Применение моментной схемы метода конечных элементов для решения задач инкрементальной теории упругости с начальными напряжениями
Рассмотрено применение метода конечных элементов к решению задач теории упругости с начальными напряжениями. На основе инкрементальной теории деформируемого твердого тела получены соотношения метода конечных элементов для вычисления коэффициентов матрицы жесткости предварительно напряженного п...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2006
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47847 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Применение моментной схемы метода конечных элементов для решения задач инкрементальной теории упругости с начальными напряжениями / Б.М. Дохняк, В В. Киричевский, М.И. Ищенко // Проблемы прочности. — 2006. — № 3. — С. 131-143. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859595497093726208 |
|---|---|
| author | Дохняк, Б.М. Киричевский, В.В. Ищенко, М.И. |
| author_facet | Дохняк, Б.М. Киричевский, В.В. Ищенко, М.И. |
| citation_txt | Применение моментной схемы метода конечных элементов для решения задач инкрементальной теории упругости с начальными напряжениями / Б.М. Дохняк, В В. Киричевский, М.И. Ищенко // Проблемы прочности. — 2006. — № 3. — С. 131-143. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Рассмотрено применение метода конечных элементов к решению задач теории упругости с
начальными напряжениями. На основе инкрементальной теории деформируемого твердого
тела получены соотношения метода конечных элементов для вычисления коэффициентов
матрицы жесткости предварительно напряженного пространственного элемента серен-
дипова семейства с квадратичной аппроксимацией перемещений. Выполнен расчет напряженно-
деформированного состояния внецентренно сжатой балки и круглой плиты в условиях
продольно-поперечного изгиба. Приведено сравнение численных результатов с аналитическими
решениями. Исследовано изменение деформаций сжатия и сдвига цилиндрического
амортизатора в зависимости от степени деформирования и последовательности приложения
нагрузок.
Розглянуто застосування методу скінченних елементів до розв’язання задач
теорії пружності з початковими напруженнями. На основі інкрементальної
теорії деформівного твердого тіла отримано співвідношення методу скінченних
елементів для обчислення коефіцієнтів матриці жорсткості попередньо напруженого елемента серендипова сімейства з квадратичною апроксимацією
переміщень. Виконано розрахунок напружено-деформованого стану
позацентрово стиснутої балки та круглої плити в умовах поздовжньо-
поперечного згину. Наведено порівняння числових результатів з аналітичними
розв’язками. Досліджено зміну деформацій стиску і зсуву циліндричного
амортизатора в залежності від ступеня деформування і послідовності
прикладання навантажень.
We discuss the application of the finite element
method to solving problems of the theory of
elasticity with pre-stresses. Based of the incremental
theory of a deformable solid we obtained
the equations for the FEM analysis of
the stiffness matrix coefficients for a prestressed
spatial element of the Serendip family
with quadratic approximation of displacements.
We performed calculation of the stress-strain
state of a beam subjected to eccentric compression
and of a circular plate under transverse-longitudinal
bending conditions. Numerical results
obtained are compared with the available analytical
solutions. Variations of compressive and
shear strains in a cylindrical shock absorber
with the deformation level and a sequence of
loads’ application are analyzed.
|
| first_indexed | 2025-11-27T19:28:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.1
Применение моментной схемы метода конечных элементов для
решения задач инкрементальной теории упругости с начальными
напряжениями
Б. М. Дохняка, В. В. Киричевский6, М. И. И щ енко3
а Восточно-украинский национальный университет им. В. Даля, Луганск, Украина
6 Запорожский государственный университет, Запорожье, Украина
Рассмотрено применение метода конечных элементов к решению задач теории упругости с
начальными напряжениями. На основе инкрементальной теории деформируемого твердого
тела получены соотношения метода конечных элементов для вычисления коэффициентов
матрицы жесткости предварительно напряженного пространственного элемента серен-
дипова семейства с квадратичной аппроксимацией перемещений. Выполнен расчет напря
женно-деформированного состояния внецентренно сжатой балки и круглой плиты в усло
виях продольно-поперечного изгиба. Приведено сравнение численных результатов с аналити
ческими решениями. Исследовано изменение деформаций сжатия и сдвига цилиндрического
амортизатора в зависимости от степени деформирования и последовательности прило
жения нагрузок.
К лю ч е в ы е с л о в а : метод конечных элементов, матрица жесткости, инкремен
тальная теория.
Существует большой класс конструкций, в которых предварительное
напряжение существенно изменяет их деформативные свойства. К таким
конструкциям относятся резинометаллические шарниры, резинокордные
изделия (баллоны пневматических амортизаторов, резинопневматические
муфты, шины и др). Широко применяемые в технике резиновые элементы,
работающие на сжатие и растяжение, изготовляют обычно в виде цилиндров
или параллелепипедов с привулканизованными к торцам металлическими
пластинками, которые служат для крепления амортизатора. Характер и
последовательность приложения нагрузок влияют на деформативные свой
ства материала и конструкций.
Большинство решенных задач механики деформируемой сплошной сре
ды аналитическими и численными методами базируются на традиционной
теории упругости. Учет предварительного напряжения при решении практи
ческих задач предполагает применение инкрементальной теории и связан со
значительными математическими трудностями. Поэтому существует ограни
ченный класс задач теории упругости, для которых получены аналитические
решения [1-3].
Для широкого класса конструкций учет влияния начальных напряжений
позволяет выявить дополнительные резервы их прочности и жесткости.
Среди работ, посвященных применению метода конечных элементов к
решению практических задач, отметим [4-10]. В то же время следует
заметить, что при многочисленной теоретической базе недостаточно полно
освещены решения практических задач.
© Б. М. ДОХНЯК, В. В. КИРИЧЕВСКИЙ, М. И. ИЩЕНКО, 2006
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3 131
Б. М. Дохняк, В. В. Киричевский, М. И. Ищенко
Цель работы - на базе трехмерной инкрементальной теории деформи
руемого твердого тела реализовать численное решение практических задач с
начальными напряжениями на основе метода конечных элементов.
Краевая задача для конструкции с предварительным напряжением опре
деляется заданием дополнительных массовых сил д 1, дополнительных
внешних сил р 1 на 5 а и перемещений и { на поверхности Б и , где
перемещения отсчитываются от исходного состояния.
Формулировка инкрементальной теории начинается с представления
пути деформирования в виде последовательности равновесных состояний
Т (0), Т (1),..., Т ( \ Т ( + 1 ) ,..., Т ̂ \ г д е Т (0) и Т (^ ) - начальное и конечное
состояния деформирования соответственно; Т (^ ) - произвольное промежу
точное состояние.
В линейной инкрементальной теории достаточно рассмотреть два равно
весных состояния Т (0) и Т (1). Пусть положения произвольной материаль
ной точки тела в состояниях Т (0) и Т (1) обозначим через Р (0) и Р (1)
соответственно, Г (0) и г (1) - радиусы-векторы этих точек. Декартовы
координаты точек Т (0) и Т (1) равны ( I =1,2,3) .
Итак, имеем
Г (°) = 2 -I
г (1) = 2 14 = г (0) + и = ( 2 1 + и 1 ) ч ,
где ( I = 1,2,3) - базисные векторы прямоугольной декартовой системы
координат; и ( I = 1, 2, 3) - вектор перемещений и его компоненты в состоя
нии Т (1).
Обозначим тензоры деформаций Грина в состояниях Т (0) и Т (1) через
е 0- и е — соответственно. Они определяются как
2 £ ? + £ —) = Г,( 1 ) ~ Г,(0) — = (и0 + Щ ) ,- + (и I0 + и — ) ,1 +
+ (и0 + и к ) ,1(и0 + и к ) , ] ,
где и -^ = д и - 1 .
Линеаризуя е — по и к , получаем
£ ij = &kj + «°, j )u k ,i + (&ki + u k,i )u k j ]■ (1)
Для описания напряженного состояния вводится тензор напряжений
Эйлера, действующие в точках P (0) и P (1) напряжения обозначим через
ij ij ij величины о о и o J соответственно, где о 0 - напряжения, действующие на
шести гранях
z t = const, z t + d z t = const (i= 1,2,3) (2)
132 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, N 3
Применение моментной схемы метода конечных элементов
бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, содержащего точку
P (0) в состоянии T (0), и отнесенные к единичной площади в состоянии
T (0). Аналогично о j - напряжения, действующие на шести гранях Z t =
= const, Z { + d Z t = const ( i = 1, 2, 3), бесконечно малого прямоугольного па
раллелепипеда, содержащего точку P (1) в состоянии T (1), и отнесенные к
единичной площади в состоянии T (1).
Введем модифицированный тензор напряжений Кирхгоффа в точке P (1)
через величины о 0 + о 1]. Модифицированный тензор напряжений Кирх
гоффа определяется следующим образом. Бесконечно малый параллелепи
пед, ограниченный шестью поверхностями (2), зафиксирован в состоянии
T (0). Действующий на этот прямоугольный параллелепипед тензор напря
жений Эйлера обозначим через о 0. В состоянии T (1) прямоугольный парал
лелепипед деформируется в бесконечно малый параллелепипед, но уже не
прямоугольный.
Инкрементальная теория формулируется с помощью модифицирован
ного подхода Лагранжа, в котором используются модифицированные тен
зоры напряжений Эйлера и модифицированные тензоры деформаций Грина.
Отметим, что напряжения и внешние силы на S u отнесены к единичной
площади, а массовые силы - к единичному объему состояния T (0). Тогда
принцип виртуальной работы в состоянии T (1) запишем в виде [2]
f f f [(о 0 + oi/ )dej - ( q i + q i )d u i ]dV - f f ( + P i )d u id S = 0, (3)
V So ( )
где иI = и 1 на Б и; описываются уравнением (2), вариации опреде
ляются по отношению к и .
Массовые и поверхностные силы на Б а определяются по отношению
к единичному объему и единичной площади в состоянии Т (1), т.е. =
= d Z xd Z 2 и йБ представляют собой соответственно элементарные объем
и площадь поверхности в состоянии Т (1). Пренебрегая членами высшего
порядка малости по приращениям перемещений, после преобразований
получаем
f f f о j de ij + - о 0' д ij 2 0
і \
du k du k
\ dZ i dZ j )
- 4i d u i + о 0de ij - 4 i d u i d V -
f f (P i + P i ) d u i d S = 0- (4)S
Если Т - равновесное состояние, то в уравнении (4) члены вариации
упругой энергии с учетом начального напряжения будут
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, N2 3 133
Б. М. Дохняк, В. В. Киричевский, М. И. Ищенко
5 5 5 [о о д е и — д ? Ь и 1] — 5 5 р ° д и ^ Б = ° (5)
и уравнение равновесия принимает вид
5 5 5
ди к ди к
\ д 2 1 д 2 ] )
Ч1д и 1 d V — 5 5 Р 1ди[йБ = 0. (6)
Для исследования напряженно-деформированного состояния простран
ственных конструкций из эластомеров рассмотрим изопараметрический ко
нечный элемент (КЭ) серендипова семейства в виде шестигранного паралле
лепипеда с длиной ребер, равной двум. Начало базисной системы координат
Z i и произвольной местной системы х 1, оси которой совпадают с направле
нием его ребер, помещаем в центре куба.
Рассмотрим вывод матриц жесткости предварительно напряженного
конечного элемента. Под предварительными напряжениями понимаем те
напряжения, которые возникли в конструкции в исходном состоянии, т.е.
перед началом интересующей нас деформации, до приложения рабочей
нагрузки. В задаче с предварительными напряжениями выберем исходное
состояние в качестве отсчетного. Перемещение по объему КЭ серендипова
семейства аппроксимируем в виде квадратичного полинома:
1тп
и к = 2 ш (Г ) р (р ^
рдг
(1тп I т п
2 = 2 2 2
\рдг р=° д=° г=° )
(7)
где ш к - коэффициенты разложения; р (рдг) - набор степенных функций
вида
■ 1)р (х 2 )д (х3 ) г
р (рдг) = (х Ч р Ю ! (X I I
р! р! г ! (8)
( р = 0,1,. . . , I; д = 0,1,. . . , т; г = 0,1,. . . , п );
Д000) . (10°) 1 .(200) / К 2 . _(°1°) 2 , _(11°) 1 2и к = ш Г + шк X 1 + 2 шк '(х у + ш к X* + шк х 1х * +
+ 1 ш к210)( х у х 2 + 1 ш к020)( х 2 )2 + 1 ш Г > х V 2 ) 2 + ш Г х 3 + ш Г х ' х 3 +
1 (201Ь К 2 3 , (°11) 2 3 . (111) 1 2 3 , 1 (211Ь К2 2 3 ,+ ^ ш к (х ) х + ш к х х + ш к х х х + 2 ш к (х ) х х +
+ 2 ш Г ’< х 2) 2 х 3 + 1 ш Г " х 1( х 2 )2 х 3 + 1 ш Г ' ( х 3 )2 +
Л
134 1ЛЛМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
Применение моментной схемы метода конечных элементов
+ 2 о Г ' х V 3 )2 + 2 <■> Г ’х 2(х 3 ) 2 + 1 о Г ' х ' х 2( х 3 )2. (9)
Для координатных функций ф (рдг) справедливо соотношение диффе
ренцирования:
д (а+Р+у)ф (рдг) _ ф (р-а){Я- р)(г- у) ( ^
где а, 0 , у - порядок производных.
Для построения уравнений метода конечных элементов (МКЭ) исполь-
п
зуется уравнение (6). Пусть Ж = (к) - потенциал упругой энергии
к='
деформации.
В соответствии с (6) вариацию д Ж энергии упругой деформации
конечного элемента принимаем в виде
д * = 5 5 5 а 1]д е д + о 0 2 д(и к и кгу ) й У , (11)
V
работа внутренних и внешних сил на упругих деформациях будет равна
дА = 5 5 5 Чі д и ій У ~ 5 5 Р і д и і йБ •
V Б
Компоненты тензора упругих напряжений принимаем в виде закона
Гука:
а ] = 2 ^ У е к1 + Х ® ^ , (12)
где л , Х - коэффициенты Ламе; g 1J - компоненты метрического тензора; ®
- функция изменения объема.
Представим компоненты тензора деформаций в ] в виде ряда Мак-
лорена с разложением в окрестности начала координат:
% м і] N і]
в ] = 1 1 1 ] V ̂ ’• ( із)
з=0 1=0 g=0
Выражение (13) в матричной форме таково:
і]} = {в і]} (і])}• (14)
Компоненты разложения в ] тензора деформации е ] в ряд Маклорена
представим через коэффициенты т ̂кРдг) посредством преобразования:
{ в ] } = ]{ т к }•
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, N 3
(15)
135
Б. М. Дохняк, В. В. Киричевский, М. И. Ищенко
Для учета слабой сжимаемости эластомеров функцию изменения объе
ма запишем также в виде ряда:
/—1 т—1 п—1
0 - 2 2 2 т { ф V { ф ) , (16)
а - 0 /3=0 у-0
где коэффициенты разложения Т ) определяются соотношением
д (а+3+У)и- - г 1'
:(«3У) - __ д_______1 , ' 8
( д х 1) “ (дх 2 )3 (дх 3 )7 (17)
В матричной форме соотношения (16) и (17) имеют вид
0 - { Т } Т ТФ (0)}; (18)
ТТ}- [ ? 0 ]{ю к }. (19)
Подставляя (12) и (14) в вариацию энергии упругой деформации (11),
получаем
д Ж э - / / / (д£ (/ }Т {ф (/) }Т 2Л ё 1кё ' {ф (к/) }{е к/ } ^ ^ +
V
+ / / / ш т (Ф (0 ) } т ^ (Ф (0 )}(^} т + 2 / / / а 0д( ик ,1ик, / ) ̂ ;
V 2 V
д Ж э - / / / (д^ / }Т {ф(I/) }2Л? 1к§ ' {ф (к/) }{е к/ } ̂ +
V
+ / / / т Т тф (0 ) }я%' {ф (0 ) }{Т} т + 1 / Я а 0 [дик ,1ик ,1 + ик ,1 дик, / ] ̂ ;
д Ж э - / / / (де / }Т {ф (I/) }Т 2!л§ 1к§ ' {ф (к/)}{е к/} ̂ +
+ / / / ТдТ}Т ТФ (0 )}Т № ТФ (0 )}(^}Т + / / / а 0ик ,1 дик, =
V V
- {де // }Т [Е 1/к/ ]{е к1} + {дТ}Т [Т(0 ) ]{^} + { д ^ }Т ТФ к ,1 }Т {а 0' }ТФ к, / }{® к } -
- {де,у }Т [Е 1/к/ ] {вк/ } + {дТ}Т [Е(0) ] { £ +
136 Й'ОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
Применение моментной схемы метода конечных элементов
+ {дык} [А]Т {Ц(кг1) }Т {о 0 } {Ц (к,у)} [А] {ык },
где
1
[Е' 1 ]= / / / 2^ Л ' {Ц (у)}Т {Ц (к1) }4 ё Лх 1ёх 2 ёх 3;
- 1 (20)
[е (е ̂ / / / я ^ {ц (© )}Т {ц (© ) }4 § Лх 1ёх 2 Лх 3
-1
С учетом (14) и (18) выражение д Ж э имеет следующий вид:
дЖ э = д{о ,}Т [Б У ]Т [ Е ' ] [ ^ ]{о , } + д{о , }Т [ ^ )]т [Е(0 )]{ « (} +
+ {диу} [А]Т {Ц(у,г)}Т [о00] {Ц(г,у) }[А]{иг}- (21)
Для построения матрицы жесткости необходимо перейти в выражении
(21) от коэффициентов о 8 к значениям перемещений в узлах конечного
элемента, что можно осуществить с помощью матрицы преобразования [А]
функции формы N I . Эта матрица задает связь между аппроксимирующими
функциями Лагранжа и степенными Ц:
{О к }= [А]{«к}, (22)
где [А] - матрица перехода от степенных функций к функциям формы.
С учетом (22) выражение (21) примет вид
д ж э = д К } Т [А]Т [?! ]Т [ЕУ ] [ ^ ][А] {иг} +
+ д К }Т [А]Т [ ^ ) ]Т [Е(0) ] [ ^ ) ][А] {иг} +
+ {ди, }Т [А]Т {Ц у,г }Т [о 0' ] {Ц г у }[А]{и} =
= д{ди,}Т [К * ]{иг} + д{ди,}Т [К0г ]{иг}, (23)
где
[К ,г ]зхз = [[А]Т [Б , ]Т [ Е ' ] ^ ][А]+ [А]т [ ^ )]Т [Е(е ̂ )][А]]6ох6о (24)
- геометрическая матрица жесткости.
Инкрементальная матрица жесткости вычисляется по формуле
[К 0г ]зхз = [[А]Т {Ц м }Т [о 0' ]{Ц г у }[А]]б0 хб0 ( у = 20, г = 20). (25)
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, N 3 137
Б. М. Дохняк, В. В. Киричевский, М. И. Ищенко
Матрица жесткости преднапряженного элемента равна
[Ф ^ ] = [К 51 ]+ [К ].
Таким образом, система линейных алгебраических уравнений имеет
вид
[Ф * ]{ы{ } = {Р?}.
Из выражений (24) и (25) следует, что для построения матриц жест-
7?'
У ■кости [К ? ] и [ К ] необходимо определить две специальные матрицы: [Г? ]
и [А]
Коэффициенты разложения е(Р9г) (15) определим согласно МСКЭ по
формулам [4].
Анализ каждой из компонент е(р9г) показал, что некоторые коэффи
циенты т не входят в разложение для аппроксимации перемещений (9).
Те коэффициенты деформаций е \?<1Г), которые содержат хотя бы один из
членов, отсутствующий в (9), должны быть опущены в разложении (13). Для
о 11 получаем следующее разложение:
£ „ = е (Р + е Г х 1 + е,'?1"1 х 2 + е<11«» х 1х 2 + 2 е ‘Г ( х 2 )2 + е,'«01» X 3 +
, (101) 1 3 , (011) 2 3 , (111) 1 2 3 , 1 (021). 2Л2 3 ,+ е п X X + е п X X + е п X X X + 2 е п (X ) X +
, 1 (002). 3Л2 , 1 (012) 2( 3Л2
+ 2 еи (х ) + 2 еи х (х ) ■ (26)
На основании выражения (26) записывается матрица [ГЦ]. Разложение
тензора о 12 имеет вид
о ~ е (°°°) + е (10°)х 1 + е (01°)х 2 + е (НО) х 1х 2 + е (001) х 3 +£12 ~ е12 + е12 х + е12 х + е12 х х + е12 х +
+ е .Г 'х 1х 3 + е<"П>х 2 х 3 + е ^ х 1х 2 х 3 + 2 е . Т ^ х 3 )2 . (27)
Проводя аналогичные выкладки для остальных компонент тензора де
формации, получаем выражения их разложения в ряд Маклорена и матрицы
[Г22], [Г3к3], [Г1к)], [Г1к3], [Г23 ] соответственно для тензоров £ 22, £ 33, £12,
£13 , £ 23.
Рассмотрим процесс построения матрицы преобразования [А]. Аппрок
симацию компонент перемещений м; по объему КЭ можно представить
через функцию формы N (рдг) и узловые перемещения ) :
138 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
Применение моментной схемы метода конечных элементов
1тп
= 2 и( «'■> N (рдг) ■
рдг
(28)
В матричной форме выражения (6) и (28) имеют такой вид:
~ ={ ы, }Т {N }; (29)
и к = {® к }Т {^Ь (30)
Как видно из (29) и (30), с помощью линейного преобразования можно
перейти от системы функций формы {N } к системе координатных функций
{^}, используя соотношение
{ N } = [А]Т {^}. (31)
Матрица [А] определяется из соотношений (29) и (30).
Предложенная методика расчета конструкций с начальными напряже
ниями МКЭ реализована в вычислительном комплексе «М1РЕЛА+» [11].
Рассмотрим решение некоторых задач.
Задача 1. П родольны й изгиб балки■ Балка расположена на двух опорах и
сжимается (растягивается) силами Р, приложенными с эксцентриситетом
е = 0,2 (рис. 1). Размеры балки следующие: ширина Ь = 0,02 м; высота
И = 0,2 м; длина I = 1 м; модуль упругости Е = 0,2 МПа; коэффициент
Пуассона V = 0,3.
2
и" • 1 0 , м
0 2 4 6 8 10 12 1 4 16 18 2 0 2 2 Р, к Н
Рис. 1. Зависимость прогиба w от продольной нагрузки Р: 1 - сжатие с преднапряжением;
2 - сжатие без учета преднапряжения; 3 - растяжение. (Линии - аналитическое решение;
точки - конечноэлементное решение.)
Аналитическое значение для прогиба при сжатии вычисляется по
формуле [7]
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3 139
Б. М. Дохняк, В. В. Киричевский, М. И. Ищенко
1 - со§(к !) - 8 т (к !)
где
- Г
V Е1 ’
2 - 0,5; I —
Ьк
1 - со§(к г )
8т( к г )
I 2л Р
12 ’ 2 - Л ; I V Е1 ’
Р -
4л 2 Е1
для прогиба при растяжении - по формуле [7]
сИ( к г ) - 1
w — е с Ц к !) - 1 - 8Ъ( к! )-
8И( к г )
Характер продольного изгиба при растяжении и сжатии совершенно
разный. На рис. 1 приведена зависимость прогиба w от продольной
нагрузки Р. Решения получены при условии сходимости численных резуль
татов для сетки разбиения на КЭ 2 Х11Х 21.
Анализ результатов решений показал, что с увеличением нагрузки
сжатия Р для балки с преднапряжением прогиб обращается в бесконеч
ность при нагрузке Р —
4л 2 Е1
При сжатии без учета в матрице жесткости
преднапряжения зависимость прогиба от нагрузки является линейной и не
отражает реальную картину деформирования. Прогиб увеличивается, но не
превышает величину эксцентриситета е. При внецентренном растяжении
предварительное напряжение не оказывает существенного влияния на свой
ства конструкции, и зависимость прогиба от нагрузки носит линейный
характер.
Задача 2. И зги б круглой плит ы в усло ви ях ра диальн ого сж ат ия. Иссле
довали плиту радиусом Я — 0,3 м и толщиной к — 0,01 м. Нагрузка радиаль
ного сжатия р, поперечная нагрузка д — 1 МПа (рис. 2). Упругие постоянные
материала таковы: модуль упругости Е — 1 МПа; коэффициент Пуассона
V — 0,25.
При сжатии прогиб w аналитически определяется из уравнения [2]
16 *
--------- Т - 4 Р
3(1- V2)
где
ц Я
е 1 к р Р \ Я
е 1 к к -
На рис. 2 приведена зависимость относительного прогиба £ от нагруз
ки р. Видно, что с повышением нагрузки р при сжатии плиты с преднапря
жением прогиб увеличивается (кривые 1, 2), при растяжении - уменьшается
(кривая 3).
2I
4 2* *
140 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
Применение моментной схемы метода конечных элементов
О 2,0 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 р, кПа
Рис. 2. Зависимость относительного прогиба £ от продольной нагрузки р. 1 - сжатие,
решение МСКЭ; 2 - сжатие (аналитическое решение); 3 - растяжение; 4 - сжатие, решение
МСКЭ; 5 - растяжение, решение МКЭ.
Анализ результатов расчета прогиба при сжатии и растяжении показал,
что в первом случае удовлетворительное совпадение между численным и
аналитическим решением отмечается при деформации до 40%. При радиаль
ном растяжении наблюдается удовлетворительное совпадение численного и
аналитического решения.
Применение при расчете изгибаемых элементов МСКЭ позволяет полу
чить достоверные результаты (на рис. 2 кривые 1-3) по сравнению с
обычным МКЭ (кривые 4, 5).
Задача 3. Ц илиндрический ам орт изат ор сж ат ия-сдвига. Рассчитываем
напряженно-деформированное состояние цилиндрического амортизатора
(рис. 3) радиусом Я = 0,025 м, высотой И = 0,01 м под действием сжима
ющей Р и сдвигающей Q нагрузок. Упругие характеристики материала
таковы. модуль сдвига ^ = 0,7 МПа; коэффициент Пуассона у = 0,49.
Исследуем, как ведет себя амортизатор при сдвиговой и сжимающей
нагрузках при различных степенях сдвига и сжатия с учетом и без учета
преднапряжения. Численные результаты получены на основе исследования
сходимости и приведены для сетки разбиения на КЭ 9 x 1 5 X 21. На рис. 3
представлены зависимости сдвигового перемещения и от сдвиговой нагруз
ки Q при различных степенях поджатия осевой нагрузкой Р с учетом и без
учета преднапряжения. Как видно, при разных степенях поджатия с учетом
преднапряжения с увеличением сдвигового перемещения и сдвиговая на
грузка Q повышается, без учета преднапряжения она остается постоян
ной.
Проанализируем характер сжимающей нагрузки Р в зависимости от
сдвига и. Рис. 4 иллюстрирует зависимость перемещения сжатия w от
нагрузки Р при различных степенях сдвига и с учетом преднапряжения
сдвига и без него. Видно, что в первом случае с увеличением перемещения
сжатия w нагрузка Р повышается, во втором случае она также увеличи
вается, но остается одинаковой при различных степенях сдвига.
/ЗЗЖ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3 141
Б. М. Дохняк, В. В. Киричевский, М. И. Ищенко
и, м
0,003
0.0025
0,002
0,0015
0,001
0,005
0 100 200 300 400 500 600 Q,Я
Рис. 3. Зависимость сдвигового перемещения и от нагрузки Q при различных степенях
поджатия: 1 - = 0,001; 2 - w|h = 0,0015; 3 - w|h = 0,002. (Сплошные линии - с пред-
напряжением, МСКЭ; штриховые - без учета преднапряжения, МСКЭ и МКЭ; штрих-
пунктирные - с преднапряжением, МКЭ.)
ЧЛ м
0,003
0,0025
0,0020
0,0015
0,001
0,0005
О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Р, кН
Рис. 4. Зависимость осадки амортизатора w от нагрузки Р при различных степенях сдвига:
1 - и/Н = 0,001; 2 - и/Н = 0,0015; 3 - и/Н = 0,002. (Сплошные линии - с преднапряжением,
МСКЭ и МКЭ; штриховая - без учета преднапряжения, МСКЭ и МКЭ.)
При расчете конструкций, которые испытывают сдвиговые напряжения,
необходимо использовать МСКЭ (рис. 2, 3). Если в результате деформирова
ния определяющими являются нормальные напряжения, то решения МСКЭ
и МКЭ совпадают (рис. 1, 4).
Р е з ю м е
Розглянуто застосування методу скінченних елементів до розв’язання задач
теорії пружності з початковими напруженнями. На основі інкрементальної
теорії деформівного твердого тіла отримано співвідношення методу скін
ченних елементів для обчислення коефіцієнтів матриці жорсткості поперед
142 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
Применение моментной схемы метода конечных элементов
ньо напруженого елемента серендипова сімейства з квадратичною апрокси
мацією переміщень. Виконано розрахунок напружено-деформованого стану
позацентрово стиснутої балки та круглої плити в умовах поздовжньо-
поперечного згину. Наведено порівняння числових результатів з аналітич
ними розв’язками. Досліджено зміну деформацій стиску і зсуву циліндрич
ного амортизатора в залежності від ступеня деформування і послідовності
прикладання навантажень.
1. В ольм ир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. - М.: Гос. изд-во науч.
техн.-теорет. лит., 1956. - 420 с.
2. Р абот ное Ю . Н . Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука,
1988. - 712 с.
3. Б ойцов Г. В ., П алий О. М ., П ост ное В. А. и др. Справочник по строи
тельной механике корабля. Т. 2. Пластины. Теория упругости, плас
тичности и ползучести. Численные методы. - Л.: Судостроение, 1982. -
464 с.
4. С ахаров А . С., К и сло о ки й В. Н ., К и р и чевски й В. В. и др. Метод
конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. А. С. Сахарова,
И. Альтенбаха. - Киев: Вища шк., 1982. - 480 с.
5. Д о хн як Б. М . Метод скінченних елементів для задач з початковими
напруженнями // Вісн. Східно-україн. нац. ун-ту ім. В. Даля. - 2004. -
№ 5 (75). - С. 47 - 51.
6. Д о хн як Б. М ., К озуб Ю . Г . Расчет предварительно напряженных конст
рукций из эластомеров. Проблемы шин и резинокордных композитов //
Тр. XIII симп. - М., 2002. - Т. 1. - С. 119 - 122.
7. К иричевский В. В ., Д о хн як Б. М ., К озуб Ю . Г ., К иричевский Р. В. Расчет
конструкций с предварительными напряжениями. Прикладные задачи
математики и механики // Материалы XII науч. конф. ученых Украины,
России, Беларуси (15-21 сент. 2003 г.) - Севастополь: Изд-во СевНТУ,
2003. - 252 с.
8. В асидзу К . Вариационные методы в теории упругости и пластичности.
- М.: Мир, 1987. - 542 с.
9. Х оф м ейст ер Л ., Гринбаум Г ., И венсен Д . Упругопластический расчет
больших деформаций методом конечных элементов // Ракет. техника и
космонавтика. - 1971. - 9, № 7. - 42 с.
10. П оном арев С. Д ., Б идерм ан В. Л ., Л ихарев К. К. и др. Расчеты на
прочность в машиностроении. Т. 2. Некоторые задачи прикладной
теории упругости. Расчеты на ползучесть. - М.: Гос. науч.-техн. изд-во
машиностроительной лит., 1958. - 1118 с.
11. К иричевский В. В ., Д о хн як Б. М ., К озуб Ю . Г. и др. Метод конечных
элементов в вычислительном комплексе “МІРЕЛА+”. - Киев: Наук.
думка, 2005. - 403 с.
Поступила 23. 05. 2005
IS S N 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3 143
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47847 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T19:28:32Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дохняк, Б.М. Киричевский, В.В. Ищенко, М.И. 2013-08-03T10:43:33Z 2013-08-03T10:43:33Z 2006 Применение моментной схемы метода конечных элементов для решения задач инкрементальной теории упругости с начальными напряжениями / Б.М. Дохняк, В В. Киричевский, М.И. Ищенко // Проблемы прочности. — 2006. — № 3. — С. 131-143. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47847 539.1 Рассмотрено применение метода конечных элементов к решению задач теории упругости с начальными напряжениями. На основе инкрементальной теории деформируемого твердого тела получены соотношения метода конечных элементов для вычисления коэффициентов матрицы жесткости предварительно напряженного пространственного элемента серен- дипова семейства с квадратичной аппроксимацией перемещений. Выполнен расчет напряженно- деформированного состояния внецентренно сжатой балки и круглой плиты в условиях продольно-поперечного изгиба. Приведено сравнение численных результатов с аналитическими решениями. Исследовано изменение деформаций сжатия и сдвига цилиндрического амортизатора в зависимости от степени деформирования и последовательности приложения нагрузок. Розглянуто застосування методу скінченних елементів до розв’язання задач теорії пружності з початковими напруженнями. На основі інкрементальної теорії деформівного твердого тіла отримано співвідношення методу скінченних елементів для обчислення коефіцієнтів матриці жорсткості попередньо напруженого елемента серендипова сімейства з квадратичною апроксимацією переміщень. Виконано розрахунок напружено-деформованого стану позацентрово стиснутої балки та круглої плити в умовах поздовжньо- поперечного згину. Наведено порівняння числових результатів з аналітичними розв’язками. Досліджено зміну деформацій стиску і зсуву циліндричного амортизатора в залежності від ступеня деформування і послідовності прикладання навантажень. We discuss the application of the finite element method to solving problems of the theory of elasticity with pre-stresses. Based of the incremental theory of a deformable solid we obtained the equations for the FEM analysis of the stiffness matrix coefficients for a prestressed spatial element of the Serendip family with quadratic approximation of displacements. We performed calculation of the stress-strain state of a beam subjected to eccentric compression and of a circular plate under transverse-longitudinal bending conditions. Numerical results obtained are compared with the available analytical solutions. Variations of compressive and shear strains in a cylindrical shock absorber with the deformation level and a sequence of loads’ application are analyzed. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Применение моментной схемы метода конечных элементов для решения задач инкрементальной теории упругости с начальными напряжениями Application of moment-based finite element scheme to solving problems of the incremental theory of elasticity with pre-stresses Article published earlier |
| spellingShingle | Применение моментной схемы метода конечных элементов для решения задач инкрементальной теории упругости с начальными напряжениями Дохняк, Б.М. Киричевский, В.В. Ищенко, М.И. Научно-технический раздел |
| title | Применение моментной схемы метода конечных элементов для решения задач инкрементальной теории упругости с начальными напряжениями |
| title_alt | Application of moment-based finite element scheme to solving problems of the incremental theory of elasticity with pre-stresses |
| title_full | Применение моментной схемы метода конечных элементов для решения задач инкрементальной теории упругости с начальными напряжениями |
| title_fullStr | Применение моментной схемы метода конечных элементов для решения задач инкрементальной теории упругости с начальными напряжениями |
| title_full_unstemmed | Применение моментной схемы метода конечных элементов для решения задач инкрементальной теории упругости с начальными напряжениями |
| title_short | Применение моментной схемы метода конечных элементов для решения задач инкрементальной теории упругости с начальными напряжениями |
| title_sort | применение моментной схемы метода конечных элементов для решения задач инкрементальной теории упругости с начальными напряжениями |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47847 |
| work_keys_str_mv | AT dohnâkbm primeneniemomentnoishemymetodakonečnyhélementovdlârešeniâzadačinkrementalʹnoiteoriiuprugostisnačalʹnyminaprâženiâmi AT kiričevskiivv primeneniemomentnoishemymetodakonečnyhélementovdlârešeniâzadačinkrementalʹnoiteoriiuprugostisnačalʹnyminaprâženiâmi AT iŝenkomi primeneniemomentnoishemymetodakonečnyhélementovdlârešeniâzadačinkrementalʹnoiteoriiuprugostisnačalʹnyminaprâženiâmi AT dohnâkbm applicationofmomentbasedfiniteelementschemetosolvingproblemsoftheincrementaltheoryofelasticitywithprestresses AT kiričevskiivv applicationofmomentbasedfiniteelementschemetosolvingproblemsoftheincrementaltheoryofelasticitywithprestresses AT iŝenkomi applicationofmomentbasedfiniteelementschemetosolvingproblemsoftheincrementaltheoryofelasticitywithprestresses |