Анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений
Рассмотрены варианты деформационной теории пластичности, учитывающей влияние гидростатического напряжения и вида девиатора напряжений на механические свойства среды для случая пропорционального нагружения. Основное внимание уделяется обобщенной постановке и исследованию разрешимости нелинейной кр...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2005
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47677 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2005. — № 2. — С. 107-135. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859811651188948992 |
|---|---|
| author | Чирков, А.Ю. |
| author_facet | Чирков, А.Ю. |
| citation_txt | Анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2005. — № 2. — С. 107-135. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Рассмотрены варианты деформационной теории пластичности, учитывающей влияние
гидростатического напряжения и вида девиатора напряжений на механические свойства
среды для случая пропорционального нагружения. Основное внимание уделяется обобщенной
постановке и исследованию разрешимости нелинейной краевой задачи. Установлены условия,
обеспечивающие существование, единственность и непрерывную зависимость обобщенного
решения от приложенных нагрузок.
Розглянуто варіанти деформаційної теорії пластичності, що враховує вплив
гідростатичного напруження і виду девіатора напружень на механічні властивості
середовища для випадку пропорційного навантаження. Основнаувага зосереджена на узагальненій постановці і дослідженні розв’язності
нелінійної краєвої задачі. Установлено умови, що забезпечують існування,
єдиність та неперервну залежність узагальненого розв’язку від прикладених
навантажень.
We discuss variants of the deformational theory
of plasticity, which accounts for the effect of hydrostatic
stress and the type of stress deviator
on mechanical properties of the medium for the
case of proportional loading. The main emphasis
is made on generalized formulation and
study of solubility of a nonlinear boundary
problem. We determine the conditions, which
ensure existence, uniqueness and continuous dependence
of the generalized solution on the applied
loads.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:19:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Анализ краевых задач теории малых упругопластических
деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид
девиатора напряжений
А. Ю. Чирков
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Рассмотрены варианты деформационной теории пластичности, учитывающей влияние
гидростатического напряжения и вида девиатора напряжений на механические свойства
среды для случая пропорционального нагружения. Основное внимание уделяется обобщенной
постановке и исследованию разрешимости нелинейной краевой задачи. Установлены усло
вия, обеспечивающие существование, единственность и непрерывную зависимость обобщен
ного решения от приложенных нагрузок.
Ключевые слова: теория пластичности, гидростатическое напряжение, деви-
аторы напряжений и деформаций, вид девиаторов напряжений и дефор
маций, параметр Лоде, пропорциональное нагружение, краевая задача.
Обобщенная постановка краевой задачи. Пусть исследуемое тело
занимает область Q G R и имеет регулярную границу. Вектор-функции,
описывающие перемещения точек тела и, будем рассматривать как элемен
ты функционального множества и . Множество допустимых тензор-функ
ций для напряжений о и деформаций £ обозначим через X . Полагаем, что
и и X - гильбертовы пространства со скалярными произведениями (-,-)и и%
(•,•)х соответственно. Обозначим через и - пространство, сопряженное к
и , т.е. пространство линейных непрерывных функционалов, определенных
на и . Тогда обобщенная краевая задача теории малых упругопластических
деформаций может быть сформулирована в виде нелинейного операторного
уравнения
%
А (и) = р в и , и е и , (1)
где А: и ^ и - нелинейный оператор теории пластичности; р е и -
линейный функционал, ассоциируемый с работой приложенных к телу нагру
зок. Однако дать аналитическое выражение оператора А невозможно, сущест
вует лить способ его определения с помощью отображения:
А (и): V е и ^ (о (и), £ (V))х = (В (Ви)Ви , В у)х = (а (и), у), (2)
где (•;) - отношение двойственности на и х и ; В - непрерывный линей
ный дифференциальный оператор, действующий из пространства и в X ;
В - нелинейный оператор, отображающий X в себя и устанавливающий
взаимосвязь между напряжениями и деформациями.
Если оператор А обладает свойствами сильной монотонности и лип-
шиц-непрерывности, т.е. существуют два вещественных положительных
числа т и М такие, что
© А. Ю. ЧИРКОВ, 2005
ТХОТ ОЗЗв-Н Ж Проблемы прочности, 2003, № 2 107
А. Ю. Чирков
( л (v) — A (w), v — w) > m || v — w | | 2 , V v ,w Є U ;
| |A(v) — A (w)||u* ^ M || v — w 11и , V v ,w є и ,
то решение уравнения (1) существует и единственно, а также непрерывно
зависит от правой части, а именно от приложенных нагрузок [1, 2].
*
Пусть отображение А: и ^ и - дифференцируемо по Фреше в каждой
*
точке V е и , т.е. существует такой линейный оператор А '(V): и ^ и , что
*11A (v + h ) — A (v ) — A'(v )h |
lim — ---------------- — = 0, V h Є U , (4)
h^0 || h ||u
где A '(v) h = dA (v; h) - дифференциал Фреше оператора v ^ A (v) в точке v
на приращении h є и ; A '(v ) - производная Фреше оператора А в точке
v є и .
*
Замечание 1. Если А: U ^ U - непрерывно дифференцируемое отобра
жение и оператор A '(v ) удовлетворяет условиям
3 m > 0: (A'(v) h, h) > m || h | | ^ , V v,h Є U ;
(5)
^ IVІ І I /"f. І I T T V/ І / П I --- I /
U3 M > 0: 11 A'( v) h | |U» < M || h | U , V v ,h Є U
то существует не более одного решения уравнения (1) при любом р е и .
Действительно, существование и единственность обобщенного реше
ния следуют из свойств сильной монотонности и липшиц-непрерывности
оператора А, которые устанавливаются на основании неравенств (5). По*
скольку А: и ^ и - непрерывно дифференцируемое отображение, то с
использованием формулы конечных приращений получим
(a (v) — A (w), v — ^ = / ( A '(pv + (1 — p )w)(v — w), v — w/)dp > m 11 v ■ w | U
0
V v , w Є U ;
1 (6)
| A (v ) — A (w)||u* = J 11 A'(pv + (1 — p )w)(v — w)|U* dp < M11 v — w| |u ,
0
V v , w Є U ,
2
откуда следует, что А - сильномонотонный и липшиц-непрерывный опера
тор, обладающий сильномонотонным и липшиц-непрерывным обратным_і *
оператором А : и ^ и .
Определим нелинейный оператор Ф : X ^ X с помощью отображения
Ф: X ^ Ф ( = В (ц )^. (7)
108 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 2
Анализ краевых задач
Если предположить, что ̂^ D ( - непрерывно дифференцируемый по
Фреше оператор, то в соответствии с правилами дифференцирования слож
ных отображений дифференциал d Ф ( л ) оператора Ф в точке ^ Є X на
приращении л Є X имеет вид
d Ф( ̂ ; л ) = Ф'( ̂ )л= dD( ̂ ; л ) ̂ + ^ ( ̂ ) л , (8)
где Ф'(^) - производная Фреше оператора Ф в точке ^Є X ; dD( ;̂ л ) -
дифференциал Фреше отображения D( ̂ ) на приращении л Є X .
С учетом того что В - непрерывный линейный оператор, получим
А'(V) Н = dA(V; Н): w ^ (dФ(Ву; ВН), Bw)X =
= (Ф'(Ву)ВН, Bw)X = (а'(V) Н, ^ ^ V,Н,w Є {7. (9)
Лемма. Пусть отображение Ф: X ^ X - непрерывно дифференцируемо
по Фреше и производная Ф '(положительно определена и ограничена при
всех ^ Е X, т.е. существуют два вещественных положительных числа т, М
такие, что
(Ф'(^)Л, Л)X ^ т ||л ||Х , ^ , Л Е X ; (10)
II Ф '(^) Л II х ^ м II Л II х , ,Л Є X. С11)
*
Тогда определяемый из соотношения (2) оператор А: U ^ U является
сильномонотонным и липшиц-непрерывным.
^ Пусть ^ = Bv и л = Bw для любых v , w Є U . В соответствии с (9) и
условием положительной определенности оператора Ф '(^) находим
(A'(v )w,w) = (Ф '(^ ) л , л ) х — ш IIЛ11X = ш II w II^, V v , w Є U . (12)
*
Кроме того, по определению нормы в пространстве U имеем
,, ,,, ) ,, l<A'<v) w, h)l !(ф '( ? ) л , Bh)XI V Є U
IIA (v ) w I I . = sup -----——------- = su p ------- — —--------- , V v ,w Є U , (13)
U hЄ u I I h l I U hЄU I I B h l I X
откуда ввиду ограниченности оператора Ф'(^) получим
| | А'(у) | | и* — || Ф'(^)л|| X — М|| л || X = М| | w| | и , V у ,^ Е и . (14)
С учетом (5) имеем неравенства (3) как следствие приведенных выше
неравенств (12) и (14). ►
Классические соотношения деформационной теории пластичности.
Пусть о = (о у ) (1— I, ] — 3) - тензор напряжений, представленный в виде
двух составляющих: о = о^ + о п , где о^ - шаровой тензор; о п - девиатор
напряжений. Тензор малых деформаций £ = (£ у ) (1 — I, ] — 3) по аналогии с
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2005, № 2 109
А. Ю. Чирков
тензором напряжений допускает разложение вида: £ = £ $ + £ $ , где £ $ -
шаровой тензор; £п - девиатор деформаций. В деформационной теории
пластичности изотропных материалов [3, 4] принимается, что изменение
объема является чисто упругим, девиатор напряжений а $ в процессе
деформирования - пропорционален девиатору деформаций £ п в каждой
точке рассматриваемого тела. Тогда
где к 0 - модуль объемной деформации; Б (£) = а (£)/3£ - секущий модуль
сдвига; а , £ - интенсивности девиаторов напряжений и деформаций. При
этом постулируется гипотеза о единой не зависящей от вида девиатора
напряжений а $ функциональной зависимости между интенсивностями
напряжений а и деформаций £, которая характеризует диаграмму дефор
мирования материала:
Что касается единственности решения краевой задачи, то функциональ
ная зависимость (16) должна удовлетворять условиям:
где Б о - начальный модуль сдвига. Неравенства (18) допускают простую
геометрическую интерпретацию. Для всех £ кроме, быть может, конечного
числа изолированных точек касательный модуль
строго положителен и не превышает секущий модуль Б (£), который, в свою
очередь, не превышает начальный модуль сдвига Б о.
Полагаем, что рассматриваемое тело может быть неоднородным, его
упругие и пластические свойства могут зависеть от координат х 6 Й Функ
ция х ^ / (х ,£) измерима и ограничена на ^ при всех £. Во всех точках
области ^ кроме, быть может, множества меры нуль функция £ ^ / (х ,£)
непрерывна и имеет ограниченную производную 4 / (£)/d £.%
Определим нелинейный оператор А: и ^ и с помощью отображения
А (и): V Є и ^ (о (и), £ (V))х - (Б (£ (и))Ви, Ву)х - (Л(и), у) , (20)
(15)
0 - / (£)- (16)
Таким образом, поведение материала описывается уравнением
о - к 0 £ $ + 20 ( £ ) £ п . (17)
(18)
(19)
110 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2
Анализ краевых задач
где Б - нелинейный оператор, отображающий X в себя и устанавлива
ющий взаимосвязь между напряжениями и деформациями. Оператор Б:
X ^ X определяется соотношением
где л $, л д - шаровая и девиаторная составляющие произвольного тензора
деформаций л Є X .
Элементы л $, л д обладают такими свойствами:
где (•,•)- скалярное произведение, определенное сверткой тензора л Е X .
Функционал е зададим с помощью выражения
Теорема 1. Если функция 7 = / (е), описывающая кривую деформиро
вания материала, удовлетворяет условиям (18), то оператор ^^Ф '(^) явля
ется положительно определенным и ограниченным при всех ^Е X .
Л Сделанные выше предположения о свойствах функции 7 = / (е )
обеспечивают дифференцируемость по Фреше оператора ̂^ Б (^). Согласно
(2 1 ) и правилам дифференцирования сложных отображений, имеем
где й е ( л ) - дифференциал отображения ^Е X ^ е(^ ) на приращении
Л Е X .С использованием соотношения (23) находим
и, следовательно, выражение для ад(V; л ) X можно представить в виде
V л Є х ^ д (е(^)) л = Л $ + (£ (^)) л д , (21)
(л $ , л О ) = (л О , л $ ) = 0;
II л $ II2 = (л $ , л $ ) = (л $ , л ) = (л , л $ );
II л О ||2 = (л О , л О ) = (л О , л ) = ( л л О );
Iі л Н2 = Н л $ Н2 + Н л о П2,
(22)
(23)
а д (V; л )Х = 2^ ^ ~ а£(V; л )XО, л ,Х Є х ,а £ (24)
а £(V; л ) = (£ '(V), л ) =
2 (V д , л д )
3 )
У?, л Є X , (25)
У^, л ,ХЄ X . (26)
/5 5 # 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 2 111
А. Ю. Чирков
Тогда с учетом равенства
ёС ( £) ё — С
~ И Т = — (27)
на основании формул (8), (26) и (27) получим
Ф'(v)V = 2 (ё — С) (V° ’ V|°2 ) Vи + и (V)V, ^ х ■ (28)
IIVи II
Исходя из последнего равенства для любых V,V,Х ^ X имеем
ч ч и , Vи )(Vи , X и ) , , , ч ч
(Ф (V)V,X) = 2(ё — С )-------- "----- -2-------- + ко(V^ , X ̂) + 2С(V и ,XиX (29)
11V и 11
откуда следует
(ф '< л ^ х ) = (ф ' ^ ^ хХ ^ ^ х ^ X , (30)
т.е. Ф' (V) - самосопряженный оператор при всех v £ X ■
Таким образом, для произвольных V, V ^ X находим
(Ф'(V)V, V) = 2 (ё — С ^о1|V^ I|2 + 2 С ||Vи II2 . (31)
11Vи ||
В соответствии с неравенством Коши-Буняковского-Шварца получим
I(v и , 1Л и )| — Н V и ПН 1Л и Н, Vv и , 1Л и ^ X ■ (32)
Кроме того, согласно условиям (18) выполняется неравенство
ё — С — 0. (33)
Тогда из равенства (31) следует
( ф ' ^ ^ , V) ^ к о I ^ | |2 + 2 ё | IV и | I2 ^ 2ё | IV! I2 , Vv, ̂ X , (34)
что приводит к неравенству (10 ) с постоянной т = 2 vrai min min g (x ,£) > 0 .
xë Q £
Для доказательства неравенства (11) заметим, что при фиксированном
^ Е X оператор Ф'(^) самосопряжен и положителен и, следовательно, его
норма определяется выражением
м, ( Ф'(^) * , Ц X W ^II Ф (^) П X = sup----- — — 2-------, V ^ E X . (3 5 )
ЦЕХ HЦ hX
112 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, N 2
Анализ краевых задач
В соответствии с (31)-(33) имеем
(Ф'(^)ц, ц) < к 0 |\ц 5 \\2 + 1 в \|ц п \|2 < к 0 | |ц| |2 , / / е X , (36)
что приводит к неравенству (11) с постоянной М = уга1шах к о (х ) < °°. ►
хей
Учет гидростатического напряжения в задачах деформационной
теории пластичности. Влияние шарового тензора напряжений на сопро
тивление материалов деформированию обнаружено Лоде, Бриджменом и
другими авторами при испытаниях углеродистых и специальных сталей,
чугуна, бронзы, меди, магния, латуни, стекла, полимеров, грунтов и т.п.
Анализ экспериментальных данных свидетельствует о расхождении обоб
щенных кривых деформирования о — £ и изменении объема при неупругом
деформировании материала. Систематический обзор экспериментальных
исследований влияния гидростатического напряжения на процесс деформи
рования конструкционных материалов содержится, например, в [5].
Расхождение обобщенных кривых деформирования, построенных по
результатам опытов на растяжение-сжатие, влияние величины гидростати
ческого давления и другие аналогичные эффекты, если они проявляются для
данного материала, обычно учитывают путем введения в функциональную
зависимость о — £ среднего нормального напряжения о о либо средней
деформации £0. В свою очередь, в соотношения о 0 — £ 0 в качестве одного
из аргументов вводят о или £. В этом случае функциональные зависимости
между инвариантами можно представить в следующем виде:
£ 0 = х ( о 0 , о ) ; £ = ^ (о 0 , (37)
где х = Х (о0 ,о ), ^ = (о 0 ,о ) - универсальные функции, не зависящие от
вида девиатора напряжений и определяемые по данным экспериментов на
кручение тонкостенных трубок или на растяжение-сжатие цилиндрических
образцов в камере с давлением.
Если предположить, что существуют функции р = р (£ 0 ,£), / = / ( £ 0 ,£),
обратные по отношению к указанным выше универсальным функциям, то
альтернативные соотношения могут быть записаны в виде
о 0 = р (£ 0 , £); о = I (£ 0 , £Х (38)
причем в области упругих деформаций
р (£ 0 , •) = к 0£ 0 ; / (•, £) = 30 0 £, (39)
где к 0 , О0 - начальные модули объемной деформации и сдвига соответ
ственно.
Предположим, что в процессе деформирования девиатор напряжений
о п пропорционален девиатору деформаций £ п в каждой точке рассмат
риваемого тела. Тогда с учетом зависимостей (38) получим
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 2 113
А. Ю. Чирков
о 5 = к( £ 0 , £ ) £ 5 ; о В = 2 в ( £ 0 , £ ) £ В , (40)
где _
, , Р (£0 ,£) _ _ч / (£ 0 , £)
к(£ 0 ,£) = ----------- , в (£ 0 ,£) = — —— (41)£ 0 3 £
- секущие модули объемной деформации и сдвига соответственно. Отсюда
следует, что поведение материала описывается уравнением
о = к (£ 0, £) £ 5 + 2 в ( £ 0, £) £ В . (42)
Уравнение (42), являющееся обобщением классических соотношений
теории малых упругопластических деформаций, предложено в [6] для учета
влияния шарового тензора напряжений на механические свойства среды.
Что касается единственности решения краевой задачи, то согласно [6]
универсальные функции (38) должны удовлетворять условиям
до 0
0 < - — < к , к < к0 < » ; (43а)
д£ 0
д О
0 < — < 3 в , в < в 0 < °°; (43б)
д£
\ 2
дО0 д О > _ 1 1 1 ° + 3 дО0
д£ 0 д £ 1 2 1д£ 0 д£
(43в)
При выполнении условий (43) существует взаимно однозначное соответ
ствие между первыми и вторыми инвариантами тензоров напряжений и де
формаций, поскольку функции £ 0 = ^ ( о 0 ,О), £ = ^ (о 0 ,о) и о 0 = р (£0,£),
о = / (£ 0 , £) взаимно обратимы, и, значит, напряжения можно выразить
через деформации, и наоборот.
Следует, однако, иметь в виду, что приведенная в [6 ] теорема единст
венности носит “локальный” характер, так как ее доказательство построено
в предположении “близости” двух возможных состояний упругопластичес
кого тела. Другими словами, при выполнении условий типа (43) не могут
существовать два решения задачи, отличающиеся на “малую” величину.
Покажем, что условия (43) обеспечивают однозначную разрешимость крае
вой задачи глобально, т.е. независимо от “близости” двух возможных состоя
ний упругопластического тела.
Существование и единственность обобщенного решения. Полагаем, что
рассматриваемое тело может быть неоднородным, а его упругие и плас
тические свойства зависят от координат х е О . Функции х ^ р ( х ,£0 ,£),
х ^ / (х , £ 0 , £) измеримы и ограничены на О при всех £ 0 , £. Во всех точках
области О кроме, быть может, множества меры нуль функции £ 0 , £ ^
^ р (х ,£0,£), £0, £ ^ / (х ,£0,£) непрерывны и имеют ограниченные частные
производные.
114 0336-17IX. Проблемы прочности, 2003, № 2
Анализ краевых задач
*
Определим нелинейный оператор А: и ^ и с помощью отображения
А (и):V е и ^ (о (и), £(V))х = (В (£о(и), £(и))Ви , B v)х = (а (и), V) , (44)
где В - нелинейный оператор, отображающий X в себя и устанавливающий
взаимосвязь между напряжениями и деформациями.
Оператор В: X ^ X определяется выражением
ц ц Є х ^ д ( £о(цХ £ (Ц)) ц = £(£о(цХ £(ц)) ц ^ + 2С(£о(цХ £ (Ц)) ц д , (45)
где шаровая л $ и девиаторная /л в составляющие произвольного тензора
деформаций л е X обладают свойствами (22).
Функционалы £ о и £ зададим с помощью соотношений
Теорема 2. Если функции о 0 = р( £ 0, £) и о = / (£ о, £), описывающие
поверхности упрочнения материала, удовлетворяют условиям (43), то опе
ратор ц ^ Ф'(ц) является положительно определенным и ограниченным при
всех ц Є X .
Л Сделанные выше предположения о свойствах функций р = р (£ о, £)
и / = / (£ о, £) обеспечивают дифференцируемость по Фреше оператора
ц ^ д(ц ). Согласно (45) и правилам дифференцирования сложных отображе
ний для произвольных ц, ц, ̂ Є X имеем
где й£о(ц;л), Л£(ц;л) - дифференциалы отображений ц е X ^ £ 0 (ц),
ц е X ^ £( ц) на приращении л е X .С использованием соотношений (46)
для любых ц, л е X находим
ц Є х ^ £о(ц) ^^ з11 II; ц Є х ^ £ (ц) =
і
цд | | . (46)
(47)
й £(ц;ц) = (£'(ц), ц ) =
й£о(ц ; ц ) = (£о(цХ ц ) =
= 1 (ц л , ц л ) = 1 (ц л , ц л ) .
3 £ о(ц) л/3 11 ц л 11 ;
2 (ц д , ц д ) =(ц д , ц д )
3 £(ц) 11 ц д 11 ,ц д
и, следовательно, выражение для ЛВ(ц; л ) X можно представить в виде
ОЗЗб-}? .̂ Проблемы прочности, 2005, N 2 115
А. Ю. Чирков
аЮ( п; л ) X -
л/3
дк(£ о , £ ) ( П $ , /л $ ) + ^ 2 дк(£ о , £ ) ( П п , Л п )
д£< II п $ I д £ 11 п п 1
+ _2_ |"д 0 ( £ о , £) (П $ , Л $ ) + ^ д 0 ( £ о , £ ) ( П п , Л п )
л/31 д£ о 11 п $ 1 д £ 1 1 п п 1
X п, V п,Л,Х Є х • (49)
Введем для удобства записи следующие обозначения:
к о -
8 о
д1 (£о ,£ ) ,
д£ о ;
1 д / (£ о , £ ) ;
3 д£ о '
~ д^ (£о ,£)
к - ------ =— ;д £
_ _ 1 д / (£ о , £ )
8 3 д £ •
(5о)
Тогда с учетом равенств
дк(£ о ,£) к о — к
д£ о £ о
д0( £ о, £) - 8 — 0
д£ £
дк(£ о , £ ) _ к
д£ £о ;
д0( £ о, £) - го,
£д£
(51)
о
на основании формул (8), (49)—(51) для произвольных п, Л Є X получим
, ^ и ч , ч(п$ , Л $ ) , р;т (пп , Л п ) ,
Ф (п) Л - (ко — к ̂ п $ + V2 к м„ , п $ +
I I п $1 I ‘ 1 | п $ I | | | п п
, (п $ , Л $ ) , ^ - ^ч(п п , Л п ) , ^ ч
+ л/2 8 о ||п _ || ||п 11 пп + 2 ( 8 — 0 ) ,,__ 2 пп + п ( п)Л. (52)
| |п$ || | |пп IIП п ||2
Следовательно,
( Ф '(п)Л Л ) - (ко — к) , |2
II п $ | | 2
(п$ , Л $ )2 , / ^ Г , ч(п$ , Л $ ) (пп , Л п ) ,
— -----+ V2 ( к + 8 о ) -------------, | Мп и------ +
|| п$ НН П п ||
+ 2 (8 — 0 ) (П п , Л п2) + к || | |2+ 2 0 || Л п | |2, ^ п ,Л Є х . (53)
|| п п ||
В соответствии с неравенством Коши-Буняковского-Шварца, имеем
|(п $ , Л $ )| —|| п $ || || Л $ ^ v п $ , Л $ Є х ;
|(пп , Л п )| — 11 пп 11 11Лп 11 , ^ пп ,Л п Є х •
(54)
1
116 /ЗОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2
Анализ краевых задач
Кроме того, согласно условиям (43а,б) выполняются неравенства
h0 - k < 0; g - G < 0. (55)
Тогда для произвольных л Е X из равенства (53) следует
( Ф'( п) ß , ß ) ^ ho II ß s II2+ 2g IIß d II2 - V 2 |h + g о I II ß S II II ß d II- (56)
Покажем, что если выполняются условия (43), то 5 - положительно
определенная матрица. Действительно, след &(5 ) и определитель ёе1;(5)
матрицы 5 определяются по соотношениям
Тогда при условии & (Б ) > 0 наименьшее собственное значение матрицы 5
вычисляем из формулы
Таким образом, получаем необходимые и достаточные условия положи
тельной определенности матрицы 5:
Сопоставляя полученные неравенства (60) с (43), можно заключить, что
они эквивалентны, и, следовательно, неравенство (10 ) выполняется с посто
янной m = vrai min min ô (x , £ о, £ ) > 0 .
xEQ £о,£
Для доказательства неравенства (11) заметим, что при фиксированном
^Е X оператор Ф'(^) не является самосопряженным и, значит, его норма
определяется выражением
Введем в рассмотрение симметричную матрицу
1 -
v J Ih + g о
2g
(57)
- _ 1 - 2
tr ( S ) = ho + 2g ; det( S ) = 2ho g - 2 ( h + g о) - (58)
/
(59)
ho > 0; g > 0; 4ho g > ( h + g о)2- (60)
(61)
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2005, № 2 117
А. Ю. Чирков
В соответствии с (52) имеем
| |Ф'(^)ЛII2 = (Ао2 - ^ + 2? о") ■ +
\п S
+ 2[h 2 + 2( g 2 - G 2)]( П D ’ Л D2) + 2V2( h0 h + 2g 0 g ) ( V S Л S П D \ Л D ) +
|^в |Г | |^^ || | |^в
V ^, л Е X .
С использованием неравенств (54) и (55) получаем
I 7 2 11 112 . л г , 2 11 112+ k \ \л s \\ + 4G \\л d \\ (62)
|| Ф '(^ ) Л ||2 — (к 2 + 2g 2 ) | | Л ̂ ||2 + 2(20 2 + А 2 ) | | л в ||2 +
+ 2л|2 | Ао А + 2g о g | || л ̂ || || л в ||, V ^, л Е X.
Тогда, если коэффициенты симметричной матрицы
к 2 + ^ о ^ 2 | А о А + ^ оg
л/2| Ао А + 2gоg | 2 (2 0 2 + А 2 )
(63)
q = (64)
ограничены на ^ , приходим к неравенству (11) с постоянной М <ю.
Действительно, пусть Д - наибольшее собственное значение матрицы Q.
Покажем, что справедлива оценка
Д < 2 ( k о2 + g о2 + h 2).
С учетом соотношений
гг& ) = к 2 + 2gо + 2 (2 0 2 + А 2 );
det(Q) = 2[( к 2 + 2g о2 ) (20 2 + А 2) - (Ао А + 2g о g )2 ]
(65)
(66)
наибольшее собственное значение матрицы Q определяется выражением
/ N1
Д = -
2
tr (Q ) + V( tr (Q ))2 - 4det(Q ) (67)
Учитывая, что по условию теоремы к > Ао и 0 > g, получаем оценку _ — 2
det(Q ) > 4(Аоg - Аgо) > о и, следовательно, на основании формулы (67)
приходим к неравенству Д — г г ^ ). Поскольку к — к о и 0 — 0 о ,то г г ^ ) —
— к2 + 2g2 + 2 (2 0 2 + А 2 ), что приводит к оценке (65). Таким образом, име-
ем неравенство (11) с постоянной M = vraimaxmax^/ Д (х , £ о, £ ) < те. ►
118 ZSW 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 2
Анализ краевых задач
Замечание 2. Эквивалентную форму записи условия (43в) получим из
неравенства (56) с учетом »-неравенства
2 || V ̂|| || V и 11 — » IIV £ II ̂ IIV и II , V» > 0 , V v ̂ , V и 6 ■ (6 8 )»
Тогда для любого ю > о имеем
Эа (
Эг о
>
ю
3V2
Эа
Э£(
■ + 3-Эа о
Эг
Эа 1
>
Эг 2л/2,ю
Эа
Эг
■ + 3-Эа о
Эг (69)
Замечание 3. Анализ определяющих соотношений (42) для случая
простого нагружения выполнен в работе [7]. Там же приведены примеры
построения универсальных функций (42), удовлетворяющих условиям (43).
Замечание 4. Функциональные зависимости между инвариантами можно
представить в следующей форме:
а о = р ( г о ,а); а = / ( г >а о )> (70)
где р = р (г о, а ), / = / (г , а 0) - функции, описывающие поверхности
упрочнения материала. В этом случае кривые деформирования а о = а о( г о),
а = а (г ) представляют собой геометрическое место точек пересечения ука
занных поверхностей плоскостями а / а о = const, что упрощает планиро
вание и проведение эксперимента для построения зависимостей (7о).
По аналогии с (4о)-(42) уравнения состояния материала запишем в виде
а = к (г о, а ) г s + 2G( г , а о) г D , (71)
где к(г о , а ) и G(г , а о ) - секущие модули объемной деформации и сдвига
соответственно,
_ ч Р (г о ,а ) ч / ( г , а о ) „ .
к( г о , а) = ------------ ; G( г >а о) = — 1=— . (72)г 3г
Существование и единственность обобщенного решения. Полагаем,
что рассматриваемое тело может быть неоднородным, а его упругие и
пластические свойства зависят от координат х 6 0 . Функции х (х ,£ о ,о),
х ^ / (х ,£,о 0 ) измеримы, а х ^ к (х ,£0 , о ), х ^ С (х ,£,о 0) измеримы и огра
ничены на О при всех £ 0 , £, о 0 , о. Во всех точках области О кроме, быть
может, множества меры нуль функции £ 0 , 0 ^ < р (х , £ 0 , о), £, о 0 ^ / (х , £, о 0 )
непрерывны и имеют ограниченные частные производные.*
Определим нелинейный оператор А: и ^ и с помощью отображения
А (и): V 6 и ^ (о (и), £ (V))X =
= (и (£0(и), £ (и), о 0 ( и ), о (и))Ви , B v)X = ( а (и), V), (73)
ТХОТ 0556-17^. Проблемы прочности, 2005, N 2 119
А. Ю. Чирков
где В - нелинейный оператор, отображающий X в себя и устанавливающий
взаимосвязь между напряжениями и деформациями. Оператор В: X ^ X
определяется выражением
^ / < £ х ^ В (£0(^), ё(^), а 0(^), ° (^))м =
= £(£о(^), а (^))М̂ + 2О(£(^ а 0 (^))МВ , (74)
где м 5 , м в - шаровая и девиаторная составляющие произвольного тензора
деформаций X . Элементы м 5 , м в обладают свойствами (22).
Теорема 3. Если функции а 0 = р (£ 0, а ) и а = / ( £ , а 0), описывающие
поверхности упрочнения материала, удовлетворяют условиям
Эр
Э£ 0
° < Эр Э/ < ^ * < ^ 0 < “ ; (75а)
1 ЭО Эа 0
0<
1 -
/
Э£
Эр Э/
Эа Эа 0
(75б)
Эр Э/ ( _ / _ _Эр Э р /
Э£ 0 Э£ 12^Эа0 Э£ 0 Эа Э£
(75в)
то оператор ] ^ Ф ' ( ] ) является положительно определенным и ограни
ченным при всех ] е X .
^ Сделанные выше предположения о свойствах функций р = р (£ 0 ,о )
и / = / ( £ , о 0) обеспечивают дифференцируемость по Фреше оператора
] ^ В (]) . Согласно (74) и правилам дифференцирования сложных отобра
жений для произвольных ] , л , % е X , имеем
Э̂&(£0 ,а ) Э&( £0 ,а ) _
йВ( м ) х = | — --------й£ 0 ( М) + ----- —---- й а ( м )
̂ Э£0 Эа
, ^ ЭО(£,а0 ) ч , ЭО(£,а0) , , ч
+ 2 | ----- —-----й £ (^; м) + — :---------йа 0( ̂ ; м )
I Э£ Эа0 (76)
2
где й£0(]; л ) и й£(]; л ) - дифференциалы отображений ] е X ^ £ 0(] ) и
] е X ^ £(] ) на приращении /л е X , определяемые соотношениями (46);
йо0(]; л ) и йо(] ;л ) - дифференциалы отображений ] е X ^ о 0(] ) и
] е X ^ о( ] ) на приращении л е X .
120 /5*5^ О ЗЗб-П ^. Проблемы прочности, 2005, № 2
Анализ краевыгх задач
С использованием зависимостей (70) получим
д^ д( ̂ _ _ д / _ д /
dо о = -----dє о Н— гг d о ; d о — - з d є Н--------do о , (7 7 )
дв о до дє до о
откуда следует
дФ д<р д/
dє о + —з -г- d є
dо о —
п н _ _ дв о до дв
1 —
д<р д/
до до о
d о —
д / д / д<р ,
— d є Н-------------dє о
дє до о дє о
1 -
д<р д /
до до о
(78)
Введем для удобства записи следующие обозначения:
ко
ко =
& о
д1 (є о>о ) . к = д^ (є о , о ) .
дє о ’ до ; ” и 1 - 3к&о
1 д / (є ,о о) - 1 д / (є ,о о ) - &
ко =
3 до &
о 3 дє & о
1 - 3к&
(79)
Тогда с учетом равенств
дк(є о,о ) ко — к
дє о є о
дО(£, о о) & — С
дє — ? є
дк(є о , о ) _ к
до є о .
дС(є ,о о) _&о
єдо о
(8о)
на основании формул (8), (48), (76)-(8о) для произвольных V, л Є X полу
чим
Ч /Г м ( ̂ Б , Л 5 ) , О /^Г- ( ̂д , Л ̂ ) ,Ф (^) Л = (ко — к )— -----— V Б + 3^ 2 к& I V Б +
І V Б ІV БІІІІV д
, я - (v Б , л Б ) , д , л д ) , ^ ч
2& о к о , „ , , , „ , V д + 2( & о — С ) — -----V д + д ( V) л- (81)
ІV Б ІІІІV д ІV д
Значит,
(Ф'( V) л , л ) = (ко — к + л/2(3к&о + & о к о ) ^ ^ ^ ^ ^ ^ Н
ІV Б V Б 11 ІІV д
, ^ Ч ^ д , Л д ) ,711 | | 2 , ^ | | | 2
+ 2(&о — С) ■ ~2 + к ІІ Лб іі +2С іі Л д ІІ
ІІ V д ІІ2
(82)
1& ^ 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 2 121
А. Ю. Чирков
Согласно условиям (75а,б) имеем
h, - £ < 0; g о - G < 0. (83)
Тогда с учетом неравенств (54) и (83) для произвольных ц, л е X из равен
ства (82) следует
(Ф ' ( ц) л , л ) ^ Ао11 л $ II2+ 2^оП л в Н2 - /2 ^ 0 + £ о ко1 II л $ II II л в II- (84)
Введем в рассмотрение симметричную матрицу
h0 V2
2g0
S =
1 -
^ l 3 hg о + g о ho
1 -
^ÿ2|3hg о + go h0
(85)
Покажем, что условия (75) обеспечивают положительную определен
ность матрицы Б . Действительно, след & (Б ) и определитель ёе1;(Б ) матри
цы Б находятся по соотношениям
- _ - _ 1 2
(г(Б) = ко + 2£о; ^ (Б) = 2^ого - 2 (3к8о + £о^о) ■ (8 6 )
Следовательно, на основании формулы (59) получаем необходимые и доста
точные условия положительной определенности матрицы Б :
ho > 0; g о > °; 4hog о > (3hg о + g о ho ) . (87)
Сопоставляя неравенства (75) и (87), можно заключить, что они экви
валентны. Тогда неравенство (10) выполняется с постоянной m = vrai min
x£Q
min ö (x , £ о, £, о о, о ) > 0 , где ö - наименьшее собственное значение мат-
£о,£,оо,о
рицы S .
Для доказательства неравенства (11) заметим, что при фиксированном
^Е X оператор Ф'(^) не является самосопряженным и, значит, необходимо
оценить сверху ||Ф'(^)л || при всех ^ Е X .
В соответствии с равенством (81) находим
11Ф'(^)л 112 = (h2 - к 2 + 2gо2 h0 ) (^s , ЛS2) + 2 [9h2g о2 +
||?s 112
+ 2( g о2 - G 2 )]( V D , ^ D2) + 2л/2 g о h0(3h + 2g о ) ^ ^ ^ +
122
^ S ll ll П D
ISSN 0556-I7IX. Проблемы прочности, 2005, № 2
Анализ краевых задач
+к 2| | л | 2 + 4G 2| | /л d| | 2 , V ,u £ X. (8 8 )
С использованием неравенств (54) и (82) получим
W ф '<л)лН2 - ( к 2 + 2g оhо2) W ЛS | |2 + 2 ( 2 G 2 + 9h 2g 2 ) W л D | |2 +
+ 2-12g оhо 13h + 2gо| ||Лs | | | | Лd ||, V^, л £ X. (89)
Для выполнения неравенства (11) достаточно, чтобы коэффициенты симмет
ричной матрицы
Q = к 2 + 2g о h О2 ^ g 0 h 0 |3h + 2g О
V2 go ho |3 h + 2g o| 2(2G 2 + 9h 2 g o2)
(9o)
были ограничены на множестве ^. Действительно, пусть Д - наибольшее
собственное значение матрицы Q. Покажем, что справедлива оценка
Д - 2(ко + ё о ̂ + 9^ 2ё 0 ). (91)
С учетом соотношений
1-2(20 2 + 9Н 2 ё о2);
(92)
tr (Q ) = к 2 + 2g o2 ho2 + 2(2G 2 + 9h 2 g o2);
det(Q ) = 2[( k 2 + 2g o2 h o )(2G 2 + 9h 2 g o2) - g 2 ho2 (3h + 2g o)2]
и неравенств k > ho и G > g o получаем оценку
det(Q) > 4g2ho2 (1 -3 h g o ) 2 > o (93)
и, следовательно, на основании формулы (67) приходим к неравенству
Д < tr (Q ). Кроме того, по условию теоремы k < k o и G < Go < ko/2 и,
значит, имеем оценку (91). Таким образом, справедливо неравенство (11) с
постоянной M = vrai max max ^ Д (x , £ o , £, o o, 0) <œ. ►
x£Q £o,£,o o,0
О разрешимости краевых задач деформационной теории пластич
ности, учитывающей вид девиатора напряжений. При построении клас
сических уравнений теории малых упругопластических деформаций посту
лируется гипотеза о единой не зависящей от вида девиатора напряжений o D
функциональной зависимости между интенсивностями напряжений 0 и
деформаций £, которая характеризует диаграмму деформирования материала:
0 = f ( £ ). (94)
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 2 123
А. Ю. Чирков
В то же время в работах Е. Дэвиса и Ю. И. Ягна, И. Н. Виноградова и
О. А. Шишмарева, а также других авторов показано, что существуют
конструкционные материалы, для которых указанная гипотеза эксперимен
тально не подтверждается. Результаты экспериментальных исследований
влияния вида девиатора напряжений на характер изменения обобщенных
кривых деформирования материала о — £ содержатся и в более поздних
работах [8-10].
Вид девиатора напряжений характеризуется параметром Лоде Яо , кото
рый определяется по выражению
Яо = 2 О2 — О3 — 1, — 1,1], (95)
о 1 — о 3
т.е. является функцией главных напряжений о 1 > о 2 > о 3 и связан с треть
им инвариантом девиатора напряжений I з (о и ) следующими соотноше
ниями:
= -агссо8
О 3
3V3 13(о и )
2 Ь 2 ( о и ) .
(96)
где 1 2(о и ) - второй инвариант девиатора напряжений, однозначно выража
ющийся через интенсивность напряжений о = д/312( о и ).
Предположим, что на основе экспериментального изучения свойств
деформирования материала построена определенная функциональная зави
симость о — £, включающая Яо на участке упругопластических деформа
ций:
о = Г (£, ). (97)
При этом полагаем, что шаровой тензор не влияет на характер измене
ния обобщенных кривых деформирования. Тогда, если принять, что измене
ние объема - чисто упругое, а девиаторы напряжений о п и деформаций £ и
подобны, введение параметра Яо в функциональную зависимость о — £
позволяет учесть влияние вида девиатора напряжений на механические
свойства среды при исследовании упругопластического деформирования
материала в рамках принятых допущений.
Согласно принятому допущению о пропорциональности девиаторов
напряжений и деформаций, главные оси напряжений и деформаций совпа
дают и, следовательно, Яо = Я£, где Я£ - параметр Лоде, определяемый
выражением
Я£ = 2 — 1, Я£ е [—1, 1]. (98)
£1 £ 3
Исходя из этого функциональную зависимость (97) можно представить
в виде
о = / ( £ , Я£), (99)
124 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2
Анализ краевых задач
причем в области упругих деформаций
/ (£ ,•) = 3С 0 £. (100)
В соответствии с принятыми выше допущениями об упругом измене
нии объема и пропорциональности девиаторов напряжений и деформаций
имеем
о £ = к0££ ; о и = 20 (£, Я£ ) £и , (101)
где к0 - начальный модуль объемной деформации; С (£,Я£) - секущий
модуль сдвига,
/ (£, Я£)
С (£, Я£) = з_ ^ , (102)
откуда следует, что поведение материала описывается уравнением
о = к0££ + 2С (£, Я£)£и . (103)
Существование и единственность обобщенного решения. Полагаем,
что материал изотропный, а рассматриваемое тело может быть неоднород
ным, т.е. его упругие и пластические свойства могут зависеть от координат
х 6 0 . Функция х ^ / (х ,£,Я£) измерима и ограничена на О при всех £, Я£.
Во всех точках области О кроме, быть может, множества меры нуль
функция £, Я£ ^ / ( х ,£,Я£) непрерывна и имеет ограниченные частные
производные.
%
Определим нелинейный оператор А: и ^ и с помощью отображения
А (и ): V 6 и ^ (о (и), £ (V))X = (Б ( £ (и), Я£(и))Ви , B v )X = (А(и), у) , (104)
где Б - нелинейный оператор, отображающий X в себя и устанавлива
ющий взаимосвязь между напряжениями и деформациями. Оператор Б :
X ^ X определяется из выражения
V,V 6 X ^ и (£ (VX Я£(V)) V = к0V £ + 2С(£(V), Я£(V)) V и , (105)
где л $ , л р - шаровая и девиаторная составляющие произвольного тензора
деформаций X , обладающие свойствами (22).
Теорема 4. Если функция а = / ( £ , Я£), описывающая кривые дефор
мирования материала, удовлетворяет условиям
3 + Я2
Т3£
Эст
ЭЯ,
Эст
< — < 3G;
Э£
G < G о < (106)
то оператор ^ ^ Ф ' ( ^ ) является положительно определенным и ограни
ченным при всех X .
ISSN 0556-171X. Проблемыы прочности, 2005, N 2 125
А. Ю. Чирков
Л Сделанные выше предположения о свойствах функции / = / (£ ,Я£)
обеспечивают дифференцируемость по Фреше оператора ч ^ В (ч). Согласно
(Ю5) и правилам дифференцирования сложных отображений, имеем
„ [ 2 д0(£, Я£ ) ( ч в , л в ) , д0(£, Я£) „ , ,
йВ (ч;л)Х = 2 Л -------—---------------— + ---- -------- йЯ£ (ч;л)
3 д£ || ч в 11 дЯ£
V ч, л , ХЕ X ,
где й Я£(ч;л) - дифференциал отображения ч ^ Я £(ч) в точке ч Е X на
приращении л Е X .
Введем для удобства записи следующие обозначения:
_ 1 3 / ( £ , Я£ ) 1 д / ( £ , Я£ )
g = ; g Я = 3 дЯ̂ • (1о8)
Тогда с учетом равенств
д0(£ , Я£ ) g - 0 д0(£, Я£ ) g я
д£ £ ’ дЯ (Ю9)
на основании формул (8 ), (Ю7)-(Ю9) для произвольных ч, л Е X получим
ч „ Л ч в , л в ) , /7 йЯ£(ч; л ) , ^ ч
Ф (Ч) л = 2(g - 0 чв + V6 g Я и и чв + в ( Ч) л. (1 1 о)
|| ч в | | 2 НЧвН ̂ }
Следовательно,
ч Ч ^Ч(ч в , л в )2 , /7 ,,, , , (ч в , л в ) ,
(Ф (ч)л , л ) = 2(g - 0 ) — — ~ г ~ + ^6g яйЯ£(ч; л ) и +
| | Ч в | | 2 | | Ч в I |
+к о 11 л ̂ | | 2 + 20|| л в ||2 , V ч, л Е X. (111)
В соответствии с неравенством Коши-Буняковского-Шварца, имеем
|(ч в , л в ) |— ^ч в НН л в Н, Vч в , л в Е X (112)
Кроме того, согласно первому условию (Ю6 ) справедливо неравенство
g - 0 — о. (113)
Тогда из равенства (111) следует
(Ф '(ч) л , л ) > коН л ̂ ||2+ 2g || л в | |2 - >/б| g Я| | йЯ£ (ч; л )| || л в ^ V Ч, л Е X •
(114)
126 Й'ОТ 0556-17№. Проблемы прочности, 2005, N 2
Анализ краевыгх задач
Оценим сверху |й Я£(]; л ) | . Дифференциал й Я£(]; л ) отображения
] е X ^ Я£ ( ] ) на приращении л е X определяется выражением
й Я£ (]; л ) = (Я£ ( ] ) , л ), V ] , л е X , (115)
где Я'£ ( ] ) - производная функционала Я£ ( ] ) в точке ] е X .С использова
нием формулы (98) для произвольных ] , л е X находим
2
(Я£ (]Х л ) = 7 -----------ту [(] 3 - ] 2 ) л 1 + (]1 - ] 3 ) л 2 + (] 2 - ] 1 ) л 3 ]. (116)
(]1 - ] 3 ) 2
Если в равенстве (116) положить л = Я£ (]), то получим
3^/2
11 Я£ ----------- : у £(]Х у ] е х . (117)
( ] 1 ] 3)
Преобразовав в последнем выражении знаменатель с помощью элемен
тарных равенств
1 + Я Д ] ) = 2 ] 2 - ] 3 ; 1 - Я Д ] ) = 2 ^ ^ ^ , V ] е X , (118)
]1 - ] 3 ]1 - ] 3
получим
3£(] ) V е V]1 - ]3 = I •, ^ е х
V 3 + Я£(] )
Тогда выражение (117) можно представить в следующем виде:
(119)
1|Я£(])11= 3а д (3 + я2£ (]) ) , ^ е X. (120)
На основании формулы (116) приходим к условию ортогональности
оператора Я'£( ] ) любому элементу л 5 е X :
(Я£(]) , л 5 ) = 0, V ] , л 5 е X . (121)
С учетом соотношений (115) и (121) имеем
йЯ£( ] ; л ) = (Я£(]Х л в X л е х . (122)
Тогда в соответствии с неравенством Коши-Буняковского-Шварца, находим
| й Я£(] ; л ) |< || Я£ (]ХШ л в | |= ^ (3 + я2£ (] ) ) П л в ^ ^ л е х . (123)
/55№ 0336-171х. Проблемы прочности, 2003, № 2 127
А. Ю. Чирков
Следовательно, для любых ц, ц е X справедливо неравенство
2 _ 3 + Я'£ 2
(Ф'( ̂ ц , ц ) ^ к 0 \\ц ̂ 11 + 2 С? — ^ I £я 1)| |ЦD|| . (124)
Согласно условию теоремы выражение в круглых скобках (124) неотри
цательно. Более того, определяя постоянную д такую, что
Л 2 • д = - шип
3 £, Я£
Э/(£ , Я£ ) 3 + Я£
Э£ л/эё
э / (£, Я£)
Э Я.
> 0, (125)
получаем неравенство (10 ) с постоянной т = угаш т д (х ) > 0 .
хе й
Для доказательства неравенства (11) заметим, что при фиксированном
ц е X оператор Ф'(ц) не является самосопряженным, и следовательно,
необходимо оценить сверху || Ф'(ц)ц || при всех ц е X .
В соответствии с равенством (110) имеем
|| Ф'(^) ц \\2 = 4 (£ 2 — О 2) ( Ц д , ц Д2) + 6? \ \й Я£ (ц;ц ) \ 2 +
\\ц в \Г
+^л/б ^ я ^ Я£(ц; ц ) (^и ц и ) + ко\\ц^\\2 + 4 0 2 |\ци\\2, ц е х , (126)
\\ц и \\
откуда с учетом неравенств (106), (112), (113) и (123) для произвольных
ц, ц е X находим
| | Ф'(ц) ц| | 2 < к 02 | | ц ̂ | | 2 + 4(О 2 + 3? 2)| | ц и \| 2 < 4к 0 | | ц | | 2 , (127)
что приводит к (11) с постоянной М < 2уга1шахк 0 (х) <ю. ►
х е й
Учет гидростатического напряжения и вида девиатора напряжений.
Рассмотрим вариант деформационной теории пластичности, в которой
функциональные зависимости между инвариантами принимаются в виде
о 0 = р (£ 0 , £); о = 1 (£ 0 , £, Яо ). (128)
Предположим, что в процессе деформирования девиатор напряжений
о и пропорционален девиатору деформаций £ и в каждой точке тела. Тогда
главные оси напряжений и деформаций совпадают и, следовательно, Яо = Я£.
Исходя из этого функциональные зависимости (128) допускают эквивалент
ную форму представления следующего вида:
128
о 0 = р ( £ 0 , £ ) ; о = 1 (£ 0 , £ , Я £ ) , ( 1 2 9 )
О ббв-!?^. Проблемы прочности, 2005, № 2
Анализ краевых задач
причем в области упругих деформаций
р (£ о, •) = ко£ о; / (•, £, •) = 3^ о £, (13о)
где к о , С о - начальные модули объемной деформации и сдвига соответ
ственно.
Согласно принятому допущению о пропорциональности девиаторов
напряжений и деформаций с учетом зависимостей (129) получим
о 8 = к(£ о , £) £ б ; о в = 2С (£ о , £, Я£ ) £ в , (131)
где к( £ о, £) и С (£ о , £, Я£) - секущие модули объемной деформации и
сдвига соответственно,
- ч Р (£ о , £) ^ , ч / ( £ 0 , £ Я£ )
к(£о ,£) = ------------; С(£о ,£, £) = -------1=------ , (132)£о 3£
откуда следует, что поведение материала описывается уравнением
о = к (£ о, £) £ б + 2 в (£ о, £, Я£) £ В . (133)
Существование и единственность обобщенного решения. Полагаем,
что материал изотропный, а рассматриваемое тело может быть неоднород
ным, т.е. его упругие и пластические свойства зависят от координат х е ^ .
Функции х р (х ,£о,£) и х —/ (х ,£о ,£,Я£) измеримы и ограничены на ^
при всех £ о, £, Я£ .Во всех точках области ^ кроме, может быть, множества
меры нуль функции £ о , £ —р (х , £ о , £) и £ о , £, Я£ — / (х , £ о, £, Я£ ) непре
рывны и имеют ограниченные частные производные.*
Определим нелинейный оператор А: и —и с помощью отображения
А (и): V — (о (и), £(V))X = (В (£о(и), £ (и), Я£(и))Ви , В у)X = (а (и ), у), (134)
где В - нелинейный оператор, отображающий X в себя и устанавливающий
взаимосвязь между напряжениями и деформациями. Оператор В: X — X
определяется из выражения
Ц, л е х — В(£о(ЦХ £(Ц), Я£(ц))л =
= к( £ о( ц), £( ц)) л б + 2С( £ о(ц X £( ц), Я£(ц)) л В . (135)
Теорема 5. Если функции о о = р (£ о,£) и о = / ( £ о,£,Я£), описыва
ющие поверхности упрочнения материала, удовлетворяют условиям
до о
о < т — < к , к < к о <^; (136а)
д£ о
ТБОТ 0556-17^. Проблемы прочности, 2005, N 2 129
А. Ю. Чирков
3 + Яе
л/3ё
Э<7
ЭЯе
Эа
< — < 3 в ,
Эе
С < С0 < (1366)
Эа, ^Эа
уЭе л/3в
Эа
ЭЯе
Х 1 ̂ Эа Эа0 х2
> 7 г 1 -----+ 3 ^ °12 ^Э£0 Эе
(136в)
то оператор ц ^ Ф ' ( ц ) является положительно определенным и ограни
ченным при всех ц Є X .
^ Сделанные выше предположения о свойствах функций а о = <р (е о, е )
и а = / (е 0 ,Є,Яе ) обеспечивают дифференцируемость по Фреше оператора
ц ^ в (ц). Согласно (135) и правилам дифференцирования сложных отобра
жений, имеем
й в ( ц; ц ) я =
| Эк(ео ,е)
I Эе о
й е о( ц; ц ) +
Эк(ео,е)
Эе
й е(ц; ц )
, „ , ЭС(е 0 , е, Яе К , ч , ЭС(е 0 , е, Яе ) , - , ч ,+ 2 |-------:---------- й е 0( ц; ц ) + ---------=------- й е (ц; ц ) +
Эе0 Эе
+ ЭС (е 0 ,е ,Яе )
ЭЯе йЯе(ц; ц ) (137)
где йг0( л ), й г ( л ), й Яг( л ) - дифференциалы отображений ^ ^ г 0(^ ),
^ ^ г ( ^ ) , ^ ^ Я £(^ ) в точке ^ Е X на приращении л Е X ■
С использованием соотношений (48) получим
, 1 ( Эк(е о , е ) ( ц ̂ , ц ̂ ) , ^ Эк(е о , е) (ц в , ц в )
й в ( ц; ц ) Я = ;-----------л-----— + V2
Эео IIЦs II Эе IIц в
+ 2 | ± _ ЭС( е 0 , е , Яе ) (ц 5 , ц 5 ) + [2 ЭС (е 0 , е , Яе ) (ц В , ц В ) +
ул/э Эе о Н ц 5 Н V 3 Эе Н ц в Н
+ ЭС(е о ,е ,Яе )
ЭЯе йЯе(ц; ц ) Я в , V ц , ц , Я Є х . (138)
Введем для удобства записи следующие обозначения:
ко =
_ о =
Э<Р(е о , е) - Э̂ (ео ,е)
к =
Эе 0 Эе
1 Э/(е о ,е,Яе ) . _ = 1 Э/ (е о ,е,Яе ) .
3 Эе 0 ; _ 3 Эе ;
к я =
_ Я
Э1 (е о , е ) ,
ЭЯе ;
1 Э/ (г; о , е , Яе ) (139)
3 Э Яе
130 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2
Анализ краевых задач
Тогда с учетом равенств
dk(eо,е) ho — k dk(e0 ,е) h dk(е 0 ,е) Нх
Эе о е о Эе е о ЭХе е о
dG(е о,е ,Я£) = g — G ; 3G(е о,е ,х е) = S± . G е о,е ,хе) = ёх_ (14о)
Эе е . Эео £ . ЭХе £
для произвольных , , л , X находим
/
аЮ( , ; л ) Х = ( но — k ) (^ i f i + V 5 h ,(V D ' л D ),
о 11Vsl I 2 I I Vsl I I I 4 d \
Х S +
+ (VS , л s ) . ^ ( , D , л D ) , /7 ^ е (v; л)
g о Мм им,,, I + 2( g — G) _ — ~ + л/6 g х Xd • (141)
I I Vs II I I Vd \I I I , D I I I I VdI I
Следовательно,
( Ф ’<V)л, л ) = (Но — k ) (V s^ ^ 2 (Н + g о ) (VS : л S |)(V, ° ^ D ) +
\ \ Vs I\ 1 1 Vs l \ \ \ Vd I
/ - 7 (v D , л D ) n , 4 , ^ 4(v D , л D ) 2 ,
+ V 6 g х и« i ^х е(v ;л ) + 2(g — G ) — — ~ r ~ +
1 1 Vd \ \ | | Vd I I 2
+ k| \ Л s | \ 2 + 2G| \ л d \\ 2 ' V V' л е X. (142)
В соответствии с неравенством Коши-Буняковского-Шварца, имеем
\ (V s , л s ) 1 <1 1 V s I 1 1 1 л s 11 , V V s , л s е X ;
(143)
\ (v D , л D ) \ < I \ V d \ \ \ \ л d \ \ , V v D , л D ^ X •
Кроме того, согласно условиям (136а,б) выполняются неравенства
Но — k < о; g — G < о. (144)
Тогда из равенства (142) следует
( Ф '(V)л , л ) ^ Но\ \л s I| 2 + 2 g l \ л d I \ 2 —а/2 \Н + g о\ \ \лs \ I 11 л d\ \—
—V6 \g х\ \ \л d \ \ \ ^Хе (V; л ) U V V' л ^ X . (145)
is s N 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, N 2 131
А. Ю. Чирков
С использованием оценки (123) находим
/ 3 + Я,
л/3— I g ЯI 1 Л D I
— V 2 1h + goI IIЛ ^IIIIЛ dII, Л є (146)
Определим симметричную матрицу
h o
1 -
v J I h + go1 2
1 -
7 2 I h + g 0
/ 3 + Я 2,
V3
(147)
Покажем, что если выполняются условия (136), то 5 - положительно
определенная матрица. Действительно, с учетом соотношений
/
tr (S ) = ho + 2
3 + Я2
g V3 — Ig Я
/
det( S ) = 2 h0
3 + Я,
V3 — I g Я
1 - 2
— 2 ( h + g o )2
(148)
на основании формулы (59) получаем необходимые и достаточные условия
положительной определенности матрицы 5:
_ 3 + Я,
ho > 0; g > ^ 3 _ I g я !; 4ho
3 + Я2
л/3— I g Я > (h + g o )2. (149)
Сопоставление неравенств (136) и (150) показывает, что они эквива
лентны, и, значит, неравенство (10 ) выполняется с постоянной m = vraimin
xEQ
min д (x ,£0 ,£,Я£) > 0 .
£0,£,Я£
Для доказательства неравенства (11) заметим, что при фиксированном
VE X оператор Ф'(v) не является самосопряженным. Следовательно, не
обходимо оценить сверху ||Ф'(^)л || при всех /<Е X .
В соответствии с равенством (141) для произвольных V, /<Е X имеем
12 / , 2 ,2 , „ 2ч (v S ,Л S ) , „гТ2 , „^-2 ^ 2 m (v D ,Л D ) ,
|| Ф (я)л || = (Ао - * + 2gо ) ~ ---- ^ + 2[А + 2 (g - G )]— -----+
|| Vs || || Vd ||
132 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, N 2
Анализ краевых задач
+ 2л/2 ( ho h + 2g о g + 6g 2| d Я£ ( ÿ; л) |2
I 1 ÿ S I 1 1 1 ÿ D I 1
+
+ ^V3(g о % ^ + л/ 2 g ( ÿ D , л D )
I ÿ s 1 ÿ D
g x d̂ £ ( ÿ; лХ (150)
С использованием неравенств (123), (143) и (144) получаем
1 1 Ф'М Л I1 2 - (к 2 + 2g 0 )| 1 Л S 11 2 + 2(2G 2 + h 2 + 6g 2)| 1 Л D 11 2 +
+ ̂ V2(hol h|+4g | g о|)|| л s II IIЛ d II, v ÿ, Л Є X . (151)
Определим симметричную матрицу
q =
к 2_+ 2g о ^ ( h о I h |+ 4g | g 0 |)
л/2 (ho |h |+ 4g |g о|) 2(2G2 + h 2 + 6g2)
(152)
Наибольшее собственное значение матрицы Q обозначим через Д. Пока
жем, что справедлива оценка
Д - 5к о + 2( g о + h 2). (153)
Действительно, с учетом соотношений
tr (Q ) = к 2 + 2g2 + 2(2G 2 + h 2 + 6g 2);
d etQ ) = 2 [(к 2 + 2g 2 )(2G 2 + h 2 + 6g 2) - (h ^ h |+4g|g о|)2] (154)
и неравенств к > ho и G > g получим оценку
det(Q)> 4(2hоg - | h | | g о | ) 2 > о (155)
и, следовательно, на основании формулы (67) приходим к неравенству
Д < tr (Q ). Поскольку k < к0 и g < G < G0 ,то tr (Q ) < k 2 + 2(8G2 + g о + h 2),
что приводит к оценке (153). Таким образом, имеем неравенство (11) с
положительной постоянной M = vraimax max Д ( x , £ о, £, Я£ ) < те. ►
ÆQ £0 ,£, 4
Замечание 4. Эквивалентную форму записи условия (136в) получим из
(146) с учетом «-неравенства:
Эа о ш
Эе о 3л/2
Эа Эа о
+ 3 о
Эе і Эе
Эа 3 + X,
Эе V3e
Эа
ЭХ,
+
1
2л /2
Эа Эа о
+ 3 о
Эе Эе
( 1 5 6 )
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2005, № 2 133
А. Ю. Чирков
Замечание 5. Поскольку деформированное состояние в каждой точке
тела однозначно определяется с помощью трех инвариантов £ о , £ , Я£, функ
циональные зависимости между инвариантами в общем случае можно пред
ставить в виде
а о = р (£о ,£ ,Я£); а = / (£о ,£ Я £). (157)
Что касается единственности решения краевой задачи, то справедлива
следующая теорема, доказательство которой во многом повторяет доказа
тельство теоремы 5 и поэтому не приводится.
Теорема 6. Если функции а о = (£ о ,£ ,Я£) и а = / (£ о ,£ ,Я£), описы
вающие поверхности упрочнения материала, удовлетворяют условиям
3 + Я,
Эо,
Э ,
^Эо
\ Э"
3 + Я2,
'0
л/э<
Эо
ЭЯ,
л/3 £
1 Эо
Эо
ЭЯ,
Эо
Э£ *
о
£
3 Э,0
+ Эо 0
Э£
+
3 + Я2,
л/3< ЭЯ,
(158)
то существует не более одного решения уравнения (1) при любом р Е П
При этом для любого о имеют место »-неравенства:
Эо о ш
Э, 0
/
л /2
Эо 3 + Я,
— > — г ^ Э, лУ3,
1 Эо Эо0
т + ~ 3 Э ,0 Э,
3
+
3 + Я2,
Эо
ЭЯ,
+
2->/2
л/3 ,
1 Эо
3 Э, 0
Эо
ЭЯ,
+ Эо о
Э,
+
3 + Я2,
л/3
Эо
ЭЯ,
(159)
2
Замечание 6. Из свойств оператора Ф'(ч), установленных с помощью
теорем 1- 6 , результатов леммы и общих результатов о сильномонотонных и
липшиц-непрерывных операторах следует однозначная разрешимость урав-
*
нения (1) при любом р Е и , а также непрерывная зависимость решения
и Е и от правой части, т.е. от приложенных нагрузок.
Заключение. Приведенные выше результаты показывают, что практи
ческое построение поверхностей упрочнения материала необходимо осу
ществлять с учетом двух факторов. С одной стороны, аппроксимирующие
функции должны достаточно точно приближать действительные поверхности
упрочнения, полученные по данным эксперимента, с другой - удовлетворять
условиям, при которых обеспечивается однозначная разрешимость краевой
задачи.
Р е з ю м е
Розглянуто варіанти деформаційної теорії пластичності, що враховує вплив
гідростатичного напруження і виду девіатора напружень на механічні влас
тивості середовища для випадку пропорційного навантаження. Основна
134 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2
Анализ краевыгх задач
увага зосереджена на узагальненій постановці і дослідженні розв’язності
нелінійної краєвої задачі. Установлено умови, що забезпечують існування,
єдиність та неперервну залежність узагальненого розв’язку від прикладених
навантажень.
1. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов.
- М.: Наука, 1972. - 415 с.
2. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравне
ния и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1978. -
336 с.
3. Ильюшин А. А. К теории малых упругопластических деформаций //
Прикл. математика и механика. - 1946. - 10, № 3. - С. 347 - 356.
4. Ильюшин А. А. Пластичность. - М.: Гостехиздат, 1948. - 48о с.
5. Лебедев А. А., Ковальчук Б. И., Гигиняк Ф. Ф., Ламашевский В. П.
Механические свойства конструкционных материалов при сложном
напряженном состоянии. - Киев: Наук. думка, 1983. - 365 с.
6. Быков Д. Л. Основные уравнения и теоремы для одной модели физи
чески нелинейной среды // Инж. журн. Механика твердого тела. - 1966.
- № 4. - С. 58 - 64.
7. Агахи К. А., Кузнецов В. Н. К теории пластичности материалов, учиты
вающей влияние гидростатического давления // Упругость и неупру-
гость. - 1978. - Вып. 5. - С. 46 - 53.
8. Бобырь Н. И. О зависимости между интенсивностью напряжений и
интенсивностью пластических деформаций с учетом вида напряжен
ного состояния // Вестн. Киев. политехи. ин-та. Машиностроение. -
1979. - Вып. 16. - С. 93 - 98.
9. Заховайко А. А., Колодежный В. А. К гипотезе о существовании единой
кривой деформирования материалов // Там же. - 1983. - Вып. 2о. - С. 15
- 17.
1о. Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность мате
риалов при сложном напряженном состоянии. - Киев: Наук. думка,
1976. - 415 с.
Поступила 2о. 11. 2оо3
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 2 135
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47677 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:19:53Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чирков, А.Ю. 2013-07-25T09:21:47Z 2013-07-25T09:21:47Z 2005 Анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2005. — № 2. — С. 107-135. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47677 539.3 Рассмотрены варианты деформационной теории пластичности, учитывающей влияние гидростатического напряжения и вида девиатора напряжений на механические свойства среды для случая пропорционального нагружения. Основное внимание уделяется обобщенной постановке и исследованию разрешимости нелинейной краевой задачи. Установлены условия, обеспечивающие существование, единственность и непрерывную зависимость обобщенного решения от приложенных нагрузок. Розглянуто варіанти деформаційної теорії пластичності, що враховує вплив гідростатичного напруження і виду девіатора напружень на механічні властивості середовища для випадку пропорційного навантаження. Основнаувага зосереджена на узагальненій постановці і дослідженні розв’язності нелінійної краєвої задачі. Установлено умови, що забезпечують існування, єдиність та неперервну залежність узагальненого розв’язку від прикладених навантажень. We discuss variants of the deformational theory of plasticity, which accounts for the effect of hydrostatic stress and the type of stress deviator on mechanical properties of the medium for the case of proportional loading. The main emphasis is made on generalized formulation and study of solubility of a nonlinear boundary problem. We determine the conditions, which ensure existence, uniqueness and continuous dependence of the generalized solution on the applied loads. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений Analysis of boundary problems of the theory of small-scale elastoplastic deformations with account of the hydrostatic stress and the stress deviator type Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений Чирков, А.Ю. Научно-технический раздел |
| title | Анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений |
| title_alt | Analysis of boundary problems of the theory of small-scale elastoplastic deformations with account of the hydrostatic stress and the stress deviator type |
| title_full | Анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений |
| title_fullStr | Анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений |
| title_full_unstemmed | Анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений |
| title_short | Анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений |
| title_sort | анализ краевых задач теории малых упругопластических деформаций, учитывающей гидростатическое напряжение и вид девиатора напряжений |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47677 |
| work_keys_str_mv | AT čirkovaû analizkraevyhzadačteoriimalyhuprugoplastičeskihdeformaciiučityvaûŝeigidrostatičeskoenaprâženieividdeviatoranaprâženii AT čirkovaû analysisofboundaryproblemsofthetheoryofsmallscaleelastoplasticdeformationswithaccountofthehydrostaticstressandthestressdeviatortype |