Evaluation of the elastic-plastic mixity barameters on the base of different crack propagation criteria. Part 2. Solution and results
We propose a new scheme of mixed-mode problem solution based on the deformation theory o f plasticity with a power-law hardening stressstrain response and on application of elastic and plastic mixity parameters. Depending on the mixed-mode loading conditions and the initial crack line directio...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2005
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47766 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Evaluation of the elastic-plastic mixity barameters on the base of different crack propagation criteria. Part 2. Solution and results / V.N. Shlyannikov, Zh.M. Sakhabutdinov // Проблемы прочности. — 2005. — № 4. — С. 46-63. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859768076760776704 |
|---|---|
| author | Shlyannikov, V.N. Sakhabutdinov, Zh.M. |
| author_facet | Shlyannikov, V.N. Sakhabutdinov, Zh.M. |
| citation_txt | Evaluation of the elastic-plastic mixity barameters on the base of different crack propagation criteria. Part 2. Solution and results / V.N. Shlyannikov, Zh.M. Sakhabutdinov // Проблемы прочности. — 2005. — № 4. — С. 46-63. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | We propose a new scheme of mixed-mode problem
solution based on the deformation theory
o f plasticity with a power-law hardening stressstrain
response and on application of elastic
and plastic mixity parameters. Depending on
the mixed-mode loading conditions and the initial
crack line direction, this approach allows
one to analyze a wide range of possible crack propagation paths controlled by shear and tensile
mechanisms. The equilibrium equation
with Airy function is used for a two-dimensional
problem in the polar coordinate system.
The Ramberg-Osgood model is applied to a material
with power-law hardening behavior. Using
the finite difference method we obtained a
numerical solution of the mixed-mode loading
problem with boundary conditions corresponding
to two cases of crack propagation. Within
the framework of the proposed approach we estimated
the dependencies between mixity parameters
and various loading parameters and
crack inclination angle for a range of strain
hardening exponent values, which dependencies
closely fit the experimental data.
Запропоновано новий підхід до розв’язання задач змішаних видів руйнування, що базується на деформаційній теорії пластичності зі степеневим зміцненням та використанні пружного і пластичного параметрів змішаності. У залежності від умов змішаності навантаження і вихідного направлення лінії тріщини цей підхід дозволяє оцінити широкий спектр можливих траєкторій розповсюдження тріщини: за механізмами зсуву і відриву. Для дво вимірної задачі в полярній системі координат використовується рівняння рівноваги з функцією Ері, для матеріалу зі степеневим зміцненням - модель Рамберга-Осгуда. За допомогою методу скінченних різниць отримано числовий розв’язок задачі змішаності навантаження для граничних умов, що відповідають двом випадкам розповсюдження тріщини. На основі запропонованого підходу визначено залежності параметрів змішаності від різних параметрів навантаження та нахилу тріщини за різних значень показника зміцнення, що добре узгоджуються з експериментальними даними.
Предложен новый подход к решению задач смешанных видов разрушения, основанный на
деформационной теории пластичности со степенным упрочнением и на использовании
упругого и пластического параметров смешанности. В зависимости от условий смешанности
нагружения и исходного направления линии трещины этот подход позволяет оценить
широкий спектр возможных траекторий распространения трещины: по механизмам сдвига
и отрыва. Для двухмерной задачи в полярной системе координат используется уравнение
равновесия с функцией Эри. Для материала со степенным упрочнением применяется модель
Рамберга-Осгуда. С помощью метода конечных разностей получено численное решение
задачи смешанного нагружения для граничных условий, соответствующих двум случаям
распространения трещины. На основании предложенного подхода оценены зависимости
параметров смешанности от различных параметров нагружения и наклона трещины при
разных значениях показателя упрочнения, которые хорошо согласуются с экспериментальными
данными.
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:03:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 539.4
Evaluation of the Elastic-Plastic Mixity Parameters on the Base of
Different Crack Propagation Criteria. Part 2. Solution and Results
V. N. Shlyannikov and Zh. M. Sakhabutdinov
Kazan State Power Engineering University, Kazan, Russia
УДК 539.4
Оценка упругопластического параметра смешанности на основе
различных критериев роста трещины. Сообщение 2. Метод
решения и результаты
В. Н. Шлянников, Ж. М. Сахабутдинов
Казанский государственный энергетический университет, Казань, Россия
Предложен новый подход к решению задач смешанных видов разрушения, основанный на
деформационной теории пластичности со степенным упрочнением и на использовании
упругого и пластического параметров смешанности. В зависимости от условий смешан
ности нагружения и исходного направления линии трещины этот подход позволяет оценить
широкий спектр возможных траекторий распространения трещины: по механизмам сдвига
и отрыва. Для двухмерной задачи в полярной системе координат используется уравнение
равновесия с функцией Эри. Для материала со степенным упрочнением применяется модель
Рамберга-Осгуда. С помощью метода конечных разностей получено численное решение
задачи смешанного нагружения для граничных условий, соответствующих двум случаям
распространения трещины. На основании предложенного подхода оценены зависимости
параметров смешанности от различных параметров нагружения и наклона трещины при
разных значениях показателя упрочнения, которые хорошо согласуются с эксперименталь
ными данными.
Ключевые слова : п о в е д е н и е т р е щ и н п р и с м е ш а н н о м т и п е д е ф о р м и р о в а н и я ,
м а л о м а с ш т а б н а я т е к у ч е с т ь , с м е н а м е х а н и з м а р а з р у ш е н и я , р о с т т р е щ и н ы ,
п а р а м е т р ы с м е ш а н н о с т и .
G o v e r n i n g E q u a t i o n s . I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l f o l l o w t h e d e v e l o p m e n t o f
t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s o f c r a c k - t i p f i e l d s f o r s t r a i n - h a r d e n i n g m a t e r i a l . W e w i l l
t h e n u s e t h e s e e q u a t i o n s t o c o n s t r u c t m i x e d - m o d e c r a c k - t i p f i e l d s f o r t w o c r a c k
g r o w t h d i r e c t i o n c r i t e r i a o r c o m p e t i n g f r a c t u r e m e c h a n i s m s u n d e r b o t h p l a n e
s t r a i n a n d p l a n e s t r e s s c o n d i t i o n s . W e c o n s i d e r a c r a c k w i t h t h e c r a c k f r o n t
p a r a l l e l t o t h e z - a x i s i n t h e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s y s t e m , x , y , a n d z , w h e r e t h e
z - a x i s i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e x — y p l a n e . L e t r a n d L d e n o t e t h e p o l a r
c o o r d i n a t e s c e n t e r e d a t t h e c r a c k t i p , w h i l e 0 i s t h e a n g l e o f c r a c k p l a n e
o r i e n t a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e y - a x i s ( F i g . 1 ).
W i t h i n t h e c o n t e x t o f s m a l l s t r a i n a p p r o a c h , t h e e q u i l i b r i u m e q u a t i o n s a r e
dO rr 1 dO ra O rr — O aa
— - + -------- ------------------------- LL = 0, ( i a )
dr r dd r
© V. N. SHLYANNIKOV, Zh. M. SAKHABUTDINOV, 2005
46 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 4
Evaluation o f the Elastic-Plastic Mixity Parameters
<=i
<P
<=>
Y 1 /pïaStÙN
/ zone ]
elastic zone
MEi K,+ K„
V Mp. k £ /
X
/pliistic^V^
1 zone 1
U ip . k p /
elastic zone
ME- K|+ KM
i=>
■=>
C> no
■=>
G 0̂ £ £
G
Fig. 1. The biaxially loaded inclined crack and the near and far fields.
1 d 0 dd | do
r dd , + ~ ° r 9 ~ 0
d r r
( l b )
F o r t w o - d i m e n s i o n a l p l a n e p r o b l e m s , e q u i l i b r i u m i s e n s u r e d f o r a l l s t r e s s e s
d e r i v e d f r o m t h e A i r y s t r e s s f u n c t i o n b y
1 d<p 1 d 2<p
r dr r 2 dd2
o —
d 2
d r 2
d (1 d(p\
0 r d — dr i r d d ) ' ( 2 )
T h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n g o v e r n i n g t h e A i r y s t r e s s f u n c t i o n ( 2 ) ( u n d e r
t h e r e s t r i c t i o n o f n o u n l o a d i n g ) c a n b e o b t a i n e d b y e l i m i n a t i n g t h e s t r a i n s f r o m
t h e c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n
1 d 2 ( r f d d )
r d r 2
|
1 d 2 £ rr 1 d £ rr
r 2 d d 2 r dr
2 d ( d£
r
2 d r I d d
—0. ( 3 )
T h e m a t e r i a l i s a s s u m e d t o o b e y t h e t o t a l d e f o r m a t i o n t h e o r y o f p l a s t i c i t y
w i t h a p o w e r - l a w h a r d e n i n g s t r e s s - s t r a i n r e s p o n s e . P l a s t i c d e f o r m a t i o n i s a s s u m e d
t o b e i n d e p e n d e n t o f t h e h y d r o s t a t i c c o m p o n e n t o f t h e s t r e s s , p = a kk/3, a n d ,
f u r t h e r , i s a s s u m e d t o b e c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y t h e f i r s t i n v a r i a n t o f t h e s t r e s s
d e v i a t o r
- 1 As ij —0 ij - 3 0 kkàij '
T h e g e n e r a l i z e d s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n i s
1- 2v
( 4 )
Ef ij — ( 1 + ^ ) s j- +
3
i] v— - / - I , ■ 3 0 kkô ij + ^ a 00 n 1s j > ( 5 )
ISSN 0556-171X. npoôëeMbi npounocmu, 2005, N 4 47
V. N. Shlyannikov and Zh. M. Sakhabutdinov
3
w h e r e v i s P o i s s o n ’ s r a t i o a n d a e i s t h e e f f e c t i v e s t r e s s d e f i n e d b y a e = 2 S j S j .
I n s i m p l e t e n s i o n , c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n ( 5 ) f o r s t r a i n - h a r d e n i n g m a t e r i a l r e d u c e s
t o t h e m o d e l s u g g e s t e d b y R a m b e r g a n d O s g o o d
e =
fa /E , a < a 0 ,
[a /E + a o ( a / E ) n , a > a 0 .
( 6)
I n t h e a b o v e r e l a t i o n , a 0 a n d n a r e t h e h a r d e n i n g p a r a m e t e r s , w h i l e o 0 i s t h e
y i e l d s t r e s s i n s i m p l e t e n s i o n . T h e y i e l d c o n d i t i o n f o r s t r a i n - h a r d e n i n g m a t e r i a l
c a n b e a s s u m e d t o h a v e t h e f o r m o e = o 0 o r o e / o 0 = 1.
T h e d o m i n a n t s i n g u l a r i t y s o l u t i o n f o r a c r a c k e d p l a t e o f a s t r a i n - h a r d e n i n g
m a t e r i a l , k n o w n a s t h e H R R - s i n g u l a r f i e l d [ 1 , 2 ] ) , w a s c o m p l e t e d b y t h e s o l u t i o n
f o r t h e m i x e d - m o d e e l a s t i c - p l a s t i c s t r e s s d i s t r i b u t i o n , c o r r e s p o n d i n g o n l y t o
t e n s i l e f r a c t u r e m e c h a n i s m , p r e s e n t e d b y S h i h [ 3 ] . A c c o r d i n g t o t h e s e a p p r o a c h e s ,
t h e d o m i n a n t s i n g u l a r i t y g o v e r n i n g t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f t h e s t r e s s e s a t t h e
c r a c k t i p h a s t h e f o l l o w i n g f o r m :
a ij = a 0 K Mr 1/(n+1) ~ i j ,
a e = a 0 K p r “ 1 (n + 1 ) ~ e ,
( 7 )
w h e r e K M i s t h e p l a s t i c s t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r , a n d M p i s t h e n e a r - f i e l d m i x i t y
p a r a m e t e r o f S h i h [ 3 ] . T h e d i m e n s i o n l e s s f u n c t i o n s ~ j a n d ~ e d e p e n d o n l y o n
t h e p o l a r a n g l e B, M p , a n d n . U n d e r p l a n e s t r a i n c o n d i t i o n s , w h e n t h e e l a s t i c
s t r a i n s a r e n e g l i g i b l e a n d t h e d i m e n s i o n l e s s e f f e c t i v e s t r e s s i s r e l a t e d t o b o t h t h e
s t r e s s c o m p o n e n t s a n d t h e A i r y d i m e n s i o n l e s s s t r e s s f u n c t i o n <p, t h e f o l l o w i n g
e x p r e s s i o n h o l d s :
a a > )2 + 3 ~ 2 b ( 8)
w h e r e a s t h e r e l a t i o n s h i p u n d e r p l a n e s t r e s s c o n d i t i o n s i s g i v e n b y :
~ 2 ~2 ~2 ~ ~ ~2
a e = a rr a BB _ a rra BB 3 a rB ,
w h e r e
( 9 )
~ rr = s(p +
d6 2
~ ~ ~ d(p
a BB= s( s - 1 ) ( , a rB= ( 1 - s) .
I n t h e p r e s e n t w o r k , t h e f o u r t h - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n g o v e r n i n g t h e
d o m i n a n t s i n g u l a r i t y d e r i v e d f r o m t h e c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n i s e x p r e s s e d i n t h e
f o r m o f a n e i g e n v a l u e e q u a t i o n f o r s, b y t a k i n g i n t o a c c o u n t E q s . ( 8) a n d ( 9 ) . F o r
p l a n e s t r a i n , w e g e t
t j 2 ̂
— a j2
V <
a n—1
V
= 0, ( 10)2
48 ISSN 0556-171X. npoôneMbi npoHHoemu, 2005, № 4
Evaluation o f the Elastic-Plastic Mixity Parameters
w h e r e
e ^ e
a e 0 +
d 0
+ ae
ai = n ( s — 2) [ n ( s — 2) + 2] , a e = s (2 — s ) ,
a 3 = 4 ( s — l ) [ n ( s — 2 ) + 1 ], a 4 = 3 ( 1 — s ) 2 ,
w h i l e t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r p l a n e s t r e s s i s g i v e n b y :
n ( s — 2) ■ o
( N
n—1 s ( s — 3 ) 0 — 2 +
+ n ( s — 2) [ n ( s — 2) + 1]cr
n —1 +
+ 6( s — 1) [ n ( s — 2) + 1] = 0, ( 11)
w h e r e
~ 2 = s 2 ( s 2 — 3 s + 3 ) 0 2 + 3 ( s — 1) 2 + 0 2 + s ( 3 — s ) 0 0 2 ■
B o u n d a r y C o n d i t i o n s . F o r a s t r e s s - f r e e c r a c k , b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n b o t h
u p p e r a n d l o w e r c r a c k l i p s c a n b e t a k e n a s
~ e e — ) = 0, ~re — ) = 0, o r 0 — ) = 0, 0 1 — ) = 0,
~ e e ( ^ ) = 0, ~ r e ( ) = 0, o r 0 ( n ) = 0, 0 1 ( n ) = 0,
( 12)
a n d w i t h a n i m p o s e d s y m m e t r y f o r t h e c a s e o f a t e n s i l e c r a c k ( p u r e M o d e I )
0 1( 0 ) = 0 3 ( 0 ) = 0- ( 1 3 )
I n t h e c a s e o f p u r e s h e a r ( M o d e I I ) , w e h a v e t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n
E q s . ( 1 2 ) a s w e l l . W e a l s o h a v e t o s a t i s f y t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s f o r 0 = 0
~ re ( 0 ) = m a x a n d ~ ee ( 0) = d = 0 o r 0 ( 0) = 0 2 ( 0) = 0. ( 1 4 )
I n t h e m i x e d m o d e l o a d i n g c o n d i t i o n s , e x c e p t f o r t h e s t r e s s - f r e e b o u n d a r y
c o n d i t i o n s ( 1 2 ) a n d t h e a s s u m p t i o n [ 4 ] t h a t t h e s i n g u l a r p a r t s o f s t r a i n e n e r g y
d e n s i t y W m u s t b e e q u a l a t o p p o s i t e p o i n t s o n e i t h e r s i d e o f t h e c r a c k , t h a t i s
W ( n ) = W ( —n ) , i t i s n e c e s s a r y t o i n t r o d u c e a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s i n i n t e r m e d i a t e
ISSN 0556-171X. npoôneMbi npoHHocmu, 2005, № 4 49
2
V. N. Shlyannikov and Zh. M. Sakhabutdinov
p o i n t s o f t h e i n t e g r a t i o n i n t e r v a l f r o m — n u p t o + n . T h e s e c o n d i t i o n s h a v e t o
c o r r e s p o n d t o t h e d o m i n a n t f r a c t u r e m e c h a n i s m . I t i s c l e a r f r o m t h e p r e c e d i n g
d i s c u s s i o n t h a t t h e d o m i n a n t m e c h a n i s m ( b e t w e e n t h e t w o c o n s i d e r e d ) d e t e r m i n e s
t h e s t a b l e c r a c k g r o w t h d i r e c t i o n . T h e r e f o r e , w e p r o p o s e t o c o m p l e t e t h e
b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r m i x e d m o d e f r a c t u r e p r o c e e d i n g f r o m t h e a s s u m p t i o n
t h a t s o m e d i m e n s i o n l e s s s t r e s s h a s t o h a v e a n e x t r e m u m a l o n g t h e c r a c k g r o w t h
*
d i r e c t i o n 0 = 0 .
T h e n , f o r f r a c t u r e m e c h a n i s m r e f e r r e d t o a s tensile crack, i t w i l l b e t h e
c o n d i t i o n o f t h e c r a c k g r o w t h d i r e c t i o n a l o n g t h e n o r m a l t o t h e m a x i m u m t e n s i l e
s t r e s s e s , i . e . ,
T h i s t y p e o f b o u n d a r y c o n d i t i o n w a s p r o p o s e d i n ( D o l g o r u k o v [ 5 ] , S h l y a n n i k o v
a n d D o l g o r u k o v [6] ) . I n t h e c a s e o f f r a c t u r e m e c h a n i s m r e f e r r e d t o a s shear
crack , a n a d d i t i o n a l b o u n d a r y c o n d i t i o n i s r e l a t e d t o t h e c r a c k p r o p a g a t i o n i n t h e
d i r e c t i o n o f m a x i m u m s h e a r s t r a i n s o r s t r e s s e s , i . e . ,
I n c o n c l u s i o n , t h e f o u r - o r d e r d i f f e r e n t i a l E q . ( 1 0 ) f o r p l a n e s t r a i n a n d E q .
( 11) f o r p l a n e s t r e s s , r e s p e c t i v e l y , a r e s o l v e d n u m e r i c a l l y f o r t w o g r o u p s o f
b o u n d a r y c o n d i t i o n s . E a c h o f t h e m c o r r e s p o n d s t o t h e d o m i n a t i n g f r a c t u r e
m e c h a n i s m : t h e t e n s i l e c r a c k [ E q s . ( 1 2 ) a n d ( 1 5 ) ] a n d t h e s h e a r c r a c k [ E q s . ( 1 2 )
a n d ( 1 6 ) ] .
M e t h o d o f S o l u t i o n . F o r t h e p u r p o s e o f s o l u t i o n o f n o n l i n e a r e i g e n v a l u e
e q u a t i o n s , a p p l y b o t h t h e s h o o t i n g m e t h o d a n d t h e f i n i t e - d i f f e r e n c e m e t h o d .
T h e s e t w o m e t h o d s a r e a p p l i e d u s i n g i t e r a t i o n . H o w e v e r , t h e s h o o t i n g m e t h o d
a n d i t s v a r i a n t s w e r e i n a d e q u a t e f o r m i x e d m o d e a n a l y s i s . A m o r e c o r r e c t m e t h o d
e m p l o y i n g t h e f i n i t e d i f f e r e n c e p r o c e d u r e w a s u s e d i n o u r i n v e s t i g a t i o n a n d
h i g h l y a c c u r a t e s o l u t i o n s w i t h v e r y r a p i d c o n v e r g e n c e w e r e o b t a i n e d .
T h e n o n l i n e a r f o u r t h - o r d e r d i f f e r e n t i a l e i g e n v a l u e e q u a t i o n s ( 1 0 ) a n d ( 1 1 )
f o r p l a n e s t r a i n a n d p l a n e s t r e s s c o n d i t i o n s a r e s o l v e d n u m e r i c a l l y b y m e a n s o f
t r a n s f o r m a t i o n t o t h e s y s t e m o f f i r s t - o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s
= 0 o r <~1( 0 * ) = 0 , —n < 0 * < < . ( 1 5 )
( 1 6 )
( 1 7 )
50 ISSN 0556-171X. npoôëeMbi npounocmu, 2005, N 4
Evaluation o f the Elastic-Plastic Mixity Parameters
T h e f i n i t e - d i f f e r e n c e c o u n t e r p a r t f o r s y s t e m ( 1 7 ) i s i n t r o d u c e d a s
~ A 6 i ~ ~
0 i+1 — 0 i = _ ^ ( 0 1,1+1 + 0 i , i X
~ ~ A 6 i ~ ~
0 1, i+1 — 0 1,i = ~ ^ ( 0 2,i+1 + 0 2,i X
~ ~ A 6 i ~ ~
0 2 ,i+ 1 — 0 2 ,i = “ ^ ( 0 3 ,i+ 1 + 0 3 ,i ) ,
( 1 8 )
0 3,i+1 0 3,i
H e r e imax i s t h e n u m b e r o f n o d e p o i n t s w i t h i n t h e i n t e r v a l — n < 6 < n . T h e s t e p
s i z e o f i n t e g r a t i o n A 6 i = 6 i+1 — 6 i w a s v a r i e d i n a n a p p r o p r i a t e m a n n e r . T h e
s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a r e q u a t i o n ( 1 7 ) t o t r a n s f e r t o f i n d i n g o f t h e r o o t s f o r t h e
a l g e b r a i c s y s t e m ( 1 8 ) . B e f o r e d e s c r i b i n g t h e s o l u t i o n o f E q s . ( 1 7 ) , w e s h a l l
f o r m u l a t e t h e C a u c h y p r o b l e m f o r t h e s a m e s y s t e m . L e t u s a s s u m e a n
a p p r o x i m a t e s o l u t i o n f o r v t h i t e r a t i o n t o b e k n o w n . T h e l a s t e q u a t i o n o f s y s t e m
( 1 7 ) c a n b e t r e a t e d a s o n e n o n l i n e a r e q u a t i o n w i t h r e s p e c t t o v a r i a b l e 0 3V++) a n d
w r i t t e n i n t h e f o r m
s / ~ ( v+ 1 ) \ _ ~ ( v+1) ~
° ( 0 3 , i+ 1 ) = 0 3 ,i+ 1 — 0 3 ,i —
—{<? i + 1 [ 0 i+ 1 ( 0 3v++1 )) , 0 1 ,i+ 1 ( 0 3v++1))) , 0 2 , i+ 1 ( 0 3v++1 )) , 0 3 ', i + i ] +
+ <P i ( 0 i , 0 1,i , 0 2 , i , 0 3 ,i ) } 2 — 0, ( 1 9 )
i n w h i c h v a l u e s 0 i + 1 , 0 1 i + 1 , a n d 0 2 i+1 a r e e x p r e s s e d t h r o u g h f i r s t t h r e e
e q u a t i o n s o f s y s t e m ( 1 7 ) :
; ( v+1) _
1 2 ,i+ 1
; ( v+1)
’ 1,i+1
; ( v+1)
— 0 2
A 0 ;
+ ------ -,i 2 ( 0 3v++i + 0 3 ,i ) ,
A 0 i r ~ A 0
= 0 1,
+ 2 20 2,i + 2 - ( 0
A 0 i f ~ A 0 i
-
— 0 i
+ 2 1
2 0 1,i + 2 ' 202 0 2 , i + ( 0 3’! + + i + 0 3 , i )
( 20)
T h e e q u a t i o n ( 2 0 ) i s s o l v e d b y t h e N e w t o n m e t h o d
~ (v + 1 ) ~ ( v ) $ ( 0 ( v ) , 0 ( v ) , 0 2v ) , 0 3v ) )
0 3 ,i +1 = 0 3 , i + 1 ( v W . 7 ■
y 3 0 3 ,i+1
( 2 1 )
JSSN 0556-171X. npoôëeMbi npoHHoemu, 2005, N 4 51
V. N. Shlyannikov and Zh. M. Sakhabutdinov
T h e i t e r a t i o n s p r o c e e d b y v u n t i l t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c o n s e c u t i v e v a l u e s
o f a n d <~> 3v)+1 i s l e s s t h a n a g i v e n n u m b e r
- ^ 8+1 < £ - ( 22)
M o r e d e t a i l s o f t h e s o l u t i o n a r e d e s c r i b e d i n [7 ] .
M o d e M i x i t y P a r a m e t e r s D e t e r m i n a t i o n . F o r t h e m i x e d m o d e s m a l l - s c a l e
y i e l d i n g p r o b l e m , t w o p a r a m e t e r s K PM a n d M P i n t r o d u c e d b y S h i h ( 1 9 7 4 ) a r e
r e q u i r e d t o s p e c i f y c o m p l e t e l y t h e s t r e s s a n d s t r a i n f i e l d s i n t h e v i c i n i t y o f t h e
c r a c k t i p . A s h a s a l r e a d y b e e n d i s c u s s e d r e l a t e d t o E q s . ( 7 ) , K = K PM i s t h e
a m p l i t u d e o f t h e d o m i n a n t s i n g u l a r i t y o r p l a s t i c s t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r a n d M P i s
t h e n e a r - f i e l d m i x i t y p a r a m e t e r
2 - 1 M p = — t a n
71 0 (0 = 0)
( 2 3 )
A s f o l l o w s f r o m t h e a b o v e m e t h o d b a s e d o n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e
a n g u l a r d i s t r i b u t i o n o f s t r e s s e s a n d s t r a i n s d e p e n d s o n t h e c r a c k g r o w t h d i r e c t i o n
*
a n g l e 0 o r t h e d o m i n a n t f r a c t u r e m e c h a n i s m . F r o m o u r s o l u t i o n s w h i c h a r e
*
g i v e n b e l o w , w e c a n p o i n t o u t t h a t , f o r e a c h p a r t i c u l a r v a l u e o f 0 , o n e o r
g e n e r a l l y t w o v a l u e s o f M P r a n g i n g f r o m p u r e M o d e I t o p u r e M o d e I I c a n b e
*
f o u n d . T h u s , t h e c r a c k d e v i a t i o n a n g l e 0 t o i d e n t i f y e a c h p o s s i b l e s e t o f
d i m e n s i o n l e s s s t r e s s e s a n d s t r a i n s d i s t r i b u t i o n s a n d M P c a n n o t b e t h o u g h t o f a s
a u n i q u e m e a s u r e o f t h e n e a r - f i e l d i n t h e l i g h t o f t h e f r a c t u r e m e c h a n i s m u n d e r
. . . .
m i x e d m o d e l o a d i n g . I n t u r n , t h e c r a c k g r o w t h d i r e c t i o n a n g l e 0 c a n b e f o u n d
t h r o u g h a n y f r a c t u r e c r i t e r i o n e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e e l a s t i c s t r e s s i n t e n s i t y
f a c t o r s . S e v e r a l d i f f e r e n t c r i t e r i a h a v e b e e n p r o p o s e d f o r d e t e r m i n i n g t h e
d i r e c t i o n o f c r a c k g r o w t h u n d e r g e n e r a l m i x e d m o d e l o a d i n g c o n d i t i o n s ( s e e , f o r
e x a m p l e t h e c r i t e r i o n b y S h l y a n n i k o v a n d B r a u d e [8] ) . H e n c e , i t i s p o s s i b l e t o
c o n n e c t t h e n e a r - f i e l d t o t h e f a r - f i e l d w h i c h b y - p a s s e s a n a n a l y s i s o f t h e
i n t e r m e d i a t e f i e l d a s i t w a s p r o p o s e d i n P a r t 1 b y e q u a t i o n ( 1 4 ) . U n l i k e t h e
i n v e s t i g a t i o n o f S h i h [ 3 ] , p l a s t i c m i x i t y p a r a m e t e r M P i n t h e p r e s e n t w o r k w i l l
d i r e c t l y b e o b t a i n e d f r o m b o t h d i m e n s i o n l e s s ° 00 a n d ° r0 d i s t r i b u t i o n s w i t h o u t
a f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s o f i n t e r m e d i a t e f i e l d s , b u t c a l c u l a t i n g t h e r e l a t i o n s h i p
b e t w e e n e l a s t i c a n d p l a s t i c m i x i t y p a r a m e t e r s .
I n a c c o r d a n c e w i t h t h e a p p r o a c h b y S h i h [ 3 ] , t h e p l a s t i c s t r e s s i n t e n s i t y
f a c t o r K M i n p u r e M o d e I ( o r p u r e M o d e I I ) c a n d i r e c t l y b e e x p r e s s e d i n t e r m s
o f c o r r e s p o n d i n g e l a s t i c s t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r u s i n g R i c e ’s / - i n t e g r a l . I n m i x e d
m o d e s m a l l - s c a l e y i e l d i n g , K M c a n a l s o b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e / - i n t e g r a l
( S h i h [ 3 ] ) . T h a t i s
52 ISSN 0556-171X. npo6n.eMH npounocmu, 2005, N 4
Evaluation o f the Elastic-Plastic Mixity Parameters
j = In ( e * ) ( K PM )n+1 a n d K M =
K 2 + K 2
2 *
a o o 1 n( e )
V(n + 1)
( 2 4 )
w h e r e K j a n d K 2 a r e e l a s t i c s t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r s
K =
o4na
2 [ ( 1 + ^ ) - ( 1 — ^ ) c o s 2 0 ] a n d K 2 = ~ 2 ^ ~ (1 — ^ ) s i n 2 0 , ( 2 5 )
a n d E = E f o r p l a n e s t r e s s , E = e / ( 1 — v 2 ) f o r p l a n e s t r a i n , w h e r e v i s
P o i s s o n ’s r a t i o .
I n t h e a b o v e r e l a t i o n s , a a n d n a r e t h e h a r d e n i n g p a r a m e t e r s , a i s t h e h a l f
c r a c k l e n g t h , 0 i s t h e i n c l i n e d a n g l e o f c r a c k t o t h e y - a x i s , a n d ] i s t h e b i a x i a l
n o r m a l s t r e s s r a t i o . D i f f e r e n t d e g r e e s o f b i a x i a l i t y a n d m i x e d m o d e a r e g i v e n b y
t h e c o m b i n a t i o n s o f 0 a n d ] . T e n s i l e l o a d c o r r e s p o n d s t o 0 = 9 0 ° f o r a n y ] , a n d
p u r e s h e a r l o a d t o 0 = 4 5 ° , ] = — 1. N o t e t h a t t h e c r a c k g r o w t h d i r e c t i o n a n g l e i s
* * /1 /
a f u n c t i o n o f t h e s e p a r a m e t e r s [ i . e . , 0 = 0 ( o , 0 , ] , v , r / a )] e x p r e s s e d i n t h e f o r m
o f a f r a c t u r e c r i t e r i o n .
. . . . . .
T h e n u m e r i c a l c o n s t a n t I n ( 0 ) i s o b t a i n e d f r o m t h e s i n g u l a r i t y a n a l y s i s b y
m e a n s o f c o n j u g a t i o n s o l u t i o n s f o r f a r - a n d n e a r - f i e l d s
f (Wdy — Oj-njUi x ds ) = 0 . 5 ^ ( 1 — v 2 ) o 2 [(1 + ] 2 ) — ( 1 — ] 2 ) c o s 2 0 ] . ( 2 6 )
A f t e r t r a n s f o r m a t i o n o f t h e l e f t p a r t o f E q . ( 2 6 ) , w e h a v e t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n
f o r t h e i n t e g r a l a l o n g c o n t o u r ^ c l o s e t o c r a c k t i p
f (Wdy — o jn jU i x d s ) = a o ( K pM ) n+1 r (n + 1)(s—2 )+ 1 I n ( 0 * ) , ( 2 7 )
w h e r e
I n ( e * ) = f Q ( n , e ) d e , ( 2 8 )
a n d
Q = --------- u n+1 c o s (
n +1 e
o r r l u e s in
n + 1
( ~ r r u r + ~ re ue ) c o s e .
2
1
E m p l o y i n g t h e R a m b e r g - O s g o o d r e l a t i o n b e t w e e n s t r e s s e s a n d s t r a i n s a n d t h e
s t r e s s c o m p o n e n t s d e r i v e d f r o m t h e s t r e s s f u n c t i o n A i r y a s w e l l , w e c a n o b t a i n t h e
d i m e n s i o n l e s s r a d i a l a n d t a n g e n t i a l d i s p l a c e m e n t s f o r plane strain a n d t h e i r
d e r i v a t i v e s i n c l u d e d i n t h e p r e v i o u s e q u a t i o n
ISSN 0556-171X. npoôëeMbi npounocmu, 2005, N 4 53
V. N. Shlyannikov and Zh. M. Sakhabutdinov
ur ( a ) = 7 ( n + 1 ) u n 1[ a 20 + 0 2 ] . u6 ( a ) =
4 n
n + 1 dur
— 3 u n ~ 1( i - s )01 ( 2 9 )
w h e r e
dUr 3 ( n + 1 ) u n - 3
- ^ r = ------- :— u „
n — 1 u u ~ 2 u u
~ 2 ~ p 1( a 2 0 + 0 2 ) + o e (a 2 0 1 + 0 3 )
P 1 = 2 ( a 2 0 + 0 2 ) ( a 2 0 1 + 0 3 ) + 2 a 4 0 10 2 .
du r 1 d L n + 1 u dUa
u 0 ^ — — = ----- — — 3 --------- u e ( 1 — s ) 0 1, u r + “ 7 T = ( s — 2 ) u r
d a n da n da
w h i l e t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s h o l d f o r plane stress
1
Ur ( a ) = 77— o n —1 j s ( 3 — s ) ^ 2 + 2
0 d 0
uua ( a )
n ( s — 2 ) + 1
n + 1 d u r ( a ) n —1n ^ d 0 ( a )— — — 3 u e ( 1 — s ) — — -
( 3 0 )
w h e r e
dur ( a ) u n 1 I ( n — 1) ^
n ( s — 2 ) + 1 I 2 u
s ( 3 — s ) u d 0
2
0 +
+ s ( 3 — s ) d 0 + d 0
d u a ( a ) n —1
2 Ur ( a ) ,
n
2
^1 = 2 s 2 ( s 2 — 3 s + 3 ) 0 d 0 + ( 5 s 2 — 9 s + 6) ^ ^ - 2 +
d 2 0 d 3 0 u d 3 0
+ 2 — 2-------- T + s ( 3 — s ) 0 — 3-
I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e i n t e g r a t i o n c o n s t a n t g i v e n b y E q . ( 2 8 ) h a s
2D
d i f f e r e n t v a l u e s u n d e r p l a n e s t r e s s a n d p l a n e s t r a i n w h i c h a r e d e n o t e d a s I n a n d
, r e s p e c t i v e l y . T h e a m p l i t u d e K M h a s b e e n i n t r o d u c e d s i n c e i t i s c o n v e n i e n t
t o n o r m a l i z e t h e d i m e n s i o n l e s s s t r e s s t e n s o r u y ( 6 , n , M p ) s o t h a t e f f e c t i v e s t r e s s
[u e ( a , n , M P ) ] i s e q u a l t o 1. T h u s , f o r s m a l l - s c a l e y i e l d i n g , t h a t i s w h e n t h e
p l a s t i c z o n e n e a r t h e c r a c k t i p i s v e r y s m a l l c o m p a r e d t o c r a c k l e n g t h , t h e
a m p l i t u d e o f t h e s i n g u l a r i t y K M c a n d i r e c t l y b e d e t e r m i n e d b y a p p l i c a t i o n o f t h e
. / - i n t e g r a l [ E q . ( 2 4 ) ] .
54 ISSN 0556-171X. npo6n.eMH npounocmu, 2005, N 4
Evaluation o f the Elastic-Plastic Mixity Parameters
F i n a l l y , t h e n o n l i n e a r g o v e r n i n g e q u a t i o n s ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) f o r b o t h t y p e s o f t h e
d o m i n a t i n g f r a c t u r e m e c h a n i s m s c a n b e s o l v e d n u m e r i c a l l y u s i n g t h e i t e r a t i o n
s c h e m e w i t h e r r o r a n d s t e p - s i z e c o n t r o l . D u e t o t h e m i x e d m o d e l o a d i n g , w e n e e d
t o c o n s i d e r t h e c r a c k - t i p f i e l d s f r o m 0 = —n t o 0 = + n . T o s a t i s f y t h e s t r e s s - f r e e
b o u n d a r y c o n d i t i o n s , w e h a v e ~ e e = ~ re = 0 a t 0 = ± n . W e a l s o r e i n f o r c e t h e
b o u n d a r y c o n d i t i o n s t h a t a r e r e l a t e d t o t h e l e a d i n g f r a c t u r e m e c h a n i s m s o t h a t t h e
s t r e s s e s <700 a n d o re a r e e x t r e m a a l o n g t h e c r a c k g r o w t h d i r e c t i o n 0 = 0 .
R e s u l t s a n d D i s c u s s i o n . I n t h i s s e c t i o n , w e s t u d y t h e g e n e r a l m i x e d m o d e
l o a d i n g c o n d i t i o n s . F o r t h e c a s e s t h a t w e c o n s i d e r h e r e , w e i n t r o d u c e t w o t y p e s o f
c r a c k - t i p f i e l d s . T h e f i r s t o n e , r e f e r r e d t o a s t e n s i l e c r a c k f i e l d t y p e , c o r r e s p o n d s
t o M o d e I p r e d o m i n a n t l o a d i n g c o n d i t i o n s [ E q s . ( 1 2 ) , ( 1 5 ) ] . T h e o t h e r , s h e a r
c r a c k f i e l d t y p e , i s r e l a t e d t o M o d e I I p r e d o m i n a n t l o a d i n g c o n d i t i o n s [ E q s . ( 1 2 ) ,%
( 1 6 ) ] . O n e o f s u c h b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s s e t a t p o i n t s 0 = 0 p r e d e t e r m i n i n g t h e
. . . H* . .
c r a c k g r o w t h d i r e c t i o n . T h u s , t h e v a r i a b l e 0 = 0 p o s s e s s e s c o n s e c u t i v e v a l u e s i n
a r a n g e f r o m 0 = 0 u p t o 0 = — 8 0 ° w i t h s t e p s i z e e q u a l t o 5 ° . I t s h o u l d b e
*
n o t e d t h a t w e h a v e p u r e M o d e I a t 0 = 0 f o r t h e t e n s i l e c r a c k , w h i l e p u r e M o d e I I
t a k e s p l a c e f o r t h e s h e a r c r a c k . F o r e a c h v a l u e o f 0 = 0 , w i t h t h e h e l p o f t h e
o b t a i n e d d i m e n s i o n l e s s s t r e s s d i s t r i b u t i o n s , t h e a p p r o p r i a t e v a l u e s o f p l a s t i c
m i x i t y p a r a m e t e r M p a r e c a l c u l a t e d t h a t i d e n t i f y e a c h c o n c r e t e c a s e o f t h e
m i x e d m o d e c r a c k b e h a v i o r .
B e s i d e s , i n o u r n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s w i t h p r e d o m i n a n t M o d e I l o a d i n g
. . . . . . H*
c o n d i t i o n s , t h e m i x i t y p a r a m e t e r M p v a r i e s f r o m 1 t o 0 b y v a r y i n g 0 = 0 f r o m
0 = 0 u p t o 0 = —( 7 0 — 8 0 ) , r e s p e c t i v e l y , d e p e n d i n g o n t h e s t r a i n - h a r d e n i n g
e x p o n e n t n .
I n t h e c a s e o f p r e d o m i n a n t M o d e I I f r a c t u r e m e c h a n i s m , M p c h a n g e s f r o m%
0 ( a t 0 = 0 ) t o 1 . O u r a n a l y s i s a n d c o m p u t a t i o n d a t a f o r t h e t w o - d i m e n s i o n a l
p r o b l e m t a k e i n t o a c c o u n t t h e d i f f e r e n t c r a c k b e h a v i o r f o r t w o m a i n t y p e s o f
s t r e s s - s t r a i n s t a t e b e c a u s e t h e r e s u l t s f o r p l a n e s t r a i n a n d p l a n e s t r e s s a r e
c o n t r a s t e d .
A c c o r d i n g t o o u r n u m e r i c a l r e s u l t s , t h e a n g u l a r v a r i a t i o n s o f t h e d i m e n s i o n l e s s
s i n g u l a r c r a c k - t i p s t r e s s a n d s t r a i n f i e l d s , O 00 a n d , a r e s h o w n i n F i g . 2 a - d
f o r t h e t w o m a t e r i a l s c o r r e s p o n d i n g t o t h e s t r a i n - h a r d e n i n g e x p o n e n t n = 3 a n d
n = 1 3 , r e s p e c t i v e l y .
N o t e t h a t w h e n w e c o n s t r u c t t h e p o w e r - l a w s o l u t i o n s , w e a s s u m e t h a t t h e
e x t r e m a o f t h e s i n g u l a r s t r e s s e s 000 a n d ~ ̂ ( o r ~ ^ ) c o r r e s p o n d i n g t o t h e
. . . . . . ^ c .
d o m i n a n t f r a c t u r e m e c h a n i s m s e x i s t i n t h e c r a c k g r o w t h d i r e c t i o n 0 = 0 . T h i s
f a c t i s c o n f i r m e d i n F i g . 2 , w h e r e t h e a n g u l a r v a r i a t i o n s o f ~ 00 a n d a r e
s h o w n f o r v a r i o u s v a l u e s 0 = 0 ( a n d c o n s e q u e n t l y f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f t h e
m i x i t y p a r a m e t e r M p ) . T h e c r a c k - t i p f i e l d s s h o w n i n F i g . 2 a , b a r e t h e t e n s i l e
c r a c k t y p e f i e l d s w h i l e i n F i g . 2 c , d a r e p r e s e n t e d t h e s h e a r c r a c k t y p e f i e l d s .%
T h e s e r e s u l t s a r e n e c e s s a r y t o e s t a b l i s h d e p e n d e n c e b e t w e e n 0 a n d M p f o r
e a c h o f t h e c o n s i d e r e d d o m i n a n t f r a c t u r e m e c h a n i s m s . F r o m F i g . 2 a , b , i t i s c l e a r
t h a t t h e d e p a r t u r e f r o m M o d e I c o n d i t i o n s ( t h a t i s , M p l e s s t h a n u n i t y ) g i v e s r i s e
ISSN 0556-171X. npoôëeMbi npounocmu, 2005, № 4 55
V. N. Shlyannikov and Zh. M. Sakhabutdinov
t o a r e d u c t i o n i n t h e p e a k v a l u e o f t h e a m p l i t u d e o f t h e t e n s i l e s t r e s s c o m p o n e n t
~ qq a s s o c i a t e d w i t h t h e t e n s i l e c r a c k d o m i n a n t s i n g u l a r i t y i n t h e p l a s t i c z o n e o f
t h e c r a c k - t i p . D i s t r i b u t i o n s s i m i l a r t o t h o s e s h o w n i n F i g . 1 h a v e b e e n d e t e r m i n e d
f o r n = 2 , 3 , 5 , 9 , a n d 1 3 a n d p l a n e s t r e s s c o n d i t i o n s .
Fig. 2. Angular variations o f (a, b) tensile stresses and (c, d) shear strains for different near-tip
mixities corresponding to n = 3 and n = 13 under plane strain.
S u m m a r i z e d M i x e d M o d e C r a c k B e h a v i o r P a r a m e t e r s . T h e m a x i m u m
t e n s i l e s t r e s s a n d m a x i m u m s h e a r s t r e s s ( o r s t r a i n ) c r i t e r i a h a v e b e e n u s e d i n
e x p e r i m e n t a l s t u d i e s o f t h e c r a c k g r o w t h d i r e c t i o n i n m i x e d m o d e f r a c t u r e f o r
b r i t t l e a n d d u c t i l e m a t e r i a l s [ 8 - 1 0 ] . S o m e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o w t h a t t h e
a n g l e o f c r a c k g r o w t h d i r e c t i o n c o i n c i d e s w i t h t h e m a x i m u m t e n s i l e s t r e s s
p o s i t i o n . O n t h e o t h e r h a n d , h i g h M o d e I I c o m p o n e n t s i n d u c e d s h e a r - c o n t r o l l e d
f a i l u r e . P r e d o m i n a n t M o d e I I l o a d i n g d r i v e s t h e c r a c k i n t h e m a x i m u m s h e a r
d i r e c t i o n . I n d u c t i l e s t e e l s , i n p u r e M o d e I I c o n d i t i o n s , t h e s t a b l e c r a c k e x t e n d s
. . . . . . . . H* . . .
a p p r o x i m a t e l y i n i t s o r i g i n a l d i r e c t i o n ( t h a t i s , 0 ~ 0 ) . T h e p r e d i c t e d d i r e c t i o n s
56 ISSN 0556-171X. npoôëeMbi npounocmu, 2005, N 4
Evaluation o f the Elastic-Plastic Mixity Parameters
o f m a x i m u m t e n s i l e s t r e s s a n d m a x i m u m s h e a r a c c o r d i n g t o o u r s m a l l - s c a l e
y i e l d i n g p l a n e - s t r a i n a n a l y s i s ( f o r e x a m p l e , r e s u l t s i n F i g . 2 a n d o t h e r s ) f o r t h e
w o r k - h a r d e n i n g m a t e r i a l s w i t h n = 2 , 3 , 5 , 9 , a n d 1 3 a r e s u m m a r i z e d i n F i g . 3 a .
T h e u p p e r s e t o f c u r v e s i s r e l a t e d t o t h e t e n s i l e c r a c k f r a c t u r e m e c h a n i s m a n d
a g r e e w i t h [ 3 ] , w h e r e a s t h e l o w e r s e t c u r v e s c o r r e s p o n d t o t h e s h e a r c r a c k f r a c t u r e
m e c h a n i s m .
Fig. 3. Integration parameter I n and crack angle 0 as functions of the near-tip mode-mixity Mp
and strain-hardening exponent, (a, b, c) - plane strain, (d, e, f) - plane stress.
ISSN 0556-171X. npoôneMbi npoHHoemu, 2005, № 4 57
V. N. Shlyannikov and Zh. M. Sakhabutdinov
S i m i l a r r e s u l t s u n d e r p l a n e s t r e s s c o n d i t i o n s a r e s h o w n i n F i g . 3 d . U n l i k e t h e
p l a n e s t r a i n c o n d i t i o n s , u n d e r t h e p l a n e s t r e s s d e s p i t e t h e p r e s e n c e o f s o m e
d i s c o n t i n u i t y a r e a s o n t h e u p p e r c r a c k s u r f a c e , t h e t r e n d t o a c h i e v e t h e m a x i m a l
m a g n i t u d e o f t h e t e n s i l e s t r e s s f o r M P G ( 0 .6 5 — 0 .9 0 ) i s c l e a r . T h i s i s c o n n e c t e d
w i t h o m i t t i n g t h e e l a s t i c t e r m s i n a c o m p l e m e n t a r y p o t e n t i a l e n e r g y f u n c t i o n a l .
A s c a n b e s e e n , t h i s u n c e r t a i n b e h a v i o r a r e a c o m e s i n t o e x i s t e n c e a t n > 5 a n d i t s
s i z e i n c r e a s e s a s t h e s t r a i n - h a r d e n i n g e x p o n e n t v a l u e i n c r e a s e s . N o t e t h a t t h e
b e h a v i o r o f t h e s h e a r c r a c k u n d e r p l a n e s t r e s s i s m o r e s e n s i t i v e t o t h e v a r i a t i o n o f
t h e s t r a i n - h a r d e n i n g c o e f f i c i e n t t h a n u n d e r p l a n e - s t r a i n c o n d i t i o n s .
T h e m e t h o d d e v e l o p e d b y L i [ 1 1 ] a l l o w s a s i m p l e e v a l u a t i o n o f t h e p l a s t i c
m i x i t y p a r a m e t e r w i t h o u t a n a l y s i s o f t h e n e a r t i p f i e l d b y d e c o m p o s i n g t h e I n -
i n t e g r a l i n t o s y m m e t r i c a l a n d a n t i - s y m m e t r i c a l p a r t s w i t h r e s p e c t t o t h e c r a c k
a x i s . B y c o n s i d e r i n g t h e s e d e c o m p o s i t i o n s , t w o s e t s o f t h e i n t e g r a l p a r a m e t e r s
*I *III n a n d I n w e r e o b t a i n e d w h i c h a r e f u n c t i o n s o f t h e p o w e r h a r d e n i n g
c o e f f i c i e n t n a n d m i x i t y p a r a m e t e r M P . H e r e I n i s t h e c o r r e s p o n d i n g
i n t e g r a t i o n c o n s t a n t d e f i n e d i n [ 3 ] a n d b y t h e p r o p o s e d E q . ( 2 8 ) . H o w e v e r , a s w a s
m e n t i o n e d e a r l i e r , M P i s n o t u n i v o c a l p a r a m e t e r t h a t i s n e c e s s a r y f o r
i d e n t i f i c a t i o n o f t h e n e a r - t i p a s y m p t o t i c f i e l d s . I n c o n t r a s t t o t h i s , t h e i n t e g r a t i o n
*
c o n s t a n t I n o b t a i n e d f r o m E q . ( 2 8 ) t h r o u g h t h e c r a c k g r o w t h d i r e c t i o n a n g l e 6
i s a s t r o n g f u n c t i o n o f t h e d o m i n a n t f r a c t u r e m e c h a n i s m a s i s s h o w n i n F i g . 3 b
a n d 3 e f o r p l a n e s t r a i n a n d p l a n e s t r e s s , r e s p e c t i v e l y . M o r e o v e r , I n i s a n e s s e n t i a l
p a r a m e t e r a l l o w i n g t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e p l a s t i c s t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r b y E q .
( 2 4 ) . A c c o r d i n g t o o u r a p p r o a c h , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p l a s t i c m i x i t y
p a r a m e t e r M P a n d t h e i n t e g r a t i o n c o n s t a n t I n i s e s t a b l i s h e d f o r b o t h t h e
d o m i n a n t f r a c t u r e m e c h a n i s m s a n d s h o w n i n F i g . 3 c a n d 3 f i n p l a n e s t r a i n a n d
p l a n e s t r e s s , r e s p e c t i v e l y , f o r d i f f e r e n t h a r d e n i n g c o e f f i c i e n t n. I t c a n b e s e e n t h a t
F i g . 3 c i s i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e S h i h ’s d a t a [ 3 ] w h o c a r r i e d o u t a n
i n t e r m e d i a t e f i e l d a n a l y s i s b y t h e f i n i t e e l e m e n t c a l c u l a t i o n s t o o b t a i n t h e
M p — M E r e l a t i o n s h i p f o r s m a l l - s c a l e y i e l d i n g . T h e p r i n c i p a l a d v a n t a g e o f o u r
a p p r o a c h i s t h a t t h e m i x i t y p a r a m e t e r M P c a n b e e v a l u a t e d i m m e d i a t e l y f r o m
t h e s t r e s s f i e l d s o l u t i o n b y E q s . ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) t a k i n g i n t o a c c o u n t E q s . ( 1 2 ) - ( 1 6 )
w i t h a n y t y p e s o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e r e s u l t s o f t h e p r e s e n t w o r k p l o t t e d
i n F i g . 3 c a n d 3 f s u p p o r t t h e a r g u m e n t t h a t K M i s t h e g e n e r a l p l a s t i c s t r e s s
i n t e n s i t y f a c t o r ( i n s t e a d o f t h e e l a s t i c K 1 a n d K 2) i n m i x e d - m o d e s m a l l - s c a l e
y i e l d i n g c o n d i t i o n s e v e n t h o u g h t h e r e a r e t w o d i f f e r e n t t y p e o f t h e d o m i n a n t
f r a c t u r e m e c h a n i s m .
I n o r d e r t o d e t e r m i n e w h e t h e r b o t h t h e m a x i m u m t e n s i l e s t r e s s a n d t h e
m a x i m u m s h e a r s t r e s s c r a c k p r o p a g a t i o n d i r e c t i o n c r i t e r i a a r e a p p r o p r i a t e t o
d i r e c t l y c o n n e c t t h e n e a r - f i e l d t o t h e f a r - f i e l d , t h e s c h e m e o f [ ( 1 4 ) , P a r t 1 ] i s
*
a p p l i e d . F o l l o w i n g t h e s c h e m e ( 1 4 ) , b y u s i n g t h e M E v e r s u s 6 c u r v e s o f F i g . 4
*
( P a r t 1 ) a s w e l l a s t h e 6 v e r s u s M p c u r v e s o f F i g . 3 a , d , M p c a n b e t r a n s l a t e d
i n t o a f u n c t i o n o f M E f o r s m a l l - s c a l e y i e l d i n g a s s h o w n i n F i g . 4 , f o r i n s t a n c e ,
u n d e r e q u i b i a x i a l t e n s i o n - c o m p r e s s i o n ( ^ = — 1). T h e p l o t s c l e a r l y s h o w t h a t t h e
c o m p u t e d v a l u e s o f M p f o r a g i v e n M e f o r t h e t e n s i l e c r a c k d i f f e r e d f r o m t h e
r e s u l t s f o r t h e s h e a r c r a c k f o r t h e s a m e s t r e s s e d s t a t e a n d t h e s a m e v a l u e o f n . I t i s
58 ISSN 0556-171X. npo6n.eMH npounocmu, 2005, N 4
Evaluation o f the Elastic-Plastic Mixity Parameters
c o n c l u d e d t h a t t h e r e l a t i o n o f M p t o M E d e p e n d s p r i m a r i l y o n t h e c r a c k
g r o w t h d i r e c t i o n c r i t e r i o n a n d t h e n o n - s i n g u l a r t e r m a n d s e c o n d a r y o n t h e
s t r a i n - h a r d e n i n g e x p o n e n t n. I t i s n o t s u r p r i s i n g t h a t t h e s t r a i n - h a r d e n i n g
b e h a v i o u r e x h i b i t e d i n t h e s h e a r c r a c k c a s e , w h e r e t h e p l a s t i c s t r a i n i s l e s s
c o n s t r a i n e d , c o u l d b e d i f f e r e n t f r o m t h a t e x h i b i t e d i n t h e t e n s i l e c r a c k c a s e . T h e
c o m p u t e d r a n g e o f M p — M e - v a r i a t i o n u n d e r p l a n e s t r a i n c a l c u l a t e d b y s c h e m e
( 1 4 ) c o i n c i d e s , i n g e n e r a l , w i t h f i n i t e e l e m e n t s t u d y o f S h i h [ 3 ] , h o w e v e r , o u r
a p p r o a c h p e r m i t s t h e c l e a r i d e n t i f i c a t i o n o f t h e n o m i n a l b i a x i a l s t r e s s s t a t e w i t h
r e s p e c t t o p a r a m e t e r g o v e r n i n g p l a s t i c m i x e d - m o d e c r a c k b e h a v i o r .
Fig. 4. Near-field mixity Mp versus far-field mixity M e by the maximum tensile (tensile crack)
and shear stress (shear crack) criteria for equibiaxial tension-compression (^ = —1).
I n F i g . 5 a r e s h o w n d e p e n d e n c i e s b e t w e e n M p — M e a c c o r d i n g t o b o t h
c o n s i d e r e d c r i t e r i a f o r t h e c o m p a c t - t e n s i o n - s h e a r s p e c i m e n d e v e l o p e d b y R i c h a r d
a n d B e n i t z [ 1 2 ] w h i c h a l l o w s t o r e a l i z e i n a f u l l r a n g e o f m i x e d m o d e l o a d i n g s
f r o m t h e p u r e M o d e I t o p u r e M o d e I I .
ISSN 0556-171X. npoôëeMbi npounocmu, 2005, N 4 59
V. N. Shlyannikov and Zh. M. Sakhabutdinov
Fig. 5. Near-field mixity M p versus far-field mixity M E for compact-tension-shear specimen.
S o m e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s [ 9 , 1 0 , 1 3 ] g i v e a r o u g h e m p i r i c a l e s t i m a t e o f t h e
c r i t i c a l a p p l i e d m i x e d m o d e r a t i o c h a r a c t e r i z i n g t h e u s u a l c h a n g e i n f r a c t u r e
m o d e . A s f o l l o w s f r o m t h e s e e x p e r i m e n t a l d a t a , w h i c h a r e s h o w n i n F i g . 6 f o r
v a r i o u s f e r r i t i c s t e e l s , t h e t r a n s i t i o n o f t h e f r a c t u r e m o d e o c c u r s a t a r e l a t i v e l y
c o n s t a n t e l a s t i c m i x i t y p a r a m e t e r M e v a l u e o f 0 .6 8 . I n m i x e d m o d e l o a d i n g , t h i s
M e - v a l u e
M p
c o r r e s p o n d s t o t h e
: 0 . 7 5 - 0 .8 5 d e p e n d i n g o n
p l a s t i c m i x i t y p a r a m e t e r , a p p r o x i m a t e l y
t h e s t r a i n - h a r d e n i n g e x p o n e n t n . T h e s e
e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r e e x a c t l y c o n f i r m e d b y o u r n u m e r i c a l d a t a t h a t a r e
r e p r e s e n t e d f o r p l a n e s t r a i n i n F i g . 3 a . I t i s c l e a r t h a t t h e c r o s s i n g a r e a o f s e p a r a t e
c u r v e s , c o r r e s p o n d i n g t o e a c h ( b e t w e e n t w o c o n s i d e r e d ) d o m i n a t i n g m e c h a n i s m ,
f o r m a s m a l l z o n e o f t h e t r u l y m i x e d m o d e f r a c t u r e . T h e p o s i t i o n o f t h i s z o n e o f
u n s t a b l e e q u i l i b r i u m c o r r e s p o n d s t o t h e c h a n g e o f t h e l e a d i n g f r a c t u r e
*
m e c h a n i s m . A s i s s h o w n i n F i g . 3 a , t h e m i x e d t r a n s i t i o n a n g l e ( 0 ~ 3 5 — 4 5 ° )
c o u l d b e i n f l u e n c e d a l s o b y t h e s t r a i n - h a r d e n i n g e x p o n e n t .
1 . 0 -
0.8
0.3-
0.0
t e n s i l e c r a c k g r o w t h
s h e a r c r a c k g r o w t h
0.0 0.2
f e r r i t i c s t e e l s :
* A508-3 B=20mm
• HY 130 B=20mm □
■ SM41, -75'C B=flmm û
♦ SM41A B=32mm ©
r SIE 550 B=5mm ♦O
0̂ 6
A l - a l l o y s :
O Al 7075-T6 B*9.5mm
□ Al 5083-0 B=8mm
Al 6061-T651B=20mm
Al 2024-T3 B"1mm
Al 2024-T3 B-2.3mm
Al 2024-T3 B=6mm
0.4 0.8 1.0
( / i J E ) 0^ a f [mu
Fig. 6. Mixed mode ratios M E characterizing the change in fracture mode (reproduced from [9]).
60 ISSN 0556-171X. npoôneMbi npoHHoemu, 2005, № 4
Evaluation o f the Elastic-Plastic Mixity Parameters
A n o t h e r c o m p l i c a t i n g b a c k g r o u n d o f o u r a n a l y t i c a l r e s u l t s c a n b e f o u n d b y
c o m p a r i s o n w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a [ 1 4 ] r e l a t e d t o t h e S t a g e I - S t a g e I I t r a n s i t i o n
u n d e r l o w c y c l e f a t i g u e f a i l u r e . T h e y h a v e u s e d t h e e x p r e s s i o n o f T a n a k a [ 1 5 ] f o r
e f f e c t i v e e l a s t i c s t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r , K eJf , t o f i n d t h e f a s t e s t m o d e o n c r a c k
g r o w t h , S t a g e I o r S t a g e I I u n d e r b i a x i a l l o a d i n g w i t h a n a p p l i e d n o r m a l s t r e s s
a a , a n d a s h e a r s t r e s s r . S o l u t i o n [ 1 4 ] g i v e s a c o n d i t i o n f o r t h e s t a t e o f s t r e s s a t
9 / 9
t h e S t a g e I - S t a g e I I t r a n s i t i o n , i . e . , fx = 4 r / a a = 1 .0 7 7 , w h e n t h e s h e a r t o t e n s i l e
s t r a i n r a t i o f o r p l a s t i c f r a c t u r e i s 2 = 1 .5 6 w h i l e f o r e l a s t i c c r a c k b e h a v i o r 2 = 1 .35 .
M a k i n g u s e o f t h e e x p r e s s i o n s [ 1 4 ] f o r s t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r s , g i v i n g M o d e I a n d
M o d e I I c r a c k o p e n i n g
K 1 = ( a a /a ) 4 n a a n d K a = ( ^ ( a a / 9 ) a + r a ) 4 n a , ( 3 1 )
w e m a y o b t a i n t h e e l a s t i c m i x e d m o d e p a r a m e t e r a s f o l l o w s
!e
2 - i
— t a n
K i 2 - i
= — t a n
n 2 n
( * a 12)2
K a 12) 2 + r 2
2
— t a n
n
- 1
-y/T+
. ( 3 2 )
S u b s t i t u t i n g n = 1 .0 7 7 i n t o p r e v i o u s e q u a t i o n , o n e o b t a i n s M E = 0 .6 1 1 .
T h u s , a l t h o u g h o u r a n a l y s i s i s o n l y a p p l i c a b l e t o s m a l l - s c a l e y i e l d i n g a r o u n d
c r a c k t i p s , t h e t h e o r e t i c a l t r a n s i t i o n v a l u e s M E = 0 . 6 0 - 0 . 7 5 f o r p l a n e s t r a i n
a g r e e s u r p r i s i n g l y w e l l w i t h e x p e r i m e n t a l v a l u e s f o r s t r u c t u r a l s t e e l s w i t h
d i f f e r e n t p r o p e r t i e s o f [ 1 4 ] , M E = 0 .6 1 , a n d [ 9 ] , M E = 0 .6 8 . A u t h o r s [ 1 4 ]
c o n s i d e r t h a t t h e c a u s e o f t h e S t a g e I - S t a g e I I t r a n s i t i o n h a s b e e n a s s o c i a t e d w i t h
m i c r o s t r u c t u r a l f e a t u r e s s u c h a s g r a i n b o u n d a r i e s a n d a l s o w i t h t h e s t r e s s - s t r a i n
s t a t e a n d t h e s t r a i n a m p l i t u d e b e c a u s e h i g h e r r a n g e s m a k i n g a t r a n s i t i o n m o r e
l i k e l y . A s t h e t e n s i l e s t r a i n c o m p o n e n t w a s i n c r e a s e d , r e d u c i n g 2 , S t a g e I I c r a c k s
a p p e a r e d , b e c o m i n g d o m i n a n t i n f a t i g u e f r a c t u r e .
A s i s s e e n i n F i g . 6 t h e t r a n s i e n t a r e a f o r a l u m i n u m a l l o y s t a k e s r a n g e o n
M e f r o m 0 . a 5 t o 0 .7 5 . N o t e t h a t t h e s p e c i m e n t h i c k n e s s f o r b o t h t h e f e r r i t i c
s t e e l s a n d t h e a l u m i n u m a l l o y A l 6 0 6 1 - T 6 5 1 i s 5 - 3 a m m t h a t a s s u m e s t h e
r e a l i z a t i o n o f t h e p l a n e s t r a i n c o n d i t i o n s u n d e r t e s t s . I n c o n t r a s t , f o r a l u m i n u m
m a t e r i a l A 1 2 0 2 4 - T 3 t h e t h i c k n e s s i s 1 - 6 m m t h a t c o r r e s p o n d s t o t h e p l a n e s t r e s s
s t a t e . T h e s e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s f o r a l u m i n u m a l l o y A l a 0 a 4 - T 3 a g r e e w e l l w i t h
o u r a n a l y t i c a l p r e d i c t i o n s i n d i c a t i n g f o r t h e p l a n e s t r e s s t h e r a n g e o f t h e d o m i n a n t
f r a c t u r e m e c h a n i s m c h a n g e o n M p a s 0 . 5 - 0 . 9 5 .
C o n c l u s i o n s . U n l i k e t h e w e l l - k n o w n a p p r o a c h o f S h i h t o c a l c u l a t e t h e
r e l a t i o n s h i p b e t w e e n M E a n d M p , i n t h e p r e s e n t p a p e r , t h e n e a r - f i e l d m i x i t y
p a r a m e t e r M p w a s o b t a i n e d d i r e c t l y f r o m t h e c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n w i t h
a c c o r d a n c e t o p r o p o s e d n e w s c h e m e o f t h e s o l u t i o n [ b y t h e P a r t 1 t h r o u g h t h e
e q u a t i o n ( 1 4 ) ] . T h e r e s u l t s o f b o t h n u m e r i c a l a n d a n a l y t i c a l i n v e s t i g a t i o n s g i v e n
i n t h e p r e s e n t w o r k d e m o n s t r a t e t h a t m o d e m i x i t y p a r a m e t e r s a s M E , M p , a n d
I n a r e s e n s i t i v e t o t h e c r a c k g r o w t h d i r e c t i o n c r i t e r i a . O n e o f t h e m a i n r e s u l t s i s
a l s o t h e e s t a b l i s h m e n t o f t h e d i s t i n c t i o n i n t h e c r a c k b e h a v i o r u n d e r t h e p l a n e
s t r a i n a n d t h e p l a n e s t r e s s . B e s i d e s t h e q u a l i t a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s c o r r e s p o n d i n g t o
ISSN 0556-171X. npoôëeMbi npounocmu, 2005, N 4 61
V. N. Shlyannikov and Zh. M. Sakhabutdinov
each fracture mechanism in the whole range of the mixed mode loading such as
. . . . the constant of integration I n are found. This will enable us to use the I n — в
%
locus and the в — M p locus, a more reasonable approach in the physical sense,
rather than the presently used I n — M p locus as fracture criteria in the
elastic-plastic mixed mode fracture investigations. The present solutions suggest
that outside the transition zone dominates only one leading fracture mechanism:
either the tensile crack or the shear crack. Strictly speaking, the presence of traces
of another fracture mechanism almost always is found on the fracture surface,
therefore we should speak about the domination of a mechanism, but not of its
certain existence.
Acknowledgements. Funding for this study was provided by the Russian
Foundation for Basic Researches through grant 03-01-96233 and the Foundation
of Academy of Sciences of Tatarstan Republic through grant 05-5.3-218/2003(f).
Р е з ю м е
Запропоновано новий підхід до розв’язання задач змішаних видів руйну
вання, що базується на деформаційній теорії пластичності зі степеневим
зміцненням та використанні пружного і пластичного параметрів змішаності.
У залежності від умов змішаності навантаження і вихідного направлення
лінії тріщини цей підхід дозволяє оцінити широкий спектр можливих траєк
торій розповсюдження тріщини: за механізмами зсуву і відриву. Для дво
вимірної задачі в полярній системі координат використовується рівняння
рівноваги з функцією Ері, для матеріалу зі степеневим зміцненням - модель
Рамберга-Осгуда. За допомогою методу скінченних різниць отримано число
вий розв’язок задачі змішаності навантаження для граничних умов, що
відповідають двом випадкам розповсюдження тріщини. На основі запро
понованого підходу визначено залежності параметрів змішаності від різних
параметрів навантаження та нахилу тріщини за різних значень показника
зміцнення, що добре узгоджуються з експериментальними даними.
1. J. W. Hutchinson, “Singular behavior at the end of a tensile crack in a
hardening material,” J. Mech. Phys. Solids, 16, 13-31 (1968).
2. J. R. Rice and G. F. Rosengren, “Plane strain deformation near a crack tip in
power law hardening material,” Ibid., 1-12 (1968).
3. C. F. Shih, “Small-scale yielding analysis of mixed plane strain crack problem,”
in: Fracture Analysis, ASTM STP 560, Philadelphia (1974), pp. 187-210.
4. B. Budiansky and J. R. Rice, “Conservations laws and energy-release rates,”
J. Appl. M ec h , 3, 201-203 (1973).
5. V. A. Dolgorukov, “Elastic-plastic problem for determination of singular
stress-strain-state at inclined crack tip under plane stress conditions,” in:
VINITI 4340-V88 (1988), pp. 1-21.
6 . V. N. Shlyannikov and V. A. Dolgorukov, “Analysis of the crack propagation
under biaxial cyclic load taking into account their orientation,” in: Proc. 7th
European Conference on Fracture, Budapest (1988), 2, pp. 1095-1103.
62 ISSN 0556-171X. Проблеми прочности, 2005, № 4
Evaluation o f the Elastic-Plastic Mixity Parameters
7 . V . N . S h l y a n n i k o v , Elastic-Plastic Mixed Mode Fracture Criteria and
Parameters, S p r i n g e r , B e r l i n ( 2 0 0 3 ) .
8. V . N . S h l y a n n i k o v a n d N . Z . B r a u d e , “ A m o d e l f o r p r e d i c t i n g c r a c k g r o w t h
r a t e f o r m i x e d m o d e f r a c t u r e u n d e r b i a x i a l l o a d s , ” Fatigue Fract. Eng.
Mater. Struct., 1 5 , 8 2 5 - 8 4 4 ( 1 9 9 2 ) .
9 . C . D a l l e D o n n e , “ T h e c r a c k t i p d i s p l a c e m e n t v e c t o r a p p r o a c h t o m i x e d - m o d e
f r a c t u r e , ” i n : Mixed-Mode Crack Behavior, A S T M S T P 1 3 5 9 , P h i l a d e l p h i a
( 1 9 9 9 ) , p p . 2 1 - 4 0 .
1 0 . Y . - J . C h a o a n d X . - K . Z h u , “ A s i m p l e t h e o r y f o r d e s c r i b i n g t h e t r a n s i t i o n
b e t w e e n t e n s i l e a n d s h e a r m e c h a n i s m s i n m o d e I , I I , I I I , a n d m i x e d m o d e
f r a c t u r e , ” i n : Mixed-Mode Crack Behavior, A S T M S T P 1 3 5 9 , P h i l a d e l p h i a
( 1 9 9 9 ) , p p . 4 1 - 5 7 .
1 1 . J . L i , “ E s t i m a t i o n o f t h e m i x i t y p a r a m e t e r o f a p l a n e s t r a i n e l a s t i c - p l a s t i c
c r a c k b y u s i n g t h e a s s o c i a t e d . / - i n t e g r a l , ” Eng. Fract. Mech., 6 1 , 3 5 5 - 3 6 8
( 1 9 9 8 ) .
1 2 . H . A . R i c h a r d a n d K . B e n i t z , “ A l o a d i n g d e v i c e f o r c r e a t i o n o f m i x e d m o d e
i n f r a c t u r e m e c h a n i c s , ” Int. /.F ract., 2 2 , 5 5 ( 1 9 8 3 ) .
1 3 . D . B h a t t a c h a r j e e a n d J . F . K n o t t , “ D u c t i l e f r a c t u r e i n H Y 1 0 0 s t e e l u n d e r
m i x e d m o d e I m o d e I I l o a d i n g , ” Acta Metall. Mater., 4 2 , 1 7 4 7 - 1 7 5 4 ( 1 9 9 4 ) .
1 4 . M . W . B r o w n a n d K . J . M i l l e r , “ I n i t i a t i o n a n d g r o w t h o f c r a c k s i n b i a x i a l
f a t i g u e , ” Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct., 1 , 2 3 1 - 2 4 6 ( 1 9 7 9 ) .
1 5 . K . T a n a k a , “ F a t i g u e c r a c k p r o p a g a t i o n f r o m a c r a c k i n c l i n e d t o t h e c y c l i c
t e n s i l e a x i s , ” Eng. Fract. Mech., 6, 4 9 3 - 5 0 7 ( 1 9 7 4 ) .
Received 31. 10. 2004
ISSN 0556-171X. npoôëeMbi npounocmu, 2005, N 4 63
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47766 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-02T06:03:32Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Shlyannikov, V.N. Sakhabutdinov, Zh.M. 2013-07-31T10:10:35Z 2013-07-31T10:10:35Z 2005 Evaluation of the elastic-plastic mixity barameters on the base of different crack propagation criteria. Part 2. Solution and results / V.N. Shlyannikov, Zh.M. Sakhabutdinov // Проблемы прочности. — 2005. — № 4. — С. 46-63. — Бібліогр.: 15 назв. — англ. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47766 539.4 We propose a new scheme of mixed-mode problem solution based on the deformation theory o f plasticity with a power-law hardening stressstrain response and on application of elastic and plastic mixity parameters. Depending on the mixed-mode loading conditions and the initial crack line direction, this approach allows one to analyze a wide range of possible crack propagation paths controlled by shear and tensile mechanisms. The equilibrium equation with Airy function is used for a two-dimensional problem in the polar coordinate system. The Ramberg-Osgood model is applied to a material with power-law hardening behavior. Using the finite difference method we obtained a numerical solution of the mixed-mode loading problem with boundary conditions corresponding to two cases of crack propagation. Within the framework of the proposed approach we estimated the dependencies between mixity parameters and various loading parameters and crack inclination angle for a range of strain hardening exponent values, which dependencies closely fit the experimental data. Запропоновано новий підхід до розв’язання задач змішаних видів руйнування, що базується на деформаційній теорії пластичності зі степеневим зміцненням та використанні пружного і пластичного параметрів змішаності. У залежності від умов змішаності навантаження і вихідного направлення лінії тріщини цей підхід дозволяє оцінити широкий спектр можливих траєкторій розповсюдження тріщини: за механізмами зсуву і відриву. Для дво вимірної задачі в полярній системі координат використовується рівняння рівноваги з функцією Ері, для матеріалу зі степеневим зміцненням - модель Рамберга-Осгуда. За допомогою методу скінченних різниць отримано числовий розв’язок задачі змішаності навантаження для граничних умов, що відповідають двом випадкам розповсюдження тріщини. На основі запропонованого підходу визначено залежності параметрів змішаності від різних параметрів навантаження та нахилу тріщини за різних значень показника зміцнення, що добре узгоджуються з експериментальними даними. Предложен новый подход к решению задач смешанных видов разрушения, основанный на деформационной теории пластичности со степенным упрочнением и на использовании упругого и пластического параметров смешанности. В зависимости от условий смешанности нагружения и исходного направления линии трещины этот подход позволяет оценить широкий спектр возможных траекторий распространения трещины: по механизмам сдвига и отрыва. Для двухмерной задачи в полярной системе координат используется уравнение равновесия с функцией Эри. Для материала со степенным упрочнением применяется модель Рамберга-Осгуда. С помощью метода конечных разностей получено численное решение задачи смешанного нагружения для граничных условий, соответствующих двум случаям распространения трещины. На основании предложенного подхода оценены зависимости параметров смешанности от различных параметров нагружения и наклона трещины при разных значениях показателя упрочнения, которые хорошо согласуются с экспериментальными данными. en Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Evaluation of the elastic-plastic mixity barameters on the base of different crack propagation criteria. Part 2. Solution and results Оценка упругопластического параметра смешанности на основе различных критериев роста трещины. Сообщение 2. Метод решения и результаты Article published earlier |
| spellingShingle | Evaluation of the elastic-plastic mixity barameters on the base of different crack propagation criteria. Part 2. Solution and results Shlyannikov, V.N. Sakhabutdinov, Zh.M. Научно-технический раздел |
| title | Evaluation of the elastic-plastic mixity barameters on the base of different crack propagation criteria. Part 2. Solution and results |
| title_alt | Оценка упругопластического параметра смешанности на основе различных критериев роста трещины. Сообщение 2. Метод решения и результаты |
| title_full | Evaluation of the elastic-plastic mixity barameters on the base of different crack propagation criteria. Part 2. Solution and results |
| title_fullStr | Evaluation of the elastic-plastic mixity barameters on the base of different crack propagation criteria. Part 2. Solution and results |
| title_full_unstemmed | Evaluation of the elastic-plastic mixity barameters on the base of different crack propagation criteria. Part 2. Solution and results |
| title_short | Evaluation of the elastic-plastic mixity barameters on the base of different crack propagation criteria. Part 2. Solution and results |
| title_sort | evaluation of the elastic-plastic mixity barameters on the base of different crack propagation criteria. part 2. solution and results |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47766 |
| work_keys_str_mv | AT shlyannikovvn evaluationoftheelasticplasticmixitybarametersonthebaseofdifferentcrackpropagationcriteriapart2solutionandresults AT sakhabutdinovzhm evaluationoftheelasticplasticmixitybarametersonthebaseofdifferentcrackpropagationcriteriapart2solutionandresults AT shlyannikovvn ocenkauprugoplastičeskogoparametrasmešannostinaosnoverazličnyhkriterievrostatreŝinysoobŝenie2metodrešeniâirezulʹtaty AT sakhabutdinovzhm ocenkauprugoplastičeskogoparametrasmešannostinaosnoverazličnyhkriterievrostatreŝinysoobŝenie2metodrešeniâirezulʹtaty |