Динамика трехслойных стержней
Рассмотрены колебания трехслойного стержня под действием локальных, импульсных и резонансных нагрузок различной формы: прямоугольной и синусоидальной. Для описания кинематики несущих слоев приняты гипотезы Бернулли. В жестком сжимаемом заполнителе справедливы соотношения теории упругости с линейной...
Saved in:
| Published in: | Проблемы прочности |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2006
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47872 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Динамика трехслойных стержней / Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко, А.В. Яровая // Проблемы прочности. — 2006. — № 6. — С. 133-146. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859469558063038464 |
|---|---|
| author | Старовойтов, Э.И. Леоненко, Д.В. Яровая, А.В. |
| author_facet | Старовойтов, Э.И. Леоненко, Д.В. Яровая, А.В. |
| citation_txt | Динамика трехслойных стержней / Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко, А.В. Яровая // Проблемы прочности. — 2006. — № 6. — С. 133-146. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы прочности |
| description | Рассмотрены колебания трехслойного стержня под действием локальных, импульсных и резонансных нагрузок различной формы: прямоугольной и синусоидальной. Для описания кинематики несущих слоев приняты гипотезы Бернулли. В жестком сжимаемом заполнителе справедливы соотношения теории упругости с линейной аппроксимацией зависимости перемещений его точек от поперечной координаты z. Получены аналитические решения задач, проведен их численный и сравнительный анализы. Исследована возможность проявления ложного резонанса.
Розглянуто коливання тришарового стрижня, що знаходиться під дією локальних, імпульсних та резонансних навантажень різної форми: прямокутної і синусоїдної. Для опису кінематики несучих шарів прийнято гіпотези Бернуллі. У жорсткому стисливому заповнювачі справедливі співвідношення теорії пружності з лінійною апроксимацією залежності переміщень його точок від поперечної координати z. Отримано аналітичний розв’язок задач і проведено їх числовий та порівняльний аналізи. Досліджено можливість прояву хибного резонансу.
We study the oscillations of a three-layer beam subjected to local, pulse and resonance loads of various (rectangular and sinusoidal) forms. For description of the kinematics of the bearing layers we use the Bernoulli hypotheses. The elastic theory equations with linear approximation for the equation of displacement of beam points versus the transversal coordinate z are assumed to be valid for a rigid compressed filler. The analytical solutions are obtained with their further numerical and comparative analyses. The possibility of a false resonance occurrence is investigated.
|
| first_indexed | 2025-11-24T07:37:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
Динамика трехслойных стержней
Э. И. Старовойтов, Д. В. Леоненко, А. В. Яровая
Белорусский государственный университет транспорта, Гомель, Беларусь
Рассмотрены колебания трехслойного стержня под действием локальных, импульсных и
резонансных нагрузок различной формы: прямоугольной и синусоидальной. Для описания
кинематики несущих слоев приняты гипотезы Бернулли. В жестком сжимаемом заполни
теле справедливы соотношения теории упругости с линейной аппроксимацией зависимости
перемещений его точек от поперечной координаты 2. Получены аналитические решения
задач, проведен их численный и сравнительный анализы. Исследована возможность про
явления ложного резонанса.
К лю ч е в ы е с л о в а : упругость, резонанс, трехслойный стержень, сжимаемый
заполнитель.
О б о з н а ч е н и я
рк - плотность материала к-го слоя (к = 1, 2, 3)
9(г, £) - внешняя распределенная нагрузка
qn (£) - коэффициенты разложения нагрузки в ряд по собственным функциям
90 - интенсивность распределенной поверхностной нагрузки
Wl, W2 - прогибы несущих слоев стержня
«1, И2 - горизонтальное перемещение срединной поверхности несущих слоев
О к, К к - модули сдвига и объемной деформации
I - длина стержня
Ттк (£) - функция времени
ю т1 - частоты собственных колебаний
5 Ш - собственные формы колебаний
А п, В п - константы интегрирования
^1, ^2, ^3 - толщины слоев
Н 0 - функция Хевисайда
д(Ь) - (5-функция Дирака
Введение. Широкое применение трехслойных элементов конструкций в
современных отраслях промышленности обусловливает необходимость раз
работки методов их расчета. Воздействие локальных статических нагрузок
на трехслойные стержни изучалось ранее [1]. В работах [2-5] исследовались
поперечные колебания трехслойных пластин с несжимаемым заполнителем
под действием различного рода нагрузок. В данной работе рассматриваются
малые поперечные колебания несимметричного по толщине упругого трех
слойного стержня со сжимаемым заполнителем.
© Э. И. СТАРОВОЙТОВ, Д. В. ЛЕОНЕНКО, А. В. ЯРОВАЯ, 2006
ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6 133
Э. И. Старовойтов, Д. В. Леоненко, А. В. Яровая
Для изотропных несущих слоев приняты гипотезы Бернулли, в жестком
заполнителе справедливы соотношения Коши с линейной аппроксимацией
зависимости перемещений его точек от поперечной координаты 2. На грани
цах контакта слоев используются условия непрерывности перемещений. Ма
териалы несущих слоев несжимаемы в поперечном направлении, в заполни
теле учитывается обжатие. Деформации малые. Система координат х, у , 2
связывается со срединной плоскостью заполнителя (рис. 1).
Рис. 1. Расчетная схема трехслойного стержня.
Распределенная поверхностная нагрузка д(х , г) приложена к внешней
плоскости первого слоя. Искомыми считаются прогибы и продольные
перемещения срединных поверхностей несущих слоев w k (х , г) и ык (х , г),
к = 1,2. Через Нк и р к обозначены толщина и плотность материала к-го
слоя; к 3 = 2с; Ь - ширина стержня. Все перемещения, линейные размеры
стержня и координаты отнесены к его длине I.
Продольные и поперечные перемещения в слоях и (к)(х , 2 ) и w (к)(х , 2 )
можно выразить через четыре искомые функции ^ 1(х ), и1(х ), ^ 2(х ) и
и 2 (х ) следующими соотношениями:
в несущих слоях -
(1) I "1— и і - 1 2 — С — —
" )
Щ ,х , ™(1) — Щ (С< 2 < С + " і) ;
(2) I , , " 2 Хи 4 ’ — и 2 - 1 2 + С + — ^ 2 ,х , ™(2) — ^2 (—С — "2 < 2 < —с),
(1а)
в заполнителе -
и<3' " ( 1 + С) ( Ї и1 + "Г №1'х) + ( 1 — С)(
2 ) ( 1 "2
и.~>---
\2
™(3) = 1(1 + С)™ 2 (—С < 2 < С),
(16)
где 2 - расстояние от рассматриваемого волокна до срединной линии
заполнителя; запятая в нижнем индексе обозначает операцию дифферен
цирования по следующей за ней координате.
134 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6
Динамика трехслойных стержней
Компоненты тензора деформаций следуют из выражений для перемеще
ний (1) и соотношений Коши:
(1) I Ь1 ^
Р хх = и 1,х — \ 2 - с - "2
/
Р (2) = и — ( 2 + г + ^Р XX и 2 ,х \ 2 + с + 2
Р (1) = £ (2) = о
^ Х2 ^ Х2
(3) = 11 + + Ь ,
,(3)
" Х2
™1’хх (с - 2 - с + Ь1) ;
^ 2 .хх (—с — Ь2 - 2 - —с);
с ) \2 и 1’х + 4 ^ 1 ’хх
22 + ^1 1
8с 4 й 1 ,х +
-22 + Ь 2 1
+ 48с й 2 ,х +
и1 — и 2
4с
Р ( 3 = 2С( ^1 — ^ 2 ) (—с - 2 - с )
(2)
Уравнения движения рассматриваемого трехслойного стержня получаем
с помощью вариационного принципа Лагранжа с учетом работы сил инер
ции:
дЛ — д Ж = дЛ1 , (3)
где дА - вариация работы внешних сил; д Ж - вариация работы внутренних
сил упругости; д А I - вариация работы сил инерции.
При определении работы внешних сил полагаем, что к внешней поверх
ности первого несущего слоя приложены произвольные распределенные
нагрузки р (х ), д(х ) - рис. 1, а к торцам стержня - некоторые усилия и
моменты. Тогда
д Л = ь }
о
I
д Ж = Ь }
( Ь1 \
р \ д и 1 — у д^ 1,х 1+ Яд ™1 йх;
2 } а {х х дР {хх} й2 + 2} а х2)др х2) + } а £ ) др 22} й2
к=1 Ьк Ьз Ьз
йх; (4)
з I
д л , = ь 2 } } [ р к (й (к) д й (к) + и (к) ди (к))]й2йх,
к=1 0 Ьк
о
где две точки над перемещениями обозначают вторую частную производ-
(к) - , ную по времени; а ̂ - компоненты тензора напряжений в к-м слое.
Выражения вариаций деформаций и напряжений в (4) через перемеще
ния следуют из (2) и закона Гука. Подставив (4) в (3) и приравняв нулю
коэффициенты при независимых вариациях, получим следующую систему
уравнений в частных производных:
IS S N 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 6 135
Э. И. Старовойтов, Д. В. Леоненко, А. В. Яровая
а 1и 1 2 а 4и 1,хх а 5и 2 ,хх+ а 2 х ^ а 3^ 2 ,х 2а 6^Ьххх4
4 а 7 ̂ 2 ,ххх + от1и1 = 0.
- а 1и1 + а 1и 2 - а 5и1 ,хх_ а 9и2 ,хх- а 10^Ьх- а 17™2 ,х - а 6^ 1х х +
+ 2а 7 ™ 2 ,ххх4 т 2 и 2 = 0.
- а 2и1,х4 а 10и2,х4 2 а 6и1,ххх4 а 6и2,ххх 4 а 11̂ 1,хх- а 12^2 ,хх4
+ а 15 ̂ Ьхххх- а 16 ™ 2 ,хххх4 а 8 ̂ 1 - а 8 ̂ 2 + т 1™1 - т 3 Щ ,хх = К
- а 3и1 ,х4 а 17и 2 ,х - а 7и1 ,ххх- 2 а 7и 2 ,ххх- а 12^1 ,хх4 а 14™2 ,хх-
- а 16^1.хххх + а 13^2ххх- а 8^1 + а 8^2 + т 2™2 - т 4™2 ,хх = 0
(5)
Коэффициенты выражаются через механические (К к, в к - объемный и
сдвиговой модули, р к - плотность материалов к-то слоя, к = 1,2, 3) и
геометрические (кк - толщина слоя, ^3 = 2с) параметры стержня:
а 1 =
О3
2с
= О 3 (14. к 1а 2 = ~~1~\ 14 1
2 2с
К -
а 4 = К 4 к1 4
К 4 с .
3 ;
, \ к 2 '
а 3 = - ; - \ 1 4 т 2
2с
К 4 ск1
4 К_£.
2 ’
К 4 ск 2
6
К 4
а я =
2с а 9 = К 2 к 2 4 = - И 4 к1'
° 10 11 + 2с
4 ■
К -
2
К 3 к 1 в 3с ( к, ^2 О 3с
а 11
г3 с к1
3 114 21
а 12 =
К з (к1 4 к2 ) в 3 с ( к1
4 114— 1
2 I 2с.
14 —
2с а 13 =
-2 к 2
12
4 ■
а 14
К 3 к2 в 3с \ , к2 ) 2 - в з ^
6 ;142 I 2с. а 15
К 14 к13 4 К з4 ск12
а 16 =
К з с к 2к
12
12
К
6
2 2
Ш1 = р !к! 4 ~ р 3с; Ш2 = р 2к2 4 т Р 3с; т
Р 1к13 р 3 ск12
12
4
6
т 4
р 2к 2 4 р 3 ск2
12
т 8 =
6
Р 3 с .
3 .
т 5
Р 3 ск1 Р 3ск1к2 Р 3ск2
«6 = — 7;— ; «7 =
К 4 К к 4 т в г
4
— I
3
12
К к = К к 3 в к ■
6
136 /.ХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6
а а а5 6 73 6
3
6
6
Динамика трехслойных стержней
Граничные условия свободного опирания стержня по торцам (х = 0; 1)
на неподвижные в пространстве жесткие опоры в перемещениях имеют вид
™к = и к ,х = ™к ,хх = 0 (к = 1 ,2 )
Начальные условия движения таковы (г = 0):
(6)
и к (х , 0) = и к о(х ); и к (х ,0 ) = и к 0 (х );
w k (х , 0) = w k 0( х ) ; ™к(х ,0 ) = ^ к 0( х) (к = 1 ,2 )
(7)
где ик0 ( х ), и к 0 ( х ), Wk0 ( x ), V к0 (х ) - заданные начальные перемещения и
скорости точек срединных поверхностей несущих слоев.
Решение начально-краевой задачи (5)-(7) проводится методом Бубнова-
Галеркина. Для этого искомые перемещения и1(х ), и 2(х ), ^ 1(х ), ^ 2(х ) и
нагрузка д(х , г) представляются в виде разложения в ряды по системам
базисных функций, удовлетворяющих принятым граничным условиям (6):
и 1 = X с08( Л т х )Тт 1( г);
т =0
X
Щ = X Йп(Лт х )Тт 3 (г);
т =1
и2 = X С0Я(Лтх)Тт 2(г);
т =0
X
^2 = Л т х )Тт 4( г);
т =1
х 1
д ( х , г) = X 8ш(л т х ) д т ( г); д т ( г) = 2^ д ( х , г )$ т (л т х )ё х ,
(8)
т =1 0
где Ттг ( г), г = 1, 2, 3, 4 - функции времени; д т ( г) - коэффициенты разложе
ния нагрузки в ряд.
Подстановка выражений (8) в (5) приводит к системе уравнений для
определения функции Тт1 ( г), которая в матричном виде такова:
[В ]{Т}+ [ М ]{Г} = {£}, (9)
где [В ] - квадратная матрица четвертого порядка, элементы которой В т^
определяются через параметры Ьг, зависящие от т ; [М ] - диагональная
матрица четвертого порядка с элементами М ту ; {Т} и {Т} - вектор-
столбцы, сформированные из искомых функций времени Ттг и их вторых
производных; ^ } - вектор, элементы которого Q mk составлены из коэф
фициентов разложения нагрузки в ряд:
( л т \ 2 / л т \ 2
Ь = «1 + а 41 ~ I ; Ь2 = - « 1 + а 5! — I ;
л т ( л т \ 3 л т ( л т
ь з = а 2 ~ + 2а б1~ I ; Ь4 = а з ~ - а 71
(10а)
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 6 137
Э. И. Старовойтов, Д. В. Леоненко, А. В. Яровая
( лш \ 2
Ь5 = + а 91 і
жш
Ь7 = а 17 ~ + 2а 7 ^ ~ | ;
2 /_ \4
жш ( жш\ 3
Ь6 = —а ю — + а 6 І — I ;
(жш \ 2 /л ш \ 4
Ь8 = —а п| — і + а і51 I + а 8 ;
( жш\ (жш\ (жш\ ( жш\
Ь9 = а 1 2 I “ I — а 16 I “ I — а 8; Ь10 = а 14 I “ I "Ь а 1з1 ~ | "Ь а 8 ;
]=
121 і ) а і6 { і )
Ь1 Ь2 Ь3 Ь4
Ь2 Ь5 Ь6 - Ь7
Ь3 Ь6 Ь8 Ь9
Ь4 — Ь7 Ь9 Ь10
2 ( жш\ 4
141 і ) + а 13І ~ у I "г а 8 э
1
1
1 і
0
і 1
1
і
3 =
Т пш 2
Тш3
; {03 =
0
ш
; т =
2
3
ш
ш
::Тш
::Тш
4Тш і 0 і і4::Тші
[ м V
Ш1 0
0 Ш2
0
0
0 0 Ш1 + Ш3
0 0
жшУ
т )
Ш2 + Ш4
жш
Т
(106)
Для замыкания задачи необходимо добавить начальные условия (7).
Систему (9) можно переписать в виде
( 11)
7=1
Поскольку матрица [М ] - диагональная, от второй суммы осталось
только одно к-е слагаемое.
Собственные колебания. При собственных колебаниях предполагает
ся, что внешняя нагрузка в (11) отсутствует & тк (х , () = 0). Решение полу
ченной системы представляется в виде
( 12)
где А тк - амплитуда; а тк , ю т - соответственно начальная фаза и частота
колебаний.
Подстановка выражения (12) в однородную систему, соответствующую
(11), приводит к обобщенной задаче на собственные значения. Получаемая
система алгебраических уравнений - однородна относительно амплитуд
А тк . Нулевое решение в рассматриваемом случае означает отсутствие коле
баний. Для нахождения нетривиального решения необходимо потребовать,
чтобы ее определитель равнялся нулю. Это приводит к алгебраическому
уравнению 4-го порядка относительно юк . Решив его, получим четыре
вещественных неотрицательных корня. Таким образом, колебательный про
цесс для каждого значения параметра т оказывается четырехчастотным.
Значит, вместо решения (12) следует принять
0
2
0
138 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6
Динамика трехслойных стержней
4
Ттк ( І) = А ткі ®Іп(т ті^ + ^ ті )•
і=1
Численное исследование частот собственных колебаний проводилось
для трехслойного стержня, набранного из материалов Д16Т-фторопласт-
Д16Т, механические характеристики которых приведены в [6]. В таблице
представлены значения всех четырех частот т ті для каждого параметра т
при относительной толщине слоев Н1 = 0,01; к 2 = 0,05; к 3 = 0,18.
Частоты собственных колебании
т От1 От2 тт3 тт4
0 0 4516 0 16525
1 845 9166 14564 17605
2 2606 13455 20896 30471
3 5420 13786 29489 45402
4 8955 14082 38709 60418
Вынужденные колебания. Для дальнейших исследований запишем
вспомогательные зависимости. Функции Ттк ( г) представляются в виде раз
ложения по собственным формам:
і=1
(13)
где д тЫ - амплитуды нормированных собственных форм колебаний.
Функции £ ш ( г) определяются из системы уравнений
(14)
где ц ті - компоненты приведенной силовой нагрузки,
4 4
~ті ^ ^ в т к ̂ ткі М ткк ̂ ткі •
к=1 / к=1
Общее решение уравнения (14) будет иметь вид
1 ^
ї ц і ( 0 = А ті С08( т тіі) + В ті ЭШ( (О тіІ) + ------/ ЭШ( (О ті( І - Г )) ~ т і(Г )Лх. (15)
' ті 0
После взятия интеграла в (15) искомые перемещения представляются в
виде сумм произведений £ ш ( г) на соответствующие коэффициенты д тк1 и
исходные координатные функции, указанные в (8).
ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 6 139
Э. И. Старовойтов, Д. В. Леоненко, А. В. Яровая
П рям оугольная локально распределенная нагрузка. Рассмотрим
воздействие ударной нагрузки (на рис. 2 кривая 1). Ее аналитический вид
представим с помощью функции Хевисайда H 0(x ):
f1, x > 0;
q( x , t ) = q o( t ) H o(a — x ) (a < 1), H o(x) = -L x < 0 (16)
Подставив нагрузку (16) в последнюю из формул (8), получим пара
метры q m ( t ):
1 • 2q0( t)
q m = 21 q o( t ) H o(a — x )sin(n m x )d x = ---------(1- cos(n m a )).
"0 n m
Далее функция %mi ( t) определяется из соотношения (15). Если интен
сивность нагрузки q o = const, то функцию времени получим в явном виде:
v 2q 0 5 m 3i(1— COs( ® mit ) ) ,1 , „
% mi( t ) = -------------4----------------- (1 — COs(n m a ))>
k=1
где 5 ̂ - амплитуды нормированных собственных форм колебаний; М тк
элементы матрицы масс (10).
Рис. 2. Схема нагружения стержня.
Если указанная нагрузка действует мгновенно (импульсно), то ее можно
записать с помощью d-функции Дирака [4]:
q ( x , t) = q иd( t ) H o(a — x ), q и = const. (17)
Параметры разложения нагрузки (17) в ряд по базисным функциям
следующие:
Г • 2q и d( t)
q m = 21 q и о( t )H o( a — x )sin( n m x )dx = ---------- (1 — cos( n m a )).
o n m
140 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, N 6
Динамика трехслойных стержней
Искомая функция времени, соответствующая (17), будет
2Ч и ̂ т 3г ®1п( ю тг'О
% та ( 1) = ----------- 4---------------- (1 “ С08(п т а )).
п т ю ш1 М шкк ̂ тк1
к=1
В случае резонанса дифференциальное уравнение (14) для определения
неизвестной функции % т1 ( г) принимает вид
%тг( О ^ ю т1 %тг( 0 Е т 1̂п(Ю пкг ) Е т Е т ̂ т3г
4
М ткк ̂ тк1
\к=1
-1
(18)
Общее решение при возникновении резонанса можно получить из (15) в
виде
% т1( г) = Л т1 С08( Ю т1г) + В т1 » 4 Ю т^ ) + У т1( г ̂
Е т
2 2 §ш(юпк0 , т й п или г й к ,
(ю тг — ю як )
г С0в( ю тгг X
2 с ч . п т х .
Ч т = 1 J Ч 81П( Ю пкг ) 8Ш ' = Е т » 4 Ю пк *)
(19)
Константы интегрирования Л ш , В т1- в соответствии с принятыми
нулевыми начальными условиями (7) и решением (19) таковы:
Л тг 0; В тг ю ,
ю пкЕ т
2 2 , т й п или гй к ,
(ю т — ю пк)
т = п , г= к
2ю ,
(20)
При действии резонансной прямоугольной гармонической нагрузки,
равномерно распределенной внутри интервала 0 < х < а < 1, ее можно запи
сать так:
ч ( х , г) = Ч 0 Н о( а — х )зш( ю ткО- (21)
Подставляя (21) в формулу (19), получаем параметры
Е т = (1 — С08(п т а )), т = 1, 2, 3,
п т
(22)
IS S N 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 6 141
т
I
1
Э. И. Старовойтов, Д. В. Леоненко, А. В. Яровая
Функция времени определяется выражением (13), где константы инте
грирования Л т1, Б т1 вычисляются по формулам (20) с учетом (22).
Если коэффициент Е т = 0, то имеем случай, называемый ложным
резонансом: частота возмущающей силы совпадает с одной из собственных
частот колебаний трехслойного стержня, однако нарастания амплитуды ко
лебаний не происходит. Ложный резонанс имеет место, если
2 Рсо§( л т а ) = 1 или а = — < 1, р = 1 ,2,3, . . . . (23)
т
Таким образом, если длина участка а, на который действует равномерно
распределенная нагрузка (21), удовлетворяет условию (23), то резонансная
составляющая решения (19) будет нулевой, так как соответствующий коэф
фициент Е т = 0. Нарастание амплитуды колебаний отсутствует.
Синусоидальная локально распределенная нагрузка. Ее можно пред
ставить в виде (на рис. 2 кривая 2)
( л х \
д ( х , г) = д о (г )И о (а - х)81п1 — I. (24)
Подставляя нагрузку (24) в последнюю из формул (8), получаем выра
жения для параметров д т ( г):
1 л х
0 a
Г . лх
q m = 2J q о( t )H о( a — х )sin— sin(л т х )dx =
a q о( t )
л
1 1
------- ~sin[ л ( a m — 1) ]---------- - 8Іп[л( am + 1)]
am — 1 am + 1
m Є N . (25)
Здесь должно выполняться условие а т ^ 1, чтобы не возникло деление
на ноль. В сечениях стержня, где а = 1/ р (р - натуральное число), при
т ^ р справедлива формула (25), если т = р, то -
1
Цр ( і ) = / Н о( а — х )(зт[лрх ])2 dx = aq 0( г). (26)
Следовательно, в рассматриваемой задаче о вынужденных колебаниях
трехслойного стержня под действием локальной синусоидальной нагрузки
(24) функции £ mi ( t ) определяются из соотношений (15) с учетом (25), (26).
Для динамической нагрузки с амплитудой q 0 = const при am ̂ 1 получим
<- q 0 <5 m 3 ia(1~ COs( m mit)) v
£ mi(t) 4 X
2 > M Д 2 ̂mi M mkk ® mki
k=1
0
142 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2006, № 6
Динамика трехслойных стержней
X
і і
------- -sin[#( am — 1) ] - ------- - sin[#( am + 1)]
am — 1 am + 1 (27)
В сечениях стержня, где а = 1/р, при т ̂ р необходимо использовать
формулу (27), если т = р, то -
С pi ( t) =
q о ̂ p з ia(1 — cos( a p it ))
2
pki
k=1
На рис. 3 показано изменение прогиба w 1 центрального поперечного
сечения и продольного перемещения концевого правого сечения в зави
симости от длины пятна локальной распределенной нагрузки в момент
времени г = 0,0036 с. При одинаковой амплитуде д 0 прогиб от синусоидаль
ной нагрузки по сравнению с прямоугольной меньше на 26%, при сину
соидальнои нагрузке qo, статически
больше на 23%. Примерно такая же
перемещении.
Ц'.
a
эквивалентной прямоугольной q о , он
картина наблюдается для продольных
и \
б
Рис. 3. Зависимость прогиба первого слоя (а) и продольного перемещения (б) в среднем
сечении и на правом конце стержня соответственно от длины пятна синусоидальной на
грузки: 1, 3 - синусоидальная нагрузка с амплитудами 0̂ = 0,5л̂ г0 и д0 = 5,5-10 Па
соответственно; 2 - прямоугольная нагрузка интенсивности о̂-
Если локальная синусоидальная нагрузка приложена импульсно внутри
участка 0 < x < а, то, добавляя в (6) д-функцию Дирака д( t ), получаем
(q и = const)
[ я х \
q ( x , t) = q и<5(t ) H о (a — х )sinl — I. (28)
Параметры разложения нагрузки (28) в ряд по системе координатных
функций при а т ^ 1 (т = 1, 2, 3,...) будут следующими:
q m
aq и <5( t )
я
1
am — 1
sin[ я ( am — 1)] —
1
a m + 1
sin[ я ( am + 1)] (29)
IS S N 0556-171X. Проблемыг прочности, 2006, № 6 143
Э. И. Старовойтов, Д. В. Леоненко, А. В. Яровая
В сечениях стержня, где а = 1/р, при т * р справедлива формула (29),
если т = р, то -
Чр( О = щ и 5( 0 . (30)
С использованием коэффициентов нагрузки (29), (30) функцию времени
при ат * 1 получаем в виде
С ті ( І) =
аЧи5 тЗі 8Іп(т т і І)
Л'® 2
ткі
1
ат — 1
§ш[ л ( а т — 1)]-
1
ат + 1
вт[л ( а т + 1)] .(31)
к=1
В сечениях стержня, где а = 1/р , при т ̂ р необходимо использовать
формулу (31), если т = р, то -
С рі ( І) =
аЧи 5 рЗ і й п (т ріО
2
ркі
к=1
На рис. 4 представлено изменение во времени прогиба Wl и продоль
ного перемещения щ в центре и на правом конце стержня соответственно
при воздействии синусоидальных и прямоугольной импульсных нагрузок,
распределенных на участке 0 < х < 1/2. При одинаковой амплитуде нагрузок
максимальный прогиб от синусоидального импульса меньше, чем от прямо
угольного. Если импульсы статически эквивалентны, то величина прогиба,
вызванного синусоидальным импульсом, больше. Примерно такая же карти
на наблюдается и для продольных перемещений.
Рис. 4. Изменение во времени прогиба первого слоя (а) и продольного перемещения (б) в
среднем сечении и на правом конце стержня при воздействии синусоидальных qи =
= 2 • 104 Па (1), qИ = 0,5яqи (2) и прямоугольной qи (3) импульсных нагрузок.
В случае локального воздействия на поверхность стержня внутри участ
ка 0 < х < а синусоидальной гармонической резонансной нагрузки ее можно
записать в виде
/ л х
Ч (х , і) = ч 0 8ІпІ — |И (а — х ^ Іп (т пкі ), (32)
144 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6
Динамика трехслойных стержней
где частота внешней возмущающей силы т пк совпадает с одной из собст
венных частот т ті колебаний стержня; д 0, п, к - заданные параметры
нагрузки.
Коэффициенты разложения в ряд нагрузки (32) будут
Чт = Е т 8Іп(т пкО, т = 1,2, 3, (33)
где
Е = Е т =
ад 0
ж
1
а т — 1
§ш[ ж( ат — 1)]-
1
ат + 1
8Іп[ ж( ат + 1)]
Если длина нагруженного участка а = 1/ р , то при т ̂ р справедлива
формула (33), а при т = р -
Е р = щ о. (34)
Возникновение ложного резонанса в этом случае не наблюдается, так
как коэффициенты Е т в (33) и (34) в нуль не обращаются.
На рис. 5 показана зависимость прогиба ^ ( х = 12) и продольного
перемещения (х = 1) трехслойного стержня от длины области действия
локальной нагрузки в момент времени г = 1 с при резонансе по частоте
»11 = 845 с - 1 . При одинаковой амплитуде до максимальный прогиб от
синусоидальной нагрузки на 22% меньше, чем от прямоугольной. Если
синусоидальная нагрузка д0 статически эквивалентна прямоугольной д о,
то прогиб от нее больше на 22%. Характер продольных перемещений анало
гичен.
ІУі М]
а б
Рис. 5. Зависимость прогибов (а) и горизонтальных перемещений (б) первого слоя от
размеров пятна синусоидальной (1, 3) и прямоугольной (2) резонансных нагрузок: 1 -
д0 = 12пдо', 2 - до = 6,4 • 10 Па; 3 - до.
Заключение. Предложенная математическая модель динамического де
формирования трехслойного стержня позволяет описывать его поперечные
колебания при действии ударных, импульсных и резонансных нагрузок. В
каждом из рассмотренных видов воздействия наиболее опасной, вызыва
ющей большие перемещения, среди статически эквивалентных является
поверхностная нагрузка, более локализованная в середине пролета. При
0556-171Х. Проблемыг прочности, 2006, № 6 145
Э. И. Старовойтов, Д. В. Леоненко, А. В. Яровая
совпадении частоты гармонической нагрузки с некоторыми собственными
частотами колебаний стержня наблюдается явление ложного резонанса.
Р е з ю м е
Розглянуто коливання тришарового стрижня, що знаходиться під дією ло
кальних, імпульсних та резонансних навантажень різної форми: прямокут
ної і синусоїдної. Для опису кінематики несучих шарів прийнято гіпотези
Бернуллі. У жорсткому стисливому заповнювачі справедливі співвідношен
ня теорії пружності з лінійною апроксимацією залежності переміщень його
точок від поперечної координати 2 . Отримано аналітичний розв’язок задач і
проведено їх числовий та порівняльний аналізи. Досліджено можливість
прояву хибного резонансу.
1. С т аровойт ов Э. И ., Я ровая А. В ., Л еоненко Д . В . Деформирование
трехслойного упругого стержня локальными нагрузками // Пробл.
машиностроения и автоматизации. - 2001. - № 4. - С. 37 - 40.
2. Г орш ков А. Г ., С т аровойт ов Э. И ., Я ровая А. В . Колебания круглой
линейно-вязкоупругой трехслойной пластинки // Пробл. прочности. -
2001. - № 3. - С. 100 - 107.
3. Л еоненко Д . В ., Я ровая А. В . Колебания круговых трехслойных пластин
под действием распределенных локальных нагрузок // Там же. - 2002. -
№ 5. - С. 70 - 79.
4. С т аровойт ов Э. И ., Л еоненко Д . В ., Я ровая А. В . Колебания круглых
трехслойных пластин под действием поверхностных нагрузок различ
ных форм // Там же. - 2003. - № 4. - С. 32 - 39.
5. С т аровойт ов Э. И . Вязкоупругопластические слоистые пластины и
оболочки. - Гомель: Белорус. гос. ун-т, 2002. - 343 с.
6 . Г орш ков А. Г ., С т аровойт ов Э. И ., Тарлаковский Д . В . Теория упру
гости и пластичности. - М.: Физматлит, 2002. - 416 с.
Поступила 27. 12. 2005
146 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2006, № 6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47872 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0556-171X |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T07:37:53Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Старовойтов, Э.И. Леоненко, Д.В. Яровая, А.В. 2013-08-03T13:22:28Z 2013-08-03T13:22:28Z 2006 Динамика трехслойных стержней / Э.И. Старовойтов, Д.В. Леоненко, А.В. Яровая // Проблемы прочности. — 2006. — № 6. — С. 133-146. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47872 539.3 Рассмотрены колебания трехслойного стержня под действием локальных, импульсных и резонансных нагрузок различной формы: прямоугольной и синусоидальной. Для описания кинематики несущих слоев приняты гипотезы Бернулли. В жестком сжимаемом заполнителе справедливы соотношения теории упругости с линейной аппроксимацией зависимости перемещений его точек от поперечной координаты z. Получены аналитические решения задач, проведен их численный и сравнительный анализы. Исследована возможность проявления ложного резонанса. Розглянуто коливання тришарового стрижня, що знаходиться під дією локальних, імпульсних та резонансних навантажень різної форми: прямокутної і синусоїдної. Для опису кінематики несучих шарів прийнято гіпотези Бернуллі. У жорсткому стисливому заповнювачі справедливі співвідношення теорії пружності з лінійною апроксимацією залежності переміщень його точок від поперечної координати z. Отримано аналітичний розв’язок задач і проведено їх числовий та порівняльний аналізи. Досліджено можливість прояву хибного резонансу. We study the oscillations of a three-layer beam subjected to local, pulse and resonance loads of various (rectangular and sinusoidal) forms. For description of the kinematics of the bearing layers we use the Bernoulli hypotheses. The elastic theory equations with linear approximation for the equation of displacement of beam points versus the transversal coordinate z are assumed to be valid for a rigid compressed filler. The analytical solutions are obtained with their further numerical and comparative analyses. The possibility of a false resonance occurrence is investigated. ru Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України Проблемы прочности Научно-технический раздел Динамика трехслойных стержней Dynamics of threelayer beam Article published earlier |
| spellingShingle | Динамика трехслойных стержней Старовойтов, Э.И. Леоненко, Д.В. Яровая, А.В. Научно-технический раздел |
| title | Динамика трехслойных стержней |
| title_alt | Dynamics of threelayer beam |
| title_full | Динамика трехслойных стержней |
| title_fullStr | Динамика трехслойных стержней |
| title_full_unstemmed | Динамика трехслойных стержней |
| title_short | Динамика трехслойных стержней |
| title_sort | динамика трехслойных стержней |
| topic | Научно-технический раздел |
| topic_facet | Научно-технический раздел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47872 |
| work_keys_str_mv | AT starovoitovéi dinamikatrehsloinyhsteržnei AT leonenkodv dinamikatrehsloinyhsteržnei AT ârovaâav dinamikatrehsloinyhsteržnei AT starovoitovéi dynamicsofthreelayerbeam AT leonenkodv dynamicsofthreelayerbeam AT ârovaâav dynamicsofthreelayerbeam |