Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель

Развита численная модель ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости вокруг квадратной призмы при умеренных числах Рейнольдса. Интегрирование уравнений Навье-Стокса в переменных "завихренность-скорость'' выполняется с применением алгоритма, в котором конвективный перенос завихренн...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2005
Main Authors:	Горбань, В.О., Горбань, І.М.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2005
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4786
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель / В. О. Горбань, I. М. Горбань // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 8-26. — Бібліогр.: 41 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859644605580967936
author	Горбань, В.О. Горбань, І.М.
author_facet	Горбань, В.О. Горбань, І.М.
citation_txt	Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель / В. О. Горбань, I. М. Горбань // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 8-26. — Бібліогр.: 41 назв. — укр.
collection	DSpace DC
description	Развита численная модель ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости вокруг квадратной призмы при умеренных числах Рейнольдса. Интегрирование уравнений Навье-Стокса в переменных "завихренность-скорость'' выполняется с применением алгоритма, в котором конвективный перенос завихренности моделируется движением Лагранжевых вихревых элементов, а диффузия завихренности расчитывается на многослойной адаптивной сетке. С целью снижения гидродинамических нагрузок на тело предлагаются пассивные схемы управления, основанные на использовании тонких пластин, которые устанавливаются либо на лобовой грани призмы, либо в ее следе. В первом случае с помощью двух симметричных пластин подавляется интесивность вихрей, генерирующихся на передних ребрах призмы, а во втором - длинная пластина, примыкающая к задней стенке призмы, используется для симметризации следа. Уменьшение генерации завихренности вблизи поверхности тела приводит к сужению следа, что выражается в уменьшении гидродинамических нагрузок. Показано, что при оптимальном выборе параметров управляющей системы сопротивление тела может быть значительно снижено. Побудована чисельна модель ламiнарної течiї в'язкої нестисливої рiдини навколо квадратної призми при помiрних числах Рейнольдса. Iнтегрування рiвнянь Нав'є-Стокса в змiнних "завихренiсть-швидкiсть'' виконується за допомогою алгоритму, в якому конвективний перенос завихреностi моделюється рухом Лагранжових вихрових елементiв, а диффузiя завихреностi розраховується на багатошаровiй адаптивнiй сiтцi. З метою зменшення гiдродинамiчних навантажень на тiло пропонуються пасивнi схеми управлiння, якi грунтуються на використаннi тонких пластин, що встановлюються або на лобовiй гранi призми, або в її слiдi. В першому випадку за допомогою двох симетричних пластин досягається зменшення iнтенсивностi вихорiв, що утворюються на переднiх ребрах призми, в другому - довга пластина, з'єднана iз задньою стiнкою призми, використовується для симетризацiї слiду. Зменшення генерацiї завихреностi бiля поверхнi тiла призводить до помiтного звуження слiду, а також до зниження гiдродинамiчних навантажень. Показано, що при оптимальному виборi параметрiв управляючої системи можна досягти значного зменшення опору тiла. A coupled Larangian-Eulerian numerical scheme for modeling the laminar flow of viscous incompressible fluid past a square prism at moderate Reynolds numbers is developed. The two-dimensional Navier-Stokes equations are solved with the vorticity-velocity formulation. The convection step is simulated by motion of Lagrangian vortex elements and diffusion of vorticity is calculated on the multi-layered adaptive grid. To reduce the dynamic loads on the body, the passive control techniques using special thin plates are proposed. The plates are installed either on the windward side of prism or in its wake. In the first case, the installation of a pair of symmetrical plates produces substantial decreasing the intensity of the vortex sheets separating in the windward corners of prism. In the second case, the wake symmetrization is achieved with the help of a long plate abutting upon the leeward surface. Both the ways bring narrowing of the wake and, as a result, decrease of the dynamic loads. With optimal parameters of the control system, the drag reduction is shown to decrease considerably.
first_indexed	2025-12-07T13:26:37Z
format	Article
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 УДК 532.5 ВИХРОВА СТРУКТУРА ПОТОКУ ПРИ ОБТIКАННI КВАДРАТНОЇ ПРИЗМИ: ЧИСЛОВА МОДЕЛЬ В. О. ГО Р БА Н Ь, I. М. Г О РБ А Н Ь Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ Одержано 20.05.2005 Побудована чисельна модель ламiнарної течiї в’язкої нестисливої рiдини навколо квадратної призми при помiрних числах Рейнольдса. Iнтегрування рiвнянь Нав’є-Стокса в змiнних “завихренiсть-швидкiсть” виконується за допомо- гою алгоритму, в якому конвективний перенос завихреностi моделюється рухом Лагранжових вихрових елементiв, а диффузiя завихреностi розраховується на багатошаровiй адаптивнiй сiтцi. З метою зменшення гiдродинамiчних навантажень на тiло пропонуються пасивнi схеми управлiння, якi грунтуються на використаннi тонких пластин, що встановлюються або на лобовiй гранi призми, або в її слiдi. В першому випадку за допомогою двох симетричних пластин досягається зменшення iнтенсивностi вихорiв, що утворюються на переднiх ребрах призми, в другому – довга пластина, з’єднана iз задньою стiнкою призми, використовується для симетризацiї слiду. Зменшення генера- цiї завихреностi бiля поверхнi тiла призводить до помiтного звуження слiду, а також до зниження гiдродинамiчних навантажень. Показано, що при оптимальному виборi параметрiв управляючої системи можна досягти значного зменшення опору тiла. Развита численная модель ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости вокруг квадратной призмы при умеренных числах Рейнольдса. Интегрирование уравнений Навье-Стокса в переменных “завихренность-скорость” выполняется с применением алгоритма, в котором конвективный перенос завихренности моделируется движением Лагранжевых вихревых элементов, а диффузия завихренности расчитывается на многослойной адаптивной сетке. С целью снижения гидродинамических нагрузок на тело предлагаются пассивные схемы управления, основанные на использовании тонких пластин, которые устанавливаются либо на лобовой грани призмы, либо в ее следе. В первом случае с помощью двух симметричных пластин подавляется интесивность вихрей, генерирующихся на пе- редних ребрах призмы, а во втором – длинная пластина, примыкающая к задней стенке призмы, используется для симметризации следа. Уменьшение генерации завихренности вблизи поверхности тела приводит к сужению следа, что выражается в уменьшении гидродинамических нагрузок. Показано, что при оптимальном выборе параметров управляющей системы сопротивление тела может быть значительно снижено. A coupled Larangian-Eulerian numerical scheme for modeling the laminar flow of viscous incompressible fluid past a square prism at moderate Reynolds numbers is developed. The two-dimensional Navier-Stokes equations are solved with the vorticity-velocity formulation. The convection step is simulated by motion of Lagrangian vortex elements and diffusion of vorticity is calculated on the multi-layered adaptive grid. To reduce the dynamic loads on the body, the passive control techniques using special thin plates are proposed. The plates are installed either on the windward side of prism or in its wake. In the first case, the installation of a pair of symmetrical plates produces substantial decreasing the intensity of the vortex sheets separating in the windward corners of prism. In the second case, the wake symmetrization is achieved with the help of a long plate abutting upon the leeward surface. Both the ways bring narrowing of the wake and, as a result, decrease of the dynamic loads. With optimal parameters of the control system, the drag reduction is shown to decrease considerably. ВСТУП Гiдродинамiчнi характеристики тiла необтiчної форми визначаються вихровою структурою пото- ку поблизу нього. Насамперед, вони залежать вiд того, вiдривною чи безвiдривною є пристiнна те- чiя. У випадку безвiдривної течiї при великих чи- слах Рейнольдса такi потоки є турбулентними, а опiр тiла визначається частотою та iнтенсивнiстю викидiв когерентних вихрових утворень iз буфер- ної зони пограничного шару в зовнiшню область. Незважаючи на малi розмiри цих вихрових струк- тур, саме вони визначають енергообмiн мiж пото- ком i тiлом. На загальну картину обтiкання тiл впливає також спiввiдношення мiж процесами ге- нерацiї завихреностi та її дифузiї в пристiннiй областi. Для побудови схем управлiння, що забез- печували б зменшення опору тiла, в цьому випад- ку слiд розглядати динамiку вихорiв, розмiри яких є близькими до ширини буферної зони або тов- щини пограничного шару. Про значнi можливо- стi управлiння вихровою структурою пристiнних течiй свiдчать численнi теоретичнi i експеримен- тальнi дослiдження [1 – 4]. Ряд схем i конструкцiй, запропонованих для трансформацiї пристiнної те- чiї, наприклад, турбулiзатори, генератори вихорiв, руйнувачi вихорiв, рiблети, поперечнi канавки, iн- жектори спецiальних струменiв, знайшли практи- чне застосування в авiацiї, морськiй технiцi та в гiдравлiчних пристроях. Iнший випадок – це вiдривне обтiкання тiл не- обтiчної форми (з гострими ребрами або з вели- кими вiд’ємними градiєнтами тиску над гладкими дiлянками поверхнi). Воно супроводжується гене- рацiєю вихрових структур, розмiри яких є спiв- мiрними з геометричними параметрами тiла, що обтiкається. Утворення вихорiв призводить до не- зворотнiх втрат енергiї у потоцi та вносить неси- 8 c© В. О. Горбань, I. М. Горбань, 2005 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 метрiю у картину обтiкання симетричних констру- кцiй. Гiдродинамiчнi характеристики тiла в дано- му випадку визначаються динамiкою сформованої циркуляцiйної течiї. Нестiйкiсть i динамiчнi влас- тивостi циркуляцiйної зони визначаються рухом i взаємодiєю в нiй вихрових структур. Вiдомо, що в однорiднiй нестисливiй рiдинi за- вихренiсть генерується лише на тiлi та на гра- ницях областi, в якiй воно рухається. Iнтенсив- нiсть генерацiї завихреностi залежить вiд локаль- ної кривизни поверхнi тiла. На гладких дiлянках поверхнi вона є значно меншою, нiж при обтiкан- нi гострих ребер. Тому iнколи можна обмежитись аналiзом динамiки завихреностi, що сходить з кра- їв тiла. Прикладом такого пiдходу можуть служи- ти роботи з чисельного аналiзу обтiкання крил з гострою задньою кромкою [5]. Шари завихрено- стi, сформованi внаслiдок вiдриву, пiд дiєю малих випадкових збурень розпадаються на окремi ви- хори, якi, об’єднуючись, утворюють великi цирку- ляцiйнi зони (нестiйкiсть Кельвiна–Гельмгольца). З часом, внаслiдок дiї в’язких сил, на динамiку вихрових утворень починають впливати процеси дифузiї, зокрема, в’язка дифузiя зумовлює гене- рацiю нової завихреностi на гладких дiлянках по- верхнi. Таким чином, при обтiканнi тiла, як пра- вило, маємо декiлька джерел завихреностi, розта- шованих на гострих ребрах, а також на гладких дiлянках поверхнi. Цi джерела взаємодiють мiж собою як безпосередньо (змiшуванням), так i че- рез гiдродинамiчне поле швидкостi. Практичний iнтерес викликає можливiсть зменшення iнтенсив- ностi одного джерела завихреностi пiд впливом iншого. Наприклад, змiнюючи взаємне розташу- вання джерел завихреностi шляхом трансформа- цiї форми тiла, можна iстотно зменшити iнтенсив- нiсть вихорiв, якi утворюються при обтiканнi тiла. В такому випадку вiдповiдно спадає опiр тiла та зменшується рiвень нестацiонарних бокових сил. Штучна модифiкацiя структури вiдривної течiї навколо тiла є одним iз сучасних напрямкiв теорiї управлiння потоками. В її основi лежить розробка алгоритмiв, спрямованих на формування поблизу тiла крупних вихроутворень iз заданими власти- востями [6 – 9]. Засоби генерацiї штучних вихорiв можуть бути пасивними (коли мета – подавлення процесiв генерацiї завихреностi – досягається мо- дифiкацiєю форми конструкцiї) або активними (з використанням елементiв управлiння, наприклад, з вiдбором рiдини через щiлини чи проникнi дiлян- ки поверхнi тiла, шляхом iнжекцiї рiдини, введен- ня полiмерних домiшок у пристiнну область, шля- хом дiї електричного та магнiтного полiв). Перший клас методiв не потребує додаткових витрат енер- гiї. Перевагою активних схем управлiння є їх ада- птивнiсть, можливостi розвитку та застосування алгоритмiв управлiння зi зворотнiм зв’язком, ко- ли iнтенсивнiсть i напрямок зовнiшнього впливу на потiк залежать вiд умов обтiкання. В данiй роботi розглядаються схеми управлiння структурою течiї поблизу тiла необтiчноi форми, спрямованi на зменшення гiдродинамiчного опо- ру та вiбрацiї конструкцiй в потоцi. Це важливо, наприклад, для пiдвищення надiйностi будiвель- них конструкцiй, зменшення акустичних шумiв та енерговитрат при руci тiл у водi. Для розроб- ки алгоритмiв управлiння важливим є розумiння процесiв генерацiї, еволюцiї та динамiки вихорiв у потоцi поблизу тiла. Апробацiю нових алгоритмiв можна проводити на прикладах обтiкання вiдно- сно простих тiл. З цiєї точки зору широкi можли- востi апробацiї алгоритмiв управлiння потоками навколо тiл необтiчної форми дає аналiз обтiкання квадратної призми. Вивчення структури течiї навколо квадратної призми є важливим як з точки зору поглиблен- ня розумiння закономiрностей фiзичних процесiв, пов’язаних з генерацiєю та взаємодiєю вiдривних циркуляцiйних зон, одержання типових картин, що формуються при обтiканнi тiла необтiчної фор- ми, так i для вирiшення практичних iнженерних задач динамiки та мiцностi конструкцiй, якi екс- плуатуються в потоках води або вiтру (обтiкання мостових опор, висотних будiвель, елементiв океа- нографiчного устаткування, офшорних конструк- цiй). У значнiй кiлькостi експериментальних робiт, присвячених вивченню течiї за квадратною при- змою, аналiз проводився при великих числах Рей- нольдса [10 – 13]. Саме цей дiапазон є важливим для бiльшостi iнженерних задач. Результати до- слiджень вказують на те, що картина течiї за ква- дратною призмою i її гiдродинамiчнi характери- стики значно менше залежать вiд числа Рейнольд- са, нiж це має мiсце для кругового цилiндра, i вже при Re > 103 змiнюються слабо. Це зумовлено наявнiстю фiксованого вiдриву на гострих ребрах, внаслiдок чого частота вiдриву вихорiв є прибли- зно постiйною. Зазначимо, що при помiрних чи- слах Рейнольдса, 5 · 10 ≤ Re ≤ 5 · 103, структура потоку навколо призми є досить складною. Це зу- мовлює певнi змiни числа Струхаля та коефiцiєн- тa опору квадратної призми при зростаннi числа Рейнольдса [14]. Першi чисельнi дослiдження течiї за ква- дратною призмою пов’язанi з використанням дискретно-вихрового методу [15 – 17]. Одержанi в цих роботах коефiцiєнти опору та частоти зри- В. О. Горбань, I. М. Горбань 9 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 ву вихорiв близькi до експериментальних значень при Re → ∞. Зi зменшенням числа Рейнольдса невiдповiднiсть розрахованих та експерименталь- них значень зростає. Чисельнi моделi течiї навколо квадратної при- зми, якi враховують в’язкi ефекти, грунтуються на повнiй системi рiвнянь Нав’є-Стокса. В бiль- шостi таких дослiджень розглядаються двовимiрнi задачi при малих та помiрних числах Рейнольдса. Одним iз перших i найбiльш повних дослiджень у цьому напрямку є робота [18]. Запропонований в нiй алгоритм розрахунку комбiнує в собi елемен- ти методу сiток та скiнченних об’ємiв. Зважаючи на обмеженi можливостi обчислювальної технiки, розрахунки виконано на грубiй сiтцi. Одержанi да- нi для коефiцiєнту гiдродинамiчного опору та чис- ла Струхаля, що характеризує частоту зриву ви- хорiв, на 10-20 % вiдрiзняються вiд їхнiх експери- ментальних значень. У роботi [19] вивчення ламiнарної течiї за ква- дратним цилiндром, що коливається, проводиться методом скiнченних об’ємiв. Розглянуто основнi режими, якi виникають внаслiдок накладання ви- мушених коливань цилiндра на його власнi ко- ливання, викликанi зривом вихорiв. У роботi [20] цей саме метод використовується для дослiдження двовимiрної та тривимiрної течiй за квадратною призмою при помiрних числах Рейнольдса. Одер- жанi результати свiдчать, що перехiд вiд двови- мiрного до тривимiрного режиму вiдбувається в дiапазонi чисел Рейнольдса вiд 150 до 200. У той же час показано, що число Струхаля i коефiцiєнт опору тiла, одержанi при двовимiрному моделю- ваннi, є достатньо близькими до їхнiх експеримен- тальних значень. Сiтковий чисельний алгоритм, використаний в роботi [21] для аналiзу обтiкання квадратного ци- лiндра, що повертається навколо поздовжньої осi, грунтується на використаннi рiвнянь Нав’є-Стокса в змiнних “завихренiсть-функцiя течiї”. Перевагою цього пiдходу є вiдсутнiсть у рiвняннях членiв з тиском, що дає можливiсть використати явнi схе- ми розрахункiв по часовi i прибирає проблему ви- бору граничних умов для тиску. В бiльшостi методiв чисельного моделювання в’язких течiй нестисливої рiдини незалежними шуканими величинами є швидкiсть i тиск. Бiльш зручна, з точки зору чисельного моделювання, форма рiвнянь Нав’є-Стокса була запропонована в роботi Лайтхiлла [22]. Тут як незалежнi шу- канi величини розглядаються швидкiсть i зави- хренiсть. Це дає можливiсть видiлити задачу кi- нематики рiдини, застосувавши узагальнений за- кон Бiо-Савара. Чисельнi моделi в рамках тако- го пiдходу зводяться до граничного iнтегрально- го рiвняння для швидкостi. Окремо розглядаю- ться задачi для завихреностi, що теж приводять до граничних iнтегральних рiвнянь [23]. Значною перевагою такого пiдходу є те, що при розрахун- ку швидкостi враховується лише розподiл завихре- ностi. В бiльшостi задач гiдромеханiки область, зайнята завихреною рiдиною, є значно меншою за область немалих збурень швидкостi. Тому розмiри розрахункової областi в рамках пiдходу, що роз- глядається, можуть бути набагато меншими, нiж у випадку, коли шуканими є функцiї швидкостi i тиску. Бiльше того, в задачах зовнiшнього обтiкан- ня тiл граничнi умови для швидкостi на нескiн- ченностi виконуються точно шляхом аналiтичного вибору функцiї Грiна, що входить y рiвняння Бiо- Савара. В деяких випадках, наприклад для пло- скої стiнки, так само можна виконати i частину граничних умов на стiнцi (умову непротiкання). В данiй роботi для розрахунку течiї за ква- дратним цилiндром i аналiзу деяких схем управ- лiння пропонується узагальнений вихровий алго- ритм. Вiн грунтується на повнiй системi рiвнянь Нав’є-Стокса в змiнних “завихренiсть-швидкiсть” i поєднує використання сiток, Лагранжових вихро- вих частинок та методу дискретних вихорiв. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI Розглядається двовимiрна задача про обтiкання квадратного цилiндра в’язкою нестисливою рiди- ною. Вважаючи, що основними параметрами зада- чi є швидкiсть течiї на нескiнченностi U∞ та дов- жина сторони квадрату a, отримуємо наступний безрозмiрний вигляд рiвнянь Нав’є-Стокса: ∂V ∂t = (V · ∇)V = −4p+ 1 Re ∇2V, (1) ∇ · V = 0, (2) де V (x, y, t) – швидкiсть рiдини; p(x, y, t) – тиск; ν – в’язкiсть рiдини; Re = U∞a/ν . Якщо вiдносно кожного члена рiвняння (1) ви- конати операцiю rotor i ввести завихренiсть ω = = ∇ × V , то, використовуючи (2), одержимо рiв- няння, яке описує еволюцiю та поширення зави- хреностi в областi. Для плоских задач, зокрема, маємо: ∂ω ∂t + (V · ∇)ω = 1 Re 4ω. (3) З рiвняння (3) випливає: якщо в момент часу t швидкiсть i завихренiсть в областi вiдомi, то мо- жна знайти розподiл завихреностi в наступний мо- 10 В. О. Горбань, I. М. Горбань ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 мент часу t + ∆t. Пiсля цього, на основi нових одержаних значень ω, використовуючи формулу Бiо-Савара та враховуючи граничнi умови на по- верхнi тiла, знаходимо новi значення швидкостi в областi. Цей цикл обчислень вперше був описаний Лайтхiлом [22]. Вiдмiннiсть чисельних алгоритмiв, що грунтуються на ньому, полягає в способах об- числення дифузiї та конвекцiї завихреностi, а та- кож у рiзних пiдходах до моделювання процесiв генерацiї завихреностi на стiнках тiла. Для розв’язання задачi поширення завихрено- стi ω необхiдно виконати граничнi умови на тi- лi i на нескiнченностi. Для швидкостi V (x, y, t) = = Vn(x, y, t) + Vτ (x, y, t) це є стандартнi умови не- протiкання i прилипання: Vn(x, y, t)\|L = Un body , (4) Vτ(x, y, t)\|L = Uτ body, (5) де Ubody = Un body + Uτ body – швидкiсть тiла, яка в загальному випадку складається iз швидкостей поступального та обертального рухiв; L – границя тiла. Вибiр граничної умови на поверхнi тiла L для функцiї ω є нетривiальною задачею. Вiн пов’яза- ний зi способом описання генерацiї завихреностi стiнками тiла. Згiдно методу Лайтхiла, поверхня тiла замiнюється неперервним вихровим шаром. У цьому випадку значення завихреностi на стiнцi ω0 зв’язане з iнтенсивнiстю цього вихрового шару γ. Iснують рiзнi пiдходи до знаходження функцiї ω. Один з них грунтується на тому, що величина розриву дотичної швидкостi Vτ в iдеальнiй не- стисливiй рiдинi при переходi через вихровий шар дорiвнює γ/2 [24]. Тодi, зважаючи на умову при- липання, на поверхнi L повинно виконуватись: V 0 τ + γ/2 = 0. Якщо врахувати, що ω0 = γ/h (тут h – задана ма- ла вiдстань по нормалi вiд стiнки або вiдповiдний крок дискретизацiї для розрахункової сiтки, зв’я- заної з тiлом), маємо: ω0 = − 2V 0 τ h ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ L . (6) Швидкiсть Vτ в формулi (6) розраховується без- посередньо на стiнцi. В роботах [25, 26] для визначення величини ω0 пропонується використовувати розклад у ряд Тей- лора дотичної швидкостi бiля поверхнi тiла. В такому випадку, наприклад, для горизонтальної стiнки отримуємо: ω0 = − 2Vτ (x, h/2) h + ∂2Vτ ∂y2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ y=0 h/4+O(h2)+... . (7) Якщо в формулi (7) залишити лише малi вели- чини першого порядку, то одержимо вираз, який є аналогом вiдомої формули Томсона в моделi ω − ψ [26]. Вирази (6), (7) є прикладами умови Дiрiхлє для функцiї ω0. У роботi [27] використо- вується умова Неймана для потiку завихреностi. Треба вiдзначити, що ще не iснує строгого матема- тичного обгрунтування граничних умов для функ- цiї ω, яке б спiввiдносило iнтенсивнiсть вихрового шару навколо тiла iз завихренiстю, що генерується його стiнками. В кожному конкретному випадку вибiр граничної умови для функцiї ω визначає- ться особливостями чисельного методу, який ви- користовується для розв’язання рiвняння перено- су завихреностi (3). Тут розглядається необмежений потiк рiдини. Тому для збурень швидкостi рiдини, викликаних тiлом, виконується умова затухання: V (x, y, t) → U∞, if r = √ x2 + y2 → ∞. (8) Формулювання задачi доповнюється початковими умовами: V (x, y, 0) = U∞(x, y), ω(x, y, 0) = ∇× U∞(x, y). (9) 2. ЧИСЕЛЬНИЙ АЛГОРИТМ Для моделювання течiї, що описується рiвнян- ням (3) з вiдповiдними граничними та початкови- ми умовами, в роботi пропонується узагальнений вихровий метод, який поєднує використання сiток i Лагранжових вихрових частинок та грунтується на досвiдi побудови чисельних алгоритмiв на осно- вi дискретно-вихрових апроксимацiй. Конфiгурацiя розрахункової областi i зв’язана з тiлом система координат, якi використовуються в задачi, показанi на рис. 1. Враховуючи, що єдиним джерелом завихреностi в потоцi є поверхня тiла, на входi в розрахункову область течiю можна вва- жати безвихровою: ω\|AB = 0, V\|AB = U∞. (10) В. О. Горбань, I. М. Горбань 11 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 Рис. 1. Розрахункова область На iнших границях цiєї областi вважаємо [28]: ∂2ω ∂y2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ BC = 0, ∂2ω ∂y2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ AD = 0, ∂2ω ∂x2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ CD = 0. (11) Границя тiла L моделюється неперервним ви- хровим шаром. Для знаходження його iнтенсив- ностi γ використовується метод граничних iнте- гральних рiвнянь. З умови непротiкання (4) одер- жуємо наступне рiвняння: ∫ L γ(−→r ′, t) ∂G(−→r ,−→r ′) ∂n dl(−→r ′)+ + ∫ S ω(−→r ′, t) ∂G(−→r ,−→r ′) ∂n ds(−→r ′) = Vn body, (12) де −→r = −→r (t), −→r ′ = −→r ′(t) – радiус-вектори точок; G(−→r ,−→r ′) – функцiя Грiна, яка для плоскої задачi у випадку безграничної рiдини має вигляд: G(−→r ,−→r ′) = 1 2πi ln(−→r − −→r ′). Крiм того, повинна виконуватись теорема про по- стiйнiсть циркуляцiї в областi: ∫ L γ(−→r ′, t) dl(−→r ′) + ∫ S ω(−→r ′, t) ds(−→r ′) = 0. (13) Поле швидкостi в областi визначається на основi теореми Бiо-Савара: V (−→r , t) = U∞ + ∫ L γ(−→r ′, t) ∂G(−→r ,−→r ′) ∂n dl(−→r ′)+ + ∫ S ω(−→r ′, t) ∂G(−→r ,−→r ′) ∂n ds(−→r ′). (14) Поле завихреностi апроксимується системою Лагранжових вихрових елементiв, тобто таких ча- стинок, що рухаються разом з рiдиною та мають циркуляцiю: ω(−→r , t) ≈ ∑ k Γkfδ(−→r − −→r k), (15) де Γk, −→r k – циркуляцiя i положення k−го вихора; f(−→r −−→r k) – функцiя вихора, яка в iдеальнiй рiди- ни дорiвнює функцiї Дiрака; δ – радiус ядра вихо- ра (вважається, що в ядрi вихора в’язкi ефекти є iстотними, а поза ним поле швидкостi потенцiйне). Якщо на поле течiї накласти сiтку таким чином, що в кожнiй її клiтинцi з номером k рiвномiрно розподiлена завихренiсть ω(xk, yk, t), то циркуля- цiя вихрової частинки, яка вiдповiдає цiй клiтинцi, дорiвнює: Γk(t) = ω(xk, yk, t)4sk, (16) де 4sk – площа елемента сiтки. Введення ядра вихора та функцiї fδ є одним iз способiв регуляризацiї руху вихорiв, що широ- ко використовується в сучасних вихрових методах [29 – 31]. Такий пiдхiд дозволяє позбутися сингу- лярностi в точцi розташування вихора, яка при- зводить до виникнення неправдиво великих швид- костей, викликаних (iндукованих) сусiднiми ви- хорами. Замiсть точкових вихорiв розглядаються так званi вихровi каплi (“vortex blobs”) з радiусом ядра δ. Докладна дискусiя, що стосується вибору функцiї fδ i радiусу δ, наведена в монографiї [31]. У данiй роботi використовувалась функцiя Гауса другого порядку [30]: fδ(r − rk) = exp ( −(r − rk)2 ) /δ2 πδ2 . Величина ядра вихора пов’язана з розмiром h елемента рiвномiрної ортогональної сiтки спiввiдношенням: δ = h0.9. Процес дискретизується по часовi з кроком 4t. На кожному часовому кроцi нелiнiйне рiвняння (3) 12 В. О. Горбань, I. М. Горбань ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 розщеплюється на два, перше з яких описує по- ширення завихреностi шляхом в’язкої дифузiї, а друге – шляхом конвекцiї: ∂ω ∂t = 1 Re 4ω, (17) ∂ω ∂t = − (V · ∇)ω. (18) Зазначимо, що для чисельного iнтегрування систе- ми рiвнянь (17), (18) використовується явна схема по часовi. На поле течiї накладається рiвномiрна ортого- нальна сiтка з розмiрами клiтинки 4x, 4y. Тодi кожному елементу сiтки вiдповiдає вихор iнтен- сивностi Γij = ωij4x4y. Як вже вiдзначалося, поверхня тiла моделю- ється вихровою пеленою. В розрахунковiй схемi для знаходження її iнтенсивностi використовує- ться метод дискретних вихорiв [5]. Згiдно з ним, сторони квадрата дiляться на вихровi вiдрiзки рiв- ної довжини, i кожен з них замiнюється дискре- тним вихором циркуляцiї Γ∗ l , яка дорiвнює iнтен- сивностi пелени вздовж вiдрiзку: Γ∗ l = γ∗(l)4l, l = 1, 2, ..., N, де 4l – довжина вiдрiзку; N – кiлькiсть вихорiв, розташованих вздовж границi (приєднаних). Контрольнi точки, в яких виконуються iнте- гральнi рiвняння (12), (13), розташовуються по- середенi мiж сусiднiми вихорами. Тодi знаходжен- ня iнтенсивностi вихрової пелени, що моделює гра- ницю тiла, зводиться до розв’язання (на кожному кроцi по часовi) N лiнiйних алгебраїчних рiвнянь вiдносно невiдомих циркуляцiй приєднаних вихо- рiв: N ∑ l=1 Γ∗ l (v ∗ n)ml = − 2πU∞− − ∑ i ∑ j Γij(vn)mij , m = 1, 2, ...,N − 1, N ∑ l=1 Γ∗ l = − ∑ i ∑ j Γij, (19) де (v∗n)ml – нормальна швидкiсть, що iндукується в m-нiй контрольнiй точцi l-тим приєднаним вихо- ром; (vn)mij – нормальна швидкiсть в m-нiй кон- трольнiй точцi вiд вихорiв, розташованих у вузлах сiтки поза границею тiла. Розв’язавши систему (19) i застосувавши фор- мулу (6), знаходимо завихренiсть ω на стiнках тiла. Щоб забезпечити виконання умови Кутта- Жуковського в гострих кромках квадрата, сiтка вздовж його поверхнi накладається таким чином, що в кутових точках знаходяться вихори. Цi ви- хори вважаються вiльними, тобто рухаються з мi- сцевою швидкiстю рiдини. Такий пiдхiд був запро- понований С.М. Бiлоцеркiвським i успiшно вико- ристовувався для розрахунку обтiкання крил та тiл необтiчної форми дискретно-вихровим мето- дом [5]. З урахуванням дискретизацiї поля течiї i по- верхнi тiла формула (14) для обчислення компо- нент швидкостi u, v в областi приймає наступний вигляд: u(x, y) = U∞ − N ∑ l=1 Γ∗ l 2π y − yl (x− xl)2 + (y − yl)2 × × ( 1 − exp [ (x− xl) 2 + (y − yl) 2 ] /δ2 ) − − ∑ i ∑ j Γ∗ ij 2π y − yij (x− xij)2 + (y − yij)2 × × ( 1 − exp [ (x− xij) 2 + (y − yij) 2 ] /δ2 ) , v(x, y) = N ∑ l=1 Γ∗ l 2π x− xl (x− xl)2 + (y − yl)2 × × ( 1 − exp [ (x− xl) 2 + (y − yl) 2 ] /δ2 ) + + ∑ i ∑ j Γ∗ ij 2π x− xij (x− xij)2 + (y − yij)2 × × ( 1 − exp [ (x− xij) 2 + (y − yij) 2 ] /δ2 ) . (20) Для розв’язання рiвняння в’язкої дифузiї (17) похiднi другого порядку по просторових змiнних апроксимуються на рiвномiрнiй сiтцi центральни- ми рiзницями. Похiдна по часовi апроксимується за явною схемою першого порядку. Тодi, якщо вi- домi значення завихреностi у вузлах сiтки в мо- мент часу t, ї ї новi значення ωt+4t знаходяться за формулою: ωt+4t ij = ωt ij + 4t Re ( ωt i+1 j − 2ωt i j − ωt i−1 j 4x2 + + ωt i j+1 − 2ωt i j − ωt i j−1 4y2 ) . (21) Зазначимо, що застосування формули (21) вно- сить похибки в розрахунки, якi є джерелом шту- чної в’язкостi. Ця схемна в’язкiсть залежить вiд В. О. Горбань, I. М. Горбань 13 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 крокiв дискретизацiї як по часовi, так i по про- стору. Вона пов’язана, зокрема, з неврахуванням дифузiї на першому прилеглому до стiнки шаровi сiтки у напрямку нормалi до поверхнi тiла. Для зменшення похибки та штучної в’язкостi можна використати точний розв’язок рiвняння (17), який має вигляд [32]: ωt+4t(r) = ∫ S ωt(−→r ′)G(−→r ,−→r ′) d−→r ′, (22) де G(−→r ,−→r ′) – функцiя Грiна, G(−→r ,−→r ′) = Re 4π4t exp [ − 1 44t (−→r − −→r ′ )2 ] . Математичнi аспекти застосування цiєї схеми та проблеми, пов’язанi з врахуванням впливу гра- ниць на процес дифузiї, розлянутi в роботi [33]. Пiдхiд на основi функцiї Грiна (22) є бiльш то- чним, але вимагає значних ресурсiв комп’ютера. Ефективнiсть використання формул (21), (22) за- лежить вiд числа Рейнольдса. Формула (21) є ефе- ктивнiшою при невеликих числах Рейнольдса, пе- реваги другої схеми зростають iз його збiльшен- ням. Рiвняння (18) спiвпадає з вiдповiдним рiвнян- ням, яке описує рух завихреностi в iдеальнiй не- стисливiй рiдинi, де вихори рухаються разом iз ча- стинками рiдини, а їхня iнтенсивнiсть не змiнює- ться з часом. Тому замiсть нього можна розгляда- ти рiвняння руху вихрових частинок xv, yv : dxv dt = uv, dyv dt = vv. (23) Такий пiдхiд використовується в традицiйних вихрових алгоритмах [31], якi потребують прове- дення складної процедури перерозподiлу циркуля- цiї вiльного вихора на вузли сiтки (regridding). За- значимо, що чисельне iнтегрування рiвнянь (23) та застосування наближених (regridding) алгоритмiв, iстотно пiдвищують штучну в’язкiсть розрахунко- вої схеми. У цiй роботi для iнтегрування рiвняння (18) про- понується розглядати поле течiї як сукупнiсть дис- кретних об’ємiв, для кожного з яких виконується закон збереження завихреностi: ∫ 4Q ∂ω ∂t dq = − ∫ 4S ω ( −→ V · −→n ) dS, (24) де 4Q – дискретний об’єм, на якi подiлена область течiї; 4S, −→n – поверхня цього об’єму та зовнiшня Рис. 2. Схема елемента сiтки нормаль до неї. З кожним дискретним об’ємом по- в’язаний вузол сiтки (xij, yij) iз завихренiстю ωij (рис. 2). Виходячи з (24), конвекцiя завихреностi для цього елемента сiтки в заданий момент часу t описується наступним виразом: 4ωt ij 4t 4x4y ≈ ωt i−1ju t i−1j4y + ωt ij−1v t ij−14x− −ωt i+1ju t i+1j4y − ωt ij+1v t ij+14x− −ωt iju t ij4y − ωt ijv t ij4x. Звiдси одержуємо циркуляцiю вихрового елемен- та, що розглядається, в наступний момент часу t+ 4t: Γt+4t ij = Γt ij+ + ( ωt i−1ju t i−1j4y + ωt ij−1v t ij−14x− −ωt i+1ju t i−+1j4y − ωt ij+1v t ij+14x− −ωt iju t ij4y − ωt ijv t ij4x ) 4t. (25) Компоненти швидкостi вихорiв u, v знаходя- ться за виразами (20). Треба вiдзначити, що сiтка, яка накладається на поле течiї, є адаптивною, в то- му сенсi, що в кожний момент часу розглядаються лише тi її вузли, в яких завихренiсть не дорiвнює нулю. Ця особливiсть дозволяє значно оптимiзува- ти розрахунки поля швидкостi. В цiлому алгоритм обчислень на кожному кроцi по часовi виглядає наступним чином: 1. По вiдомим з попереднього кроку значенням завихреностi в областi iз системи алгебраїчних рiв- нянь (19) визначається iнтенсивнiсть приєднано- го вихрового шару та вихорiв, розташованих у го- стрих кромках границi. 14 В. О. Горбань, I. М. Горбань ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 2. Iз граничної умови (6) знаходиться завихре- нiсть, що генерується поверхнею тiла. 3. Використовуючи граничнi умови (10), (11), обчислюються значення завихреностi на границях розрахункової областi. 4. Чисельним iнтегруванням рiвняння дифу- зiї за формулою (21) розраховуються промiжнi значення завихреностi ω∗ ij у внутрiшнiх точках областi течiї. 5. З урахуванням одержаного розподiлу зави- хреностi коректується iнтенсивнiсть приєднаного вихрового шару так, щоб задовiльнялася умова не- протiкання через поверхню. 6. По отриманому полю завихреностi за форму- лами (20) визначається поле швидкостi в областi. 7. На основi формули (25) розраховується конве- кцiя вихрових елементiв. За одержаними величи- нами Γt+4t ij визначаються новi значення завихре- ностi ωt+4t ij . 3. РОЗРАХУНОК ГIДРОДИНАМIЧНИХ НА- ВАНТАЖЕНЬ Для обчислення гiдродинамiчної сили, яка дiє на тiло, що рухається в однорiднiй рiдинi, може бути використана теорема iмпульсiв: −→ F = − d dt ∫ S −→ V dr, (26) де −→ F = (Fx, Fy); S – область, заповнена рiдиною; −→ V , −→r (x, y) – швидкiсть i радiус-вектор частинок рiдини вiдповiдно. Iз рiвняння нерозривностi та з визначення зави- хреностi ω випливає наступна формула для швид- костi рiдини: −→ V = (−→r ×−→ω ) + ∇ · (−→r −→ V ) −∇(−→r · −→ V ), (27) пiдставивши яку в (26) i перетворюючи iнтеграли, можно одержати вираз для сили, який буде зале- жати лише вiд характеристик поля завихреностi [34 – 35]: −→ F = − d dt ∫ S −→ω ×−→r d−→r . (28) Звiдси випливають формули для розрахунку опо- ру i пiд’ємної сили: Fx = − d dt ∫ S ωyds, Fy = d dt ∫ S ωxds. (29) Зазначимо, що складова сили Fx в (29) включає в себе як опiр форми, так i опiр тертя. Рис. 3. Залежнiсть радiуса вихора вiд часу у випадку дифузiї вихора в необмеженiй областi. Порiвняння результатiв розрахунку (◦ ◦ ◦) для радiуса вихора rv iз точним розв’язком (——): 1 – Re = 102, 2 – Re = 103 Оскiльки поле завихреностi розглядається як суперпозицiя вихрових частинок з iнтенсивностя- ми Γij i координатами (xij, yij), маємо дискретний вигляд формул (29): Fx = − ∑ i ∑ j ( dΓij dt yij + Γijvij ) , Fy = ∑ i ∑ j ( dΓij dt xij + Γijuij ) . (30) Безрозмiрнi коефiцiєнти гiдродинамiчних сил ви- значаються наступним чином: Cx = 2Fx U2 ∞a , Cy = 2Fy U2 ∞a . (31) 4. АПРОБАЦIЯ ЧИСЕЛЬНОЇ СХЕМИ Тестування розробленого алгоритму проводи- лось у декiлькох напрямках: аналiз чисельної ди- фузiї розрахункової схеми; оцiнка точностi алго- ритму щодо описання генерацiї завихреностi по- верхнею тiла, аналiз похибки при визначеннi гi- дродинамiчних сил, якi дiють на тiло, що обтiкає- ться. 4.1. Еволюцiя точкового вихора в необмеженiй рiдинi У необмежнiй областi задавався точковий вихор iнтенсивностi Γ0. Поширення завихреностi вiд ньо- го розраховувалося за формулами (21), (23). Одер- жаний розподiл завихреностi порiвнювався з вi- домим точним розв’язком рiвняння Нав’є-Стокса, В. О. Горбань, I. М. Горбань 15 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 що описує розвиток двовимiрного вихора з поча- тковою циркуляцiєю Γ0 у в’язкiй рiдинi [35]: ω(x, y, t) = Re 4πt exp ( − r2Re 4t ) , (32) де Re = Γ0/ν ; r = √ x2, y2; ν – в’язкiсть рiдини. На рис. 3 наведенi залежностi радiусу rv ви- хора вiд часу, розрахованi на рiвномiрнiй сiтцi 4x = 4y = 0.01 з кроком по часовi 4t = 0.0025 (маркери), та точнi значення rv, одержанi з вико- ристанням формули (32) (суцiльна лiнiя). Радiус вихора визначався iз спiввiдношення: ω\|r>rv < 10−5. Iз рис. 3 випливає, що у випадку Re = 102 чи- сельна дифузiя є незначною, а для Re = 103 во- на не перевищує 10%. Збiльшення чисельної ди- фузiї при великих числах Рейнольдса пов’язане з невiдповiднiстю параметрiв дискретизацiї: кро- ки 4x, 4y занадто великi для такого числа Рей- нольдса. Кращий результат досягається, якщо 4x, 4y ≈ 1/Re. Порiвняння кривих на рис. 3 свiд- чить про збiжнiсть чисельного алгоритму при по- мiрних числах Рейнольдса. Вибiр величини параметра 4t пов’язаний iз роз- мiрами елементiв сiтки i локальною швидкiстю те- чiї. Для забезпечення стiйкостi алгоритму необхiд- но, щоб перемiщення вихорiв за один крок по часо- вi не перевищували мiнiмального розмiру елемен- тiв сiтки 4x, 4y. У бiльшостi випадкiв для цього достатньо, щоб крок 4t був на порядок меншим за розмiр елементiв сiтки. 4.2. Обтiкання пластини Для оцiнки точностi розробленого чисельного алгоритму щодо описання процесiв генерацiї за- вихреностi поверхнею тiла розв’язувалась задача про поздовжнє обтiкання пластини. Характерни- ми параметрами задачi є швидкiсть потоку U∞ i довжина пластини L, так що: ReL = U∞L/ν , x = x/l, y = y/l. Генерацiя завихреностi роз- раховувалась на основi граничної умови (6). Для моделювання поширення завихреностi використо- вувались формули (21), (23). Результати розрахун- кiв порiвнювались iз розв’язком Блазiуса, вiдомим з теорiї пограничного шару [36]. На рис. 4, 5 пред- ставленi стацiонарний профiль поздовжньої швид- костi u = u/U∞ для середини пластини та безроз- мiрний коефiцiєнт тертя Cf = 2 ReL ∂u ∂y ∣ ∣ ∣ ∣ wall = − 2 ReL ω \|wall (33) Рис. 4. Профiль поздовжньої швидкостi в погранич– ному шарi для середини пластинки при ReL = 103: —— розв’язок Блазiуса, • розрахунок Рис. 5. Залежнiсть коефiцiєнту тертя вiд поздов- жньої координати пластини при ReL = 103: —— розв’язок Блазiуса, - - - розрахунок на пластинi, отриманi чисельно та за розв’язком Блазiуса при ReL = 103. Порiвняння цих резуль- татiв свiдчить про високу точнiсть прийнятої схе- ми при моделюваннi полiв швидкостi i завихрено- стi та при визначеннi гiдродинамiчної сили опору тертя пластини. 4.3. Обтiкання квадратної призми Розроблений чисельний алгоритм використано для моделювання ламiнарної двовимiрної течiї за квадратною призмою при помiрних числах Рей- нольдса. Проведенi розрахунки, з одного боку, до- зволили виявити деякi закономiрностi формуван- ня вiдривних течiй, а з iншого – доповнити апро- бацiю чисельної схеми порiвнянням одержаних ха- рактеристик з вiдомими експериментальними да- ними та аналогiчними числовими результатами iн- ших дослiдникiв. Розрахунки проводились у дiапазонi чисел Рей- нольдса Re вiд 70 до 5 · 103. Подальше збiльше- 16 В. О. Горбань, I. М. Горбань ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 Рис. 6. Конфiгурацiя сiтки ння числа Рейнольдса потребує як значних розра- хункових зусиль, пов’язаних зi зменшенням розмi- рiв елементiв сiтки, так i залучення моделей тур- булентностi. Сiтка, що використовувалась у роз- рахунках, мала квадратнi елементи i складала- ся з трьох рiвнiв (рис. 6), що вiдрiзняються гу- стиною. На першому рiвнi, який межує з тiлом, розмiри елементiв сiтки пов’язуються iз кiлькiстю приєднаних вихорiв N , розташованих вздовж стi- нок призми (на сторонi квадрата). На наступних рiвнях розмiри елементiв сiтки збiльшуються (по- двоюються). Бiльшiсть розрахункiв виконано при N = 100. На рис. 7 показанi одержанi в розрахунках мит- тєвi розподiли завихреностi в слiдi квадратного цилiндра для рiзних чисел Рейнольдса при τ = 25 (τ = tU∞/a). Цi результати вказують на те, що картина течiї за квадратним цилiндром iстотно за- лежить вiд Re. При Re ≤ 100 циркуляцiйнi зони, що безпосередньо прилягають до тiла, мають ви- довжену форму (рис. 7, a). Iнтенсивнiсть вихрових структур, що вiдриваються вiд цих зон, є порiвня- но невеликою. Взаємодiя мiж структурами в слi- дi призводить до формування регулярної дорiжки вихорiв. При збiльшеннi числа Рейнольдса довжи- на циркуляцiйних зон за тiлом зменшується, а iн- тенсивнiсть вихрових згусткiв, що вiдриваються, пропорцiйно зростає. Вiдповiдно посилюється вза- ємодiя вихорiв у слiдi, помiтно збiльшується його ширина. Оскiльки в слiд надходить бiльша кiль- кiсть завихреностi, зростає i опiр цилiндра. При Re ≥ 1000 початок вихрової дорiжки наближає- ться до тiла (рис. 7, d, e). Зростання циркуля- цiї вихорiв призводить до iнтенсифiкацiї їх взає- модiї, внаслiдок чого зростає ширина дорiжки та вiдбуваються значнi деформацiї окремих вихрових Рис. 7. Розподiл завихреностi в слiдi квадратного цилiндра при рiзних числах Рейнольдса, τ = 25 структур (навiть до їх розпаду). Перелiченi особливостi течiї корелюють iз за- лежностями миттєвих коефiцiєнтiв опору Cx та пiд’ємної сили Cy вiд числа Рейнольдса (рис. 8). Приведенi графiки свiдчать, що пiсля короткої пе- рехiдної фази по часовi в слiдi за тiлом при τ > 10 структура течiї наближається до перiодичної, яка характеризується числом Струхаля St = fa/U∞, В. О. Горбань, I. М. Горбань 17 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 Рис. 8. Залежнiсть вiд часу коефiцiєнтiв опору Cx (крива 1) та пiд’ємної сили Cy (крива 2) квадратної призми при рiзних числах Рейнольдса де f – частота вiдриву вихорiв. При Re ≥ 1000 з’являється додаткова мода. Це пiдтверджується результатами розрахункiв розподiлу завихреностi в слiдi (рис. 7, e). На рис. 9 результати розрахункiв чисел Струха- ля порiвнюються з даними роботи [14], яка вирi- зняється широтою експериментальних дослiджень течiї навколо квадратної призми при помiрних чи- слах Рейнольдса. Цей порiвняльний графiк свiд- чить про те, що представлена чисельна схема з ви- сокою точнiстю описує процес формування вихро- вої дорiжки за тiлом у дiапазонi помiрних чисел Рейнольдса. На рис. 10 показанi залежностi середнього за пе- рiод коефiцiєнту опору Cx та амплiтуди коливань пiд’ємної сили Cmax y квадратної призми, розра- хованi за формулами (31), вiд числа Рейнольдса. Зазначимо, що залежностi коефiцiєнту опору Cx та частоти зриву вихорiв (або числа St) вiд чис- ла Рейнольдса корелюють мiж собою: збiльшення числа Струхаля до St = 1.45 при Re = 250 пов’яза- Рис. 9. Залежнiсть числа Струхаля вiд числа Рейнольдса для течiї за квадратною призмою та порiвняння одержаних результатiв з експериментальними даними [14] не зi зменшенням ширини слiду безпосередньо за квадратом. Це призводить до вiдповiдного змен- шення опору (рис. 10, a). Звуження слiду пов’я- зане зi змiною картини обтiкання призми. При Re > 200 вихрова циркуляцiйна зона, що утворю- ється бiля бiчної гранi призми, зменшується як y поперечному, так i в поздовжньому напрямках (хо- ча, як свiдчать експерименти, приєднання цирку- ляцiйної течiї до стiнки у випадку квадратної при- зми не вiдбувається). Подальше збiльшення Cx пов’язане iз розширенням слiду за рахунок змен- шення в’язкої дифузiї та ростом циркуляцiї вихо- рiв y слiдi. Одержанi данi (рис. 10) для величин Cx, Cmax y є близькими до вiдповiдних результатiв, представлених у роботах [18 – 19], де розрахунки проводились з використанням методу скiнченних об’ємiв. Експериментальнi дослiдження нестацiо- нарних навантажень на квадратний цилiндр сто- суються, в основному, великих чисел Рейнольдса Re ≥ 5 · 103. У цьому випадку течiя є iстотно три- вимiрною, а її характеристики залежать вiд рiв- ня турбулентностi в потоцi, профiлю швидкостi, а також параметрiв експериментальної установки. Цим пояснюється значна рiзниця в значеннях Cx, одержаних у рiзних експериментах. У цiлому отриманi результати пiдтверджують, що представлена чисельна модель є ефективним iнструментом моделювання в’язкої течiї i може бу- ти використана для розрахунку потокiв за тiлами складної конфiгурацiї. 18 В. О. Горбань, I. М. Горбань ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 Рис. 10. Залежностi середнього за перiод коефiцiєнта опору Cx (a) та амплiтуди коливань коефiцiєнта пiд’ємної сили Cmax y (b) квадратної призми вiд числа Рейнольдса 5. АЛГОРИТМИ УПРАВЛIННЯ СТРУКТУ- РОЮ ТЕЧIЇ ПОБЛИЗУ КВАДРАТНОГО ЦИ- ЛIНДРА Теоретичнi i експериментальнi дослiдження те- чiї навколо прямокутника (двовимiрний випадок обтiкання прямокутної призми) при помiрних чи- слах Рейнольдса показали, що структура слiду i гiдродинамiчнi коефiцiєнти опору Cx та пiд’єм- ної сили Cy iстотно залежать вiд розмiрiв та характеру взаємодiї мiж вiдривними циркуляцiй- ними зонами, що формуються за тiлом. Якiсно вiдрiзняються два випадки: коли вiдрив- на зона над бiчною стiнкою є локальною (обмеже- ною); коли вiдривна циркуляцiйна зона, що гене- рується на передньому ребрi призми, є незамкне- ною, а заднє ребро розташоване всерединi цiєї зо- ни. В першому випадку взаємодiя первинної i кор- мової вiдривних зон є слабкою, а розвиток слi- ду визначається, головним чином, вiдривом на за- дньому ребрi. В другому випадку головну роль у формуваннi слiду грає вiдрив на передньому ребрi призми. На фiзичних властивостях взаємодiї вiд- ривних зон, генерованих на переднiх та заднiх ре- брах, грунтується алгоритм управлiння структу- рою течiї навколо квадратної призми, який роз- глядається далi. Метою управлiння є зменшення опору та неста- цiонарних бокових сил, що викликають гiдропру- жнi коливання конструкцiї в потоцi. Стратегiєю такого управлiння є зниження сумарної iнтенсив- ностi вихрових утворень, зменшення потоку за- вихреностi за тiлом та мiнiмiзацiя розмiрiв слiду. Полiпшення структури течiї навколо призми про- понується досягнути за рахунок штучного утво- рення поблизу неї спецiальних локальних вiдрив- них циркуляцiйних зон (стоячих вихорiв). Фiзи- чнi експерименти, виконанi, зокрема, i в Iнститу- тi гiдромеханiки НАН України з рiзноманiтними необтiчними тiлами, продемонстрували ефектив- нiсть цього пiдходу для змiни структури обтiкан- ня i покращення гiдродинамiчних характеристик [39 – 40]. Для досягнення необхiдного позитивного ефекту штучна вiдривна зона повинна бути стiй- кою до зовнiшних збурень. В iншому випадку цi збурення будуть викликати викиди завихреностi в потiк. Крiм того, вiдривна зона повинна бути ке- рованою (коли її розмiри змiнюються вiдповiдно до змiни умов обтiкання). В оптимальному випад- ку система управлiння течiєю повинна мати зво- ротнiй зв’язок. 5.1. Двi симетричнi пластини на лобовiй частинi тiла Розглядається управлiння течiєю навколо ква- дратної призми, яке реалiзується за допомогою спецiальних пластин, що встановлюються на пе- реднiй (лобовiй) стiнцi (рис. 11). В областi мiж та- кою пластиною i ребром призми формується ло- кальна вiдривна зона. Експерименти свiдчать, що мети управлiння буде досягнуто, якщо лiнiя течiї, яка вiдiрвалася з краю пластини A, плавно приєд- нується до кута B. Для вивчення обтiкання тiла з управляючими пластинами (рис. 11) тут пропонується декiлька теоретичних моделей. Певнi загальнi властивос- тi вiдривного обтiкання тiла описує спрощена мо- дель, в якiй рiдина вважається iдеальною, а цир- куляцiйна зона моделюється одним точковим ви- хором. Щодо правомiрностi такої моделi, то вона пов’язана з наявнiстю загальних динамiчних ха- рактеристик вiдривних зон, спiльних як для ламi- В. О. Горбань, I. М. Горбань 19 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 Рис. 11. Конфiгурацiя тiла з управляючими пластинами нарних чи турбулентних, так i для потенцiальних течiй (де в’язкi ефекти незначнi). Аналiз динамi- ки точкового вихора, який описує вiдривну цир- куляцiйну течiю, дає iнформацiю про топологiчнi характеристики потоку: наявнiсть, розташування i тип критичних точок, їх стiйкiсть та реакцiї на зовнiшнi збурення [9, 41]. Враховуючи симетрiю i стiйкiсть течiї перед тi- лом, будемо розглядати лише верхню її частину y > 0 (рис. 11). Границя тiла, як i ранiше, мо- делюється неперервним вихровим шаром, який в чисельнiй схемi замiнюється системою дискретних вихорiв. Тодi комплексний потенцiал течiї має ви- гляд: Φ(z) = U∞z + 1 2πi N ∑ k=1 Γk ln z − zk z − zk + + 1 2πi Γ0 ln z − z0 z − z0 , (34) де Γk i zk = xk + iyk – циркуляцiя та компле- ксна координата k-го приєднаного (розташованого на границi) дискретного вихора; Γ0, z0 = x0 + iy0 – параметри стоячого (нерухомого) вихора, який описує циркуляцiйну течiю; N – кiлькiсть приєд- наних вихорiв. Задача полягає в знаходженнi параметрiв стоя- чого вихора Γ0 = Γ0/U∞a, x0 = x0/a, y0 = y0/a i управляючої пластини r = r/a l = l/a (див. рис. 11), при яких вiдсутня генерацiя завихрено- стi в точках A i B (далi риску, яка вказує на те, що величина є безрозмiрною, будемо пропускати). Для розв’язання такої задачi маємо чотири не- лiнiйних рiвняння. Першi два з них випливають з Рис. 12. Залежностi циркуляцiї стоячого вихора, його розташування i величини r вiд довжини пластини l: 1 – x0(l), 2 – y0(l), 3 – Γ0(l), 4 – r(l) Рис. 13. Картина лiнiй течiї з формуванням стоячого вихора перед довгим тiлом з управляючими пласти- нами на лобовiй частинi Рис. 14. Розподiл завихреностi в слiдi квадратного цилiндра з управляючими пластинами в оптималь- ному режимi (l = 0.2, r = 0.16) при Re = 500, τ = 25 умови нерухомостi вихора: dΦ dz ∣ ∣ ∣ z=z0 = 0 (35) або vx(z0) = 0, vy(z0) = 0. Два iншi рiвняння описують умову Кутта- Жуковського про обмеженiсть швидкостi в куто- 20 В. О. Горбань, I. М. Горбань ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 вих точках A i B. Течiя буде оптимальною, коли Γk \|A = 0 , Γk \|B = 0, (36) де Γk \|A i Γk \|B – циркуляцiї дискретних вихорiв, розташованих у кутових точках A i B. Враховуючи вираз для потенцiалу (34), умови (36) можна привести до вигляду: vx(z0) − ivy(z0) = U∞ + Γ0 4πy0 + + 1 2πi N ∑ k=1 Γk ( 1 z0 − zk − 1 z0 − zk ) = 0. (37) Невiдомi циркуляцiї приєднаних вихорiв Γk ви- значаються iз системи лiнiйних рiвнянь, яка ви- пливає з умови непротiкання на поверхнi тiла i є аналогiчною до системи (19), де замiсть множини вихорiв в областi течiї розглядається лише один вихор циркуляцiї Γ0. Рiвняння для Γ0, x0, y0, r є iстотно нелiнiйни- ми. Для їхнього розв’язання використовувався чи- сельний алгоритм Бройдена. Проведенi розрахун- ки показали, що у випадку, коли одна з характе- ристик управляючих пластин задана, наприклад довжина пластини l, задача (35)–(36) має єдиний розв’язок; в областi мiж пластиною i стiнкою при- зми при 0.15 ≤ l ≤ 0.65 iснує точка з коор- динатами x0, y0, в якiй вихор iз циркуляцiєю Γ0 знаходиться в рiвновазi (тобто є нерухомим або стоячим); при цьому такий вихор забезпечує ну- льову генерацiю завихреностi в кутових точках A i B. Чисельний аналiз поведiнки цього вихора в околi положення рiвноваги виявив, що малi збу- рення потоку призводять до прецесiйних рухiв ви- хора навколо точки x0, y0. З точки зору теорiї динамiчних систем це означає, що така критична точка є елiптичною, а вихор – стiйким. Рис. 12 iлюструє залежностi координат стоячо- го вихора x0, y0, циркуляцiї Γ0 та параметра r вiд довжини пластини l. Цi залежностi є близь- кими до лiнiйних. Iз графiка r(l) можна визначи- ти оптимальнi конфiгурацiї управляючих пластин. Картину лiнiй течiї перед довгим тiлом для випад- ку l = 0.3, r = 0.22 показано на рис. 13. Розрахунки, проведенi за спрощеною модел- лю, коли вiдривна циркуляцiйна течiя описує- ться одним точковим вихором, продемонструва- ли принципову можливiсть iснування нерухомо- го (стоячого) вихора перед тiлом зi спецiальними (управляючими) пластинами на лобовiй частинi тiла, а також дають можливiсть визначити опти- мальнi параметри пластин. Для одержаної таким чином оптимальної конфiгурацiї квадратної при- зми з управляючими пластинами було виконане чисельне моделювання течiї на основi повної си- стеми рiвнянь Нав’є-Стокса за схемою, описаною в частинi 2. Рис. 14 iлюструє миттєвий розпо- дiл завихреностi в слiдi за квадратним цилiндром з управляючими пластинами при Re = 500, коли характеристики пластин близькi до оптимальних: l = 0.2, r = 0.16. Порiвняння результатiв розрахункiв, приведе- них на рис. 14 та 7, свiдчить про змiну структури слiду за призмою при установцi пластин. Це вира- жається в: • зменшеннi ширини завихреної областi як по- близу тiла, так i в слiдi; • збiльшеннi частоти сходу вихорiв y слiд; число Струхаля, що характеризує цей процес, збiль- шується вiд St = 0.125 для звичайної квадра- тної призми до St = 0.143 для призми з управ- ляючими пластинами; • зменшеннi iнтенсивностi вихорiв y слiдi. Перелiченi змiни позитивно впливають на гi- дродинамiчнi характеристики призми (рис. 15, Re=500). Величина середнього за перiод коефiцi- єнту опору Cx при помiрних числах Рейнольдса зменшується вiд 2.15 (для “звичайної” квадратної призми) до Cx ≈ 1.2, що складає близько 55% вiд попереднього значення (рис. 15, a). Амплiтуда коливань пiд’ємної (чи бокової) сили Cmax y вiдпо- вiдно спадає вiд 2 до 0.8 (рис. 15, b). Якщо тiло пружно закрiплене у потоцi, це приводить до iсто- тного зниження амплiтуд коливань тiла, виклика- них зривом вихорiв. Важливiсть вибору параметрiв управляючих пластин демонструє рис. 16, де представлено за- лежностi коефiцiєнтiв Cx(τ ), Cy(τ ) при рiз- них вiдстанях пластини вiд кута призми. Графiки Cx(τ ), Cy(τ ), а також розподiл завихреностi в слi- дi (рис. 17) свiдчать про виникнення додаткових мод, зумовлених деформацiями вихорiв y слiдi. Висновки щодо оптимальної структури течiї мо- жна перенести i на дiапазон великих чисел Рей- нольдса. Це демонструють результати чисельно- го моделювання вiдривного обтiкання квадратної призми та призми з пластинами iз застосуванням методу дискретних вихорiв. Вважалося, що з ку- тових точок y потiк сходять вихровi пелени. Результати розрахункiв свiдчать про наявнiсть трьох характерних режимiв обтiкання тiла з управляючими пластинами. Якщо пластину вста- новлено далеко вiд кута, то вихрова пелена i вiдпо- вiдна лiнiя течiї, яка зiйшла з краю пластини, ля- гають на передню сторону квадратa (рис. 18, с). В В. О. Горбань, I. М. Горбань 21 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 Рис. 15. Залежностi вiд часу коефiцiєнтiв опору Cx (a) та пiд’ємної сили Cy (b) квадратного цилiндра при Re = 500: 1 – без управлiння, 2 – з оптимальним управлiнням (l = 0.2, r = 0.16) Рис. 16. Залежностi вiд часу коефiцiєнтiв опору Cx – a та пiд’ємної сили Cy – b квадратного цилiндра при рiзних параметрах управляючих пластин: 1 – l = 0.2, r = 0.16, 2 – l = 0.2, r = 0.4 3 – l = 0.2, r = 0.075, Re = 500 цьому випадку сформована в областi циркуляцiй- на зона є слабкою i майже не впливає на розвиток течiї навколо тiла. Потiк приєднується до тiла в точцi, що лежить значно нижче кута B. Вихор, який утворюється перед тiлом, слабо впливає на процеси генерацiї завихреностi в кутовiй точцi B (на ребрi тiла), а тому не може завадити глобаль- ному вiдриву течiї в околi кута, що призводить до розвитку iнтенсивної вихрової зони над стiнкою. Другий тип течiї виникає, коли управляюча пла- стина знаходиться дуже близько до кута (рис. 18, b). У цьому випадку потiк не приєднується до по- верхнi тiла, циркуляцiйна вiдривна зона не лока- лiзується. Навпаки, розвивається iнтенсивна вiд- ривна зона, як це спостерiгалося i для випадку тi- ла без пластин. Вiдзначимо також, що наближена одновихрова модель, що описує циркуляцiйну те- чiю дiєю одного вихора, в цьому випадку не ви- являла стоячих вихорiв в областi мiж пластиною i кутом. Коли пластина знаходиться дуже близь- ко до кута B, вiдривна зона, що сходить з кромки пластини A, накладається на вiдривну циркуля- 22 В. О. Горбань, I. М. Горбань ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 Рис. 17. Розподiл завихреностi в слiдi квадратного цилiндра з управляючими пластинами в неоптималь- ному режимi (l = 0.2, r = 0.075) при Re = 500, τ = 25 Рис. 18. Дискретно-вихрова модель течiї перед тiлом необтiчної форми з управляючими пластинами на переднiй гранi: оптимальнi (a) i неоптимальнi (b, c) параметри пластин цiйну течiю, породжену ребром призми. Течiя в околi кута B стає дуже нестабiльною. В цiй си- туацiї характеристики тiла навiть погiршуються у порiвняннi з випадком, коли управлiння вiдсутнє. В оптимальному випадку лiнiя течiї, яка cхо- дить з краю пластини, плавно приєднується до по- верхнi тiла поблизу кута B (рис. 18,a). Далi цей приєднаний потiк без iстотних збурень рухається вздовж поверхнi. Генерацiя завихреностi на кутi B подавляється впливом циркуляцiйної зони перед тiлом. У цьому випадку вiдбувається спад iнтен- сивностi завихреностi в потоцi за кутом B, що зу- мовлює значне зменшення опору. Слiд зазначити, що оптимальнi параметри управляючої пластини, отриманi на основi розрахункiв iз застосуванням Рис. 19. Схема обтiкання квадратної призми з роздiляючою пластиною Рис. 20. Картина iзолiнiй завихреностi при обтiканнi квадратної призми з роздiляючою пластиною “в’язкої” моделi, методу дискретних вихорiв та моделi стоячого вихора, майже спiвпадають. 5.2. Стабiлiзацiя вихрового потоку за тiлом з роздiляючою пластиною Значний вплив на опiр тiла має структура пото- ку в ближньому слiдi. Вона зв’язана з iнтенсивнi- стю вихроутворення та з характером течiї в слiдi. Зупинимося на двох можливих ситуацiях: • течiя за тiлом є стiйкою; тут формуються двi симетричнi циркуляцiйнi зони; процеси вине- сення завихреної рiдини в оточуючий потiк є незначними, а тому вiдносно невеликим є i опiр тiла; • циркуляцiйнi зони за тiлом є нестiйкими до малих збурень; iз областi їх взаємодiї, яка без- посередньо прилягає до кормової частини тi- ла, в потiк перiодично поступають великi згус- тки завихреної рiдини; гiдродинамiчнi сили в цьому випадку значно бiльшi, нiж y попере- дньому. Стiйкий симетричний режим течiї в слiдi спо- стерiгається в експериментах лише при незначних В. О. Горбань, I. М. Горбань 23 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 Рис. 21. Вплив роздiляючої пластини за квадратним цилiндром на коефiцiєнти гiдродинамiчних сил Cx(a), Cy(b): l = 2, Re = 200 числах Рейнольдса Re < 50, коли збурення подав- ляються дiєю сил в’язкостi. Аналiз стiйкостi течiї в слiдi показав, що особливо небезпечними (деста- бiлiзуючими) є несиметричнi збурення (в нашому випадку – несиметричнi вiдносно осi Ox – рис. 1). Подавити такi збурення i стабiлiзувати потiк мо- жна за допомогою роздiляючої пластини, розта- шованої за тiлом (рис. 19). Для з’ясування зако- номiрностей формування вихрової структури по- току при обтiканнi квадратної призми з пласти- ною було проведено чисельне моделювання течiї за схемою, описаною в п. 2. Розглядався ламiнар- ний режим течiї при l = 2. Одержанi картини роз- подiлу завихреностi (рис. 20) свiдчать про iстотне зменшення коливальних рухiв циркуляцiйних зон y слiдi. Установка пластини викликає зменшення ширини слiду та iнтенсивностi вихрових згусткiв, що поступають y потiк iз ближнього слiду. Вiдпо- вiдно зменшуються гiдродинамiчнi навантаження (рис. 21). Експерименти показують, що при зро- станнi числа Рейнольдса цей позитивний ефект спадає, але i при великих числах Re застосуван- ня роздiляючої пластини дає помiтне зменшення опору (на 10 – 20%). ВИСНОВКИ Побудовано чисельний алгоритм для моделю- вання ламiнарних потокiв в’язкої нестисливої рi- дини, зокрема, для нестацiонарних вiдривних те- чiй при обтiканнi тiл необтiчної форми. Алгоритм грунтується на використаннi системи рiвнянь Нав’є-Стокса в змiнних “завихренiсть-швидкiсть”. До переваг цього алгоритму слiд вiднести можли- вiсть iстотного зменшення розмiрiв розрахунко- вої областi (обмежившись клiтинками сiтки з не- нульовими значеннями завихреностi), високу то- чнiсть виконання граничних умов у кутових то- чках поверхнi тiла, а також точнiсть визначення завихреностi в околi таких точок. Проведена апробацiя алгоритму на плоских дво- вимiрних задачах дифузiї точкового вихора в в’яз- кiй рiдинi, поздовжнього обтiкання пластини та поперечного обтiкання квадратної призми. Резуль- тати розрахункiв порiвнювались з вiдомими ана- лiтичними розв’язками, результатами чисельного моделювання, виконаного iншими авторами, а та- кож з експериментальними даними. Цi розрахунки показали, що для забезпечення точностi чисельно- го моделювання кроки сiтки по просторових коор- динатах 4x, 4y та по часовi 4t повиннi задовiль- няти певним умовам, наприклад, бiля поверхнi тi- ла 4x, 4y ≈ (1 ÷ 10) 1 Re , 4x 4t ≤ Vmax, де Vmax – максимальна локальна швидкiсть рiди- ни в областi. Аналiз отриманих результатiв свiд- чить про ефективнiсть побудованого чисельного алгоритму для моделювання вiдривних потокiв при помiрних числах Рейнольдса, зокрема, неста- цiонарних процесiв утворення вихрових структур бiля поверхнi тiла та їх динамiки в слiдi за тiлом необтiчної форми. Виконанi дослiдження показали, що на процеси формування слiду за тiлом та на його опiр iсто- тно впливає взаємодiя вiдривних циркуляцiйних зон, безпосередньо прилягаючих до поверхнi тi- ла. Зменшення нестацiонарних рухiв таких зон су- 24 В. О. Горбань, I. М. Горбань ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 проводжується вiдповiдним спадом гiдродинамi- чних навантажень. Грунтуючись на результатах цих дослiджень, були розглянутi два алгоритми управлiння обтiканням квадратної призми. В пер- шому випадку на переднiй (лобовiй) гранi при- зми розташовувались двi симетричнi (управляю- чi) пластини. В другому випадку – на заднiй (кор- мовiй) гранi розташовувалась одна пластина (роз- дiляюча вихровi зони з протилежними циркуля- цiями). Аналiз результатiв розрахункiв показав, що при певних (оптимальних) параметрах пластин вiдривнi циркуляцiйнi зони бiля поверхнi тiла є стiйкими. Нестацiонарнi рухи таких зон зменшу- ються, гальмуються процеси породження завихре- ностi на тiлi, при цьому падає гiдродинамiчний опiр i бокова сила, дiючi на тiло. Отриманi резуль- тати можуть бути корисними при розробцi нових засобiв управлiння обтiканням тiл у потоках. 1. Мигай В. К. Аэродинамическая эффектив- ность прерывистой поверхности // Инженерно- физический журнал.– 1962.– 4.– С. 20-23. 2. Loehrke R.I., Nagib H.M. Control of free stream turbulence by means of honeycombs: A balance between suppression and generation // Transaction of the ASME, of Fluid Engineering.– 1976.– V. 98, – 3.– P. 342-353. 3. Гад-эль-хак, Бушнелл. Управление отрывом пограничного слоя. Обзор // Современное машиностроение.– 1991.– 7.– С. 2-35. 4. Mochizuki S, Osaka H. Drag reduction with submerged ribs and its mechanism in a turbulent boundary layer over D-type roughness // Proceedings of the Internati- onal Simposium on Seawater Drag Reduction. – 1998. – P. 121-126. 5. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью.– M.: Наука, 1978.– 351 с. 6. Cortelezzi L., Leonard A., Doyle J. C. An example of active circulation control of the unsteady separated flow past a semi-infinite plate // J. Fluid Mechanics.– 1994.– 260.– P. 127-154. 7. Cortelezzi L. Nonlinear feedback control of the wake past a plate with a suction point on the downstream wall // J. Fluid Mechanics.– 1996.– 327.– P. 303-324. 8. Savchenko Yu. N. Drag reduction through the near- wall vortex system management // Proceedings of the International Simposium on Seawater Drag Reduction. Newport, USA. – 1998. – P. 249-255. 9. Gorban V., Gorban I. Dynamics of vortices in near-wall flows: eigenfrequencies, resonant properties, algorithms of control // AGARD Report.– 1998.– 827.– P. 15-1–15-11. 10. Vickery B. J. Fluctuating lift and drag on a long cylinder of square cross-section in a smooth and in a turbulent stream // J. Fluid Mechanics.– 1966.– 25.– P. 481-494. 11. Случановская З. П. Распределение давления на поверхности прямоугольного, трехгранного и по- лукруглого цилиндров и их аэродинамические ко- эффициенты // Сб. научных трудов Института ме- ханики МГУ.– 1973.– 24.– С. 127-133. 12. Bearman P.W., Obasaju E.D. An experimental study of pressure fluctuations on fixed and oscillating square- section cylinders // J. Fluid Mechanics.– 1982.– 119.– P. 297-321. 13. Knisely C.W. Strouhal number of rectangular cyli- nders at incidence: a review and new data // J. of Fluids and Structures.– 1990.– 4.– P. 371-393. 14. Okajima A. Strouhal number of rectangular cyli- nders // J. Fluid Mechanics.– 1982.– 123.– P. 379-398. 15. Nagano S., Naito M., Takata H. A numerical analysis of two-dimensional flow past a rectangular prism by a discrete vortex model // Computers and Fluids.– 1982.– 10.– P. 243-259. 16. Сарпкайя Т., Ириг А. Внезапно начинающееся те- чение около прямоугольной призмы. Эксперимент и модель дискретных вихрей // Теоретические осно- вы инженерных расчетов. Труды Америк. об-ва инж.-мех.– 1986.– 1.– С. 198-213. 17. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров Р.М. Математическое моделиро- вание плоскопараллельного отрывного обтекания тел.– M.: Наука, 1988.– 232 с. 18. Davis R. W., Moore E. F. A numerical study of vortex shedding from rectangles // J. Fluid Mechanics.– 1982.– 116.– P. 475-506. 19. Minewitsch S., Franke R., Rodi W. Numerical investi- gation of laminar vortex-shedding flow past a square cylinder oscillating in line with the mean flow // J. of Fluids and Structures.– 1994.– 8.– P. 787-802. 20. Sohankar A., Norberg C., Davidson L.Numerical si- mulation of flow past a square cylinder // Proceedi- ngs of FEDSM99 3rd ASME/JSME Joint Fluids Engi- neering Conference. July 18-23. San-Francisco, Cali- fornia, USA. – 1999. – P. 1-6. 21. Zaki T.G., Sen M., Gad-el-Hak M. Numerical and experimental investigation of flow past a freely rotatable square cylinder // J. of Fluids and Structures.– 1994.– 8.– P. 555-582. 22. Lighthill M.J. Laminar boundary layers. Chap. II.– London: Oxford University Press, 1963.– 355 p. 23. Wang C.M., Wu J.C. Numerical solution of steady Navier-Stokes problems using integral representati- ons // AIAA J.– 1986.– 8.– P. 1305-1312. 24. Кочин Н.Е., Кибель И.А. Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1.– M.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963.– 583 с. 25. Wu J.C. Numerical boundary conditions for viscous flow problems // AIAA J.– 1976.– V.14. – 8.– P. 1042- 1049. 26. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.– М.: Мир, 1980.– 616 с. 27. Koumoutsakos P.D. Direct numerical simulations of unsteady separated flows using vortex methods.– PhD Thesis: California Institute of Technology, 1993.– 140 p. 28. Марцинковски В., Шкадов В.Я. Численное ис- следование двумерного отрыва на основе уравне- ний Навье-Стокса // Механика жидкости и газа.– 1985.– 1.– С. 26-32. 29. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С. Модели- рование турбулентных струй и следов на осно- ве метода дискретных вихрей.– М.: Физико- математическая литература, 1995.– 368 с. 30. Naim H.N., Milne R.B., Devine K.D., Kmpka S.N. A coupled Lagrangian-Eulerian scheme for reacting flow modeling// Vortex Flows and Related Numeri- cal Methods III // ESAIM: Proceedings.– 1999.– V. 7.– P. 304-313. В. О. Горбань, I. М. Горбань 25 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2005. Том 7, N 2. С. 8 – 26 31. Cottet G.-H., Koumoutsakos P. Vortex methods: theory and practice.– London: Cambridge University Press, 2000.– 312 p. 32. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распре- деленными параметрами.– М.: Наука, 1979.– 224 с. 33. Benfatto G., Pulvirenti M. Convergence of Chorin- Mardsen product formula in the half-plane // Communications in mathematical Physics.– 1986.– 106.– P. 427-458. 34. Wu J.C. Theory of aerodynamics force and moments in viscous flows // AIAA J.– 1981.– V.19. – 4.– P. 432- 441. 35. Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей.– М.: Научный мир, 2000.– 375 с. 36. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.– М.: На- ука, 1974.– 711 с. 37. Горлин С. М. Экспериментальная аэродинамика.– М.: Высшая школа, 1970.– 211 с. 38. Девнин С.И. Аэрогидромеханика плохообтекае- мых конструкций. Справочник.– Л.: Судостроение, 1983.– 333 с. 39. Белов И. А. Взаимодействие неравномерных по- токов с преградами.– М.: Машиностроение, 1983.– 166 с. 40. Koenig K., Roshko A. An experimental study of geometrical effects on the drag and flow field of two bluff bodies separated by a gap // J. Fluid Mechanics.– 1995.– 156.– P. 167-204. 41. Горбань В. О., Горбань I. М. Резонанснi власти- востi вихорiв за нерiвностями границi // Доповiдi НАН України.– 1996.– 2.– С. 44-47. 26 В. О. Горбань, I. М. Горбань
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4786
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-9087
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T13:26:37Z
publishDate	2005
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Горбань, В.О. Горбань, І.М. 2009-12-23T16:40:22Z 2009-12-23T16:40:22Z 2005 Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель / В. О. Горбань, I. М. Горбань // Прикладна гідромеханіка. — 2005. — Т. 7, № 2. — С. 8-26. — Бібліогр.: 41 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4786 532.5 Развита численная модель ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости вокруг квадратной призмы при умеренных числах Рейнольдса. Интегрирование уравнений Навье-Стокса в переменных "завихренность-скорость'' выполняется с применением алгоритма, в котором конвективный перенос завихренности моделируется движением Лагранжевых вихревых элементов, а диффузия завихренности расчитывается на многослойной адаптивной сетке. С целью снижения гидродинамических нагрузок на тело предлагаются пассивные схемы управления, основанные на использовании тонких пластин, которые устанавливаются либо на лобовой грани призмы, либо в ее следе. В первом случае с помощью двух симметричных пластин подавляется интесивность вихрей, генерирующихся на передних ребрах призмы, а во втором - длинная пластина, примыкающая к задней стенке призмы, используется для симметризации следа. Уменьшение генерации завихренности вблизи поверхности тела приводит к сужению следа, что выражается в уменьшении гидродинамических нагрузок. Показано, что при оптимальном выборе параметров управляющей системы сопротивление тела может быть значительно снижено. Побудована чисельна модель ламiнарної течiї в'язкої нестисливої рiдини навколо квадратної призми при помiрних числах Рейнольдса. Iнтегрування рiвнянь Нав'є-Стокса в змiнних "завихренiсть-швидкiсть'' виконується за допомогою алгоритму, в якому конвективний перенос завихреностi моделюється рухом Лагранжових вихрових елементiв, а диффузiя завихреностi розраховується на багатошаровiй адаптивнiй сiтцi. З метою зменшення гiдродинамiчних навантажень на тiло пропонуються пасивнi схеми управлiння, якi грунтуються на використаннi тонких пластин, що встановлюються або на лобовiй гранi призми, або в її слiдi. В першому випадку за допомогою двох симетричних пластин досягається зменшення iнтенсивностi вихорiв, що утворюються на переднiх ребрах призми, в другому - довга пластина, з'єднана iз задньою стiнкою призми, використовується для симетризацiї слiду. Зменшення генерацiї завихреностi бiля поверхнi тiла призводить до помiтного звуження слiду, а також до зниження гiдродинамiчних навантажень. Показано, що при оптимальному виборi параметрiв управляючої системи можна досягти значного зменшення опору тiла. A coupled Larangian-Eulerian numerical scheme for modeling the laminar flow of viscous incompressible fluid past a square prism at moderate Reynolds numbers is developed. The two-dimensional Navier-Stokes equations are solved with the vorticity-velocity formulation. The convection step is simulated by motion of Lagrangian vortex elements and diffusion of vorticity is calculated on the multi-layered adaptive grid. To reduce the dynamic loads on the body, the passive control techniques using special thin plates are proposed. The plates are installed either on the windward side of prism or in its wake. In the first case, the installation of a pair of symmetrical plates produces substantial decreasing the intensity of the vortex sheets separating in the windward corners of prism. In the second case, the wake symmetrization is achieved with the help of a long plate abutting upon the leeward surface. Both the ways bring narrowing of the wake and, as a result, decrease of the dynamic loads. With optimal parameters of the control system, the drag reduction is shown to decrease considerably. uk Інститут гідромеханіки НАН України Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель Vortical flow pattern past a square prism: numerical model Article published earlier
spellingShingle	Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель Горбань, В.О. Горбань, І.М.
title	Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель
title_alt	Vortical flow pattern past a square prism: numerical model
title_full	Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель
title_fullStr	Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель
title_full_unstemmed	Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель
title_short	Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель
title_sort	вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4786
work_keys_str_mv	AT gorbanʹvo vihrovastrukturapotokupriobtikannikvadratnoíprizmičislovamodelʹ AT gorbanʹím vihrovastrukturapotokupriobtikannikvadratnoíprizmičislovamodelʹ AT gorbanʹvo vorticalflowpatternpastasquareprismnumericalmodel AT gorbanʹím vorticalflowpatternpastasquareprismnumericalmodel

Вихрова структура потоку при обтiканнi квадратної призми: числова модель

Institution

Similar Items