Analysis of the sensitivity of a vibration-based procedure for structural identification
We analyze the accuracy of estimation of structural component material properties (elastic modulus, Poisson’s ratio, density, etc.) using the technique for measuring the eigen frequencies of oscillations. The accuracy of frequency estimation using the Fourier method and its influence on the fi...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2006
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47794 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Analysis of the sensitivity of a vibration-based procedure for structural identification / J.P. Auzins, A.F. Boyko // Проблемы прочности. — 2006. — № 4. — С. 140-147. — Бібліогр.: 4 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859632708856053760 |
|---|---|
| author | Auzins, J.P. Boyko, A.F. |
| author_facet | Auzins, J.P. Boyko, A.F. |
| citation_txt | Analysis of the sensitivity of a vibration-based procedure for structural identification / J.P. Auzins, A.F. Boyko // Проблемы прочности. — 2006. — № 4. — С. 140-147. — Бібліогр.: 4 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | We analyze the accuracy of estimation of structural
component material properties (elastic
modulus, Poisson’s ratio, density, etc.) using
the technique for measuring the eigen frequencies
of oscillations. The accuracy of frequency
estimation using the Fourier method and its influence
on the final result are evaluated. Relationships
between the errors in the frequency
estimation and those in the identified parameters
are derived using the meta-model method.
Application of the method is illustrated by the
example of a shell element with a stiffening rib.
Проаналізовано точність визначення властивостей матеріалів елементів конструкцій(модульпружності, коефіцієнт Пуассона ,щільність і ін.)методом вимірювання частот власних коливань. Оцінено точність визначення частоти методом Фур’є і вплив її на кінцевий результат.За допомогою методу метамоделей виведено залежності між помилками вимірювання частот та помилками ідентифікованих параметрів.Метод про ілюстровано на прикладі елемента обшивки з ребром жорсткості.
Проанализирована точность определения свойств материалов элементов конструкций (модуль
упругости, коэффициент Пуассона, плотность и др.) методом измерения частот
собственных колебаний. Оценены точность определения частоты методом Фурье и влияние
ее на конечный результат. С помощью метода метамоделей выведены зависимости между
ошибками измерения частот и ошибками идентифицируемых параметров. Метод проиллюстрирован
на примере элемента обшивки с ребром жесткости.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:13:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDC 534-16
Analysis of the Sensitivity of a Vibration-Based Procedure for
Structural Identification
J. P. Auzins and A. F. Boyko
Riga Technical University (RTU), Riga, Latvia
УДК 534-16
Анализ чувствительности вибрационного метода структурной
идентификации
Я. П. Аузиньш, А. Ф. Бойко
Рижский технический университет, Рига, Латвия
Проанализирована точность определения свойств материалов элементов конструкций (мо
дуль упругости, коэффициент Пуассона, плотность и др.) методом измерения частот
собственных колебаний. Оценены точность определения частоты методом Фурье и влияние
ее на конечный результат. С помощью метода метамоделей выведены зависимости между
ошибками измерения частот и ошибками идентифицируемых параметров. Метод проил
люстрирован на примере элемента обшивки с ребром жесткости.
К л ю ч е в ы е с л о в а : а н а л и з ч у в с т в и т е л ь н о с т и , с т р у к т у р н а я и д е н т и ф и к а ц и я ,
с о б с т в е н н ы е ч а с т о т ы , м е т а м о д е л ь .
I n t r o d u c t i o n . T h e m e t h o d o f e i g e n f r e q u e n c i e s o f o s c i l l a t i o n s i s w i d e l y u s e d
f o r e s t i m a t i o n o f s t r u c t u r a l m a t e r i a l p r o p e r t i e s . T h e m e t h o d o l o g y o f i d e n t i f i c a t i o n
i s s i m i l a r t o t h a t d e s c r i b e d f o r c o m p o s i t e p l a t e s i n [ 1 - 3 ] . A c c o r d i n g t o t h i s
m e t h o d , t h e e i g e n f r e q u e n c i e s o f s t r u c t u r e s a r e m e a s u r e d ( b y t h e r e s o n a n c e
m e t h o d a n d F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n ) a n d , a t t h e s a m e t i m e , a f i n i t e e l e m e n t m o d e l
( F E M ) i s d e v e l o p e d . T h e v a l u e s o f t h e i d e n t i f i e d p a r a m e t e r s a r e o b t a i n e d b y
m i n i m i z i n g t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y o b t a i n e d f r e q u e n c i e s a n d
t h o s e c a l c u l a t e d u s i n g t h e F E M [ 1 - 3 ] . I n t h i s p r o c e s s , c r u c i a l e r r o r s a r e m a d e t h e
s o u r c e o f w h i c h b e i n g m e a s u r e m e n t s o f o s c i l l a t i o n e i g e n f r e q u e n c i e s , e r r o r s m a d e
i n t h e d e s i g n o f s t r u c t u r e s , a s w e l l a s t h e d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e m a t h e m a t i c a l
( F E M ) a n d p h y s i c a l m o d e l s . T h e i n f l u e n c e o f t h o s e e r r o r s o n t h e f i n i t e m o d e l i s
u s u a l l y e v a l u a t e d u s i n g t h e s e n s i t i v i t y m a t r i x [ 3 ] . I n p r a c t i c e , i t i s v e r y i m p o r t a n t
t o e v a l u a t e t h e a c c u r a c y o f t h e f i n a l r e s u l t a n d a l s o t o d e t e r m i n e w i t h w h a t
a c c u r a c y t h e m e a s u r e m e n t s o f e i g e n f r e q u e n c i e s s h o u l d b e m a d e i n o r d e r t o o b t a i n
a s a t i s f a c t o r y a c c u r a c y o f t h e f i n a l r e s u l t .
1 . F i n i t e E l e m e n t M o d e l . T h e c u r v e d p l a t e ( F i g . 1 ) w a s d e s i g n e d u s i n g t h e
A N S Y S p r o g r a m . T h e n u m b e r o f e l e m e n t s w i t h o r i e n t e d m e s h e s i s 1 1 6 0 . A
s o l i d - s t a t e e l e m e n t ( a c o m p o n e n t w i t h e l a s t i c c h a r a c t e r i s t i c s E = 2 1 0 G P a ,
3
P o i s s o n ’ s r a t i o л = 0 . 3 , a n d d e n s i t y p = 7 8 0 0 k g / m c o r r e s p o n d i n g t o a c a r b o n
s t e e l ) w a s c h o s e n a s a f i n i t e e l e m e n t [ 2 ] . I n c a l c u l a t i o n s , d a m p i n g w a s n o t t a k e n
© J. P. AUZINS, A. F. BOYKO, 2006
140 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 4
Analysis o f the Sensitivity o f a Vibration-Based Procedure
i n t o c o n s i d e r a t i o n . T h e e l a s t i c p r o p e r t i e s o f t h e s t e e l c u r v e d s t i f f e n e d p a n e l w e r e
d e t e r m i n e d e m p l o y i n g b o t h e i g e n f r e q u e n c i e s a n d m o d e s h a p e s c a l c u l a t e d b y
A N S Y S w i t h f i x e d b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( w i t h o n e f i x e d e n d ) .
Fig. 1. Shell element with checkpoints (0.4X0.25X0.002 m, s = 0.015 s).
2 . M e t h o d o l o g y o f I d e n t i f i c a t i o n . T o i d e n t i f y t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s , i . e . ,
t h r e e c o m p o n e n t s o f t h e v e c t o r x = { E , n , p } , i t i s n e c e s s a r y t o m i n i m i z e t h e
f u n c t i o n a l : t h e t o t a l r e l a t i v e d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d
f r e q u e n c i e s f i Xp a n d n u m e r i c a l l y c a l c u l a t e d f r e q u e n c i e s f ( x ) ( i = 1, 2 , . . . , m ) i s
d e t e r m i n e d b y
i=1
f i XP - f i ( x )
f i
exp ( 1)
2
w h e r e m i s t h e n u m b e r o f t h e f r e q u e n c i e s e m p l o y e d .
I n s t e a d o f t h e d i r e c t m i n i m i z a t i o n o f f u n c t i o n a l ( 1 ) , i t i s p r o p o s e d t o u s e t h e
m e t a m o d e l t e c h n o l o g y . T h i s t e c h n o l o g y e m p l o y s t h e s o - c a l l e d n u m e r i c a l
e x p e r i m e n t s f o r o b t a i n i n g a p p r o x i m a t i n g f u n c t i o n s
f i = f i ( x X i = 1 . . . , m ( 2 )
P r e v i o u s i n v e s t i g a t i o n s [ 1 ] s h o w e d t h a t t h e s e c o n d o r d e r a p p r o x i m a t i o n s
s h o u l d b e u s e d t o b u i l d t h e a p p r o x i m a t i o n s f . I n t h i s c a s e , t h e r e l a t i v e e r r o r o f
t h e a p p r o x i m a t i o n i s l e s s t h a n 0 . 0 3 % , w h i c h i s m u c h s m a l l e r t h a n t h e e r r o r o f t h e
F E M .
F o r c o m p u t a t i o n s , a n u m e r i c a l e x p e r i m e n t w a s p l a n n e d u s i n g t h e c r i t e r i a o f
D - o p t i m a l i t y . U n l i k e t h e e x p e r i m e n t a l d e s i g n s o f D - o p t i m a l n a t u r a l e x p e r i m e n t s ,
w h e r e r e p e a t e d e x p e r i m e n t s w e r e u s e d , i n t h i s m e t h o d L a t i n h y p e r c u b e - t y p e p l a n s
a r e e m p l o y e d . D - o p t i m a l p l a n s f o r t h e s e c o n d o r d e r a p p r o x i m a t i o n s u s i n g t h r e e
f a c t o r s , h a v e t o c o n s i s t o f 4 - 5 / 2 = 1 0 e x p e r i m e n t s ( e x p e r i m e n t a l r u n s ) . U s u a l l y a
t w i c e a s l a r g e n u m b e r o f r u n s i s u s e d . I n o r d e r t o c o m p a r e t h e r e s u l t s o b t a i n e d
w i t h c u b i c a p p r o x i m a t i o n , i t i s n e c e s s a r y t o h a v e 4 - 5 - 6/6 = 2 0 e x p e r i m e n t a l
r u n s . S i n c e i n t h i s c a s e t h e F E M c a l c u l a t i o n s a r e n o t v e r y t i m e - c o n s u m i n g , t h e
D - o p t i m a l L a t i n h y p e r c u b e - t y p e d e s i g n [ 2 ] w i t h N = 7 0 r u n s a n d K = 3 v a r i a b l e s
h a s b e e n s e l e c t e d ( F i g . 2 ) .
ISSN 0556-171X. npoôëeMbi npounocmu, 2006, N9 4 141
J. P. Auzins and A. F. Boyko
Fig. 2. Points of experimental design in 3D space.
T h e d o m a i n o f i n t e r e s t i s c h o s e n a s f o l l o w s : E G [ 1 9 5 , 2 3 0 ] , /a, G [ 0 . 2 1 , 0 . 3 7 ] ,
a n d p G [ 7 7 0 0 , 8 8 0 0 ] .
3 . S h o r t A n a l y s i s o f t h e S o u r c e o f I n a c c u r a c y i n D e t e r m i n i n g F r e q u e n c i e s
b y t h e F o u r i e r M e t h o d . T h e f i r s t t h i r t y e i g e n f r e q u e n c i e s w e r e d e t e r m i n e d b y t h e
A N S Y S a t t h e f i r s t s t a g e o f c a l c u l a t i o n . T h i s i s a f r a g m e n t o f t h e r a n g e : 7 1 . 1 ;
1 4 1 . 2 ; 2 4 2 . 7 ; 2 9 5 . 2 ; 3 2 1 . 3 ; 5 5 9 . 8 ; 5 6 0 . 1 ; 5 7 2 . 1 ; 7 3 8 . 8 ; 8 5 5 . 3 ; 8 6 4 . 2 ; 8 6 9 . 5 ; . . . .
T o d i s c l o s e t h e f r e q u e n c i e s e x i s t i n g i n t h e p l a t e , t h e t i m e i n t e g r a t i o n w a s
c a r r i e d o u t w i t h a s m a l l s t e p , n a m e l y , 0 . 0 0 0 1 s . D u r i n g m o d e l i n g i t b e c a m e c l e a r
t h a t i t w a s n e c e s s a r y t o a p p l y a n a s y m m e t r i c i m p u l s e l o a d t o t h e s t r u c t u r e f o r
e x c i t a t i o n o f t h e g r e a t e s t n u m b e r o f f r e q u e n c i e s .
3 . 1 . S p e c t r a l A n a l y s i s . T o c o m p l e t e t h e a n a l y s i s o f t h e f a c t s e s t a b l i s h e d
d u r i n g s p e c t r a l a n a l y s i s b a s e d o n t h e d a t a c a l c u l a t e d u s i n g t h e A N S Y S p r o g r a m ,
w e w i l l c a r r y o u t t h e s y n t h e s i s o f f r e q u e n c y - a m p l i t u d e p r o c e s s e s u s i n g t h e
P o l y h a r m o n i c p r o g r a m c r e a t e d i n t h e R T U M M D L a b o r a t o r y . T h i s p r o g r a m w a s
c r e a t e d f o r t h e s i m u l a t i o n o f t h e e i g e n f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t p r o c e s s u s i n g t h e
F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n . T h e p r o g r a m c a n g e n e r a t e t r a n s i t i o n a l f r e q u e n c y - a m p l i t u d e
p r o c e s s e s b y t h e f i r s t 3 0 f r e q u e n c i e s a n d a d d t h e e f f e c t s o f n o i s e a n d e n e r g y
d i s s i p a t i o n . T h e p r o c e s s s y n t h e s i z e d b y t h e P o l y h a r m o n i c p r o g r a m a n d t h a t
c a l c u l a t e d u s i n g t h e A N S Y S a g r e e w e l l w i t h e a c h o t h e r w h e n t h e a m p l i t u d e s o f
t h e p r o c e s s e s a r e i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e d e i g e n f r e q u e n c y .
V e r i f i c a t i o n o f t h e f r e q u e n c y s p e c t r a o b t a i n e d f r o m c a l c u l a t i o n s b y t h e
A N S Y S a n d f r o m t h e s y n t h e s i z i n g b y t h e P o l y h a r m o n i c p r o g r a m s h o w s t h a t t h e
l o w e s t e i g e n f r e q u e n c i e s a r e o b t a i n e d u s i n g t h e P o l y h a r m o n i c w i t h t h r e e - d e c i m a l
d i g i t a c c u r a c y f 1 = 7 1 . 2 a n d f 2 = 1 4 1 . 2 7 H z . N e v e r t h e l e s s , t h e h i g h e r
f r e q u e n c i e s ( h i g h e r t h a n t h e 1 5 t h f r e q u e n c y ) a t t e n u a t e q u i c k l y a n d i t i s i m p o s s i b l e
t o i d e n t i f y t h e m i n t h e b o t h p r o g r a m s . P e r h a p s , t h i s i s a s s o c i a t e d w i t h t h e
n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n a l g o r i t h m a n d t h e i n f l u e n c e o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n
t h e r e s u l t s o f i d e n t i f i c a t i o n o f t h e e i g e n f r e q u e n c y .
T h e f r e q u e n c y f 3 = 2 4 2 . 7 1 H z i s n o t v i s i b l e i n t h e p r o c e s s g i v e n b y t h e
A N S Y S . H o w e v e r , i n t h e s y n t h e s i z e d p r o c e s s t h i s f r e q u e n c y i s c l e a r l y s e e n .
H e n c e , t h e a b o v e - m e n t i o n e d f r e q u e n c y h a s n o t b e e n e x c i t e d i n t h e c u r r e n t
142 ISSN 0556-171X. npoôëeMbi npounocmu, 2006, N 4
Analysis o f the Sensitivity o f a Vibration-Based Procedure
e x p e r i m e n t , b u t i t c a n b e d i s p l a y e d i f a n o t h e r l o a d i n g m o d e o r l o a d c o m b i n a t i o n
i s a d d e d .
I t h a s t o b e a d m i t t e d t h a t i f s o m e e i g e n f r e q u e n c i e s a r e c l o s e l y s i t u a t e d d u r i n g
p r o c e s s i n g b y t h e A N S Y S , t h e p e a k s c o n v e r g e a n d w e s h a l l s e e o n l y o n e
f r e q u e n c y ( F i g . 3 ) . T h i s p h e n o m e n o n i s i n t e n s i f i e d w i t h a n i n c r e a s e i n t h e
f r e q u e n c y . H o w e v e r , i n t h e s y n t h e s i z i n g s p e c t r u m b y t h e P o l y h a r m o n i c p r o g r a m ,
t h e n e a r l y s i t u a t e d e i g e n f r e q u e n c i e s a r e p r e s e n t e d a n d c l e a r l y s e e n ( F i g . 4 ) .
No. 6 7 8 9 10 11 12
Frequency 559.80 560.19 572.17 738.88 855.30 864.29 869.55
a ’ 1
1
AD.DOOD-
d-; I 1 i i g i f ■p i f f i i к яkn— .
*
500 520 540 560 580 60D 620 640 66D 6B0 700 720 740 760 780 8Q0 820 840 860 880 900
№
Fig. 3. Frequency spectrum in the range from 500 to 900 Hz obtained by ANSYS.
No. 6 7 8 9 10 11 12
Frequency 559.80 560.19 572.17 738.88 855.30 864.29 869.55
500 520 540 560 580 600 620 640 660 680 700 720 740 760 780 800 820 840 860 880 900
f , Hz
Fig. 4. Frequency spectrum in the range from 500 to 900 Hz obtained by Polyharmonic program.
I n a d d i t i o n , t h e i n f l u e n c e o f t h e n o i s e l e v e l , a t t e n u a t i o n , t h e n u m b e r a n d
q u a n t i t y o f t h e d i s c r e t i z a t i o n s t e p s o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n o n t h e f r e q u e n c y
c a l c u l a t i o n a c c u r a c y w a s a n a l y z e d . I t w a s f o u n d t h a t a t a n o i s e l e v e l o f 2 0 % ,
e i g e n f r e q u e n c i e s u p t o t h e 10t h n u m b e r a r e c a l c u l a t e d w i t h e x a c t n e s s i n s e c o n d
n u m b e r . I t i s p o s s i b l e t o p r e c i s e l y d e t e r m i n e t h e e i g e n f r e q u e n c i e s u p t o t h e 6t h -
8t h f r e q u e n c i e s w i t h a s i m u l t a n e o u s a p p l i c a t i o n o f t h e a t t e n u a t i o n i n t h e a m o u n t
o f a b o u t ( 1 - 6) • 10- 6 .
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, N 4 143
J. P. Auzins and A. F. Boyko
A n a l y s i s o f t h e n u m b e r a n d q u a n t i t y o f d i s c r e t i z a t i o n s t e p s o f t h e F o u r i e r
t r a n s f o r m a t i o n r e v e a l s t h a t t h e d e c r e a s e i n t h e s t e p n u m b e r f r o m 3 0 0 0 t o 2 0 0 0
l e a d s t o a s i g n i f i c a n t l o s s i n t h e a c c u r a c y o f t h e d e t e r m i n a t i o n o f e i g e n f r e q u e n c i e s
a b o v e t h e 10t h f r e q u e n c y .
4 . S e n s i t i v i t y A n a l y s i s o f I d e n t i f i c a t i o n . W h e n t h e i d e n t i f i c a t i o n p a r a m e t e r s
a r e o b t a i n e d , i t i s i m p o r t a n t t o e s t i m a t e h o w t h e p r e c i s i o n o f t h e n a t u r a l
e i g e n f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t i n f l u e n c e s t h e a c c u r a c y o f t h e i d e n t i f i c a t i o n r e s u l t s
a n d w h i c h s a m p l e o f t h e m e a s u r e d e i g e n f r e q u e n c i e s g i v e s t h e h i g h e s t p r e c i s i o n o f
t h e i d e n t i f i c a t i o n r e s u l t s . T r a d i t i o n a l l y , t h e s e n s i t i v i t y c o e f f i c i e n t s a r e u s e d a s
p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f a m o d e l r e s p o n s e w i t h r e s p e c t t o a m o d e l p a r a m e t e r o r i n t h e
c a s e o f m a t e r i a l i d e n t i f i c a t i o n [ 3 ] . B u t i n p r a c t i c e i t i s a l s o i m p o r t a n t t o c l a r i f y t h e
r e l a t i v e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t , s o t h a t t h e s t a n d a r d
d e v i a t i o n o f t h e i d e n t i f i e d E v a l u e d o e s n o t e x c e e d , f o r e x a m p l e , 1 % .
S i n c e t h e m e a s u r e m e n t p r e c i s i o n f o r t h e h i g h e s t f r e q u e n c i e s i s l o w e r , s c a l e d
v a l u e s o f t h e f r e q u e n c i e s a r e u s e d f o r i d e n t i f i c a t i o n , d i v i d i n g t h e m b y t h e
r e s p e c t i v e v a l u e o f t h e m e a s u r e d f r e q u e n c i e s . N o r m a l i z e d f r e q u e n c i e s a r e d e n o t e d
a s g i , i = 1, 2 , . . . , m .
S e n s i t i v i t y a n a l y s i s i s m a d e u s i n g l i n e a r m o d e l s , a n d , a c c o r d i n g l y , l i n e a r
a p p r o x i m a t i o n s :
g i = A ix + B i , i = 1 2 ■■■, m ( 3 )
o r , t h e s a m e i n t h e m a t r i x f o r m :
G = A x + B , ( 4 )
w h e r e A i s t h e m a t r i x m X 3 a n d B i s t h e c o l u m n v e c t o r o f l e n g t h m, w h i c h a r e
c a l c u l a t e d u s i n g l i n e a r a p p r o x i m a t i o n s .
T o i d e n t i f y t h e m a t e r i a l p r o p e r t i e s x , f u n c t i o n a l ( 1 ) s h o u l d b e m i n i m i z e d :
m
$ = 2 ( A ix + B i - 1 ) 2 . ( 5 )
i =1
T h e f u n c t i o n a l i s q u a d r a t i c , t h e m i n i m u m c a n b e f o u n d e q u a t i n g p a r t i a l
d e r i v a t i v e s t o z e r o
a o m
— = 2^ ( A ,x + B t - 1) A i 1 = 0,
a x 1 1=1
a o m
— = 2^ ( A tx + B i - 1) A i 2 = 0 , ( 6)
a x 2 i =1
a o m
— = 2 ^ ( A ,x + B i - 1 ) A i 3 = 0 .
a x 3 -1 3 i =1
T h i s g i v e s l i n e a r e q u a t i o n s i n t h e m a t r i x f o r m :
S x + B * = 0 , ( 7 )
144 ISSN 0556-171X. npo6n.eMH npounocmu, 2006, N 4
Analysis o f the Sensitivity o f a Vibration-Based Procedure
w h e r e
S = A T A ,
B * = A T ( B - I ) , I = [ 1 , 1 , 1 , 1 , . . . , 1 ] T .
( 8)
( 9 )
L e t ’ s p r e s u m e t h a t r e l a t i v e e r r o r s o f t h e f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s £ g a r e
c r o s s - u n c o r r e l a t e d , n o r m a l l y d i s t r i b u t e d r a n d o m v a l u e s w i t h z e r o m e a n s a n d
s t a n d a r d d e v i a t i o n s a t ( i = 1, 2 , . . . , m ) .
T h e n t h e c o l u m n v e c t o r £ x e r r o r o f i d e n t i f i c a t i o n e r r o r s £ X ( i = 1 , 2 , 3 ) i s
w h e r e C = ( A T A ) 1A T i s t h e m a t r i x 3 X m .
( 10)
T h u s , t h e e r r o r s o f t h e i d e n t i f i e d p a r a m e t e r s £ X , i = 1 , 2 , 3 a r e n o r m a l l y
d i s t r i b u t e d r a n d o m v a l u e s w i t h z e r o m e a n s a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n s a X [ 4 ]
2(Cÿo j ) 2 , i = 1 , 2 , 3 .
j=1
( 11)
I f a l l m e a s u r e d f r e q u e n c i e s h a v e e q u a l r e l a t i v e s t a n d a r d d e v i a t i o n s a t = a ̂
( i = 1, 2 , . . . , m ) , t h e n ____________________
O ; = 2 ( C j ) 2 o f , i = 1 , 2 , 3 .
j =1
( 12)
T h e r e l a t i v e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e i d e n t i f i e d p a r a m e t e r s c a n b e c a l c u l a t e d
d i v i d i n g a b s o l u t e d e v i a t i o n s b y i d e n t i f i e d v a l u e s o f x t
o
( 1 3 )
T h e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t
e r r o r a n d t h e p a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o n e r r o r s a r e l i n e a r , s o w e c a n d i v i d e o Ji rel b y
o f t o o b t a i n t h e s e n s i t i v i t y c o e f f i c i e n t k t :
o
xrel
( 1 4 )
T h i s c o e f f i c i e n t s h o w s t h a t t h e p e r c e n t a g e e r r o r o f t h e i t h p a r a m e t e r
i d e n t i f i c a t i o n i s k t t i m e s l a r g e r t h a n t h e p e r c e n t a g e e r r o r o f t h e f r e q u e n c y
m e a s u r e m e n t .
x
x
x
ISSN 0556-171X. npoôëeMbi npounocmu, 2006, N9 4 145
J. P. Auzins and A. F. Boyko
5 . R e s u l t s o f I d e n t i f i c a t i o n a n d S e n s i t i v i t y A n a l y s i s . F o r t h e p u r p o s e o f
v e r i f i c a t i o n , w e i d e n t i f y p a r a m e t e r s o f t h e m a t e r i a l s w i t h f i n i t e “ m e a s u r e d ”
f r e q u e n c i e s s p e c i f i e d i n S e c t i o n 3 . I t i s n e c e s s a r y t o i d e n t i f y t h e f o l l o w i n g
p a r a m e t e r s : E = 2 1 0 G P a , u = 0 . 3 , a n d p = 7 8 0 0 k g / m 3 .
T h e i d e n t i f i e d m o d e l c o i n c i d e s p r e c i s e l y w i t h t h e r e s u l t s o f c a l c u l a t i o n i n t h e
f r e q u e n c y r a n g e t o t h e 2 0 t h f r e q u e n c y ( f 20 = 1 5 8 4 . 7 H z ) t h a t w a s n o t u s e d i n
i d e n t i f i c a t i o n o f p a r a m e t e r s , w i t h a n a c c u r a c y o f 0 . 0 1 % ( i n T a b l e 1 - a f r a g m e n t
o f t h e r a n g e ) . H e r e t h e r e s u l t o f p a r a m e t e r s i d e n t i f i c a t i o n i s n o t a s a c c u r a t e :
E = 2 1 0 G P a w i t h a n e r r o r o f 3 . 9 % , u = 0 - 3 w i t h a n e r r o r o f 0 . 0 4 % a n d
p = 7 8 0 0 k g / m 3 w i t h a n e r r o r o f 4 % t h a t d i f f e r s s i g n i f i c a n t l y f r o m t h e
“ e x p e r i m e n t a l ” r e s u l t i n t h e A N S Y S p r o g r a m .
T a b l e 1
Calculated Errors
No. Experimental value (Hz) Calculated value (Hz) Error (%)
1 71.179 71.1749 0.0057
2 141.280 141.2800 0
3 242.710 242.7100 0
4 295.240 295.2400 0
5 321.390 321.3900 0
6 559.800 560.0280 -0.0410
7 560.190 560.0270 0.0291
8 572.170 572.1090 0.0107
9 738.880 738.8800 0
10 855.300 855.2900 0.0012
11 864.290 864.2900 0
12 869.550 869.5700 -0.0020
T h e a n a l y s i s o f s e n s i t i v i t y p e r f o r m e d a c c o r d i n g t o t h e a f o r e m e n t i o n e d
m e t h o d o l o g y p r o v e s t h a t e v e n i n d e t e r m i n a t i o n o f t h e f r e q u e n c i e s w i t h a n
a c c u r a c y o f 0 . 1 % t h e e r r o r o f p a r a m e t e r s d e t e r m i n a t i o n w o u l d b e : E = 2 1 0 ±
2 6 1 2 . 4 1 ( 1 2 4 4 % ) , л = 0 . 3 ± 0 . 0 0 4 0 2 9 ( 1 . 3 4 % ) , a n d p = 7 8 0 0 ± 1 0 1 4 1 . 1 ( 1 3 0 0 % ) ,
w h i c h a t t e s t s t o i n s e n s i b i l i t y o f E a n d p d e t e r m i n a t i o n . T h e r e s u l t p r e s e n t e d
s h o u l d h a v e b e e n e x p e c t e d , p r o v i d i n g p r o p o r t i o n a l d e p e n d e n c e o f t h e m a s s a n d
s t i f f n e s s m a t r i x r a t i o o n p a n d E , r e s p e c t i v e l y . I n t h i s c a s e , t h e m e t h o d i s u n a b l e
t o e x a c t l y i d e n t i f y t h e m o d u l i o f e l a s t i c i t y E a n d d e n s i t y p s i m u l t a n e o u s l y a s
t h e y c o m p e n s a t e e a c h o t h e r w i t h r e s p e c t t o f r e q u e n c i e s . T h a t i s , i n s i m u l t a n e o u s
p r o p o r t i o n a l c h a n g e t h e v a l u e s o f E a n d p v a l u e s o f f r e q u e n c i e s d o n o t c h a n g e .
H e n c e i t c a n b e s e e n t h a t i t i s p o s s i b l e t o i d e n t i f y P o i s s o n ’ s r a t i o w i t h a n e r r o r o f
± 0 . 0 0 4 t h a t w o u l d h a v e b e e n a r a t h e r g o o d r e s u l t .
C o n s i d e r i n g t h e a f o r e m e n t i o n e d p r o p o r t i o n a l i t y , t h e a s s i g n m e n t o f i d e n t i f i c a t i o n
m i g h t b e r e d u c e d t o i d e n t i f i c a t i o n o f t w o p a r a m e t e r s E a n d л b y a s s i g n i n g a
c o n s t a n t v a l u e o f m a t e r i a l d e n s i t y p = 7 8 0 0 k g / m . H e n c e , b y u s i n g t h e f i r s t 6
146 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, N 4
Analysis o f the Sensitivity o f a Vibration-Based Procedure
f r e q u e n c i e s w i t h d e t e r m i n a t i o n a c c u r a c y o f 1% t h e r e s u l t w o u l d h a v e b e e n
E = 2 1 0 . 1 2 G P a ± 0 . 8 % a n d ^ = 0 . 3 0 4 ± 1 2 . 9 % , b u t w i t h t h e f i r s t 1 2 f r e q u e n c i e s
u s e d - E = 2 0 9 . 8 G P a ± 0 . 5 6 % a n d / / = 0 . 3 0 2 ± 1 0 . 8 % . T h e n , i n i d e n t i f i c a t i o n
a c c o r d i n g t o t h e f i r s t t w o f r e q u e n c i e s , t h e e r r o r c o n s e q u e n t l y w i l l b e 1 . 5 % a n d
2 2 . 3 % , b u t w i t h t h e u s e o f t h e 1 1 t h a n d 1 2 t h f r e q u e n c i e s , t h e e r r o r w i l l b e 3 . 7 %
a n d 1 0 8 % . S i n c e t h e r e i s a l i n e a r c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e m e a s u r e m e n t a n d
i d e n t i f i c a t i o n e r r o r s , t h e n i n f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s w i t h a n e r r o r o f 0 . 1% , t h e
i d e n t i f i c a t i o n e r r o r s h a l l b e 10 t i m e s l o w e r , r e s p e c t i v e l y .
C o n c l u s i o n s
1 . T h e n o i s e l e v e l a n d a t t e n u a t i o n i n f l u e n c e t h e a c c u r a c y o f f r e q u e n c y
d e t e r m i n a t i o n i n s i g n i f i c a n t l y .
2 . T h e n u m b e r a n d q u a n t i t y o f t h e d i s c r e t i z a t i o n s t e p s o f t h e F o u r i e r
t r a n s f o r m a t i o n h a v e a g r e a t i n f l u e n c e o n t h e a c c u r a c y o f t h e d e t e r m i n a t i o n o f
f r e q u e n c i e s h i g h e r t h a n t h e 10t h o n e .
3 . T h e d e v e l o p e d m e t h o d o f s e n s i t i v i t y a n a l y s i s a l l o w s e s t i m a t i o n o f t h e
i d e n t i f i c a t i o n e r r o r a n d , i n p r i n c i p l e , g i v e s t h e p o s s i b i l i t y o f i d e n t i f y i n g s e v e r a l
p a r a m e t e r s ( e . g . , P o i s s o n ’ s r a t i o o r s h e a r m o d u l u s ) .
4 . T h e e r r o r s o f f r e q u e n c y d e t e r m i n a t i o n s c a u s e d b y m a n u f a c t u r i n g e r r o r s
( d i m e n s i o n s , d e n s i t y e t c . d i f f e r f r o m t h e i r n o m i n a l v a l u e s ) a n d m e a s u r e m e n t
e r r o r s ( c a u s e d , e . g . , b y d i s c r e t i z a t i o n o f t h e f r e q u e n c y b a n d u s i n g f a s t F o u r i e r
t r a n s f o r m a t i o n ) c a n p r o d u c e a n u n a c c e p t a b l e e r r o r o f i d e n t i f i c a t i o n , t h e r e f o r e a l l
p a r a m e t e r s , n o t o n l y f r e q u e n c i e s , m u s t b e m e a s u r e d w i t h s p l i t - h a i r a c c u r a c y .
Р е з ю м е
П р о а н а л і з о в а н о т о ч н і с т ь в и з н а ч е н н я в л а с т и в о с т е й м а т е р і а л і в е л е м е н т і в к о н
с т р у к ц і й ( м о д у л ь п р у ж н о с т і , к о е ф і ц і є н т П у а с с о н а , щ і л ь н і с т ь і і н . ) м е т о д о м
в и м і р ю в а н н я ч а с т о т в л а с н и х к о л и в а н ь . О ц і н е н о т о ч н і с т ь в и з н а ч е н н я ч а с т о
т и м е т о д о м Ф у р ’ є і в п л и в ї ї н а к і н ц е в и й р е з у л ь т а т . З а д о п о м о г о ю м е т о д у
м е т а м о д е л е й в и в е д е н о з а л е ж н о с т і м і ж п о м и л к а м и в и м і р ю в а н н я ч а с т о т т а
п о м и л к а м и і д е н т и ф і к о в а н и х п а р а м е т р і в . М е т о д п р о і л ю с т р о в а н о н а п р и к л а д і
е л е м е н т а о б ш и в к и з р е б р о м ж о р с т к о с т і .
1 . R . R i k a r d s a n d J . A u z i n s , “ R e s p o n s e s u r f a c e m e t h o d f o r s o l u t i o n o f s t r u c t u r a l
i d e n t i f i c a t i o n p r o b l e m s , ” i n : In v e rse P ro b le m s in S c ie n c e a n d E n g in e er in g ,
T a y l o r & F r a n c i s ( 2 0 0 4 ) , V o l . 1 2 , N o . 1 , p p . 5 9 - 7 0 .
2 . S . C h a k r a b o r t y a n d M . M u k h o p a d h y a y , “ E s t i m a t i o n o f i n - p l a n e e l a s t i c
p a r a m e t e r s a n d s t i f f e n e r g e o m e t r y o f s t i f f e n e d p l a t e s , ” J. S o u n d V ibra tion ,
2 3 1 , N o . 1 , 9 9 - 1 2 4 ( 2 0 0 0 ) .
3 . T . L a u w a g i e , W . H e y l e n , H . S o l , a n d O . V a n d e r B i e s t , “ V a l i d a t i o n o f a
v i b r a t i o n - b a s e d i d e n t i f i c a t i o n p r o c e d u r e f o r l a y e r e d m a t e r i a l s , ” P r o c . o f t h e
I n t . C o n f . o n N o ise a n d V ibra tion E n g in e e r in g ( 2 0 0 4 ) , p p . 1 3 2 5 - 1 3 3 6 .
4 . G . A . K o r n a n d T . M . K o r n , M a th e m a tic a l H a n d b o o k f o r S c ie n tis ts a n d
E n g in e e rs , S e c o n d e d i t i o n , M c G r a w - H i l l B o o k C o m p a n y , N e w Y o r k ; S t .
L o u i s , e t c . ( 1 9 6 8 ) .
Received 04. 11. 2005
ISSN 0556-171X. Проблеми прочности, 2006, № 4 147
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47794 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-07T13:13:21Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Auzins, J.P. Boyko, A.F. 2013-08-01T11:16:39Z 2013-08-01T11:16:39Z 2006 Analysis of the sensitivity of a vibration-based procedure for structural identification / J.P. Auzins, A.F. Boyko // Проблемы прочности. — 2006. — № 4. — С. 140-147. — Бібліогр.: 4 назв. — англ. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47794 534-16 We analyze the accuracy of estimation of structural component material properties (elastic modulus, Poisson’s ratio, density, etc.) using the technique for measuring the eigen frequencies of oscillations. The accuracy of frequency estimation using the Fourier method and its influence on the final result are evaluated. Relationships between the errors in the frequency estimation and those in the identified parameters are derived using the meta-model method. Application of the method is illustrated by the example of a shell element with a stiffening rib. Проаналізовано точність визначення властивостей матеріалів елементів конструкцій(модульпружності, коефіцієнт Пуассона ,щільність і ін.)методом вимірювання частот власних коливань. Оцінено точність визначення частоти методом Фур’є і вплив її на кінцевий результат.За допомогою методу метамоделей виведено залежності між помилками вимірювання частот та помилками ідентифікованих параметрів.Метод про ілюстровано на прикладі елемента обшивки з ребром жорсткості. Проанализирована точность определения свойств материалов элементов конструкций (модуль упругости, коэффициент Пуассона, плотность и др.) методом измерения частот собственных колебаний. Оценены точность определения частоты методом Фурье и влияние ее на конечный результат. С помощью метода метамоделей выведены зависимости между ошибками измерения частот и ошибками идентифицируемых параметров. Метод проиллюстрирован на примере элемента обшивки с ребром жесткости. en Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Analysis of the sensitivity of a vibration-based procedure for structural identification Анализ чувствительности вибрационного метода структурной идентификации Article published earlier |
| spellingShingle | Analysis of the sensitivity of a vibration-based procedure for structural identification Auzins, J.P. Boyko, A.F. Научно-технический раздел |
| title | Analysis of the sensitivity of a vibration-based procedure for structural identification |
| title_alt | Анализ чувствительности вибрационного метода структурной идентификации |
| title_full | Analysis of the sensitivity of a vibration-based procedure for structural identification |
| title_fullStr | Analysis of the sensitivity of a vibration-based procedure for structural identification |
| title_full_unstemmed | Analysis of the sensitivity of a vibration-based procedure for structural identification |
| title_short | Analysis of the sensitivity of a vibration-based procedure for structural identification |
| title_sort | analysis of the sensitivity of a vibration-based procedure for structural identification |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47794 |
| work_keys_str_mv | AT auzinsjp analysisofthesensitivityofavibrationbasedprocedureforstructuralidentification AT boykoaf analysisofthesensitivityofavibrationbasedprocedureforstructuralidentification AT auzinsjp analizčuvstvitelʹnostivibracionnogometodastrukturnoiidentifikacii AT boykoaf analizčuvstvitelʹnostivibracionnogometodastrukturnoiidentifikacii |