Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования с учетом истории нагружения
Рассматриваются теория и приближенные методы решения краевых задач термопластичности
 в квазистатической постановке, когда процесс неизотермического упругопластического
 деформирования тела представляет собой последовательность равновесных состояний.
 В этом случае напряженно...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2006
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47784 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Анализ краевых задач, описывающих неизотермические
 процессы упругопластического деформирования с учетом
 истории нагружения / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2006. — № 1. — С. 69-99. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860004723947470848 |
|---|---|
| author | Чирков, А.Ю. |
| author_facet | Чирков, А.Ю. |
| citation_txt | Анализ краевых задач, описывающих неизотермические
 процессы упругопластического деформирования с учетом
 истории нагружения / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2006. — № 1. — С. 69-99. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Рассматриваются теория и приближенные методы решения краевых задач термопластичности
в квазистатической постановке, когда процесс неизотермического упругопластического
деформирования тела представляет собой последовательность равновесных состояний.
В этом случае напряженно-деформированное состояние зависит от истории нагружения,
и процесс неупругого деформирования должен прослеживаться на всем исследуемом
интервале времени. Краевая задача сформулирована в виде нелинейного операторного
уравнения в гильбертовом пространстве. Определены условия, обеспечивающие существование,
единственность и непрерывную зависимость обобщенного решения от приложенных
нагрузок и начальных деформаций. Исследована сходимость методов упругих решений и
переменных параметров упругости для решения краевых задач, описывающих неизотермические
процессы активного нагружения с учетом начальных деформаций, зависящих от
истории деформирования и нагрева.
Розглядаються теорія і наближені методи розв’язку крайової задачі термо-
пластичності в квазістатичній постановці, коли процес неізотермічного
пружно-пластичного деформування тіла представляє собою послідовність
рівноважних станів. У цьому випадку напружено-деформований стан залежить
від історії навантаження, і процес непружного деформування повинен
простежуватися на всьому досліджуваному інтервалі часу. Крайову задачу
сформульовано у вигляді нелінійного операторного рівняння у гільберто-
вому просторі. Визначено умови, що забезпечують існування, єдиність та
безперервну залежність узагальненого розв’язку від прикладеного навантаження
і початкових деформацій. Досліджено збіжність методів пружних
розв’язків і змінних параметрів пружності для розв’язку крайових задач, що
описують неізотермічні процеси активного навантаження з урахуванням
початкових деформацій, які залежать від історії деформування і нагрівання.
We discuss the theory and approximated techniques
of thermoplasticity boundary problem
solution in quasistatic formulation, whereas the
process of nonisothermal elastoplastic deformation
of a solid body is a succession of various
equilibrium states. In such case, stress-strained
state depends on the loading history, and the
nonisothermal deformation process must be
fully traceable within the total time interval under
study. The boundary problem is formulated
in a form of nonlinear operator equation in the
Hilbert space. We found the conditions, which
ensure the existence, uniqueness and continuous
dependence of the generalized solution on
the applied loads and initial strains. We study
the convergence of techniques of elastic solutions
and variable elastic parameters for solving
boundary problems, which describe
nonisothermal processes of active loading with
account of the initial strains depending on the
loading history and heating.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:38:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические
процессы упругопластического деформирования с учетом
истории нагружения
А. Ю . Ч ирков
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Рассматриваются теория и приближенные методы решения краевых задач термопластич
ности в квазистатической постановке, когда процесс неизотермического упругопластичес
кого деформирования тела представляет собой последовательность равновесных состоя
ний. В этом случае напряженно-деформированное состояние зависит от истории нагру
жения, и процесс неупругого деформирования должен прослеживаться на всем исследуемом
интервале времени. Краевая задача сформулирована в виде нелинейного операторного
уравнения в гильбертовом пространстве. Определены условия, обеспечивающие сущест
вование, единственность и непрерывную зависимость обобщенного решения от приложен
ных нагрузок и начальных деформаций. Исследована сходимость методов упругих решений и
переменных параметров упругости для решения краевых задач, описывающих неизотерми
ческие процессы активного нагружения с учетом начальных деформаций, зависящих от
истории деформирования и нагрева.
К лю ч е в ы е с л о в а : теория пластичности, девиаторы напряжений и дефор
маций, неизотермические процессы, упругопластическое деформирование,
простое нагружение, термомеханическая поверхность, краевая задача, итера
ционные методы, сходимость, точность.
Введение. При исследовании неизотермических процессов упругоплас
тического деформирования компоненты напряжений, деформаций и переме
щений на каждом этапе нагружения определяются путем решения системы
нелинейных уравнений относительно приращений искомых величин за этап
нагружения. Для решения нелинейной краевой задачи, сформулированной в
приращениях, применяются приближенные методы, с помощью которых
задача термопластичности на каждом этапе нагружения сводится к после
довательному решению вспомогательных линейных задач. При этом на
каждом этапе нагружения необходимо контролировать точность удовлетво
рения разрешающих уравнений для полных значений напряжений, дефор
маций и перемещений, поскольку краевая задача решается приближенно для
приращений этих величин и, значит, при их сложении может накапливаться
погрешность [1]. Кроме того, использование определяющих соотношений в
приращениях предполагает большую степень гладкости аппроксимирующих
функций для диаграмм деформирования, так как для устойчивости вычисли
тельного процесса требуется обеспечить непрерывность касательных моду
лей. Следует также учитывать, что при формулировке краевой задачи в
приращениях длительность этапа нагружения должна быть достаточно ма
лой. Следовательно, применение численных методов для решения задачи в
пространственной постановке может привести к неприемлемым вычисли
тельным затратам.
© А. Ю. ЧИРКОВ, 2006
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1 69
А. Ю. Чирков
Альтернативный подход состоит в том, чтобы проинтегрировать урав
нения состояния за этап нагружения с целью получения системы разреша
ющих уравнений не в приращениях, а для полных компонентов напряжений,
деформаций и перемещений [1, 2]. Это позволяет избежать трудностей,
связанных с вычислением касательных модулей по диаграммам деформиро
вания и накоплением ошибок при численном решении задачи в прираще
ниях, что способствует устойчивости вычислительного процесса [1]. При
этом длительность этапа нагружения может быть достаточно большой, если
в пределах этапа деформирование всех точек тела происходит по траек
ториям, близким к прямолинейным. В тех случаях, когда траектория нагру
жения представляет собой составленную из прямолинейных отрезков лома
ную линию, решение краевой задачи можно получить на укрупненных
временных этапах, что существенно сокращает вычислительные затраты при
численном моделировании.
Очевидно, что при разработке эффективных приближенных методов
решения задач термопластичности необходимо располагать четкой инфор
мацией об условиях существования и свойствах точных решений рассмат
риваемой проблемы. Можно считать, что краевая задача поставлена кор
ректно, если доказаны существование и единственность ее решения в опре
деленном классе функций, установлена устойчивость решения по отноше
нию к малым возмущениям начальных данных и его непрерывная зависи
мость от внешних воздействий в процессе нагружения.
В настоящей работе представлены результаты анализа краевой задачи
термопластичности, описывающей процессы деформирования по траектори
ям, состоящим из прямолинейных или близких к ним отрезков ломаной
линии. Основное внимание уделяется обобщенной постановке и исследова
нию сходимости приближенных методов решения краевой задачи.
Основные положения феноменологической модели. Пусть о(г) =
= (о у ( г)) (1< I, у < 3) - тензор напряжений, представленный в виде двух
составляющих: о(г) = о * ( г) + о п ( г), о * ( г) - шаровой тензор; о п ( г) - девиа-
тор напряжений. Тензор малых деформаций е (г) = ( е у ( г)) (1< I, у < 3) по
аналогии с тензором напряжений допускает разложение вида: е( г) = е * ( г) +
+ е р ( г), е^ ( г) - шаровой тензор; е р ( г) - девиатор деформаций. Решение
неизотермической упругопластической задачи базируется на следующих
основных положениях.
Принимается, что изменение объема тела во всем интервале изменения
напряжений и деформаций носит упругий характер, т.е. между о * ( г) и
е ̂ ( г) существует линейная зависимость:
е 1 (г) = о * (г) + е * ( <»
где к о(Г( г)) - модуль всестороннего объемного расширения, зависящий от
ттемпературы Т ( г); е* ( г) - тензор нестесненных термических деформаций.
Девиатор полных деформаций е р ( г) представим условно в виде суммы
упругой ер ( г) и пластической ер ( г) составляющих:
70 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы
г ь ( 0 = г Ь ( г ) + ё Ь ( г). (2)
Упругая составляющая девиатора деформаций определяется обобщен
ным законом Гука, который для изотропного тела можно представить в виде
ёЬ(г) _ 2 0 0(Т(г)) ° Ь ( 1); (3)
где 0 о (Т ( г)) - начальный модуль сдвига, зависящий в общем случае от
температуры.
С использованием соотношений (3) получаем
а ( г) = 3 0 о(Т ( г)) ё е ( г), (4)
где а ( г), ё е( г) - интенсивности девиаторов напряжений а ь ( г) и деформа
ций ё Ь ( г), определяемые соотношениями
а(г) = / 2 |1 а ь (г)| 1 ; ё е ( г ) 1 ё ь (г ) | ■ (5)
Здесь и ниже используется скалярное произведение (•,•), индуцированное
сверткой соответствующих тензоров; | | ,| | - норма, ассоциированная с этим
скалярным произведением.
Пластическая составляющая девиатора деформаций определяется на
основе закона пластического течения [3, 4], ассоциированного с поверх
ностью текучести Мизеса [3]:
р 3 йг р ( г)
й ё Ь ( г) = 2 а ( г) а Ь ( t), (6)
где й ё р ( г) - интенсивность приращений пластических деформаций,
й ё р (г) = Ц | | й г Ь (г)|| ■ (7)
Отметим, что при рассмотрении процессов деформирования по траек
ториям малой кривизны уравнения (6) можно получить на основе постулата
изотропии и принципа запаздывания, сформулированных А. А. Ильюшиным
в работе [5] и экспериментально обоснованных для широких классов мате
риалов при комнатной и повышенных температурах.
Таким образом, определяющие уравнения, описывающие неизотерми
ческие процессы упругопластического деформирования, состоят из условия
IS S N 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1 71
А. Ю. Чирков
упругого изменения объема (1) и соотношений (2), (3), (6), которые равно
сильны уравнениям состояния Прандля-Рейсса [6, 7], и имеют вид
* « ( ° = ‘1 о ° ( ' ) ) + 2 о ° ( ' ) - (8)
При использовании уравнений (8) весь процесс нагружения разбивается
на временные этапы таким образом, чтобы моменты времени, разграничива
ющие этапы нагружения и разгрузки, по возможности совпадали с момен
тами времени изменения направления процесса деформирования от нагру
жения к разгрузке, и наоборот.
Проинтегрируем выражение (8) за этап нагружения. В результате в
конце т-го этапа нагружения получим
1
е В ( 1т ) - е В ( 1т-1 ) _ 1 Г (Т ( у. О В ( 1т ) -
2 Ь 0(Т ( гт ))
1 , ч з Ч ^ 1 е р ( г)
о ,
2 С о (Т ( т - 1) Г В ( 1т-1) + 2 т а ° ( ° О ( г) ' (9)1 т-1
С использованием соотношений (3) находим
р 1 3 Ч ~йер ( г)
е и ( 1т) - е В ( 1т-1) _ 2 с 0( т ( гт )) Ои ( 1т) + 2 ^ а и (г) “ О с гГ ' (10)
Девиатор пластических деформаций е В ( гт ) в конце т-го этапа нагру
жения определяется с помощью соотношения
р 3 Ъ 1 е р ( г) р
е В ( гт ) _ 2 ̂ ^ и ( О о ( г) + е и ( ^т-1 )- (11)
Обозначим через Д т е В - приращение пластических деформаций в
конце т-го этапа нагружения:
Д т е В = е В ( гт ) - е В ( гт-1 )- (12)
Тогда согласно формулам (11) и (12) имеем
р 3 5 & р (г)
Д те В = 2 5 ° и « -О О Г ' ( 13)
гт-1
72 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы
Пусть х = 5 ( г) - длина дуги траектории пластических деформаций,
определяемая выражением
Предположим, что на этапе нагружения длина дуги траектории пласти
ческих деформаций монотонно увеличивается в процессе деформирования.
Поскольку за время Л длина дуги 5 = 5 (г) получает приращение
с учетом обозначений 5т_1 = 5 ( гт_!) и 5т = 5 ( гт ) выражение (13) можно
представить в следующем виде:
Проинтегрируем (16) с использованием формулы прямоугольников. В
результате получим
Поскольку рассматриваются малые деформации справедлива оценка
ющий девиатор напряжений о D (s ) / | |о D (s)|| изменяется достаточно плавно
относительно аргумента s, то применение формулы (17), по-видимому, не
вносит большую погрешность.
Предположим, что на каждом этапе реализуется простое нагружение
[5]. Учитывая, что при простом нагружении о d (s ) / | |о d (s )11 = const, выра
жение (13) принимает вид
(14)
їло і і ) п
d s ( t) = ^ d t = | |d eD (t)| | >0, (15)
(16)
(17)
Погрешность этой формулы удовлетворяет оценке
d ° D (s)
ds || ОD (s)||
(18)
2
s m ~ s m - i | < < 1. Кроме того, если в пределах этапа нагружения направля-
'т — 1
(19)
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 1 73
А. Ю. Чирков
В соответствии с (10), (19) получим
£ Э ( Іш ) £ Э ( Іш-1 ) =
1
2 ^ ( 1т )
I
А т £Р _ 1 1
0 ( Іт ) 0 0( Т( ^ ))
° Э ( Іш );
где О ( Іш) - скалярная функция, определяемая выражением
1 1 о ш
+ ~ — г / й г Р ( і).
0 ( Іш ) 0 0( Т( Іш )) ° ( Іш ) »г-1
На основании (12), (20), (21) запишем
Оэ ( Іш ) = 2 0 ( Іш )( г э ( Іш ) - г Э ( Іш- 1));
г Э ( Іш ) г Э ( Іш )
1
2 0 о( Т ( Іш ))
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
Кроме того, с использованием соотношений (21) и (22) находим
/ йг Р ( І) = А ш £ Р =
1 1
О ( Іш) О о ( Т ( Іш)) (25)
где Д т £ - интенсивность девиатора приращений пластических дефор
маций в конце т-го этапа нагружения,
Р
3 II А ш£Э (26)
Таким образом, определяющие соотношения, описывающие неизотерми
ческие простые процессы упругопластического деформирования, можно
представить в следующем виде:
О( Іш ) = к 0(Т( Іш ))( £5 ( Іш ) - £5 ( Іш )) + 2 0 ( Іш )( £ Э ( Іш ) - £Э ( Іш ^ (27)
где £ (Іш ) = (£ іі ( Іш )), 1< і, у < 3 - тензор начальных деформаций, соответст
вующий шаровому тензору нестесненных термических деформаций г 5 ( і ш )
и девиатору пластических деформаций г РЭ ( іш-1),
74 /55№ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, N 1
2
Іш-1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы
( гт ) е £ ( е I ( — 1). (28)
Пластические деформации в конце ш-го этапа нагружения определя
ются на основании соотношений (24), которые с учетом уравнений (23)
можно записать так:
/
е I ( гт ) 1 —
О ( 1т )
О о (Т ( 1ш )) ( е I ( г ш ) — е I ( г ш —1)) + е I ( г ш —1). (29)
Обозначим через е I ( гш ) девиатор активных деформаций, возникаю
щих в элементе тела дополнительно к пластическим деформациям е Ц ( гш —1):
е I ( гш ) е I ( гш ) е I ( гш —1). (30)
Тогда соотношения (23) и (29) можно представить в виде
° I ( гш ) = 2 0 ( гш ) е I ( гш );
Л е р - Л ш е I -
/
1 —
О ( 1ш )
О о( Т ( гш )) е I ( гш ) -
(31)
(32)
Подставляя компоненты девиатора напряжений (31) в выражение интен
сивности напряжений (5), получаем
° ( гш)
О ( гш) - шV ш/ л - й / , \
3 е ( гш )
(33)
где е а ( гш ) - интенсивность девиатора активных деформаций е I ( гш),
е ( гш ) - \1 3 II е I ( гш ) 11- (34)
С использованием соотношений (4), (25), (33) находим
О ( гш ) _ае е( г ) --------4 ш> е а ( г )• Л е° V ^ш ) /~г . \\ ° У^ш Ь шс
О 0(Т ( гш ))
р О ( гш)
О о ( т ( гш))
е а ( гш ), (35)
откуда следует
е а ( гш ) - е е ( гш ) + Л ш е р (36)
IS S N 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1 75
А. Ю. Чирков
Параметр Одквиста q ( 1т ), характеризующий накопленную пластичес
кую деформацию в конце т-го этапа нагружения, вычисляется по соотно
шениям
"т т— 1 "т
q ( *т ) = / & Р = / & Р + / & Р = q ( *т—1) + А т ё ? = Х А кё Р • (37)
0 0 1т — 1 к=1
Уравнения (31), (33) характеризуются функциональной зависимостью
а = Ч ( ё а , Т), (38)
которая конкретизируется на основе уравнения мгновенной термомехани
ческой поверхности:
а = / (ё , Т ), (39)
где под деформацией ё понимается только чисто силовая составляющая,
т.е. полная деформация минус чисто тепловая. Предполагается, что функ
циональная зависимость (39) не зависит от гидростатического давления,
вида девиатора напряжений и находится по данным испытаний на простое
растяжение цилиндрических образцов.
Отметим, что функциональная зависимость (38) описывает упруго
пластическое деформирование материала с учетом упрочнения к началу
этапа нагружения. Действительно, аргументом в данном уравнении является
активная деформация, а именно: полная деформация минус начальная плас
тическая деформация. Следовательно, за меру упрочнения принимается
величина накопленной пластической деформации к началу этапа нагруже
ния. Другими словами, при повторном и последующих нагружениях уравне
ние (38) учитывает зависимость обобщенных кривых деформирования от
величины накопленной пластической деформации. Исходя из этого пред
ставим функциональную зависимость (38) в более общем виде
а = Ч ( ё а , q , Т), (40)
где в качестве дополнительного аргумента q принимается параметр, харак
теризующий упрочнение материала к началу текущего этапа нагружения.
При этом зависимость параметра упрочнения q от процесса деформирова
ния отражает историю нагружения. Простейшее предположение о характере
упрочнения состоит в том, что за меру упрочнения принимается величина
накопленной пластической деформации, т.е. параметр Одквиста. При изо
термических процессах уравнение (40) можно интерпретировать как поверх
ность деформирования с начальным упрочнением. При неизотермических
процессах оно описывает множество термомеханических поверхностей в
зависимости от величины упрочнения. Для фиксированных значений пара
метра упрочнения q уравнение (40) можно интерпретировать как мгновен
ную термомеханическую поверхность с начальным упрочнением.
76 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы ...
Для конкретизации функциональной зависимости (40) используем урав
нение термомеханической поверхности (39). При одноосном растяжении
образца полная деформация е связана с активной деформацией е а соотно
шением е = е а + д, где д - начальная пластическая деформация. Тогда с
учетом линейной зависимости на упругом участке деформирования получим
где е р ( д , Т ) - деформация, соответствующая мгновенному пределу пропор
циональности о р (д , Т), зависящему от накопленной пластической дефор
мации д и температуры Т.
Поскольку зависимость между о р (д , Т ) и е р (д , Т ) принимается ли
нейной, получим уравнение для определения е р (д , Т):
При активном процессе нагружения из естественного недеформирован-
ного состояния в формулах (41) следует положить е а = е и д = 0. Кроме
того, о р (0, Т ) и е р (0, Т ) - пределы пропорциональности, определяемые по
уравнению термомеханической поверхности (39). Тогда с использованием
соотношений (33) и (41) имеем
(41)
/ ( е р (д , Т) + д , Т) = 3 в о (Т ) е р (д , Т). (42)
в о(Т( 11)), е( 11) < е р (0, Т (*1));
(43)
причем значение е р (0, Т ( ^ ) ) определяется выражением
(44)
При разгрузке и повторном нагружении имеем
в 0(Т ( гт )),
в ( гт ) = ' / ( е а ( гт ) + д( гт-1 ), Т( гт ))
. 3 е а ( гт )
е а ( гт ) < е р ( гт ) ;
е (гт ) '> е р (гт ),
где значение е р ( гт ) является корнем уравнения
/ ( е р ( гт ) + д ( гт -1% Т ( гт )) = 3 в 0( Т ( гт )) ер ( гт ). (46)
0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1 77
А. Ю. Чирков
Допустим, что при фиксированной температуре Т ( гт ) используется
кусочно-линейная аппроксимация / ( ё( гт ), Т ( гт )) в зависимости от дефор
маций ё ( гт )■ Для этого весь интервал изменения ё ( гт ) разбивается на
отрезки [ё „_!( гт ), ё п ( гт )] и в пределах каждого из них задается линейная
интерполяция следующего вида:
I (ё ( гт ), Т ( гт )) = I (ё п_1( гт X Т ( гт )) + ^ п (Т( гт ))(ё ( гт ) _ ё п_1( гт ^ (47)
где g n (Т ( гт )) - линейный модуль упрочнения на отрезке [ёп_1( гт ), ё п ( гт )],
ЧЧ 1 ( ёп( гт X Т ( гт )) _ / (ё п_1( гт X Т ( *т )) , ,
^ (Т ( ' • )) = 3( ё п ( т ) _ ё ,т )) • (48)
На основании формул (46)-(48) получаем соотношения, с помощью
которых определяется значение ё р ( гт ):
_ _ _ а * ( 1т )
ё р ( гт ) ё *( гт ) Ч ( гт _1); ё *( гт )
причем
р ^ т ; - V ч ^ т_ и , - V т 3 0 * ( гт у (49)
ё п—1( гт ) ~ ё * ( гт ) ~ ё п—1( гт ),
а *( гт ) = 1 ( ё п_1( гт ), Т ( гт )) +
+ 3 [0 0(Т ( гт )) Ч( гт_1 ) _ gn (Т ( гт )) ё п_1( гт )]; (50)
О *( гт ) = О о (Т ( гт )) _ g n (Т( гт ))•
При установившейся ползучести функциональную зависимость (40)
приближенно можно определить с помощью диаграмм ползучести, получен
ных при фиксированных значениях напряжений и температуры, путем по
строения изохронных кривых ползучести [1, 8]:
а = / ( ё , Т ( г), г). (51)
С использованием изохронных кривых ползучести (51) функциональ
ную зависимость (40) представим в следующем виде:
а = ^ ( ё а , ч , Т ( г), г), (52)
где под пластической (неупругой) деформацией следует понимать необра
тимую деформацию, включающую как деформацию ползучести, так и мгно
венную пластическую деформацию. При этом в качестве параметра упроч
нения ч принимается величина накопленной необратимой деформации к
началу этапа нагружения. Таким образом, решение вязкопластической зада
чи сводится к решению упругопластической задачи, когда обобщенные
кривые деформирования материала зависят от величины накопленной не
обратимой деформации, времени и температуры [1, 8].
78 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы
Обобщенная постановка краевой задачи. Пусть рассматриваемое тело
занимает область Q G R и имеет регулярную границу. Вектор-функции,
описывающие перемещения точек тела и ( г), будем рассматривать как эле
менты функционального множества и . Множество допустимых тензор-
функций для напряжений о ( г), полных е ( г) и начальных £ ( г) деформаций
обозначим через X. Полагаем, что и и X - гильбертовы пространства со
скалярными произведениями (-,-)и и (•,•)х соответственно. Обозначим
через и * - пространство, сопряженное к и , и определим ( р ( г), у) как
*
значение непрерывного линейного функционала р ( г) Е и на элементе
V Е и . Тогда при исследовании неизотермических процессов упругопласти
ческого деформирования в квазистатической постановке обобщенная крае
вая задача может быть представлена следующей системой уравнений:
(е ( О, Ч) х = (В и (г ), Ч) х , УЧ Е х ;
(о ( Х ) х = ( В( е ( £ ( г ) ( е (г) _ £ (г )) Х ) х , У* Е х ; (53)
(о ( г), В у )х = ( р ( г), V) , Уу е и ,
где В - непрерывный линейный дифференциальный оператор, действующий
из пространства и в X , т.е. оператор вычисления малых деформаций по
заданным перемещениям; В - нелинейный оператор, отображающий X в
себя и устанавливающий взаимосвязь между напряжениями и деформа
*
циями; р ( г) Е и - линейный функционал, ассоциируемый с работой при
ложенных к телу нагрузок на возможных перемещениях V Е и .
Оператор В : х ^ х определяется с помощью отображения
Ч ( С ( М (г) Е х ^ В (( Ч ( t), С ( ОХ г)(М (г) _ С (г)) =
= к 0(т(г))(М^(г) _ С^ (г)) + 2 С ( е а ( Ч(г), С(ОХ Т ( г), 0 (МВ(О _ Св (ОХ (54)
где С( е а , Т ( г), г) = ^ ( е а , Т ( г), г ) /з е а - секущий модуль сдвига; е а -
интенсивность девиатора активных деформаций;
Ч( С ( О а( Ч(0 , С(0 ) = / ^ 1 Чв ( О _ Св (ОН- (55)
Для исследования условий существования и единственности решения
краевой задачи представим систему уравнений (53) в форме одного нелиней
ного операторного уравнения относительно перемещений:
с Н8
А (и ( г), £ ( г), г) = р ( г) в и , и ( г)Е и , (56)
%
где А : и ^ и - нелинейный оператор теории пластичности, опреде
ляемый с помощью отображения:
ТХОТ 0556-171х. Проблемы прочности, 2006, N 1 79
А. Ю. Чирков
A ( u ( t), £ ( t), t): v e U ^ ( о ( u ( t), £ ( t), t), e (v)) x =
= (D (B u ( t), £ ( t), t )(B u ( t) — £ ( t )), B v ) x = ( A (u ( t), £ ( t), t), v ). (57)
*
Если оператор А : U ^ U обладает свойствами сильной монотонности
и липшиц-непрерывности, т.е. существуют такие вещественные положитель
ные числа m, M и М i, что
( a (v , t ) — A (w, t) , v — w ) > m || v — w | | ^ , V v , w e U ;
|| A ( v , t ) — A(w, ? ) | | U* ^ M || v — w| | u , V v , w e U ; (58)
11 A ( v , t ) — A ( v , x ) ||U* ^ M i | | t — X | | x , V t , z e X ,
то решение операторного уравнения (56) существует и единственно, а также*
непрерывно зависит от приложенных нагрузок р ( t ) e U и начальных
деформаций £ ( t ) e X [9].
Определим нелинейный оператор Ф : X ^ X с помощью отображения
Ф : г , t e X ^ Ф (г , t ) = D (г, t ) ( г} — t ) , (59)
которое произвольным элементам г , t e X и оператору г , t ^ D (г , t)
ставит в соответствие результат действия D (г , t ) на (г — t), т.е. элемент
d (г , t ) ( г — t) e x .
Пусть отображение Ф : X ^ X дифференцируемо по Фреше в каждой
точке (г, t), т.е. существуют такие линейные операторы Ф'е и Ф £, что
| | Ф( г + и , t ) —Ф(г , t ) —Ф е(г , О и ||х п
lim ------------------------л—л---------------------------= 0;
0 Н и Н X
(60)
v | | Ф ( г t + x ) — Ф(г t ) — Ф £(г t ) x ||х
lim -------------------------------------------------------- = 0,
x^o || x || х
где Ф'е(г , t ) И = d Ф ((г , t) ; (И,0)) - дифференциал Фреше отображения
г ^ Ф(г , t ) на приращении (и , 0); Ф'е(г , t ) - производная Фреше оператора
Ф в точке (г, t); Ф £ (г, t )x = d Ф((г , t ) ; ( 0 , x )) - дифференциал Фреше
отображения t ^ ^ ( г, t ) на приращении (0, x ); Ф £ (г, t ) - производная
Фреше оператора Ф в точке (г, t).
Л ем м а . Если Ф : X ^ X - непрерывно дифференцируемое отображение
и операторы Ф'е(г , t) , Ф £ (г, t ) удовлетворяют условиям
3 m > 0: ( Ф'е (г , t ) И, И) х ^ m || и ||X , V г , t , ß e X ; (61)
3 M > 0: || Ф'е (г , t ) И || X ^ M || и || х , V г , t , ß e X ; (62)
80 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, N 1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы
3 М 1 > 0: IIФ'? I ) %IIX < м 1 \\%IIX , V ^ ^ %е х , (63)
*
то определяемый из соотношения (57) оператор А : и ^ и является сильно
монотонным и липшиц-непрерывным.
^ Пусть ^ = Б у и л = Бю для любых V, ю е и . Тогда согласно (57) и
(59) для произвольных V , ю е и имеем
( а (V, £) - А (ю, £), V - ю ) = ( Ф (г], £) - Ф (л , £), ^ - л ) х , (64)
откуда с использованием формулы конечных приращений [10] и неравенст
ва (61) получаем
(А (V, £) - А (ю, £), V - ю ) =
1
= 5 ( ф е(р ^ + ( 1 - р ^ , ? ) (^ - л х ^ - л ) х<*р ^
> т II ^ - л ||X = т II V - ю | | ^ , V V, ю е и , V £ е X . (65)
*
Кроме того, по определению нормы в пространстве и имеем
| ( А (V, £ ) - А (ю, £), л )
Н А(v , ?) - АК = вир-------------— --------------- =
и л е и НЛ^
!(ф (?, О - Ф (Л, О, БЛ)XI и _
= ШР Б й ’ V v , ю е и , (66) леи | | БЛ1 | X
и, следовательно, на основании неравенства Коши-Буняковского-Шварца,
формулы конечных приращений и неравенства (62) находим
|| А ^ , ?) - А (w, ?) | | и* < || ф ( ^ , ?) - ф ( Л , ОНX =
1
= 5 | | ф е(р^ + ( 1 - р )Л , ? ) (^ - л ) | X Ф <
< М | |^ - л ||X = М || V - ю| |и , V V, ю е и , ^ е X . (67)
С использованием формулы конечных приращений и неравенства (63)
получаем
|| А ^ , ? ) - А ^ , %) ||и. < || ф ?) - ф (^ %) | X =
1
= 5 | |ф '§(^ р? + ( 1 - р ^ ) ( ? - %) | X Ф <
0
1ХОТ О З З б -П ^ . Проблемы прочности, 2006, № 1 81
0
0
А. Ю. Чирков
< M l i i C - z l i x , v V e U , v ? , * e X . (68)
*
На основании неравенств (65), (67), (68) заключаем, что А : U ^ U -
сильномонотонный и липшиц-непрерывный оператор, обладающий сильно_1 * .
монотонным и липшиц-непрерывным обратным оператором А : U ^ U . ►
Для доказательства существования и единственности решения краевой
задачи, сформулированной в виде нелинейного операторного уравнения (56),
сделаем некоторые допущения относительно функциональной зависимости
О = f ( £, T), описывающей мгновенную термомеханическую поверхность.
Полагаем, что при всех £ кроме, быть может, конечного числа изоли
рованных точек функция О = О (£), описывающая кривую деформирования
материала, удовлетворяет условиям:
0 < g 1 < g (£) < G (£) < G о <о>. (69)
Неравенства (69) записаны для изотермических условий и допускают
простую геометрическую интерпретацию. Для всех значений £ касательный
модуль
1 d o ( £)
g ( е ) = 3 ~ 1 Г (70)
строго положителен и не превышает секущий модуль G (£) = О (£ )/3£, кото
рый, в свою очередь, не превышает начальный модуль сдвига G о.
Если в функциональную зависимость О = О (£) в качестве второго аргу
мента ввести температуру Т, то получим уравнение мгновенной термо
механической поверхности О = f ( £, T ). Для неизотермических процессов
неравенства (69) можно представить в более общем виде:
0 < nTn g 1 (T ) < g ( £, T ) < G ( £, T ) < max G о (T ) <«>. (71)
Кроме того, уравнение W = W ( £ a , q , T), описывающее мгновенную
термомеханическую поверхность с начальным упрочнением q, определяется
соотношениями (41), и, значит, на основании неравенств (71) получаем
0 < mTng 1(T) < g ( £ a , q , T) < G ( £ a , q , T) < m axG o(T) <«>. (72)
Рассматриваемое тело может быть неоднородным, а его упругие и
пластические свойства могут зависеть от координат x e Q . Полагаем, что
функции x ^ W ( x , £ a , q , T), q ^ W ( x , £a , q, T) и T ^ W ( x , £a , q , T) -
измеримы, а x ^ G ( x , £ a , q, T) - измерима и ограничена на Q при всех £ a ,
q , T. Во всех точках области Q кроме, быть может, множества меры нуль
функция £ a ^ W ( x , £ a , q, T) - непрерывна и имеет ограниченную частную
производную dW ( x , £ a , q , T ) /d e a , удовлетворяющую условиям (72).
82 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы ...
Теорема. Если уравнение W W ( £ a , q , T ), описывающее мгновенную
термомеханическую поверхность с начальным упрочнением q, удовлетво
ряет условиям (74), то оператор Ф : X ^ X , определяемый соотношением
(61), удовлетворяет условиям леммы, т.е. существуют такие вещественные
числа m, M и M i, при которых выполняются неравенства (61)-(63), причем
т = 2 vrai min min g i( x , T); M i = M = vrai max max k 0( x , T). (73)
Л Сделанные выше предположения о свойствах функции Ф" -
- Ф ( е а , q , Т) обеспечивают дифференцируемость по Фреше оператора
I (ц, £). Согласно (59) и правилам дифференцирования сложных отображе
ний имеем
где dD ((ц, £); (л , 0)) - дифференциал Фреше отображения ц ^ I (ц, £) в
точке (ц, £) на приращении (л , 0); dD ((ц, £); (0, %)) - дифференциал Фреше
отображения £ ^ I (ц, £) на приращении (0, %).
На основании (54) для произвольных ц, £, л , X, Я Е ^ имеем
где & а ((ц, £); (л , 0)) - дифференциал отображения ц ^ ё а(ц, £) на при
ращении (л , 0); d£а ((ц, £)• (0, %)) - дифференциал Фреше отображения
£ ^ £ а (ц , £) на приращении (0, %).
С использованием соотношения (55) находим
x£Q x£Q
й ф ((^ , Ç); (л ,0)) = ф '£(^ , О л =
= dD (( rç, Ç); ( л , 0))( rç - Ç) + D ( rç, £ )л , V rç, Ç, л £ X ;
^ф ((^ Ç); (0, X)) = ф '§(^ , Ç)X =
= dD (( ̂ , Ç); (0, х ))( П - Ç) - D ( ̂ , Ç)X, V ^ , Ç Z G X ,
(74)
d G ( £ a )
dD (( rç, Ç); ( л , 0)) Я = 2 I ’ d£ a (( rç, Ç); ( л , 0)) Я d ;
d£
(75)
dG ( £ a )
dD (( rç, Ç); (0, х )) Я = 2 d£ a (( rç, Ç); (0, х )) Я d ,
d£
d £ a ((rç, Ç); (л , 0)) =
2 ( rç D Ç D , л D ) ;
3 II rç D - Ç D II
2 (ÇD rçD , х D )
3 1 |rçD - ÇD 11
(76)
d£ a ((rç, Ç); (0, х )) =
и, значит, выражения (75) можно представить в виде
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1 83
А. Ю. Чирков
т и г т и -> I 2 й в ( е а ) ( ^ ° С° , Ц ° ) 1 й В ((^ , С); (ц ,0)) Я = 2 Д - ----— ------- —------ — — Я0 ;
3 й е а \ \П п - С В
5-4 ,п и , „ / 2 й в ( е а )(С В V В , ^ В ) 1
йВ(( ̂ , С); (0, X)) Я = 2 л о — ^ ------- гг:— Я в ■
3 й е а \\V в - С В
(77)
Тогда с учетом равенств
й в ( е а ) 1
е а
( е а ) ^ ( е а )
й е а е а
Ё ( е а ) - в ( е а )
е а
(78)
на основании формул (55), (74), (77) и (78) получим
Ф'е(V, С)Ц = 2(Ё - в (Vв - С в ) + В (V, С)ц;
\ ^ в - С в\ \
Ф'? (V, С)х = 2 (в - Ё (Vв - Св ) - В (V, С)х.
\ ^ В - С В\\
Следовательно, для произвольных V, С, Ц , X, Я Е X имеем
^ ^ ч ^ В - СВ , ц В ) (^ - Св , Я В ) ,
( Ф е(V, С)Ц, Я) = 2(Ё - в ) -----------------------------;------------- +
\Vв - С
(79)
В
+ к0(Ц* , Я* ) + 2 в (Цв , Яв );
, Д | , 5-4 1Ч - ч ( v В - С В , х В )(v В - С В , Я В )
(Ф '§(V, С)X, Я) = 2 ( в - Ё ) ------------ г---------— ~а--------------
\\V в - С в \ I
(80)
к 0( х * , Я* ) 2 в ( х В , ЯВ ) .
С использованием соотношений (80) и (81) получим
(Ф'е(V, С)Ц, Я) = (ц , Ф'е(V, С)Я), V V, С, Ц, Я Е X ;
(Ф '§(V, С)X, Я) = (X, Ф '§(V, С)Я), V V, С X, Я е х ,
(81)
(82)
откуда следует, что Ф'е(V, С) и Ф'^ (V, С) - самосопряженные операторы
при всех V, СЕ X .
На основании равенства (82) для произвольных V, С, Ц Е X находим
(Ф'е(V, С)Ц, Ц) = 2 (Ё - в ) ( В - С В , цВ2) + к 0 \ \ ц * \ \ 2 + 2в\ \ ц в \ \ 2 . (83)
\\Vв - С в \\
84 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы
В соответствии с неравенством Коши-Буняковского-Шварца, имеем
| ь _ ? ь , ^ ь ) | — | | V ь _ ? ь | 11 | ^ ь | | . (84)
Кроме того, согласно условиям (72) выполняется неравенство g _ О — 0,
и, значит, с учетом (84) из равенства (83) следует
(Ф ' ё О ц , ц ) ^ к 0 | | ^ ^ ||2 + 2 g ||^ ь ||2 ^ 2 g ||^ ||2 , (85)
что приводит к неравенству (61) с постоянной ш = 2vraim inm ing , ( x , Г).
xGQ Г
Для доказательства неравенства (62) заметим, что оператор Ф'£ ( £ )
самосопряжен и положителен при всех ^, £G X и, следовательно, его
норма определяется выражением
и * , , ( ф (^ ^ Л , Л ) X
IIф £<Ж Oi lX = suP --------——2--------- ■ (86)
j“G X 1 Л Н X
С использованием равенства (83) для произвольных ^, £, ^ G X полу-
( ф '£ (^ О Л , Л ) ^ Л о 11Л ̂ ||2 + 2^ 1Л д ||2 < Л о 11Л||2 , (87)
чим
что приводит к неравенству (62) с постоянной M = vrai max max &0(x , T ).
ÆQ T
Для доказательства неравенства (63) заметим, что оператор Ф'^ (^, Ç)
самосопряжен, но неположителен и, значит, его норма определяется выраже
нием
, | Л , , 1( Ф ? (^ Ç)X, X)X I
IIФ § Ç)| l x = suP -------- ——2----------■ (88)
Xe x H X 11X
На основании равенства (81) для произвольных ^, Ç, X ^ X находим
( Ф'§ (? , Ç) X, X ) = 2 (G — g ) ( D ~ Ç D ’ Х D2) - & о 11X 5 112 2G || x dI I 2 , (89)
\\V D - Ç D II
откуда с использованием неравенства G — g > 0 получим
|(Ф 'ё (^ Ç) X, X) X ^ & о H X 5 ii2 + 2G ii X d H2 ^ & о H X H2 , (90)
что приводит к неравенству (63) с постоянной M i = M ■ ►
С лед ст ви е■ Из свойств оператора Ф: Х ^ Х , установленных теоремой,
результатов леммы и общих данных о сильномонотонных и липшиц-непре-
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, N 1 85
А. Ю. Чирков
*
рывных операторах А : и ^ и следует однозначная разрешимость опера
торного уравнения (56), а также непрерывная зависимость обобщенного*
решения и ( г) от приложенных нагрузок р ( г) Е и и начальных деформаций
£ ( г) е х .
И терационные методы реш ения краевы х задач термопластичности.
Рассмотрим обобщенный метод упругих решений [11], в котором решение
и Е и на каждом этапе нагружения строится как предел последовательности
{ и к }“=! Е и решений вспомогательных линейных задач. С этой целью вве
дем в рассмотрение линейный самосопряженный положительно определен
ный ограниченный оператор Q , действующий в пространстве X . Тогда
существуют два вещественных положительных числа д 2 такие, что
Ч Л\М Их — ( б М М )х — д 2 11 М Их , У м Е х , (91)
и, значит, оператор б : х ^ х можно использовать для построения скаляр
ного произведения (7 )2 и нормы \ \ ,\ \ о в пространстве X, эквивалентной
основной норме этого пространства, т.е. норме \ \ -\ \ х :
^ М)е = ( б Ч, М) х , \ \ Ч\\ 2 = ^ Ч ^ V Ч, МЕ х - (92)
В методе упругих решений последовательность линейных приближений
{и к }“=1 Е и строится в виде следующей итерационной процедуры:
(В и к+1, В у ) а = (В и к , В у )б — а [(Ф(В и к , £), В у )х _ р (V)], V V Е и , (93)
где а > 0 - числовой параметр, вводимый для управления сходимостью,
который может изменяться от итерации к итерации.
При сопоставлении уравнений (56) и (93) получим
(В и к+1 _ В и , В у )д = (В и к _ В и , В у )д _
— а ( б _ 1[Ф( В и к , £) _ Ф(Ви, £)], В у )е , V у Е и , (94)
откуда при у = и к+1 - и Е и следует
\ \ В и к+1 — Ви\ \ б —\\ В и к — В и _ а б 1[Ф (В и к , £ ) —Ф (Ви, £)] \ \ д . (95)
Иначе, последнее неравенство можно записать так:
\ \ е к+1 — е\ \ б —\ \ е к —е — а б _ 1[ Ф( е к , £ ) —Ф ( е , £ )]\ \ д . (96)
86 ISSN 0556-171х. Проблемы прочности, 2006, N 1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы
Введем в рассмотрение нелинейный оператор Та (^ , £), действующий в
пространстве X и определяемый с помощью отображения:
(97)
Тогда с использованием формулы конечных приращений неравенство
(96) преобразуется следующим образом:
I £*+1 - £ ||е - ®иР Нта ^ £ ) Не II £* - £ Не ’
щЄ X (98)
где Та (^, £) - значение производной оператора Т а в точке (^, £). С учетом
того что Q - линейный оператор, получим
Л Є X ^ Та ( щ, £ )л = ^ - а Є 1ф '£(^, £ ) л , (99)
и, следовательно, для произвольных л , % е X выполняется соотношение
(та (^ £ ) Л , %^ = (Q Л , %)X - а ( ф е(^ £ ) Л , %)X ■ (100)
Выражение в правой части (100) симметрично относительно л , % е X,
( та (^ £) л , % )Q = ( л , та (^ £) % )Q, (101)
т.е.
и, значит, Т а (щ, £) - самосопряженный оператор при всех щ, £ Є X относи
тельно скалярного произведения (•;)е ■ Норма оператора Т'а (щ, £) определя
ется выражением
( £ |(та (щ, £ ) л , л е
||т а (щ, £) | | е = 8иР -------- ^ ---------■ (102)
ЛЄ X | л Не
С использованием соотношений (92), (100) и (102) получаем
( ф £(Щ, £) Л , Л )X
|та (щ, £ )| |е = 8ир
ЛЄ X
1— а-
( е Л , Л ) X
(103)
Полагаем, что существуют такие вещественные положительные числа
у 01 и у 02, при которых для любых ^, £, л е X выполняются неравенства
у 01^ л , л ) X < ( ф £ О л , л ) X <У 02(Q л , л ) X . (104)
Если для оценки (103) использовать неравенства (104), то получим
эиР Нта (щ, £ ) Не - Я(а ) = тах ( | 1— а ^ 01|, 11— а У0 2 ^ (105)
щЄ X
Й Х # 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 1 87
А. Ю. Чирков
и, следовательно, условие 0 < а < 2/у 02 обеспечивает сходимость метода
упругих решений при любом начальном приближении и 0 E U .
Оптимальное значение а ор{ является решением уравнения
1—а opt У 01 = а opt У 02 - 1 0 °6 )
и вычисляется по формуле
2
а opt = у + у ■ (107)
у 02 + у 01
Подставляя значение а opt в (105), получаем
I гг, { км . / ч у 02 у 01 ^
sup 11̂ «opt(^ ^ ) Не - q ( а opt) = у + у < 1. (108)
}]Е X р у 02 + у 01
Таким образом, приходим к неравенствам, с помощью которых можно
оценить максимальную скорость сходимости итерационного процесса:
I I е k — £ 11 е < q ( а opt) l I £k-1 - £ lI е - q k ( а opt) l I £0 - £ lI е ■ (109)
На основании неравенств (91) и (109) имеем оценку, характеризующую
максимальную скорость сходимости итерационного процесса для дефор
маций:
I I е k — е 1I X - J q k ( а opt ) 11 е 0 — е 1I X ■ (110)
V q1
Аналогичную оценку можно получить для напряжений. Действительно,
с учетом неравенств (61) и (62) находим
т 11 £ к - £| | х < | | о к - а | | х < М \ | е к — £ 11 х , (111)
и, следовательно, на основании неравенств (110), (111) получаем оптималь
ную оценку скорости сходимости для напряжений:
I о о X
M q 2 k
- — J — q ( а opt) Ноm
о | X (112)
Неравенства (110) и (112) позволяют установить сходимость метода
упругих решений независимо от выбора начального приближения со ско
ростью геометрической прогрессии.
Впервые сходимость метода для изотермических процессов активного
нагружения была доказана в [12], для неизотермических - в [13], однако без
учета начальных деформаций, зависящих от процесса деформирования.
88 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы
Зам ечание . Пусть Q = Б 0, где Б 0 - линейный оператор, соответст
вующий модулям упругости к 0( х , Т ) и О 0( х , Т ). Тогда для метода упругих
решений имеют место априорные оценки:
q 1 = 2vraim inm inG 0( х , T) > 0;
xEQ T
q 2 = vraimax max k 0 ( х , T ) < ^ ;
xEQ T
. . . £ 1( x , T) . n
у oi = v rrn m iim ii— — — > 0;
xEQ T G o (X , T )
У 02 = 1
(113)
Рассмотрим другой, не менее распространенный метод решения упруго
пластических задач с помощью последовательных приближений, а именно:
метод переменных параметров упругости [14], обладающий более высокой
скоростью сходимости по сравнению с методом упругих решений. Сходи
мость этого метода была доказана в [15, 16] при ограничительном пред
положении об относительном изменении секущего модуля сдвига материала.
Доказательство и оценка сходимости метода переменных параметров упру
гости при менее жестких ограничениях получены в [17], однако без учета
начальных деформаций, зависящих от процесса деформирования.
В обобщенном методе переменных параметров упругости последова
тельность линейных приближений {u k }k=1 Е U строится на каждом этапе
нагружения в виде следующей итерационной процедуры:
(D (B u k , £ ) B u k+1, B v ) X = (D (B u k , £ ) B u k , B v ) X -
- а [(Ф (B u k , £), B v ) x - p (v)], V v Е U , (114)
где a > 0 - числовой параметр, вводимый для управления сходимостью,
который может изменяться в процессе итераций.
Итерационный процесс (114) можно трактовать как метод поправок:
(D (B u k , £ )Brnk , B v ) x = ( Ф ^ , £), B v ) x - p ( v), V v E U ,
k+1 k a k (115) u = u — aw ,
где w k E U - поправка для ( k + 1)-й инерации.
При рассмотрении сходимости метода переменных параметров упру
гости представим итерационный процесс (115) в форме операторного урав
нения относительно перемещений. С этой целью запишем уравнение для
поправки:
Л ( u k , £ ) w k = A ( u k , £ ) - р в U *, (116)
*
где Л: U ^ U - нелинейный оператор, определяемый отображением
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 1 89
А. Ю. Чирков
Л (и , £ ) у : w Е и ^ ( I (В и , £ ) В г , В ^ )х , V V Е и . (117)
*
С учетом свойств оператора I : X ^ X заключаем, что Л : и ^ и -
симметричный коэрцитивный ограниченный оператор, обладающий ограни_1 *
ченным коэрцитивным обратным оператором Л : и ^ и , и, значит, выра
жение для поправки юк Е Ц можно представить в виде
юк - (Л (и к , £ ) )_1( А ( и к , £) _ р ) . (118)
Таким образом, получаем уравнение относительно перемещений:
ик+1 - и к - а (Л ( и к , £ ))-1 ( А (и к , £) _ р). (119)
Согласно (119) элемент и Е Ц является неподвижной точкой оператора
Га : и ^ и , определяемого отображением
Га : V Е и ^ Га ( V, £, р ) ^ _ а ( Л ( У, £ ))-1 ( А ( V, £ ) _ р ) . (120)
Пусть отображение Га : и ^ и имеет неподвижную точку и Е и и
дифференцируемо по Фреше в этой точке. Кроме того, существует норма,
эквивалентная основной норме пространства и , для которой выполняется
условие
II Га ( и , £ ) П ^ q(« ) < 1. (121)
Тогда в соответствии с теоремой Островского [18] для произвольного, но
достаточно близкого к и и и начального приближения и 0 и и последова
тельность {ик }“._1 Е и , построенная с помощью итерационного процесса
(119), сходится к точке и Е и со скоростью геометрической прогрессии,
причем оценка скорости сходимости характеризуется неравенством
11ик — и | |< q k (а)11и0 _ и ||. (122)
Отметим, что наличие неподвижной точки и Е и отображения (120)
обеспечено в силу существования единственного решения операторного
уравнения (56), а сделанные выше предположения о свойствах оператора Ф:
X ^ X обеспечивают дифференцируемость по Фреше оператора Га : и ^ и .
В соответствии с (120) и правилами дифференцирования сложных
отображений дифференциал Фреше оператора Га : и ^ и в точке V Е и на
приращении w Е и имеет вид
w ^ Г а (V, £, р ) w - w _ а (Л (V, £ ) )_1 А' (V, £) w +
90
+ а ( Л ( V , £ ) ) _ 1( Л ' ( V , £ ) w ) ( Л ( V , £ ) ) _ 1( А ( V , £ ) _ р ) . ( 1 2 3 )
Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы ...
Поскольку и Є и - неподвижная точка оператора Га : и ^ и , находим
V ^ Г ; (и, £) V = V - а ( Л (и, £ ))-1 Л'(и, £) V , V V Є и , (124)
где Л '(и , £) V - дифференциал Фреше оператора А в точке и Є и на
приращении V Є и ,
Л '(и, £) V: w ^ ( Ф'е (В и , £ ) ^ , Bw)х = ( Л' (и, £) V, w ). (125)
Сделаем несколько замечаний относительно свойств оператора Л. По
*
скольку Л: и ^ и - симметричный коэрцитивный ограниченный опера
тор, существуют два вещественных положительных числа д , д 2 такие, что
w\\U < ( Л ^ , £) w, ^ < д2 || w| |2 , V V, w Є и . (126)
*
Тогда оператор Л: и ^ и можно использовать для построения ска
лярного произведения (•,•)л и нормы | |-| |л в пространстве и , эквивалент
ной основной норме этого пространства, т.е. норме 11 • 11 и :
(V, w) л = ( Л (и , £) V, w), || V11 л = (V, V )Л2 , V V, w Є и . (127)
Покажем, что оператор Г ; (и , £) удовлетворяет условию (121) относи
тельно введенной метрики 11 • 11л . Поскольку для произвольных V , w Є и
выполняется соотношение
(г ; (и , £) V, w)Л = ( Л (и , £) V, ^ - а ( Л ' ( и, £) V, w ) , (128)
приходим к равенству
( г ; (и, £) v , w)Л = ( , г ; ( u, £) w)Л , V v , w Є и , (129)
откуда следует, что Г ; (и , £) - самосопряженный оператор относительно
скалярного произведения (•,•)л , и, значит, его норма определяется выраже
нием
( г ; (u, £) v , v ) л |
- (130)|г ; (u, £ )| |л = «ир
vЄ и М| Л
С использованием соотношений (127), (128) и (130) получим
|г ; к £ ) | |л = ^ р
vЄ и
1 - а
Л' (и , £) V, V
Л (и , £) V, V
(131)
/ЗЗЖ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1 91
А. Ю. Чирков
Полагаем, что при всех X существуют такие вещественные
положительные числа у 1, у 2 , при которых выполняются неравенства
у 1(Я ( ^ О л , Л )X < (Ф'е(^ О л , Л)X < У 2( ^ О л , Л)X ■ (132)
Тогда на основании (117), (125), (132) для произвольных v , w G U имеем
У ^ Л (v , £ )w, w ) < ( Л' (v , £) w, w) < у ^ Л (v , £) w, w )■ (133)
В соответствии с (131) и (133) находим
I I Г ; ( и , £ ) | | л < q (а ) = т а х ( | 1 - а у 1 I , | 1 - а у 2 I ) . (Ш )
Таким образом, условие q(а ) < 1 будет выполняться только в случае
если а G (0,2/у 2 ). При этом с учетом неравенств (126) справедлива оценка,
характеризующая скорость сходимости итерационного процесса:
I k и q 2 k^ ч | 0 II| | и - и| | и — q (а ) 11 и - и| | и ■ (135)
V q1
На основании (135) нетрудно определить, что минимальная оценка
| | Га 0̂ , ( и , £ )| | Л < q ( а opt ) = у 2 + У! < 1 (136)
достигается при
2
а opt = т т ^ ■ (137)у 1 + у 2
Оптимальные оценки скорости сходимости для деформаций и напря
жений имеют вид
||£ k - £ НX < J q k ( а opt) | |£0 - £ НX ; (138)
V q1
k -M q 2 k 0
\ ° - а ИX < J q ( а opt) | | а - а ИX ■ (139)
m v q 1
Неравенства (136), (138) и (139) позволяют установить локальную схо
димость метода переменных параметров упругости при неизотермических
процессах активного нагружения с учетом начальных деформаций.
Зам ечание. Для метода переменных параметров упругости справедливы
априорные оценки следующего вида:
92 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 1
qi = 2 vrai min min min G ( x , £, T) > 0;
IÉQ £ T
q 2 = vrai max max k o( x , T) < oo;
xGQ T
. . . . g ( x, £, T) 0 (140) v 1 = vraim inm inm in—-— z— т > 0;
xGQ £ T G ( x , £, T )
v 2 = 1
Согласно оценкам (113) и (140) знаменатель геометрической прогрессии
в оценке скорости сходимости метода переменных параметров упругости
меньше, чем в оценке сходимости метода упругих решений, т.е. скорость
сходимости метода переменных параметров упругости выше, чем метода
упругих решений.
Отметим, что приведенные выше доказательства сходимости методов
упругих решений и переменных параметров упругости не учитывают по
грешность вычисления начальных деформаций £ ( t ) G X , зависящих от про
цесса деформирования. Действительно, тензор начальных деформаций для
каждого этапа нагружения определяется в результате решения упругоплас
тической задачи для предыдущего этапа нагружения и, следовательно, вклю
чает погрешность, обусловленную приближенным решением операторного
уравнения (56) для каждого этапа нагружения. Таким образом, получаем
уравнение с учетом погрешности входных данных для начальных дефор
маций £:
A (и, £) = р в U , и G U . (141)
Оценим погрешность и — и G U . С использованием первого неравенст
ва (58) имеем
m || ~ — и \\U < ( A (~ , £ ) — A ( и , £ ), ~ — и ) = ̂A ( ~, £ ) — A ( ~, £ ), ~ — и ^, (142)
откуда с учетом третьего неравенства (58) находим
~ 1 ~ ~ и M , и
||и — и |\u < — | |A(и, £) — A (и, £ )|| . < -----1|£ — £ ||х ■ (143)
m U m
Итак, справедлива оценка
и M i и
11и £ 11х < II£ —£ | |х ■ (144)m
Фактически для каждого этапа нагружения вместо операторного урав
нения (56) решается приближенное уравнение (141), и, значит, приведенные
выше оценки скорости сходимости методов упругих решений и переменных
параметров упругости устанавливают сходимость последовательных при-
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы ...
IS S N 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 1 93
А. Ю. Чирков
ближений к решению операторного уравнения (141). Исходя из этого имеем
оценку
| £ к - £ || X — — Як 11 £ 0 - £ || X .
V 41
(145)
Для оценки погрешности е - е используем неравенство треугольника
|£ к - £ 11X — || £ к - £ 11X + 11£ - £ 11X > (146)
откуда с учетом оценок (144) и (145) находим
|£ к £ М — і ^ п к ||£ 0 £ м + ^ 1 11£ £ м|£ - £ N X — і п ||£ - £ Н X + N£ - £ Н X у П1 т
(147)
Кроме того, согласно неравенству треугольника и оценке (144) имеем
М|£ 0 ~ М — И £ 0 £ М + М 1 П& £ м|£ - £ ||x —1|£ - £ ||x + N£ - £ ||x >т
(148)
и, следовательно, неравенство (147) принимает вид
\ок „II ^ 4 2 к, ,,0 , . М 1 |£ £ || у — л п | |£ £ || X +
у П1 т
1^ I П 2 к1+ „і — п
П1
| £ - £ ||X ■ (149)
Оценим погрешность £ - £, где элемент £( гт ) определяется выраже-
нием
£( ^ ) = 4 ( *т-1) + (£ 1 )кт-1( *т-1). (150)
В соответствии с (24), (28) и (150) получим
~ ^ ) - £ ( ^т ) = (е В ) кт-1( г т -1) - е В ( ^ - 1) =
£ 1 ( ^т-1) £ 1 ( ^т-1)_
1
2С 0 ( т ( *„-!)) ( ( ^ т-1 ) - ^ 1 ( ^т-1 (151)
причем
° 11 ( ?т -1 ) а 1 ( ?т -1 ) =
= ф ( £ 1 1 ( ^ т -Д £ 1 ( ^т-1 )) Ф ( £ 1 ( ^т-1 X £ 1 ( ^т-1)). (152)
94 /5 5 # О З З б - ^ ^ . Проблемы прочности, 2006, № 1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы
Введем в рассмотрение оператор вычисления пластических деформа
ций Р, определяемый согласно (24) с помощью отображения
1 п , £п е Х ^ Р (1 п , £п ) = 1 п _ 2̂ Ф (1 ° ^ ° )' (153)
Тогда в соответствии с (151)-(153) имеем
(£ Рп )"”-1( *и _1) _ £ Рп ( ^ —1) =
= Р ( £ п 1 ( tm—l ) , £п ( ^т—1 )) _ Р ( £ п ( ^т— £ п ( ^т—ОХ (154)
откуда с использованием неравенства треугольника и формулы конечных
приращений получим
11£ ( {т ) _ £ ( {т ) 11 X =11 (£ п )кт_1 ( ^т—1 ) £ п ( ^т—1) 11 X -
SUp || РЕ ( ] d , £ D ( —1)) 11X II £ D ( 1) £ D ( —1 )ll X
]d е x
+ sup ||Р £ ( £ D ( ^ш—1), £ D )|1 X 11 £ ( ^ш—1) £ ( ^ш—1 ) 11 X , (155)
£d Є X
где Р£ ( ] D , £D ) и Р | ( ] D , £D ) - производные оператора P в произвольной
точке ( ] d , £d ), определяемые согласно (153) с помощью отображений
И D Е X ^ Р£( ] D , £ D ) И D = И D — ^ ^ ф £ ( ] D , £ D ) И D ;2G о
1
X D Е X ^ Р| (] D , £ D ) X D = (] D , £ D ) X D •
2G 0
Следовательно, для произвольных ] , £, и , х, х имеем
х G '
(156)
(Р£ ( ] D , £ D ) И-D , ^ D ) “ I1 г (и D , ^ D ) +
V G 0 /
G — g ( ] D — £ D , И D ) ( ] D — £ D , ^ D )+
G0 ||] d — £D ||2
(157)
G
(Р| ( ] D , £ D ) х D , ^ D ) _ —^Г~ (х D , ^ D ) +
G 0
+ G — g ( ] D — £ D , х D ) ( ] D — £ D , ^ D )
G0 | | ] D — £D ||2
J55W 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, N 1 95
А. Ю. Чирков
На основании (157) заключаем, что Ре (цD , £D ) и Р£ (цD , £D ) - само
сопряженные операторы при всех ц I , £I Е X , и, значит, их норма опре
деляется выражениями
| Ре (ц I , £I ) | | X - ^ Р
ЛD Е X
| Р£ (ц I , £I ) | | X - ^ Р
% I Е
| (ре(ц I , £I ) л I , л I )X
I 12 Nл I | I X
| (р£(ц I , £ I ) % I , % I ) х |
| | % I | |X
(158)
С учетом соотношений (157) получаем
I в
(р£ (ц I , £ I ) л I , л I ) - | 1_ с
,2 , в _ & (цI _ £I , л I )2
| л I || + --------------------------------
0 в 0 | |цI _ £I
(р ' (ц I , £ I ) % I , % I ) - в г |ц I £I ||2
| % I
(159)
откуда для произвольных ц, £, л , % Е X следуют неравенства:
|(ре(ц I , £ I ) л I , л I ) | < 1 1
_ \
в | л I
в
| (р£(ц I , £ I ) % I , % I ) |< в ” ̂% I
(160)
В соответствии с (158) и (160) находим
Н р£ (ц I , £ I ) | X < 1_ у 01 • ||р £(ц I , £ I ) | X < 1,
и, значит, на основании неравенства (155) приходим к оценке
| |~ ( *т ) _ £ ( ) | X < ( 1_ У 01)| |е кт_1( (ш_1) _ е ( _1 ) 11X +
(161)
+ || £ ( t m _l) _ £ ( {т_1) \\X ■ (162)
Если для оценки первого слагаемого в правой части (162) использовать
неравенство (149), то получим
| |£( tm ) _ £ ( tm ) Н X < С lq km_1 ||е 0( tm—1^ е ( tm_1)|| X +
+ С 2 11 £ ( tm_1) £ ( tm_1)|| X (163)
где С 1, С 2 - положительные постоянные,
96 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 1
2
2
2
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы ...
С 1 = л ^ ^ ( 1 — ^ 01); С 2 = 1+ ^ ( 1 — , 01 + С ̂ кт—1). (164)
Отметим, что в реальном итерационном процессе число итераций к т —1
берется таким, что q т—1 < < 1, и, значит, можно полагать
М 1 М
С 2 = 1 + — (1—,01) < — (165)т т
Если в формуле (163) каждое £ ( 1т—1) — £ ( гт — 1) выразить через
предыдущее, то получим неравенство
т —1
11~( т ) — £ ( т )11 X < С 1 2 с т~пq k IIё0( гп ) — ё ( 1п ) | | X . (166)
п=1
На основании (149) и (166) приходим к оценке суммарной погрешности
для деформаций в конце этапа нагружения:
I т
||ё кт ( 1т ) — ё ( 1т ) II X < д — 2 С ( 1п ) q kn , (167)
V q1 п=1
где С ( 1п ) - положительные коэффициенты,
С ( 1:т ) = 11 ё 0( *т ) — ё ( *т )|1 X ;
п (168)
С ( гп ) = (С 2 — 1) С 2 ~ 1| ё 0( ^ ) —ё( , 1< п < т — 1
Аналогичную оценку можно получить для напряжений. Действительно,
с использованием неравенств (62), (63) находим
| | а к — а | | X = | | Ф (ё к , ~ ) —Ф (ё , £) | ^ <
<| | Ф (ё к , ~ ) —Ф (ё , ~ )| | X + | | Ф ( ё , ~ ) —Ф (£, £ ) | ^ <
< вир| | Фё( ) | | X I| ё к — ё|| X + 8иР 11 Ф £(ё, 0 1 | X 11 ~ —£| | X <
X X
< М ( | | ё к — ё| IX + | I ~ — £| IX ), (169)
и, следовательно, с учетом оценок (163), (166) получаем оценку суммарной
погрешности для напряжений в конце этапа нагружения:
ISSN 0556-17IX. Проблемы прочности, 2006, № 1 97
А. Ю. Чирков
т
2 С ( <п) ЦК , (170)
п=1
где С ( Іп ) - положительные коэффициенты, определяемые выражениями
С ( 1т ) = II£ 0( 1т ) - £ ( Іт ) ІІ X ;
С ( Іп ) = (С 2 - У 01) С 2 ~п || £ 0( Іп ) - £ ( Іп )|| X , 1< п < т - 1. (171)
Неравенства (167) и (170) позволяют установить сходимость методов
упругих решений и переменных параметров упругости для решения крае
вых задач, описывающих неизотермические процессы активного нагруже
ния с учетом начальных деформаций, зависящих от истории деформиро
вания и нагрева. Согласно этим оценкам, точность решения задачи для
начальных этапов нагружения должна быть достаточной, чтобы не допус
тить влияния роста первых коэффициентов в разложении суммарной по
грешности (167), (170) на точность решения упругопластической задачи для
последующих этапов нагружения.
Заключение. Приведены результаты анализа обобщенной краевой зада
чи термопластичности, описывающей неизотермические процессы упруго
пластического деформирования с учетом истории нагружения. Краевая зада
ча сформулирована в виде нелинейного операторного уравнения в гиль
бертовом пространстве. Установлены условия, обеспечивающие существо
вание, единственность и непрерывную зависимость обобщенного решения
от приложенных нагрузок и начальных деформаций. Доказана сходимость
методов упругих решений и переменных параметров упругости для неизо
термических процессов активного нагружения с учетом начальных дефор
маций, зависящих от процесса деформирования.
Р е з ю м е
Розглядаються теорія і наближені методи розв’язку крайової задачі термо-
пластичності в квазістатичній постановці, коли процес неізотермічного
пружно-пластичного деформування тіла представляє собою послідовність
рівноважних станів. У цьому випадку напружено-деформований стан зале
жить від історії навантаження, і процес непружного деформування повинен
простежуватися на всьому досліджуваному інтервалі часу. Крайову задачу
сформульовано у вигляді нелінійного операторного рівняння у гільберто-
вому просторі. Визначено умови, що забезпечують існування, єдиність та
безперервну залежність узагальненого розв’язку від прикладеного наванта
ження і початкових деформацій. Досліджено збіжність методів пружних
розв’язків і змінних параметрів пружності для розв’язку крайових задач, що
описують неізотермічні процеси активного навантаження з урахуванням
початкових деформацій, які залежать від історії деформування і нагрівання.
^ ( Іт ) - ° ( Іт ) | |Х < М л\ —
Ч\
98 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1
Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы
1. Ш евченко Ю . H ., С авченко В. Г. Термовязкопластичность. - Киев: Наук.
думка, 1987. - 264 с.
2. Ш евченко Ю . Н. Термопластичность при переменных нагружениях. -
Киев: Наук. думка, 1970. - 288 с.
3. Von M ises R. Mechanik der Plastischen Formänderung der Kristallen // Z.
Angew. Math. Mech. - 1928. - No. 8. - P. 161 - 185.
4. D rucker D. C. A More fundamental approach to plastic stress-strain solutions
// Appl. Mech. - 1951. - P. 487 - 491.
5. И лью ш ин A. A. Пластичность: Основы общей математической теории. -
М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.
6. P rand tl L. Spannungsverteilung in plastischen Körpern // Proc. 1st Int.
Congr. Appl. Mech. Delft. - 1924. - S. 43 - 54.
7. Б иргер И. A ., Д ем ьянуш ко И. В. Теория пластичности при неизотер
мическом нагружении // Механика твердого тела. - 1968. - № 6. - С. 70
- 77.
8. Р абот нов Ю . Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука, 1966.
- 752 с.
9. В айнберг М . М . Вариационный метод и метод монотонных операторов.
- М.: Наука, 1972. - 415 с.
10. К олм огоров A. H ., Ф омин С. В. Элементы теории функций и функ
ционального анализа. - М.: Наука, 1981. - 542 с.
11. И лью ш ин A. A. Пластичность. - М.: Гостехиздат, 1948. - 480 с.
12. В орович И. И ., К расовский Ю . П. О методе упругих решений // Докл.
АН СССР. - 1959. - 126, № 4. - С. 118 - 121.
13. Л енский В. С., Бровко Г. Л. Метод однородных линейных приближений
в несвязных задачах терморадиационной упругости и пластичности //
Тепловые напряжения в элементах конструкций. - 1971. - Вып. 1 1 . -
С. 100 - 103.
14. Б иргер И. A. Некоторые общие методы решения задач теории плас
тичности // Прикл. математика и механика. - 1951. - 15, № 6. - С. 765 -
770.
15. Б ы ков Д . Л. О некоторых методах решения задач теории пластичности
// Упругость и неупругость. - 1975. - Вып. 4. - С. 119 - 149.
16. Тем ис Ю . М . Сходимость метода переменных параметров упругости
при численном решении задач пластичности методом конечных эле
ментов // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Статика и
динамика деформируемых систем. - М., 1982. - С. 21 - 34.
17. У манский С. Э. О сходимости метода переменных параметров упру
гости // Прикл. математика и механика. - 1980. - № 3. - С. 577 - 581.
18. O rtega J. M . a n d R heinbo ld t W. C. Iterative Solution if Nonlinear Equations
in Several Variables. - New York; London: Academic Press, 1970.
П оступила 28. 05 . 2005
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 1 99
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47784 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:38:17Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чирков, А.Ю. 2013-08-01T08:19:29Z 2013-08-01T08:19:29Z 2006 Анализ краевых задач, описывающих неизотермические
 процессы упругопластического деформирования с учетом
 истории нагружения / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2006. — № 1. — С. 69-99. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47784 539.3 Рассматриваются теория и приближенные методы решения краевых задач термопластичности
 в квазистатической постановке, когда процесс неизотермического упругопластического
 деформирования тела представляет собой последовательность равновесных состояний.
 В этом случае напряженно-деформированное состояние зависит от истории нагружения,
 и процесс неупругого деформирования должен прослеживаться на всем исследуемом
 интервале времени. Краевая задача сформулирована в виде нелинейного операторного
 уравнения в гильбертовом пространстве. Определены условия, обеспечивающие существование,
 единственность и непрерывную зависимость обобщенного решения от приложенных
 нагрузок и начальных деформаций. Исследована сходимость методов упругих решений и
 переменных параметров упругости для решения краевых задач, описывающих неизотермические
 процессы активного нагружения с учетом начальных деформаций, зависящих от
 истории деформирования и нагрева. Розглядаються теорія і наближені методи розв’язку крайової задачі термо-
 пластичності в квазістатичній постановці, коли процес неізотермічного
 пружно-пластичного деформування тіла представляє собою послідовність
 рівноважних станів. У цьому випадку напружено-деформований стан залежить
 від історії навантаження, і процес непружного деформування повинен
 простежуватися на всьому досліджуваному інтервалі часу. Крайову задачу
 сформульовано у вигляді нелінійного операторного рівняння у гільберто-
 вому просторі. Визначено умови, що забезпечують існування, єдиність та
 безперервну залежність узагальненого розв’язку від прикладеного навантаження
 і початкових деформацій. Досліджено збіжність методів пружних
 розв’язків і змінних параметрів пружності для розв’язку крайових задач, що
 описують неізотермічні процеси активного навантаження з урахуванням
 початкових деформацій, які залежать від історії деформування і нагрівання. We discuss the theory and approximated techniques
 of thermoplasticity boundary problem
 solution in quasistatic formulation, whereas the
 process of nonisothermal elastoplastic deformation
 of a solid body is a succession of various
 equilibrium states. In such case, stress-strained
 state depends on the loading history, and the
 nonisothermal deformation process must be
 fully traceable within the total time interval under
 study. The boundary problem is formulated
 in a form of nonlinear operator equation in the
 Hilbert space. We found the conditions, which
 ensure the existence, uniqueness and continuous
 dependence of the generalized solution on
 the applied loads and initial strains. We study
 the convergence of techniques of elastic solutions
 and variable elastic parameters for solving
 boundary problems, which describe
 nonisothermal processes of active loading with
 account of the initial strains depending on the
 loading history and heating. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования с учетом истории нагружения On the orientation effect of spheroidal cavities or rigid inclusions in the orthotropic medium on stress concentration Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования с учетом истории нагружения Чирков, А.Ю. Научно-технический раздел |
| title | Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования с учетом истории нагружения |
| title_alt | On the orientation effect of spheroidal cavities or rigid inclusions in the orthotropic medium on stress concentration |
| title_full | Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования с учетом истории нагружения |
| title_fullStr | Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования с учетом истории нагружения |
| title_full_unstemmed | Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования с учетом истории нагружения |
| title_short | Анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования с учетом истории нагружения |
| title_sort | анализ краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования с учетом истории нагружения |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47784 |
| work_keys_str_mv | AT čirkovaû analizkraevyhzadačopisyvaûŝihneizotermičeskieprocessyuprugoplastičeskogodeformirovaniâsučetomistoriinagruženiâ AT čirkovaû ontheorientationeffectofspheroidalcavitiesorrigidinclusionsintheorthotropicmediumonstressconcentration |