Метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в пластической зоне у вершины трещины отрыва
Разработан метод расчета амплитуды сингулярности и безразмерных угловых распределений
 вторых членов разложений напряжений, деформаций и перемещений в пластической
 области вершины трещины. Метод построен на сочетании аналитического решения типа
 Хатчинсона-Райса-Розенгрен...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2006
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47854 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в
 пластической зоне у вершины трещины отрыва / В.Н. Шлянников // Проблемы прочности. — 2006. — № 3. — С. 43-59. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860262524595732480 |
|---|---|
| author | Шлянников, В.Н. |
| author_facet | Шлянников, В.Н. |
| citation_txt | Метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в
 пластической зоне у вершины трещины отрыва / В.Н. Шлянников // Проблемы прочности. — 2006. — № 3. — С. 43-59. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Разработан метод расчета амплитуды сингулярности и безразмерных угловых распределений
вторых членов разложений напряжений, деформаций и перемещений в пластической
области вершины трещины. Метод построен на сочетании аналитического решения типа
Хатчинсона-Райса-Розенгрена и численного решения на основе модифицированного метода
граничного слоя. Представленные результаты позволяют проанализировать эффекты стеснения
в широком диапазоне условий двухосного нагружения.
Розроблено метод розрахунку амплітуди сингулярності і безрозмірного
кутового розподілу других членів розкладу напружень, деформацій і переміщень
у пластичній області вістря тріщини. Метод побудовано на поєднанні
аналітичного розв’язку типу Хатчинсона-Райса-Розенгрена і числового
розв’язку на основі модифікованого методу межового шару. Наведені результати
дозволяють проаналізувати ефекти стискання в широкому інтервалі
умов двовісного навантаження.
We developed a computational technique for
calculation of the singularity amplitude and
dimensionless angular distributions of the second
terms in series expansions of stresses,
strains and displacements in a plastic zone
around the crack tip. The proposed technique
combines application of the analytical solution
of the Hutchinson-Rice-Rosengren type and a
numerical solution based on the modified
method of a boundary layer. The results obtained
make it possible to analyze effects of
constraint in a wide range of conditions of
biaxial loading.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:57:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.4
Метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в
пластической зоне у вершины трещины отрыва
В. Н. Шлянников
Казанский государственный энергетический университет, Казань, Россия
Разработан метод расчета амплитуды сингулярности и безразмерных угловых распре
делений вторых членов разложений напряжений, деформаций и перемещений в пластической
области вершины трещины. Метод построен на сочетании аналитического решения типа
Хатчинсона-Райса-Розенгрена и численного решения на основе модифицированного метода
граничного слоя. Представленные результаты позволяют проанализировать эффекты стес
нения в широком диапазоне условий двухосного нагружения.
К лю ч е вы е с ло в а : эффект стеснения, двухосное нагружение, полярные и
радиальные распределения, второй член разложения, амплитуда сингуляр
ности, параметр стеснения.
Введение. В последнее время интенсивно обсуждается проблема эффек
тов стеснения, которая актуальна для условий маломасштабной и развитой
пластичности. Особая ее значимость обусловлена практическими приложе
ниями, связанными с интерпретацией упругопластических характеристик
сопротивления конструкционных материалов разрушению при статическом
деформировании. Многочисленные исследования эффектов стеснения пока
зали, что, например, /-интеграл, который рассматривался как объединя
ющая идея нелинейной механики разрушения, зависит от геометрии и
условий нагружения тела с трещиной.
Суть эффектов стеснения при разрушении прежде всего связана с
обоснованием ограничений, накладываемых на пластические поля Хатчин
сона-Райса-Розенгрена (ХРР) [1-3]. Характеристический размер зоны доми
нирования сингулярных ХРР-полей существенно зависит от геометрии и
пластических свойств тела с трещиной. К настоящему времени уже ясно,
что воздействие геометрии и условий нагружения реализуется также через
второй, несингулярный член (так называемое Т -напряжение), действующий
параллельно плоскости трещины. Этот Т -член рассматривается как внут
реннее свойство образцов различных геометрий или элементов конструкций.
Само понятие Т -члена введено Райсом [4] как частный случай упругого
разложения напряжений по собственным функциям Вильямса [5]. В [6]
величина Т -члена определена через коэффициент двухосности, там же пред
ставлены табулированные зависимости этого параметра от длины трещины
для шести геометрий образцов, наиболее популярных в экспериментальной
механике трещин. Данная работа является продолжением исследований
Ларссона и Карлссона [7], которые представили подобные результаты только
для одной длины трещины в каждом образце.
Теоретической основой описания полей параметров напряженно-дефор
мированного состояния (НДС) в пластической области вершины трещины с
учетом членов высоких порядков можно считать исследования [8, 9]. Авто
© В. Н. ШЛЯННИКОВ, 2006
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, N 3 43
В. Н. Ш ляпников
ры этих работ на основе двухчленного представления параметров НДС в
зоне пластичности впервые установили тип сингулярности, амплитуду син
гулярности и безразмерные угловые функции для второго члена разложения.
Дальнейшее развитие исследований в этом направлении путем удержания
членов более высоких порядков имело место в работах [10-14]. Общим
результатом работ данного направления является установленная структура
полей параметров НДС в пластической области с учетом членов высоких
порядков.
Работа [15] положила начало обоснованию двухпараметрического под
хода в рамках количественной оценки эффектов стеснения или оценки
влияния несингулярного члена. Практически одновременно в [16] было
выполнено наиболее обстоятельное исследование, дополненное и обобщен
ное в [17]. Общим для указанных работ является вывод о том, что посте
пенный переход в область отрицательных значений Г-члена сопровождается
все возрастающим отличием от ХРР-полей. При этом найдены области
приемлемого описания поведения тела с трещиной на основе двухпара
метрического подхода, в котором сочетаются J -интеграл и Г-член или
J -интеграл и параметр трехосности нормальных напряжений В качестве
объекта исследований использовали тела бесконечных размеров и образцы
различных конфигураций. В отношении количественной оценки эффектов
стеснения в образцах различных геометрий, размеров и схем нагружения
впоследствии проведены детальные исследования [18-21] и др. На основа
нии аналогичных результатов в [16] предложена упрощенная схема опреде
ления амплитуды сингулярности второго члена или параметра стеснения.
Авторы работ [22-25] распространили методологию двухпараметрического
подхода на случай смешанных мод деформирования и чистого сдвига соот
ветственно. Обнаружены качественные эффекты стеснения, не выявленные
в чистой форме нормального отрыва.
Подавляющее большинство работ по исследованию эффектов стеснения
построено на методологии модифицированного метода граничного слоя
(ММГС), впервые использованного в [7]. Суть этого метода, основанного на
методе конечных элементов (МКЭ), состоит в выделении круговой области,
внешний контур которой находится в упругой области, а внутренний воспро
изводит трещину с конечным радиусом кривизны. Область вершины тре
щины находится в пластическом состоянии. Соотношение между радиусом
кривизны вершины трещины и радиусом внешней круговой области выдер
живается в пределах 3...5 порядков. Несомненное удобство такого подхода в
вычислительном плане - возможность исследования эффектов стеснения на
одной и той же расчетной схеме МКЭ. При этом условия удаленного
нагружения воспроизводятся через граничные перемещения на внешнем
контуре выделенной круговой области. В свою очередь, эти перемещения
являются непосредственными функциями упругих коэффициентов интен
сивности напряжений и несингулярного Г -члена. Через К -тарировки осу
ществляется учет конкретной геометрии образца с трещиной и схемы его
нагружения. Благодаря введению в расчетную схему конечного радиуса
кривизны представляется возможным учитывать затупление вершины тре
щины при пластическом деформировании.
44 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
М етод расчет а регулярных составляющих поля напряжений
Существующие методы исследования эффектов стеснения не учиты
вают различия между внут ренней двухосност ью , обусловленной схемой
одноосного нагружения образца конкретной геометрии с заданным поло
жением исходного надреза, и наведенной двухосност ью вследствие прило
жения растягивающей или сжимающей нагрузки по двум взаимно перпен
дикулярным направлениям. Неявно подразумевается, что те или иные усло
вия нагружения описываются несингулярным Т -членом. Однако совершенно
очевидно, что одно и то же значение Т -члена может быть достигнуто благо
даря различному сочетанию уровня номинальных напряжений, угла ориен
тации трещины и коэффициента двухосности номинальных напряжений.
Следовательно, Т -член не является однозначной функцией геометрии и
условий нагружения тела с трещиной, что, в свою очередь, обусловливает
неопределенность в оценке эффектов стеснения.
Предлагаемый в настоящей работе метод исследования эффектов стес
нения при разрушении весьма актуален для экспериментальной механики
трещин в порядке интерпретации характеристик сопротивления разрушению
конструкционных материалов, полученных на образцах различных геомет
рий. Основное его преимущество состоит в четкой идентификации влияния
условий двухосного нагружения в сочетании с произвольной ориентацией
исходной трещины, что на практике является, скорее, правилом, чем исклю
чением. Метод полезен в общем комплексе оценки несущей способности
элементов конструкций при сложном напряженном состоянии в условиях
пластичности и ползучести.
Цель работы - разработать метод расчета амплитуды сингулярности и
угловых распределений членов высоких порядков через непосредственный
учет наведенной двухосности внешнего нагружения при фиксированном
угле исходной ориентации трещины. Для определенности ограничимся ана
лизом поведения деформационно-упрочняющегося материала для формы
нормального отрыва (мода I) при плоской деформации.
П оля упругих напряжений и перемещений. Рассмотрим пластину
бесконечных размеров, которая нагружена системой взаимно перпендику
лярных нормальных напряжений и ослаблена внутренней сквозной цент
ральной прямолинейной трещиной, расположенной вдоль оси О Х (рис. 1).
Вершина трещины имеет достаточно малый, но конечный радиус кривизны.
Коэффициент двухосности приложенных номинальных напряжений опреде-
00 / 00 т тляется как отношение щ — о о ^ . На удалении от вершины трещины в
упругой области пластины проведем окружность, центрированную на вер
шину трещины, которая будет служить внешним контуром исследуемой
области. В силу симметрии геометрии и условий нагружения достаточно
рассмотреть только одну четверть пластины.
Согласно решению Вильямса [5], упругие напряжения в окрестности
вершины трещины можно представить в виде разложения в ряд по степеням
г:
о у — Л у ( в )г -V2 + В у ( в ) + С у ( в )г V2 , (1)
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 3 45
В. Н. Ш ляпников
где первый член этого асимптотического решения является сингулярным,
тогда как члены более высоких порядков конечны и ограничены; второй
член назван в [4] как Т -напряжение, или несингулярный Т -член.
а
Рис. 1. Пластина с трещиной нормального отрыва при двухосном нагружении.
При удержании первых двух членов разложения (1) компоненты упру
гих напряжений могут быть выражены через коэффициенты интенсивности
напряжений (КИН) в следующем виде:
К
(2)
Обобщение упругого решения для плоской задачи в двухчленном пред
ставлении для произвольного двухосного нагружения в условиях смешан
ных форм разрушения приведено в [26-28] и для компонент напряжений и
перемещений имеет следующий вид:
0 УУ -
К 1 6
л/2лг
с о э -
2
К 1 6
л/2лг
соэ
2
К 1 6
6 36
1 - э т — э т —
2 2
6 36'
1 + э т — э т —
2 2
К 2 6
I-----81П —
л/2лг 2
К
6 36
2 + соэ—соэ —
2 2
+ Т ;
2 6 6 36
+ ,----- э т — соэ—соэ— ;
Т2ЛТ 2 2 2 ’
0 >у —-Й Л Г '' ' 2 ™ 2 '
36 К 2 6
1---+ ,------5 соэ —
2 л/2лТ 2
6 36
1 — э т — э т —
2 2
(3)
Т — о (1 — ^ )соэ2Р; (4)
К 1 г 6
и т — с о э -
х б V 2л 2
К 1 ,и У — — л — э т
у в \ 2л 2
2(1 — V) — соэ — +
(1—9 ) 0 „ 2чг Л , п-----------(1 —V )[гсоэ6 + а ];
Е
(1—^ )о
Е
v(1 + V )[г э т 6 ];
(5)
0 XX —
46 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
М етод расчет а регулярных составляющих поля напряжений
Ол!жа л Ол!жа л
К х = 2 [(1+ 9 ) - (1 -9 )соэ2 /3 ]; К 2 = 2 [(1- ^ ) 8ш 2уЗ], (6)
где Т - несингулярный второй член, или Т -напряжение; а - номинальное
напряжение, приложенное вдоль оси О У ; 3 - угол ориентации трещины
относительно оси О У ; 9 - коэффициент двухосности; О - модуль сдвига; г и
б - полярные координаты с центром в вершине трещины; V - коэффициент
Пуассона; К 1 и К 2 - упругие КИН для случаев нормального отрыва и
поперечного сдвига; а - длина трещины. Перемещения, определяемые фор
мулами (5), воспроизводят условия внешнего двухосного нагружения на
контуре выделенной круговой области в пластине (рис. 1) и включают в
себя несингулярный Т -член.
П оля параметров НДС в пластической области. Подход с исполь
зованием многочленного разложения, аналогичного (1), был использован
для построения решений в диапазоне от маломасштабной текучести до
развитой (полной) пластичности. В [8, 9] решение плоской задачи для
деформационно-упрочняющегося материала на основе двухчленного разло
жения предложено в следующем виде:
0 ij (г , в ) =
J
l/(n+l)
О f ( в ) + q | Г- ° ° о j (в ). (7)ij J
t
(і)/ij
Здесь первое слагаемое представляет собой известное сингулярное решение
ХРР [1-3], где J - интеграл Райса; а , п - константы упрочнения; а 0 и е 0 -
напряжения и деформации текучести; г, б - полярные координаты; Q и г -
амплитуда и тип сингулярности второго члена; ~ ^ и ~ (1) - безразмерные
угловые функции компонент напряжений первого и второго членов; 1 п -
константа интегрирования Хатчинсона [1].
Альтернативная форма двухчленного пластического решения предло
жена в работе [16], в котором первый сингулярный член относится к
условиям маломасштабной текучести при отсутствии учета эффектов стес
нения, что эквивалентно равенству нулю упругого несингулярного члена
(Т = 0) или его определению как доминирующего ХРР-члена:
0 ij =
ГО 0
0 j \ J
-SSY ,T=0
+ Q o 00 ij(Г, в ) . (8)
Второй член (8), собственно, и определяет эффект стеснения, т.е. сте
пень отклонения от ХРР-поля. Авторы [16] ввели достаточно упрощенную
схему определения амплитуды сингулярности второго члена, или так назы
ваемого параметра стеснения Q:
„Re f
„ ° в в ~ ° в в r0 0 „ л „ /1ЛЧ
Q = ----------------- при ----- = 2, 0 = 0.-(9)
о о J
IS S N 0556-171X. Проблемыг прочности, 2006, № 3 47
В. Н. Ш ляпников
Из (9) следует, что параметр стеснения Q определяется как разница
между истинным пластическим решением и ХХР-решением на продолже
нии трещины (0 = 0) на удалении от ее вершины (то 0 )/У = 2. Именно это
расстояние от вершины трещины выбрано потому, что оно больше области
эффекта затупления, за пределами которого каждое из полученных решений
носит характер эквидистантного смещения по отношению к ХРР-полю,
пропорционального величине упругого несингулярного члена Т. Однако по
добные упрощения не вполне согласуются с результатами работ [8, 9], что
было доказано позже [29]. Кроме того, было установлено [10, 11], что
удержание в пластическом решении трех и более членов не повышает
точность аппроксимации по отношению к двухчленному приближению. По
этому в структуре используемого здесь пластического решения ограничимся
двумя первыми членами разложения.
В настоящей работе полное решение будет получено путем численного
решения по модифицированному методу граничного слоя на основе МКЭ.
Представим нормированные на предел текучести поля параметров НДС в
пластической области вершины трещины аналогично [29]:
а ] (г , в ) 1
а ] = а
= к г “1(п+1) а „ (в ) = | —
а 1 пг ,
1/(»+1)
~ (,0) + я г * а ] + ( 1 0 )
Е£ и ( г , в) £ ц ( г , в)
£ и = = _ = а к пг —п (п+1) £ и ( в ) =
1] а а 0 а ]
, а 1 пг /
п/ (п+1)
а 1 пг )
(п~1)/ ( п+1)
£ (1) + • £] + ■■■• (11)
Е й А г , в) п А г , в ) „ мг„.л\
п = Л } = _ } = а к пг 1( п+1) и (в ) =
а а о г а г
ка 1 пг /
п/ (п+1)
г<»> + д ґ І = 1
а 1 пг /
(п~1)!( п+1)
и ,(1) + (12)
где г = (а 0г / J ) = (г / а )(а 0Е / а 2л ); а = а є 0; в левой части каждого из урав
нений записано полное МКЭ-решение для напряжений а ] , деформаций £]
и перемещений и і соответственно. Константа интегрирования 1 п , которая
является функцией полярного угла в, показателя упрочнения п и в общем
случае параметра смешанности Ши М р [30], имеет вид
л
1п ( в , М р , п) = / ^ ( п , в у в , (13)
—л
где
48 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
М етод расчет а регулярных составляющих поля напряжений
Я( п , в ) =
п + 1
о П+^оэ в- и в
& ів
а г в \и г +
п + 1
(~ гтиг + а гв и в )соэ в.
Первые члены разложений (10)-(12) являются ХРР-решениями, в которых
безразмерные угловые функции получены в результате нелинейного диф
ференциального уравнения совместности деформации четвертого порядка
по методу Рунге-Кутта. Для условий плоской деформации и плоского напря
женного состояния при вариации показателя упрочнения от п = 2 до п = 13в
полном диапазоне смешанных форм деформирования от нормального отры
ва до чистого сдвига ранее [31] приведены значения константы интегри
рования 1 п и угловые функции всех параметров НДС для ХРР-решения:
~(0) ~ (0 )и ~(0)
В [9, 29] доказано, что если первый член разложений (10)-(12) имеет
сингулярность типа 5 = —1/(п + 1), а сингулярность второго члена подчи
няется условию г < ( п — 2 ) / ( п + 1), то возможна декомпозиция структуры
второго члена по отношению к переменным г и в. Тогда, разрешая каждое
из уравнений (10)-(12) относительно а (.1), єО1 и и }4 , можно найти угло-;(1)
у 'У
вые безразмерные распределения вторых членов как разность между пол
ным МКЭ-решением и ХРР-решением, которое соответствует значению
упругого несингулярного члена Т = 0:
—БЕМґ п\ \ 1
о а ( г , в) І О Г 7~(1^ ПЛ \ а 1 пг I
а а (т, в) = ---------------
1/(п+1)
г(°)^іа ( в )
ОТ*
(14)
1—РЕМґ г\ ч \
Є а ( г , в) _ 1 а / г~(1Ь т \ а Т пт IЄ а (г , в ) = —
п/ (п+1)
г(0)/
'УЄа Ч в )
'У
От ( 1 ( а 1 пг ))атпТ) ) (п~1)/ (п+1)
(15)
1—аЕМ ґ г\ \ \
и і ( г , в) _ | а 7 7~(1Ь ДЧ \ а Т пГ |
~і (г , в ) = -
п/ ( п+1)
и (0)( в )
ОТ* (1/ ( атпг ) ) (п~Г)/ (п+Г)
(16)
где От1 - произведение, используемое в качестве масштабного множителя,
который нормирует угловые функции так, чтобы безразмерная интенсив-
?а) имела максимальное значение о ̂ =ность напряжений второго члена о е
= (3Б ̂ ^ Д ) 1/2 = 1 (Х а - девиатор напряжений) в пределах рассматрива
емого диапазона изменения полярного угла в. Амплитуда сингулярности
второго члена О пока не определена.
ТХОТ 0556-171Х. Проблемыы прочности, 2006, N 3 49
1
В. Н. Ш ляпников
После того как определены угловые функции для вторых членов компо
нент напряжении о (1), деформаций г(!) можно пе-и перемещении иI
рейти к нахождению, собственно, амплитуды сингулярности второго члена
б . Для этого достаточно разрешить любое из уравнений (10)-(12) относи
тельно б , предварительно зафиксировав постоянным какое-либо значение
полярного угла в с целью того, чтобы значения всех угловых функций
снимались при одном и том же угле в. Тем самым амплитуда сингулярности
второго члена будет определена в каком-либо направлении по отношению к
вершине трещины. Для возможного сравнения полученных результатов с
известными параметр б будем определять через компоненту окружных
напряжений о вв на продолжении трещины, т.е. для в = 0. Тогда из (10)
можно получить
\ 1/(п+1)
О- вв
-¥ Е Ы , л _ пч I 1 ° вв ( Г, в = 0) - | _ ^ ~в0в)( в = 0)
Г 1 ~вв( в = 0)
(17)
Заметим, что угловые функции ХРР-решения известны [1, 2, 30,
31], а аве рассчитывается по уравнению (14). Кроме того, аналитическими
результатами [9] и [29] установлены зависимости типа сингулярности вто
рого члена I, входящего в (17), от показателя деформационного упрочнения
п для условий плоского напряженного состояния и плоской деформации.
Строго говоря, формула (17) применима для любого в, тогда как в = 0 -
частный случай.
Расчетная схема и модель материала. Выделение ряда областей в
геометрии тела с рассматриваемой трещиной является традиционным для
модифицированного метода граничного слоя (рис. 1). Внутри области, огра
ниченной поверхностями трещины и внешней круговой областью, исполь
зовалось конечноэлементное разбиение. Расчетная схема включала 49 кон
центрических окружностей, центрированных на вершину трещины и содер
жащих по 80 промежуточных узлов каждая с шагом по углу 4,5°. Радиусы
кривизны вершины трещины и внешней окружности отличались на три
порядка. При формировании расчетной схемы использовались плоские
восьмиузловые изопараметрические элементы. Угол ориентации трещины
выбран $ = л /2 (чистая мода нормального отрыва), т.е. трещина располо
жена вдоль оси О Х . В этом случае упругий несингулярный член запи
сывался как Т = —о (1 - ^ ).
Относительная величина приложенных номинальных напряжений о =
= а / а 0 = 0,53, где о 0 - предел текучести, принята постоянной для всех вари
антов расчетов. Коэффициент двухосности номинальных напряжений ^
варьировался так, чтобы несингулярный член Т, нормированный на предел
текучести о 0, изменялся в указанных ниже пределах при $ = л /2 и о = 0,53:
2,00 1,75 1,50 1,25 1,00 0,75 0,50 0,25 0 —0,25 —0,50 — 0,66 — 0,90
Т 0,53 0,39 0,26 0,13 0 — 0,13 — 0,26 —0,39 —0,53 —0,66 —0,79 — 0,87 — 1,00
50 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
М етод расчет а регулярных составляющих поля напряжений
Конечноэлементный комплекс А ^ У Б [32] использовался для реализа
ции модифицированного метода граничного слоя. Сетка конечных элемен
тов включала 1905 узлов и 1849 восьмиузловых квадратичных элементов.
Пластина рассматривалась в состоянии плоской деформации. Поведение
материала описывалось по модели Рамберга-Осгуда с показателем дефор
мационного упрочнения п = 5, пределом текучести о о = 380 МПа, модулем
упругости Е = 205 ГПа и коэффициентом Пуассона V = 0,3. После числен
ного решения упругопластической задачи выходные файлы А ^ У Б исполь
зовались в качестве входной информации к разработанному и реализован
ному комплексу программ по интерпретации результатов в порядке опре
деления безразмерных полей параметров НДС и амплитуды сингулярности
второго члена.
Результаты и их обсуждение. Исследовалось распределение напряже
ний на продолжении трещины (в = 0). На рис. 2 показаны распределения
нормированных на предел текучести компонент нормальных напряжений,
относящихся к общему МКЭ-решению (без декомпозиции на структуру
первого и второго членов). Там же для сравнения нанесено ХРР-решение.
Четко прослеживается проявление эффектов конечных деформаций и раз
грузки вследствие затупления вершины трещины для ( го 0 / J ) < 3. При
больших расстояниях от вершины трещины влияние упругого несингуляр
ного члена и двухосности нагружения имеет достаточно упорядоченный
характер. Положительные значения Т и двухосности напряжений ^ в
диапазоне ^ Е ( + 1,0...2,0) не оказывают существенного влияния на распре
деление напряжений. Напротив, монотонное увеличение отрицательных зна
чений Т или переход от равнодвухосного растяжения (^ = + 1) к двухосному
растяжению-сжатию (т] = —0,9) приводит к значительному отклонению полу
ченных распределений напряжений от ХРР-решения. Заметим, что случай
равнодвухосного растяжения при Т = 0 наиболее близок к ХРР-решению и
соответствует области определения этого асимптотического упругопласти
ческого решения. Представленные на рис. 2 данные коррелируют с числен
ными результатами в отношении характера и степени влияния несингу
лярного члена.
На рис. 3 представлены полярные распределения безразмерных функ
ций компонент напряжений (о ̂ в уравнении (10)) для общего МКЭ-реше-
ния в исследованном диапазоне условий двухосного нагружения. Для каж
дой из компонент напряжений степень ее отличия от ХРР-решения зависит
от величины несингулярного члена Т и коэффициента двухосности нагру
жения ^ и имеет возрастающий характер по мере перехода к отрицатель
ным значениям этих параметров. Подобный характер влияния несингуляр
ного члена на полярные распределения напряжений отмечен в [16].
Полярные распределения компонент напряжений для второго члена
разложения (10), определенные по уравнению (14) как разность между
общим МКЭ-решением и ХРР-решением, показаны на рис. 4. Частный
случай из исследованного нами диапазона двухосного нагружения, относя
щийся к одноосному растяжению (^ = 0, Т = —0,53), достаточно хорошо
согласуется с результатами [8, 9, 12]. Отметим, что значения безразмерных
функций для напряжений второго члена имеют тот же порядок величины,
что и функции доминирующего первого ХРР-члена.
IS S N 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 3 51
В. Н. Ш лянников
гг
Рис. 2. Радиальные распределения полных напряжений на продолжении трещины, 5 = 90°: ♦ -
Т = 0,53, г = 2,0; ★ - Т = 0,26, г = 1,50; О - Т = 0, г = 1,0; ▲ - Т = -0,13, г = 0,75; О -
Т = -0,26, г = 0,5; ■ - Т = -0,39, г) = 0,25; • - Т = -0,53, г) = 0; А - Т = -0,66, г) = -0,2;
□ - Т = -0,79, г = -0,5; ♦ - Т = -0,87, г = -0,7; + - Т =-1,0, г = -0,9.
^ЕЫ ^ЕЫ
град
Рис. 3. Полярные распределения компонент напряжений для общего численного решения,
5 = 90°: ♦ - Т = 0,53, г = 2,0; О - Т = 0, г = 1,0; А - Т = -0,13, г = 0,75; О - Т = -0,26,
г = 0,50; ■ - Т = -0,39, г = 0,25; • - Т = -0,53, г = 0; А - Т = -0,66, г = -0,25; □ -
Т = -0,78, г = -0,50; ♦ - Т = -0,87, г = -0,66; + - Т = -1,0, г = -0,90.
гг
52 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
М етод расчет а регулярных составляющих поля напряжений
О(1)гг
2,0
0,30
0,15
?0)
' ее
0,2
0,1
-
* °>53- 2-00
■ V В» у і Г Л 0,39, 1,75
»■ А Л /4 0,26, 1,50
/ \ 0,13, 1,25
- * 5 ^
і і
е, град
?0)
^ гг
0,4
Є, град
" т п
-0,13, 0,75 ч
-0,26, 0,50
-0,39, 0,25
* * 5 ? т п
^ а г - о ,5 з о
ІГ у -О .б б , -0,25 Ч
\ Л - 0 , 7 9 , -0,50 I
\Л -0 ,8 7 , -0,66
--------- 1----- М ,0 0 , -0,90
______I______________ I______________
0,1
- 0,1
- 0,2
45 90 135
в
е, град
45 90 135 Є, град
Є, град
Т Ч- 0,53, 2,00
0,39, 1
0,26,1,50^1? й
0,13,
-
___ Д д Г ________ і________
45 90 135 Є, град
Рис. 4. Полярные распределения компонент напряжений для второго члена разложения (10):
а-в - отрицательные значения несингулярного члена, г — 4,03; г-е - его положительные
значения, г — 4,05.
Наибольшие отличия в распределении деформаций при двухосном на
гружении наблюдаются для нормальных деформаций (рис. 5,а).
IS S N 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 3 53
В. Н. Ш лянников
е гв
-0,5'
135 в, град -5 135 б, град
Рис. 5. Полярные распределения компонент деформаций для общего МКЭ-решения (а, б) и
для второго члена разложения (в, г): жирные линии - значения несингулярного члена Т ,
соответствующие границам исследованного диапазона и промежуточной ситуации для
Т = 0 (Г = 4,05).
ГГ
Пластические деформации, соответствующие общему МКЭ-решению,
имеют качественно иную картину полярного распределения по отношению к
ХРР-решению. Сдвиговые деформации (рис. 5,б) в большей степени соот
ветствуют ХРР-модели. На рис. 5,в,г приведены полярные распределения
безразмерных компонент деформаций второго члена разложения, рассчи
танные по формуле (15).
Рис. 6 иллюстрирует полярные распределения безразмерных компо
нент перемещений для общего МКЭ-решения и для второго члена разло
жения, рассчитанные соответственно по уравнениям (12) и (16). Один из
исследованных вариантов распределений полей перемещений второго члена,
относящийся к одноосному растяжению, хорошо согласуется с результатами
[9]. Видно, что отрицательные значения несингулярного члена Т приводят к
большему эффекту отличия от асимптотического решения ХРР [1-3]. Пред
ставленные ниже расчеты посвящены определению амплитуды сингуляр
ности второго члена (в литературных источниках встречается название
параметр стеснения). Напомним, что в упругом решении (1) показатель
54 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
М етод расчет а регулярных составляющих поля напряжений
(тип) сингулярности первого доминирующего члена имеет значение —0,5,
для второго члена разложения он равен нулю. В пластическом решении (7)
показатель сингулярности первого доминирующего члена имеет явно выра
женную зависимость от степени деформационного упрочнения материала
—1/ ( п + 1). При этом в отличие от упругого решения тип сингулярности г не
равен нулю и имеет неявно выраженную зависимость от показателя дефор
мационного упрочнения п, как это показано в работах [8, 9]. Поэтому второй
член разложения в общем случае, строго говоря, нельзя называть несин
гулярным, поскольку для ряда значений п показатель г имеет отрица
тельное значение, хотя для большинства величин п из диапазона свойств
реальных конструкционных материалов г > 0. Для параметра амплитуды г
используется также термин - коэффициент интенсивности второго члена. В
нашем случае для исследуемого материала с показателем деформационного
упрочнения п = 5 тип сингулярности второго члена г = 0,055.
град
в, град
в, град
в, град
Рис. 6. Полярные распределения компонент перемещений для общего МКЭ-решения (а, б) и
для второго члена разложения (в, г).
На рис. 7 приведены результаты исследования амплитуды сингуляр
ности, или коэффициента интенсивности второго члена, рассчитанного по
уравнению (17). С помощью данных на рис. 7,а можно получить четкую
информацию о характере изменения коэффициента интенсивности напря
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 3 55
В. Н. Ш ляпников
Явв
Явв
Рис. 7. Изменение амплитуды второго члена разложения при различных видах двухосного
нагружения.
жений второго члена (или параметра стеснения б ) на продолжении тре
щины. Заметим, что зависимость параметра б от радиальной координаты
становится более выраженной при отрицательных значениях упругого не
сингулярного члена Г и коэффициента двухосности приложенных номи
нальных напряжений На рис. 7,б построена зависимость параметра стес
56 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 3
М етод расчет а регулярных составляющих поля напряжений
нения Q 00 от величины нормированных на предел текучести гидростати
ческих напряжений о т = о т / о 0. Напомним, что чем выше о т , тем выше
трехосность действующих напряжений. Следовательно, наибольшая степень
стеснения действующих в области вершины трещины трехосных напря
жений будет соответствовать положительным или близким к нулю значе
ниям параметра Q 00, при отрицательных величинах Q 00 эффекты стесне
ния будут меньшими. Эти результаты соответствуют выводам, полученным
в [13, 14, 18].
На рис. 7,в представлена зависимость параметра стеснения Q 00, или
амплитуды второго члена от коэффициента двухосности приложенных но
минальных напряжений ц. Можно выделить три характерные области про
явления наведенной двухосности внешнего нагружения. Первая область
высокого стеснения относится к диапазону ц Є (1,0...2,0), в котором пара
метр стеснения имеет близкое к стационарному значение. Вторая область
средних эффектов стеснения соответствует диапазону от равнодвухосного к
одноосному растяжению ц Є (0...1,0). Третья область малых эффектов стес
нения относится к отрицательным значениям коэффициента двухосности
ц Є (0_1,0). Учет сжимающих номинальных напряжений вызывает наиболь
шее отклонение всех параметров напряженно-деформированного состояния
от ХРР-решения.
Заключение. Установлена непосредственная взаимосвязь между пара
метром стеснения, или амплитудой второго члена в пластической области
вершины трещины и условиями наведенной двухосности внешнего нагру
жения. Эти данные могут быть уточнены при более полном и подробном
исследовании влияния пластических свойств материала, оценке корреляции
между значениями параметра Q, определенного по напряжениям, дефор
мациям и перемещениям, установлении различий в поведении материала
при плоской деформации и плоском напряженном состоянии и учете влия
ния смешанных форм деформирования и т.д. Обсуждение этих вопросов
является предметом последующих публикаций.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фун
даментальных исследований по гранту 03-01-96233 и Академии наук Татар
стана по гранту 05-5.3-218/2003(ф).
Р е з ю м е
Розроблено метод розрахунку амплітуди сингулярності і безрозмірного
кутового розподілу других членів розкладу напружень, деформацій і пере
міщень у пластичній області вістря тріщини. Метод побудовано на поєднан
ні аналітичного розв’язку типу Хатчинсона-Райса-Розенгрена і числового
розв’язку на основі модифікованого методу межового шару. Наведені ре
зультати дозволяють проаналізувати ефекти стискання в широкому інтер
валі умов двовісного навантаження.
1. H utchinson J. W. Singular behavior at the end of a tensile crack in a
hardening material // J. Mech. Phys. Solids. - 1968. - 16. - P. 1 3 - 3 1 .
IS S N 0556-171X. Проблемыг прочности, 2006, № 3 57
B. H. 0AMHHUKO6
2. H utchinson J. W. Plastic stress and strain fields at a crack tip // Ibid. - P. 337
- 347.
3. R ice J. R. a n d R osengren G. F. Plane strain deformation near a crack tip in
power law hardening material // Ibid. - P. 1 - 12.
4. R ice J. R . Limitations to the small scale yielding approximation for crack tip
plasticity // Ibid. - 22. - P. 17 - 26.
5. W illiam s M . L . On the stress distribution at the base of stationary crack // J.
Appl. Mech. - 1957. - 24. - P. 1 1 1 - 1 1 4 .
6. L eevers P. S. a n d R adon J. C. Inherent stress biaxiality in various fracture
specimen geometries // Int. J. Fract. - 1982. - 19. - P. 311 - 325.
7. L arsson S. G. a n d C arlsson A. J. Influence of non-singular stress terms and
specimen geometry on small-scale yielding at crack tips in elastic-plastic
materials // J. Mech. Phys. Solids. - 1973. - 21. - P. 263 - 272.
8. L i Y. a n d W ang Z. High-order asymptotic field of tensile plane-strain
nonlinear crack problems // Scientia Sinica (Ser. A). - 1986. - 29. - P. 941 -
955.
9. Sharm a S. M . a n d A ravas N . Determination of higher-order terms in
asymptotic elastoplastic crack tip solutions // J. Mech. Phys. Solids. - 1991.
- 39. - P. 1043 - 1072.
10. N ikishkov G. P ., B ruckner-F o it A ., a n d M u n z D . Calculation of the second
fracture parameter for finite cracked bodies using a three-term elastic-plastic
asymptotic expansion // Eng. Fract. Mech. - 1995. - 52. - P. 685 - 701.
11. Zhu X. K. a n d C hao Y. J. Characterization of constraint of fully plastic
crack-tip fields in non-hardening materials by the three-term solution // Int. J.
Solid. Struct. - 1999. - 36. - P. 4497 - 4517.
12. Yang S., Chao Y. J., a n d Sutton N. A . Higher order asymptotic fields in a
power law hardening material // Eng. Fract. Mech. - 1993. - 45. - P. 1 - 20.
13. Yuan H. a n d L in G. Elastoplastic crack analysis for pressure-sensitive
dilatant m aterials. Pt. I: H igher-order solutions and two-param eter
characterization // Int. J. Fract. - 1993. - 61. - P. 295 - 330.
14. Yuan H ., L in G., and C ornec A . Quantifications of crack constraint effects in
an austenitic steels // Int. J. Fract. - 1995. - 71. - P. 273 - 291.
15. B etegon C. a n d H ancock J. W. Two-parameter characterization of elastic-
plastic crack-tip fields // J. Appl. Mech. - 1991. - 58. - P. 104 - 110.
16. O 'D o w d N. P. a n d Shih C. F. Family of crack-tip fields characterized by a
triaxiality parameter-I Structure of fields // J. Mech. Phys. Solids. - 1991. -
39. - P. 989 - 1015.
17. A nderson T. L . Elastic-plastic fracture mechanics // Fracture Mechanics.
Fundamentals and Applications. - CRC Press, 1995. - P. 1 3 9 - 1 8 1 .
18. Yuan H. and B rocks W. Quantification of constraint effects in elastic-plastic
crack front fields // J. Mech. Phys. Solids. - 1998. - 46. - P. 219 - 241.
19. A ndrew s R. M . a n d G arw ood S. J. An analysis of fracture under biaxial
loading using the nonsingular T-stress // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. -
2001. - 23. - P. 53 - 62.
58 ISSN 0556-171X. npo6n.eMH npounocmu, 2006, N 3
М етод расчет а регулярныгх составляющих поля напряжений
20. T ong J. T-stress and its implications for crack growth // Eng. Fract. Mech. -
2002. - 69. - P. 1325 - 1337.
21. W ang X . Elastic T-stress for cracks in test specimens subjected to non
uniform stress distributions // Ibid. - P. 1339 - 1352.
22. A run R. Y. a n d N arasim han R. A finite element investigation of the effect of
crack tip constraint on hole growth under mode I and mixed mode loading //
Int. J. Solid. Struct. - 1999. - 36. - P. 1427 - 1447.
23. D hirendra V. K. a n d N arasim han R. Mixed-mode steady-state crack growth
in elastic-plastic solids // Eng. Fract. Mech. - 1998. - 59. - P. 543 - 559.
24. A ya to llah i M . R ., Sm ith D. J ., and P avier M . J. Determination of T-stress
from finite element analysis for mode I and mixed mode I/II loading // Int. J.
Fract. - 1998. - 91. - P. 283 - 298.
25. A ya to llah i M . R ., Sm ith D. J ., a n d P a v ier M. J. Crack-tip constraint in mode
II deformation // Ibid. - 2002. - 113. - P. 153 - 173.
26. E ftis J. a n d Subram onian N . The inclined crack under biaxial load // Eng.
Fract. Mech. - 1978. - 10. - P. 43 - 67.
27. E ftis J ., Subram on ian N ., a n d L ieb o w itz H . Crack border stress and
displacement equations revisited // Ibid. - 1977. - 9. - P. 1 8 9 - 2 1 0 .
28. Theocaris P. S. a n d M ichopoulos J. G. A closed-form solution of a slant
crack under biaxial loading // Ibid. - 1983. - 17. - P. 97 - 133.
29. Yuan F. G. a n d Yang S. Crack-tip fields in elastic-plastic material under
plane stress mode I loading // Int. J. Fract. - 1997. - 85. - P. 131 - 155.
30. Shih C. F. Small-scale yielding analysis of mixed plane strain crack problem
// Fracture Analysis (ASTM STP 560). - Philadelphia, 1974. - P. 187 - 210.
31. Shlyannikov V. N . Elastic-plastic mixed mode fracture criteria and parameters.
- Berlin: Springer, 2003. - 248 p.
32. A N S Y S V5.4. User’s Manual. - USA: Swanson Analysis Systems Inc., 1994.
nocTynana 06. 04. 2005
IS S N 0556-171X. Проблемыг прочности, 2006, № 3 59
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47854 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:57:02Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шлянников, В.Н. 2013-08-03T11:06:29Z 2013-08-03T11:06:29Z 2006 Метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в
 пластической зоне у вершины трещины отрыва / В.Н. Шлянников // Проблемы прочности. — 2006. — № 3. — С. 43-59. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47854 539.4 Разработан метод расчета амплитуды сингулярности и безразмерных угловых распределений
 вторых членов разложений напряжений, деформаций и перемещений в пластической
 области вершины трещины. Метод построен на сочетании аналитического решения типа
 Хатчинсона-Райса-Розенгрена и численного решения на основе модифицированного метода
 граничного слоя. Представленные результаты позволяют проанализировать эффекты стеснения
 в широком диапазоне условий двухосного нагружения. Розроблено метод розрахунку амплітуди сингулярності і безрозмірного
 кутового розподілу других членів розкладу напружень, деформацій і переміщень
 у пластичній області вістря тріщини. Метод побудовано на поєднанні
 аналітичного розв’язку типу Хатчинсона-Райса-Розенгрена і числового
 розв’язку на основі модифікованого методу межового шару. Наведені результати
 дозволяють проаналізувати ефекти стискання в широкому інтервалі
 умов двовісного навантаження. We developed a computational technique for
 calculation of the singularity amplitude and
 dimensionless angular distributions of the second
 terms in series expansions of stresses,
 strains and displacements in a plastic zone
 around the crack tip. The proposed technique
 combines application of the analytical solution
 of the Hutchinson-Rice-Rosengren type and a
 numerical solution based on the modified
 method of a boundary layer. The results obtained
 make it possible to analyze effects of
 constraint in a wide range of conditions of
 biaxial loading. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по гранту 03-01-96233 и Академии наук Татарстана по гранту 05-5.3-218/2003(ф). ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в пластической зоне у вершины трещины отрыва Computational technique for calculation of the stress field regular components in a plastic zone in the mode I crack tip vicinity Article published earlier |
| spellingShingle | Метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в пластической зоне у вершины трещины отрыва Шлянников, В.Н. Научно-технический раздел |
| title | Метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в пластической зоне у вершины трещины отрыва |
| title_alt | Computational technique for calculation of the stress field regular components in a plastic zone in the mode I crack tip vicinity |
| title_full | Метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в пластической зоне у вершины трещины отрыва |
| title_fullStr | Метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в пластической зоне у вершины трещины отрыва |
| title_full_unstemmed | Метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в пластической зоне у вершины трещины отрыва |
| title_short | Метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в пластической зоне у вершины трещины отрыва |
| title_sort | метод расчета регулярных составляющих поля напряжений в пластической зоне у вершины трещины отрыва |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47854 |
| work_keys_str_mv | AT šlânnikovvn metodrasčetaregulârnyhsostavlâûŝihpolânaprâženiivplastičeskoizoneuveršinytreŝinyotryva AT šlânnikovvn computationaltechniqueforcalculationofthestressfieldregularcomponentsinaplasticzoneinthemodeicracktipvicinity |