Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов
Для решения систем линейных алгебраических уравнений методом конечных элементов рассматривается обобщенный метод сопряженных градиентов с переобусловливающей матрицей, построенной с помощью матрицы перехода для метода симметричной верхней релаксации. Показана возможность двукратного ускорения итерац...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2005
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47826 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2005. — № 6. — С. 89-102. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859636461408616448 |
|---|---|
| author | Чирков, А.Ю. |
| author_facet | Чирков, А.Ю. |
| citation_txt | Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2005. — № 6. — С. 89-102. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Для решения систем линейных алгебраических уравнений методом конечных элементов рассматривается обобщенный метод сопряженных градиентов с переобусловливающей матрицей, построенной с помощью матрицы перехода для метода симметричной верхней релаксации. Показана возможность двукратного ускорения итерационного алгоритма. Представлены численные результаты анализа скорости сходимости итерационного процесса при решении двухмерных модельных задач теории упругости и линейной механики разрушения с использованием классического и модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов с переобусловливающей матрицей метода симметричной верхней релаксации.
Для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом скінченних елементів розглядається узагальнений метод спряжених градієнтів із переобумовлюваною матрицею, що побудована за допомогою матриці переходу для методу симетричної верхньої релаксації. Показано можливість двократного прискорення ітераційного алгоритму. Наведено чисельні результати аналізу швидкості збіжності ітераційного процесу при розв’язанні двовимірних модельних задач теорії пружності та лінійної механіки руйнування з використанням класичного і модифікованого алгоритму методу спряжених градієнтів із переобумовлюваною матрицею методу симетричної верхньої релаксації.
For solution of a system of linear algebraic equations by the finite element method we propose to apply the generalized method of conjugated gradients with re-conditioning matrix constructed using a transformation matrix for the method of symmetrical upper stress relaxation. We show the possibility of twofold acceleration of the iteration algorithm. Numerical results of the iteration process convergence rate are presented for solution of two-dimensional model problems of the theory of elasticity and linear fracture mechanics with application of classical and modified algorithms of the method of conjugated gradients with re-conditioning matrix of the method of symmetrical upper stress relaxation.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:16:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного
алгоритма метода сопряженных градиентов
А. Ю. Чирков
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Для решения систем линейных алгебраических уравнений методом конечных элементов
рассматривается обобщенный метод сопряженных градиентов с переобусловливающей
матрицей, построенной с помощью матрицы перехода для метода симметричной верхней
релаксации. Показана возможность двукратного ускорения итерационного алгоритма. Пред
ставлены численные результаты анализа скорости сходимости итерационного процесса
при решении двухмерных модельных задач теории упругости и линейной механики разру
шения с использованием классического и модифицированного алгоритма метода сопряжен
ных градиентов с переобусловливающей матрицей метода симметричной верхней релакса
ции.
Ключевые слова: метод конечных элементов, метод сопряженных градиен
тов, переобусловливающая матрица, сходимость, точность.
При исследовании прикладных задач механики методом конечных эле
ментов наиболее трудоемким этапом расчета является решение больших
систем линейных алгебраических уравнений с разреженной симметричной
положительно определенной матрицей коэффициентов. Для решения систем
линейных уравнений методом конечных элементов (МКЭ) применяются как
прямые методы, так и итерационные [1-4]. Основным прямым алгоритмом
решения систем линейных уравнений МКЭ служит метод Гаусса и его
различные модификации - фронтальный метод, метод Холецкого и др. [1-3].
Наибольшее распространение среди итерационных алгоритмов решения раз
решающих уравнений МКЭ получил метод сопряженных градиентов с пере
обусловливающей матрицей [4-6]. Цель работы заключалась в выявлении
наибольшей эффективности метода сопряженных градиентов с переобуслов
ливающей матрицей, построенной на основе матрицы перехода для метода
симметричной верхней релаксации [7-9].
Пусть [А] - симметричная положительно определенная матрица, {х} -
вектор неизвестных и {у} - вектор правой части системы линейных урав
нений:
[А ]{х } = {у}. (1)
Представим матрицу [А] в виде разложения
[А ]= [Ь]т + [Б ]+ [Ь], (2)
где [Б] - блочно-диагональная симметричная положительно определенная
Тматрица; [Ь] - блочная строго верхняя треугольная матрица; [Ь] - транспо
нированная по отношению к [Ь] блочная матрица, т.е. строго нижняя тре
угольная блочная матрица.
© А. Ю. ЧИРКОВ, 2005
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6 89
А. Ю. Чирков
Поскольку [О] - блочно-диагональная симметричная положительно опре
деленная матрица, существует такая положительно определенная блочная
матрица [С], что
[О] = [С ]т [С ]. (3)
Построение блочной матрицы [С] основывается на факторизации Хо-
лецкого [2] для каждого блока матрицы [О].
Тогда систему уравнений (1) можно представить в следующем виде:
[А ]{х } = {уЬ (4)
где [А] - симметричная положительно определенная блочная матрица, зада
ваемая соотношением
[А ]= [С ]-т [А Н С ]-1; (5)
{х}, {у} - векторы,
{х }= [С ]{х}; {у}= [С]-Т {у}. (6)
На основании (2), (5) имеем
[А}= [Ь ]Т + [Е] + [Ь}, (7)
где [Е] - единичная матрица; [Ь] - строго верхняя треугольная блочная
матрица; [Ь ]т - транспонированная по отношению к [Ь] блочная матрица.
Матрицы [Ь] и [Ь ]т определяются по выражениям
[Ь ]= [С]-Т [Ь][С]-1 ; [Ь ]т = [С]-Т [Ь]т [С ]-1 . (8)
Для переобусловливания матрицы системы уравнений (4) введем в
рассмотрение симметричную блочную матрицу
[Л( т )] = ([Е] + т [Ь ])([Е] + т [Ь ]т ), (9)
где т - параметр релаксации, удовлетворяющий условию т е (0,2), при
котором матрица [Л (т)] положительно определена и, следовательно, невы
рождена.
Рассмотрим обобщенный метод сопряженных градиентов с переобуслов-
ливающей матрицей (9). Пусть {х0} - произвольное начальное приближение
к решению {х}, {г0} - вектор начальной невязки, который вычисляется по
формуле
{г 0}= [А ]{х 0} -{у } . (10)
90 1&$М 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6
Применение в конечноэлементных расчетах
Вектор начального направления ^ 0} и начальное значение итерацион
ного параметра у о определяются соотношениями
[Л( ®)]{р} = {г0}; {g 0} = {р }; у о = {р }Т {г0}. (11)
Тогда формулы метода сопряженных градиентов могут быть записаны в
следующем виде:
Отметим, что матрица [Л(» )] не строится в явном виде, поскольку для
нахождения вектора {р} достаточно применить метод дробных шагов реше-
Численная реализация приведенного выше алгоритма не требует вспо-
вычисления проводятся с одним вектором {р}. Таким образом, получаем
итерационный процесс, который обладает высокой скоростью сходимости
при минимальных запросах к ресурсам памяти компьютера, поскольку нет
дополнительных затрат, связанных с хранением переобусловливающей мат
рицы [Л( »)].
Установлено, что при решении систем линейных уравнений, порожда
емых МКЭ в задачах теории упругости, сходимость итерационного процесса
(12), (13) во многих случаях приближается к оптимальной, если 0,8 < т< 1,3,
и применение переобусловливающей матрицы [Л(» )] по сравнению с класси
ческими формулами метода сопряженных градиентов приводит к уменьше
нию количества требуемых итераций.
Быстродействие итерационного алгоритма (12), (13) можно увеличить в
два раза, если совместить процедуры вычисления векторов {р} и {д}. С
этой целью представим систему уравнений (4) в эквивалентном виде
Ш = [А Щ к };
{X }= {X } ~ х к & к };
{г к+1} = {г к } - Я к
[Л( ®)]{р} = {г к+1};
у к+1 = {р}Т {г к+1};
(12)
Ук ’
{§ к+1}= {р} + # £ к }.
ния систем с треугольными матрицами [Ь ] и [Ь ]Т. Процедуру вычисления
вектора {р} разобьем на два этапа:
{ р}12 = {г к } - ®[ Ь} { р}12;
{р}= {р}12 - ®[Ь]Т {р}.
(13)
_ 12
могательного вектора {р}1 для хранения промежуточной информации. Все
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 6 91
А. Ю. Чирков
[А ]{х } = {у}. (14)
Здесь [А ] - симметричная блочная матрица, определяемая соотношением
[А ]= ,([Е ] + [Ь , ]Т ) -1 [А]([Е]+ [Ь , ] ) - 1; (15)
{Х}, {у} - векторы,
{х} = ([Е] + [Ь , ]){х}; {у} = ,([Е ] + [Ь , ]Т)- 1{у}, (16)
где
[Ь, ] = , [ Ь ]; [Ь, ] = , [ Ь ] . (17)
Применение метода сопряженных градиентов для решения переобуслов-
ленной системы линейных уравнений (14) приводит к следующему итера
ционному алгоритму. Пусть {х0} - произвольное начальное приближение к
решению {х}, {г0} - вектор начальной невязки, который вычисляется в
соответствии с формулой
{г0} = , ( { х 0} - {у}) + [Ь , ]{х 0} + [Ь , ]Т ({х 0} - {г0}). (18)1—0
Вектор направления {g 0} и значение параметра у 0 определяются соот
ношениями
- Г-01Т , 0{§0} = {г0}; у 0 = {г0}Т {г0}. (19)
Тогда формулы метода сопряженных градиентов могут быть записаны в
следующем виде:
{Р} = {| к } - [Ь, ]{р};
[д} = {g к} + ( , - 1){р} + [Ь , ]Т({р} - {д});
Я к =
у к
{д}Т {§к } ’
{х к+1} = {хк } - я к {Р};
{г к+1} = {г к } - Я к {д};
у к+1 = {г к+1}Т {гк+1};
у к+1
(20)
у к
{§ к+1} = { г к }.
92 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6
Применение в конечноэлементных расчетах
В алгоритме (20) вычислительные затраты на одну итерацию в два раза
меньше, чем в (12), (13). Действительно, для реализации итерационного
процесса на основании формул (12), (13) необходимо на каждой итерации
треугольную матрицу умножить на вектор четыре раза, в то время как в
формулах (20) только два раза. Таким образом, численная реализация моди
фицированного алгоритма (20) не приводит к дополнительным вычисли
тельным затратам. Кроме того, скорость сходимости оказывается выше по
сравнению с классической процедурой метода сопряженных градиентов без
переобусловливания матрицы системы уравнений.
В методе сопряженных градиентов для окончания итерационного про
цесса целесообразно использовать критерий
({х к+1} - { х к })Т [А ]({х к+1} - { х к }) < є{х к }Т [А ]{х к }, (21)
где є - малое наперед заданное положительное число (£ = 10- 14...10-15).
На основании формул (20) и (21) получаем
к-1
^ к У к < £ ^ т У т . (22)
т=1
Рассмотрим еще три замечания относительно решения систем линей
ных уравнений, порождаемых МКЭ.
Замечание 1. Эмпирический подход к определению параметра релакса
ции т основывается на том, что отношение
{х }Т [А ]{х}
г , (23)
{х}Т{х} ( )
характеризующее обусловленность матрицы [А ], достигает максимального
значения на “гладких” векторах {х}. Тогда параметр релаксации т можно
определять по следующим приближенным формулам:
2------------1 Т
т = ------- т=; в = — Ы Ы . (24)
1 + 2 4 в ы х * w (24)
Здесь N - порядок системы; ^ } - вектор,
м = 2{б}+ [Ь ]{<5}, (25)
где {6} - вектор с компонентами, равными единице.
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 6 93
А. Ю. Чирков
Замечание 2. Естественным представлением матрицы [A ] в блочном
виде является разбиение ее на блоки, которые соответствуют группам не
известных для узлов сетки. В этом случае вычисление блоков матрицы [С]и
масштабирование блочной треугольной матрицы [L] на основании формул
(8) приводят к минимальным вычислительным затратам. Если в каждом узле
сетки заданы три компоненты вектора перемещений, то в соответствии с
формулами (24) и (25) параметр релаксации т целесообразно вычислять по
следующим соотношениям:
2
т = 1 + 2^ , 0 = m ax(01, 0 2 , 0 3) . (26)
Здесь
1 т
0 m = N {zm } { zm } 1 — m — 3, (27)
N P
где N p - число узлов сетки; {z m} - векторы,
{zm }= 2 {^m }+ [L]{^m }, 1— m — 3 (28)
({Ô m} - блочный вектор, m-я компонента которого в каждом узле сетки
равна единице. Все остальные компоненты вектора {d m} равны нулю.)т
Замечание 3. Поскольку [L] и [L] - треугольные матрицы, сходимость
итерационного процесса (20) зависит от порядка нумерации узловых не
известных {х}, т.е. от нумерации узлов сетки. Установлено, что применение
алгоритма Катхилла-Макки [10] с целью минимизации ширины ленты мат
рицы жесткости [A ] во многих случаях позволяет уменьшить количество
требуемых итераций приблизительно на 5...10%.
Ниже приведен фрагмент текста Фортран-программы, реализующей мо
дифицированный алгоритм метода сопряженных градиентов с переобуслов-
ливанием матрицы системы линейных уравнений по схеме симметричной
верхней релаксации. Используются следующие обозначения: NEQ - коли
чество уравнений; OMEGA - параметр релаксации; EPS - константа для
окончания итераций; BETA, LAM, GAM, GAM1 - переменные метода
сопряженных градиентов; I - индекс текущей строки; J - индекс столбца с
ненулевым элементом матрицы [L] в г-й строке; X(NEQ) - вектор решения;
Y(NEQ) - вектор правой части, который используется для вычисления
невязки; D(NEQ) - вектор диагональных элементов матрицы [A]; L(MTR) -
строго верхняя треугольная матрица, хранящаяся в компактном виде по
строкам; MTR - количество ненулевых элементов матрицы [L]; IR(NEQ+1) -
вектор, указывающий начало списка индексов столбцов ненулевых элемен
тов в строке матрицы [L]; MS(MTR) - вектор индексов столбцов ненулевых
элементов в строке матрицы [L]; G(NEQ),P(NEQ), Q(NEQ) - рабочие мас
сивы.
94 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 6
Применение в конечноэлементных расчетах
DOUBLE PRECISION, AUTOMATIC :: OMEGA, OMEGA1, BETA
DOUBLE PRECISION, AUTOMATIC :: LAM, GAM, GAM1, DEL, SUM, ZI, EPS
INTEGER (4), AUTOMATIC :: I, J, N, ITER
EPS = 1.D-14
BETA = 0.D0
SUM = 0.D0
Масштабирование:
DO I = 1, NEQ
D (I) = DSQRT (D (I))
END DO
DO I = 1, NEQ
ZI = D (I)
DO N = IR (I)+1, IR (I+1)
L (N) = OMEGA * L (N) / (ZI * D (MS (N)))
END DO
X (I) = X (I) * ZI
Y (I) = Y (I) / ZI
END DO
Вычисление параметра релаксации:
DEL = 0.D0
DO I = 1, NEQ
ZI = 5.D-1
DO N = IR (I) + 1, IR (I+1)
ZI = ZI+L (N)
END DO
DEL = DEL + ZI * ZI
END DO
ZI = DSQRT (DEL / DBLE (NEQ))
OMEGA = 2.D0 / (1.D0 + 2.D0 * ZI)
OMEGA1 = OMEGA - 1.D0
DO N = 1, IR (NEQ + 1)
L (N) = OMEGA * L (N)
END DO
Вычисление вектора начальной невязки:
DO I = 1, NEQ
Y (I) = OMEGA * (X (I) - Y (I))
END DO
DO I = 1, NEQ
ZI = Y (I)
DO N = IR (I) + 1, IR (I +1)
ZI = ZI + L (N) * X (MS (N))
END DO
Y (I) = ZI
ZI = X (I) - ZI
DO N = IR (I) + 1, IR (I + 1)
J = MS (N)
Y (J) = Y (J) + L (N) * ZI
END DO
END DO
Вычисление скалярного произведения у 0:
GAM = 0.D0
DO I = 1, NEQ
ZI = Y (I)
GAM = GAM + ZI * ZI
G (I) = 0.D0
END DO
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 6 95
A. Ю. Чирков
Цикл по итерациям:
DO ITER = 1, 2 * NEQ
Вычисление векторов {G} и {P}:
DO I = NEQ, 1, -1
ZI = Y (I) + BETA * G (I)
G (I) = ZI
DO N = IR (I) + 1, IR (I+1)
ZI = ZI - L (N) * P (MS (N))
END DO
P (I) = ZI
Q (I) = G (I) + OMEGA1 * ZI
END DO
Вычисление вектора {Q} и скалярного произведения DEL = {Q} * {G}:
DEL = 0.D0
DO I = 1, NEQ
ZI = Q (I)
DEL = DEL + ZI * G (I)
ZI = P (I) - ZI
DO N = IR (I) + 1, IR (I+1)
J = MS (N)
Q (J) = Q (J) + L (N) * ZI
END DO
END DO
LAM = GAM / DEL
DEL = GAM * LAM
SUM = SUM + DEL
GAM1 = GAM
Вычисление векторов решения, невязки и уk в текущем приближении:
GAM = 0.D0
DO I = 1, NEQ
X (I) = X (I) - LAM * P (I)
ZI = Y (I) - LAM * Q (I)
GAM = GAM + ZI * ZI
Y (I) = ZI
END DO
Проверка критерия сходимости:
IF (DEL < EPS * SUM) EXIT
BETA = GAM / GAM1
END DO
Вычисление вектора решения {X}:
DO I = 1, NEQ
X (I) = X (I) / D (I)
END DO
Численны й анализ. Все значения в приведенных ниже двухмерных
модельных задачах были безразмерными. Например, модуль упругости мате
риала Е принимался равным единице. Использовалась линейная аппрокси
мация перемещений на треугольных элементах [ ll] . Для построения тре
угольной сетки применялось равномерное разбиение типа “крест”. При
сравнении результатов использовались обозначения: KMCT - классический
метод сопряженных градиентов; MMCT - модифицированный метод сопря
женных градиентов с переобусловливающей матрицей симметричной верх
ней релаксации. Эффективность MMCT по сравнению с KMCT оценивалась
96 ISSN Ü556-171X. Проблемы прочности, 2005, N б
Применение в конечноэлементных расчетах
на основании коэффициента ускорения, который определялся как отношение
вычислительных затрат при КМСГ к таковым при ММСГ.
Задача о поперечном изгибе консольного бруса. Рассматривали брус
длиной Ь = 10 и высотой Н = 1 прямоугольного поперечного сечения (рис. 1).
К свободному торцу прикладывалась поперечная сосредоточенная сила Р = 1.
Коэффициент Пуассона задавали равным нулю. Результаты расчетов пред
ставлены в табл. 1. Там же приведены разбиения по длине Ь и высоте Н
бруса. Из данных табл. 1 видно, что при сгущении сетки эффективность
ММСГ по сравнению с КМСГ возрастает.
Т а б л и ц а 1
Количество итераций при решении задачи об изгибе консольного бруса,
находящегося под действием силы, приложенной на свободном торце
Сетка N КМСГ ММСГ Коэффициент
ускорения
20 X 2 206 130 54 2,41
40 X 4 730 273 85 3,21
60Х 6 1574 416 111 3,75
80 X 8 2738 556 134 4,15
100Х 10 4222 697 155 4,50
120Х 12 6026 837 175 4,78
140Х 14 8150 976 194 5,03
160Х 16 10594 1114 217 5,13
180Х 18 13358 1253 236 5,31
200 Х 20 16442 1392 255 5,46
300Х 30 36662 2071 342 6,06
400 Х 40 64882 2759 421 6,55
500Х 50 101102 3445 496 6,95
600Х 60 145322 4130 567 7,28
Н
<--------------------------- --------------------------- ►
Рис. 1. Задача о поперечном изгибе консольного бруса.
Поперечный изгиб кривого бруса. Рассматривали брус квадратного по
перечного сечения В Х Н = 1 х 1 в форме четверти кругового кольца с наруж
ным Я 2 = 20,5 и внутренним ^ = 19,5 радиусами под действием сосредо
точенной силы, приложенной на конце Р = 0,1 (рис. 2). Коэффициент Пуас
сона принимали равным нулю. Сравнение численных результатов по методам
КМСГ и ММСГ представлено в табл. 2. Там же приведены разбиения по
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, N 6 97
А. Ю. Чирков
углу 0 < 0 < 90° и радиусу Я1 < г < Я 2. Из данных табл. 2 видно, что ММСГ
обеспечивает более высокую скорость сходимости по сравнению с КМСГ
при всех разбиениях.
Т а б л и ц а 2
Количество итераций при решении задачи об изгибе кривого бруса,
находящегося под действием силы, приложенной на свободном торце
Сетка N КМСГ ММСГ Коэффициент
ускорения
30Х 1 184 224 85 2,64
60Х 2 606 544 167 3,26
90 Х 3 1268 849 239 3,55
120Х 4 2170 1152 288 4,00
150Х 5 3312 1450 346 4,19
180Х 6 5416 1967 442 4,45
240 Х 8 8178 2387 495 4,82
360Х 12 18026 3548 688 5,16
480Х 16 31714 4792 846 5,66
600Х 20 49242 5995 1022 5,86
720Х 24 70610 7302 1168 6,25
840Х 28 95818 8320 1311 6,35
960Х 32 126866 9895 1445 6,85
Рис. 2. Изгиб кривого бруса силой, приложенной на конце.
Толстое кольцо, сжатое двумя сосредоточенными силами. Отношение
радиусов принимали как Я ^ Я 2 = 1/2. Ввиду симметрии задачи рассматри
вали четверть кольца с сосредоточенной силой Р = 1 (рис. 3). Коэффициент
Пуассона задавали равным 0,3. Результаты расчетов представлены в табл. 3.
Там же приведены разбиения по углу и радиусу кольца. Из данных табл. 3
видно, что по количеству требуемых итераций метод ММСГ является более
эффективным по сравнению с КМСГ при всех разбиениях.
Растяжение полосы с центральной трещиной. Рассматривали прямо
угольную пластину шириной Ж = 8 и высотой Н = 1 6 с центральной тре
щиной под действием одноосных растягивающих напряжений д = 1 (рис. 4).
98 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6
Применение в конечноэлементных расчетах
Т а б л и ц а 3
Количество итераций при решении задачи о толстом кольце
иод действием двух сосредоточенных сил
Сетка N КМСГ ММСГ Коэффициент
ускорения
10Х 5 232 109 40 2,72
20 X 10 862 217 66 3,28
40 X 20 3322 437 107 4,08
60Х 30 7382 651 144 4,52
80 X 40 13042 866 176 4,92
100Х 50 20302 1079 207 5,21
120Х 60 29162 1290 236 5,47
140Х 70 39622 1503 264 5,69
160Х 80 51682 1744 291 5,99
180Х 90 65342 1925 317 6,07
200X100 80602 2135 342 6,24
300Х150 180902 3186 462 6,89
400Х 200 321202 4228 572 7,39
500Х 250 501502 5268 675 7,80
р; 2 = 0,5
Рис. 3. Толстое кольцо, сжатое двумя сосредоточенными силами.
Отношение длины трещины а к ширине полосы Ж принимали равным
Я = а/Ж = 0,25. Ввиду симметрии задачи расчет выполнен для четверти
пластины при условии плоского напряженного состояния. Коэффициент
Пуассона задавали равным 0,25. Результаты расчетов представлены в табл. 4.
Там же приведены разбиения по ширине полосы Ж и вдоль трещины дли
ной а. Из данных табл. 4 видно, что при сгущении сетки эффективность
ММСГ по сравнению с КМСГ возрастает.
Чистый изгиб с краевой трещиной. Рассматривали задачу о поперечном
изгибе бруса длиной Ь = 4 и высотой Н = 1 с симметрично расположенной
вертикальной трещиной а = 0,4, выходящей на поверхность. Коэффициент
Пуассона принимали равным 0,25. Ввиду симметрии задачи исследовали
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6 99
А. Ю. Чирков
половину бруса. К торцу прикладывали осевую нагрузку, распределенную
по линейному закону д = 2х 2/ Н , действие которой эквивалентно изгиба
ющему моменту М = Н 2/б (рис. 5). Результаты расчетов представлены в
табл. 5. Там же приведены разбиения по высоте бруса Н и вдоль трещины
длиной а. Из данных табл. 5 видно, что при сгущении сетки ММСГ по
сравнению с КМСГ обеспечивает более высокую скорость сходимости.
Т а б л и ц а 4
Количество итераций при решении задачи о растяжении полосы
с центральной трещиной
Разбиение N КМСГ ММСГ Коэффициент
ускорения
12, 3 1226 225 61 3,69
24, 6 4754 449 99 4,54
36, 9 10586 671 132 5,08
48, 12 18722 893 162 5,51
60, 15 29162 1114 190 5,86
72, 18 41906 1335 216 6,18
84, 21 56954 1555 242 6,42
96, 24 74692 1778 265 6,71
108, 27 93962 1992 289 6,89
120, 30 115922 2210 309 7,15
132, 33 140186 2427 328 7,40
144, 36 166754 2646 351 7,54
Рис. 4. Задача о растяжении полосы с центральной трещиной.
100
Рис. 5. Чистый изгиб бруса с краевой трещиной.
188Ы 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6
Применение в конечноэлементных расчетах
Т а б л и ц а 5
Количество итераций при решении задачи о чистом изгибе бруса
с краевой трещиной
Разбиение N КМСГ ММСГ Коэффициент
ускорения
10, 4 862 246 75 3,28
20, 8 3322 496 123 4,03
30, 12 7382 744 166 4,48
40, 16 13042 992 205 4,84
60, 24 29162 1486 279 5,33
80, 32 51682 1978 346 5,72
100, 40 80602 2469 409 6,04
120, 48 115922 2960 467 6,34
140, 56 157642 3447 524 6,58
160, 64 205762 3935 579 6,80
180, 72 260282 4422 631 7,01
200, 80 321202 4907 684 7,17
Заключение. Приведенные выше тестовые примеры и опыт решения
практических задач механики деформируемого тела методом конечных эле
ментов свидетельствуют об эффективности применения модифицированно
го алгоритма метода сопряженных градиентов с переобусловливающей мат
рицей, построенной по схеме симметричной верхней релаксации, по срав
нению с классическим алгоритмом метода сопряженных градиентов. Су
щественное ускорение итерационного процесса обычно наблюдается при
решении задач об изгибе и концентрации напряжений, а также при сгуще
нии сетки конечных элементов.
Р е з ю м е
Для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом скінченних
елементів розглядається узагальнений метод спряжених градієнтів із пере-
обумовлюваною матрицею, що побудована за допомогою матриці переходу
для методу симетричної верхньої релаксації. Показано можливість двократ
ного прискорення ітераційного алгоритму. Наведено чисельні результати
аналізу швидкості збіжності ітераційного процесу при розв’язанні двовимір
них модельних задач теорії пружності та лінійної механіки руйнування з
використанням класичного і модифікованого алгоритму методу спряжених
градієнтів із переобумовлюваною матрицею методу симетричної верхньої
релаксації.
1. Meurant G. Computer Solution of Large Linear Systems. - Amsterdam;
Lausanne; New York; Oxford; Shannon; Singapore; Tokyo, 1999. - 753 p.
2. Джордж A., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем
уравнений. - М.: Мир, 1984. - 333 с.
ISSN 0556-171X. Проблемыг прочности, 2005, № 6 101
А. Ю. Чирков
3. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. - М.: Мир, 1988. -
411 с.
4. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. - М.: Мир,
1986. - 446 с.
5. Hestens M. and Stiefel E. Methods of conjugate gradients for solving linear
system // Nat. Bur. Std. J. Res. - 1952. - 49. - P. 409 - 436.
6. Reid J. K. On the method of conjugate gradients for the solution of large
sparse systems of linear equations // Large Sparse Sets Linear Equations. -
London; New York; Academic Press, 1971. - P. 231 - 252.
7. Young D. M. On the acceelerated SSOR method for solving large linear
systems // Adv. Math. - 1977. - 23. - P. 215 - 271.
8. Axelsson O. A class of iterative methods for finite element equations // Com.
Meth. Appl. Mech. Eng. - 1976. - 9. - P. 123 - 137.
9. Evans D. J. The use of preconditioning in iterative method for solving linear
equations with symmetric positive definite matrices // J. Inst. Math. Appl. -
1967. - 4. - P. 295 - 314.
10. Cuthill E. and McKee J.Reducing the bandwidth of sparse symmetric
matrices // Proc. 24th Nat. Conf. Assoc. Comput. Mach. ACM Publ. - 1969.
- P. 157 - 172.
11. Zienkiewicz O. C. and Taylor R. L. The Finite Element Method. - Oxford;
Auckland; Bostton; Johannesburg; Melbourne; New Delhi: Butterworth
Heinemann, 2000. - 1482 p.
Поступила 17. 01. 2005
102 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47826 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:16:07Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чирков, А.Ю. 2013-08-02T16:21:34Z 2013-08-02T16:21:34Z 2005 Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов / А.Ю. Чирков // Проблемы прочности. — 2005. — № 6. — С. 89-102. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47826 539.3 Для решения систем линейных алгебраических уравнений методом конечных элементов рассматривается обобщенный метод сопряженных градиентов с переобусловливающей матрицей, построенной с помощью матрицы перехода для метода симметричной верхней релаксации. Показана возможность двукратного ускорения итерационного алгоритма. Представлены численные результаты анализа скорости сходимости итерационного процесса при решении двухмерных модельных задач теории упругости и линейной механики разрушения с использованием классического и модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов с переобусловливающей матрицей метода симметричной верхней релаксации. Для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом скінченних елементів розглядається узагальнений метод спряжених градієнтів із переобумовлюваною матрицею, що побудована за допомогою матриці переходу для методу симетричної верхньої релаксації. Показано можливість двократного прискорення ітераційного алгоритму. Наведено чисельні результати аналізу швидкості збіжності ітераційного процесу при розв’язанні двовимірних модельних задач теорії пружності та лінійної механіки руйнування з використанням класичного і модифікованого алгоритму методу спряжених градієнтів із переобумовлюваною матрицею методу симетричної верхньої релаксації. For solution of a system of linear algebraic equations by the finite element method we propose to apply the generalized method of conjugated gradients with re-conditioning matrix constructed using a transformation matrix for the method of symmetrical upper stress relaxation. We show the possibility of twofold acceleration of the iteration algorithm. Numerical results of the iteration process convergence rate are presented for solution of two-dimensional model problems of the theory of elasticity and linear fracture mechanics with application of classical and modified algorithms of the method of conjugated gradients with re-conditioning matrix of the method of symmetrical upper stress relaxation. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов Application of modified algorithm of conjugated gradients in finite- element calculation Article published earlier |
| spellingShingle | Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов Чирков, А.Ю. Научно-технический раздел |
| title | Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов |
| title_alt | Application of modified algorithm of conjugated gradients in finite- element calculation |
| title_full | Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов |
| title_fullStr | Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов |
| title_full_unstemmed | Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов |
| title_short | Применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов |
| title_sort | применение в конечноэлементных расчетах модифицированного алгоритма метода сопряженных градиентов |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47826 |
| work_keys_str_mv | AT čirkovaû primenenievkonečnoélementnyhrasčetahmodificirovannogoalgoritmametodasoprâžennyhgradientov AT čirkovaû applicationofmodifiedalgorithmofconjugatedgradientsinfiniteelementcalculation |