Задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною

Рассмотрены задачи максимизации расстояния, пройденного осесимметричним суперкавитирующим телом по инерции под произвольным углом к горизонту. Начальная скорость и конечная глубина движения считаются заданными. Показано, что в этом случае пройденное телом расстояние и оптимальная форма тела не завис...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
Hauptverfasser:	Нестерук, I.Г., Семененко, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2006
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4767
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною / I.Г. Нестерук, В.М. Семененко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 4. — С. 33-42. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4767
record_format	dspace
spelling	Нестерук, I.Г. Семененко, В.М. 2009-12-23T09:22:41Z 2009-12-23T09:22:41Z 2006 Задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною / I.Г. Нестерук, В.М. Семененко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 4. — С. 33-42. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4767 532.528 Рассмотрены задачи максимизации расстояния, пройденного осесимметричним суперкавитирующим телом по инерции под произвольным углом к горизонту. Начальная скорость и конечная глубина движения считаются заданными. Показано, что в этом случае пройденное телом расстояние и оптимальная форма тела не зависят от угла наклона траектории. Использовались две группы изопериметрических условий при постоянной массе и при постоянной средней плотности тела. Получены простые аналитические зависимости для оптимальных формы тела и радиуса кавитатора для случаев фиксированных длины, калибра и объема тела. Проанализированы особенности восходящего суперкавитационного движения по инерции. Полученные результаты хорошо согласуются с численными расчетами с использованием компьютерной программы SCAV. Розглянутi задачi максимiзацiї вiдстанi, пройденої осесиметричним суперкавiтуючим тiлом за iнерцiєю пiд довiльним кутом до горизонту. Початкова швидкiсть та кiнцева глибина вважаються заданими. Показано, що у цьому випадку пройдений тiлом шлях та оптимальна форма тiла не залежать вiд кута нахилу траєкторiї. Використовувались двi групи iзопериметричних умов при сталiй масi та сталiй середнiй густинi тiла. Отриманi простi аналiтичнi залежностi для оптимальних форми тiла i радiуса кавiтатора у випадках фiксованих довжини, калiбру та об'єму тiла. Проаналiзованi особливостi висхiдного суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю. Отриманi результати добре узгоджуються з чисельними розрахунками з використанням комп'ютерної програми SCAV. Maximum range problems are considered for the supercavitating motion of the axisymmetric body on inertia under an arbitrary angle to horizon. The starting velocity and the final depth are accepted as fixed. It was shown, that in this case the range and the optimal body shape are independent of angle of motion. Two groups of isoperimetric conditions were used: with the constant body mass and with the constant average body density. Simple analitic relations for the optimal body shapes and the cavitator radius were obtained for the cases of the fixed length, caliber and volume of the body. Peculiarities of the upward supercavitating motion on inertia is analysed. Obtained results are in good agreement with calculations with the computer program SCAV. uk Інститут гідромеханіки НАН України Задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною Range optimization problems for supercavitation motion on inertia with the fixed final depth Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною
spellingShingle	Задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною Нестерук, I.Г. Семененко, В.М.
title_short	Задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною
title_full	Задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною
title_fullStr	Задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною
title_full_unstemmed	Задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною
title_sort	задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною
author	Нестерук, I.Г. Семененко, В.М.
author_facet	Нестерук, I.Г. Семененко, В.М.
publishDate	2006
language	Ukrainian
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
format	Article
title_alt	Range optimization problems for supercavitation motion on inertia with the fixed final depth
description	Рассмотрены задачи максимизации расстояния, пройденного осесимметричним суперкавитирующим телом по инерции под произвольным углом к горизонту. Начальная скорость и конечная глубина движения считаются заданными. Показано, что в этом случае пройденное телом расстояние и оптимальная форма тела не зависят от угла наклона траектории. Использовались две группы изопериметрических условий при постоянной массе и при постоянной средней плотности тела. Получены простые аналитические зависимости для оптимальных формы тела и радиуса кавитатора для случаев фиксированных длины, калибра и объема тела. Проанализированы особенности восходящего суперкавитационного движения по инерции. Полученные результаты хорошо согласуются с численными расчетами с использованием компьютерной программы SCAV. Розглянутi задачi максимiзацiї вiдстанi, пройденої осесиметричним суперкавiтуючим тiлом за iнерцiєю пiд довiльним кутом до горизонту. Початкова швидкiсть та кiнцева глибина вважаються заданими. Показано, що у цьому випадку пройдений тiлом шлях та оптимальна форма тiла не залежать вiд кута нахилу траєкторiї. Використовувались двi групи iзопериметричних умов при сталiй масi та сталiй середнiй густинi тiла. Отриманi простi аналiтичнi залежностi для оптимальних форми тiла i радiуса кавiтатора у випадках фiксованих довжини, калiбру та об'єму тiла. Проаналiзованi особливостi висхiдного суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю. Отриманi результати добре узгоджуються з чисельними розрахунками з використанням комп'ютерної програми SCAV. Maximum range problems are considered for the supercavitating motion of the axisymmetric body on inertia under an arbitrary angle to horizon. The starting velocity and the final depth are accepted as fixed. It was shown, that in this case the range and the optimal body shape are independent of angle of motion. Two groups of isoperimetric conditions were used: with the constant body mass and with the constant average body density. Simple analitic relations for the optimal body shapes and the cavitator radius were obtained for the cases of the fixed length, caliber and volume of the body. Peculiarities of the upward supercavitating motion on inertia is analysed. Obtained results are in good agreement with calculations with the computer program SCAV.
issn	1561-9087
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4767
citation_txt	Задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною / I.Г. Нестерук, В.М. Семененко // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 4. — С. 33-42. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT nesterukig zadačioptimizacidalʹnostisuperkavitaciinogoruhuzainerciêûzfiksovanoûkincevoûglibinoû AT semenenkovm zadačioptimizacidalʹnostisuperkavitaciinogoruhuzainerciêûzfiksovanoûkincevoûglibinoû AT nesterukig rangeoptimizationproblemsforsupercavitationmotiononinertiawiththefixedfinaldepth AT semenenkovm rangeoptimizationproblemsforsupercavitationmotiononinertiawiththefixedfinaldepth
first_indexed	2025-11-26T00:06:41Z
last_indexed	2025-11-26T00:06:41Z
_version_	1850591326786027520
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –?? УДК 532.528 ЗАДАЧI ОПТИМIЗАЦIЇ ДАЛЬНОСТI СУПЕРКАВIТАЦIЙНОГО РУХУ ЗА IНЕРЦIЄЮ З ФIКСОВАНОЮ КIНЦЕВОЮ ГЛИБИНОЮ I. Г. Н ЕСТЕ РУ К , B. М. С ЕМЕ Н ЕН К О Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ Отримано 12.05.2006 Розглянутi задачi максимiзацiї вiдстанi, пройденої осесиметричним суперкавiтуючим тiлом за iнерцiєю пiд довiль- ним кутом до горизонту. Початкова швидкiсть та кiнцева глибина вважаються заданими. Показано, що у цьому випадку пройдений тiлом шлях та оптимальна форма тiла не залежать вiд кута нахилу траєкторiї. Використовува- лись двi групи iзопериметричних умов при сталiй масi та сталiй середнiй густинi тiла. Отриманi простi аналiтичнi залежностi для оптимальних форми тiла i радiуса кавiтатора у випадках фiксованих довжини, калiбру та об’є- му тiла. Проаналiзованi особливостi висхiдного суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю. Отриманi результати добре узгоджуються з чисельними розрахунками з використанням комп’ютерної програми SCAV. Рассмотрены задачи максимизации расстояния, пройденного осесимметричним суперкавитирующим телом по инер- ции под произвольным углом к горизонту. Начальная скорость и конечная глубина движения считаются заданными. Показано, что в этом случае пройденное телом расстояние и оптимальная форма тела не зависят от угла накло- на траектории. Использовались две группы изопериметрических условий при постоянной массе и при постоянной средней плотности тела. Получены простые аналитические зависимости для оптимальных формы тела и радиуса ка- витатора для случаев фиксированных длины, калибра и объема тела. Проанализированы особенности восходящего суперкавитационного движения по инерции. Полученные результаты хорошо согласуются с численными расчетами с использованием компьютерной программы SCAV. Maximum range problems are considered for the supercavitating motion of the axisymmetric body on inertia under an arbitrary angle to horizon. The starting velocity and the final depth are accepted as fixed. It was shown, that in this case the range and the optimal body shape are independent of angle of motion. Two groups of isoperimetric conditions were used: with the constant body mass and with the constant average body density. Simple analitic relations for the optimal body shapes and the cavitator radius were obtained for the cases of the fixed length, caliber and volume of the body. Peculiarities of the upward supercavitating motion on inertia is analysed. Obtained results are in good agreement with calculations with the computer program SCAV. ВСТУП Аналiз задач суперкавiтацiйного руху за iнерцi- єю ускладнюється вiдсутнiстю точних розв’язкiв та нестацiонарним характером течiї. Разом з тим, для високошвидкiсного руху iснує дiапазон квазi- стацiонарного обтiкання з фiксованим значенням опору тиску, коли можна користуватись вiдоми- ми спiввiдношеннями для форми стацiонарної ка- верни в невагомiй рiдинi. В статтi [?] розгляну- то низку задач оптимiзацiї пройденого за iнерцiєю шляху в режимi горiзонтального суперкавiтацiй- ного руху. В данiй роботi розглядатиметься випа- док прямолiнiйного суперкавiтацийного руху тiла пiд довiльним кутом до горизонту. Обмежимося випадком малих чисел кавiтацiї та великих чисел Фруда: σ = 2(p∞ − pc) ρU2 << 1, F r = U√ g L >> 1, (1) де ρ – густина води; U – поточна швидкiсть тiла; p∞ – тиск у водi далеко вiд перерiзу початку ка- верни на глибинi його руху; pc – тиск у кавернi, який можна вважати сталим через велику рiзницю у густинах води та газiв, що заповнюють каверну; L – довжина каверни. Рiвняння руху тiла за iнерцiєю з малим впливом сили тяжiння та умову квазiстацiонарностi можна записати у виглядi (див., наприклад, [?,?]): m dU dt = −ρU2CxπR2 n 2 , L U2 ∣ ∣ ∣ ∣ dU dt ∣ ∣ ∣ ∣ << 1, (2) де m – маса тiла; Rn – радiус кавiтатора; Cx – ко- ефiцiєнт кавiтацiйного опору. З рiвнянь (2) випли- ває, що течiю можна вважати квазiстацiонарною, якщо ρCxπR2 nL 2ρbV << 1, (3) де V – об’єм тiла; ρb = m/V – середня густи- на тiла. Оскiльки Cx < 1, величини ρb = ρb/ρ та V/(πR2 nL) в бiльшостi випадкiв значно перевищу- ють одиницю, то умова (3), як правило, викону- ється. Для дуже тонких кавiтаторiв недостатньо великi значення величини V/(πR2 nL) компенсую- ться меншими величинами опору (наприклад, за отриманою в [?] формулою коефiцiєнт опору при нульовому числi кавiтацiї Cx0 для конiчних кавi- c© I.Г.Нестерук, В.М.Семененко, 2006 33 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ?? таторiв з кутом при вершинi менше 10o не переви- щує 0.029). Обмежимося в подальшому випадка- ми, коли умова (3) виконується. Крiм того, дослi- джуватимемо лише парову кавiтацiю (без пiддуву газу в каверну) та вважатимемо тиск pc набагато меншим вiд атмосферного. Будемо також вважа- ти, що тiло рухається прямолiнiйно пiд кутом γ до горизонту (γ > 0 для руху догори). Досвiд по- казує, що пiсля замивання потоком води частини тiла, розташованої в кавернi, воно практично мит- тєво зупиняється через значне зростання опору i деформацiї тiла. Сила тяжiння може значно впливати на форму та розмiри каверни. Вплив сили тяжiння буде ма- лим за умови σFr2 >> 1 (див. [?]), перетворення якої з врахуванням (1) дає ρgL 2(p∞ − pc) ≈ L 2(h + 10) << 1, (4) де глибина руху кавiтатора h та L вимiрюються в метрах. Будемо вважати, що умова (4) виконується, i використовуватимемо закономiрностi для стацiо- нарних видовжених каверн за не дуже тонкими кавiтаторами з поточним значенням числа кавiта- цiї [?]: R 2 = x(1 − x) λ2 , (5) λ = L D = √ − lnσ σ , (6) D Rn = 2 √ Cx σ , (7) L Rn = 2 √ −Cx lnσ σ , (8) де R = R/L – безрозмiрний радiус перерiзу кавер- ни; x = x/L – поздовжня координата; λ – видовже- ння каверни; D – максимальний дiаметр каверни; L – довжина каверни; Cx – коефiцiєнт кавiтацiй- ного опору, Cx = 2X ρU2πR2 n ; (9) X – опiр тиску. Якщо скористатись вiдомим спiввiдношенням для стацiонарного суперкавiтацiйного опору зату- плених кавiтаторiв Cx = Cx0(1 + σ) i знехтувати змiнами числа кавiтацiї, то величину Cx можна вважати сталою. Тодi рiвняння руху за iнерцiєю легко iнтегруються i пройдений тiлом шлях S ви- значається формулою (див. [?, ?,?,?]) S = 2m ρCxπR2 n ln U0 U , (10) Рис. 1. Класифiкацiя iзопериметричних умов при hf = const, U0 = const де U0 – фiксована початкова швидкiсть тiла. Формула (10) дозволяє проаналiзувати питання максимiзацiї пройденого шляху для рiзних iзопе- рiметричних умов. Зокрема, для випадку горизон- тального руху деякi з таких задач розглядались у [?,?,?,?]. В данiй роботi сформулюванi та розв’я- занi декiлька задач оптимiзацiї за умови, що крiм початкової швидкостi U0 фiксованою є глибина hf , на якiй припиняється суперкавiтацiйний режим. При цьому найбiльш цiкавими є шiсть iзопериме- тричних умов, показаних на рис. 1. Для перевiрки отриманих висновкiв використо- вувались чисельнi розрахунки за допомогою ком- п’ютерної програми SCAV [?]. В статтi наводя- ться деякi результати розрахункiв для моделей з дисковими кавiтаторами при Cx = 0.8275. Крок розрахунку руху моделей становив 0.1 м. Якщо врахувати, що атмосферному тиску вiд- повiдає 10-метровий стовп води, формулу (1) для кiнцевого числа кавiтацiї можна представити у ви- глядi σ = a U 2 , a = 2g(10 + hf ) U2 0 , U = U U0 . (11) Тут i в подальшому кiнцева глибина hf вимiрює- ться в метрах. Формули (5)-(11) не мiстять кута руху тiла γ, то- му всi подальшi висновки щодо оптимальної фор- ми тiл та максимальної дальностi також не зале- жать вiд γ. Зауважимо, что для випадку фiксо- ваної початкової глибини h0 це не так, див. [?]. В окремому випадку γ = 0 обидвi задачi (з фiксова- ною початковою та заданою кiнцевою глибиною) збiгаються, тому подальшi висновки стосуватиму- ться також випадку горизонтального руху з фiксо- ваною початковою глибиною. Параметр a в цьому випадку збiгається з початковим числом кавiтацiї σ0. Зауважимо, що формула (10) передбачає за- мивання (та зупинку) тiла у водi, що вiдбуває- 34 I.Г.Нестерук, В.М.Семененко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –?? ться при деякiй швидкостi U . Але замивання тра- пляється не завжди, що накладає обмеження на область застосування рiвняння (10) та висновкiв, що з нього випливають. Для руху тiла донизу (γ < 0) тiло замивається завжди, оскiльки каверна постiйно зменшується через зменшення швидкостi руху та зростання гi- дростатичного тиску в рiдинi. Але при γ > 0 тiло може вийти на поверхню води до моменту зами- вання. Наприклад, у роботi [?] показано, що рух тiла догори з фiксованими швидкiстю, довжиною та середнєю густиною тiла при h0 < 10 м, зав- жди завершується виходом на поверхню в режи- мi суперкавiтацiї, тому пройдений шлях визнача- ється не формулою (10), а геометричним спiввiд- ношенням S = h0 sin γ, де h0 – початкова глибина. В [?] також показано, що невелики перевищення певного критичного значення початкової швидко- стi призводять до виходу тiла на поверхню води без замивання. Це означає, що формулу (10) не можна застосовувати для певних значень кiнцевої глибини у випадку руху тiла догори. Детально це питання аналiзується нижче в роздiлi 3. 1. ЗАДАЧI З ФIКСОВАНОЮ МАСОЮ ТIЛА З формули (10) видно, що пройдена за iнерцiєю вiдстань у цьому випадку зростає при зменшен- нi розмiрiв кавiтатора (i вiдповiдно тiла). Однак нескiнчене зменшення розмiрiв призводить до не- обмеженого зростання середньої густини тiла, що неможливе з фiзичних мiркувань. Тому слiд на- класти також обмеження на розмiри тiла. Тут мо- жливi випадки фiксованого максимального дiаме- тра (калiбра) Db, довжини Lb та об’єма тiла Vb (див. рис. 1). Розглянемо послiдовно цi три iзопе- риметричнi задачi. 1.1. Оптимiзацiя з фiксованим калiбром тiла Нехай калiбр тiла Db та максимальний дiаметр каверни у момент замивання D зв’язанi спiввiдно- шенням Db = αDD, αD ≤ 1. Тодi з формул (7), (10) випливає S = − 8mα2 D πρD2 b σ lnU. (12) Рiвняння (12) свiдчить, що максимальна вiдстань досягається при найбiльшому значеннi парамет- ра αD = 1, тобто калiбр оптимального тiла по- вiнен збiгатися з максимальним дiаметром кавер- ни в момент замивання. Звiдси, зокрема, випли- ває, що довжина оптимального тiла не може бути меншою напiвдовжини каверни в момент замива- ння. Iнших обмежень на форму оптимального тi- ла немає (при умовi, що воно вписане в каверну в момент замивання). В подальшому будемо роз- глядати лише оптимальнi тiла, тобто вважати, що Db = D. З врахуванням (11) формулу (12) можна пере- писати у виглядi S = − 8mU 2 πρaD2 lnU. (13) Максимум функцiї (13) досягається при U∗ = 1/ √ e, тобто U∗ = 0.607U0 (14) i дорiвнює S∗ = 2mU2 0 eπgρD2(10 + hf ) , (15) або в безрозмiрному виглядi S∗ = S∗gρD2(10 + hf) mU2 0 = 2 eπ = 0.234. (16) Пiдстановка (14) в (11) дає оптимальне значення кiнцевого числа кавiтацiї: σ∗ = 2eg(10 + hf) U2 0 . (17) Знаючи його, можна за формулою (7) визначити оптимальний радiус кавiтатора: Rn∗ = 0.5D √ 2eg(10 + hf) CxU2 0 , (18) а за формулами (5), (6) – контур та довжину ка- верни в момент замивання L∗, в яку повинна бути вписана модель. На рис. 2 представленi три з можливих варiан- тiв оптимальної форми суперкавiтуючих (СК) мо- делей з фiксованими масою та калiбром. Штри- ховою лiнiєю показано контур каверни в момент замивання. Форма моделi (a) є близькою до елi- псоїда обертання (5). Модель (b) є половиною мо- делi (a). Модель (c) складається з двох конiчних секцiй. Перевiрка формули (16) за допомогою програ- ми SCAV для рiзних оптимальних тiл i кавiтато- рiв, що визначались за формулами (6), (17), (18) i зображени на рис. 2, показала, що розрахунковi I.Г.Нестерук, В.М.Семененко 35 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ?? Рис. 2. Оптимальнi форми СК-моделей з фiксованими масою та калiбром безрoзмiрної величини S∗ мало вiдрiзняються вiд теоретичного значення 0.234. В якостi прикладу в табл. 1 наведенi результа- ти розрахунку дальностi при рiзних кутах нахилу траєкторiї γ та наступних значеннях параметрiв: D = 30 мм; m = 1 кг; U0 = 800 м/с; hf = 150 м. При цьому оптимальнi довжина моделi та радiус кавiтатора становили вiдповiдно L∗ = 539.8 мм, Rn∗ = 1.90 мм. Таблиця 1 γ h0, м S∗, м S∗ -90o 44.50 105.4 0.233 -60o 58.98 105.1 0.232 -30o 97.65 104.7 0.231 0o 150.00 104.1 0.230 30o 201.75 103.5 0.228 60o 239.24 103.0 0.227 90o 252.90 102.9 0.227 1.2. Оптимiзацiя з фiксованою довжиною тiла Нехай довжина тiла Lb та довжина каверни у момент замивання L зв’язанi спiввiдношенням Lb = αLL, αL ≤ 1. Тодi з формул (8), (10) випли- ває S = 8mα2 L lnσ πρL2 bσ2 lnU. (19) Рiвняння (19) свiдчить, що максимальна вiдстань досягається при найбiльшому значеннi параметра αL = 1, тобто довжина оптимального тiла повин- на збiгатися з довжиною каверни в момент зами- вання. Iнших обмежень на форму оптимального тiла немає (при умовi, що воно вписане в каверну в момент замивання). В подальшому будемо роз- глядати лише оптимальнi тiла, тобто вважати, що Lb = L. Приклади оптимальних форм для заданих iзопериметричний умов наведенi на рис. 3. З врахуванням (11) формулу (19) можна пере- писати у виглядi S = 8mU 4 πρL2a2 ln a U 2 lnU, (20) з якої видно, що максимум пройденого за iнерцiєю шляху збiгається з максимумом функцiї f1(U) = (y0 − 2 lnU)U 4 lnU, y0 = ln a. (21) Диференцiювання формули (21) дає df1 dU = U 3 (4y0y − 8y2 + y0 − 4y), y = lnU. Прирiвнюючи похiдну до нуля i розв’язуючи вiд- повiдне квадратне рiвняння, отримуємо, що най- бiльший пройдений за iнерцiєю шлях досягається при y∗ = 0.25(y0 − 1 + √ y2 0 + 1). (22) Другий корень квадратного рiвняння вiдповiдає додатному значенню другої похiдної i мiнiмуму функцiї f1, тобто пройденого шляху. На вiдмiну вiд формули (14), оптимальне зна- чення кiнцевої швидкостi U∗ залежить вiд пара- метра a. Але розрахунки за формулою (22) по- казують, що для значень початкової швидкостi 300 ≤ U0 ≤ 1500 i кiнцевої глибини hf < 300 м величина U∗ мiняється в межах вiд 0.79 до 0.81, тому можна вважати, що U∗ ≈ 0.8; тобто U∗ ≈ 0.8U0. (23) Для бiльших глибин та менших швидкостей слiд використовувати рiвняння (22). З формул (20), (23) випливає, що значення ма- ксимального шляху в згаданих вище дiапазонах початкової швидкостi i кiнцевої глибини можна ви- значити рiвнянням S∗ ≈ − 0.731m πρL2a2 (ln a + 0.446), (24) 36 I.Г.Нестерук, В.М.Семененко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –?? Рис. 3. Оптимальнi форми СК-моделей з фiксованими масою та довжиною або в безрозмiрному виглядi S∗ = S∗g 2ρL2(10 + hf)2 mU4 0 ≈ ≈ −0.0582(lna + 0.446). (25) Пiдстановка (23) в (11) дає оптимальне значення кiнцевого числа кавiтацiї: σ∗ ≈ 3.13g(10 + hf ) U2 0 . (26) Знаючи його, можна за формулою (8) визначити оптимальний радiус кавiтатора Rn∗ = 1.56Lg(10 + hf ) U2 0 × × √ −Cx ln 3.125g(10 + hf) U2 0 . (27) На рис. 3 представленi три з можливих варiан- тiв оптимальної форми суперкавiтуючих (СК) мо- делей з фiксованими масою та довжиною. Штри- ховою лiнiєю показано контур каверни в момент замивання. Форма моделi (a) є близькою до елi- псоїда обертання (5). Кожна з моделей (b) та (c) складається з двох конiчних секцiй. Чисельнi розрахунки за допомогою програми SCAV, проведенi для рiзних оптимальних тiл, що визначались за формулами (26), (27), добре узго- джуються з формулою (25). Таблиця 2 γ h0, м S∗, м S∗ -90o 47.10 52.9 0.246 -60o 54.30 52.8 0.246 -30o 73.85 52.3 0.244 0o 100.00 51.6 0.240 30o 125.50 51.0 0.238 60o 143.75 50.5 0.235 90o 150.10 150.1 1 0.699 Як приклад в табл. 2 наведенi результати роз- рахунку дальностi при рiзних кутах нахилу трає- кторiї γ та наступних значеннях параметрiв: L = 0.5 м; m = 1 кг; U0 = 500 м/с; hf = 100 м. При цьо- му формули (6), (27), (25) дають D∗ = 27.96 мм, Rn∗ = 1.78 мм, S∗ = 0.250. Зауважимо, що вiдхилення вiд оптимальної форми призводить до значного зменшення даль- ностi. Наприклад, при значеннях параметрiв, прийнятих для розрахунку таблицi 2, але для тiла у виглядi половини елiпсоїда обертання (див. мо- дель (b) на рис. 2), програма SCAV при γ = 0 дає S = 19.5 м, тобто в 2.65 рази меншу дальнiсть. 1.3. Оптимiзацiя з фiксованим об’ємом тiла Нехай об’єм тiла Vb та об’єм каверни у момент замивання V зв’язанi спiввiдношенням Vb = αV V , αV ≤ 1. Iнтегрування залежностi (5) та формул (6), (8) дозволяють визначити об’єм каверни: V = πL3 6λ2 , V = 4πR3 nC 3/2 x √ − lnσ 3σ2 . (28) Тодi з формул (10), (28) випливає S = −2 42/3α 2/3 V m(− ln σ)1/3 32/3π1/3ρV 2/3 b σ4/3 lnU. (29) Формула (29) дозволяє зробити висновок, що ма- ксимальна вiдстань досягається при αV = 1, тобто об’єм оптимального тiла повинен збiгатись з об’- ємом каверни в момент замикання або оптималь- на форма тiла повинна збiгатись з формою кавер- ни в момент замикання. Подiбний висновок можна знайти також в [?, ?, ?]. В подальшому будемо роз- глядати лише оптимальнi тiла, тобто вважати, що Vb = V . 1Bихiд на поверхню води I.Г.Нестерук, В.М.Семененко 37 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ?? З врахуванням (11) формулу (29) можна пере- писати у виглядi S = −2 42/3m(2 lnU − lna)1/3U 8/3 32/3π1/3ρV 2/3a4/3 lnU, (30) з якої видно, що максимум пройденого за iнерцiєю шляху збiгається з мiнiмумом функцiї f2(U) = (2 lnU − y0) 1/3U 8/3 lnU. (31) Диференцiювання формули (31) дає df2 dU = U 5/3 3(2y − y0)2/3 (16y2 − 8yy0 + 8y − 3y0). Прирiвнюючи похiдну до нуля i розв’язуючи вiд- повiдне квадратне рiвняння, отримуємо, що най- бiльший пройдений за iнерцiєю шлях досягається при y∗ = 0.25(y0 − 1 + √ y2 0 + y0 + 1). (32) Другий корень квадратного рiвняння вiдповiдає максимуму функцiї f2, тобто мiнiмуму пройденого шляху. На вiдмiну вiд формули (14) оптимальне зна- чення кiнцевої швидкостi U∗ залежить вiд пара- метра a. Але розрахунки за формулою (32) по- казують, що для значень початкової швидкостi 300 ≤ U0 ≤ 1500 i кiнцевої глибини hf<300 м ве- личина U∗ мiняється в межах вiд 0.696 до 0.715, тому можна вважати, що U∗ ≈ 0.706, тобто U∗ ≈ 0.706U0. (33) Для бiльших глибин та менших швидкостей слiд використовувати рiвняння (32). З формул (30), (33) випливає, що значення ма- ксимального шляху в згаданих вище дiапазонах початкової швидкостi i кiнцевої глибини можна ви- значити рiвнянням S∗ ≈ −0.228 m(0.696 + lna)1/3 ρV 2/3a4/3 , (34) або в безрозмiрному виглядi S∗ = S∗ρV 2/3a4/3 m ≈ −0, 228(0, 696+ ln a)1/3. (35) Пiдстановка (33) в (11) дає оптимальне значення кiнцевого числа кавiтацiї: σ∗ ≈ 4, 013g(10 + hf ) U2 0 . (36) Знаючи його, можна за формулами (6), (28) визна- чити оптимальнi довжину та калiбр тiла L∗, D∗, а потiм за спiввiдношенням (8) – оптимальний радi- ус кавiтатора Rn∗. Чисельнi розрахунки за допомогою програми SCAV, проведенi для рiзних оптимальних тiл, що визначались за формулами (6), (8), (28), (36), до- бре узгоджуються з формулою (35). Як приклад у табл. 3 наведенi результати роз- рахунку дальностi при рiзних кутах нахилу трає- кторiї γ та наступних значеннях параметрiв: V = 0.0002 м3; m = 1 кг; U0 = 500 м/с; hf = 100 м. При цьому оптимальнi розмiри моделi становлять L∗ = 447.2 мм, D∗ = 29.23 мм, оптимальний радi- ус кавiтатора дорiвнює Rn∗ = 1.78 мм, а формула (35) дає S∗ = 0.364. Таблиця 3 γ h0, м S∗, м S∗ -90o 37.60 62.4 0.378 -60o 46.13 62.2 0.377 -30o 69.10 61.8 0.374 0o 100.00 61.2 0.371 30o 130.30 60.6 0.367 60o 152.14 60.2 0.365 90o 160.06 60.1 0.364 2. ЗАДАЧI З ФIКСОВАНОЮ СЕРЕДНЬОЮ ГУСТИНОЮ ТIЛА Формули попереднього роздiлу (15), (24), (34) свiдчать, що максимальний шлях лiнiйно зростає при збiльшеннi маси тiла. Але це збiльшення не може бути необмеженим, оскiльки питома вага на- явних матерiалiв не дозволяє виготовити тiло з дуже великим значенням його середньої густини ρb = m/V . Тому виникає практично важливий клас задач з використанням умови фiксованої се- редньої густини тiла. Природно, що в цьому випад- ку пройдений шлях необмежено зростатиме при збiльшеннi розмiрiв тiла. Для одержання практи- чно важливих результатiв слiд накладати також обмеження на розмiри тiла, а саме фiксувати об’- єм Vb, найбiльший дiаметр (калiбр) Db або довжи- ну тiла Lb (див. рис. 1). Розглянемо послiдовно цi три iзопериметричнi задачi. 2.1. Оптимiзацiя з фiксованим об’ємом тiла Цю задачу вже розв’язано в пiдроздiлi 1.3, оскiльки фiксована маса та об’єм приводять до фi- ксованої середньої густини. Тому лише повторимо 38 I.Г.Нестерук, В.М.Семененко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –?? отриманий в пiдроздiлi 1.3 висновок, що макси- мальна вiдстань досягається, коли форма тiла збi- гається з формою каверни в момент замикання, i зауважимо, що вiн справедливий для всiх трьох iзопериметричних задач з фiксованою середньою густиною тiла. В подальшому будемо розглядати лише оптимальнi тiла, тобто вважати, що Vb = V . При цьому формули (30)-(33), (36) не мiняються, а в (34), (35) слiд позбутися маси тiла за допомогою спiввiдношення m = V ρb. Отже, так само, як в попереднiх задачах, без- розмiрний максимальний пройдений шлях при за- даних U0, hf є сталою величиною. Вiдзначимо, що для часткового випадку γ = 0 ця задача розв’язана в [?]. Зокрема, в цiй статтi отримано зв’язок мiж початковим та кiнцевим чи- слами кавiтацiї σ∗ ≈ 2σ0, що практично збiгається з формулою (33). 2.2. Оптимiзацiя з фiксованим калiбром тiла Оскiльки калiбр оптимального тiла Db дорiвнює максимальному дiаметру каверни у момент зами- вання D, у формулi (13) можна позбутись маси i з використанням (7), (11), (28) отримати формулу S = −4DρbU 3 √ 2 lnU − lna 3a3/2 lnU, (37) де ρb = ρb/ρ, з якої видно, що максимум прой- деного за iнерцiєю шляху збiгається з мiнiмумом функцiї f3(U) = √ 2 lnU − y0U 3 lnU. (38) Диференцiювання формули (38) дає df3 dU = U 2 √ 2y − y0 (6y2 − 3y − 3y0y − y0). Прирiвнюючи похiдну до нуля i розв’язуючи вiд- повiдне квадратне рiвняння, отримуємо, що най- бiльший пройдений за iнерцiєю шлях досягається при y∗ = 3(y0 − 1) + √ 9(1 − y0)2 + 24y0 12 . (39) Другий корень квадратного рiвняння вiдповiдає максимуму функцiї f3, тобто мiнiмуму пройденого шляху. На вiдмiну вiд формули (14), оптимальне зна- чення кiнцевої швидкостi U∗ залежить вiд пара- метра a. Але розрахунки за формулою (39) по- казують, що для значень початкової швидкостi 300 ≤ U0 ≤ 1500 i кiнцевої глибини hf < 300 м величина U∗ мiняється в межах вiд 0.726 до 0.748, тому можна вважати, що U∗ ≈ 0.737, тобто U∗ ≈ 0.737U0. (40) Для бiльших глибин та менших швидкостей слiд використовувати рiвняння (39). Як вже вiдзначалось, для випадку горизонталь- ного руху тiла ця задача розв’язана в [?]. Зокрема, в цiй статтi отримано наступний зв’язок мiж поча- тковим та кiнцевим числами кавiтацiї σ∗ ≈ 1.9σ0, що вiдрiзняється вiд (40) менше, нiж на 6%. З формул (37), (40) випливає, що значення ма- ксимального шляху в згаданих вище дiапазонах початкової швидкостi i кiнцевої глибини можна ви- значити рiвнянням S∗ = 0.163 Dρb √ −0.61− ln a a3/2 , (41) або в безрозмiрному виглядi S∗ = S∗a 3/2 Dρb ≈ 0.163 √ −0.61− lna. (42) Пiдстановка (40) в (11) дає оптимальне значення кiнцевого числа кавiтацiї: σ∗ ≈ 3.682g(10 + hf) U2 0 . (43) Знаючи його, можна за формулами (5), (7), (8) ви- значити оптимальнi форму тiла, радiус кавiтатора та довжину тiла. Чисельнi розрахунки за допомогою програми SCAV, проведенi для рiзних оптимальних тiл, що визначались за формулами (43), (7), (8), (5) i зо- браженi на рис. 2, a, добре узгоджуються з фор- мулою (42). Як приклад у табл. 4 наведенi результати роз- рахунку дальностi при рiзних кутах нахилу трає- кторiї γ та наступних значеннях параметрiв: D = 30 мм; ρb = 4 г/см3; U0 = 500 м/с; hf = 100 м. При цьому оптимальна довжина моделi дорiвнює L∗ = 484.0 мм, оптимальний радiус кавiтатора стано- вить Rn∗ = 2.08 мм, а формула (42) дає S∗ = 0.331. Таблиця 4 γ h0, м S∗, м S∗ -90o 52.00 48.0 0.321 -60o 56.60 47.8 0.320 -30o 76.20 47.6 0.318 0o 100.00 47.1 0.315 30o 123.35 46.7 0.312 60o 140.18 46.4 0.310 90o 146.29 46.3 0.309 I.Г.Нестерук, В.М.Семененко 39 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ?? 2.3. Оптимiзацiя з фiксованою довжиною тiла Оскiльки довжина оптимального тiла Lb дорiв- нює довжинi каверни у момент замивання L, у формулi (20) можна позбутись маси i з викори- станням (7), (11), (28) отримати S = −4LρbU 2 3a lnU. (44) Очевидно, що максимум цiєї функцiї збiгається з максимумом функцiї (13). Вiдповiдно справедли- вi формули (14), (17), (18) для оптимальних зна- чень кiнцевої швидкостi, кiнцевого числа кавiтацiї та радiуса кавiтатора. Таблиця 5 γ h0, м S∗, м S∗ -90o 42.20 57.8 0.125 -60o 50.03 57.7 0.125 -30o 71.35 57.3 0.124 0o 100.00 57.0 0.123 30o 128.24 56.5 0.122 60o 148.63 56.2 0.121 90o 156.03 56.0 0.121 З формул (14), (44) випливає, що значення ма- ксимального шляху визначається рiвнянням S∗ = 2Lρb 3ea , (45) або в безрозмiрному виглядi S∗ = S∗(10 + hf) LρbU 2 0 = 1 3e ≈ 0.123. (46) Чисельнi розрахунки за допомогою програми SCAV, проведенi для рiзних оптимальних тiл, форма яких наближалась до форми каверни в мо- мент замивання (див. рис. 3, a) з параметрами, ви- значеними з (17), (18), (7), (5), показали, що роз- рахунковi величини S∗ мало вiдрiзняються вiд те- оретичного значення 0, 123. Як приклад у табл. 5 наведенi результати роз- рахунку дальностi при рiзних кутах нахилу трає- кторiї γ та наступних значеннях параметрiв: L = 0.5 м; ρb = 4 г/см3; U0 = 500 м/с; hf = 100 м. При цьому оптимальнi калiбр моделi та радiус кавiта- тора становлять вiдповiдно D∗ = 39.54 мм, Rn∗ = 3.33 мм. 3. ОСОБЛИВОСТI СУПЕРКАВIТАЦIЙНОГО РУХУ ЗА IНЕРЦIЄЮ ПРИ γ > 0 При дослiдженнi негоризонтального суперкавi- тацiйного руху тiл, якi стартують на глибинi h0, природньо задавати не початкову i кiнцеву швид- костi тiла U0, U , а початкове i кiнцеве числа кавi- тацiї σ0, σ: σ0 = 2g(h0 + 10) U2 0 , σ = 2g(h0 + 10 − S sin γ) U2 (47) (початкова глибина кавiтатора h0 тут виражається в метрах). При цьому рiвняння (10) може бути пе- реписане у виглядi: 2kS = − ln 2g(h0 + 10 − S sin γ) σU2 0 , (48) де k = ρCxπR2 n/2m. Три параметри Cx, Rn, σ ви- значають мiнiмальний розмiр каверни, в яку може бути вписано тiло в момент замивання. Рiвняння (48) дозволяє при заданих значеннях параметрiв визначати S чисельно. Легко показати, що при γ ≤ 0, тобто при русi вниз, i σ > σ0 воно завжди має позитивний корiнь, причому лише один. Очевидно, що у випадку γ > 0, тобто при ру- сi вгору, iснує максимально можлива дистанцiя Smax = h0/ sinγ, що визначається виходом тiла на поверхню води. Аналiз рiвняння (48) показує, що для кожного γ > 0 iснують граничнi значення дальностi Scr та одного з чотирьох параметрiв k, σ, h0, U0, якi задовольняють системi двох рiвнянь: 2k = sin γ hfcr + 10 , (49) h0 − hfcr hfcr + 10 = − ln 2g(hfcr + 10) σU2 0 , (50) де hfcr = h0−Scr sin γ – критична кiнцева глибина, тобто глибина замивання тiла. Розглянемо чотири можливих випадки. 1) Фiксованi параметри σ, h0, U0. Тодi систе- ма рiвнянь (49), (50) для кожного γ > 0 визна- чає hfcr i мiнiмальне значення параметра k = kcr. При k > kcr рiвняння (48) має один або два рiз- них кореня h1 < hfcr и h2 > hfcr, з яких тiльки другий має фiзичний змiст. При k < kcr рiвнян- ня (48) не має коренiв. Це означає, що в процесi руху тiла каверна спочатку зменшується, досягає мiнiмальних розмiрiв при деякому σmax < σ (при якому тiло не замивається), а потiм починає збiль- шуватись через зменшення гiдростатичного тиску у водi. У цьому випадку рух тiла в суперкавiта- цiйному режимi продовжується аж до виходу на 40 I.Г.Нестерук, В.М.Семененко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? –?? Рис. 4. Шлях, пройдений СК-моделлю за iнерцiєю поверхню води, тобто в цьому випадку S = Smax. Таким чином, при переходi через критичне значе- ння kcr функцiя S(k) має стрибок. На рис. 4 наведено приклад розрахунку за фор- мулами (49),(50) залежностi S(k), де S = S/h0 i k = kh0, при рiзних значеннях кута γ i наступних значеннях параметрiв: Rn = 2 мм; h0 = 100 м; U0 = 500 м/с, σ = 0.015. Штриховою лiнiєю показано геометричне мiсце точок (kcr, Scr) при змiнi кута γ > 0. 2) Фiксованi параметри k, σ, h0. Тодi система рiвнянь (49), (50) для кожного γ > 0 визначає hfcr i максимальне значення параметра U0 = U0cr, при якому рiвняння (48) має розв’язок. При U0 > U0cr рiвняння (48) не має розв’язку, тобто тiло досягає поверхнi води без замивання. Таким чином, при переходi через критичне значення U0cr функцiя S(U0) має стрибок. 3) Фiксованi параметри k, σ, U0. Тодi система рiвнянь (49), (50) для кожного γ > 0 визначає hfcr i мiнiмальне значення параметра h0 = h0cr, при якому рiвняння (48) має розв’язок. При h0 < h0cr рiвняння (48) не має розв’язку, тобто тiло дося- гає поверхнi води без замивання. Таким чином, при переходi через критичне значення h0cr функ- цiя S(h0) має стрибок. 4) Фiксованi параметри k, h0, U0. Тодi система рiвнянь (49), (50) для кожного γ > 0 визначає hfcr i максимальне значення параметра σ = σcr, при якому рiвняння (48) має розв’язок. При σ > σcr рiвняння (48) не має розв’язку, тобто тiло дося- гає поверхнi води без замивання. Таким чином, при переходi через критичне значення σcr функ- цiя S(σ) має стрибок. Подiбнi стрибки мають мiсце i при чисельних розрахунках за допомогою програми SCAV. Цим пояснюється той факт, що при γ > 0 програма iнодi дає для оптимальних тiл значно бiльшi зна- чення пройденої вiдстанi, чим передбачають фор- мули (15), (24) та iн. (див. останнiй рядок таблицi 2). Зокрема, це вiдбувається тодi, коли задано зна- чення кiнцевої глибини hf < hfcr . hf < hfcr. ВИСНОВКИ Цiкавою особливiстю розглянутих задач опти- мiзацiї вiльного руху СК-моделей з фiксованою кiнцевою глибиною є незалежнiсть максимального пройденого шляху та оптимальної форми тiла вiд кута руху по вiдношенню до горизонту. Отриманi аналiтичнi спiввiдношення дозволя- ють для рiзних iзопериметричних умов легко оцi- нити гранично можливу дальнiсть руху за iнер- цiєю СК-тiл та знайти оптимальнi форму тiла та радiус кавiтатора. Чисельнi розрахунки за допомогою програми SCAV добре пiдтверджують отриманi оцiнки при будь-яких значеннях кута нахилу траєкторiї. Ви- ключенням є особливий випадок при γ > 0, коли оптимальна модель може проходити значно бiль- шу вiдстань, досягаючи поверхню води (див. роз- дiл 3). У всiх випадках розрахунки для неопти- мальних форм тiл i дiаметрiв кавiтаторiв дають набагато меншi значення шляху, пройденого за iнерцiєю. Для реальних СК-моделей, якi вiльно летять, додатковою вимогою є стiйкiсть їх руху при на- явностi початкових збурень. При втратi стiйкостi руху пройдена дистанцiя рiзко скорочується. Стiй- кiсть руху визначається як формою, так i кон- струкцiєю моделей, а саме положенням центру мас та моментом iнерцiї (див. [?]). Комп’ютерне моде- лювання показало, что у випадках заданого калi- бру та довжини моделi при фiксованiй масi мо- делi (див. пiдроздiли 1.1 i 1.2) оптимальна форма моделей може бути вибрана з урахуванням вимог стiйкостi руху. 1. Нестерук I. Г., Семененко В.М. Задачi оптимiзацiї для суперкавiтацiйного руху осесиметричних тiл за iнерцiєю // Прикладна гiдромеханiка.– 2006.– Т. 8 (80), N 1.– С. 51-59. 2. Путилин С. И. Некоторые особенности динами- ки суперкавитирующих моделей // Прикладна гiдромеханiка.– 2000.– Т. 2 (74), N 3.– С. 65-74. 3. Нестерук И.Г. О форме тонкой осесимметри- чной нестационарной каверны // Изв. АН СССР, МЖГ.– 1980.– N 4.– С. 38-47. I.Г.Нестерук, В.М.Семененко 41 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 4. С. ?? – ?? 4. Нестерук И.Г. Некоторые задачи осесимметри- чных кавитационных течений // Изв. АН СССР, МЖГ.– 1982.– N 1.– С. 28-34. 5. Garabedian P.R. Calculation of axially symmetric cavities and jets // Pac. J. Math.– 1956.– Vol. 6, No. 4.– P. 611-684. 6. Gieseke T.J. Toward an optimal weapon system utili- zing supercavitating projectiles// Int. Conference on Cavitation “Cav2001”, 2001. Pasadena, USA. 7. Serebryakov V.V. The models of the supercavitati- on prediction for high speed motion in water // Int. Summer Scientific School “High Speed Hydrodynami- cs”. 2002, Cheboksary, Russia. – С. 71-92. 8. Savchenko Yu.N., Semenenko V.N., Putilin S.I. and others. Designing the high-speed supercavitating vehicles // Int. Conf. on Fast Sea Transportation “FAST’2005”.– June 2005. St. Petersburg, Russia. 9. Нестерук I. Г., Савченко Ю.М„ Семененко В.М. Оптимiзацiя дальностi для суперкавiтацiйного ру- ху за iнерцiєю // Доповiдi НАН України.– 2006.– N 8.– С. 57-66. 10. Семененко В.Н. Компьютерное моделирование ди- намики суперкавитирующих тел // Прикладна гiдромеханiка.– 2000.– Т. 2(77), N 1.– С. 64-69. 42 I.Г.Нестерук, В.М.Семененко

Задачi оптимiзацi дальностi суперкавiтацiйного руху за iнерцiєю з фiксованою кiнцевою глибиною

Institution

Ähnliche Einträge