Определение критических нагрузок в задаче трехмерной устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля
Рассмотрена плоская задача устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля, изготовленного из изотропного линейно-упругого материала. Критические параметры определялись с помощью второго варианта трехмерной линеаризированной теории устойчивости, основное состояние - из уравнений линейной...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2006
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47848 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Определение критических нагрузок в задаче трехмерной устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля / В.С. Зеленский // Проблемы прочности. — 2006. — № 3. — С. 123-130. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859615639579131904 |
|---|---|
| author | Зеленский, В.С. |
| author_facet | Зеленский, В.С. |
| citation_txt | Определение критических нагрузок в задаче трехмерной устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля / В.С. Зеленский // Проблемы прочности. — 2006. — № 3. — С. 123-130. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Рассмотрена плоская задача устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля,
изготовленного из изотропного линейно-упругого материала. Критические параметры определялись
с помощью второго варианта трехмерной линеаризированной теории устойчивости,
основное состояние - из уравнений линейной теории упругости. Приближенное
решение задачи устойчивости отыскивалось методом сеток. Исследована зависимость
критических параметров от параметра тонкостенности конструкции и определены погрешности
прикладной теории устойчивости, используемой для расчета рамных конструкций.
Розглянуто плоску задачу стійкості тонкостінного стрижня кутикового профілю
з ізотропного лінійно-пружного матеріалу. Критичні параметри визначалися
за допомогою другого варіанта тривимірної лінеаризованої теорії
стійкості, основний стан - з рівнянь лінійної теорії пружності. Досліджено
залежність критичних параметрів від параметра тонкостінності конструкції і
визначено похибки прикладної теорії стійкості, що використовуєтся для
розрахунку рамних конструкцій.
We analyze the plane problem of stability of a
thin-walled L-beam made of an isotropic linearly-
elastic material. The respective critical parameters
are calculated using the second
variant of the three-dimensional linear stability
theory, and the governing state - using the equations
of the linear theory of elasticity. The approximate
solution of the stability problem is
sought for using the mesh method. We discuss
the dependence of the beam critical parameters
on the wall-thickness parameter of the structure
under study, as well as assess the drawbacks
and errors of the applied theory of stability, conventionally
used for strength calculation of
frame-type structures.
|
| first_indexed | 2025-11-28T19:10:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Определение критических нагрузок в задаче трехмерной
устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля
В. С. Зеленский
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, Украина
Рассмотрена плоская задача устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля,
изготовленного из изотропного линейно-упругого материала. Критические параметры опре
делялись с помощью второго варианта трехмерной линеаризированной теории устойчи
вости, основное состояние - из уравнений линейной теории упругости. Приближенное
решение задачи устойчивости отыскивалось методом сеток. Исследована зависимость
критических параметров от параметра тонкостенности конструкции и определены погреш
ности прикладной теории устойчивости, используемой для расчета рамных конструкций.
К лю ч е в ы е с л о в а : трехмерная устойчивость, критические параметры, расчет
ная область, численные методы.
Введение. В настоящее время вопросы устойчивости тонкостенных
конструкций из традиционных материалов рассматриваются на основе при
кладных классических и уточненных теорий, построенных с привлечением
кинематических и динамических гипотез, что позволяет уменьшить размер
ность исследуемых задач путем сведения трехмерных задач к двухмерным, а
двухмерных к одномерным. Этот подход широко используется в инженер
ной практике при проектировании конструкций различного вида. Однако его
применение не всегда корректно, поскольку как классические, так и уточ
ненные прикладные теории вносят неустранимые погрешности в значения
критических нагрузок, и результаты исследований в этом случае могут не
удовлетворять требованиям инженерной практики. Кроме того, при изуче
нии, например, задач устойчивости толстостенных металлических конструк
ций, устойчивости материалов с начальными напряжениями, а также устой
чивости горных выработок и др. имеет место сугубо трехмерное напряжен
ное состояние [1]. Заметим, что при исследовании устойчивости тонкостен
ных стержней, используемых в строительных конструкциях, отмечается так
же сугубо трехмерное (в плоском случае двухмерное) напряженное состоя
ние, поэтому для определения критических параметров целесообразно
использовать трехмерные уравнения устойчивости. К настоящему времени
достаточно полно исследованы общие вопросы трехмерной линеаризиро
ванной теории устойчивости, основы которой изложены в [1-4].
В работах [5-9] для исследования плоских и пространственных задач
трехмерной устойчивости анизотропных пластин и стержней при неодно
родном докритическом состоянии использован подход, основанный на при
менении трехмерных линеаризированных уравнений устойчивости, решение
которых осуществляется с помощью сеточного подхода. Для этих задач
исходя из концепции базовых схем [10] разработан способ построения в
явной форме дискретных моделей, соответствующих заданным классам
задач устойчивости.
© В. С. ЗЕЛЕНСКИЙ, 2006
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3 123
В. С. Зеленский
В данной работе в рамках второго варианта трехмерной линеаризи
рованной теории устойчивости [3] и физически линейной теории упругости
рассматривается плоская задача устойчивости тонкостенного стержня, име
ющего в профиле форму уголка. Подобные элементы конструкций широко
используются в строительной практике [11]. Результаты исследования устой
чивости таких конструкций на основе трехмерной линеаризированной тео
рии устойчивости могут служить эталоном при построении инженерных
методов расчета, поскольку позволяют оценить точность классических и
уточненных прикладных теорий, а также определить область их примени
мости. Докритическое состояние исследуемой конструкции неоднородное, и
его компоненты определяются из уравнений линейной теории упругости.
Приближенное решение задачи осуществляется с помощью сеточного под
хода. Постановки дискретных задач (разностные и алгебраические) прово
дятся с использованием методики, изложенной в работах [8, 10, 12, 13]. Их
решение получено на основе применения высокоэффективных прямых и
итерационных методов: при определении основного состояния [13, 14] -
метод Холецкого и метод сопряженных градиентов, при определении крити
ческих параметров - метод итерирования подпространства и градиентный
метод [15]. Для сокращения времени решения дискретных задач теории
упругости используется методика комбинированного применения прямого
(метод Холецкого) и итерационного (сопряженных градиентов) методов,
дискретных задачам теории устойчивости - метод итерирования подпро
странства с градиентным методом. Анализ точности результатов, получен
ных для рассматриваемой задачи, проводится по прикладной теории устой
чивости рамных конструкций [11]. По повторяющимся индексам произво
дится суммирование, и все индексы, если не оговаривается противное, изме
няются от единицы до двух.
Постановка дифференциальной задачи. Рассматривается задача устой
чивости тонкостенного стержня достаточной протяженности в направлении
оси О х 3 . Стержень изготовлен из изотропного линейно-упругого материала
и имеет в профиле форму уголка, в котором ширина вертикальной /1 и ши
рина горизонтальной /2 полок равны (/1 = /2 = /) - рис. 1. Торцевые участки
стержня x t = 0 Л / j — h < X j < / j , j = 3 — i жестко защемлены, и на участке
/1 — h < x 1 < /1 Л x 2 = / 2 Л x 3 задана сжимающая нагрузка интенсивно
сти P j = const. Геометрия и условия нагружения обеспечивают в рассматри
ваемой конструкции состояние плоской деформации. Расчетная область
представляет собой контур, состоящий из двух прямоугольных элементов,
образующие которых параллельны осям координат O x 1, O x 2 (рис. 1).
О пределение основного сост ояния. При изложенной постановке для
определения компонентов докритического состояния, обозначенных верх
ним индексом “0”, необходимо в области, занятой конструкцией, найти
решение уравнений линейной теории упругости:
^ ij ,i = 0 ( 1)
при следующих граничных условиях:
124 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 3
Определение критических нагрузок
а
а 2 ,• — 0,
а °. — 0,
и 0 — 0,
/ 1 Н < х 1 < / 1 л х 2 — / 2 ;
0 < х 1 < /1 — Н л (х 2 — / 2 “ Н V X2 — /2);
(0 < X 2 < / 2 л X1 — /1) V (0 < X 2 < / 2 — ^ Лх 1 = /1 — Н);
( /1 — Н < х 1 < /1 л х 2 — 0) V (х 1 — 0 л / 2 — Н < х 2 < / 2 )).
(2)
Составляющие тензора напряжений и компоненты вектора смещений
для линейно-упругого изотропного тела связаны законом Гука:
0 Л ди<к
а И — А к
д х к
Е(1—V)
А —
гг (1 + V )(1 — ) ;
О —
2(1+ v ) '
а 12 — О дх 2
E v
дх
А л — ~
( 1 + V )(1 — 2г ) ’
(3)
В (1)-(3) введены следующие обозначения: х (х 1; х 2) - радиус-вектор
точки; и̂ т - компоненты вектора упругих смещений; а 0 - компоненты
тензора напряжений; А ц , О - коэффициенты упругости и модуль сдвига
изотропного тела; Е , V - модуль Юнга и коэффициент Пуассона; V, л -
знаки логического сложения и умножения.
Рис. 1. Расчетная схем а задачи устойчивости.
ШБИ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3 125
1
В. С. Зеленский
О пределение крит ических парамет ров. Критическая нагрузка и форма
потери устойчивости находятся из решения уравнений в возмущениях [1]:
д
д х {
I
+ ЯР» д“т22 д x j , = 0, (4)x
с граничными условиями:
„ 0 д и т
О 2т + ЯР22 = 0 11 — Н — х 1 — 11 Л х 2 = 12 ;
дх 2
• О 2т = 0 0 — х 1 — 11 — Н Л( х 2 = 12 “ Н У х 2 = 12);
01т = 0, (х 1 = 11 - Н Л 0 — х 2 — /2 - Н) V (х 1 = 11 Л 0 — х 2 — /2 );
и т = 0, (/1 — Н — х 1 — /1 Л х 2 = 0) V (х 1 = 0 Л 12 — Н — х 2 — 12 ).
(5)
Задача устойчивости (4), (5) представляет собой обобщенную, полно
стью определенную задачу на собственные значения. Критические пара
*
метры (Pкр, u ) данной задачи характеризуются собственным решением
* *
(Я , u ) = (Я1, u 1). При этом критическая нагрузка находится по формуле
Pкр =Я* р22 , (6)
*
а собственная векторная функция u определяет форму потери устойчи
вости конструкции (возмущение смещений).
Построение дискретных задач. В области, занимаемой рассматрива
емым телом, по каждому из направлений Ох 1 и Ох 2 вводится неравно
мерная разностная сетка ® = ® + у, содержащая множество т внутренних
узлов и множество у граничных узлов. Граница у, в свою очередь, состоит
из участков у т ., у ^ , на которых по т-й составляющей граничных условий
заданы соответственно разностные аналоги граничных условий в напряже
ниях и перемещениях. Сетка т содержит N узлов, нумерация которых
осуществляется слева-направо и снизу-вверх, и разбивает область, занятую
конструкцией, на М прямоугольных ячеек (рис. 1). Для т-й ячейки опре
делены номера узлов п т (п т = 1, N ). В каждом узле в соответствии с
методикой, описанной в работе [10], строится дискретная аппроксимация
дифференциальных уравнений задач (1)-(3) и (4), (5).
Указанным задачам, описывающим соответственно докритическое состо
яние и устойчивость рассматриваемой конструкции, на сетке т поставим в
соответствие разностные задачи:
А у0 = Ф 0 , х е т ; (7)
126 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
Определение критических нагрузок
Ay = ^ В у , x ё и . (8)
Разностным операторам А и В , действующим в пространстве размер
ности 2 N соответствуют матрицы А = {Ау}, В = {Бу} размерности 2N X 2Ж .
Поэтому задачам (1)-(3) и (4), (5) на сетке т можно поставить в соответ
ствие следующие алгебраические задачи.
Алгебраическая задача, соответствующая докритическому состоянию:
А у0 = Ф 0 , х ё и . (9)
Алгебраическая задача, аппроксимирующая задачу устойчивости:
Ау = ^ В у , х ё и . (10)
Чтобы подчеркнуть эквивалентность задач (7), (8) и (9), (10), сохранены
одни и те же обозначения как для матриц, так и для операторов. Отметим,
что разностные задачи (7), (8) - самосопряженные и положительно-опре-
% %
деленные (А = А > 0, В = В < 0), а матрицы А и В задач (9), (10) -
симметричные и положительно-определенные. Для решения задач (7), (8) и
(9), (10) применялись эффективные итерационные и прямые методы. Исполь
зование прямых методов, как показала практика, наиболее целесообразно
при проведении расчетов на “грубых” разностных сетках. В рассматрива
емом случае алгебраическая задача (9) решалась прямым методом Холецкого
[13], а алгебраическая задача устойчивости (10) - методом итерирования
подпространства [15]. Затем разностная сетка сгущалась, и для решения
задач (7), (8) на этой сетке применялись итерационные методы - метод
сопряженных градиентов [14] и градиентный метод [15]. Решение, получен
ное методом Холецкого и методом итерирования подпространства, интер
полировалось и принималось в качестве начального приближения для реше
ния задач (7), (8) указанными итерационными методами.
Результаты расчетов. Рассматривалась устойчивость тонкостенного
стержня уголкового профиля со следующими механическими характерис
тиками: Е = 50 ГПа; V = 0,25. При расчетах варьировалась толщина стенок
стержня И, линейные размеры нормировались величиной I. Цель расчетов
заключалась в определении критических параметров конструкции в зависи
мости от параметра тонкостенности а = И/1. При этом величина а изме
нялась в интервале 0,05 < а < 0,20. Определялись также погрешности крити
ческих нагрузок, полученных для данной задачи по прикладной теории
устойчивости рамных конструкций [11]. Геометрия расчетной области, спо
соб нагружения и закрепления конструкции, а также схема дискретизации
расчетной области представлены на рис. 1.
Для дискретизации расчетной области, занимаемой конструкцией,
использовали неравномерную разностную сетку по направлениям Ох 1 и
О х 2 . Расчеты проводили на последовательности сгущающихся сеток. Для
получения новой сетки шаги предыдущей сетки уменьшали вдвое по каж
дому направлению. Исходная сетка содержала 169 узлов (рис. 1). В качестве
критерия окончания процесса при определении собственного числа прини
IS S N 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3 127
В. С. Зеленский
малось совпадение в результатах расчета трех значащих цифр на двух
последовательных сетках. Для получения указанной точности использовали
четыре сетки. Последняя сетка содержала 1247 узлов. Для указанного
диапазона изменения параметра тонкостенности а = (0,05; 0,1; 0,15; 0,20)
получены соответственно следующие значения критических нагрузок:
Р кр = (0,00027Е; 0,00213Е; 0,0071Е; 0,015Е), Р пр = (0,00028Е; 0,0022Е;
0,0078Е; 0,018Е), где Р кр - критические нагрузки по трехмерной теории
устойчивости; Р пр - критические нагрузки по прикладной теории.
Анализ полученных результатов показал, что значения критических
нагрузок, определенные по прикладной теории завышены; погрешность зна
чений увеличивается с ростом параметра тонкостенности а . Например, при
а = 0,05 погрешность критической нагрузки составляет 1%, при а = 0,2 она
достигает 14%.
На рис. 2 показаны приведенные компоненты возмущения смещений
и 1( 11 — Н/2; х 2), и 2(х 1; /2 — Н/2), масштабированные соответственно величи
нами т а х | и11, т а х | и 2 |. Кривые 1 -4 построены для срединной линии верти
кальной полки х 1 = /1 — Н/2, кривые 5 -8 - для срединной линии горизон
тальной полки х 2 = /2 — Н/2.
Представленные графики определяют форму потери устойчивости при
разных значениях параметра тонкостенности а рассматриваемой конструк
ции. Видно, что формы потери устойчивости для горизонтальной и верти
кальной полок существенно различаются.
и
тах|и |
Рис. 2. Формы потери устойчивости конструкции для различных значений параметра тонко
стенности а: 1, 5 - а = 0,05; 2, 6 - а = 0,1; 3, 7 - а = 0,15; 4, 8 - а = 0,2.
Заключение. Применение трехмерной линеаризированной теории устой
чивости позволяет в достаточно строгой постановке исследовать задачи
устойчивости тонкостенных конструкций из традиционных материалов и
оценить погрешность результатов, полученных по прикладным теориям.
128 Н ЗМ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
Определение критических нагрузок
Поскольку нахождение аналитических решений в подобных случаях затруд
нительно, для решения задач такого класса применяются эффективные чис
ленные методы (прямые и итерационные), обеспечивающие получение ре
зультатов с заданной точностью.
Р е з ю м е
Розглянуто плоску задачу стійкості тонкостінного стрижня кутикового про
філю з ізотропного лінійно-пружного матеріалу. Критичні параметри визна
чалися за допомогою другого варіанта тривимірної лінеаризованої теорії
стійкості, основний стан - з рівнянь лінійної теорії пружності. Досліджено
залежність критичних параметрів від параметра тонкостінності конструкції і
визначено похибки прикладної теорії стійкості, що використовуєтся для
розрахунку рамних конструкцій.
1. Б ахвалов Н. С., Ж и д ко в Н. П ., К обельков Г. М . Численные методы. - М.:
Наука, 1987. - 598 с.
2. Г а лер ки н Б. Г . Собрание сочинений. - М.: Изд-во АН СССР, 1952. -
391 с.
3. Г оловчан В. Т., Г узь А. Н ., К оханенко Ю . В ., К ущ В. И . Механика
композитов. В 12 т. Т. 1. Статика материалов. - Киев: Наук. думка,
1993. - 453 с.
4. Гузь А. Н . Устойчивость трехмерных деформируемых тел. - Киев:
Наук. думка, 1971. - 273 с.
5. Г узь А. Н ., Б абич И. Ю . Трехмерная теория устойчивости стержней,
пластин и оболочек. - Киев: Вища шк., 1980. - 167 с.
6. Г узь А. Н . Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых
тел. - Киев: Вища шк., 1986. - 512 с.
7. Г узь А. Н ., К оханенко Ю . В. Решение плоских задач трехмерной теории
упругой устойчивости пластин при неоднородных докритических
состояниях // Прикл. механика. - 1977. - 13, № 12. - С. 63 - 72.
8. Г узь А. Н ,, Зеленский В. С., К оханенко Ю . В . О решении пространст
венных задач трехмерной теории упругой устойчивости пластин и
стержней при неоднородных докритических состояниях // Механика
композитных материалов. - 1980. - № 3. - С. 62 - 64.
9. Зеленский В. С. Пространственная задача устойчивости сопряженных
стержней при неоднородных докритических состояниях // Доп. НАН
України. - 1995. - № 2. - С. 44 - 46.
10. К оханенко Ю . В . Численное решение задач теории упругости и трех
мерной устойчивости кусочно-неоднородных сред // Прикл. механика.
- 1986. - 22, № 1. - С. 46 - 53.
11. Зеленский В. С., К оханенко Ю . В. Численное решение плоской задачи
трехмерной устойчивости сопряженных прямоугольных пластин // Доп.
НАН України. - 1998. - № 9. - С. 62 - 66.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, N 3 129
В. С. Зеленский
12. П арлет т Б. Симметричная проблема собственных значений. Числен
ные методы. - М.: Мир, 1983. - 228 с.
13. С ам арский А. А . Теория разностных схем. - М.: Наука, 1983. - 616 с.
14. G uz A. N . Fundamentals of the Three-Dimensional Theory of Stability of
Deformable Bodies. - Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1999.
15. K okhanenko Yu. V. Method of solving problem of the three-dimensional
stability of composite laminates // Appl. Mech. - 1998. - 34, No. 3. - P. 239
- 249.
Поступила 02. 03. 2005
130 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47848 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T19:10:58Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зеленский, В.С. 2013-08-03T10:45:15Z 2013-08-03T10:45:15Z 2006 Определение критических нагрузок в задаче трехмерной устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля / В.С. Зеленский // Проблемы прочности. — 2006. — № 3. — С. 123-130. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47848 539.3 Рассмотрена плоская задача устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля, изготовленного из изотропного линейно-упругого материала. Критические параметры определялись с помощью второго варианта трехмерной линеаризированной теории устойчивости, основное состояние - из уравнений линейной теории упругости. Приближенное решение задачи устойчивости отыскивалось методом сеток. Исследована зависимость критических параметров от параметра тонкостенности конструкции и определены погрешности прикладной теории устойчивости, используемой для расчета рамных конструкций. Розглянуто плоску задачу стійкості тонкостінного стрижня кутикового профілю з ізотропного лінійно-пружного матеріалу. Критичні параметри визначалися за допомогою другого варіанта тривимірної лінеаризованої теорії стійкості, основний стан - з рівнянь лінійної теорії пружності. Досліджено залежність критичних параметрів від параметра тонкостінності конструкції і визначено похибки прикладної теорії стійкості, що використовуєтся для розрахунку рамних конструкцій. We analyze the plane problem of stability of a thin-walled L-beam made of an isotropic linearly- elastic material. The respective critical parameters are calculated using the second variant of the three-dimensional linear stability theory, and the governing state - using the equations of the linear theory of elasticity. The approximate solution of the stability problem is sought for using the mesh method. We discuss the dependence of the beam critical parameters on the wall-thickness parameter of the structure under study, as well as assess the drawbacks and errors of the applied theory of stability, conventionally used for strength calculation of frame-type structures. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Определение критических нагрузок в задаче трехмерной устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля Assessment of critical loads in the problem of three-dimensional stability of a thin-walled l-beam Article published earlier |
| spellingShingle | Определение критических нагрузок в задаче трехмерной устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля Зеленский, В.С. Научно-технический раздел |
| title | Определение критических нагрузок в задаче трехмерной устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля |
| title_alt | Assessment of critical loads in the problem of three-dimensional stability of a thin-walled l-beam |
| title_full | Определение критических нагрузок в задаче трехмерной устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля |
| title_fullStr | Определение критических нагрузок в задаче трехмерной устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля |
| title_full_unstemmed | Определение критических нагрузок в задаче трехмерной устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля |
| title_short | Определение критических нагрузок в задаче трехмерной устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля |
| title_sort | определение критических нагрузок в задаче трехмерной устойчивости тонкостенного стержня уголкового профиля |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47848 |
| work_keys_str_mv | AT zelenskiivs opredeleniekritičeskihnagruzokvzadačetrehmernoiustoičivostitonkostennogosteržnâugolkovogoprofilâ AT zelenskiivs assessmentofcriticalloadsintheproblemofthreedimensionalstabilityofathinwalledlbeam |