇ϕ̃
))
+ 2~U · ∇∂ϕ̃
∂t
+
D
Dt
γdϕ̃ = 0.
(11)
Так же, как и в [1, 2], представляя потенциал
ϕ̃ и возвышение свободной поверхности η̃ в виде
действительной и мнимой части:
ϕ̃ = ϕ̃0 + iϕ̃1, η̃ = η̃0 + iη̃1,
введя вектор-функцию потенциала скорости ча-
стиц:
~Q = ~Q0 + i ~Q1,
и применяя метод разделения потоков [9] к урав-
нению (??), предполагая γd∇ · ~U ≤ O(ε2), прихо-
дим к двум системам уравнений первого порядка
гиперболического типа и одинакового вида отно-
сительно пар функций ~Q0, ϕ̃0 и ~Q1, ϕ̃1:
∂ ~Q
∂t
=
[
b∇ϕ̃− ~U(~U · ∇ϕ̃) − ~Uγdϕ̃
]ω
g
, (12)
∂ϕ̃
∂t
= r
[ g
ω
∇ ~Q− 2~U · ∇ϕ̃ − γdϕ̃
]
, (13)
где ~Q =
{
Q(x), Q(y)
}
, r =
ω2
k2b − σ2 + ω2
.
Так как функции ϕ̃0, ϕ̃1 связаны между собой
соотношениями (??), (??), для определения функ-
ции η̃0 достаточно решить одну систему уравне-
ний относительно ~Q1, ϕ̃1. Тогда выражение для во-
звышения свободной поверхности запишется в ви-
де:
η̃=
ω
g
[
−ϕ̃+
1
ω2
(
U1
∂2ϕ̃
∂x∂t
+ U2
∂2ϕ̃
∂y∂t
+ γd
∂ϕ̃
∂t
)]
. (14)
(В уравнениях (??) – (??) индексы функций ϕ̃, η̃,
~Q опущены). Система уравнений (??) – (??) явля-
ется гиперболической аппроксимацией уравнения
(??) с точностью до членов порядка O(ε2). При
условиях ~U = 0, γd = 0 она совпадает с гипер-
болической системой уравнений первого порядка,
полученной в [8], и системой аналогичного вида,
приведенной в [1, 2]. В случае ~U 6= 0, γd = 0
эта система уравнений имеет более компактный
вид, чем полученная ранее для этого случая в [1,
2]. Численная аппроксимация поля течений (как
16 Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
исходных параметров для вычисления поля вол-
новых высот) была проведена с помощью CUR -
модуля кода COASTOX [3]. Численная реализация
этого модуля основана на схеме с коррекцией пото-
ков (FCT), которая эффективна для вычисления
смачивания и осушения берега под воздействием
длинных волн.
2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
При численном моделировании волновых полей
в прибрежной зоне шельфа необходимо использо-
вать схемы высокого порядка точности для умень-
шения числа узлов расчетной сетки на длину вол-
ны. Для решения системы волновых уравнений
(16), (17) была применена явная схема 4-го по-
рядка точности по пространству и 2-го порядка по
времени на прямоугольной неравномерной сетке с
расщеплением по направлениям [13]. Ось Х коор-
динатной системы модели направлена по направ-
лению к берегу, а ось Y – вдоль берега. Для волн,
набегающих под углом θ, координатная система
поворачивается на этот же угол и расчеты про-
водятся в новой области, как показано на рис. 1.
Рис. 1. Поворот координатной системы и образование
новой области
Такой поворот сделан для более естественного
задания граничных условий на волновом фронте.
Для численной аппроксимации представим систе-
му уравнений (??),(??) в матричном виде:
∂
∂t
~W + A
∂
∂x
~W + B
∂
∂y
~W = ~S, (15)
где матрицы A,B и векторы ~W, ~S имеют следую-
щую форму:
A =
0, 0, β1
0, 0, γ12
α3, 0, 2α1
, B =
0, 0, γ12
0, 0, β2
0, α3, 2α2
,
~W =
Q1
Q2
ϕ̃
, ~S = −γd
γU1ϕ̃
γU2ϕ̃
rϕ̃
.
(16)
Здесь
α1 = rU1, α2 = rU2, α3 = − r
γ
,
β1 = γ
[
−b + U2
1
]
, β2 = γ
[
−b + U2
2
]
,
γ12 = γU1U2, γ =
ω
g
.
(17)
Система решается расщеплением по направлени-
ям. Сначала решается X-часть системы (??):
∂
∂t
~W + A
∂
∂x
~W = 0. (18)
Затем, используя полученные на предыдущем ша-
ге результаты, решается Y-часть системы:
∂
∂t
~W + B
∂
∂y
~W = 0. (19)
На последнем полушаге решается уравнение для
правой части:
∂
∂t
~W = ~S. (20)
Решение X- и Y- части полностью аналогично, по-
этому рассмотрим только решение X-части.
2.1. X-шаг
Гиперболическую систему (??) приведем к кано-
ническому (инвариантному) виду:
∂~U
∂t
+ Vx
∂~U
∂x
= 0, (21)
где ~U = (U1, U2, U3) – канонические переменные и
Vx =
vx
1 0 0
0 vx
2 0
0 0 vx
3
− матрица канонических
скоростей.
Таким образом, мы получаем систему из трех не
связанных между собой уравнений, которые реша-
ются отдельно. В нашем случае (при относительно
малых скоростях течения) одна из канонических
скоростей больше нуля, одна меньше и одна рав-
на нулю. Для уравнений с ненулевой скоростью
Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий 17
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
применяется частично направленная вверх по по-
току схема 4-го пространственного и 2-го времен-
ного порядка на шеститочечном шаблоне [13]. Ука-
занная схема была модифицирована добавлением
антидиффузионного члена 4-го порядка, что по-
зволило повысить стабильные значения Куранта
с чисел порядка 0.01 до чисел порядка 0.1. Схе-
ма описывает дифференцирование по X составля-
ющей
v
∂φ
∂x
(22)
в конечно-разностном виде как
[
v
∂φ
∂x
]
i
= vi
1
∆x
(
−0.055453φi−3+
+0.360600φi−2 − 1.221201φi−1 + 0.554534φi+
+0.389400φi+1 − 0.027880φi+2
)
, для v > 0,
(23)
и
[
v
∂φ
∂x
]
i
= vi
1
∆x
(
0.027880φi−2−
−0.389400φi−1 − 0.554534φi + 1.221201φi+1−
−0.360600φi+2 + 0.055453φi+3
)
, для v < 0.
(24)
Для производной по времени используется про-
стое дифференцирование вперед:
[
∂φ
∂t
]
i
=
φk+1
i − φk
i
∆t
, (25)
где k – номер текущего временного слоя. Добавле-
ние диффузионного члена поднимает порядок по
времени до 2-х, и в численной форме выглядит
следующим образом:
[
∂φ
∂t
]
i
+
[
v
∂φ
∂x
]
i
− v2
i ∆t
2
×
×−φi−2 + 16φi−1 − 30φi + 16φi+1 − φi+2
12∆x2
= 0.
(26)
После получения новых значений инвариантов
система преобразуется обратно к изначальным пе-
ременным, которые используются на следующем
шаге.
2.2. Условие Куранта
Так как определяющие уравнения имеют посто-
янные по времени коэффициенты, то шаг по вре-
мени находится по геометрии расчетной области.
Максимальные скорости перемещения информа-
ции, описываемые уравнениями, есть инвариан-
тные скорости. Поэтому число Куранта CFL за-
дается как
CFL = u
∆t
∆s
, (27)
где u есть скорость инварианта в точке; ∆s – про-
странственный шаг в точке. Оптимальное значе-
ние для Куранта найдено с помощью метода фон
Неймана и зафиксировано на значении 0.3, при ко-
тором волны с количеством точек менее 15 на дли-
ну волны устойчивы, а остальные неустойчивы с
очень маленьким коэффициентом неустойчивости.
2.3. Граничные условия
Численная аппроксимация, описанная выше, при-
меняется только для узлов сетки, отстоящих от
границы более чем на 3 узла. Для узлов, отстоя-
щих на 2 узла, используется схема на четырехто-
чечном шаблоне, частично направленная вверх по
потоку, 2-го порядка точности [13]:
[
v
∂φ
∂x
]
i
= vi
1
∆x
(
0.213933 · φi−2 − 1.141798 · φi−1+
+0.641798 · φi + 0.286067 · φi+1
)
, для v > 0,
(28)
[
v
∂φ
∂x
]
i
= vi
1
∆x
(
−0.286067 · φi−1 − 0.641798 · φi+
+1.141798 · φi+1 − 0.213933 · φi+2
)
, для v < 0.
(29)
Рис. 2. Геометрия подводной неоднородности
Для узлов, отстоящих на 1 узел, используется
центрально-разностная схема 2-го порядка
[
v
∂φ
∂x
]
i
= vi
1
2∆x
(φi+1 − φi−1) . (30)
Для исходящих инвариантов на всех границах
применяется следующая схема, полностью направ-
18 Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
Рис. 3. Возвышение свободной поверхности
ленная вверх по потоку, 2-го порядка на трехточе-
чном шаблоне:
[
v
∂φ
∂x
]
i
= vi
1
2∆x
(φi−2 − 4φi−1 + 3φi) , для v > 0,
(31)
[
v
∂φ
∂x
]
i
= vi
1
2∆x
(−3φi + 4φi+1 − φi+2) , дляv < 0.
(32)
Схема (??), (??) записана для правой и ле-
вой границ соответственно. Для верхней и нижней
границ схема записывается аналогично. Для узлов
на левой границе, откуда приходят волны, входя-
щий инвариант Римана приравнивается к
ξb = 2
√
(β1)b
(α3)b
· g · ηb
σb
, (33)
где индекс b означает значение на границе, g –
ускорение гравитации, ηb – отклонение водной по-
верхности от постоянного уровня для входящей
волны. Этот входящий инвариант Римана проду-
цирует волну во всей области. Для узлов на пра-
вой границе, которая только выпускает выходя-
щие волны, входящий инвариант приравнивается
к нулю. Аналогичная постановка для входящих
инвариантов на верхней и нижней границах приво-
дит к неестественным результатам. Действитель-
но, так как расчетная сетка поворачивается по на-
правлению движения входящих волн, то волны на
глубокой воде распространяются более или менее
паралельно оси X. Таким образом инварианты по
Y более или менее постоянны паралельно оси Y.
Поэтому входящие инварианты на верхней и ни-
жней границах приравниваются к их значениям в
ближайших точках внутри области.
3. ТЕСТИРОВАНИЕ МОДЕЛИ
ПО ДАННЫМ ПРЕДШЕСТВУЮЩИХ
ЛАБОРАТОРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Эксперимент Биркгофа
Проводилось сравнение численных результа-
тов моделирования с данными физического мо-
делирования Дельфтской гидравлической лабора-
тории [7]. Лабораторный эксперимент осуществ-
лялся для волн периода T=1.0 с и амплитуды
a=0.0232 м, распространяющихся под углом 20◦
к берегу (hmax=0.45 м, уклон s = 0.02) и транс-
формирующихся на донной неоднородности типа
эллипса (рис. 2).
На рис. 3 представлены мгновенные уровни
возвышения свободной поверхности для значения
времени t = 30T . Сравнение вычисленных с
помощью модели HWAVE относительных высот
волн hw/hw0, осредненных за период T , и экспе-
риментальных данных показано на рис. 4 для
двух характерных сечений. На рис. 4, а – сечение,
проходящее через центр эллипса по направлению
распространения волны e=10 м, на рис. 4,б –
сечение, расположенное за эллипсом по нормали
к фронту волны x=16 м. Звездочками обозначены
экспериментальные данные [8], которые неплохо
соответствуют расчетным значениям в сечении
y=10 м (рис. 4, а) и в области эллипса для сечения
x=16 м. При удалении от эллипса сказывается
влияние открытых границ (рис. 4, б).
Эксперимент Сакаи
В качестве теста по взаимодействию волн и тече-
ний, движущихся в противоположных направле-
ниях на переменной глубине, было проведено срав-
нение с данными лабораторных измерений Сакаи
для склона с заложением s = 1/30, приведенными
в работе [12]. Ширина и длина волнового лотка
составляли 0.36 и 24 м соответственно, расход те-
чения равен 0.0297 м2/с. Начальная глубина hmax
и глубина на мелкой воде равны соответственно
0.5 и 0.1 м. Период волны T=1.6 с.
При выполнении численного эксперимента ра-
спределение скорости течения определялось из
осредненного по глубине закона неразрывности
жидкости. На pис. 5 показано изменение отно-
сительных высот hw/hw0, осредненных за пери-
од T , в зависимости от глубин ω2h/g на склоне.
Здесь hw0 – значение волновой высоты на глу-
Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий 19
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
a b
Рис. 4. Высота волны в сечении y=10 м (a) и высота волны в сечении x=16 м (b)
Рис. 5. Сравнение численных результатов
моделирования и лабораторных данных [12]
бине hmax; ω = 2π/T ; g – ускорение свободного
падения. Звездочками обозначены лабораторные
данные Сакаи, приведенные в [12]. Обе кривые
соответствуют расчетным данным, полученным с
помощью модели HWAVE для системы волновых
уравнений (??)–(??). Как видно из результатов
численного моделирования, значительное увели-
чение волновых высот (примерно в два раза) прои-
сходит с уменьшением глубины, где скорость тече-
ния максимальна. В области относительных глу-
бин ω2h/g ≥ 0.35, где скорость течения быстро
убывает с ростом глубины, обе кривые практичес-
ки совпадают. Некоторое расхождение с экспери-
ментальными данными [12] в средней части расче-
тной области связано с линейностью процесса вза-
имодействия волн и течений, описываемого моде-
лью.
4. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ
ЧИСЛЕННОГО И ЛАБОРАТОРНОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ УСТЬЕВОГО
УЧАСТКА РУКАВА БЫСТРЫЙ р.ДУНАЙ
Глубоководный судовой ход (ГСХ) канала
Дунай-Черное море, имеющий протяженность
3.3 км, ширину по дну 85 м и глубину 7.2 м, пересе-
кает морской песчаный бар рукава Быстрый, сред-
ний расход которого составляет 1200 м3/с. При-
брежная область рукава была воспроизведена в
экспериментальном бассейне Института гидроме-
ханики НАН Украины (44 м × 271 м × 2 м) на
трехмерной физической модели с размываемым
дном. Общий вид моделируемой области рукава
Быстрый с трассой судоходного глубоководного
канала представлен на рис. 6.
Согласно общей теории подобия для моделей с
размываемым дном должны выполняться крите-
рии гравитационного и вязкостного подобия [4].
Физическое моделирование волнения в [4] выпол-
нено с учетом закона гравитационного подобия
20 Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
Табл 1. Результаты физических экспериментов
N опыта Напр. ветра Hw(м) τ (сек) Гидротехн. сооруж.
1 СВ 2.91 5.19 -
2 ВЮВ 3.02 5.38 -
2а ЮВ 3.02 5.38 -
3 СВ 2.91 5.19 короткая дамба
4 СВ 2.91 5.19 длинная дамба
5 ВЮВ 3.03 5.38 длинная дамба
Рис. 6. Батиметрия (м)
Фруда:
lh = lλ = lH = l, (34)
где lH – масштаб высоты волны; lλ – масштаб
длины волны; lh – масштаб глубины воды, кото-
рый одновременно служит вертикальным линей-
ным масштабом l модели. При этом крутизна вол-
ны H/λ и относительная глубина h/λ остаются та-
кими же, как и в натурных условиях. Выражения
для масштабов волнового периода и волновых ско-
ростей записаны в виде:
lτ =
√
l, lu =
√
l. (35)
При этом
lx =
l1.5
lw
, ly =
l1.5
lw
, (36)
где lx, ly – горизонтальный продольный и попереч-
ный масштабы; lw – масштаб гидравлической кру-
пности. Тогда в случае применения на модели на-
турных наносов и жидкости (lw = 1) следует иска-
жение планового масштаба модели. Аналогичные
плановые искажения приняты также при модели-
ровании участка входного сечения русла рукава
Рис. 7. Поле течений (м/с)
Быстрый. Масштаб расхода воды в русле будет
определяться из соотношения
lQ = lxl3/2. (37)
Для лабораторного эксперимента были выбра-
ны следующие значения масштабных коэффици-
ентов [4]:
l = 1/40 = 0.025,
lx = ly = l3/2 = 1/250 = 0.004, lt = l.
(38)
Следует отметить, что из-за разных вертикаль-
ного и горизонтального коэффициентов масштаба
(lx, ly = l=0.004 и lz=0.025 соответственно) гради-
ент глубин на бортах канала (≈ 0.1) увеличива-
ется в (lz/l) раз, что приводит к значительному
искажению естественного масштаба и погрешно-
стям в этой области при применении аппрокси-
мации уравнения “пологих склонов”, особенно при
подходе фронта волны к каналу под углом, близ-
ким к 90◦ [8]. Этот же эффект имеет место и при
изменении течений на расстояниях порядка дли-
Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий 21
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
a b
Рис. 8. Высоты волн (м) при а – Q = 0 и б – Q=1560 м3/с
Рис. 9. Высоты волн (м), опыт 2
ны волны (условие (??)). Поэтому численное мо-
делирование волновых полей и полей течений про-
водилось для натурной области 3080 м × 3200 м,
а результаты расчета сравнивались с эксперимен-
тальными данными, пересчитанными с помощью
масштабных коэффициентов (??).
Согласно статистическим данным [4], в морской
области рукава Быстрый волноопасными являю-
тся ветры от С, СВ, В, ЮВ и Ю румбов, созда-
ющих сильное волнение и вдольбереговой перенос
Рис. 10. Высоты волн (м), опыт 2, a
наносов к северу и югу от рукава Быстрый. По-
этому в экспериментах воспроизводилось волнение
по этим румбам, а именно от ЮВ и СВ. Всего
на физической модели рукава Быстрый проведе-
но 5 опытов по взаимодействию течений с ветро-
выми волнами и гидротехническими сооружения-
ми в виде короткой или длинной дамбы (табл. ??)
[4], расположенных на левом борту канала и защи-
щающих судовой канал с северо-восточной сторо-
ны. Моделируемый расход воды из русла рукава
22 Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
Рис. 11. Высоты волн (м), опыт 1
Рис. 12. Высоты волн (м), опыт 3
составляет 1560 м3/с. Шероховатость дна на мо-
дели и в натуре предполагалась одинаковой. Соо-
тветствующее поле течений без влияния волнового
поля (рис. 7) было рассчитано на основе численной
реализации уравнений мелкой воды [3]. Результа-
ты вычисления согласуются с лабораторными дан-
ными [4], пересчитанным с использованием мас-
штабных коэффициентов (??). Волновое поле мо-
делируется с помощью программной реализации
HWAVE численной аппроксимации системы вол-
новых уравнений (??)–(??), представленной в ра-
зделе 2.
Рис. 13. Высоты волн (м), опыт 4
Рис. 14. Возвышение свободной поверхности (м),
опыт 4
Сравнение полей волновых высот до строитель-
ства ГСХ показано на pис. 8. При отсутствии ка-
нала видно разветвление фронта волны в устье р.
Быстрый (pис. 8, а) и рефракцию ее во внутрен-
ней области после обрушения на баре. На рис. 8,
б показан значительный подъем волновых высот
в середине устья рукава с понижением их в боко-
вых ответвлениях, что соответствует перераспре-
делению энергии волны при наличии поля течения
~U 6= 0.
Влияние канала на распределение поля волно-
вых высот при наложении ветрового волнения от
Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий 23
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ??
ВЮВ (опыт 2) и ЮВ (опыт 2, а) видно из результа-
тов, представленных на рис. 9, 10. Здесь результа-
ты численного моделирования высот волн согласу-
ются с измеренными данными на физической мо-
дели.
Аналогичное сравнение численных значений
высот волн в случае СВ-направления с пересчи-
танными с помощью масштабных коэффициентов
данными измерений в лотке приведено на рис. 11
(опыт 1), рис. 12 (опыт 3). При наличии на мор-
ском баре короткой дамбы (опыт 3) влияние вол-
нового поля в области канала гасится только в ее
теневой части.
При наличии длинной дамбы и наложении
штормов от ВЮВ (опыт 4) и СВ (опыт 5) осре-
дненные за период T высоты волн по фронту дам-
бы изменяются от 2.8–3.0 м в голове сооружения
до 2.0 м вдоль баровой части и 0.8 м в корне-
вой части его, что также соответствует экспери-
ментальным данным, приведенным в [4] (рис. 13
– опыт 4, рис. 15 – опыт 5). Область затуха-
ния волн как для СВ, так и для ВЮВ направле-
ний видна во всей области канала, огражденного
длинной дамбой. Мгновенные значения возвыше-
ния волновой поверхности, характеризующие вол-
новую рефракцию (pис. 14, 16, t = 20T ), для на-
глядности удобно представить в прямоугольнике
12.3 × 12.8 м, в который преобразуется с помо-
щью масштабных коэффициентов интересующая
нас область 3080×3200 м. При этом в случае ВЮВ
направления (рис. 16) рассеяние в теневой части
дамбы меньше, чем при СВ (рис. 14) за счет боль-
шей области взаимодействия с русловым течени-
ем.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Представлена гиперболическая аппроксимация
уравнения “пологих склонов” с учетом диссипации
волновой энергии. Получена система уравнений с
уточнением оценки изменения поля течений и его
градиентов, которая имеет более компактный вид,
чем представленная ранее система [1, 2].
Система уравнений решается с помощью явной
схемы 4-го порядка точности по пространству и 2-
го порядка по времени на прямоугольной нерав-
номерной сетке с расщеплением по направлени-
ям. HWAVE-модуль – одна из волновых подмо-
делей кода COASTOX, описывающая дифракцию,
рефракцию, трансформацию волн на донных нео-
днородностях и диссипацию волновой энергии, а
также линейное взаимодействие с течениями на
основе гиперболической аппроксимации уравне-
ния “пологих склонов”, которая более широко при-
Рис. 15. Высоты волн (м), опыт 5
Рис. 16. Возвышение свободной поверхности (м),
опыт 5
менима, чем параболическая аппроксимация и бо-
лее численно эффективна, чем эллиптическая. По-
казано, что при наличии длинной дамбы в случае
СВ направления теневая область волнового поля
значительно больше по сравнению с ЮВ направ-
лением.
Проведено физическое моделирование волновых
полей вблизи ГСХ рукава Быстрый. Сравнение
численных результатов с данными лабораторных
измерений показывает, что разработанная мате-
матическая волновая модель хорошо описывает
основные процессы трансформации волновых по-
24 Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –??
лей на неоднородностях дна и течениях в усло-
виях лабораторных экспериментов. Модель может
быть использована для описания динамики устье-
вой области рукава Быстрый в более широком ди-
апазоне сценариев природных условий, чем это по-
зволяет физическое моделирование. Рассчитанные
характеристики волновых полей использовались в
дальнейшем для расчетов генерируемых волнами
береговых течений и транспорта наносов.
1. Демченко Р.И. Моделирование рефракционно-
дифракционной трансформации волн на течени-
ях прибрежной зоны с помощью гиперболической
аппроксимации уравнения ”пологих склонов” //
Математические машины и системы.– 1999.– N3.–
С. 3–14.
2. Демченко Р.И., Железняк М.И. Моделирова-
ние взаимодействия волн и течений в прибре-
жной зоне на основе гиперболической аппрокси-
мации уравнения ”пологих склонов” // Прикл.
гидромеханика.– 2002.– 4(76), N1.– С. 34–47.
3. Кивва С.Л., Железняк М.И. Двумерное модели-
рование стока и транспорта наносов с малых во-
досборов // Прикладная гидромеханика.– 2002.–
4(76).– 1.– С. 34–43.
4. Рекомендации по минимизации заносимости
экспериментально-эксплуатационной прорези
глубоководного судового хода на баре Новостам-
бульского гирла Килийской дельты р. Дунай.–
Отчет ИГМ НАНУ: 2003.– 142 с.
5. Berkhoff J.C. Computation of Combined Refraction-
Diffraction // Procedings 13th Coastal Eng. Conf.–
Vancouver, ASCE. – New York, 1972. 1.– Chap 24.–
P. 471–490.
6. Berkhoff J. C. Mathematical Models for Simple
Harmonic Linear Water Waves, Wave Diffraction and
Refraction // Delft Hydraulic laboratory.– 1976.–
Publ. N 163.– P. 25–37.
7. Berkhoff J.C., Booy N., and Radder A.C. Verifi-
cation of numerical wave propagation models for si-
mple harmonic linear water waves // J.Coastal Eng.–
1982.– 6.– P. 253-279.
8. Copeland G.J. A Practical Alternative to the Mild-
Slope Wave Equation // J.Coastal Eng.– 1985.– 9.–
P. 125-149.
9. Ito Y., Tanimoto K.A. Method of numerical analysis
of wave propagation-aplication to wave diffraction
and refraction // Procedings 13th Conf.Coastal Eng.–
1972, Chapter 26.– P. 121–143.
10. Jing L., Ridd P, Mayocchi C., Heron M. Wave-
induced benthic velocity variatios in shallow
waters // Estuarine, Coastal and Shell science.–
1996.– 42.– P. 787-802.
11. Liu P., Yoon S., Dalrymple R. Wave reflection
from energy dissipation region // J. Waterway, Port
Coastal and Ocean Engineering.– 1986.– 112.– N 6.–
P. 632-644.
12. Yu X., Isobe M., Watanabe A. A nonlinear model
of monochromatic waves on stedy currents over
gradually varying bottoms // Coastal Engineering
Journal.– 1998.– 40.– N3.– P. 265 –290.
13. Yuguo Li. Wavenumber-Extended High-Order
Upwind-Biased Finite-Difference Schemes for
Convective Scalar Transport // J.Computational
Physics.– 1997.– 133.– P. 235–255.
Р.И. Демченко, М.И. Железняк, С.Л. Кивва, П.C. Коломиец, В.В. Хомицкий 25
|