Построение определяющих соотношений деформационной теории для простых по Ноллу упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением
Для произвольных непрерывных кусочно-непрерывно дифференцируемых траекторий деформирования, любых деформаций и типов симметрии свойств материала на основе теории простых упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением математически строго построены общие определяющие соотношения дефор...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2005
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47830 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Построение определяющих соотношений деформационной теории для простых по Ноллу упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2005. — № 6. — С. 35-49. — Бібліогр.: 41 назв. — рос.. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859469558921822208 |
|---|---|
| author | Лепихин, П.П. |
| author_facet | Лепихин, П.П. |
| citation_txt | Построение определяющих соотношений деформационной теории для простых по Ноллу упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2005. — № 6. — С. 35-49. — Бібліогр.: 41 назв. — рос.. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Для произвольных непрерывных кусочно-непрерывно дифференцируемых траекторий деформирования,
любых деформаций и типов симметрии свойств материала на основе теории
простых упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением математически
строго построены общие определяющие соотношения деформационной теории пластичности.
Рассмотрены два условия, при которых это возможно. Разработаны подходы к
строгой специализации общих определяющих соотношений деформационной теории пластичности
посредством наложения ограничений на деформации, процессы деформирования
и свойства материалов. При этом ограничения на свойства материалов формализуют
полученные в экспериментальных исследованиях данные. Построен ряд как новых, так и
известных определяющих соотношений, расположенных в виде иерархии по уровню сложности
реакции на деформирование. Определена область применимости полученных физических
уравнений. Особое внимание уделено моделированию конечных и бесконечно малых
деформаций изотропных материалов.
Для довільних неперервних кусочно-неперервно диференційованих траєкторій
деформування, будь-яких деформацій і типів симетрії властивостей
матеріалу на основі теорії простих зміцнюваних матеріалів із пружно-пластичною
поведінкою математично строго побудовано загальні визначальні
співвідношення деформаційної теорії пластичності. Розглянуто дві умови, за
яких це можливо. Розроблено підходи до строгої спеціалізації загальних
визначальних співвідношень деформаційної теорії пластичності за допомогою
накладання обмежень на деформації, процеси деформування та властивості
матеріалів. При цьому обмеження на властивості матеріалів формалізують
дані, що отримано в експериментах. Побудовано ряд нових та
відомих визначальних співвідношень, які розміщено у вигляді ієрархії за
рівнем складності реакції на деформування. Визначено область застосування
отриманих фізичних рівнянь. Особливу увагу приділено моделюванню
кінцевих та нескінченно малих деформацій ізотропних матеріалів.
For arbitrary continuous deformation paths
with partly-continuous differentiation, any deformations
and types of material properties’
symmetry types we construct, based on the theory
of simple strain-hardening materials with
elastoplastic behavior, mathematically strict
governing equations of the deformation theory
of plasticity. We developed the approaches for
strict specialization of the general governing
equations of the deformation theory of plasticity
by way of placing restrictions on strains, deformation
processes and material properties.
Here restrictions on material properties are formalized
by data obtained in the experimental
studies. We construct a number of both new,
and already known governing equations,
hierarchically grouped by complexity of deformation
response. We specified the applicability
range of the physical equations obtained. A special
attention is dedicated to simulation of finite
and infinitesimal deformations of isotropic
materials.
|
| first_indexed | 2025-11-24T07:37:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.37
Построение определяющих соотношений деформационной
теории для простых по Ноллу упрочняющихся материалов с
упругопластическим поведением
П. П. Лепихин
Институт проблем прочности им. Г. С. Писаренко НАН Украины, Киев, Украина
Для произвольных непрерывных кусочно-непрерывно дифференцируемых траекторий дефор
мирования, любых деформаций и типов симметрии свойств материала на основе теории
простых упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением математически
строго построены общие определяющие соотношения деформационной теории пластич
ности. Рассмотрены два условия, при которых это возможно. Разработаны подходы к
строгой специализации общих определяющих соотношений деформационной теории плас
тичности посредством наложения ограничений на деформации, процессы деформирования
и свойства материалов. При этом ограничения на свойства материалов формализуют
полученные в экспериментальных исследованиях данные. Построен ряд как новых, так и
известных определяющих соотношений, расположенных в виде иерархии по уровню слож
ности реакции на деформирование. Определена область применимости полученных физи
ческих уравнений. Особое внимание уделено моделированию конечных и бесконечно малых
деформаций изотропных материалов.
Ключевые слова : простой упрочняющийся упругопластический материал,
деформационная теория пластичности, определяющее соотношение, анизо
тропия, конечные и бесконечно малые деформации.
Обеспечение средствами улучшения и уточнения известных, а также
построения новых физически обоснованных моделей, позволяющих с раз
личной точностью не только описывать, но и прогнозировать поведение
наблюдаемых в природе материалов в широком диапазоне изменения усло
вий их деформирования, является важной задачей механики сплошной сре
ды [1]. Значительный прогресс в этой области достигнут в рациональной
механике континуума, где получила развитие теория простых материалов
Нолла (далее - теория простых материалов) [1-4], основанная на физически
обоснованных гипотезах и включающая практически все известные чисто
механические модели сплошных сред: твердых деформируемых тел, жид
костей и жидких кристаллов. Теория простых материалов справедлива для
широкого класса процессов (траекторий, историй), произвольных деформа
ций и типов симметрии свойств тела. Как установлено в [1], для простого
материала справедлив принцип образца. Теория простых материалов, по
мнению авторов [5], - более строгая и завершенная, чем большинство
частных теорий.
В экспериментальной механике основное внимание уделяется изучению
однородных деформаций, а более сложные случаи деформирования обычно
объясняют с их помощью [1]. Это эквивалентно предположению, что всякий
исследуемый в лаборатории материал может быть достаточно хорошо смоде
лирован некоторым простым материалом в смысле математической теории.
Учитывая, что экспериментальные методики исследования неоднородных
деформаций практически не разработаны, и поэтому известно ограниченное
© П. П. ЛЕПИХИН, 2005
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6 35
П. П. Лепихин
число данных для неоднородного деформирования, теория простых матери
алов в настоящее время для физически обоснованной механической теории
представляется максимально сложной.
В рамках теории простых материалов, основываясь на результатах [6
11], построены общие определяющие соотношения упрочняющихся упруго
пластических материалов [12], которые справедливы для произвольных не
прерывных кусочно-непрерывно дифференцируемых траекторий деформи
рования, любых деформаций и типов симметрии свойств материала. Приня
ты следующие определяющие свойства упругопластических материалов:
1) напряжения в материале зависят от пути в тензорном пространстве
деформаций и нечувствительны к изменению временной истории деформи
рования;
2) деформацию тем или иным способом можно разделить на упругую и
пластическую составляющие;
3) справедлив некоторый критерий текучести;
4) выполняется какой-либо закон течения.
Определяющие уравнения теории простых упрочняющихся упругоплас
тических материалов описывают столь обширный диапазон возможных ти
пов поведения последних, что нет возможности провести их детальный
анализ, а также использовать в приложениях, не рассматривая частные
случаи.
В настоящее время в практике расчетов широко применяется деформа
ционная теория пластичности. В связи с этим актуальными являются задачи
установления условий приведения определяющих соотношений [12] к общим
уравнениям деформационной теории, а также разработки метода построения
на основе последних как новых, так и известных (полученных ранее иным
образом) физических уравнений в виде иерархии по уровню сложности
реакции материала на деформирование.
В данной работе для произвольных непрерывных кусочно-непрерывно
дифференцируемых траекторий деформирования, любых деформаций и ти
пов симметрии свойств материала на основе теории простых упрочняю
щихся материалов с упругопластическим поведением [12] математически
строго построены общие определяющие соотношения деформационной тео
рии пластичности. Рассмотрены два условия, при выполнении которых это
возможно. Разработаны подходы к строгой специализации общих опреде
ляющих соотношений деформационной теории пластичности посредством
наложения ограничений на деформации, процессы деформирования и свой
ства материалов. При этом ограничения на свойства материалов формали
зуют полученные в экспериментальных исследованиях данные. Построен
ряд как новых, так и известных определяющих соотношений, располо
женных в виде иерархии по уровню сложности реакции материала на
деформирование. Установлена область применимости полученных физи
ческих уравнений. Особое внимание уделено моделированию конечных и
бесконечно малых деформаций изотропных материалов.
Рассмотрим истории деформирования, начинающиеся из ненапряжен
ного и недеформированного начального состояния. Такое предположение
обычно используется в теории пластичности [13-16]. Как следует из данных
36 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6
Построение определяющих соотношений деформационной теории
[1, 12], принятое здесь начальное состояние включает бесконечное мно
жество отличающихся поворотами отсчетных конфигураций, которые явля
ются частными случаями неискаженных конфигураций, используемых при
определении как твердого, так и изотропного тел.
Для заданного трехмерного векторного пространства V посредством
Lin обозначим бесконечное множество всех линейных преобразований (тен
зоров второго ранга) на V с 1 - тождественным преобразованием. Далее
будем рассматривать такие подмножества Lin:
L in+ - все элементы Lin с положительным определителем;
Sym - все симметричные элементы Lin ;
Rot - все вращения V , т.е. все ортогональные элементы Lin + .
Определим историю как непрерывное кусочно-непрерывно дифферен
цируемое отображение [12]:
F: [0,1]^ L in+ , F = F (г );
во “время” г значение F (г ) истории F интерпретируется как градиент
деформации в фиксированной материальной точке по отношению к фикси
рованной отсчетной конфигурации к о, принадлежащей во всех рассматри
ваемых случаях к ненапряженному и недеформированному состоянию.
Пусть F обозначает бесконечное множество всех историй, G - под
множество F , состоящее из всех историй, начальное значение которых есть
вращение
G :={F е F F (0) е Rot}.
Согласно данным [12], общее определяющее соотношение упрочня
ющегося упругопластического материала можно записать так:
T: G + Sym, T = T (F ). (1)
Значение функционала T (F ) дает напряжение Коши Т в конце истории F.
Следуя [17, 18], можно показать, что приведенная (не зависит от систе
мы отсчета) форма уравнения (1) может быть записана следующим образом:
T R = R (1)т T R (1) = T1(C) = T1((C)R ; C(1)), (2)
где C = F (1)т C F (1) и С - истории изменения правого тензора Коши-Грина
и правого относительного тензора Коши-Грина соответственно; R(1) - орто
гональный тензор поворота в полярном разложении градиента деформации;
F (1) = R(1)U(1); U(1) - правый тензор растяжения; Т ^ С ) - отображение
истории С на симметричные тензоры. Здесь и далее единица в круглых
скобках и верхний индекс “т” при любом тензоре обозначают соответст
венно его значение в конце процесса деформирования и транспонирование.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, N 6 37
П. П. Лепихин
В соотношение (2) С(1) и Я (1) входят в качестве параметров. История
(С )к = Я (1)т С Я (1) определяет предысторию изменения правого тензора
- ~ я
Коши-Грина С = (С ) , т.е. процесс изменения С в диапазоне 0 < г < 1. При
задании тензора С(1) в (2) может независимо изменяться история С.
Уравнение (2) описывает поведение простого упрочняющегося упруго
пластического материала на любых непрерывных кусочно-непрерывно диф
ференцируемых траекториях деформирования, которые могут включать как
активные, так и пассивные участки деформирования.
Как показал анализ, функционал С ) математически строго приво
дится к функции правого тензора Коши-Грина в конце процесса, в част
ности, когда в уравнении (2):
1) предыстория изменения правого тензора Коши-Грина фиксирована,
т.е. задана неизменная форма траектории деформирования тензора С в
изучаемом диапазоне изменения последнего;
2) тензор напряжений не зависит от предыстории изменения правого
тензора Коши-Грина.
Для этих двух случаев определяющее соотношение (2) принимает вид
Т к = Я(1)т ТЯ(1) = g 1(С(1)), (3)
где g 1 - некоторая, в общем случае анизотропная, тензорная функция
тензорного аргумента.
Условия (1) и (2), при которых (3) справедливо, существенно отлича
ются. В условии (1) тензор напряжений зависит от предыстории правого
тензора Коши-Грина, в условии (2) такая зависимость не имеет места.
Приведенные в [14] данные экспериментов, которые обосновывают
применимость деформационной теории для некоторых материалов при слож
ном нагружении, свидетельствуют о приемлемости в ряде случаев условия
(2). Исходя из первого определяющего свойства упругопластического мате
риала, такие случаи являются вырожденными и приближенно применимыми
для ограниченных классов материалов и процессов в некотором диапазоне
изменения условий деформирования.
Уравнение (3) строго справедливо при выполнении того или иного
условия, а также обоих из рассмотренных выше двух условий для простых
упрочняющихся упругопластических материалов [12], у которых активный
процесс начинается с момента нагружения или имеет место начальная
поверхность текучести. При этом, как уже отмечалось, истории могут вклю
чать как активные, так и пассивные участки деформирования.
Для изотропных материалов с учетом данных [1] из (3) получим
т = g 2 (В ), (4)
где g 2 - тензорная функция тензорного аргумента, удовлетворяющая следу
ющему условию:
38 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6
Построение определяющих соотношений деформационной теории
2 (в ) 0 т = g 2 ( 0 В 0 т ) (5)
для всех ортогональных Q и всех симметричных В тензоров.
Здесь и далее В = В (1) = Г(1)Гт (1) = К(1)С(1)Ят (1); В - история изме
нения левого тензора Коши-Грина.
Функция, удовлетворяющая требованию (5), называется изотропной. И
наоборот, если функция g 2 удовлетворяет тождеству (5), то (4) является
определяющим соотношением простого изотропного упрочняющегося
упругопластического материала, отнесенным к неискаженной конфигурации
[1]. В соответствии с данными [1], если используется отсчетная конфигу
рация, не являющаяся неискаженной, то уравнение состояния рассматри
ваемого здесь материала не может иметь вид (4) и в общем случае не
отличается заметной простотой.
С учетом данных [12, 18] для простого изотропного упругопласти
ческого материала в качестве неискаженной отсчетной конфигурации можно
принять конфигурацию к 0.
Далее рассмотрим соотношения (4), (5), анализ которых дан, в част
ности, в [1, 18, 19].
Согласно данным [1], определяющее соотношение (4) в общем случае
может быть представлено так:
Т = р 11 + р 2В + р зв 2, (6)
где р г ( г = 1 ,2 ,3 ) зависят от инвариантов
гт В , гт В 2 , гт В 3. (7)
Как следует из [18], для осесимметричного тензора В уравнение (6)
может быть приведено к виду
Т = р 11 + р 2В, (8)
где р г ( г = 1 ,2 ) зависят от
гт в , гт в 2. (9)
В рамках теории бесконечно малых деформаций в соответствии с
данными [18] при
С = В = 1 + 2 £ (10)
уравнение (6) можно записать следующим образом:
Т = р 11 + р 2£ + Р 3 £ 2, (11)
где £ - тензор бесконечно малых деформаций, а коэффициенты р 1 (г = 1, 2,
3) определяются такими инвариантами:
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6 39
П. П. Лепихин
£ 0 = & £, К £ 2 , & £ 3; ( 12)
знак = обозначает равенство с точностью до бесконечно малых второго
порядка малости.
При этом соотношение (8) можно записать в виде
Т = р 11 + <р2£, (13)
где р I ( I = 1, 2) зависят от
£ о, & £2. (14)
В работах [20, 21] приведены другие формы представления (11), (12).
В связи с физической нелинейностью рассматриваемого материала соот
ношения (11), (13), несмотря на выполнение условия (10), с учетом данных
[20] сохранены тензорно нелинейными.
Разделив тензоры напряжений и деформаций в уравнении (11) на девиа-
торные и шаровые составляющие и приравняв соответствующие составля
ющие в правой и левой части, запишем
8 = р 2е + р з(е 2 - 3 (& е 2) 1| = р 2е + р з(е 2 - 3 12е 1); (15)
т0 = ггТ = 3р 1 + р 2£0 + р з г г£2 = 3Р 1 + Р 2£0 + Р 3 ^ г е 2 + 3 £2) , (16)
где
р 2 = р 2 + 3 р 3 £ 0 ; (17)
1
8 = Т ---- Т0 1 - девиатор напряжений; 12 - второй инвариант девиатора
3 е
1
деформаций; р 2 и р 3 определяются инвариантами (12); тензор 3 Т 01
представляет собой шаровую составляющую тензора напряжений, скаляр
1
3 Т 0 - среднее напряжение.
Уравнения (15), (16) с коэффициентами, зависящими от инвариантов
(12), являются формальными приближениями теории пластичности для бес
конечно малых деформаций. Далее эти уравнения будут специализированы
посредством наложения формализующих известные опытные данные огра
ничений на материал.
Как следует из уравнений (15), (16), девиатор и шаровой тензор напря
жений зависят как от девиаторных, так и от шаровых составляющих тензора
бесконечно малых деформаций.
40 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, N 6
Построение определяющих соотношений деформационной теории
Предположение 1. Примем, что девиатор напряжений не зависит от
средних деформаций, а среднее напряжение - от девиатора деформаций.
Как отмечалось в [5], для малых средних деформаций материалов с
упругопластическим поведением такое предположение экспериментально
подтверждено в широком диапазоне изменения средних напряжений.
Тогда физическое уравнение (15) можно преобразовать следующим
образом:
8 = р 2е + р 3(е 2 - 3 72е ^ (18)
где р 2 и р з определяются такими инвариантами:
гг е 2 , гг е 3 , (19)
а уравнение (16) принимает вид
~ ~ Р 3 2
т о = 3 р 1 + р 2£ 0 + ~3 ~ е 0 , (20)
где р г ( I = 1 ,2 ,3 ) зависят только от е 0.
С целью дальнейшего упрощения определяющих соотношений примем
еще такое предположение.
Предположение 2. Отмеченной в [22] особенностью тензорного про
странства, связанной с произведением тензоров при построении опреде
ляющих соотношений, можно пренебречь.
Тогда уравнение (11) аналогично, как это сделано при построении
зависимостей (18), (20), можно представить так:
8 = р 2е, (21)
Т0 = 3р'1' + р'2е 0 , (22)
где р 2 зависит от
гг е 2 , (23)
р 7 ( г = 1,2) - от е 0-
Как следует из (13), (14), в случае независимости девиатора напряжений
от е 0 уравнение (21) с определяемым инвариантом (23) коэффициентом
справедливо и тогда, когда напряжения в упругопластическом материале
зависят от особенностей тензорного пространства, связанных с произведе
нием тензоров, однако тензор е имеет одну пару равных главных значений.
Соотношение (21) с коэффициентом, зависящим от инварианта (23),
может быть представлено в евклидовом пространстве, в частности в вектор
ном пространстве Ильюшина [22, 23]. Для ряда материалов возможность
подобной замены обоснована экспериментально [23-26]. Из приведенной
методики построения зависимости (21) можно сделать вывод, что для различ
ных фиксированных предысторий деформирования она в общем случае
разная.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6 41
П. П. Лепихин
Предположение 3. Будем считать справедливой гипотезу Людвика о
существовании диаграммы деформирования (интенсивность напряжений -
интенсивность деформаций), независящей от типа напряженного состояния -
гипотеза “единой кривой”.
Для ряда материалов возможность принятия такой гипотезы подтверж
дается результатами опытов [13, 14, 26, 27]. Данное предположение не
упрощает определяющие соотношения, но существенно облегчает конкрети
зацию уравнений из экспериментов.
Отметим, что для пропорционального деформирования упругопласти
ческих материалов, а также для произвольных процессов деформирования
упругопластических материалов с независящим от предыстории деформи
рования поведением принятие предположений 1 и 2 эквивалентно спра
ведливости гипотезы Людвика. Для общего случая упругопластических ма
териалов и отличающихся от пропорциональных процессов деформирова
ния это не так.
При выполнении условия (10), как следует, например, из [28], с точ
ностью до бесконечно малых второго порядка малости полные деформации
е можно представить так:
е = е е + е р , (24)
где е и е р - тензоры бесконечно малых упругих и пластических дефор
маций соответственно.
В (24) и далее в выражениях для бесконечно малых деформаций (далее -
деформаций) знак “= ” заменен “=”, верхние индексы е и р при соответ
ствующем объекте обозначают упругие и пластические составляющие.
Применив в уравнении (24) разложение тензоров на девиаторные и
шаровые составляющие и приравняв последние в правой и левой части,
получим
е = е е + е р ; (25)
е о = е 0 + е р , (26)
1 1
где е = е — з е о 1 - девиатор тензора деформации; тензор 3 е 01 представляет
1
собой шаровую составляющую тензора деформации, скаляр 3 е р - среднюю
деформацию.
Как отмечалось в [27], в общем случае при деформировании реальных
материалов с упругопластическим поведением имеем
е о * 0; (27)
е Р * 0. (28)
42 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6
Для несжимаемого упругопластического материала запишем
Построение определяющих соотношений деформационной теории ...
£ 0 _ ь Р - 0. (29)
Предположение 4. Примем, что упругопластический материал несжи
маем в разгруженном состоянии (пластически несжимаем). Такое предполо
жение экспериментально обосновано для целого ряда материалов [13-15,
27]. Тогда
£Р _ 0 (30)
и, как следует из соотношения (26),
ь 0 _ £0. (31)
При этом
£ Р _ е Р . (32)
Предположение 5. Упругая составляющая тензора полных деформаций
связана с тензором напряжений законом Гука.
Для упругопластических материалов при малых деформациях такое
предположение не противоречит результатам экспериментов [13-15, 27].
Проведенный в [1] теоретический анализ определяющих соотношений прос
того упругого материала показал, что напряжения хорошо аппроксимиру
ются законом Гука при достаточно малых деформациях.
При этом
8 _ 2<е е; (33)
Т0 _ 3Кь 0 , (34)
где < и К - зависящие от пластической деформации модули сдвига и
объемного сжатия соответственно.
При записи (33) и (34) полагали, что в процессе деформирования
упругопластических материалов сохраняется изотропия упругих свойств с
изменением последних при активном деформировании. Зависимость упру
гих свойств ряда материалов с упругопластическим поведением от пласти
ческой деформации обнаружена экспериментально [29, 30]. Систематичес
кие исследования такой зависимости в настоящее время отсутствуют [24].
Предположение 6 . Зависимостью упругих свойств от пластической
деформации можно пренебречь.
Экспериментальные данные не противоречат этому предположению для
широкого класса упругопластических материалов [13-15, 27].
Тогда из (33), (34) получим
8 _ 2<е е, (35)
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6 43
П. П. Лепихин
То _ 3К£ о , (36)
где О и К - независящие от пластической деформации модули сдвига и
объемного сжатия.
В случае принятия упругопластического материала несжимаемым в
разгруженном состоянии (пластически несжимаемым), когда справедливо
соотношение (31), из уравнения (36) следует
То = 3Ке о = 3Кв о. (37)
С принятием тех же предположений и подхода к построению опре
деляющих соотношений приведенные выше уравнения могут быть полу
чены из (3) для частных фиксированных процессов деформирования (про
порционального и монотонного активного деформирования [18, 2о, 31]), а
также деформирования по произвольным активным непрерывным кусочно
непрерывно дифференцируемым траекториям изотропных упругопластичес
ких материалов с независящим от пути активного деформирования поведе
нием [32].
Ограничения на свойства упругопластического материала, величину
деформации и процессы его деформирования, принятые при специализации
уравнения (3), строго определяют область применимости полученных зави
симостей. Использованные ограничения на свойства континуума не противо
речат известным экспериментальным данным. Следовательно, полученные
соотношения деформационного типа с учетом физической обоснованности
общих определяющих зависимостей теории простых упрочняющихся упруго
пластических материалов [1] являются физически обоснованными.
Отметим, что уравнения деформационной теории пластичности могут
быть построены для пропорциональных процессов нагружения [17, 33],
материалов с затухающей памятью формы траектории [34, 35], твердых тел
Ривлина-Эриксена сложности о [1, 36-38].
При условии справедливости принятых предположений зависимость
(21) с определяемым инвариантом (23) коэффициентом, а также соотно
шения (25), (3о)-(32), (35), (37) представляют собой уравнения деформаци
онной теории Генки-Надаи-Ильюшина (теория малых упругопластических
деформаций) [13, 14, 16, 23, 39, 4о] и описывают поведение простого
упругопластического материала, подчиняющегося этим предположениям. В
[32] показано, что в случае отсутствия упрочнения уравнения теории малых
упругопластических деформаций приводятся к соотношениям деформаци
онной теории Генки [41].
Как следует из приведенных в [13, 14, 26, 27] результатов экспери
ментов, соотношения теории Генки-Надаи-Ильюшина приближенно выпол
няются для ряда материалов, в частности для мягких сталей, алюминия,
алюминиевого сплава, меди, никеля, латуни при простых и близких к ним
процессах нагружения и деформирования. Для отличающихся траекторий и
ряда других материалов теория малых упругопластических деформаций
может приводить к существенным погрешностям при моделировании. Эти
погрешности связаны с неучетом конечности деформаций, анизотропией
44 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2005, № 6
Построение определяющих соотношений деформационной теории
материала и принятыми выше шестью упрощающими предположениями.
Чем больше величина деформаций, анизотропия и отклонение поведения
материала с упругопластическим поведением от рассмотренных предполо
жений, тем меньше точность уравнений теории малых упругопластических
деформаций.
В приложениях особую важность представляет вопрос о конкретизации
определяющих соотношений по данным испытаний того или иного матери
ала. Рациональная механика континуума позволяет строго обосновать необхо
димое и достаточное число опытов для конкретизации физических уравне
ний. Предположения, принятые при получении того или иного определя
ющего соотношения, строго задают и необходимые для его конкретизации
опыты.
Покажем это на примере полученных уравнений деформационной тео
рии пластичности. Ограничимся изотропными материалами. Причем рас
смотрим только упругопластические материалы с зависящим от формы
траектории поведением, простым частным случаем которых являются упруго
пластические материалы с независящим от формы траектории поведением.
Прежде чем перейти к обоснованию необходимых для конкретизации
опытов, отметим, что далее в экспериментах должны использоваться упруго
пластические материалы, которые проявляют при деформировании изотро
пию механических свойств. Образец для проведения испытаний может быть
произвольно ориентирован по отношению к телу, механические свойства
которого изучаются.
Для общего случая деформирования изотропного упругопластического
материала справедливо определяющее соотношение (6) с определяемыми
инвариантами (7) коэффициентами. Для его конкретизации необходимо экспе
риментально определить три функции р ; ( I = 1 ,2,3) для каждой фиксиро
ванной траектории деформирования в требуемом диапазоне изменения лево
го тензора Коши-Грина. Выполнив это для бесконечного множества траекто
рий, получим полную конкретизацию соотношения (6). При деформиро
вании по траекториям, для которых левый тензор Коши-Грина имеет одну
пару равных главных значений, достаточно для конкретизации уравнения (8)
определить две функции р 1 ( I = 1 ,2 ) от двух инвариантов (9) для всего
множества таких траекторий.
В рамках теории бесконечно малых деформаций в общем случае дефор
мирования упругопластического материала для конкретизации определяю
щего соотношения (11) или эквивалентных ему уравнений (15), (16) необхо
димо экспериментально определить три функции р 1 ( I = 1 ,2 ,3) от инва
риантов (12), при наличии у тензора бесконечно малых деформаций одной
пары равных главных значений - две функции р 1 ( I = 1, 2) от инвариантов
(14). Для малых деформаций такая конкретизация будет приближенной. Чем
меньше величина деформации, тем точнее конкретизация.
Для физического уравнения (18) с определяемыми инвариантами (19) и
соотношения (20) с зависящими от £ о коэффициентами в рамках теории
бесконечно малых деформаций строгим является определение в эксперимен
тах отмеченных в (18), (20) функций раздельно для девиаторных и шаровых
составляющих. При этом влиянием шаровых компонент на девиаторные и,
наоборот, девиаторных на шаровые можно пренебречь.
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2005, № 6 45
П. П. Лепихин
В случае справедливости предположения 2 достаточно ограничиться
при конкретизации соотношения (21) для девиатора напряжений экспери
ментами для разных траекторий в векторном пространстве. При конкре
тизации уравнения (22) определяется зависимость ф і ( i = 1 ,2 ) от є 0.
Приняв гипотезу единой кривой, достаточно при конкретизации урав
нения (21) определить зависимость коэффициента ф 2 от инварианта (23)
при самых простых испытаниях, например на растяжение. Конкретизация
уравнения (22) осуществляется так же, как и в предыдущем случае.
Для пластически несжимаемых материалов при конкретизации соотно
шения (22) для определения є о достаточно использовать (31).
При условии справедливости предположения 5 необходимо определить
зависящие от пластической деформации модули сдвига (33) и объемного
сжатия (34).
В случае независимости упругих свойств материала от пластической
деформации законы (35), (36) могут строго быть конкретизированы при
любом значении пластической деформации, в том числе и нулевом. При
этом для пластически несжимаемых материалов справедливо соотношение
(37).
Вопросы конкретизации определяющих соотношений деформационно
го типа для частного случая процессов пропорционального деформирования
обсуждались ранее [20].
Р е з ю м е
Для довільних неперервних кусочно-неперервно диференційованих траєк
торій деформування, будь-яких деформацій і типів симетрії властивостей
матеріалу на основі теорії простих зміцнюваних матеріалів із пружно-плас
тичною поведінкою математично строго побудовано загальні визначальні
співвідношення деформаційної теорії пластичності. Розглянуто дві умови, за
яких це можливо. Розроблено підходи до строгої спеціалізації загальних
визначальних співвідношень деформаційної теорії пластичності за допомо
гою накладання обмежень на деформації, процеси деформування та власти
вості матеріалів. При цьому обмеження на властивості матеріалів форма
лізують дані, що отримано в експериментах. Побудовано ряд нових та
відомих визначальних співвідношень, які розміщено у вигляді ієрархії за
рівнем складності реакції на деформування. Визначено область застосуван
ня отриманих фізичних рівнянь. Особливу увагу приділено моделюванню
кінцевих та нескінченно малих деформацій ізотропних матеріалів.
1. Truesdell C. A First Course in Rational Continuum Mechanics. - Baltimore:
The Johns Hopkins University, 1972.
2. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.
- М.: Мир, 1976. - 464 с.
3. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous
media // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1958. - 2. - P. 197 - 226.
46 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 6
Построение определяющих соотношений деформационной теории
4. Noll W. A new mathematical theory of simple materials // Ibid. - 1972. - 48.
- P. 1 - 50.
5. Поздеев А. А., Трусов П. В., Няшин Ю. И. Большие упругопластические
деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 231
с.
6. Pipkin A. C. and Rivlin R. S. Mechanics of rate-independent materials // Z.
Ang. Math. Physik. - 1965. - 16, No. 3. - S. 313 - 326.
7. Owen D. R. Thermodynamics of materials with elastic range // Arch. Rat.
Mech. Anal. - 1968. - 31. - P. 91 - 112.
8. Owen D. R. A mechanical theory of materials with elastic range // Ibid. -
1970. - 37. - P. 85 - 110.
9. Silhavy M. On transformation laws for plastic deformation of materials with
elastic range // Ibid. - 1977. - 63. - P. 169 - 182.
10. Lucchesi M. and Podio-Guidugli P. Materials with elastic range: A theory
with a view tovard applications. Pt. 1 // Ibid. - 1988. - 102. - P. 23 - 43.
11. Lucchesi M. and Podio-Guidugli P. Materials with elastic range: A theory
with a view tovard applications. Pt. 2 // Ibid. - 1990. - 110. - P. 9 - 42.
12. Lucchesi M., Owen D. R., and Podio-Guidugli P. Materials with elastic
range: A theory with a view tovard applications. Pt. 3 // Ibid. - 1992. - 117.
- P. 53 - 96.
13. Олъшак В., Мруз 3., Пежина П. Современное состояние теории плас
тичности. - М.: Мир, 1964. - 243 с.
14. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности. - М.: Машинострое
ние, 1975. - 400 с.
15. Hill R. The mathematical theory of plasticity. - Oxford: Clarendon Press,
1950.
16. Freudental A. M. and Geiringer H. The Mathematical Theories of the
Inelastic Continuum. - Berlin; Gottingen; Heidelberg: Springer-Verlag, 1958.
17. Лепихин П. П. Моделирование процессов пропорционального нагру
жения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведе
нием. Сообщ. 1. Построение определяющих соотношений // Пробл.
прочности. - 2000. - № 3. - С. 56 - 58.
18. Лепихин П. П. Моделирование пропорционального деформирования
простых по Ноллу континуумов с упругопластическим поведением.
Сообщ. 1. Построение определяющих соотношений // Там же. - 1998. -
№ 5. - С. 59 - 70.
19. Rivlin R. S. and Ericksen J. L. Stress-deformation relations for isotropic
materials // J. Rat. Mech. Anal. - 1955. - 4, No. 5. - P. 681 - 702.
20. Лепихин П. П. Моделирование пропорционального деформирования
простых по Ноллу континуумов с упругопластическим поведением.
Сообщ. 2. Анализ определяющих соотношений и сопоставление их с
экспериментами // Пробл. прочности. - 1998. - № 6. - С. 43 - 55.
21. Новожилов В. В. Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 6 47
П. П. Лепихин
22. Новожилов В. В. О формах связи между напряжениями и деформа
циями в первоначально изотропных неупругих телах (геометрическая
сторона вопроса) // Прикл. математика и механика. - 1963. - 27, вып. 5.
- С. 794 - 812.
23. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. -
М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.
24. Шевченко Ю. H., Бабешко М. E., Терехов Р. Г. Термовязкоупруго
пластические процессы сложного деформирования элементов конст
рукций. - Киев: Наук. думка, 1992. - 328 с.
25. Ленский В. С. Экспериментальная проверка основных постулатов общей
теории упругопластических деформаций // Вопр. теории пластичности.
- М.: Изд-во АН СССР, 1961. - С. 58 - 82.
26. Ohashy F.Effects of complicated deformation history on inelastic deformation
behavior of metals // Mem. Fac. Eng. - 1982. - 34, No. 1. - P. 1 - 76.
27. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. - М.:
Мир, 1979. - 302 с.
28. Casey J. Approximate kinematical relation in plasticity // Int. J. Solids
Struct. - 1985. - 21, No. 7. - P. 671 - 682.
29. Жуков А. М. Некоторые особенности поведения металлов при упруго
пластическом деформировании // Вопр. теории пластичности. - М.:
Изд-во АН СССР, 1961. - С. 30 - 57.
30. Шишмарев О. А., Кузьмин E. Я. О зависимости упругих постоянных
металла от пластической деформации // Изв. АН СССР. Механика и
машиностроение. - 1961. - № 3. - С. 167 - 169.
31. Лепихин П. П. Моделирование процессов монотонного деформирования
простых материалов с упругопластическим поведением // Пробл. проч
ности. - 1999. - № 6. - С. 35 - 41.
32. Лепихин П. П. Моделирование процессов активного деформирования
простых по Ноллу упругопластических материалов с независящим от
пути поведением // Там же. - 2001. - № 2. - С. 52 - 64.
33. Лепихин П. П. Моделирование процессов пропорционального нагру
жения простых по Ноллу материалов с упругопластическим поведе
нием. Сообщ. 2. Сопоставление теории с экспериментами // Там же. -
2000. - № 4. - С. 45 - 53.
34. Лепихин П. П. Моделирование затухающей памяти формы траектории
в теории простых материалов с упругопластическим поведением.
Сообщ. 1. Конечные деформации // Там же. - 2004. - № 5. - С. 63 - 76.
35. Лепихин П. П. Моделирование затухающей памяти формы траектории
в теории простых материалов с упругопластическим поведением.
Сообщ. 2. Бесконечно малые деформации // Там же. - 2004. - № 6. -
С. 87 - 98.
36. Лепихин П. П. Структура определяющих соотношений вязкоупруго
вязкопластического состояния материалов: Автореф. дис. ... д-ра физ.-
мат. наук. - Киев, 1997. - 32 с.
48 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, N 6
Построение определяющих соотношений деформационной теории
37. Лепихин П. П. Теоретическое построение определяющих соотношений
простых начально изотропных неупругих твердых материалов. Конеч
ные деформации / НАН Украины. Ин-т пробл. прочности. - Препр. -
Киев, 1993. - 37 с.
38. Лепихин П. П. Теоретическое построение определяющих соотношений
простых начально изотропных неупругих твердых материалов. Беско
нечно малые деформации / НАН Украины. Ин-т пробл. прочности. -
Препр. - Киев, 1994. - 32 с.
39. Ковальчук Б. И., Лебедев А. А., Уманский С. Э. Механика неупругого
деформирования материалов и элементов конструкций. - Киев: Наук.
думка, 1987. - 280 с.
40. Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. 1. Упруго-пластические деформации. -
М.; Л.: ОГИЗ; Изд-во техн.-теорет. лит., 1948. - 372 с.
41. Hencky H. Zur Theorie plastisher Deformationen und der hierduch im
Material hervorgerufenen Nachspannungen // ZAMM. - 1924. - 4. - S. 323
- 334.
Поступила 17. 01. 2005
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2005, № 6 49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47830 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T07:37:45Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лепихин, П.П. 2013-08-02T16:39:40Z 2013-08-02T16:39:40Z 2005 Построение определяющих соотношений деформационной теории для простых по Ноллу упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением / П.П. Лепихин // Проблемы прочности. — 2005. — № 6. — С. 35-49. — Бібліогр.: 41 назв. — рос.. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47830 539.37 Для произвольных непрерывных кусочно-непрерывно дифференцируемых траекторий деформирования, любых деформаций и типов симметрии свойств материала на основе теории простых упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением математически строго построены общие определяющие соотношения деформационной теории пластичности. Рассмотрены два условия, при которых это возможно. Разработаны подходы к строгой специализации общих определяющих соотношений деформационной теории пластичности посредством наложения ограничений на деформации, процессы деформирования и свойства материалов. При этом ограничения на свойства материалов формализуют полученные в экспериментальных исследованиях данные. Построен ряд как новых, так и известных определяющих соотношений, расположенных в виде иерархии по уровню сложности реакции на деформирование. Определена область применимости полученных физических уравнений. Особое внимание уделено моделированию конечных и бесконечно малых деформаций изотропных материалов. Для довільних неперервних кусочно-неперервно диференційованих траєкторій деформування, будь-яких деформацій і типів симетрії властивостей матеріалу на основі теорії простих зміцнюваних матеріалів із пружно-пластичною поведінкою математично строго побудовано загальні визначальні співвідношення деформаційної теорії пластичності. Розглянуто дві умови, за яких це можливо. Розроблено підходи до строгої спеціалізації загальних визначальних співвідношень деформаційної теорії пластичності за допомогою накладання обмежень на деформації, процеси деформування та властивості матеріалів. При цьому обмеження на властивості матеріалів формалізують дані, що отримано в експериментах. Побудовано ряд нових та відомих визначальних співвідношень, які розміщено у вигляді ієрархії за рівнем складності реакції на деформування. Визначено область застосування отриманих фізичних рівнянь. Особливу увагу приділено моделюванню кінцевих та нескінченно малих деформацій ізотропних матеріалів. For arbitrary continuous deformation paths with partly-continuous differentiation, any deformations and types of material properties’ symmetry types we construct, based on the theory of simple strain-hardening materials with elastoplastic behavior, mathematically strict governing equations of the deformation theory of plasticity. We developed the approaches for strict specialization of the general governing equations of the deformation theory of plasticity by way of placing restrictions on strains, deformation processes and material properties. Here restrictions on material properties are formalized by data obtained in the experimental studies. We construct a number of both new, and already known governing equations, hierarchically grouped by complexity of deformation response. We specified the applicability range of the physical equations obtained. A special attention is dedicated to simulation of finite and infinitesimal deformations of isotropic materials. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Построение определяющих соотношений деформационной теории для простых по Ноллу упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением Construction of governing equations of the deformation theory for simple by noll strain-hardening materials with elastoplastic behavior Article published earlier |
| spellingShingle | Построение определяющих соотношений деформационной теории для простых по Ноллу упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением Лепихин, П.П. Научно-технический раздел |
| title | Построение определяющих соотношений деформационной теории для простых по Ноллу упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением |
| title_alt | Construction of governing equations of the deformation theory for simple by noll strain-hardening materials with elastoplastic behavior |
| title_full | Построение определяющих соотношений деформационной теории для простых по Ноллу упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением |
| title_fullStr | Построение определяющих соотношений деформационной теории для простых по Ноллу упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением |
| title_full_unstemmed | Построение определяющих соотношений деформационной теории для простых по Ноллу упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением |
| title_short | Построение определяющих соотношений деформационной теории для простых по Ноллу упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением |
| title_sort | построение определяющих соотношений деформационной теории для простых по ноллу упрочняющихся материалов с упругопластическим поведением |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47830 |
| work_keys_str_mv | AT lepihinpp postroenieopredelâûŝihsootnošeniideformacionnoiteoriidlâprostyhponolluupročnâûŝihsâmaterialovsuprugoplastičeskimpovedeniem AT lepihinpp constructionofgoverningequationsofthedeformationtheoryforsimplebynollstrainhardeningmaterialswithelastoplasticbehavior |