О влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений
Рассмотрена задача о концентрации напряжений в ортотропной упругой среде, что содержит произвольно ориентированную сфероидальную полость или включение. Для построения решения задачи используются метод эквивалентного включения, тройное преобразование Фурье по пространственным переменным и Фурье-об...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы прочности |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2006
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47785 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений / В.С. Кирилюк // Проблемы прочности. — 2006. — № 1. — С. 58-68. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47785 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кирилюк, В.С. 2013-08-01T08:21:09Z 2013-08-01T08:21:09Z 2006 О влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений / В.С. Кирилюк // Проблемы прочности. — 2006. — № 1. — С. 58-68. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47785 539.3 Рассмотрена задача о концентрации напряжений в ортотропной упругой среде, что содержит произвольно ориентированную сфероидальную полость или включение. Для построения решения задачи используются метод эквивалентного включения, тройное преобразование Фурье по пространственным переменным и Фурье-образ функции Грина для бесконечного анизотропного пространства. При вычислении некоторых двойных интегралов по конечной области используются квадратурные формулы Гаусса. Проведено сравнение результатов исследований в частных случаях с данными других авторов. Исследовано влияние ориентации неоднородности на концентрацию напряжений. Розглянуто задачу концентрації напружень у ортотропному пружному середовищі, що містить довільно орієнтовану сфероїдальну порожнину або включення. Для побудови розв’язку задачі використовуються метод еквівалентного включення, потрійне перетворення Фур’є по просторовим змінним та Фур’є-образ функції Гріна для нескінченного анізотропного простору. При обчисленні деяких подвійних інтегралів по скінченній області використовуються квадратурні формули Гаусса. Проведено порівняння результатів досліджень у спеціальних випадках із даними інших авторів. Досліджено вплив орієнтації неоднорідності на концентрацію напружень. We analyze a problem of stress concentration in orthotropic elastic medium, which contains an arbitrarily oriented spheroidal cavity or inclusion. For the problem solution construction we use the method of equivalent inclusion, triple Fourier transformation by spatial variables and the Fourier image of the Green function for infinite anisotropic space. For computation of some double integrals within a finite region we use the Gauss quadrature formulas. Our results obtained for some particular cases are compared with those of other authors. The effect of the material heterogeneity orientation on the stress concentration is analyzed. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел О влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений |
| spellingShingle |
О влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений Кирилюк, В.С. Научно-технический раздел |
| title_short |
О влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений |
| title_full |
О влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений |
| title_fullStr |
О влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений |
| title_full_unstemmed |
О влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений |
| title_sort |
о влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений |
| author |
Кирилюк, В.С. |
| author_facet |
Кирилюк, В.С. |
| topic |
Научно-технический раздел |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Проблемы прочности |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| format |
Article |
| description |
Рассмотрена задача о концентрации напряжений в ортотропной упругой среде, что содержит
произвольно ориентированную сфероидальную полость или включение. Для построения
решения задачи используются метод эквивалентного включения, тройное преобразование
Фурье по пространственным переменным и Фурье-образ функции Грина для бесконечного
анизотропного пространства. При вычислении некоторых двойных интегралов по конечной
области используются квадратурные формулы Гаусса. Проведено сравнение результатов
исследований в частных случаях с данными других авторов. Исследовано влияние ориентации
неоднородности на концентрацию напряжений.
Розглянуто задачу концентрації напружень у ортотропному пружному середовищі,
що містить довільно орієнтовану сфероїдальну порожнину або
включення. Для побудови розв’язку задачі використовуються метод еквівалентного
включення, потрійне перетворення Фур’є по просторовим змінним
та Фур’є-образ функції Гріна для нескінченного анізотропного простору.
При обчисленні деяких подвійних інтегралів по скінченній області
використовуються квадратурні формули Гаусса. Проведено порівняння результатів
досліджень у спеціальних випадках із даними інших авторів.
Досліджено вплив орієнтації неоднорідності на концентрацію напружень.
We analyze a problem of stress concentration
in orthotropic elastic medium, which contains
an arbitrarily oriented spheroidal cavity or inclusion.
For the problem solution construction
we use the method of equivalent inclusion, triple
Fourier transformation by spatial variables
and the Fourier image of the Green function for
infinite anisotropic space. For computation of
some double integrals within a finite region we
use the Gauss quadrature formulas. Our results
obtained for some particular cases are compared
with those of other authors. The effect of
the material heterogeneity orientation on the
stress concentration is analyzed.
|
| issn |
0556-171X |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47785 |
| citation_txt |
О влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений / В.С. Кирилюк // Проблемы прочности. — 2006. — № 1. — С. 58-68. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kirilûkvs ovliâniiorientaciisferoidalʹnyhpolosteiiližestkihvklûčeniivortotropnoisredenakoncentraciûnaprâženii |
| first_indexed |
2025-11-26T11:17:05Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:17:05Z |
| _version_ |
1850621462620143616 |
| fulltext |
УДК 539.3
О влиянии ориентации сфероидальных полостей или жестких
включений в ортотропной среде на концентрацию напряжений
В. С. К ирилю к
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, Украина
Рассмотрена задача о концентрации напряжений в ортотропной упругой среде, что содер
жит произвольно ориентированную сфероидальную полость или включение. Для построения
решения задачи используются метод эквивалентного включения, тройное преобразование
Фурье по пространственным переменным и Фурье-образ функции Грина для бесконечного
анизотропного пространства. При вычислении некоторых двойных интегралов по конечной
области используются квадратурные формулы Гаусса. Проведено сравнение результатов
исследований в частных случаях с данными других авторов. Исследовано влияние ориен
тации неоднородности на концентрацию напряжений.
К лю ч е в ы е с л о в а : сфероидальная полость, метод эквивалентного включения,
тройное преобразование Фурье, формулы Гаусса.
Введение. Напряженно-деформированное состояние упругих изотроп
ных материалов со сферическими, сфероидальными (эллипсоиды вращения)
и эллипсоидальными полостями и включениями исследовалось в работах
[1-11] и др. Распределение напряжений в трансверсально-изотропных сре
дах, содержащих сферические, сфероидальные полости или включения,
изучалось в [1, 2, 5, 12] и др. Принципиальное ограничение в задачах для
трансверсально-изотропной среды с полостями или включениями состояло в
рассмотрении таких ориентаций неоднородностей, при которых ось транс-
тропии материала совпадает с осью вращения полости или включения,
другие возможные ориентации концентраторов напряжений не рассматри
вались. Полученные точные решения задач основаны на известных пред
ставлениях общих решений пространственных статических задач для изо
тропной и трансверсально-изотропной среды. При другой направленности
сфероидальной неоднородности необходимо вводить новую систему коор
динат, связанную с включением. И хотя в новой системе координат доста
точно просто описать поверхность включения, в направлениях осей коор
динат исходный трансверсально-изотропный материал ведет себя как анизо
тропный. В этом случае известные общие представления решений для
трансверсально-изотропного материала не позволяют получить решения
конкретных задач о концентрации напряжений.
Достаточно полный обзор и анализ решений статических задач теории
упругости анизотропных тел, в том числе ортотропных, дан в [13]. Однако
до настоящего времени неизвестны аналитические решения задач о распре
делениях напряжений в ортотропных материалах (без специальных ограни
чений на девять независимых упругих постоянных) вблизи сферических,
сфероидальных и эллипсоидальных полостей и включений и в трансвер-
сально-изотропных материалах со сфероидальными и эллипсоидальными
включениями при различных направлениях осей вращения включений и
осей транстропии сред.
© В. С. КИРИЛЮК, 2006
58 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1
О влиянии ориентации сфероидальных полостей
В данном сообщении рассматривается задача о концентрации напря
жений в ортотропной среде, содержащей сфероидальное включение, ось
вращения которого ориентирована произвольным образом, при растяжении.
При решении задачи использовалось тройное преобразование Фурье, что
совместно с методом эквивалентного включения Эшелби позволило в про
цессе решения получить конечную систему линейных алгебраических урав
нений, коэффициентами которой являются некоторые двойные интегралы.
Подынтегральные функции в двойных интегралах не имеют каких-либо
особенностей в области интегрирования, и для вычисления этих интегралов
использовались квадратурные формулы Гаусса.
П остановка задачи. Пусть упругая ортотропная среда с главными
осями ортотропии Ох, Оу, О2 содержит сфероидальную неоднородность
(включение) с полуосями а = а 2, а 3 . Упругие свойства ортотропного мате
риала характеризуются девятью независимыми постоянными: сп ; с22; с 33;
С12; с13; с23; с 44; с 55; с 66. Компоненты тензора упругих модулей С ^ы
связаны с величинами с тп следующими зависимостями:
С 1111 = с11; С 2222 = с22 ; С 3333 = с33;
С 1122 = С 2211 = с12; С 1133 = С 3311 = с13; С 2233 = С 3322 = с23;
С 2323 = С 2332 = С 3232 = С 3223 = с44 ; С 3131 = С 3113 = С 1331 = С 1313 = с 55;
С 1212 = С 1221 = С 2121 = С 2112 = с 66,
оставшиеся компоненты равны нулю. Предположим также, что среда нахо
дится под воздействием однородного поля напряжений. Из-за наличия вклю
чения возникает возмущение основного напряженного состояния.
Введем новую (локальную) систему координат х 1, у 1, 2 1, связанную с
включением, ось 0 2 1 которой направлена вдоль оси вращения включения.
Полагаем, что в исходном состоянии направления осей систем координат х,
у , 2 и х 1, у 1, 2 1 совпадают. Если же включение ориентировано в орто
тропной среде иным образом, то такую ориентацию можно описать посред
ством связи этих систем координат. Например, если новую систему коорди
нат х 1, у 1, 2 1 можно получить из исходной системы поворотом вправо
вокруг оси Ох на угол а, то тензор упругих модулей С ^ в этой системе
координат получаем с помощью преобразования тензора четвертого поряд
ка:
С цк1 = С тпрд а т а Чп а кр а 1д ,
где а ч - матрица преобразования координат,
а ч =
1 0 0
0 соз а — зш а
0 зш а соз а
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 1 59
В. С. Кирилюк
Закон Гука для материала в новой системе координат принимает вид
° у — с ды £ к і,
где, как и при вычислении компонентов тензора С , по повторяющимся
индексам проводится суммирование.
Последовательные вращения на углы а, 0, у вокруг осей старой
системы координат Ох, Оу, О г соответственно позволяют получить про
извольную ориентацию включения. Тогда тензор упругих модулей С у ^ ,у\
который зависит от трех углов поворота, в новой системе координат полу
чаем с помощью преобразования тензора четвертого порядка и матрицы
преобразования более сложного вида:
С (а,0,у) — С Т Т Т Т (1)С і]кІ С тирц^іш1 іп^кр^іц • (1)
Здесь Ту - матрица преобразования,
11 Т12 1Т 3
Т — Т21 Т22 Т23
Т31 Т32 Т33 _
где
Т11 — соэ 0 соэ у; Т12 — -с о э 0 э т у ; Т13 — яп 0;
Т21 — э т а яп 0 соэ у + соэ а э т у; Т22 — - э т а э т 0 э т у + соэ а соэ у;
Т23 —- э т а соэ 0; Т31 —-с о э а э т 0 соэ у + э т а э т у;
Т32 — соэ а э т 0 э т у + э т а соэ у; Т33 — соэ а соэ 0.
Эта матрица получена в результате последовательного перемножения трех
матриц, отражающих правые вращения вокруг каждой из осей координат:
1 0 0 соэ 0 0 э т 0 соэ у — э т у 0
а і — 0 соэ а — эш а ; 0 і — 0 1 0 ; у і — э т у соэ у 0
0 эш а соэ а — 8Іп 0 0 соэ 0 0 0 1
Закон Гука для материала в новой системе координат, связанных с
вращением вокруг трех старых осей координат, получим в виде
— С (а ,0,у) Р
і С іукі £ к і,
где по повторяющимся индексам проводится суммирование.
Далее все решения будем строить в новой системе координат, однако во
избежание излишней громоздкости в выражениях верхние индексы “1” опус
каем. Используем обычную тензорную запись выражений, т.е. подразуме
60 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1
О влиянии ориентации сфероидальных полостей
ваем, что по повторяющимся индексам проводится суммирование. Заметим,
что, ничего не изменяя в схеме решения задачи, вместо преобразования Т - ,
связанного с вращением вокруг осей координат Ох , Оу, Ог, можно было бы
ввести другое преобразование, отвечающее поворотам с углами Эйлера.
Однако для наглядности используется преобразование при последователь
ных вращениях вокруг трех различных осей координат.
Напряженное состояние в среде (матрице) представим суперпозицией
основного поля и возмущения, вызванного наличием неоднородности. Для
построения возмущенного состояния воспользуемся схемой метода экви
валентного включения и запишем соответствующие уравнения эквивалент
ности в области включения (неоднородности) в следующем виде:
+ £«> = ^ « ( 4 + £и - 4 , ) , X Е й , (2)
л 1( а ф,у) ^ ( а ф,у)где С ум , С - ы - тензоры упругих модулей неоднородности и матри
цы соответственно в локальной системе координат (далее для полости
Сда ’̂ ,у) устремим к нулю); £ *• (х ) - тензор “свободных” деформаций,
который определяется из условий эквивалентности включения (области
среды с теми же упругими свойствами, что и матрица, но со “свободными”
деформациями) и неоднородности. Деформации £ 0 получаем по значениям
напряжений о 0 основного поля из закона Гука. Если же известны их
значения в исходной системе координат, то в новой системе координат их
легко определить по правилу преобразования тензоров второго порядка.
Построение реш ения задачи. Для решения рассматриваемой задачи
необходимо выразить тензор деформаций £ • , входящий в уравнения (2),* •
через тензор “свободных” деформаций £ - из задачи о включении (при
*
отсутствии внешних воздействий и при деформациях £ - в области вклю
чения). В этом случае будут удовлетворяться уравнения равновесия вне и
внутри включения и выполняться условия идеального контакта на границе
раздела фаз (следует из свойств задачи о включении [7]). Для анизотропной
среды соответствующие поля перемещений, деформаций и напряжений,
* Xвызванные “свободными” деформациями £ - (х ), представим согласно [7, 11]
в виде следующих интегралов по области включения:
IS S N 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 1 61
В. С. Кирилюк
^ (а , /3,у )где C j ki - тензор упругих модулей среды, запятая после нижнего индек
са означает дифференцирование по соответствующей переменной, по повто
ряющимся индексам проводится суммирование; G j ” ) (X — x ') - функция
Грина для бесконечной среды (фундаментальное решение) для матрицы, т.е.
она удовлетворяет таким уравнениям равновесия анизотропного тела:
с ( а ̂ )G t j \ x — * ') + ^ т Ô(X — * ') = 0, (4)
где ô(X — x ') - ô-функция Дирака; ô im - символ Кронекера, по повторя
ющимся индексам проводится суммирование.
Воспользуемся согласно [7, 11] следующим интегральным выражением
фундаментального решения для анизотропной среды:
00 О О
G t ^ )(X — X l ) = ; ; г т з S S S N ij(è )D —1(è) e ^ (x—x)dè 1d è 2d è з , (5)
(2 я ) —0 — 0 — 0
где N j (è ) - соответствующие алгебраические дополнения элементов мат
рицы
{ K ki (è ) } = { c g / ’y}i j è i } = {c }i i i j } = { C g / ’y}i i i j } = { K ik( è )}, (6)
D (è ) - ее определитель.
0
Используемый трехкратный интеграл обозначим S d f , где d | =
—0
= dè idè 2dè з .
С помощью формул (3), (4) поле перемещений можно представить в
виде
u i (^ ) = —7 7 ^ 3 Л- S S C АтП7 ] £ *mn (X ,) N ij ( è )D —1( è )e 'è (X—X) 4 ^ ' .
(2^ ) dXl Q —o
Отметим, что тройной интеграл (5) в соответствии с результатами
работы [8] может быть приведен к контурному интегралу в плоскости,
нормальной к вектору положения точки X. Тогда функцию Грина для анизо
тропной среды можно записать в виде [8]
G j , ̂ ) = S N ij ( è )D —1( è )dL,
где L - единичная окружность.
После ряда достаточно громоздких преобразований [8] поле перемеще
ний внутри эллипсоида, вызванное постоянным тензором свободных дефор
маций, представим в виде [11]
62 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 1
О влиянии ориентации сфероидальных полостей
1 1 2^ _
и (X ) = ТТ С Л ’7 ] е *птх к / / О ̂ ̂ >(| )М<Щ з , (7)
4 - -1 0
где
О ^ >(| ) = | к | ( | ^ П ( | ) = | к 1 ,(К И(| ) ) -1 ;
| V1 | 3 в | V1 1 2 . в - 1 /
1 1 = -----------СОЯ в; 1 2 = ----------- sln в; - 3 = | 3 / с
и 1 $1
*
Окончательно связь между тензором деформаций е у и тензором е у
для задачи о включении (без воздействия основного поля) можно записать в
виде
е = о («,/?,У) е * (8)
с у и утп °тп> (8)
где £ ) - тензор Эшелби,
1 12- ^ ^
} = т - С ^ П 7} / / ( О У}( I ) + 7}( I ) « з . (9)
8 - -1 0
Для нахождения неизвестных значений тензора свободных деформаций
с помощью выражений (8), (9) и уравнений эквивалентности (2) получим
систему линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой зави
сят от двойных интегралов типа (9), не имеющих каких-либо особенностей в
области интегрирования.
Для определения концентрации напряжений в анизотропной среде со
сфероидальным включением можно вначале согласно формулам (9) вычис
лить тензор Эшелби, а затем из уравнений эквивалентности для включения -
п
деформации е у . Тензор Эшелби вычисляли с помощью метода квадратур
Гаусса. После нахождения деформаций е у в соответствии с формулами (2),
(8) определяли напряженное состояние внутри включения. Однако для опре
деления концентрации напряжений необходимо вычислить значения напря
жений в точках среды, примыкающих к границе раздела фаз. Поэтому для
нахождения распределения напряжений во внешних точках сфероидальной
поверхности использовали формулы скачка напряжений при переходе через
границу включения [11]:
[а у ] = а у* - а % = ^ }{ -С ̂ } е 11пПдп 1М кр (п ) / Б ( п ) + е*г},
где пI - компоненты нормали поверхности; обозначения N у ( | ) и Б ( | )
даны в формулах (5).
ТХОТ 0556-171Х. Проблемыы прочности, 2006, N 1 63
В. С. Кирилюк
Анализ результатов числових исследований. При вычислении компо
нент тензора Эшелби использовали квадратурные формулы Гаусса по 24 и
48 узлам по каждой из переменных. Настоящий подход тестировался на
задачах для трансверсально-изотропной среды со сфероидальной полостью,
ось вращения которой совпадала с осью транстропии. Для решения задач о
концентрации напряжений в трансверсально-изотропном материале, содер
жащем сферическую или сфероидальную полость, при одно- и двухосном
растяжении использовали данные работы [1], и расчетные напряжения срав
нивали с величинами на соответствующих кривых. Для более тщательного
контроля результатов расчетов воспользуемся также таблицей данных [1].
Результаты сравнения полученных значений концентрации напряжений при
двухосном растяжении о 0 = оУ = 1; о 0 = 0 в трансверсально-изотропном
теле со сфероидальной полостью с данными [1] приведены в таблице.
Сравнение полученных значений концентрации напряжений с данными [1]
Коэффициенты
Пуассона
ЕЕ' Е'1 0 ' «3 / , равное
5 1,667 1
СЛСОо"IIъII 2 3 2,92945
(2,928)
2,67587
(2,676)
2,42388
(2,424)
V = V' = 0,33 2 7 2,95436
(2,953)
2,79613
(2,796)
2,61426
(2,614)
V = 0,1;
V' = 0,33
2 3 2,19541
(2,195)
2,07023
(2,070)
1,93840
(1,938)
V = 0,1;
V' = 0,33
2 7 2,20742
(2,206)
2,12849
(2,128)
2,03518
(2,035)
V = 0,33;
V' = 0,1
2 3 2,93793
(2,937)
2,71345
(2,713)
2,47944
(2,479)
v = 0,33;
V' = 0,1
2 7 2,95744
(2,956)
2,80923
(2,809)
2,63581
(2,636)
Примечание. В скобках приведена концентрация напряжений, полученная на основании
замкнутого решения задачи с использованием аппарата обобщенных аналитических функций
[1].
Таким образом, апробация подхода на тестовых задачах, имеющих
точные решения, для трансверсально-изотропной среды со сферической и
сфероидальной полостями, ось вращения которых совпадала с осью
транстропии, показала достаточно высокую эффективность подхода.
Рассмотрим концентрации напряжений в ортотропном материале со
сфероидальной сжатой полостью с отношением полуосей а 3 / а 1 = 0,3. В
качестве материала среды используем ортотропный материал со следующи
ми упругими характеристиками [14] (табл. 7, ортогонально-армированный
стеклопластик 2:1): Е* = 3,68; Е * = 2,68; Е 3 = 1,10; 0*2 = 0,50; Є * = 0,41;
% %
Є 31 = 0,45; V12 = 0,105; V23 = 0,431; V31 = 0,405, где Е і = Е • 0,980665
%
( і = 1,2,3); Є у = Є у • 0,980665 ( і, у = 1,2,3). Величины модулей Юнга и
64 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1
О влиянии ориентации сфероидальных полостей
сдвига приведены в Н/м . Предполагается, что основное поле напряжений в
среде соответствует одноосному растяжению вдоль оси вращения полости.
На рис. 1 показано изменение напряжений о вдоль поверхности
полости в сечениях (от вершины на оси Ох до вершины на оси 0 2 ,
рис. 1,а,в) и у г (от вершины на оси О у до вершины на оси 0 2 , рис. 1,б,г)
при значениях углов поворота а , 3 = 0, 30, 60, 90°. Остальные значения
углов поворота равны нулю.
О 0,1 гг 0,2 Я- 0,3 Я 0,4 Я
а
О 0,1 Я 0,2 71 0,3 Я 0,4 Я
б
6,0
4,0
■сз II чо о
л \ 60°
ч а х
0
V
0,1 Я 0,2 Я- 0,3 Я 0,4 я
в
0,1 Я 0,2 Я 0,3 Я 0,4 Я
г
Рис. 1. Распределение напряжений вдоль поверхности полости в сечениях хг (а) и уг (б) при
а Ф 0, а также хг (в) и уг (г) при /3 Ф 0.
Отметим, что ориентации малой полуоси полости (оси Ог) вдоль ста
рой оси О у соответствует значение а = 90°, ориентации вдоль оси О г -
3 = 90°. Видно, что при повороте полости вокруг оси Ох соответствующие
значения напряжений в сечении х2 (рис. 1,а) для расчетных параметров
увеличиваются и их максимум достигается в вершине на оси Ох. При этом
соответствующие значения напряжений увеличились на 56,13% (а = 0 и 90°).
В сечении у г (рис. 1,б) при повороте вокруг оси Ох напряжения вначале
уменьшаются, а затем несколько увеличиваются. При этом максимальные
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 1 65
В. С. Кирилюк
значения напряжений в отдельных случаях смещаются из вершины сферо
ида на оси Ох. Изменение концентрации напряжений в этом сечении в
зависимости от угла поворота а также значительное (от 7,792 при а = 0 до
4,602 при а = 60°). Рис. 1,в,г иллюстрирует изменение напряжений в сечени
ях х2 и у 2 вдоль поверхности полости (между теми же вершинами, что и на
рис. 1,а,б) при изменении угла поворота 3 вокруг оси Оу. В сечении хг
напряжения при угле поворота 3 вначале уменьшаются, а затем повыша
ются. Наименьшие их значения (4,208) достигнуты при 3 = 30°, наибольшие
(6,3856) - при 3 = 90°. В сечении у 2 напряжения растут при угле поворота
3 вокруг оси Оу и их значения изменяются от 7,792 при 3 = 0 до 12,806
при 3 = 90°. Особенно значительной есть концентрация напряжений при
ориентации оси вращения полости вдоль оси Ох (3 = 90°), которая пример
но на 64,3% выше, чем при ориентации малой полуоси сфероида вдоль оси
О2 (3 = 0).
0,17Г 0,2 7Г 0,3?: 0,4 Л
б
0,1 гг 0,2 гг о,з гг 0,4 гг
в
о 0,1 гг 0,2 гг о,згг 0,4 гг
г
Рис. 2. Распределение напряжений вдоль поверхности жесткого включения в сечениях (а)
и у2 (б) при а Ф 0, а также х2 (в) и у2 (г) при /3 Ф 0.
Рассмотрим случай растяжения ортотропного пространства с жестким
изотропным вытянутым сфероидальным включением, а 1 = а 2 = 1; а 3 = 3. Как
и в предыдущем примере, полагаем, что имеет место одноосное растяжение
66 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 1
О влиянии ориентации сфероидальных полостей
вдоль оси вращения сфероида о . На рис. 2,а ,в показано изменение напря
жений о 22 вдоль поверхности включения в сечении Х2 , на рис. 2 ,б ,г - в
сечении у 2 . Концентрацию напряжений исследовали между теми же верши
нами, что и для полости. Несложно увидеть, что при повороте вокруг оси
Ох наибольшие значения напряжений в исследуемых случаях достигнуты
при а = 30°, наименьшие - при а = 90°. Так, в сечении у 2 напряжения
максимальны (8,718) при а = 30°, при а = 90° они составляют 2,6319. Отме
тим, что наибольшие значения напряжений могут сдвигаться из вершины
сфероида на оси 0 2 (рис. 2,б,в).
Таким образом, ориентация в ортотропном материале полостей и вклю
чений сфероидальной формы наряду со свойствами составляющих фаз,
геометрией неоднородностей и характером нагрузок оказывает в ряде слу
чаев очень существенное влияние на концентрацию напряжений.
Р е з ю м е
Розглянуто задачу концентрації напружень у ортотропному пружному сере
довищі, що містить довільно орієнтовану сфероїдальну порожнину або
включення. Для побудови розв’язку задачі використовуються метод екві
валентного включення, потрійне перетворення Фур’є по просторовим змін
ним та Фур’є-образ функції Гріна для нескінченного анізотропного прос
тору. При обчисленні деяких подвійних інтегралів по скінченній області
використовуються квадратурні формули Гаусса. Проведено порівняння ре
зультатів досліджень у спеціальних випадках із даними інших авторів.
Досліджено вплив орієнтації неоднорідності на концентрацію напружень.
1. А лександров А. Я ., В ольперт В. С. Некоторые задачи о концентрации
напряжений около эллипсоидальной полости в трансверсально-изотроп-
ном теле // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1970. - № 1. -
С. 115 - 121.
2. А лександров А. Я ., С оловьев Ю . И. Пространственные задачи теории
упругости. - М.: Наука, 1978. - 464 с.
3. Головчан В. Т. К решению троякопериодических задач статики упру
гого тела со сферическими включениями // Прикл. механика. - 1986. -
22, № 7. - С. 29 - 39.
4. Н иколаев А. Г ., П роценко В. С. Первая и вторая осесимметричные
задачи теории упругости для двухсвязных областей, ограниченных по
верхностями сферы и сфероида // Прикл. математика и механика. -
1990. - 24, № 1. - С. 65 - 74.
5. П одильчук Ю . Н. Граничные задачи статики упругих тел. - Киев: Наук.
думка, 1984. - 303 с.
6. Улитко А. Ф. Метод собственных векторных функций в пространст
венных задачах теории упругости. - Киев: Наук. думка, 1979. - 261 с.
7. Э ш елби Д ж . Континуальная теория дислокаций. - М.: Изд-во иностр.
лит., 1963. - 287 с.
IS S N 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 1 67
В. С. Кирилюк
8. K inoshita N. a n d M ura T.Elastic fields of inclusions in anisotropic media //
Phys. Stat. Sol. (a). - 1971. - 5. - P. 759 - 768.
9. K irilyu k V. S. On interaction of an ellipsoidal inclusion with elliptic crack in
elastic material under triaxial tension // Int. Appl. Mech. - 2003. - 39, No. 6.
- P. 91 - 100.
10. K irilyu k V. S. On stress state of elastic medium with elliptic crack and two
ellipsoidal inclusions // Ibid. - 2003. - 39, No. 7. - P. 94 - 105.
11. M ura T. Micromechanics of defects in solids. - Boston; London: Martinus
Nijhoff, 1987. - 587 p.
12. П одильчук Ю . H. Точные аналитические решения пространственных
граничных задач статики трансверсально-изотропного тела каноничес
кой формы (обзор) // Прикл. механика. - 1997. - 33, № 10. - С. 3 - 30.
13. Н ем иш Ю . Н. Развитие аналитических методов в трехмерных задачах
статики анизотропных тел (обзор) // Прикл. механика. - 2000. - 36, № 2.
- С. 3 - 38.
14. Л ехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука,
1977. - 415 с.
Поступила 17. 11. 2004
68 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 1
|