Спектральные характеристики и зависимости давление-расход при волновых течениях жидкости в системах вязкоупругих трубок
Приведены результаты исследования осесимметричного волнового течения вязкой несжимаемой жидкости в толстостенной трубке из вязкоупругого материала. Получены выражения для компонент скорости движения жидкости, перемещения стенки и давления в жидкости. Проведены расчеты объемного расхода в трубке с пе...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2005
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/479 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Спектральные характеристики и зависимости давление - расход при волновых движениях жидкости в системах вязкоупругих трубок / Н.Н. Кизилова // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 1-2. — С. 54-63. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860249285225873408 |
|---|---|
| author | Кизилова, Н.Н. |
| author_facet | Кизилова, Н.Н. |
| citation_txt | Спектральные характеристики и зависимости давление - расход при волновых движениях жидкости в системах вязкоупругих трубок / Н.Н. Кизилова // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 1-2. — С. 54-63. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Приведены результаты исследования осесимметричного волнового течения вязкой несжимаемой жидкости в толстостенной трубке из вязкоупругого материала. Получены выражения для компонент скорости движения жидкости, перемещения стенки и давления в жидкости. Проведены расчеты объемного расхода в трубке с переменным сечением с учетом отражения волны на конце трубки. На основе полученных результатов рассчитаны параметры волн, которые распространяются в артериальных руслах, моделируемых системами трубок с заданными геометрическими и механическими свойствами. Исследованы спектры волновой проводимости русел с разной геометрией, зависимости давление-расход на входе в систему, а также интенсивности падающей и отраженных волн разрежения и сжатия, связанных с отражениями в системах трубок. Путем компьютерного моделирования проведен сравнительный анализ влияния различных геометрических и механических параметров русла на исследованные зависимости. Выделены диагностически информативные параметры, которые позволяют оценить состояние кровообращения в системе по результатам измерения давления и расхода в питающей артерии органа.
The results of investigation of an axisymmetric wave flow of a viscous incompressible liquid in a thick-walled tube of viscoelastic material are presented. The expressions for the components of liquid velocity, wall displacement and pressure in the liquid are obtained. Calculations of the volumetric flow rate in the tube with variable cross-section are carried out with allowance for wave reflection at the tube end. Parameters of the waves propagating in the arterial bed, modeled as the system of tubes with given geometrical and mechanical properties, are calculated on the basis of the obtained results. The wave conductivity spectrum of the beds having various geometry, pressure-flow dependencies in bed's inlet and intensity of the compression and extension incident and reflected waves related with reflections in the system are studied. A comparative analysis of influence of various geometric and mechanical parameters of the beds on the considered dependencies is carried out by means of computer modeling. Certain diagnostically informative parameters are distinguished, which allow the estimation of blood circulation state in the system on the basis of results of pressure and volumetric rate measurement in organ's feeding artery.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:41:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 54 – 63
УДК 532.595
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
И ЗАВИСИМОСТИ ДАВЛЕНИЕ – РАСХОД
ПРИ ВОЛНОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ ЖИДКОСТИ
В СИСТЕМАХ ВЯЗКОУПРУГИХ ТРУБОК
Н. Н. К И ЗИ Л О В А
Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина
Получено 10.01.2005
Приведены результаты исследования осесимметричного волнового течения вязкой несжимаемой жидкости в толсто-
стенной трубке из вязкоупругого материала. Получены выражения для компонент скорости движения жидкости,
перемещения стенки и давления в жидкости. Проведены расчеты объемного расхода в трубке с переменным сече-
нием с учетом отражения волны на конце трубки. На основе полученных результатов рассчитаны параметры волн,
которые распространяются в артериальных руслах, моделируемых системами трубок с заданными геометрическими
и механическими свойствами. Исследованы спектры волновой проводимости русел с разной геометрией, зависимости
давление – расход на входе в систему, а также интенсивности падающей и отраженных волн разрежения и сжатия,
связанных с отражениями в системах трубок. Путем компьютерного моделирования проведен сравнительный анализ
влияния различных геометрических и механических параметров русла на исследованные зависимости. Выделены
диагностически информативные параметры, которые позволяют оценить состояние кровообращения в системе по
результатам измерения давления и расхода в питающей артерии органа.
Наведенi результати дослiдження осесиметричної хвильової течiї в’язкої нестисливої рiдини у товстостiннiй трубцi
з в’язкопружного матерiалу. Отриманi вирази для компонентiв швидкостi руху рiдини, змiщення стiнки й тиску в
рiдинi. Проведенi розрахунки об’ємної витрати у трубцi зi змiнним перерiзом з урахуванням вiдображення хвилi
на кiнцi трубки. На основi отриманих результатiв розрахованi параметри хвиль, якi поширюються в артерiальних
руслах, змодельованих системами трубок iз заданими геометричними i механiчними властивостями. Дослiджено
спектри хвильової провiдностi русел з рiзною геометрiєю, залежностi тиск – витрата на входi в систему та iнтенсив-
ностi падаючої й вiдбитої хвиль розрiдження та стиску, зв’язаних з вiдбиттями хвиль у системах трубок. Шляхом
комп’ютерного моделювання проведено порiвняльний аналiз впливу рiзних геометричних i механiчних параметрiв
русла на дослiдженi залежностi. Видiленi дiагностично iнформативнi параметри, якi дозволяють оцiнити стан кро-
вообiгу в системi за результатами вимiрювання тиску й витрати у живильнiй артерiї органа.
The results of investigation of an axisymmetric wave flow of a viscous incompressible liquid in a thick-walled tube
of viscoelastic material are presented. The expressions for the components of liquid velocity, wall displacement and
pressure in the liquid are obtained. Calculations of the volumetric flow rate in the tube with variable cross-section are
carried out with allowance for wave reflection at the tube end. Parameters of the waves propagating in the arterial bed,
modeled as the system of tubes with given geometrical and mechanical properties, are calculated on the basis of the
obtained results. The wave conductivity spectrum of the beds having various geometry, pressure-flow dependencies in
bed’s inlet and intensity of the compression and extension incident and reflected waves related with reflections in the
system are studied. A comparative analysis of influence of various geometric and mechanical parameters of the beds on
the considered dependencies is carried out by means of computer modeling. Certain diagnostically informative parameters
are distinguished, which allow the estimation of blood circulation state in the system on the basis of results of pressure
and volumetric rate measurement in organ’s feeding artery.
ВВЕДЕНИЕ
Для анализа и биомеханической интерпретации
кривых давления P (t) и объемного расхода Q(t),
экспериментально регистрируемых в различных
артериях внутренних органов человека, исполь-
зуется модель осесимметричного течения вязкой
несжимаемой жидкости в упругодеформируемой
трубке при условии продольного закрепления на-
ружной стенки трубки к окружающим тканям [1].
В последнее время появились результаты экспери-
ментальных исследований реологических параме-
тров сосудистой стенки [2 – 6], которые могут быть
использованы для обобщения модели [1] и прове-
дения более детальных расчетов с целью приложе-
ния результатов в медицинской диагностике.
Вязкоупругие свойства стенок артериальных со-
судов влияют на скорость распространения волн,
их затухание по мере продвижения по системе ар-
терий и коэффициент отражения волн в местах
ветвления сосудов. Отражения волн давления на
бифуркациях артериальных сосудов приводят к
тому, что регистрируемый сигнал P (t) представ-
ляет собой суперпозицию падающей и многочи-
сленных отраженных волн. В свою очередь, отра-
женные волны вызывают ретроградный ток кро-
ви и изменяют вид кривой Q(t). Диагностический
анализ регистрируемых зависимостей P (t) и Q(t)
позволяет выявить ценную клиническую инфор-
мацию и должен основываться на знании законо-
мерностей распространения волн в артериальном
русле с заданными геометрическими и механиче-
54 c© Н. Н. Кизилова, 2005
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 54 – 63
скими параметрами. В данной работе, являющей-
ся обобщением результатов предыдущих исследо-
ваний [7], проведен детальный анализ таких зако-
номерностей.
1. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим осесимметричное течение вязкой
несжимаемой жидкости по цилиндрической труб-
ке из вязкоупругого материала. На конце труб-
ки имеется дополнительный проводящий элемент
с сопротивлением Zt, который может являться су-
жением, разветвлением трубки или сложной си-
стемой трубок (как, например, внутриорганное ар-
териальное русло, расположенное ниже по тече-
нию крови). Комплексная величина Zt характери-
зует резистивные и емкостные свойства проводя-
щего элемента и определяет условия отражения
волны на конце трубки. При Zt =0 отраженная
волна отсутствует (открытый конец), а Zt =∞ со-
ответствует закрытому концу (полное пережатие
артерии).
Система уравнений для жидкости и трубки
включает законы сохранения массы и импульсов
для жидкости и материала стенки:
div ~v = 0, (1)
ρ
(
∂~v
∂t
+ (~v ∇ )~v
)
= −∇p + η∆~v, (2)
ρw
∂2~v
∂t2
= div σ̂, (3)
где ~v=(vr , 0, vx); ~u=(ur, 0, ux) – скорость движе-
ния жидкости и перемещение стенки в связанной
с трубкой цилиндрической системе координат; ρw,
ρ – плотности материала стенки и жидкости; η –
вязкость жидкости; p – гидростатическое давле-
ние в жидкости; σ̂ – тензор напряжений материала
стенки.
Граничные условия включают условия осевой
симметрии профиля скорости, непрерывности ско-
рости на внутренней поверхности подвижной стен-
ки трубки, условия непрерывности нормальной и
касательной компонент напряжений на внутрен-
ней поверхности стенки, а также условия закре-
пления наружной поверхности стенки, соответ-
ственно:
r = 0 : vr = 0, |vx| < ∞, (4)
r = R :
∂~u
∂t
= ~v, −p + η
∂vr
∂r
= σrr ,
η
(
∂vx
∂r
+
∂vr
∂x
)
= σrx,
(5)
r = R + h : ~u = 0, σrr = 0, σrx = 0, (6)
где R – невозмущенный радиус; h – толщина стен-
ки трубки.
Во входном сечении задано давление в виде
x = 0 : p =
∞
∑
j=0
Pje
iωjt, (7)
где ω – круговая частота падающей волны; Pj –
коэффициенты разложения; j – номер гармоники.
На выходе заданы условия непрерывности давле-
ния и расхода, которые фактически определяют
входное волновое сопротивление Zt дополнитель-
ного проводящего элемента:
x = L :
R′
∫
0
rpdr = πZt(R
′)2
R′
∫
0
ruxdr. (8)
Здесь R′=R+uR; uR =ur|x=R. В соответствии
с результатами экспериментов [2 – 6], в качестве
определяющего соотношения для материала стен-
ки можно использовать модель Фойхта:
σ̂ = Êε̂ + µw
Dε̂
Dt
, (9)
где Ê – тензор модулей упругости; µw – вязкость
материала стенки; D/Dt – оператор дифферен-
цирования по времени. Численные значения µw и
компонент Ê получены экспериментально для ря-
да артерий человека и животных [2 – 5, 8, 9]. Рас-
сматривая материал стенки как однородный изо-
тропный, для компонент тензора модулей упруго-
сти имеем
Ejj =
E(1−ς)
(1+ς)(1−2ς)
, j=1, 2, 3,
Ejj = G, j = 4, 5, 6,
Ejk =
Eς
(1+ς)(1−2ς)
, j, k=1, 2, 3, j 6=k,
Ejk =0, j, k=4, 5, 6, j 6=k,
(10)
где E – модуль Юнга; ς – коэффициент Пуассона;
G – модуль сдвига материала стенки.
Н. Н. Кизилова 55
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 54 – 63
Подставив выражения (9), (10) в уравнения (1) –
(3), получим следующую систему уравнений, опи-
сывающую осесимметричное движение жидкости
и стенки трубки:
1
r
∂
∂r
(rvr) +
∂vx
∂x
= 0, (11)
ρ
∂vr
∂t
= −
∂p
∂r
+
+η
(
∂2vr
∂r2
+
1
r
∂vr
∂r
−
vr
r2
+
∂2vr
∂x2
)
,
(12)
ρ
∂vx
∂t
= −
∂p
∂x
+ η
(
∂2vx
∂r2
+
1
r
∂vx
∂r
+
∂2vx
∂x2
)
, (13)
ρw
∂2ur
∂t2
=
(
λ+2µ+2µw
∂
∂t
)
∂Θ
∂r
+
+2
(
µ+µw
∂
∂t
)(
1
r
∂
∂r
(
r
∂ur
∂r
)
−
ur
r2
+
∂2ur
∂x2
)
,
(14)
ρw
∂2ux
∂t2
=
(
λ + 2µ + 2µw
∂
∂t
)
∂Θ
∂x
+
+2
(
µ + µw
∂
∂t
)(
1
r
∂
∂r
(
r
∂ux
∂r
)
+
∂2ux
∂x2
)
,
(15)
где
Θ =
1
r
∂
∂r
(rur) +
∂ux
∂x
;
λ =
Eς
(1 + ς)(1 − 2ς)
; µ =
E
2(1 + ς)
.
Отличие задачи (11) – (15) от постановки, рас-
сматривавшейся ранее в [7], состоит в наличии до-
полнительного оператора дифференцирования по
времени в правых частях уравнений (14), (15).
Для чисто упругой стенки при µw =0 соотноше-
ния (14) – (15) переходят в уравнения модели Ля-
ме [10]. Для случая длинной трубки R�L по ана-
логии [7] можно опустить производные ∂2vj/∂x2
в правых частях (12), (13). Будем искать реше-
ние (11) – (15) в виде разложений:
F (t, r, x) =
∞
∑
j=0
Fj(r)e
iωj(t−x/cj), (16)
где F ={vr, vx, ur, ux, p}; Fj(r) – амплитуды разло-
жений соответствующей неизвестной F (t, r, x); cj –
комплексная скорость распространения j-ой гар-
моники. Подставив выражение (16) в соотноше-
ния (11) – (15), получаем уравнения Бесселя для
определения амплитуд vrj , vxj, urj, uxj. Их реше-
ния с учетом граничных условий (4) принимают
следующий вид:
p(t, r, x) =
∞
∑
j=0
iωjρC1J0(τjr)e
iωj(t−x/cj),
vr(t, r, x) =
∞
∑
j=0
iωj(C1jJ1(τjr)+
+C2jJ1(ζjr))/cje
iωj(t−x/cj),
vx(t, r, x) =
∞
∑
j=0
iωj(C1J0(τjr)/cj+
+C2jγjJ0(ζjr))e
iωj(t−x/cj),
ur =
n
∑
j=0
iωj(C3jJ1(ζjr)+
+C4jY1(ωjκjr) + C5jJ1(τjr)+
+C6jY1(τjr))/cje
iωj(t−x/cj),
ux =
n
∑
j=0
[ωj(C3jJ0(κjr)κj+
+C4jY0(κjr)κj) + iωj(C5jJ0(τjr)+
+C6jY0(τjr))/cj]e
iωj(t−x/cj).
(17)
Здесь J0,1 и Y0,1 – функции Бесселя первого и вто-
рого рода;
τj = iωj/cj ; ζj = iωjγj ;
γj = (iρ/(ηωj) + c−2
j )0.5;
κj = (ρw/(µ + iωjµw) − c−2
j )0.5;
C1j, . . . , C6j – неизвестные постоянные, подлежа-
щие определению из оставшихся неиспользован-
ными граничных условий (5), (6). Подставив выра-
жение (16) в соотношения (5), (6), получим систе-
му уравнений в матричной форме:
M ~C = 0, (18)
где ~CT = (C1j, C2j, C3j, C4j, C5j, C6j);
M31 = M32 = M61 = M62 = 0;
56 Н. Н. Кизилова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 54 – 63
M11 = 2µα2
jJ1(αjR);
M12 = µα2
j(1 + c2
jγ
2
j )J1(βjR);
M13 = Θ1(R, J1);
M14 = Θ1(R, Y1);
M15 = Θ3(R, J1);
M16 = Θ3(R + h, J1);
M21 = (ραjcj − 2µα3
j)J0(αjR) + 2µiα2
jJ1(αjR)/R;
M22 = 2µiαjγj(iJ1(βjR)/R − βjJ0(βjR));
M23 = Θ2(R, J0, J1);
M24 = Θ2(R, Y0, Y1);
M25 = Θ4(R, J0, J1);
M26 = Θ4(R, Y0, Y1);
M33 = Θ1(R + h, J1);
M34 = Θ1(R + h, Y1);
M35 = Θ3(R, J1);
M36 = Θ3(R + h, J1);
M41 = −αjJ0(αjR);
M42 = −ωjγjJ0(βjR);
M43 = −ξjJ0(ωjκjR);
M44 = −ξjY0(ωjκjR);
M45 = −iα2
jcjJ0(αjR);
M46 = −iα2
jcjY0(αjR);
M51 = iJ1(αjR);
M52 = iJ1(βjR);
M53 = νjJ1(ωjκjR);
M54 = νjY1(ωjκjR);
M55 = ωjJ1(αjR);
M56 = ωjY1(αjR);
M63 = Θ2(R + b, J0, J1);
M64 = Θ2(R + b, Y0, Y1);
M65 = Θ4(R + h, J0, J1);
M66 = Θ4(R + h, Y0, Y1).
Здесь
αj = ωj/cj ; ξj = α2
jcjκj/(µ + iωµw);
νj = αjcj/(iµ − ωµw); βj = αjγjcj;
Θ1(z, H) = α2
j(c
2
jκ
2
j − 1)H(ωjκjz);
Θ2(z, H1, H2) = 2cjκjα
2
j
(
iH1(ωjκjz)/z−
−αjH2(ωjκjz)
)
;
Θ3(z, H) = −2(µ + iωµw)α2
jH(αjz);
Θ4(z, H1, H2) =
(
2α3
j(µ + iωµw) − α2
jc
2
jρw
)
×
×H1(αjz) − 2(iµ − ωµw)α2
jH2(αjz)/z.
Условие разрешимости однородной алгебраиче-
ской системы (18) det(M)=0 приводит к дис-
персионному уравнению Ξ(cj, ωj)=0, из которого
можно получить зависимость скорости cj от ча-
стоты j-й гармоники. Полный вид уравнения не
приведен ввиду чрезвычайной громоздкости. В ча-
стном случае при µw =0 соотношение Ξ(cj, ωj)=0
переходит в биквадратное уравнение
(Ψj + 2Λ)(1 − ς2)c4
j + (Ψj(2Λ + 4ς)+
+Ψj (2Λ − 1) − 4)c2
jc
2
0 + 4(1 − Ψj)c
4
0 = 0,
(19)
где
Λ = ρwh/(ρR); c0 = (Eh/(2ρR))0.5;
Ψj = 2J1(zj)/(zjJ0(zj));
zj = (i3R2ωjρ/η)0.5.
Решения уравнения (19) соответствуют модам
Юнга (медленные волны, распространяющиеся в
жидкости) и модам Лэмба (быстрые волны, рас-
пространяющиеся в стенке трубки), которые по-
дробно исследовались ранее при ряде дополни-
тельных упрощений [11,12].
При выполнении условия det(M )=0 неизвест-
ные постоянные C2j, . . . , C6j можно выразить че-
рез одну величину, например, C1j:
C2j = −
∆12
∆11
C1j, C3j =
∆13
∆11
C1j,
C4j = −
∆14
∆11
C1j, C5j =
∆15
∆11
C1j,
C6j = −
∆16
∆11
,
(20)
Н. Н. Кизилова 57
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 54 – 63
где ∆jk – определитель минора, который получа-
ется из матрицы M путем удаления j-ой строчки
и k-го столбца.
Подставив соотношения (20) в формулу (16) и
использовав условие (7), выразим последнюю неи-
звестную величину C1j через амплитуды давления
на входе в трубку:
C1j =
R′Pj
2iρcjJ1(αjR′)
.
Наличие дополнительного элемента с волновым
сопротивлением Zt определяет параметры волны,
отраженной на конце трубки. Давление и скоро-
сти движения жидкости и стенки в произвольном
сечении трубки будут при этом определяться су-
перпозицией волн, движущихся вдоль оси трубки
в противоположных направлениях:
p(t, r, x) =
∞
∑
j=0
R′αjPjJ0(αjr)
2J1(αjR′)
eiωjt×
×
(
e−iωjx/cj + Γje
iωj(x−2L)/cj
)
,
(21)
где Γj – коэффициент отражения j-ой гармоники
волны, равный отношению амплитуд j-ых гармо-
ник падающей и отраженной волн. Он определяе-
тся путем подстановки соотношения (20) в после-
днее неиспользованное граничное условие (8). Со-
отношения, аналогичные формуле (21), можно за-
писать и для остальных величин задачи (11) – (15).
Объемный расход жидкости через сечение труб-
ки определим путем интегрирования продольной
компоненты скорости по сечению:
Q(t, x) = 2π
R′(t,x)
∫
0
rvx(t, r, x)dr. (22)
После подстановки выражения (16), интегриро-
вания и последующего учета отраженной волны
давления (21), которая вызывает ретроградный
ток жидкости в трубке, формула (22) примет вид:
Q(t, x) =
∞
∑
j=0
πR2PjJ0(αjR)
2ρcjJ1(αjR)
Ωje
iωjt×
×
(
e−iωjx/cj − Γje
iωj(x−2L)/cj
)
,
(23)
где
Ωj =
2∆11J1(αjR) − 2∆12J1(βjR)
∆11αjRJ0(αjR)
.
Теперь можно вычислить волновую проводи-
мость трубки Y =Q/p при наличии отражения
волны на конце. Из соотношений (22) – (23) следу-
ет
Y = Y0 +
∞
∑
j=1
πR2Ωj
iωjρ
eiωjL/cj − Γje
−iωjL/cj
eiωjL/cj + Γje−iωjL/cj
, (24)
где Y0 =πR4/(πR4
Re (Zt)+8ηL) – проводимость
трубки для стационарного потока жидкости.
На основе расчетов давлений и объемного ра-
схода по формулам (21), (23) могут быть построе-
ны и исследованы кривые давление – расход p(Q),
которые в последнее время все активнее внедря-
ются в биофизическую и клиническую практику
для детального анализа и интерпретации параме-
тров волн, распространяющихся в артериальных
руслах [13, 14].
2. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Проведя численные расчеты по полученным
выражениям (16) – (21), исследуем распределения
давлений и поля скоростей в трубке с заданными
механическими и геометрическими параметрами.
Практическая ценность полученного решения за-
ключается в возможности исследовать закономер-
ности распространения волны давления (7) по
системе трубок, геометрия которой соответству-
ет артериальным руслам различных внутренних
органов или внеорганных систем артерий. При
этом возможно сопоставление теоретических ра-
счетов с данными экспериментов и клинических
наблюдений. При экспериментальных исследова-
ниях гидродинамики кровообращения проводятся
измерения давления p(t, X) в произвольном сече-
нии X достаточно крупной артерии путем внедре-
ния внутрь сосуда катетера с микроманометриче-
ским датчиком. В клиниках доступными для ис-
следователей являются также результаты ультра-
звуковых измерений радиальных смещений стен-
ки сосуда uR(t, X) и линейной скорости крово-
тока vx(t, a, X) в произвольной точке a∈ [0; R−δ]
ядра течения r≤R−δ (где δ – толщина при-
стенного слоя, заполненного практически чистой
плазмой крови). Величина δ косвенно оценива-
ется по результатам расчетов стационарного те-
чения крови как неньютоновской жидкости [14].
В ряде случаев ультразвуковые исследования да-
ют величину Q(t, x), определяемую путем син-
хронных измерений vx(t, a, X) и диаметра арте-
рии в том же сечении d(t, X)=d◦(X)+2uR(t, X)
(где d◦(X) – среднее по времени значение диаме-
тра сосуда в данном сечении). Определение вели-
чин Q(t, x) и d◦(X) заложено в программу прибора
и основано на использовании модели [1]. Величи-
58 Н. Н. Кизилова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 54 – 63
ну Y для русла можно получить как отношение
амплитуд измеренных величин Q(t, X), p(t, X).
Таким образом, непосредственную практическую
ценность представляет расчет значений p(t, X),
uR(t, X), vx(t, a, X), Q(t, X), Y . Обобщение резуль-
татов на систему трубок с заданной геометрией
основано на суммировании волновых проводимо-
стей трубок в соответствии со способом их сое-
динения в системе. Методика суммирования пре-
дложена в [15] для регулярных симметричных ди-
хотомически ветвящихся систем трубок, а затем
обобщена на случай асимметричных русел [16] и
артериальных систем с анастомозами [17,18].
Ниже приведены результаты численных расче-
тов по формулам (21), (23), (24) с использовани-
ем следующих численных данных [3 – 6, 8, 9, 14]:
ρ=(1÷1.1)·103 кг/м
3
, ρw =(0.2÷1.2)·10 кг/м
3
, η=
(3÷4.5)·10−3 Па·с, E =(6÷10)·106 Па, ς =0.4÷0.45,
µw =(0.5÷9.7)·105ω−1 Па·с, R=(1.5÷2.5)·10−3 м,
h=0.1÷0.2 м, L=0.02÷0.16 м. На рис. 1 представ-
лены иллюстрации зависимости давление – расход
P (Q) для симметричного дихотомически ветвяще-
гося артериального дерева. В соответствии с обще-
принятыми теоретическими подходами к модели-
рованию артериальных систем считалось, что для
каждой трубки Lm =aRb
m [19], где m – порядко-
вый номер трубки; a и b – постоянные для данной
системы величины. В каждом ветвлении в соответ-
ствии с [19,20] выбирались постоянная асимметрия
χ и параметр λ, определяющий соотношение ме-
жду диаметрами материнского и дочерних сосу-
дов. На основании подобного подхода, задавая на-
бор постоянных величин {a, b, χ, λ, R1}, можно со-
здавать модели артериальных систем, которые по
своим гидравлическим и волновым свойствам со-
ответствуют реальным артериальным руслам раз-
личных органов. В то же время, для описания гео-
метрии реального артериального русла, содержа-
щего N сегментов, потребовалось бы не менее 2N
параметров (длины и диаметры соответствующих
сегментов).
Компьютерное моделирование при варьирова-
нии параметров {a, b, χ, λ, R1} в широком диапа-
зоне физиологических значений показало, что об-
щий вид зависимостей P (Q) сохраняется для ру-
сел с разной геометрией, но существенно меняе-
тся при изменении условий отражения волн давле-
ния на конечных элементах модели, соответству-
ющих системе микроциркуляции. Так, уменьше-
ние сопротивления Re (Zt) дополнительного эле-
мента приводит к снижению наклона петли P (Q)
за счет быстрого оттока крови из системы через
дополнительные элементы с малым сопротивле-
нием. Этот процесс сопровождается резким паде-
нием давления, что приводит также к уменьше-
нию площади области, ограниченной петлей P (Q)
(рис. 1, а – в). Увеличение же податливости прово-
дящих элементов приводит к медленному сниже-
нию давления и дополнительным потерям энер-
гии на растяжение стенок податливых трубок. Это
выражается в возрастании площади, ограничен-
ной петлями P (Q). Со снижением сопротивления
дополнительного элемента наклон петель также
уменьшается. Аналогичные результаты получены
в работе [7] для упрощенной модели артериаль-
ного русла. Можно показать, что кривые P (Q)
в рассмотренном случае (7) представляют собой
эллипсы [7]. Из сопоставления рис. 1, а – е видно,
что отношение длин осей эллипсов B/A, угол на-
клона ϕ большей оси к оси OX и площадь S,
ограниченная петлей P (Q), представляют набор
параметров, позволяющих однозначно определить
соотношение Re (Zt)/Im (Zt) для данной кривой.
Таким образом, набор {B/A, ϕ, S}, соответству-
ющий экспериментально полученной зависимости
P (Q), может быть рекомендован для использова-
ния в медицинской диагностике для биомеханиче-
ской интерпретации клинических данных.
Альтернативный метод диагностического ана-
лиза кривых P (t), Q(t) или P (t), V (t) (здесь V –
линейная скорость кровотока на оси сосуда) пре-
дложен в [13, 14] и исследован в [7]. При этом
используется важная диагностическая информа-
ция, содержащаяся в значениях дифференциалов
интенсивностей
dI± = ±
1
4ρc
(dP ± ρcdU)2 (25)
падающей и отраженных волн, которые распро-
страняются в жидкости и зависят от характери-
стик артериальной системы в целом. Эти пара-
метры определяют коэффициент отражения Γ1
на конце самой крупной (питающей) артерии ру-
сла [13,14]. Вычислив по формулам (21) – (24) дав-
ление и скорость движения жидкости в первой (са-
мой крупной) трубке модели ветвящегося русла и
подставив их в выражения (25), получим зависи-
мости dI±(t, X) в произвольном сечении трубки
X. Результаты расчетов для модели с a=5, b=1,
χ=1, λ=3, R1 =0.003 м представлены на рис. 2
при X =L1/2. Римские цифры II, IV обознача-
ют участки dI±>0, соответствующие падающим
волнам. Здесь II – волна разрежения (dP <0), а
IV – волна сжатия (dP >0). Цифры I, III обозна-
чают участки dI±<0, соответствующие отражен-
ным волнам сжатия (I) и разрежения (III). Как и в
предыдущем случае, здесь существенное влияние
Н. Н. Кизилова 59
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 54 – 63
Q (10-6 m3/s)
0 2 4 6
P
(m
m
H
g
co
l.)
0
50
100
150
1
2
3 4
5
Q (10-6 m3/s)
0 2 4 6
P
(m
m
H
g
co
l.)
0
50
100
150
1
2
3
4
5
а б
Q (10-6 m3/s)
0 2 4 6
P
(m
m
H
g
co
l.)
0
50
100
150
1
2
3 4
5
A
B
Q (10-6 m3/s)
0 2 4 6
P
(m
m
H
g
co
l.)
0
50
100
150
1 2 3
4
5
в г
Q (10-6 m3/s)
0 2 4 6
P
(m
m
H
g
co
l.)
0
50
100
150
1
2
345
Q (10-6 m3/s)
0 2 4 6
P
(m
m
H
g
co
l.)
0
50
100
150
1
2
3
4
5
S
д е
Рис. 1. Зависимости P (Q) для модели артериальной системы:
а – Im (Zt)=100, б – Im (Zt)=2, в – Im (Zt)=1, 1–5 – Re (Zt)=5, 2.5, 1.7, 1.2, 1;
г – Re (Zt)=100, д – Re (Zt)=2, е – Re (Zt)=1, 1–5 – Im (Zt)=5, 2.5, 1.7, 1.2, 1
60 Н. Н. Кизилова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 54 – 63
t (s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
v
(m
/s
)
0
20
40
P
(m
m
H
g
co
l.)
0
20
40
60
80
100
120
140
P(t)
V(t)
dI(t)
I II III IV I
t (s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
v
(m
/s
)
0
20
40
P
(m
m
H
g
co
l.)
0
20
40
60
80
100
120
140
P(t)
V(t)
dI(t)
I II III IV I
а б
Рис. 2. Зависимости P (t) (кривые 1), V (t) (кривые 2) и dI(t) (кривые 3) при Im (Zt)=2:
а – Re (Zt)=2, б – Re (Zt)=20
на вид зависимостей dI±(t, X) оказывают усло-
вия отражения волн в системе. Так, при увели-
чении сопротивления Re (Zt) в 10 раз интенсив-
ность отраженных волн увеличивается по ампли-
туде и имеет большую протяженность во времени
(ср. рис. 2, а, б).
Исследование амплитуд и относительных дли-
тельностей интервалов I – IV при вариации пара-
метров модели артериального русла {a, b, χ, λ, R1}
и условий отражения волн Re (Zt), Im (Zt) пока-
зало, что однозначное определение этих величин
и даже их отношения Re (Zt)/Im (Zt) по параме-
трам dI±(t, X) не представляется возможным. Де-
тальный анализ отдельных участков I – IV кривых
dI±(t, X) при условии непрерывной регистрации
кривых P (t), V (t) в одном и том же поперечном се-
чении выбранной артерии позволяет исследовать
особенности отражения волн, характерные для то-
го или иного артериального русла. Например, че-
редование фаз сокращения– расслабления серде-
чной мышцы приводит к пережатию коронарных
артерий и появлению уникальной для конкретно-
го сердца картины dI±(t, X) [13, 14]. Тем не менее,
выделение нормальных и патологических состоя-
ний коронарного кровообращения по результатам
исследования только лишь зависимостей dI±(t, X)
затруднительно. Об этом же свидетельствуют и
результаты проведенного компьютерного модели-
рования.
Еще одна диагностическая методика связана с
анализом спектра волновой проводимости артери-
ального русла [21]. Зависимости амплитуды без-
размерной проводимости Y ◦=Y1/Y ∗ (Y ∗ – хара-
ктерное значение проводимости питающей арте-
рии) от номера гармоники, при различных усло-
виях отражения волн, рассчитанные по форму-
лам (24), представлены на рис. 3. Изменение по-
датливости конечных проводящих элементов при-
водит к однозначному сдвигу максимума кривых
Y ◦(n) в сторону длинноволновых гармоник. При
этом изменение резистивности элементов Re (Zt)
вызывает значительные изменения амплитуды Y ◦
в области первой и второй гармоник при незна-
чительном изменении амплитуд других гармоник.
Аналогичные сведения получены для модели ар-
териального русла в виде трубки с одним терми-
нальным элементом [21]. Результаты данного ис-
следования показали, что учет вязкости сосуди-
стой стенки дает более гладкие зависимости P (t),
Q(t), Y ◦(n), чем для чисто упругой стенки. Таким
образом, положение максимума n=n∗ на кривой
Y ◦(n) однозначно характеризует податливость ми-
кроциркуляторного русла, а относительная вели-
чина пика Y ◦(n∗)/Y ◦(0) – резистивность микро-
циркуляторного русла (Y ◦(0) – проводимость ру-
сла для стационарного тока жидкости). Компью-
терное моделирование русел при различных набо-
рах параметров {a, b, χ, λ, R1} показало, что вид
получаемых зависимостей Y ◦(n) практически не
отличается от кривых, приведенных на рис. 3, за
исключением случаев явных нарушений реологи-
ческих свойств крови и стенок сосудов [16, 18].
Н. Н. Кизилова 61
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 54 – 63
n
0 2 4 6 8 10
Y
o
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
3
4
5
n
0 2 4 6 8 10
Y
o
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2 1
2
3
4
5
а б
n
0 2 4 6 8 10
Y
o
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
1
2
3
4
5
n
0 2 4 6 8 10
Y
o
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
2
3
4
5
в г
Рис. 3. Зависимости Y ◦(n) (Re (Zt)=2):
а – Im (Zt)=2; б – Im (Zt)=1; в – Im (Zt)=0.5; г – Im (Zt)=0.2
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящее время функции P (t), Q(t), P (Q),
dI±(t), Y ◦(n) являются основными диагностиче-
скими параметрами, получаемыми путем синхрон-
ной регистрации давления и расхода (или линей-
ной скорости кровотока) в достаточно крупных
внеорганных артериях человека. Результаты про-
веденного исследования показали, что геометриче-
ские параметры модели артериального русла ока-
зывают незначительное количественное влияние
на вид этих зависимостей. В то же время, меха-
нические характеристики русла (плотность и вяз-
кость крови, упругие модули, вязкость и плот-
ность материала сосудистой стенки) в ряде слу-
чаев оказывают значительное воздействие на ука-
занные диагностические параметры.
Наибольшее влияние на вид соответствующих
кривых во всех проанализированных случаях про-
являют условия отражения волн на конечных
(терминальных) элементах модели, которые со-
ответствуют малым артериям органа. Резистив-
ность и податливость последних определяют со-
стояние микроциркуляции в органе. Изменение ре-
зистивных и емкостных характеристик микроцир-
куляторного русла вызывает однозначные измене-
ния угла наклона ϕ и площади S, ограниченной
кривыми P (Q), а также отношения B/A длин наи-
большей и наименьшей осей ограничиваемой P (Q)
петли.
Изменение резистивности и податливости ма-
лых сосудов вызывает характерный сдвиг макси-
мума кривой, а также изменение относительной
амплитуды пика на зависимости входной прово-
димости русла Y ◦, определяемой как отношение
амплитуд расхода и давления, измеренных в на-
чальном сечении питающей артерии органа, от
частоты волны (или номера гармоники в Фурье-
разложении). Это позволяет использовать пере-
62 Н. Н. Кизилова
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 1-2. С. 54 – 63
численные характеристические параметры в ме-
дицинской диагностике для определения состоя-
ния микроциркуляции в исследуемом артериаль-
ном русле.
1. Womersley J. R. An elastic tube theory of pulse
transmission and oscillatory flow in mammalian
arteries.– Tech. Rept.– N TR-56-614, 1957.– 45 p.
2. Johnson M., Tarbell J. M. A biphasic, anisotropic
model of the aortic wall // Trans. ASME.– 2001.–
123.– P. 52–57.
3. Rodriguez-Macias K. A., Naessen T., Bergqvist D.
Validation of in vivo noninvasive high-frequency
ultrasonography of the arterial wall layers //
Ultrasound Med. Biol.– 2001.– 27, N 6.– P. 751–756.
4. VanBavel E., Siersma P., Spaan J. A. Elasticity of
passive blood vessels: a new concept // Amer. J.
Physiol.– 2003.– 285, N 5.– P. H1986–H2000.
5. Vito R. P., Dixon S. A. Blood vessel constitutive
models – 1995–2002 // Ann. Rev. Biomed. Engng.–
2003.– 5.– P. 413–439.
6. Shankar V., Kumaran V. Asymptotic analysis of wall
modes in a flexible tube revisited // Eur. Phys. J. B.–
2001.– 19.– P. 607–622.
7. Кизилова Н. Н. Исследование зависимостей дав-
ление – расход и параметров падающей и отра-
женной волн давления в артериальных руслах //
Акуст. вiсн.– 2004.– 7, N 1.– С. 50–61.
8. Peterson S. J., Okamoto R. J. Effect of residual stress
and heterogeneity on circumferential stress in the
arterial wall // Trans. ASME.– 2000.– 122, N 8.–
P. 454–456.
9. Qilian Yu, Zhou J., Fung Y. C. Neutral axis locati-
on in bending and Young’s modulus of different layers
of arterial wall // Amer. J. Physiol.– 1993.– 265.–
P. H52–H60.
10. Ляв А. Математическая теория упругости.– М.:
ОНТИ НКТП, 1935.– 676 с.
11. Гидромеханика кровообращения / Сб. статей.– М.:
Мир, 1971.– 254 с.
12. Milnor W. R. Hemodynamics.– Baltimore: Williams
and Wilkins, 1989.– 419 p.
13. Khir A. W., O’Brien A., Gibbs J. S. R., Parker K. H.
Determination of wave speed and wave separation in
the arteries // J. Biomech.– 2001.– 34.– P. 1145–
1155.
14. Khir A. W., Parker K. H. Measurements of wave
speed and reflected waves in elastic tubes and bi-
furcations // J. Biomech.– 2002.– 35.– P. 775–783.
15. Taylor M. G. The input impedance of an assembly
of randomly branching elastic tubes // Biophiys. J.–
1966.– 6.– P. 29–51.
16. Bondarenko M. Ye., Kizilova N. N. Pulse wave
reflections in asymmetrically branching arterial
networks // Rus. J. Biomech.– 2002.– N 4.– P. 52–62.
17. Кизилова Н. Н. Отражение пульсовых волн и резо-
нансные свойства артериальных русел с анастомо-
зами // Мат. моделир.– 2003.– 15, N 6.– С. 65–71.
18. Kizilova N. N. Pulse wave reflections in branchi-
ng arterial networks and pulse diagnosis methods //
J. Chin. Inst. of Engrs.– 2003.– 26, N 6.– P. 869–880.
19. Dawson C. A., Krenz G. S., Karau K. L. Structure-
function relationships in the pulmonary arterial
tree // J. Appl. Physiol.– 1999.– 86.– P. 569–583.
20. Kizilova N. N. Computational approach to optimal
transport network construction in biomechanics //
Lect. Notes Comp. Sci.– 2004.– 3044.– P. 476–485.
21. Кизилова Н. Н. Отражение пульсовых волн и ре-
зонансные свойства артериальных русел // Изв.
РАН. Сер. МЖГ.– 2003.– N 5.– С. 127–137.
Н. Н. Кизилова 63
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-479 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:41:19Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кизилова, Н.Н. 2008-04-22T15:11:14Z 2008-04-22T15:11:14Z 2005 Спектральные характеристики и зависимости давление - расход при волновых движениях жидкости в системах вязкоупругих трубок / Н.Н. Кизилова // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 1-2. — С. 54-63. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/479 532.595 Приведены результаты исследования осесимметричного волнового течения вязкой несжимаемой жидкости в толстостенной трубке из вязкоупругого материала. Получены выражения для компонент скорости движения жидкости, перемещения стенки и давления в жидкости. Проведены расчеты объемного расхода в трубке с переменным сечением с учетом отражения волны на конце трубки. На основе полученных результатов рассчитаны параметры волн, которые распространяются в артериальных руслах, моделируемых системами трубок с заданными геометрическими и механическими свойствами. Исследованы спектры волновой проводимости русел с разной геометрией, зависимости давление-расход на входе в систему, а также интенсивности падающей и отраженных волн разрежения и сжатия, связанных с отражениями в системах трубок. Путем компьютерного моделирования проведен сравнительный анализ влияния различных геометрических и механических параметров русла на исследованные зависимости. Выделены диагностически информативные параметры, которые позволяют оценить состояние кровообращения в системе по результатам измерения давления и расхода в питающей артерии органа. The results of investigation of an axisymmetric wave flow of a viscous incompressible liquid in a thick-walled tube of viscoelastic material are presented. The expressions for the components of liquid velocity, wall displacement and pressure in the liquid are obtained. Calculations of the volumetric flow rate in the tube with variable cross-section are carried out with allowance for wave reflection at the tube end. Parameters of the waves propagating in the arterial bed, modeled as the system of tubes with given geometrical and mechanical properties, are calculated on the basis of the obtained results. The wave conductivity spectrum of the beds having various geometry, pressure-flow dependencies in bed's inlet and intensity of the compression and extension incident and reflected waves related with reflections in the system are studied. A comparative analysis of influence of various geometric and mechanical parameters of the beds on the considered dependencies is carried out by means of computer modeling. Certain diagnostically informative parameters are distinguished, which allow the estimation of blood circulation state in the system on the basis of results of pressure and volumetric rate measurement in organ's feeding artery. ru Інститут гідромеханіки НАН України Спектральные характеристики и зависимости давление-расход при волновых течениях жидкости в системах вязкоупругих трубок Spectral charachteristics and pressure-flow relationships for wave liquid flow in systems of viscoelastic tubes Article published earlier |
| spellingShingle | Спектральные характеристики и зависимости давление-расход при волновых течениях жидкости в системах вязкоупругих трубок Кизилова, Н.Н. |
| title | Спектральные характеристики и зависимости давление-расход при волновых течениях жидкости в системах вязкоупругих трубок |
| title_alt | Spectral charachteristics and pressure-flow relationships for wave liquid flow in systems of viscoelastic tubes |
| title_full | Спектральные характеристики и зависимости давление-расход при волновых течениях жидкости в системах вязкоупругих трубок |
| title_fullStr | Спектральные характеристики и зависимости давление-расход при волновых течениях жидкости в системах вязкоупругих трубок |
| title_full_unstemmed | Спектральные характеристики и зависимости давление-расход при волновых течениях жидкости в системах вязкоупругих трубок |
| title_short | Спектральные характеристики и зависимости давление-расход при волновых течениях жидкости в системах вязкоупругих трубок |
| title_sort | спектральные характеристики и зависимости давление-расход при волновых течениях жидкости в системах вязкоупругих трубок |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/479 |
| work_keys_str_mv | AT kizilovann spektralʹnyeharakteristikiizavisimostidavlenierashodprivolnovyhtečeniâhžidkostivsistemahvâzkouprugihtrubok AT kizilovann spectralcharachteristicsandpressureflowrelationshipsforwaveliquidflowinsystemsofviscoelastictubes |