Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем
Рассматривается динамическое поведение одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем низкочастотных колебаний. С использованием метода осреднения Ритца получено уравнение амплитудно-частотной характеристики нелинейной системы. Предложен новый графический метод определения параметро...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2005
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47679 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем / В.П. Легеза // Проблемы прочности. — 2005. — № 2. — С. 136-150. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859724518585532416 |
|---|---|
| author | Легеза, В.П. |
| author_facet | Легеза, В.П. |
| citation_txt | Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем / В.П. Легеза // Проблемы прочности. — 2005. — № 2. — С. 136-150. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Рассматривается динамическое поведение одной нелинейной виброзащитной системы с
роликовым гасителем низкочастотных колебаний. С использованием метода осреднения
Ритца получено уравнение амплитудно-частотной характеристики нелинейной системы.
Предложен новый графический метод определения параметров настройки роликового гасителя.
Розглядається динамічна поведінка однієї нелінійної віброзахисної системи
з роликовим гасителем низькочастотних коливань. Із використанням методу
осереднення Рітца отримано рівняння амплітудно-частотної характеристики
нелінійної системи. Запропоновано новий графічний метод визначення параметрів
настройки роликового гасителя.
We study the dynamic behavior of one nonlinear
vibroprotection system with a roller-type
shock absorber of low-frequency vibrations. Using
the Ritz averaging technique we obtained
the equation of the amplitude-frequency response
of the nonlinear system. A new graphical
method for determination of the parameters
for adjustment of the roller shock absorber is
proposed.
|
| first_indexed | 2025-12-01T11:01:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 534.1+539.3
Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики
одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем
В. П. Легеза
Национальный университет пищевых технологий, Киев, Украина
Рассматривается динамическое поведение одной нелинейной виброзащитной системы с
роликовым гасителем низкочастотных колебаний. С использованием метода осреднения
Ритца получено уравнение амплитудно-частотной характеристики нелинейной системы.
Предложен новый графический метод определения параметров настройки роликового гаси
теля.
Ключевые слова : виброзащитная система, роликовый гаситель, амплитудно
частотная характеристика, метод осреднения Ритца, параметры настройки.
Введение. Ранее [1] была построена математическая модель динами
ческого поведения виброзащитной системы с роликовым гасителем (рис. 1),
входящим в состав виброзащитной системы. Роликовый гаситель относится
к классу катковых гасителей, и его конструкция защищена патентами Укра
ины [2, 3]. Гасители каткового типа используються для виброзащиты высот
ных гибких сооружений и объектов от действия низкочастотных вынуж
денных колебаний [4] с частотами меньше 1,6 рад/с. Наиболее опасными
вынужденными колебаниями для таких объектов, особенно цилиндрической
формы, являются колебания вдоль (пульсация давления ветра) и поперек
(типа “ветровой резонанс”) ветрового потока [4, 5]. В некоторых случаях у
сооружений с аэродинамически неустойчивой геометрической формой возни
кают колебания типа “флаттер” или “бафтинг” [6-8]. В этих условиях
динамические гасители вынужденных колебаний - основной способ повы
шения надежности и долговечности сооружения [8, 9].
Кроме того, виброзащитные системы с качением, подобные катковым
гасителям, с успехом используются для амортизации и виброзащиты таких
разнообразных объектов и конструкций, как подводные лодки и крупно
тоннажные корабли - от действия гидродинамических сил, которые вызы
вают их боковую качку, ответственные сооружения на массивных фунда
ментах [10, 11] - от действия сейсмовозбуждения и прогрессивные стро
ительные конструкции - от продольных динамических нагрузок при их
железнодорожном транспортировании.
В математической модели [1] были получены нелинейные динамичес
кие уравнения движения виброзащитной системы и численно проанали
зировано влияние двух основных параметров настройки гасителя на ее
динамическое поведение. Настоящая работа, в которой разработана мето
дика аналитического построения уравнения амплитудно-частотной характе
ристики (АЧХ) указанной виброзащитной системы с учетом всех ее нели
нейностей, является продолжением и обобщением результатов предыдущего
исследования [1].
© В. П. ЛЕГЕЗА, 2005
136 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2
Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики
г, + г,
р© ‘■і | /
к /
Рис. 1. Принципиальная схема виброзащитной системы с роликовым гасителем.
Проведенный в [1] численный анализ математической модели дина
мического поведения виброзащитной системы с роликовым гасителем пока
зал, что технические преимущества его использования состоят в двукратном
уменьшении относительного вертикального перемещения рабочего тела
гасителя по сравнению с таковым каткового гасителя типа “тяжелый шар
между двумя тяжелыми сферическими выемками”. Это свидетельствует о
том, что роликовый гаситель является более компактным, что позволяет
устанавливать его в местах с ограниченным (в вертикальном направлении)
пространством для функционирования. Кроме того, в сферических выемках
роликового гасителя со временем не накапливаются влага, лед, пыль и для
его защиты от разнообразных климатических воздействий не требуется
защитный кожух.
Отмеченные преимущества рассматриваемого гасителя обусловливают
перспективность его внедрения в современную практику виброзащиты вы
сотных сооружений. Уточнение и обобщение математической модели дина
мического поведения гасителя в составе системы гаситель-сооружение с
учетом всех ее нелинейностей является актуальной задачей.
Постановка задачи. Рассматривается динамическое поведение нелиней
ной виброзащитной системы несущее тело с приведенной массой т 1 -
тяжелый ролик массой т 2 - рабочее тело массой т3 под действием
внешнего силового нагружения Б ( г) (рис. 1). В качестве внешнего силового
нагружения принимаются гармонические силы, которые действуют как вдоль,
так и поперек ветрового потока с соответствующими амплитудами. Напри
мер, гармоническая сила, действующая поперек ветрового потока и вызы
вающая автоколебания, определяется формулой [7]
§ш( ті),
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2 137
В. П. Легеза
где Б - площадь проекции препятствия на плоскость, ортогональную к
направлению ветрового потока; Ск - коэффициент, зависящий от формы
препятствия (для кругового цилиндра С к = 1); р - плотность воздуха.
Для кругового цилиндра частота отрыва воздушных вихрей опреде
ляется по выражению
0 ,2 2 Г
Ш= Ъ Ф (рад/с)'
где V - скорость ветрового потока (м/с); Ф - диаметр цилиндра (м);
коэффициент 0,22 - число Струхаля для данного типа конструкции.
С учетом вышеизложенного полагаем, что виброзащитная система на
ходится под действием внешнего силового возбуждения, заданного в виде
гармонической функции стабильной частоты Г (г) = Го зш(Ш).
На нижней поверхности рабочего тела имеется сферическая выемка
радиусом Я для перекатывания без скольжения ролика радиусом г. Радиус
ролика г меньше радиуса сферической выемки (г < < Я). Ролик связан с
несущим телом с помощью сферического шарнира, причем он является
главным элементом такого гасителя. В этой системе нелинейность обуслов
лена как геометрическим (сферическая рабочая поверхность), так и кинема
тическим (непроскальзывание) факторами.
Несущее тело моделирует сооружение или строительную конструкцию,
колебания которых учитываются только по первой форме с частотой основ
ного тона шо. Это объясняется тем, что вынужденные колебаний по первой
форме играют главную роль в динамическом нагружении таких сооружений.
Поэтому практическое применение виброгасителей для указанных сооруже
ний связано с использованием одномассовых гасителей колебаний, настро
енных на частоту, близкую к частоте основного тона собственных колебаний
сооружения [4, 5, 9].
Между несущим телом массой т1 и рабочим телом массой т3 уста
новлен демпфер с коэффициентом вязкого сопротивления С 3 . Несущее тело
может двигаться только вдоль горизонтальной оси ОхX 1, этому движению
препятствуют упругий элемент с приведенным коэффициентом жесткости
&1 и демпфер с приведенным коэффициентом вязкого сопротивления С 1.
Последний введен для учета демпфирования, обусловленного силами внут
реннего трения в материалах вертикального ствола сооружения. Ранее [1]
для сравнительного численного анализа линейной и нелинейной моделей
коэффициент С 1 принимался равным нулю. Рабочее тело может совершать
только поступательные движения в плоскости X зОз2 3 . В точке контакта
ролика со сферической поверхностью реализуется кинематическая связь,
учет которой осуществляется с помощью подхода, основанного на форма
лизме Аппеля [12, 13].
Используемые скалярные уравнения кинематической связи имеют вид
(Я = Я - г): _
х з = х 1 — Я г со§( г);
г з = я г §ш( г).
138 1ББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2
Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики
Функция ускорений Аппеля в независимых обобщенных координатах,
используемая при выводе динамических уравнений, такова:
* Ш] + m2 + m3 2 2
S = ---------^---------*1 + (0,2m2 + 0,5m3)R rj + т3R X \(i s in i — rjcosi).
Цель настоящего исследования заключалась в построении аналитичес
кого выражения уравнения АЧХ виброзащитной системы с учетом ее гео
метрической и кинематической нелинейности и в сравнительном анализе его
с уравнением АЧХ в линейной постановке при C i * 0.
Вывод уравнения АЧХ виброзащитной системы с учетом всех ее
нелинейностей. В работе [1] были получены нелинейные дифференциаль
ные уравнения движения виброзащитной системы в виде
— 2(m1 + т 2 + т 3 )jt‘i + k 1x 1 + C 1 + m3R ( i s in i — i cos i ) = F 0 sin(mt);
—m3R *1 cos r + (0,4m2 + m3 )R 2i + R 2C 3rj =
= —m3 R g sin r — (m2 + m)Rg/x sign( i ).
Круговую частоту центра масс (ЦМ) рабочего тела с учетом размеров
ролика и его массы можно найти из второго уравнения при x 1( t ) = 0; ц = 0;
пt = 0 по такой формуле: ___________
0 = V (0,4 у + 1)R ’
где у = m2 /m 3. При у ^ 0 это выражение совпадает с формулой, получен
ной в [11] при ином подходе.
После некоторых преобразований при m2/ m3 ^ 0, m2 /m 1 ^ 0 представ
ленные выше уравнения принимают следующий вид:
(1 + v )Х\ + 2пх Х 1 + о 2x 1 — vR cos i i + vR sin i i 2 = F 0 sin(mt); (1)
X\ cos i = R i + 2n t R i + g (sin i + ц sign i ), (2)
где 2nX = C J m1; 2пг = C 3 / m3; v = m3 / m1; о 0 = k j m 1; F 0 = F 0/m 1; ^ -
коэффициент трения в сферическом шарнире ролика; обобщенная коорди
ната i представляет собой угол между вертикалью O1Z 1 и нормалью п к
сферической поверхности рабочего тела гасителя, проведенной в точке
контакта ролика c указанной сферической поверхностью (рис. 1); Х1 - пере
мещение несущего тела вдоль оси O1X 1.
С целью отработки методики построения АЧХ нелинейной виброзащит
ной системы разложим в ряд Тейлора тригонометрические функции sin i и
cos i и удержим по два члена для каждой из них. Затем полученные отрезки
рядов подставим в уравнения (1), (2):
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 2 139
В. П. Легеза
(1 + v ̂ + 2nX x 1 + o 0x 1 - vR
I 2 \
1 - 1
0
1 0 = Fо sin(ot); (3)
/ ^
1 - ^
V ° ,
: R 1 + On 1 R 1 + g
t 1 3 x
1 - ~6
+ gu sign 1 . (4)
Для построения нелинейной модели динамики виброзащитной системы
используем подход, известный как метод осреднения Ритца [14-16]. В
основу метода положено предположение о том, что для установившихся
колебаний среднее значение виртуальной работы на элементарных переме
щениях всех масс системы за один период равно нулю. При использовании
метода осреднения Ритца приближенное решение задачи о вынужденных
колебаниях для каждой обобщенной независимой координаты задается в
виде ряда
X ( t) = ^ 1( t) + A0 V 0( t) + A 3 V 3 ( t) + - = S A i V i ( t )j (5)
i =1
где V i ( t) - функции времени, выбираемые из условия задачи; At - весовые
коэффициенты, определяемые из условия равенства нулю среднего значения
виртуальной работы за один период.
Обычно для приближенного решения задачи ограничиваются одним-
двумя членами ряда (5), что дает очень хорошие результаты. Этот метод
позволяет получить более точное решение, чем метод последовательных
приближений [14, 17], при том же количестве учтенных членов ряда (5).
Метод осреднения Ритца успешно применялся для разнообразных задач по
исследованию установившихся свободных и вынужденных колебаний нели
нейных систем. Высокая точность была достигнута уже при использовании
одночленного приближения для систем с восстанавливающими силами,
которые описываются симметричными непрерывными и кусочно-линейными
функциями [16]. Позже аналогичный метод на основе разложения в ряды,
подобные (5), был независимо разработан и применен для расчета пластин и
стержней Б. Г. Галеркиным [18]. (В отечественных и российских литера
турных источниках он упоминается как метод Галеркина [19, 00].)
Для нахождения установившегося решения поставленной задачи в ка
честве первого приближения выберем следующие функции (для каждой
независимой обобщенной координаты):
x 1 = A(o)sin(ot - a) = A cos a sin(ot) + (-A sina)cos(ot) =
= A1V1( t ) + A 0 V 0 ( t); (6)
1 = B(o)sin(ot - ji) = B cos j isin(ot) + ( - B sin )cos(ot) =
= B1V 1( t) + B 0 V 0 (t). (7)
140 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 2
Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики
Как следует из формул (6) и (7), в качестве функций \р; ( г) выбраны две
функции: •ф1( г) = §ш(Ш) и \р2(г) = С08(шг).
Подставив формулы (6) и (7) в уравнения (3), (4), получим следующую
систему уравнений:
2 2 2пх Аш со§(шг - а) - (1 + V)ш А 8 т (шг - а ) + Аш0 э т ( - а ) +
( Б 2— о Б о
+ уКБт 1— (ті — 0 ) эт ( ті — 0 ) +
+ уЯ Б ъ т 2
( б 2 2
1 — — э т (ті — 0 )
6
э т (ті — 0 )соэ2(ті — 0 ) = ^ 0 э т (ті); (8)
т А э т (ті — а )
( б 2 2
1 — ~~2 ~$іп (ті — 0)
= ЯБт2 э т (ті — 0 ) — 2ппЯ Бт соэ(ті — 0 )■
б 3 3Б э т (ті — 0) — — э т (ті — 0) + л 8І^(со8(ті — 0))
6
(9)
Умножим уравнения (8), (9) сначала на э т (ті) и проинтегрируем их в
пределах 0...2л. Затем эту же процедуру повторим после умножения ука
занных уравнений на соэ(ті). На этапе преобразований были использованы
следующие промежуточные формулы:
1 2л
— / эт ( у — в ) эш =
2л 0
соэ в
(10)
1 2яг яп (
— J соэ( у — в ) э т у d у = - ^ - (11)
1 2Яг ЭШ (
— J sin( у —в )соэ у d у = ^ —2“
0
2л
— ^ соэ( у — в )соэ у d у =
2
соэ в
0
2л
1 3 3
— J э т (у —в ) яп у d у = - соэ в;
2л 0 8
(12)
(13)
(14)
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2 141
В. П. Легеза
ч 2Ж /л
1 С 3 3— I sin (p —0 )cos p d p = —- sin 0; (15)
2я о 8
-j 2 ж ^1 л 5 5
— I sin (p —0)s in p d p = — cos0; (16)
2ж о 16
-j 2ж ^
1 5 5— I sin (p —0 )cospdp = —— sin0 ; (17)
2ж о 16
1 2ж 3 1
— Г sin(p —0 1)sin2(p —0 2)s in p d p = ~ co s0 1 + —sin02 sin(0 1 — 0 2); (18)
2ж о 8 4
1 2ж 3 1
Г s in (p — 0 1)sin2( ^ — 0 2 )cos p d p = —- sin 0 1 + — cos 0 2 sin(0 1 — 0 2 ), (19)
2ж о 8 4
где p = w?.
После соответствующих преобразований уравнений (8), (9) с использо
ванием (1о)-(19) получим четыре алгебраически-тригонометрических урав
нения:
(w 2 — (1 + v )w 2)A cos a + 2nX Aw sin a + vRBw 2 cos В —
— - vRB3 w3 cos В — — vR B 5 w 2 cos /3 = F ,; (2о)8 48 о
2nx Aw cos a — (w о — (1 + v )w 2)A sin a — vRBw 2 sin В +
+ - vRB3 w 2 sin В+-----vR B 5 w 2 sin В = о; (21)
8 48
2 2^3 1 j 2 _ 2
w AB I ^ cos a + 4 sin В sin(a —В)| —w A cos a + RBw cos В —
2 ™ ^ n л , SB 3 л 4“ g sin В о— 2nиRBw sin p — gB cos В +— ~ cos p --------------- = о; (22)
1 8 ж
w 2 A sin a + w 2AB 2^ c o s В sin(a — В) — 3 sin a j —
—RBw 2 sin В — 2n„RBw cos В + gB sin В — sin В — ----- -- = о. (23)
' 8 ж
142 ZSSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 2
Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики
При выводе выражений (22), (23) учитывались соотношения (24)—(26):
sign(cos( p — 0 )) =
1, 0 < р < | + 0 ,
г 3г _
—1, + 0 < p < ^ ~ + 0,
3г
1, — + 0 < p < 2г;
(24)
2г1 г 2sin О
— I sign(cos(p — О)) sin pdp = ------- ;
2г "0 г (25)
2г
— Г sign(cos( p — О ))cos p d p =
2г 0
2cos О
г (26)
Исключим лишние неизвестные B , а, 0 и определим функциональную
зависимость амплитуды А установившихся колебаний несущего тела от
частоты т. Умножим уравнение (22) на sin0, (23) - на cos 0 и сложим их. В
результате получим
4H-g
sin( а — 0 ) = г
Amz|1 — 1 B :
(27)
Затем умножим уравнение (22) на cos0, (23) - на sin0, после чего из
первого вычтем второе:
/ g B 2
B
cos( а — 0 ) =
Ат 2| —1 + - B 2
(28)
После некоторых преобразований соотношений (27) и (28) получим
первое уравнение, которое связывает амплитуды А и В:
A =
1
mz |1 — 1 B 2 К 1 — 8 B x
+
+ | |1 — 1 B 2 )|Bg — BRm2 — 1 gB 3
N̂ 1/2
(29)
JSXN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 2 143
В. П. Легеза
Найдем второе уравнение, которое связывает указанные амплитуды.
Умножим уравнение (20) на sin ft, (21) - на cos ft и сложим их. В резуль
тате получим
2nX Aw cos(a — ft) - [т 0 - (1 + v )т 2]A sin(a — ft) = F 0 sin ft. (30)
Затем умножим уравнение (20) на cos ft, (21) - на sin ft, после чего из
первого уравнения вычтем второе. В результате получим еще одно соотно
шение относительно неизвестных A, B , a , ft:
[т 0 — (1 + v ) т 2 ]A cos(а — ft) + 2nX Am sin(a — ft) + Ф (B ) = F 0 cos ft, (31)
где
Ф( B ) = vRBm 2|1 — 8 B 2 — 48 B 4 |.
Возведем в квадрат соотношения (30), (31) с учетом выведенных выше
(27) и (28), после чего получим еще одно уравнение, которое связывает
амплитуды А и В:
1
А = , =Х
V[rn 0 — (1 + v ) т 2 ]2 + (2п х т )2
х F 02 — Ф 2( B ) — 2Ф (B ) [т 0 — (1 + v ) т 2 ]-
B( g — R т 2 ) — - g B 3
т і —1 + 8 b ‘
+
+ 4n
2^g
ж
X 2 B 2
т 4
1/2
(32)
Из уравнений (29) и (32) невозможно в явном виде получить зави
симость В = В(А). Поэтому сначала выразим амплитуду В как функцию
частоты В = В(т) с помощью выражений (29) и (32). В результате получим
нелинейное уравнение относительно неявно заданной функции В = В (т),
которое имеет следующий обобщенный вид:
Б (В (т ), т ) = 0. (33)
Точное аналитическое решение данного уравнения относительно функ
ции В (т ) получить невозможно, однако его можно найти численно в
144 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 2
Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики
нужном (резонансном) диапазоне частот с использованием таких современ
ных пакетов прикладных программ, как “МАТИСАВ” [21]. После числен
ного установления зависимости В = В (т ) из формул (29) или (32) можно
определить искомую амплитудно-частотную характеристику А = А(т ) вибро-
защитной системы в нелинейной постановке.
В таких системах возможны нелинейные резонансы, которые опреде-
к
ляются соотношением 2 Піт ,• + пт ~ £ [22], где т ,• - собственные час-
1=0
тоты, соответствующие независимым координатам системы; т - частота
внешней силы; Пі , п - небольшие числа; £ ^ 0 . Однако нами рассматри
вается следующий случай: 1 -т о ± 0 - т і ± 1- т ~ £. На это соотношение ука
зывал Н. П. Плахтиенко.
Для дальнейшего сравнительного анализа будем использовать выра
жение для АЧХ виброзащитной системы в линейной постановке. Не приводя
громоздких преобразований, записываем ее уравнение при ^ = 0 и С і ^ 0:
„ , ^ 0л/Г 6 (т )А( т ) = , =■, (34)
Р ь ( т ) ^ 7( т ) + Г Д т ) + Г ш ( т ) ̂ >
где _
Г 1( т ) = т 2 - т 2(1 + у ); Г 2(т ) = 2пх т ; Г 3(т ) = g - Я т 2;
Г 4( т ) = 2п^Ят; Г 5( т ) = уЯ т 4; Г 6( т ) = (Г 3( т ))2 + (Г 4( т ) ) 2;
Г 7 (т ) = (^ ( т ))2 + (^ ( т ) ) 2; Г 8( т ) = ^ ( т ) ^ ( т ) - ^ ( т ) ^ ( т ) ;
Г 9( т ) = 2^ 5( т ) ^ 8( т ) ; Г 10( т ) = (Г 5( т ) ) 2 -
При т 0 = 0, пх = 0, V ^ 0, л = 0, п ^ = 0 рассматриваемая система
превращается в осциллятор Дуффинга [14, 19]. Амплитудно-частотная ха
рактеристика системы (в виде т = т ( В )) в таком случае преобразуется
следующим образом:
' ^ -
8 В
т 2 = =
Я (35)
В результате получено обратное уравнение АЧХ (35) для системы
/ т> 3 \
Дуффинга с мягкой восстанавливающей силой Г (В ) = ^
Я
В 3
В ------ , приве-
V /
денной к единице коэффициента инерции (по аналогии с классификацией
пружин по виду силовых характеристик). Это естественным образом выте
кает из двучленного разложения в ряды Тейлора геометрических нелиней
ностей в уравнениях (1), (2).
ІББМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2 145
В. П. Легеза
Определение оптим альны х параметров настройки гасителя для
линейной и нелинейной модели исследуемой виброзащ итной системы.
Характер динамического поведения рассматриваемой виброзащитной сис
темы с роликовым гасителем и оптимальные параметры его настройки
можно определить с помощью графиков амплитудно-частотных характе
ристик А = А(о ) для несущего тела. В процессе численных исследований
были получены амплитудно-частотные характеристики для двух динами
ческих моделей виброзащитной системы: линейной с С і ^ 0 (согласно
уравнению (34)) и нелинейной с учетом геометрической и кинематической
нелинейности (согласно уравненям (29), (32)).
Для этих расчетов и построения АЧХ были выбраны следующие пара
метры системы: Я = 7,643 м; п^ = 0,16 с -1 ; п х = 0,03 с -1 ; у = 0,05; о 0 =
= 1,2 рад/с; Г 0 = 0,03g; ц = 0. _
Максимальная амплитуда (Р0 = 0,03g) внешнего силового нагружения и
уровень демпфирования несущего тела (пх = 0,03) определялись с исполь
зованием нормативных документов строительной отрасли [4, 5, 23]. Первые
два параметра, являясь оптимальными для линейной модели, определялись
из условия равенства двух максимумов функции А = А(о ) с учетом демп
фирования несущего тела (пх ^ 0). Процедура их определения изложена
ниже.
Параметр Я находим численно с помощью графической процедуры,
показанной на рис. 2. Сначала устанавливаем частоты, на которых дости
гаются максимумы АЧХ:
где У 1,2 = ю1,2/ ю0. _
Точка пересечения двух кривых, построенных при изменении Я для двух
фиксированных частот ю1 = у 1ю 0 = 1,07 рад/с и ю 2 = у 2 ю 0 = 1,26 рад/с,
при которых функция А = А(ю) достигает максимума дважды, определяет
оптимальный параметр гасителя Я опт = 7,643 м. Величина коэффициента
п^ определялась также с помощью аналогичной процедуры по графикам,
представленным на рис. 3. Точка пересечения двух кривых, построенных
для двух фиксированных частот ю1 = 1,07 рад/с и ю 2 = 1,26 рад/с при
изменении коэффициента п^, определяет оптимальную величину послед
него: 0,16.
Аналогично с использованием графической процедуры (рис. 4 и 5)
были определены оптимальные величины для Я (7,41 м) и п^ (0,16) для
нелинейной модели, построенной по уравнениям (3), (4). Сравнение резуль
татов оптимальной настройки гасителя для линейной и нелинейной модели
показало, что величины оптимальных радиусов отличаются примерно на
3%. Что касается уровня демпфирования, то оптимальные величины коэф
фициента п^ для этих моделей совпадают.
На рис. 6 приведены графики АЧХ системы для двух типов моделей:
АЬ = АЬ(ю) - для линейной модели и АЫ = АЫ(ю) - для нелинейной модели
согласно уравнениям (29), (32). Каждая кривая была построена при своих
оптимальных параметрах.
146 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2
Л1> Л2
Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики ...
Л1, Л2
Рис. 2 Рис. 3
Рис. 2. Определение оптимальной величины радиуса Я сферической выемки рабочего тела
для линейной модели виброзащитной системы (Я = 7,643 м). (Здесь и на рис. 3-5: сплошные
линии - Лх для О̂ ; штриховые линии - А2 для ^ 2.)
Рис. 3. Определение оптимальной величины коэффициента пу для линейной модели вибро
защитной системы (п = 0,16).
Рис. 4
0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 п
Рис. 5
Рис. 4. Определение оптимальной величины радиуса Я сферической выемки рабочего тела
для нелинейной модели виброзащитной системы (Я = 7,41 м).
Рис. 5. Определение оптимальной величины коэффициента Пу для нелинейной модели
виброзащитной системы (Пу = 0,16).
ЛЫ, ЛЬ
Рис. 6. Амплитудно-частотные характеристики для линейной (штриховая линия) и нелиней
ной (сплошная линия) модели.
Анализ полученных результатов свидетельствует, что максимальные
значения графиков ЛЫ = ЛЫ(о ) и ЛЬ = ЛЬ(о) количественно отличаются
друг от друга (более 4%). Как видно, качественная картина поведения АЧХ
для двух типов моделей совпадает. Величины максимумов распределены
равномерно (для каждой модели они равны), что указывает на оптималь
ность настройки параметров гасителя для каждой модели. Для линейной
модели системы максимальная амплитуда меньше, чем для нелинейной
модели. Поэтому для практического использования настройку параметров Я
и пу роликового гасителя следует осуществлять в рамках нелинейной
НЗЫ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2 147
В. П. Легеза
модели из условия равенства двух максимумов на графике АЫ = АЫ(ш) -
рис. 4 и 5.
Численный эксперимент показал также, что функциональные зависи
мости максимального (по времени) относительного отклонения рабочего
тела в выемке от частоты вынужденных колебаний ш для двух типов
моделей качественно практически не отличаются друг от друга (рис. 7).
Имеющееся в этом случае количественное расхождение результатов расче
та составляет около 2%, причем максимум на графике АЬ = АЬ(ш) не
сколько больший, чем на графике АЫ = АЫ(ш). Поэтому для оценки макси
мальной величины относительного перемещения рабочего тела в выемке
рекомендуется использовать линейную модель без дополнительных замеча
ний. Имеющееся отклонение в большую сторону пойдет в запас расчетов
динамической нагруженности системы.
АЫ, АЬ
Рис. 7. Графики зависимостей относительного перемещения центра масс рабочего тела для
линейной (штриховая линия) и нелинейной (сплошная линия) модели.
Заключение. Рассмотрены установившиеся вынужденные колебания
нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем, находящейся
под действием силового гармонического нагружения. Указанные колебания
исследовались без ограничений на относительные перемещения рабочего
тела по сферическому шарниру гасителя в резонансном диапазоне частот.
Впервые аналитически получено уравнение АЧХ системы с учетом как
геометрической, так и кинематической нелинейности. С использованием
аналитических зависимостей разработана новая графическая процедура
определения оптимальных параметров настройки гасителя.
Сравнительный анализ линейной и нелинейной модели динамики
исследуемой виброзащитной системы показал, что полученные оптималь
ные параметры настройки гасителя по частоте отличаются, по оптимальным
параметрам демпфирования - совпадают. При этом максимальная амплитуда
несущего тела А для нелинейной модели оказалась больше амплитуды для
линейной модели. Поэтому для практического использования следует реко
мендовать именно нелинейную модель динамики виброзащитной системы с
ее оптимальной настройкой.
Разработанный подход можно с успехом применять для других нели
нейных виброзащитных систем с катковыми гасителями низкочастотных
колебаний иных конструкций.
Внедрение методики получения уравнения АЧХ виброзащитной систе
мы и графической процедуры определения оптимальных параметров на
148 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2
Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики
стройки роликового гасителя в современную практику виброзащиты обес
печит выполнение существующих нормативных ограничений уровня ампли
туд вынужденных колебаний высотных объектов.
Р е з ю м е
Розглядається динамічна поведінка однієї нелінійної віброзахисної системи
з роликовим гасителем низькочастотних коливань. Із використанням методу
осереднення Рітца отримано рівняння амплітудно-частотної характеристики
нелінійної системи. Запропоновано новий графічний метод визначення пара
метрів настройки роликового гасителя.
1. Легеза В. П. Динамика виброзащитных систем с роликовым гасителем
низкочастотных колебаний // Пробл. прочности. - 2004. - № 2. - С. 106
- 118.
2. Патент України № 52135А, Б16Б7/10, Е04В1/98. Котковий гаситель
вимушених коливань висотних споруд / М. І. Бобир, В. П. Легеза, М. А.
Мартиненко, М. П. Плахтієнко. - Опубл. 16. 12. 2002, Бюл. № 12.
3. Патент України № 54033А, Б16Б7/10, Е04В1/98. Котковий віброгаси-
тель вимушених коливань висотних об’єктів / В. П. Легеза. - Опубл. 17.
02. 2003, Бюл. № 2.
4. Динамический расчет специальных инженерных сооружений и конст
рукций. Справочник проектировщика / Под ред. Б. Г. Коренева, А. Ф.
Смирнова. - М.: Стройиздат, 1986. - 185 с.
5. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия. Спра
вочник проектировщика / Под ред. Б. Г. Коренева, И. М. Рабиновича. -
М.: Стройиздат, 1981. - 216 с.
6. Беспрозванная И. М., Соколов А. Г., Фомин Г. М. Воздействие ветра на
высокие сплошные сооружения. - М.: Стройиздат, 1976. - 234 с.
7. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих
систем. - М.: Наука, 1979. - 384 с.
8. Остроумов Б. В. Исследование, разработка и внедрение высотных
сооружений с гасителями колебаний: Автореф. дис. ... д-ра техн. наук. -
М., 2003. - 48 с.
9. Коренев Б. Г. Динамические гасители колебаний // Материалы междунар.
симп. “Виброзащита в строительстве”. - Л., 1984. - Т. 2. - С. 7 - 17.
10. Антонюк Е. Я., Плахтиенко Н. П. О выборе коэффициентов трения
скольжения в задаче о фрикционном взаимодействии трех твердых тел
// Прикл. механика. - 2003. - 39, № 3. - С. 105 - 109.
11. Плахтиенко Н. П. Нелинейные поступательные колебания твердого
тела с гравитационно-фрикционным сейсмоамортизатором // Там же. -
№ 9. - С. 121 - 127.
12. Лурье А. И. Аналитическая механика. - М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.
13. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. - М.:
Наука, 1967. - 520 с.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 2 149
В. П. Легеза
14. Тимошенко С. П., Янг Д. X., Уивер У.Колебания в инженерном деле. -
М.: Машиностроение, 1985. - 472 с.
15. Ritz W.Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variations - Probleme
der mathematischen Physik // Zeitschrift für die reine und angewandte
Mathematik (Crelle). - 1909. - 135, No. 1. - S. 1 - 61.
16. Klotter K. Non-linear Vibration problem treated by the averaging method of
W. Ritz // Proc. Ist U.S. Nation. Congr. Appl. Mech. - Chicago, Illinois:
Edwards Brothers Inc. - 1 9 5 1 . - P. 125-131 .
17. Крылов H. M., Боголюбов H. H. Введение в нелинейную механику. В 2 т.
- Киев: Изд-во АН УССР, 1937. - 363 с.
18. Галеркин Б. Г. Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах
упругого равновесия стержней и пластинок // Вестн. инженеров. - 1915.
- 1, № 19. - С. 897 - 908.
19. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. - М.: Наука,
1971. - 240 с.
20. Левитский Н. И. Колебания в механизмах. - М.: Наука, 1988. - 336 с.
21. Дьяконов В. В. MATHCAD-2001. Специальный справочник. - СПб.:
ПИТЕР, 2002. - 832 с.
22. Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел. - М.: Наука,
1976. - 432 с.
23. СНиП 2.01.07-85. Нагрузки и воздействия. Нормы проектирования. -
М.: Еосстрой СССР, 1987. - 35 с.
Поступила 01. 03. 2004
150 ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2005, № 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47679 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T11:01:05Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Легеза, В.П. 2013-07-25T11:18:33Z 2013-07-25T11:18:33Z 2005 Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем / В.П. Легеза // Проблемы прочности. — 2005. — № 2. — С. 136-150. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47679 534.1+539.3 Рассматривается динамическое поведение одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем низкочастотных колебаний. С использованием метода осреднения Ритца получено уравнение амплитудно-частотной характеристики нелинейной системы. Предложен новый графический метод определения параметров настройки роликового гасителя. Розглядається динамічна поведінка однієї нелінійної віброзахисної системи з роликовим гасителем низькочастотних коливань. Із використанням методу осереднення Рітца отримано рівняння амплітудно-частотної характеристики нелінійної системи. Запропоновано новий графічний метод визначення параметрів настройки роликового гасителя. We study the dynamic behavior of one nonlinear vibroprotection system with a roller-type shock absorber of low-frequency vibrations. Using the Ritz averaging technique we obtained the equation of the amplitude-frequency response of the nonlinear system. A new graphical method for determination of the parameters for adjustment of the roller shock absorber is proposed. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем Analytical determination of the amplitude-frequency response of one nonlinear vibroprotection system with a roller-type shock absorber Article published earlier |
| spellingShingle | Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем Легеза, В.П. Научно-технический раздел |
| title | Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем |
| title_alt | Analytical determination of the amplitude-frequency response of one nonlinear vibroprotection system with a roller-type shock absorber |
| title_full | Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем |
| title_fullStr | Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем |
| title_full_unstemmed | Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем |
| title_short | Аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем |
| title_sort | аналитическое определение амплитудно-частотной характеристики одной нелинейной виброзащитной системы с роликовым гасителем |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47679 |
| work_keys_str_mv | AT legezavp analitičeskoeopredelenieamplitudnočastotnoiharakteristikiodnoinelineinoivibrozaŝitnoisistemysrolikovymgasitelem AT legezavp analyticaldeterminationoftheamplitudefrequencyresponseofonenonlinearvibroprotectionsystemwitharollertypeshockabsorber |